大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練五—微分方程

一、（15分）設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且，對(duì)任給的滿足等式

1）求導(dǎo)數(shù)；

2）證明：當(dāng)時(shí)，成立不等式：。

解：1）設(shè)，則有

當(dāng)時(shí)有

兩邊關(guān)于求導(dǎo)得

解微分方程得

由條件可得，因此

2）當(dāng)時(shí)，所以此時(shí)有；

又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以此時(shí)有，因此當(dāng)時(shí)，有

二、（15分）設(shè)微分方程的兩個(gè)解滿足求此微分方程的通解。

解：1）如果為常數(shù)，則有

因?yàn)?，所以，由此可得，此時(shí)方程變?yōu)?/p>

令，則有

2）如果不是常數(shù)，則有，代入原方程可得

（1）

（2）

由（1）、（2）可得

令，則有，解得，因?yàn)樗鼈兪蔷€性無(wú)關(guān)的，所求通解為

三、（15分）有一個(gè)攀巖愛(ài)好者要攀登一個(gè)表面為的山巖，在攀巖時(shí)他總是沿著最陡峭的路線攀登，他的出發(fā)點(diǎn)在山下的一點(diǎn)處，求他攀登的路線方程。

解：設(shè)所求曲線在面上的投影為，則其切向量與函數(shù)的梯度平行，因此有

此為一階齊次方程，解得，由可得，再由題意得到

所求曲線方程為。

四、（15分）求方程的通解。

解：設(shè)，則有，原方程化為

解得

五、(15分)設(shè)，求在上的連續(xù)函數(shù)使得其在上滿足方程

及初值條件。

解：解方程得

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由的連續(xù)性可得，又因?yàn)榭傻?，所求函?shù)為。

六、（15分）已知二元函數(shù)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足

證明：。

證明：因?yàn)槎瘮?shù)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，所以

由此可得。

七、