第一篇：初中數(shù)學(xué)(人教版)第二十二章_一元二次方程教案

第二十二章 一元二次方程

主備人：劉鴻智

教材內(nèi)容

本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：

1.一元二次方程及其有關(guān)概念，一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法），一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題.2.本單元在教材中的地位和作用： 教學(xué)目標(biāo)

1.一分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系并求解其中未知數(shù)為背景，認(rèn)識一元二次方程及其有關(guān)概念。2.根據(jù)化歸思想，抓住“降次”這一基本策略，熟練掌握開平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.3.經(jīng)歷分析和解決問題的過程，體會一元二次方程的教學(xué)模型作用，進(jìn)一步提高在實(shí)際問題中運(yùn)用方程這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：

1．一元二次方程及其有關(guān)概念

2.一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法）

3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題。難點(diǎn)：

1.一元二次方程及其有關(guān)概念

2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及靈活運(yùn)用 課時(shí)安排

本章教學(xué)時(shí)約需課時(shí)，具體分配如下（供參考）

22．1 一元二次方程 1課時(shí) 22．2 降次 7 課時(shí) 22．3 實(shí)際問題與一元二次方程 3 課時(shí) 教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié)

22.1 一元二次方程

教學(xué)目的

1．使學(xué)生理解并能夠掌握整式方程的定義．

2．使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的定義．

3．使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達(dá)式以及各種特殊形式． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：一元二次方程的定義．

難點(diǎn)：一元二次方程的一般形式及其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的識別．教學(xué)過程 復(fù)習(xí)提問

1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？

2．指出下面哪些方程是已學(xué)過的方程？分別叫做什么方程？

(l)3x+4=l；

(2)6x-5y=7；

3．結(jié)合上述有關(guān)方程講解什么叫做“元”，什么叫做“次”． 引入新課

1．方程的分類：（通過上面的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生答出）

學(xué)過的幾類方程是

沒學(xué)過的方程有x2-70x+825=0，x(x+5)=150．

這類“兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程，叫做整式方程．”像這樣，我們把“只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”

據(jù)此得出復(fù)習(xí)中學(xué)生未學(xué)過的方程是

(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．

同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生把學(xué)過的方程分為兩大類：

2．一元二次方程的一般形式

注意引導(dǎo)學(xué)生考慮方程x-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x+5x=150，可化為：x+5x-150=0．

從而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：任何一個(gè)一元二次方程，經(jīng)過整理都可以化為

ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并稱之為一元二次方程的一般形式．

其中ax，bx，c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；a，b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)． 【注意】二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)(a=0時(shí)，方程化為bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可為任意實(shí)數(shù)．

例 把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)． 課堂練習(xí)P27 1、2題 歸納總結(jié) 22

221．方程分為兩大類：

判別整式方程與分式方程的關(guān)鍵是看分母中是否含有未知數(shù)；判別一元一次方程，一元二次方程的關(guān)鍵是看方程化為一般形式后，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次還是二次．

2．一元二次方程的定義：一個(gè)整式方程，經(jīng)化簡形成只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，則這樣的整式方程稱一元二次方程．

其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可為任意實(shí)數(shù)，而a不能等于零． 布置作業(yè)：習(xí)題22.1 1、2題． 達(dá)標(biāo)測試

1.在下列方程中,一元二次方程的個(gè)數(shù)是()①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-5x+4=0，⑤x-(2+1)x+2=0,⑥3x-2

24x+6=0 A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

2.關(guān)于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),下列說法完全正確的是()A.3,-5,-2 B.3,-5x,2 C.3,5x,-2 D.3,-5,2 3.方程(m+2)xm+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程,則()A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2 4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,則k的取值范圍是 5.方程4x2=3x-2+1的二次項(xiàng)是 ,一次項(xiàng)是 ,常數(shù)項(xiàng)是 課后反思：

22.2解一元二次方程

第一課時(shí)

直接開平方法

教學(xué)目的

1．使學(xué)生掌握用直接開平方法解一元二次方程．

2．引導(dǎo)學(xué)生通過特殊情況下的解方程，小結(jié)、歸納出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：準(zhǔn)確地求出方程的根．

難點(diǎn)：正確地表示方程的兩個(gè)根． 教學(xué)過程

復(fù)習(xí)過程

回憶數(shù)的開方一章中的知識，請學(xué)生回答下列問題，并說明解決問題的依據(jù)．

求下列各式中的x：

1．x=225； 2．x-169=0；3．36x=49； 4．4x-25=0．

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

解題的依據(jù)是：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)． 2

222

即 一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a(a≥0)，那么這樣的數(shù)有兩個(gè)，它們是互為相反數(shù)．

引入新課

我們已經(jīng)學(xué)過了一些方程知識，那么上述方程屬于什么方程呢？

新課

例1 解方程 x2-4=0．

解：先移項(xiàng)，得x2=4．

即x1=2，x2=-2．

這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．

例2 解方程(x+3)2=2．

練習(xí)：P28 1、2 歸納總結(jié)

1．本節(jié)主要學(xué)習(xí)了簡單的一元二次方程的解法——直接開平方法．

2．直接法適用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程． 布置作業(yè)：習(xí)題22.1 4、6題 達(dá)標(biāo)測試

1.方程x2-0.36=0的解是

A.0.6 B.-0.6 C.±6 D.±0.6 2.解方程:4x2+8=0的解為 A.x1=2 x2=-2 B.x1?2,x2??2

C.x1=4 x2=-4 D.此方程無實(shí)根 3.方程(x+1)2-2=0的根是 A.x1?1?2,x2?1?2 B.x1?1?2,x2??1?2

C.x1??1?2,x2?1?2 D.x1??1?2,x2??1?2

4.對于方程(ax+b)2=c下列敘述正確的是 A.不論c為何值,方程均有實(shí)數(shù)根 B.方程的根是x?c?ba

C.當(dāng)c≥0時(shí),方程可化為:ax?b?bac或ax?b??c

D.當(dāng)c=0時(shí),x?5.解下列方程:

①.5x-40=0 ②.(x+1)-9=0 ③.(2x+4)2-16=0 ④.9(x-3)2-49=0 課后反思

2第二課時(shí)

配方法

教學(xué)目的

1．使學(xué)生掌握用配方法解一元二次方程的方法．

2．使學(xué)生能夠運(yùn)用適當(dāng)變形的方法，轉(zhuǎn)化方程為易于用配方法求解的形式，來解某些一元二次方程．并由此體會轉(zhuǎn)化的思想． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握配方的法則．

難點(diǎn)：湊配的方法與技巧． 教學(xué)過程

復(fù)習(xí)過程

用開平方法解下列方程：

(1)x=441；(2)196x-49=0；

引入新課

我們知道，形如x2-A=0的方程，可變形為x2=A(A≥0)，再根據(jù)平方根的意義，用直接開平方法求解．那么，我們能否將形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一類方程，化為上述形式求解呢？這正是我們這節(jié)課要解決的問題．

新課

我們研究方程x+6x+7=0的解法：

將方程視為：x2+2·x·3=-7，即 x2+2·x·3+32=32-7，∴(x+3)2=2，22

2這種解一元二次方程的方法叫做配方法．這種方法的特點(diǎn)是：先把方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把左邊配成一個(gè)完全平方式，如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解．

例1 解方程x2-4x-3=0．

配方法解之．在解的過程中，注意介紹配方的法則．

例2 解方程2x2+3=7x．

練習(xí)：P34 1、2題 歸納總結(jié)

應(yīng)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的要點(diǎn)是：

(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為1；

(2)移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)；

(3)方程兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式.布置作業(yè)：習(xí)題22.2 1、3題 達(dá)標(biāo)測試

1.方程x2-a2=(x-a)2(a≠0)的根是

A.a B.0 C.1或a D.0或a 2.已知關(guān)于x的方程(m+3)x+x+m+2m-3=0一根為0,另一根不為0,則m的值 為

A.1 B.-3 C.1或-3 D.以上均不對 3.若x2-mx+1

422是一個(gè)完全平方式,則m= A.1 B.-1 C.±1 D.以上均不對

4.方程x2=5的解是 ,方程(x-1)2=5的解是 ,方程(3x-1)2=5的解是 5.①x?課后反思： 212x? =(x-)②x?2252x? =(x+)

2第三課時(shí)

求根公式法

教學(xué)目的

1．使學(xué)生掌握一般一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)過程，并由此培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合和計(jì)算能力．

2．使學(xué)生掌握公式法解一元二次方程的方法． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：要求學(xué)生正確運(yùn)用求根公式解一元二次方程．

難點(diǎn)：1.求根公式的推導(dǎo)過程．

2.含有字母參數(shù)的一元二次方程的公式解法．

教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

提問：當(dāng)x2=c時(shí)，c≥0時(shí)方程才有解，為什么？

練習(xí)：用配方法解下列一元二次方程

(1)x2-8x=20；(2)2x2-6x-1=0．

引入新課

我們思考用配方法解一般形式的一元二次方程，應(yīng)如何配方來進(jìn)行求解？

新課

(引導(dǎo)學(xué)生討論)用配方法解一元二次方程ax

2+bx+c=0(a≠0)的步驟．

解：∵a≠0，兩邊同除以a，得

把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，并兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，得

(a≠0)的求根公式．用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

應(yīng)用求根公式解一元二次方程的關(guān)鍵在于：

(1)將方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)；(2)將各項(xiàng)的系數(shù)a，b，c代入求根公式．

例1 解方程x2-3x+2=0.例2 解方程2x2+7x=4.例5 解關(guān)于x的方程 x2-m(3x-2m+n)-n2=0．

練習(xí)P37 1題 歸納總結(jié)

1．本節(jié)課我們推導(dǎo)出了一元二次方程ax2

+bx+c=0(a≠0)的求根公式，即

要重點(diǎn)讓學(xué)生注意到應(yīng)用公式的大前提，即b2-4ac≥0．

2．應(yīng)注意把方程化為一般形式后，再用公式法求解． 布置作業(yè)：習(xí)題22.2 5、8、10題 達(dá)標(biāo)測試

1.若代數(shù)式4x2-2x-5與2x2+1的值互為相反數(shù),則x的值為 A.1或?32 B.1或?23 C.-1或D.1或

2.對于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列敘述正確的是 A.方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

B.只有當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),才有兩實(shí)根 C.當(dāng)b2-4ac<0時(shí),方程只有一個(gè)實(shí)根 D.當(dāng)b2-4ac=0時(shí),方程無實(shí)根

3.已知三角形兩邊長分別是1和2,第三邊的長為2x2-5x+3=0的根,則這個(gè)三角形的周長是 A.4 B.412 C.4或412 D.不存在

24.如果分式x?2x?3x?3的值為0,則x值為

A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-3 5.把2?3x?(3?x)2化成ax

2+bx+c=0(a≠0)的形式后,則a= ,b= ,c=

6.若分式x?2x?x?22的值為0,則x=

baca7.已知x=-1是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根,則22

2?=__________.8.若a+b+2a-4b+5=0,則關(guān)于x的方程ax-bx+5=0的根是___________.課后反思：

第四課時(shí)

因式分解法

教學(xué)目的

使學(xué)生掌握應(yīng)用因式分解法解某些系數(shù)較為特殊的一元二次方程的方法． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用因式分解法解一元二次方程．

難點(diǎn)：將方程化為一般形式后，對左側(cè)二次三項(xiàng)式的因式分解． 教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

1．在初一時(shí)，我們學(xué)過將多項(xiàng)式分解因式的哪些方法？

2．方程x2=4的解是多少？

引入新課

方程x2=4還有其他解法嗎？

新課

眾所周知，方程x2=4還可用公式法解．

此法要比開平方法繁冗．本課，我們將介紹一種較為簡捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．

我們?nèi)砸苑匠蘹2=4為例．

移項(xiàng)，得 x2-4=0，對x2-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0．

我們知道：

∴ x+2=0，x-2=0．

即 x1=-2，x2=2．

由上述過程我們知道：當(dāng)方程的一邊能夠分解成兩個(gè)一次因式而另一邊等于0時(shí)，即可解之．這種方法叫做因式分解法．

例1 解下列方程：

(1)x2-3x-10=0；(2)(x+3)(x-1)=5．

在講例1(1)時(shí)，要注意講應(yīng)用十字相乘法分解因式；

講例1(2)時(shí)，應(yīng)突出講將方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．

例2 解下列方程：

(1)3x(x+2)=5(x+2)；(2)(3x+1)

2-5=0．

在講本例(1)時(shí)，要突出講移項(xiàng)后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0后求解；

再利用平方差公式因式分解后求解．

注意：在講完例

1、例2后，可通過比較來講述因式分解的方法應(yīng)“因題而宜”．

例3 解下列方程：

(1)3x2-16x+5=0 ；(2)3(2x

2-1)=7x．

練習(xí)：P40 1、2題 歸納總結(jié)

對上述三例的解法可做如下總結(jié)：因式分解法解一元二次方程的步驟是

1．將方程化為一般形式；

2．把方程左邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次式的積；(用初一學(xué)過的分解方法)

3．使每個(gè)一次因式等于0，得到兩個(gè)一元一次方程；

4．解所得的兩個(gè)一元一次方程，得到原方程的兩個(gè)根． 布置作業(yè)：習(xí)題22.2 6、10題

達(dá)標(biāo)測試

1.對方程(1)(2x-1)2=5,(2)x2-x-1=0,(3)x(x?3)?3?x選擇合適的解法是

A.分解因式法、公式法、分解因式法 B.直接開平方法、公式法、分解因式法 C.公式法、配方法、公式法 D.直接開平方法、配方法、公式法

2．方程2x(x-3)=5(x-3)的根為

A.x?52 B.x=3 C.x1?52,x2?3 D.x?25

3.若x2-5∣x∣+4=0,則所有x值的和是 A．1 B.4 C.0 D.1或4 5.若方程x2+ax-2a=0的一根為1,則a的取值和方程的另一根分別是 A.1,-2 B.-1,2 C.1,2 D.-1,-2 5．已知3x2y2-xy-2=0，則x與y之積等于

6．關(guān)于x的一元二次方程(m+2)x+x-m-5m-6=0有一根為0，則m=。7．方程(x-1)(x-2)=0的兩根為x1,x2，且x1>x2,則x1-2x2的值是。8．方程x2=∣x∣的解是 9.用因式分解法解下列方程:(1).(2x-1)2+3(1-2x)=0(2).(1-3x)2=16(2x+3)2(3).x2+6x-7=0 10.選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(1).(3-x)+x=9(2).(2x-1)+(1-2x)-6=0(3).(3x-1)2=4(1-x)2(4).2(x-1)2=(1-x)根據(jù)以上各方程的特點(diǎn),選擇解法的思路是:先特殊后一般.選擇解法的順序是:直接開平方法—因式分解法—公式法或配方法.配方法是普遍適用的方法,但不夠簡便,一般不常用.不過對于二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要簡單些.課后反思：

222

第五課時(shí)

一元二次方程的根的判別式。

教學(xué)目的

1．使學(xué)生理解并掌握一元二次方程的根的判別式．

2．使學(xué)生掌握不解方程，運(yùn)用判別式判斷一元二次方程根的情況．

3.通過對含有字母系數(shù)方程的根的討論，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用一元二次方程根的判別式的論證能力和邏輯思維能力．培養(yǎng)學(xué)生思考問題的靈活性和嚴(yán)密性．

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：一元二次方程根的判別式的內(nèi)容及應(yīng)用．

難點(diǎn)：1.一元二次方程根的判別式的推導(dǎo)．

2.利用根的判別式進(jìn)行有關(guān)證明

教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

1．一元二次方程的一般形式及其根的判別式是什么？

2．用公式法求出下列方程的解：

(1)3x＋x－10＝0；(2)x－8x＋16＝0；(3)2x－6x＋5＝0．

引入新課

通過上述一組題，讓學(xué)生回答出：一元二次方程的根的情況有三種，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；沒有實(shí)數(shù)根．

接下來向?qū)W生提出問題：是什么條件決定著一元二次方程的根的情況？這條件與方程的根之間又有什么關(guān)系呢？能否不解方程就可以明確方程的根的情況？這正是我們本課要探討的課題．(板書本課標(biāo)題)

新課

先討論上述三個(gè)小題中b2－4ac的情況與其根的聯(lián)系．再做如下推導(dǎo)：

對任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可將其變形為 2

22∵a≠0，∴4a＞0．

由此可知b2－4ac的值的“三岐性”，即正、零、負(fù)直接影響著方程的根的情況．

(1)當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程右邊是一個(gè)正數(shù)．

2(2)當(dāng)b－4ac＝0時(shí)，方程右邊是0． 2

通過以上討論，總結(jié)出：一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根的情況可由b－4ac來判定．故稱b－4ac222是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式，通常用“△”來表示．

綜上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

當(dāng)△＞0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△＝0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△＜0時(shí)，沒有實(shí)數(shù)根． 反過來也成立．

例1.不解方程，判別下列方程根的情況：

(1)2x2＋3x－4＝0；(2)16y2＋9＝24y；(3)5(x2＋1)－7x＝0．

分析：要想確定上述方程的根的情況，只需算出“△”，確定它的符號情況即可． 例2．當(dāng)k取什么值時(shí)，關(guān)于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0

(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；(3)方程沒有實(shí)數(shù)根．

例3.求證關(guān)于x的方程(k2

+1)x2

-2kx+(k2

+4)=0沒有實(shí)數(shù)根.歸納總結(jié)

應(yīng)用判別式解題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1．應(yīng)先把已知方程化為一元二次方程的一般形式，為應(yīng)用判別式創(chuàng)造條件．

2．一元二次方程根的判別式的逆命題也是成立的． 布置作業(yè)：習(xí)題22.2 4題 達(dá)標(biāo)測試

1.證明關(guān)于x的方程(x-1)(x-2)=m2

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

2.已知a，b，c是△ABC的三邊的長，求證方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0沒有實(shí)數(shù)根． 3.若m≠n，求證關(guān)于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0無實(shí)數(shù)根．

4.已知，關(guān)于x的方程（a-2）x2-2（a-1）x+（a+1）＝0，當(dāng)a為何非負(fù)整數(shù)時(shí)； ①.方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.②方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.③方程沒有實(shí)數(shù)根.課后反思

第六課時(shí)

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

教學(xué)目的

1．使學(xué)生掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(即韋達(dá)定理)，并學(xué)會其運(yùn)用．

2．培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察以及利用求根公式進(jìn)行推理論證的能力． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：1.韋達(dá)定理的推導(dǎo)和靈活運(yùn)用．

2.已知方程求關(guān)于根的代數(shù)式的值

難點(diǎn)：用兩根之和與兩根之積表示含有兩根的各種代數(shù)式． 教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式應(yīng)如何表述？

2．上述方程兩根之和等于什么？兩根之積呢？

新課

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根為

由此得出，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在如下關(guān)系：(又稱“韋達(dá)定理”)

如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根是x1，x2，那么

我們再來看二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根與系數(shù)的關(guān)系．

得出：

如果方程x2＋px＋q＝0的兩根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

由 x1＋x2＝－p，x1x2＝q 可知p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，∴ 方程x2＋px＋q＝0，即 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

這就是說，以兩個(gè)數(shù)x21，x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

例1．已知方程5x2＋kx－6＝0的一個(gè)根是2，求它的另一根及k的值． 例2.下列各方程兩根之和與兩根之積各是什么？

(1)x2－3x－18＝0；(2)x

2＋5x＋4＝5；

(3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2

＋3x＝0．

練習(xí)P42 歸納總結(jié)

1．本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，應(yīng)在應(yīng)用過程中熟記定理．

2．要掌握定理的兩個(gè)應(yīng)用：

⑴.不解方程直接求方程的兩根之和與兩根之積； ⑵.已知方程一根求另一根及系數(shù)中字母的值． 布置作業(yè)：習(xí)題22.2 7題 達(dá)標(biāo)測試

1．方程2x2＋7x＋k＝0的兩根中有一個(gè)根為0，k為何值？

2.利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x2

＋3x－1＝0兩根的(1)平方和；(2)倒數(shù)和．課后反思

第七課時(shí)

二次三項(xiàng)式的因式分解(公式法)教學(xué)目的

1．使學(xué)生理解二次三項(xiàng)式的意義及解方程和因式分解的關(guān)系．

2．使學(xué)生掌握用求根法在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)將二次三項(xiàng)式分解因式． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用求根法分解二次三項(xiàng)式．

難點(diǎn)：1.方程的同解變形與多項(xiàng)式的恒等變形的區(qū)別．

2.二元二次三項(xiàng)式的因式分解．

教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

解方程：1．x2-x-6＝0； 2．3x2-11x+10＝0； 3．4x2+8x-1＝0．

引入新課

在解上述方程時(shí)，第1，2題均可用十字相乘法分解因式，迅速求解．而第3題則只有采用其他方法．此題給我們啟示，用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式，有時(shí)是無法做到的．是否存在新的方法能分解二次三項(xiàng)式呢？第3個(gè)方程的求解給我們以啟發(fā)．

新課

二次三項(xiàng)式ax+bx+c(a≠0)，我們已經(jīng)可以用十字相乘法分解一些簡單形式．下面我們介紹利用一元二次方程的求根公式將之分解的方法．

易知，解一元二次方程2x2-6x+4＝0時(shí)，可將左邊分解因式，即2(x-1)(x-2)＝0，求得其兩根x1＝1，x2＝2.反之，我們也可利用一元二次方程的兩個(gè)根來分解二次三項(xiàng)式．即，令二次三項(xiàng)式為0，解此一元二次方程，求出其根，從而分解二次三項(xiàng)式．具體方法如下：

如果一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的兩個(gè)根是 2

＝a[x2-(x1+x2)x+x1x2] ＝a(x-x1)(x-x2)．

從而得出如下結(jié)論．

在分解二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的因式時(shí)，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的兩根x1，x2，然后寫成ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)．

例如，方程2x2-6x+4＝0的兩根是x1＝1，x2＝2．

則可將二次三項(xiàng)式分解因式，得2x-6x+4＝2(x-1)(x-2)．

例1 把4x-5分解因式． 歸納總結(jié)

用公式法解決二次三項(xiàng)式的因式分解問題時(shí)，其步驟為：

1．令二次三項(xiàng)式ax2+bx+c＝0；

2．解方程(用求根公式等方法)，得方程兩根x1，x2；

3．代入a(x-x1)(x-x2)．

二次三項(xiàng)式ax+bx+c(a≠0)分解因式的方法有三種，即

1．利用完全平方公式；

2．十字相乘法： 2

22即x2+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)；

acx2+(ad+bc)x+bd＝(ax+b)(cx+d)．

3．求根法：

ax+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，(1)當(dāng)b-4ac≥0時(shí)，可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解；

(2)當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解． 布置作業(yè)：

對下列式子進(jìn)行因式分解

① 2x+6x+4.②.4x-4x+1 ③.-2x-4x+3.④.2x-8xy+5y 課后反思

222

22.3一元二次方程的應(yīng)用

第一課時(shí)

教學(xué)目的

1．使學(xué)生會列出一元二次方程解應(yīng)用題．

2．使學(xué)生通過列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：由應(yīng)用問題的條件列方程的方法．

難點(diǎn)：設(shè)“元”的靈活性和解的討論． 教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

1．一元二次方程有哪些解法？(要求學(xué)生答出：開方法、配方法、公式法、因式分解法．)

2．回憶一元二次方程解的情況．(要求學(xué)生按△＞0，△＝0，△＜0三種情況回答問題．)

3．我們已經(jīng)學(xué)過的列方程解應(yīng)用題時(shí)，有哪些基本步驟？(要求學(xué)生回答：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③根據(jù)等量關(guān)系列方程(組)；④解方程(組)；⑤檢驗(yàn)并寫出答案．)

引入新課

問題1：用一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm2的無蓋長方形盒子．試問：應(yīng)如何求出截去的小正方形的邊長？

解：設(shè)小正方形邊長為xcm，則盒子底面的長、寬分別為(80-2x)cm及(60-2x)cm，依題意，可得(80-2x)(60-2x)＝1500，即 x2-70x+825＝0．

當(dāng)時(shí)，我們不會解此方程．現(xiàn)在，可用求根公式解此方程了．

∴x1＝55，x2＝15．

當(dāng)x＝55時(shí)，80-2x＝-30，60-2x＝-50；

當(dāng)x＝15時(shí)，80-2x＝50，60-2X＝30．

由于長、寬不能取負(fù)值，故只能取x＝15，即小正方形的邊長為15cm．

問題2：剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應(yīng)怎樣剪？

分析：要解決此問題，需求出鐵片的長和寬，由于長比寬多5cm，可設(shè)寬為未知數(shù)來列方程．

解：設(shè)這塊鐵片寬xcm，則長是(x+5)cm．依題意，得

x(x+5)＝150，即x2+5x-150＝0．

∴x1＝10，x2＝-15(舍去)．

∴x＝10，x+5＝15．

答：應(yīng)將之剪成長15cm，寬10cm的形狀． 歸納總結(jié)

利用一元二次方程解應(yīng)用題的主要步驟仍是：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列方程；④解方程；⑤依題意檢驗(yàn)所得的根；⑥得出結(jié)論并作答． 布置作業(yè)：習(xí)題22.3 1、2、3、5題 課后反思

第二課時(shí)

教學(xué)目的

使學(xué)生掌握有關(guān)面積和體積方面以及“藥液問題”的一元二次方程應(yīng)用題的解法．提高學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用圖示法分析題意列方程．

難點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為對方程的求解問題.教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

本小節(jié)第一課我們介紹了什么問題？

引入新課

今天我們進(jìn)一步研究有關(guān)面積和體積方面以及“藥液問題”的一元二次方程的應(yīng)用題及其解法．

新課

例1 如圖1，有一塊長25cm，寬15cm的長方形鐵皮．如果在鐵皮的四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，然后把四邊折起來，做成一個(gè)底面積為231cm2的無蓋長方體盒子，求截去的小正方形的邊長應(yīng)是多少？

分析：如圖1，考慮設(shè)截去的小正方形邊長為xcm，則底面的長為(25-2x)cm，寬為(15-2x)cm，由此，知由長×寬＝矩形面積，可列出方程．

解：設(shè)小正方形的邊長為xcm，依題意，得(25-2x)(15-2x)＝231，即x2-20x+36＝0，解得x1＝2，x2＝18(舍去)．

答：截去的小正方形的邊長為2cm．

例2 一個(gè)容器盛滿藥液20升，第一次倒出若干升，用水加滿；第二次倒出同樣的升數(shù)，這時(shí)容器里剩下藥液5升，問每次倒出藥液多少升？

∴x＝10．

答：第一、二次倒出藥液分別為10升，5升．

練習(xí)P41 3、4 歸納總結(jié)

1．注意充分利用圖示列方程解有關(guān)面積和體積的應(yīng)用題．

2．要注意關(guān)于“藥液問題”應(yīng)用題，列方程要以“剩下藥液”為依據(jù)列式． 布置作業(yè)：習(xí)題22.3 8、9題 課后反思

第三課時(shí)

教學(xué)目的

使學(xué)生掌握列一元二次方程解關(guān)于增長率的應(yīng)用題的方法．并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力．

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：弄清有關(guān)增長率的數(shù)量關(guān)系．

難點(diǎn)：利用數(shù)量關(guān)系列方程的方法． 教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

1．問題：(1)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，產(chǎn)品總數(shù)為1600個(gè)，合格品數(shù)為1563個(gè)，合格率是多少？

(2)某種田農(nóng)戶用800千克稻谷碾出600千克大米，問出米率是多少？

(3)某商店二月份的營業(yè)額為3.5萬元，三月份的營業(yè)額為5萬元，三月份與二月份相比，營業(yè)額的增長率是多少？

新課

例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個(gè)月平均每月增產(chǎn)的百分率是多少？

分析：用譯式法討論列式

一月份產(chǎn)量為5000噸，若月增長率為x，則二月份比一月份增產(chǎn)5000x噸．

二月份產(chǎn)量為(5000+5000x)＝5000(1+x)噸；

三月份比二月份增產(chǎn)5000(1+x)x噸，三月份產(chǎn)量為5000(1+x)+5000(1+x)x＝5000(1+x)2噸．再根據(jù)題意，即可列出方程．

解：設(shè)平均每月增長的百分率為x，根據(jù)題意，得5000(1+x)＝7200，即(1+x)＝1.44，∴1+x＝±1.2，x1＝0.2，x2＝-2.2(不合題意，舍去)．

答：平均每月增長率為20％．

例2 某印刷廠一月份印刷了科技書籍50萬冊，第一季度共印182萬冊，問二、三月份平均每月的增長率是多少？

解：設(shè)每月增長率為x，依題意得

50+50(1+x)+50(1+x)＝182，2

221

答：

二、三月份平均月增長率為20％． 歸納總結(jié)

依題意，依增長情況列方程是此類題目解題的關(guān)鍵． 布置作業(yè)：習(xí)題22.3 7題 課后反思

第二篇：《一元二次方程》參考教案

21.1 一元二次方程教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念．

教學(xué)目標(biāo)

知識技能

探索一元二次方程及其相關(guān)概念，能夠辨別各項(xiàng)系數(shù)；能夠從實(shí)際問題中抽象出方程知識．

數(shù)學(xué)思考

在探索問題的過程中使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)模型，體會方程與實(shí)際生活的聯(lián)系．

解決問題

培養(yǎng)學(xué)生良好的研究問題的習(xí)慣，使學(xué)生逐步提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

情感態(tài)度

通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的價(jià)值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，了解數(shù)學(xué)對促進(jìn)社會進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用．

重難點(diǎn)、關(guān)鍵

重點(diǎn)：一元二次方程的定義、各項(xiàng)系數(shù)的辨別，根的作用． 難點(diǎn)：根的作用的理解．

關(guān)鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，?再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念．

教學(xué)準(zhǔn)備

教師準(zhǔn)備：制作課件，精選習(xí)題

學(xué)生準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)有關(guān)知識，預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容

教學(xué)過程

一、情境引入 【問題情境】

問題1 如圖，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm．在它的四個(gè)角分別切去一個(gè)正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個(gè)無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？

問題2 要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場．根據(jù)場地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)該邀請多少個(gè)隊(duì)參賽？ 【活動(dòng)方略】

教師演示課件，給出題目．

學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識，通過分析設(shè)出合適的未知數(shù)，列出方程回答問題． 【設(shè)計(jì)意圖】

由實(shí)際問題入手，設(shè)置情境問題，激發(fā)學(xué)生的興趣，讓學(xué)生初步感受一元二次方程，同時(shí)讓學(xué)生體會方程這一刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型．

二、探索新知 【活動(dòng)方略】

學(xué)生活動(dòng)：請口答下面問題．

（1）上面幾個(gè)方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)？

（2）按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？

（3）有等號嗎？或與以前多項(xiàng)式一樣只有式子？

老師點(diǎn)評：（1）都只含一個(gè)未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號，是方程．

歸納：像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，?經(jīng)過整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．

一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．

【設(shè)計(jì)意圖】

主體活動(dòng)，探索一元二次方程的定義及其相關(guān)概念．

三、范例點(diǎn)擊 例1 將方程3x(x?1)?5(x?2)化成一元二次方程的一般形式，并指出各項(xiàng)系數(shù)． 解：去括號得

0

3x2?3x?5x?1，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得一元二次方程的一般形式

3x2?8x?10?0．

其中二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是－8，常數(shù)項(xiàng)是－10． 【活動(dòng)方略】 學(xué)生活動(dòng)：

學(xué)生自主解決問題，通過去括號、移項(xiàng)等步驟把方程化為一般形式，然后指出各項(xiàng)系數(shù)．

教師活動(dòng)：

在學(xué)生指出各項(xiàng)系數(shù)的環(huán)節(jié)中，分析可能出現(xiàn)的問題（比如系數(shù)的符號問題）． 【設(shè)計(jì)意圖】

進(jìn)一步鞏固一元二次方程的基本概念． 例2 猜測方程x2?x?56?0的解是什么？ 【活動(dòng)方略】 學(xué)生活動(dòng)：

學(xué)生可以采取多種方法得到方程的解，比如可以用嘗試的方法取x＝1、2、3、4、5等，發(fā)現(xiàn)x＝8時(shí)等號成立，于是x＝8是方程的一個(gè)解，如此等等．

教師活動(dòng)：

教師引導(dǎo)學(xué)生自主探索，多種途徑尋找方程的解，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生進(jìn)行總結(jié)： 使一元二次方程等號兩邊相等的未知數(shù)的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）． 【設(shè)計(jì)意圖】

探究一元二次方程根的概念以及作用．

四、反饋練習(xí)課本P4 練習(xí)1、2題 補(bǔ)充習(xí)題：

1．將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng)．

2．你能根據(jù)所學(xué)過的知識解出下列方程的解嗎？（1）x2?36?0；

【活動(dòng)方略】

學(xué)生獨(dú)立思考、獨(dú)立解題．

教師巡視、指導(dǎo)，并選取兩名學(xué)生上臺書寫解答過程（或用投影儀展示學(xué)生的解答過程）

【設(shè)計(jì)意圖】

檢查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況.五、應(yīng)用拓展

例3：求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17?≠0即可．

證明：m2-8m+17=（m-4）2+1

∵（m-4）2≥0

∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0

∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．

例4：有人解這樣一個(gè)方程(x?5)(x?1)?7．

解：x+5=1或x－1 = 7，所以x1=－4，x2 =8，你的看法如何？

由(x?5)(x?1)?7得到x+5=1或x－1=7，應(yīng)該是x+5=1且x－1=7，同時(shí)成立才行，此時(shí)得到x=－4且x=8，顯然矛盾，因此上述解法是錯(cuò)誤的．

【活動(dòng)方略】

教師活動(dòng)：操作投影，將例

3、例4顯示，組織學(xué)生討論． 學(xué)生活動(dòng)：合作交流，討論解答?！驹O(shè)計(jì)意圖】

使學(xué)生進(jìn)一步理解一元二次方程的概念，對一元二次方程的根有更深刻的理解.（2）4x2?9?0． 作業(yè)：

第三篇：初中數(shù)學(xué)(人教版)第二十二章 一元二次方程教案

第二十二章

一元二次方程

主備人：劉鴻智

教材內(nèi)容

本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：

1.一元二次方程及其有關(guān)概念，一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法），一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題.2.本單元在教材中的地位和作用： 教學(xué)目標(biāo)

1.一分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系并求解其中未知數(shù)為背景，認(rèn)識一元二次方程及其有關(guān)概念。2.根據(jù)化歸思想，抓住“降次”這一基本策略，熟練掌握開平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.3.經(jīng)歷分析和解決問題的過程，體會一元二次方程的教學(xué)模型作用，進(jìn)一步提高在實(shí)際問題中運(yùn)用方程這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：

1．一元二次方程及其有關(guān)概念

2.一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法）3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題。難點(diǎn)：

1.一元二次方程及其有關(guān)概念

2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及靈活運(yùn)用 課時(shí)安排

本章教學(xué)時(shí)約需課時(shí)，具體分配如下（供參考）

22．1 一元二次方程 1課時(shí) 22．2 降次 7 課時(shí) 22．3 實(shí)際問題與一元二次方程 3 課時(shí) 教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié)

靜下心來教書，潛下心來育人

22.1 一元二次方程

教學(xué)目的

1．使學(xué)生理解并能夠掌握整式方程的定義．

2．使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的定義．

3．使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達(dá)式以及各種特殊形式． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：一元二次方程的定義．

難點(diǎn)：一元二次方程的一般形式及其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的識別．教學(xué)過程 復(fù)習(xí)提問

1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？

2．指出下面哪些方程是已學(xué)過的方程？分別叫做什么方程？

(l)3x+4=l；

(2)6x-5y=7；

3．結(jié)合上述有關(guān)方程講解什么叫做“元”，什么叫做“次”． 引入新課

1．方程的分類：（通過上面的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生答出）

學(xué)過的幾類方程是

靜下心來教書，潛下心來育人

沒學(xué)過的方程有x-70x+825=0，x(x+5)=150．

這類“兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程，叫做整式方程．”像這樣，我們把“只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”

據(jù)此得出復(fù)習(xí)中學(xué)生未學(xué)過的方程是

(4)一元二次方程：x-70x+825=0，x(x+5)=150．

同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生把學(xué)過的方程分為兩大類： 22

2．一元二次方程的一般形式

注意引導(dǎo)學(xué)生考慮方程x-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x+5x=150，可化為：x+5x-150=0．

從而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：任何一個(gè)一元二次方程，經(jīng)過整理都可以化為

ax+bx+c=0(a≠0)的形式．并稱之為一元二次方程的一般形式．

其中ax，bx，c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；a，b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)． 【注意】二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)(a=0時(shí)，方程化為bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可為任意實(shí)數(shù)．

例 把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)． 課堂練習(xí)P27 1、2題 歸納總結(jié) 222

221．方程分為兩大類：

判別整式方程與分式方程的關(guān)鍵是看分母中是否含有未知數(shù)；判別一元一次方程，一元二次方程的關(guān)鍵是看方程化為一般形式后，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次還是二次．

2．一元二次方程的定義：一個(gè)整式方程，經(jīng)化簡形成只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，則這樣的整式方程稱一元二次方程．

其一般形式是ax+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可為任意實(shí)數(shù)，而a不能等于零． 布置作業(yè)：習(xí)題22.1 1、2題． 達(dá)標(biāo)測試

1.在下列方程中,一元二次方程的個(gè)數(shù)是()

2靜下心來教書，潛下心來育人

①3x+7=0,②ax+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x-1,④x-5x+4=0, ⑤x-(2+1)x+2=0,⑥3x-2

22222

4+6=0 xA.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

2.關(guān)于x的一元二次方程3x=5x-2的二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),下列說法完全正確的是()A.3,-5,-2 B.3,-5x,2 C.3,5x,-2 D.3,-5,2 3.方程(m+2)xm2+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程,則()A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2 4.若方程kx+x=3x+1是一元二次方程,則k的取值范圍是 5.方程4x=3x-2+1的二次項(xiàng)是 ,一次項(xiàng)是 ,常數(shù)項(xiàng)是 222課后反思：

22.2解一元二次方程

第一課時(shí)

直接開平方法

教學(xué)目的

1．使學(xué)生掌握用直接開平方法解一元二次方程．

2．引導(dǎo)學(xué)生通過特殊情況下的解方程，小結(jié)、歸納出解一元二次方程ax+c=0(a＞0，c＜0)的方法． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：準(zhǔn)確地求出方程的根．

難點(diǎn)：正確地表示方程的兩個(gè)根． 教學(xué)過程

復(fù)習(xí)過程

回憶數(shù)的開方一章中的知識，請學(xué)生回答下列問題，并說明解決問題的依據(jù)．

求下列各式中的x：

1．x=225； 2．x-169=0；3．36x=49； 4．4x-25=0．

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222

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

解題的依據(jù)是：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)．

即 一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a(a≥0)，那么這樣的數(shù)有兩個(gè)，它們是互為相反數(shù)．

引入新課

我們已經(jīng)學(xué)過了一些方程知識，那么上述方程屬于什么方程呢？

新課

例1 解方程 x2-4=0．

解：先移項(xiàng)，得x2=4．

即x1=2，x2=-2．

這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．

例2 解方程(x+3)2=2．

練習(xí)：P28 1、2 歸納總結(jié)

1．本節(jié)主要學(xué)習(xí)了簡單的一元二次方程的解法——直接開平方法．

2．直接法適用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程． 布置作業(yè)：習(xí)題22.1 4、6題 達(dá)標(biāo)測試

1.方程x2-0.36=0的解是

A.0.6 B.-0.6 C.±6 D.±0.6 2.解方程:4x2+8=0的解為 A.x1=2 x2=-2 B.x1?2,x2??2

C.x1=4 x2=-4 D.此方程無實(shí)根 3.方程(x+1)2-2=0的根是

A.x1?1?2,x2?1?2 B.x1?1?2,x2??1?2

C.x1??1?2,x2?1?2 D.x1??1?2,x2??1?2

4.對于方程(ax+b)2=c下列敘述正確的是

靜下心來教書，潛下心來育人

A.不論c為何值,方程均有實(shí)數(shù)根 B.方程的根是x?c?b aC.當(dāng)c≥0時(shí),方程可化為:ax?b?D.當(dāng)c=0時(shí),x?5.解下列方程:

c或ax?b??c

b a①.5x-40=0 ②.(x+1)-9=0 ③.(2x+4)-16=0 ④.9(x-3)-49=0 課后反思

2222

第二課時(shí)

配方法

教學(xué)目的

1．使學(xué)生掌握用配方法解一元二次方程的方法．

2．使學(xué)生能夠運(yùn)用適當(dāng)變形的方法，轉(zhuǎn)化方程為易于用配方法求解的形式，來解某些一元二次方程．并由此體會轉(zhuǎn)化的思想． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握配方的法則．

難點(diǎn)：湊配的方法與技巧． 教學(xué)過程

復(fù)習(xí)過程

用開平方法解下列方程：

(1)x=441；(2)196x-49=0；

引入新課

我們知道，形如x-A=0的方程，可變形為x=A(A≥0)，再根據(jù)平方根的意義，用直接開平方法求解．那2么，我們能否將形如ax+bx+c=0(a＞0)的一類方程，化為上述形式求解呢？這正是我們這節(jié)課要解決的問題．

新課

我們研究方程x+6x+7=0的解法：

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2222

將方程視為：x+2·x·3=-7，即 x+2·x·3+3=3-7，∴(x+3)=2，22222

這種解一元二次方程的方法叫做配方法．這種方法的特點(diǎn)是：先把方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把左邊配成一個(gè)完全平方式，如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解．

例1 解方程x-4x-3=0．

配方法解之．在解的過程中，注意介紹配方的法則．

例2 解方程2x+3=7x． 22

練習(xí)：P34 1、2題 歸納總結(jié)

應(yīng)用配方法解一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的要點(diǎn)是：

(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為1；

(2)移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)；

(3)方程兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式.布置作業(yè)：習(xí)題22.2 1、3題 達(dá)標(biāo)測試

1.方程x-a=(x-a)(a≠0)的根是

A.a B.0 C.1或a D.0或a 2.已知關(guān)于x的方程(m+3)x+x+m+2m-3=0一根為0,另一根不為0,則m的值 為

A.1 B.-3 C.1或-3 D.以上均不對 3.若x-mx+

22222221是一個(gè)完全平方式,則m= 4A.1 B.-1 C.±1 D.以上均不對

4.方程x=5的解是 ,方程(x-1)=5的解是 ,方程(3x-1)=5的解是 5.①x?課后反思：

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215x? =(x-)2 ②x2?x? =(x+)2

第三課時(shí)

求根公式法

教學(xué)目的

1．使學(xué)生掌握一般一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)過程，并由此培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合和計(jì)算能力．

2．使學(xué)生掌握公式法解一元二次方程的方法． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：要求學(xué)生正確運(yùn)用求根公式解一元二次方程．

難點(diǎn)：1.求根公式的推導(dǎo)過程．

2.含有字母參數(shù)的一元二次方程的公式解法．

教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

提問：當(dāng)x2=c時(shí)，c≥0時(shí)方程才有解，為什么？

練習(xí)：用配方法解下列一元二次方程

(1)x2-8x=20；(2)2x2-6x-1=0．

引入新課

我們思考用配方法解一般形式的一元二次方程，應(yīng)如何配方來進(jìn)行求解？

新課

(引導(dǎo)學(xué)生討論)用配方法解一元二次方程ax

2+bx+c=0(a≠0)的步驟．

解：∵a≠0，兩邊同除以a，得

把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，并兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，得

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(a≠0)的求根公式．用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

應(yīng)用求根公式解一元二次方程的關(guān)鍵在于：

(1)將方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)；(2)將各項(xiàng)的系數(shù)a，b，c代入求根公式．

例1 解方程x2-3x+2=0.例2 解方程2x2+7x=4.例5 解關(guān)于x的方程 x2-m(3x-2m+n)-n2

=0．

練習(xí)P37 1題 歸納總結(jié)

1．本節(jié)課我們推導(dǎo)出了一元二次方程ax2

+bx+c=0(a≠0)的求根公式，即

要重點(diǎn)讓學(xué)生注意到應(yīng)用公式的大前提，即b2

-4ac≥0．

2．應(yīng)注意把方程化為一般形式后，再用公式法求解． 布置作業(yè)：習(xí)題22.2 5、8、10題 達(dá)標(biāo)測試

1.若代數(shù)式4x2-2x-5與2x2+1的值互為相反數(shù),則x的值為 A.1或?32 B.1或?23 C.-1或23 D.1或32

2.對于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列敘述正確的是 A.方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

B.只有當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),才有兩實(shí)根 C.當(dāng)b2-4ac<0時(shí),方程只有一個(gè)實(shí)根 D.當(dāng)b2-4ac=0時(shí),方程無實(shí)根

3.已知三角形兩邊長分別是1和2,第三邊的長為2x

2-5x+3=0的根,則這個(gè)三角形的周長是

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A.4 B.411 C.4或4 D.不存在 224.如果分式x2?2x?3的值為0,則x值為

x?3A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-3 5.把2?3x?(3?x)2化成ax+bx+c=0(a≠0)的形式后,則a= ,b= ,c=

26.若分式x?2x?x?22的值為0,則x=

27.已知x=-1是關(guān)于x的一元二次方程ax+bx+c=0的根,則22

2bc?=__________.aa8.若a+b+2a-4b+5=0,則關(guān)于x的方程ax-bx+5=0的根是___________.課后反思：

第四課時(shí)

因式分解法

教學(xué)目的

使學(xué)生掌握應(yīng)用因式分解法解某些系數(shù)較為特殊的一元二次方程的方法． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用因式分解法解一元二次方程．

難點(diǎn)：將方程化為一般形式后，對左側(cè)二次三項(xiàng)式的因式分解． 教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

1．在初一時(shí)，我們學(xué)過將多項(xiàng)式分解因式的哪些方法？

2．方程x=4的解是多少？

引入新課

方程x=4還有其他解法嗎？

新課

眾所周知，方程x=4還可用公式法解．

此法要比開平方法繁冗．本課，我們將介紹一種較為簡捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．

我們?nèi)砸苑匠蘹=4為例．

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222

2移項(xiàng)，得 x-4=0，對x-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0．

我們知道：

∴ x+2=0，x-2=0．

即 x1=-2，x2=2．

由上述過程我們知道：當(dāng)方程的一邊能夠分解成兩個(gè)一次因式而另一邊等于0時(shí)，即可解之．這種方法叫做因式分解法．

例1 解下列方程：

(1)x-3x-10=0；(2)(x+3)(x-1)=5．

在講例1(1)時(shí)，要注意講應(yīng)用十字相乘法分解因式；

講例1(2)時(shí)，應(yīng)突出講將方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．

例2 解下列方程：

(1)3x(x+2)=5(x+2)；(2)(3x+1)-5=0．

在講本例(1)時(shí)，要突出講移項(xiàng)后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0后求解；

再利用平方差公式因式分解后求解．

注意：在講完例

1、例2后，可通過比較來講述因式分解的方法應(yīng)“因題而宜”．

例3 解下列方程：

(1)3x-16x+5=0 ；(2)3(2x-1)=7x．

練習(xí)：P40 1、2題 歸納總結(jié)

對上述三例的解法可做如下總結(jié)：因式分解法解一元二次方程的步驟是

1．將方程化為一般形式；

2．把方程左邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次式的積；(用初一學(xué)過的分解方法)

3．使每個(gè)一次因式等于0，得到兩個(gè)一元一次方程；

4．解所得的兩個(gè)一元一次方程，得到原方程的兩個(gè)根． 布置作業(yè)：習(xí)題22.2 6、10題

達(dá)標(biāo)測試

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222222

1.對方程(1)(2x-1)=5,(2)x-x-1=0,(3)x(x?3)?3?x選擇合適的解法是 A.分解因式法、公式法、分解因式法 B.直接開平方法、公式法、分解因式法 C.公式法、配方法、公式法 D.直接開平方法、配方法、公式法

2．方程2x(x-3)=5(x-3)的根為 A.x?222552 B.x=3 C.x1?,x2?3 D.x? 2253.若x-5∣x∣+4=0,則所有x值的和是 A．1 B.4 C.0 D.1或4 5.若方程x+ax-2a=0的一根為1,則a的取值和方程的另一根分別是 A.1,-2 B.-1,2 C.1,2 D.-1,-2 5．已知3xy-xy-2=0，則x與y之積等于

6．關(guān)于x的一元二次方程(m+2)x+x-m-5m-6=0有一根為0，則m=。7．方程(x-1)(x-2)=0的兩根為x1,x2，且x1>x2,則x1-2x2的值是。8．方程x=∣x∣的解是 9.用因式分解法解下列方程:(1).(2x-1)+3(1-2x)=0(2).(1-3x)=16(2x+3)(3).x+6x-7=0 10.選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(1).(3-x)+x=9(2).(2x-1)+(1-2x)-6=0(3).(3x-1)=4(1-x)(4).2(x-1)=(1-x)2

2222

2222根據(jù)以上各方程的特點(diǎn),選擇解法的思路是:先特殊后一般.選擇解法的順序是:直接開平方法—因式分解法—公式法或配方法.配方法是普遍適用的方法,但不夠簡便,一般不常用.不過對于二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要簡單些.課后反思：

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第五課時(shí)

一元二次方程的根的判別式。

教學(xué)目的

1．使學(xué)生理解并掌握一元二次方程的根的判別式．

2．使學(xué)生掌握不解方程，運(yùn)用判別式判斷一元二次方程根的情況．

3.通過對含有字母系數(shù)方程的根的討論，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用一元二次方程根的判別式的論證能力和邏輯思維能力．培養(yǎng)學(xué)生思考問題的靈活性和嚴(yán)密性． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：一元二次方程根的判別式的內(nèi)容及應(yīng)用．

難點(diǎn)：1.一元二次方程根的判別式的推導(dǎo)．

2.利用根的判別式進(jìn)行有關(guān)證明

教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

1．一元二次方程的一般形式及其根的判別式是什么？

2．用公式法求出下列方程的解：

(1)3x＋x－10＝0；(2)x－8x＋16＝0；(3)2x－6x＋5＝0．

引入新課

通過上述一組題，讓學(xué)生回答出：一元二次方程的根的情況有三種，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；沒有實(shí)數(shù)根．

接下來向?qū)W生提出問題：是什么條件決定著一元二次方程的根的情況？這條件與方程的根之間又有什么關(guān)系呢？能否不解方程就可以明確方程的根的情況？這正是我們本課要探討的課題．(板書本課標(biāo)題)

新課

先討論上述三個(gè)小題中b－4ac的情況與其根的聯(lián)系．再做如下推導(dǎo)：

對任意一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，可將其變形為 222

22∵a≠0，∴4a＞0．

由此可知b－4ac的值的“三岐性”，即正、零、負(fù)直接影響著方程的根的情況．

(1)當(dāng)b－4ac＞0時(shí)，方程右邊是一個(gè)正數(shù)． 22

2靜下心來教書，潛下心來育人

(2)當(dāng)b－4ac＝0時(shí)，方程右邊是0． 2

通過以上討論，總結(jié)出：一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根的情況可由b－4ac來判定．故稱b－4ac2是一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根的判別式，通常用“△”來表示．

綜上所述，一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)

當(dāng)△＞0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△＝0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△＜0時(shí)，沒有實(shí)數(shù)根． 反過來也成立．

例1.不解方程，判別下列方程根的情況：

(1)2x＋3x－4＝0；(2)16y＋9＝24y；(3)5(x＋1)－7x＝0．

分析：要想確定上述方程的根的情況，只需算出“△”，確定它的符號情況即可． 例2．當(dāng)k取什么值時(shí)，關(guān)于x的方程2x-(4k+1)x+2k-1=0

(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；(3)方程沒有實(shí)數(shù)根．

例3.求證關(guān)于x的方程(k+1)x-2kx+(k+4)=0沒有實(shí)數(shù)根.歸納總結(jié)

應(yīng)用判別式解題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1．應(yīng)先把已知方程化為一元二次方程的一般形式，為應(yīng)用判別式創(chuàng)造條件．

2．一元二次方程根的判別式的逆命題也是成立的． 布置作業(yè)：習(xí)題22.2 4題 達(dá)標(biāo)測試

1.證明關(guān)于x的方程(x-1)(x-2)=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

2.已知a，b，c是△ABC的三邊的長，求證方程ax-(a+b-c)x+b=0沒有實(shí)數(shù)根．

靜下心來教書，潛下心來育人

3.若m≠n，求證關(guān)于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2

=0無實(shí)數(shù)根．

4.已知，關(guān)于x的方程（a-2）x2

-2（a-1）x+（a+1）＝0，當(dāng)a為何非負(fù)整數(shù)時(shí)； ①.方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.②方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.③方程沒有實(shí)數(shù)根.課后反思

第六課時(shí)

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

教學(xué)目的

1．使學(xué)生掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(即韋達(dá)定理)，并學(xué)會其運(yùn)用．

2．培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察以及利用求根公式進(jìn)行推理論證的能力． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：1.韋達(dá)定理的推導(dǎo)和靈活運(yùn)用．

2.已知方程求關(guān)于根的代數(shù)式的值

難點(diǎn)：用兩根之和與兩根之積表示含有兩根的各種代數(shù)式． 教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式應(yīng)如何表述？

2．上述方程兩根之和等于什么？兩根之積呢？

新課

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根為

由此得出，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在如下關(guān)系：(又稱“韋達(dá)定理”)

如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根是x1，x2，那么

我們再來看二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x

2＋px＋q＝0的根與系數(shù)的關(guān)系．

靜下心來教書，潛下心來育人

得出：

如果方程x2＋px＋q＝0的兩根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

由 x1＋x2＝－p，x1x2＝q 可知p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，∴ 方程x2＋px＋q＝0，即 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

這就是說，以兩個(gè)數(shù)x21，x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例1．已知方程5x2＋kx－6＝0的一個(gè)根是2，求它的另一根及k的值． 例2.下列各方程兩根之和與兩根之積各是什么？

(1)x2－3x－18＝0；(2)x2

＋5x＋4＝5；

(3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2

＋3x＝0．

練習(xí)P42 歸納總結(jié)

1．本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，應(yīng)在應(yīng)用過程中熟記定理．

2．要掌握定理的兩個(gè)應(yīng)用：

⑴.不解方程直接求方程的兩根之和與兩根之積； ⑵.已知方程一根求另一根及系數(shù)中字母的值． 布置作業(yè)：習(xí)題22.2 7題 達(dá)標(biāo)測試

1．方程2x2＋7x＋k＝0的兩根中有一個(gè)根為0，k為何值？

2.利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x2

＋3x－1＝0兩根的(1)平方和；(2)倒數(shù)和． 課后反思

第七課時(shí)

二次三項(xiàng)式的因式分解(公式法)教學(xué)目的

靜下心來教書，潛下心來育人

1．使學(xué)生理解二次三項(xiàng)式的意義及解方程和因式分解的關(guān)系．

2．使學(xué)生掌握用求根法在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)將二次三項(xiàng)式分解因式． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用求根法分解二次三項(xiàng)式．

難點(diǎn)：1.方程的同解變形與多項(xiàng)式的恒等變形的區(qū)別．

2.二元二次三項(xiàng)式的因式分解．

教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

解方程：1．x-x-6＝0； 2．3x-11x+10＝0； 3．4x+8x-1＝0．

引入新課

在解上述方程時(shí)，第1，2題均可用十字相乘法分解因式，迅速求解．而第3題則只有采用其他方法．此題給我們啟示，用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式，有時(shí)是無法做到的．是否存在新的方法能分解二次三項(xiàng)式呢？第3個(gè)方程的求解給我們以啟發(fā)．

新課

二次三項(xiàng)式ax+bx+c(a≠0)，我們已經(jīng)可以用十字相乘法分解一些簡單形式．下面我們介紹利用一元二次方程的求根公式將之分解的方法．

易知，解一元二次方程2x-6x+4＝0時(shí)，可將左邊分解因式，即2(x-1)(x-2)＝0，求得其兩根x1＝1，x2＝2.反之，我們也可利用一元二次方程的兩個(gè)根來分解二次三項(xiàng)式．即，令二次三項(xiàng)式為0，解此一元二次方程，求出其根，從而分解二次三項(xiàng)式．具體方法如下：

如果一元二次方程ax+bx+c＝0(a≠0)的兩個(gè)根是 222

22＝a[x-(x1+x2)x+x1x2] ＝a(x-x1)(x-x2)．

從而得出如下結(jié)論．

在分解二次三項(xiàng)式ax+bx+c的因式時(shí)，可先用公式求出方程ax+bx+c=0的兩根x1，x，然后寫成ax+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)．

靜下心來教書，潛下心來育人

例如，方程2x2-6x+4＝0的兩根是x1＝1，x2＝2．

則可將二次三項(xiàng)式分解因式，得2x2

-6x+4＝2(x-1)(x-2)．

例1 把4x2-5分解因式． 歸納總結(jié)

用公式法解決二次三項(xiàng)式的因式分解問題時(shí)，其步驟為：

1．令二次三項(xiàng)式ax2+bx+c＝0；

2．解方程(用求根公式等方法)，得方程兩根x1，x2；

3．代入a(x-x1)(x-x2)．

二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)分解因式的方法有三種，即

1．利用完全平方公式；

2．十字相乘法：

即x2+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)；

acx2+(ad+bc)x+bd＝(ax+b)(cx+d)．

3．求根法：

ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，(1)當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解；

(2)當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解． 布置作業(yè)：

對下列式子進(jìn)行因式分解

① 2x2+6x+4.②.4x2-4x+1 ③.-2x2

-4x+3.④.2x2

-8xy+5y2

課后反思

22.3一元二次方程的應(yīng)用

第一課時(shí)

教學(xué)目的

1．使學(xué)生會列出一元二次方程解應(yīng)用題．

2．使學(xué)生通過列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

靜下心來教書，潛下心來育人

重點(diǎn)：由應(yīng)用問題的條件列方程的方法．

難點(diǎn)：設(shè)“元”的靈活性和解的討論． 教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

1．一元二次方程有哪些解法？(要求學(xué)生答出：開方法、配方法、公式法、因式分解法．)

2．回憶一元二次方程解的情況．(要求學(xué)生按△＞0，△＝0，△＜0三種情況回答問題．)

3．我們已經(jīng)學(xué)過的列方程解應(yīng)用題時(shí)，有哪些基本步驟？(要求學(xué)生回答：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③根據(jù)等量關(guān)系列方程(組)；④解方程(組)；⑤檢驗(yàn)并寫出答案．)

引入新課

問題1：用一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，然后做成底面積為21500cm的無蓋長方形盒子．試問：應(yīng)如何求出截去的小正方形的邊長？

解：設(shè)小正方形邊長為xcm，則盒子底面的長、寬分別為(80-2x)cm及(60-2x)cm，依題意，可得(80-2x)(60-2x)＝1500，即 x-70x+825＝0．

當(dāng)時(shí)，我們不會解此方程．現(xiàn)在，可用求根公式解此方程了． 2

∴x1＝55，x2＝15．

當(dāng)x＝55時(shí)，80-2x＝-30，60-2x＝-50；

當(dāng)x＝15時(shí)，80-2x＝50，60-2X＝30．

由于長、寬不能取負(fù)值，故只能取x＝15，即小正方形的邊長為15cm．

問題2：剪一塊面積是150cm的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應(yīng)怎樣剪？

分析：要解決此問題，需求出鐵片的長和寬，由于長比寬多5cm，可設(shè)寬為未知數(shù)來列方程．

解：設(shè)這塊鐵片寬xcm，則長是(x+5)cm．依題意，得

x(x+5)＝150，即x+5x-150＝0．

∴x1＝10，x2＝-15(舍去)．

∴x＝10，x+5＝15．

答：應(yīng)將之剪成長15cm，寬10cm的形狀．

靜下心來教書，潛下心來育人

歸納總結(jié)

利用一元二次方程解應(yīng)用題的主要步驟仍是：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列方程；④解方程；⑤依題意檢驗(yàn)所得的根；⑥得出結(jié)論并作答． 布置作業(yè)：習(xí)題22.3 1、2、3、5題 課后反思

第二課時(shí)

教學(xué)目的

使學(xué)生掌握有關(guān)面積和體積方面以及“藥液問題”的一元二次方程應(yīng)用題的解法．提高學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用圖示法分析題意列方程．

難點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為對方程的求解問題.教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

本小節(jié)第一課我們介紹了什么問題？

引入新課

今天我們進(jìn)一步研究有關(guān)面積和體積方面以及“藥液問題”的一元二次方程的應(yīng)用題及其解法．

新課

例1 如圖1，有一塊長25cm，寬15cm的長方形鐵皮．如果在鐵皮的四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，2然后把四邊折起來，做成一個(gè)底面積為231cm的無蓋長方體盒子，求截去的小正方形的邊長應(yīng)是多少？

分析：如圖1，考慮設(shè)截去的小正方形邊長為xcm，則底面的長為(25-2x)cm，寬為(15-2x)cm，由此，知由長×寬＝矩形面積，可列出方程．

解：設(shè)小正方形的邊長為xcm，依題意，得(25-2x)(15-2x)＝231，即x-20x+36＝0，靜下心來教書，潛下心來育人

解得x1＝2，x2＝18(舍去)．

答：截去的小正方形的邊長為2cm．

例2 一個(gè)容器盛滿藥液20升，第一次倒出若干升，用水加滿；第二次倒出同樣的升數(shù)，這時(shí)容器里剩下藥液5升，問每次倒出藥液多少升？

∴x＝10．

答：第一、二次倒出藥液分別為10升，5升．

練習(xí)P41 3、4 歸納總結(jié)

1．注意充分利用圖示列方程解有關(guān)面積和體積的應(yīng)用題．

2．要注意關(guān)于“藥液問題”應(yīng)用題，列方程要以“剩下藥液”為依據(jù)列式． 布置作業(yè)：習(xí)題22.3 8、9題 課后反思

第三課時(shí)

教學(xué)目的

使學(xué)生掌握列一元二次方程解關(guān)于增長率的應(yīng)用題的方法．并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：弄清有關(guān)增長率的數(shù)量關(guān)系．

難點(diǎn)：利用數(shù)量關(guān)系列方程的方法． 教學(xué)過程

復(fù)習(xí)提問

1．問題：(1)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，產(chǎn)品總數(shù)為1600個(gè)，合格品數(shù)為1563個(gè)，合格率是多少？

(2)某種田農(nóng)戶用800千克稻谷碾出600千克大米，問出米率是多少？

(3)某商店二月份的營業(yè)額為3.5萬元，三月份的營業(yè)額為5萬元，三月份與二月份相比，營業(yè)額的增長率是多少？

新課

例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個(gè)月平均每月增產(chǎn)的百分率是多少？

分析：用譯式法討論列式

靜下心來教書，潛下心來育人

一月份產(chǎn)量為5000噸，若月增長率為x，則二月份比一月份增產(chǎn)5000x噸．

二月份產(chǎn)量為(5000+5000x)＝5000(1+x)噸；

三月份比二月份增產(chǎn)5000(1+x)x噸，三月份產(chǎn)量為5000(1+x)+5000(1+x)x＝5000(1+x)噸．再根據(jù)題意，即可列出方程．

解：設(shè)平均每月增長的百分率為x，根據(jù)題意，得5000(1+x)＝7200，即(1+x)＝1.44，∴1+x＝±1.2，x1＝0.2，x2＝-2.2(不合題意，舍去)．

答：平均每月增長率為20％．

例2 某印刷廠一月份印刷了科技書籍50萬冊，第一季度共印182萬冊，問二、三月份平均每月的增長率是多少？

解：設(shè)每月增長率為x，依題意得

50+50(1+x)+50(1+x)＝182，2

22答：

二、三月份平均月增長率為20％． 歸納總結(jié)

依題意，依增長情況列方程是此類題目解題的關(guān)鍵． 布置作業(yè)：習(xí)題22.3 7題 課后反思

靜下心來教書，潛下心來育人

第四篇：一元二次方程的解法初中數(shù)學(xué)教案

1． 初步掌握用直接開平方法解一元二次方程，會用直接開平方法解形如 的方程； 2． 初步掌握用配方法解一元二次方程，會用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程； 3． 掌握一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)，能夠運(yùn)用求根公式解一元二次方程； 4． 會用因式分解法解某些一元二次方程。

5． 通過對一元二次方程解法的教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步理解“降次”的數(shù)學(xué)方法，進(jìn)一步獲得對事物可以轉(zhuǎn)化的認(rèn)識。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：一元二次方程的四種解法。

難點(diǎn)：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?。教學(xué)建議：

一、教材分析：

1．知識結(jié)構(gòu)：一元二次方程的解法

2．重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

（1）熟練掌握開平方法解一元二次方程

用開平方法解一元二次方程，一種是直接開平方法，另一種是配方法。

如果一元二次方程的一邊是未知數(shù)的平方或含有未知數(shù)的一次式的平方，另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，或完全平方式，如方程，和方程 就可以直接開平方法求解，在開平方時(shí)注意取正、負(fù)兩個(gè)平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，轉(zhuǎn)化為 的形式來求解。配方時(shí)要注意把二次項(xiàng)系數(shù)化為1和方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方這兩個(gè)關(guān)鍵步驟。

（2）熟記求根公式（）和公式中字母的意義在使用求根公式時(shí)要注意以下三點(diǎn)：

1）把方程化為一般形式，并做到、、之間沒有公因數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)為正整數(shù)，這樣代入公式計(jì)算較為簡便。

2）把一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)、、代入公式時(shí)，注意它們的符號。

3）當(dāng) 時(shí)，才能求出方程的兩根。

（3）抓住方程特點(diǎn)，選用因式分解法解一元二次方程

如果一個(gè)一元二次方程的一邊是零，另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式時(shí)，就可以用因式分解法求解。這時(shí)只要使每個(gè)一次因式等于零，分別解兩個(gè)一元一次方程，得到兩個(gè)根就是一元二次方程的解。

我們共學(xué)習(xí)了四種解一元二次方程的方法：直接開平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程時(shí)，要認(rèn)真觀察方程的特征，選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻?/p>

二、教法建議

1． 教學(xué)方法建議采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識必須通過學(xué)生自己一系列思維活動(dòng)完成，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì)．

2.注意培養(yǎng)應(yīng)用意識．教學(xué)中應(yīng)不失時(shí)機(jī)地使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)源于實(shí)踐并反作用于實(shí)踐．

第五篇：實(shí)際問題與一元二次方程教案

教學(xué)過程

〖活動(dòng)1〗 問題 通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家學(xué)到了哪些知識和方法？ 教師提出問題，學(xué)生回憶，選一位同學(xué)作答，其他同學(xué)補(bǔ)充.在本次活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：（1）學(xué)生對列方程解應(yīng)用問題的步驟 是否清楚；（2）學(xué)生能否說出每一步驟的關(guān)鍵和應(yīng)注意問題.（活動(dòng)1為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)回憶、思考的情景，又是本課一種很自然的引入，為本課的探究活動(dòng)做好鋪墊）.〖活動(dòng)2〗 問題 要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長27cm ,寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）.（1）本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？

（2）正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形如何理解？（3）如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)？（4）列方程并得出結(jié)論.（5）反思解決問題的關(guān)鍵是什么？

教師展示課件，教師提出問題（1）學(xué)生分析，請一位同學(xué)回答，教師在題目中指出數(shù)量關(guān)系.教師提出問題（2）學(xué)生思考，請一位同學(xué)回答，可舉簡單例子說明，最后引導(dǎo)學(xué)生得出正中央矩形的長寬比是9︰7.問題（1）（2）都是幫助學(xué)生更好的理解題意，為后面的解題做以鋪墊.教師提出問題（3）學(xué)生分組討論，選代表上臺演示、回答，每位同學(xué)要著重分析對題目中的數(shù)量關(guān)系的處理方法.問題（3）是活動(dòng)2的中心環(huán)節(jié)，在本次活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：（1）學(xué)生對幾何圖形的分析能力；（2）學(xué)生在未知數(shù)的選擇上，能否根據(jù)情況，靈活處理；（3）在討論中能否互相合作；（4）學(xué)生回答問題時(shí)的語言表達(dá)是否準(zhǔn)確.學(xué)生充分的討論，得出多種不同的方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生體會解決問題的方法多樣性.為活動(dòng)3埋下一個(gè)伏筆.教師提出問題（4）學(xué)生分組，分別按問題三中所列的方程來解答，選代表展示解答過程.教師提出問題（5）學(xué)生充分的討論，豐富解題經(jīng)驗(yàn).〖活動(dòng)3〗某校為了美化校園,準(zhǔn)備在一塊長32米,寬20米的長方形場地上修筑若干條寬度相同的道路,余下部分作草坪,并請全校同學(xué)參與設(shè)計(jì),現(xiàn)在有兩位學(xué)生各設(shè)計(jì)了一種方案(如圖),根據(jù)兩種設(shè)計(jì)方案各列出方程,求圖中道路的寬分別是多少?使圖(1),(2)的草坪面積為540米2.教師展示課件，請一位同學(xué)朗讀題目.教師提出問題，學(xué)生回答方案1，學(xué)生通過探究與討論，活躍了解題思路.教師提出方案（2）學(xué)生思考.因?yàn)橛谢顒?dòng)2的基礎(chǔ)，選一位同學(xué)回答這一組問題即可，如有不完全的地方，教師適當(dāng)補(bǔ)充.教師做屏幕演示，特別提醒學(xué)生：剩余草坪的面積，是否就是原草坪的面積減去2條路的面積？以引導(dǎo)學(xué)生注意道路重疊部分的處理.活動(dòng)2是針對活動(dòng)2的鞏固性練習(xí).《思考》：能不能把縱、橫兩條路移動(dòng)一下，使列方程容易些？ 學(xué)生分組討論，教師指導(dǎo).引領(lǐng)學(xué)生 討論后請一位同學(xué)回答.教師引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖形都存重疊部分，但除此之外的剩余部分，第一個(gè)圖是一個(gè)完整的矩形，易于表示；而第二個(gè)圖中分為4塊，所以不容易表示.《思考》是活動(dòng)3的中心環(huán)節(jié)，以圖形對比的問題為 引導(dǎo)，通過對比兩個(gè)圖形的聯(lián)系與區(qū)別，啟發(fā)學(xué)生方案1為模型，構(gòu)建草坪問題的解題思路.學(xué)生分組討論，畫圖，上臺演示.教師與學(xué)生一起評價(jià)，總結(jié)圖形變換的基本原則.在本次活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：（1）學(xué)生的學(xué)習(xí)效果；（2）使學(xué)生充分體會圖形變換的靈活性；（3）學(xué)生對圖形的觀察、聯(lián)想能力；（4）教師要強(qiáng)調(diào)圖形變換中圖形改變、位置改變、關(guān)鍵量不變的原則.在學(xué)生充分的思維活動(dòng)之后，學(xué)生會自然產(chǎn)生動(dòng)手實(shí)踐的欲望，教師可以給學(xué)生一定的空間去發(fā)揮想象，同時(shí)也要注意對圖形變換的指導(dǎo)，可以對部分不太合適的答案也進(jìn)行一下點(diǎn)評.〖活動(dòng)4〗 問題 通過本課的學(xué)習(xí)，大家有什么新的收獲和體會？

〖活動(dòng)5〗當(dāng)堂測試

布置作業(yè)： 教科書53頁，習(xí)題21.3第5、8題;教科書58頁，復(fù)習(xí)題21第7、10題，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：