一、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）計算下列各題（要求寫出計算步驟）

1）

解：因為

所以，原式

2）設，求。

解：因為

……

……

所以。

3）求，其中。

解：

4）求冪級數的和函數，并求級數的和。

解：設，則有

上式兩邊關于求導得。

二、（本題共16分）設為數列，為有限數，求證：

1）如果，則

2）如果存在正整數，使得，則。

證明：1）因為所以存在有。

對任意的，存在整數，當時有

又因為存在整數當有，所以取

當時有

這就證明。

2）設，則有。

三、（本題共15分）設函數在閉區(qū)間上具有連續(xù)的三階導數，且。

證明：因為，在之間，所以，其中，又因為在上連續(xù)在之間，由介值定理可得，存在使得。

四、（本題共15分）在平面上，有一條從點向右的射線，其線密度為。

解：用微元法計算，設此射線上一小段為，其上一點的坐標為，此小段對質點的引力方向為，大小為，由此可得該射線對質點的引力為

五、（本題共15分）設是由方程所確定的隱函數，且具有二階連續(xù)偏導數。

證明：此題是錯題。

六、（本題共15分）設函數連續(xù)，為常數，是單位球面。

證明：當時。

當不全為零時，用微元法證明。

用平面去

切球面，其中

設平面切球面所得半弦長，則

所切小環(huán)帶展開后長為，寬為。