大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練三—積分學(xué)

一、（15分）計(jì)算。

解：原式

二、（20分）設(shè)曲面和球面

1）求位于內(nèi)部的面積

2）設(shè)，求位于內(nèi)部的體積。

解：1）解方程組得

方法二、。

2）此為旋轉(zhuǎn)體的體積

方法二、三、（15分）求，其中為球面，并取外側(cè)。

解：對(duì)應(yīng)外側(cè)的單位法向量為

由對(duì)稱性可得，所以。

四、（15分）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，證明：

證明：利用泰勒公式，對(duì)任取的有

其中在之間，因?yàn)?，所以我們?/p>

取，則有

兩邊在上關(guān)于可得

五、（15分）計(jì)算。

解：設(shè)，則有，又因?yàn)椋浴?/p>

方法二、原式

六、（20分）設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，光滑曲線是區(qū)域的邊界，證明：

其中是沿曲線外法向量的方向?qū)?shù)。

證明：設(shè)曲線的單位外法向量為，則曲線的正方向（逆時(shí)針?lè)较颍?duì)應(yīng)的單位切向量為，因?yàn)?/p>

所以。

七、