第一篇：三角形專項(xiàng)復(fù)習(xí)教案.

三角形專項(xiàng)復(fù)習(xí)

一、單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：

二、考試目標(biāo)要求：

1．了解三角形有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線），會(huì)畫(huà)出任意三角形的角平分線、中

線和高，了解三角形的穩(wěn)定性.2．探索并掌握三角形中位線的性質(zhì).3．了解全等三角形的概念，探索并掌握兩個(gè)三角形全等的條件.4．了解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)和一個(gè)三角形是等腰三角形的條件；

了解等邊三角形的概念并探索其性質(zhì).5．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)和一個(gè)三角形是直角三角形的條件.6．體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程，會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；會(huì)用勾股定理的逆定理判定直角三角形.三、知識(shí)考點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、三角形的概念及其性質(zhì)

1．三角形的概念

由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2．三角形的分類

(1)按邊分類：

(2)按角分類：

3．三角形的內(nèi)角和外角

(1)三角形的內(nèi)角和等于180°.(2)三角形的任一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.4．三角形三邊之間的關(guān)系

三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.5．三角形內(nèi)角與對(duì)邊對(duì)應(yīng)關(guān)系

在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊；在同一三角形中，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊.6．三角形具有穩(wěn)定性.知識(shí)點(diǎn)二、三角形的“四心”和中位線

三角形中的四條特殊的線段是：高線、角平分線、中線、中位線.1．內(nèi)心：

三角形角平分線的交點(diǎn)，是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等.2．外心：

三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，是三角形外接圓的圓心，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.3．重心：

三角形三條中線的交點(diǎn)，它到每個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.4．垂心：

三角形三條高線的交點(diǎn).5．三角形的中位線：

連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段是三角形的中位線.中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.要點(diǎn)詮釋：

(1)三角形的內(nèi)心、重心都在三角形的內(nèi)部.(2)鈍角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.(3)直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn)，外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn).(4)銳角三角形的垂心、外心都在三角形的內(nèi)部.知識(shí)點(diǎn)

三、全等三角形 1．定義：

能完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.2．性質(zhì)：

(1)對(duì)應(yīng)邊相等

(2)對(duì)應(yīng)角相等

(3)對(duì)應(yīng)角的平分線、對(duì)應(yīng)邊的中線和高相等

(4)周長(zhǎng)、面積相等 3．判定：

(1)邊角邊(SAS)

(2)角邊角(ASA)

(3)角角邊(AAS)

(4)邊邊邊(SSS)

(5)斜邊直角邊(HL)(適用于直角三角形)

要點(diǎn)詮釋：

判定三角形全等至少必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等.知識(shí)點(diǎn)

四、等腰三角形 1．定義：

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2．性質(zhì)：

(1)具有三角形的一切性質(zhì).(2)兩底角相等(等邊對(duì)等角)

(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)

(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°.3．判定：

(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)；

(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

(3)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.要點(diǎn)詮釋：

(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；

(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形.知識(shí)點(diǎn)

五、直角三角形 1．定義：

有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.2．性質(zhì)：

(1)直角三角形中兩銳角互余；

(2)直角三角形中，30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；

(7)SRt△ABC=3．判定： ch=ab，其中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高.(1)兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；

(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對(duì)的角是直角，則這個(gè)三角形是直角三角形.(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形，第三邊為斜邊.知識(shí)點(diǎn)

六、線段垂直平分線和角平分線 1．線段垂直平分線：

經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并且垂直這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.線段垂直平分線的定理：

(1)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.(2)與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.線段垂直平分線可以看作是與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.2．角平分線的性質(zhì)：

(1)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；

(2)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上；

(3)角的平分線可以看做是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合.四、規(guī)律方法指導(dǎo) 1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想

本單元中所學(xué)的三角形性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、直角三角形中的勾股定理等，都是在結(jié)合圖形的基礎(chǔ)上，求線段或角的度數(shù)，證明線段或角相等.在幾何學(xué)習(xí)中，應(yīng)會(huì)利用幾何圖形解決實(shí)際問(wèn)題.2．分類討論思想

在沒(méi)給圖形的前提下，畫(huà)三角形或三角形一邊上的高、三角形的垂心、外心時(shí)要考慮分類：三種情況，銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.3.化歸與轉(zhuǎn)化思想

在解決利用三角形的基礎(chǔ)知識(shí)計(jì)算、證明問(wèn)題時(shí)，通過(guò)做輔助線、利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行準(zhǔn)確推理等轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個(gè)相對(duì)較容易解決的或者已經(jīng)有解決模式的問(wèn)題，已知與未知之間的轉(zhuǎn)化；數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；一般與特殊的轉(zhuǎn)化.4．注意觀察、分析、總結(jié)

應(yīng)將三角形的判定及性質(zhì)作為重點(diǎn)，對(duì)于特殊三角形的判定及性質(zhì)要記住并能靈活運(yùn)用，注重積累解題思路和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問(wèn)題的能力和培養(yǎng)，淡化純粹的幾何證明.學(xué)會(huì)演繹推理的方法，提高邏輯推理能力和邏輯表達(dá)能力，掌握幾何證明中的分析，綜合，轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.經(jīng)典例題透析

考點(diǎn)一、三角形的概念及其性質(zhì)

例1．（1）（2010山東濟(jì)寧）若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2︰3︰4，那么這個(gè)三角形是（）

A.直角三角形

B.銳角三角形

C.鈍角三角形

D.等邊三角形

思路點(diǎn)撥：三角形的內(nèi)角和為180°，三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的份數(shù)和是9，每一份度數(shù)是20，則三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為40°、60°、80°，是銳角三角形.答案：B

（2）三角形的三邊分別為3，1-2a，8，則a的取值范圍是()

A．-6＜a＜-3

B．-5＜a＜-2

C．2＜a＜5

D．a(chǎn)＜-5或a＞-2

思路點(diǎn)撥：涉及到三角形三邊關(guān)系時(shí)，盡可能簡(jiǎn)化運(yùn)算，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.解析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系得：8-3＜1-2a＜8+3，解得-5＜a＜-2，應(yīng)選B.舉一反三：

【變式1】已知a，b，c為△ABC的三條邊，化簡(jiǎn)

思路點(diǎn)撥：本題利用三角形三邊關(guān)系，使問(wèn)題代數(shù)化，從而化簡(jiǎn)得出結(jié)論.解析：∵a，b，c為△ABC的三條邊 ∴a-b-c＜0，b-a-c＜0

∴

=(b+c-a)+(a+c-b)=2c.得_________.【變式2】有五根細(xì)木棒，長(zhǎng)度分別為1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，現(xiàn)任取其中的三根木棒，組成一個(gè)三角形，問(wèn)有幾種可能()A.1種

B.2種

C.3種

D.4種 解析：只有3、5、7或3、7、9或5、7、9三種.應(yīng)選C.【變式3】等腰三角形中兩條邊長(zhǎng)分別為3、4，則三角形的周長(zhǎng)是_________.思路點(diǎn)撥：要分類討論，給出的邊長(zhǎng)中，可能分別是腰或底.注意滿足三角形三邊關(guān)系.解析：(1)當(dāng)腰為3時(shí)，周長(zhǎng)=3+3+4=10；(2)當(dāng)腰為4時(shí)，周長(zhǎng)=3+4+4=11.所以答案為10或11.例2．（1）（2010寧波市）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是△ABC、△BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）

A．5個(gè)

B．4個(gè)

C．3個(gè)

D．2個(gè)

考點(diǎn)：等腰三角形

答案：A

（2）如圖在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，則∠CBD的度數(shù)是______.考點(diǎn)：直角三角形兩銳角互余.解析：△ABC 中，∠C=∠ABC-∠A =90°-50°=40°

又∵BD∥AC，∴∠CBD=∠C=40°.例3．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C滿足關(guān)系式∠B+∠C=3∠A，則此三角形中()

A.一定有一個(gè)內(nèi)角為45°

B.一定有一個(gè)內(nèi)角為60°

C.一定是直角三角形

D.一定是鈍角三角形

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和180°.思路點(diǎn)撥：會(huì)靈活運(yùn)和三角形內(nèi)角和等于180°這一定理，即∠B+∠C=180°-∠A.解析：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A

∵∠B+∠C=3∠A，∴180°-∠A=3∠A，∴ ∠A=45°，∴選A，其它三個(gè)答案不能確定.舉一反三：

【變式1】下圖能說(shuō)明∠1＞∠2的是()

考點(diǎn)：三角形外角性質(zhì).思路點(diǎn)撥：本類題目考查學(xué)生了解三角形外角大于任何一個(gè)不相鄰的內(nèi)角.解析：A中∠1和∠2是對(duì)頂角，∠1=∠2；B中∠1和∠2是同位角，若兩直線平行則相等，不平行則不一定相等；C中∠1是三角形的一個(gè)外角，∠2是和它不相鄰的內(nèi)角，所以∠1＞∠2.D中∠1和∠2的大小相等.故選C.總結(jié)升華：三角形內(nèi)角和180°以及邊角之間的關(guān)系，在習(xí)題中往往是一個(gè)隱藏的已知條件，在做題時(shí)要注意審題，并隨時(shí)作為檢驗(yàn)自己解題是否正確的標(biāo)準(zhǔn).【變式2】如果三角形的一個(gè)內(nèi)角等于其他兩個(gè)內(nèi)角的和，這個(gè)三角形是()

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.不能確定

思路點(diǎn)撥：理解直角三角形定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和得出結(jié)論.解析：若△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C中，∠A+∠B=∠C

又∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠C=180°，可得∠C=90°，所以選C.【變式3】下列命題：(1)等邊三角形也是等腰三角形；(2)三角形的外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和；(3)三角形中最大的內(nèi)角不能小于60°；(4)銳角三角形中，任意兩內(nèi)角之和必大于90°，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()

A.0 個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)

思路點(diǎn)撥：本題的解題關(guān)鍵是要理解定義，掌握每種三角形中角的度數(shù)的確定.解析：(2)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形中最大的內(nèi)角若小于60°，則三個(gè)角的和就小于180°，不符合三角形內(nèi)角和定理，故(3)正確；(4)三角形中，任意兩內(nèi)角之和若不大

于90°，則另一個(gè)內(nèi)角就大于或等于90°，就不能是銳角三角形.所以中有(2)錯(cuò)，故選B.考點(diǎn)二、三角形的“四心”和中位線

例4．（1）與三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的()

A.二條中線的交點(diǎn)

B.二條高線的交點(diǎn)

C.三條角平分線的交點(diǎn)

D.三邊中垂線的交點(diǎn)

考點(diǎn)：線段垂直平分線的定理.思路點(diǎn)撥：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是外心，是三角形外接圓的圓心，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.答案D若改成二邊中垂線的交點(diǎn)也正確.（２）（2010四川眉山）如圖，將第一個(gè)圖（圖①）所示的正三角形連結(jié)各邊中點(diǎn)進(jìn)行分割，得到第二個(gè)圖（圖②）；再將第二個(gè)圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，得到第三個(gè)圖（圖③）；再將第三個(gè)圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，……，則得到的第五個(gè)圖中，共有________個(gè)正三角形．

考點(diǎn)：三角形中位線找規(guī)律

思路點(diǎn)撥：圖①有１個(gè)正三角形；圖②有（１＋４）個(gè)正三角形；

圖③有（１＋４＋４）個(gè)正三角形；圖④有（１＋４＋４＋４）個(gè)正三角形；

圖⑤有（１＋４＋４＋４＋４）個(gè)正三角形；…．

答案：17

例5．一個(gè)三角形的內(nèi)心在它的一條高線上，則這個(gè)三角形一定是()

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等邊三角形

考點(diǎn)：三角形角平分線定理.思路點(diǎn)撥：本題考查三角形的內(nèi)心是三角形角平分線的交點(diǎn)，若內(nèi)心在一條高線上，又符合三線合一的性質(zhì).所以該三角形是等腰三角形.故選B.舉一反三：

【變式1】如圖，已知△ABC中，∠A=58°，如果(1)O為外心；(2)O為內(nèi)心；(3)O為垂心；分別求∠BOC的度數(shù).考點(diǎn)：三角形外心、內(nèi)心、垂心性質(zhì).解析：∠A是銳角時(shí)，(1)O為外心時(shí)，∠BOC=2∠A =116°；

(2)O為內(nèi)心時(shí)，∠BOC=90°+∠A=119°；

(3)O為垂心，∠BOC=180°-∠A=122°.【變式2】如果一個(gè)三角形的內(nèi)心，外心都在三角形內(nèi)，則這個(gè)三角形是()

A.銳角三角形

B.只有兩邊相等的銳角三角形

C.直角三角形

D.銳角三角形或直角三角形

解析：三角形的內(nèi)心都在三角形內(nèi)部；銳角三角形外心在三角形內(nèi)部；直角三角形的外心在三角形斜邊的中點(diǎn)上、鈍角三角形的外心三角形外部.故選A.【變式3】能把一個(gè)三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形的線段，是三角形的()

A.中線

B.高線

C.邊的中垂線

D.角平分線

思路點(diǎn)撥：三角形面積相等，可利用底、高相等或相同得到.解析：三角形的一條中線分得的兩個(gè)三角形底相等，高相同.應(yīng)選A.例6．（1）（2010廣東茂名）如圖，吳伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC，已知點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，量得EF＝5米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞，則需用籬笆的長(zhǎng)是（）

A、15米

B、20米

C、25米

D、30米

考點(diǎn)：三角形中位線定理.思路點(diǎn)撥：ＢＥ=ＡＥ＝５，ＣＦ＝ＦＡ＝５，ＢＣ＝２ＥＦ＝１０

答案：C

（2）已知△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶2∶4，AB=12厘米，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點(diǎn)，則△DEF

的周長(zhǎng)是________.考點(diǎn)：三角形中位線定理.思路點(diǎn)撥：本題考查三角形的中位線，先求出△ABC各邊的邊長(zhǎng)，由三條中位線構(gòu)成的△DEF是原三角形周長(zhǎng)的一半.解析：由已知求出△ABC另兩邊長(zhǎng)為BC=8厘米，AC=16厘米

∵D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點(diǎn)，∴DE、EF、DF是△ABC的中位線

∴DE=

舉一反三： AC=8 EF=AB=6 DF=BC=4，∴△DEF的周長(zhǎng)等于8+6+4=18厘米.【變式1】求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.思路點(diǎn)撥：本題考查三角形的中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.解析：已知：如圖，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC.求證：AE、DF互相平分.證明：連結(jié)DE、EF

∵AD=DB，BE=CE

∴DE∥AC(三角形中位線定理)

同理EF∥AB

∴四邊形ADEF是平行四邊形

∴AE、DF互相平分(平行四邊形的對(duì)角線互相平分).【變式2】已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，四邊形EFGH是平行四邊形嗎?為什么?

思路點(diǎn)撥：考慮到E、F是AB、BC的中點(diǎn)，因此連結(jié)AC，就得到EF是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得，證明：連結(jié)AC，同理，則EF∥GH，EF=GH，所以四邊形EFGH是平行四邊形.∵E、F是AB、BC的中點(diǎn)，∴EF=，EF∥AC

同理，GH=，GH∥AC，∴EF∥GH，EF=GH

∴四邊形EFGH是平行四邊形.考點(diǎn)

三、全等三角形

例7．對(duì)于下列各組條件，不能判定△

≌△的一組是()

A.∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′

B.∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′

C.∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′

D.AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′

思路點(diǎn)撥：判定三角形全等的條件中，已知兩邊及一角必須是兩邊及其夾角，而已知兩角一邊和三邊都可以判定三角形全等.解析：A可利用ASA判定；B可利用SAS判定；D可利用SSS判定.而C是兩邊和一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，不能判定三角形全等.故選C.舉一反三：

【變式1】?jī)蓚€(gè)三角形有以下三對(duì)元素對(duì)應(yīng)相等，則不能判定全等的是()

A.一邊和任意兩個(gè)角

B.兩邊和它們的夾角

C.兩個(gè)角和它們一角的對(duì)邊

D.三角對(duì)應(yīng)相等

思路點(diǎn)撥：兩個(gè)三角形中，三角對(duì)應(yīng)相等不能證明三角形全等.解析：A的判定方法為ASA或AAS；B的判定方法為SAS；C的判定方法為AAS；要判定三角形全等必須有一個(gè)元素是邊，所以D不能判定.故選D.例8．（2010湖南長(zhǎng)沙）在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，E為AC上一點(diǎn)，連接EB、ED．

（1）求證：△BEC≌△DEC；

（2）延長(zhǎng)BE交AD于F，當(dāng)∠BED=120°時(shí)，求∠EFD的度數(shù)．

第8題圖

考點(diǎn)：三角形全等的判定及性質(zhì).思路點(diǎn)撥：（1）利用ASA判定;(2)利用 △BEC≌△DEC

答案：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°

又EC＝EC

∴△ABE≌△ADE

（2）∵△ABE≌△ADE

∴∠BEC＝∠DEC＝∠BED

∵∠BED＝120°∴∠BEC＝60°＝∠AEF

∴∠EFD＝60°+45°＝105°

舉一反三：

【變式1】如圖，已知:AC =DB，要使

≌，只需增加一個(gè)條件是___________.考點(diǎn)：三角形全等的判定.思路點(diǎn)撥：增加條件判定三角形全等時(shí)，題中已有一條公共邊這一條件，答案不唯一.解析：填A(yù)B=DC，可利用SSS；填∠ACB=∠DBC，可利用SAS.【變式2】如圖，已知，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距離是_____

考點(diǎn)：利用三角形全等的性質(zhì)證明線段或角相等.思路點(diǎn)撥：本題作出M到AB的距離，可以利用證三角形全等求距離.更簡(jiǎn)單的是利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等.解法一：過(guò)M作MD⊥AB于D，∴∠MDA=∠C=90°

∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠DAM

∵AM=AM，∴△AMC≌△AMD(AAS)，∴MD=CM=20cm

解法二：過(guò)M作MD⊥AB于D

∵∠C=90°，∴MC⊥AC

∵AM平分∠CAB，∴MD=CM=20cm 考點(diǎn)

四、等腰三角形與直角三角形

例9．（1）（2010湖北黃石）如圖，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分線交AC于D，則∠CBD的度數(shù)為_(kāi)____________.思路點(diǎn)撥：等腰三角形的性質(zhì)

答案：45°

（2）等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于()

A.頂角的2倍

B.頂角的一半

C.頂角

D.底角的一半

思路點(diǎn)撥：本題適用于任何一種等腰三角形.總結(jié)規(guī)律，等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于頂角的一半.解析：如圖，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=90°-

答案：B.(180-∠A)= ∠A，例10．△ABC等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CD，不添加輔助線，請(qǐng)你寫(xiě)出盡可能多的結(jié)論.思路點(diǎn)撥：本題是先猜想再驗(yàn)證的探索性題型，關(guān)鍵是掌握等邊三角形及三線合一的性質(zhì).答案：如：①DB=DE；②BD⊥AC；③∠DBC=∠DEC=30°；④△ABD≌△CBD； ⑤∠CDE=30°；⑥BD平分∠ABC等.總結(jié)升華：等腰三角形是特殊的三角形，具有對(duì)稱性，邊、角之間的聯(lián)系較多；三線合一的性質(zhì)在解題時(shí)應(yīng)用廣泛，但經(jīng)常被忽略，應(yīng)注意靈活運(yùn)用.舉一反三：

【變式1】若一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為50°、80°，則這個(gè)三角形是_________三角形.考點(diǎn)：等腰三角形的判定.思路點(diǎn)撥：會(huì)根據(jù)三角形內(nèi)角的度數(shù)判斷三角形的形狀.解析：三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為50°、80°，則另一個(gè)內(nèi)角為50°，這個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，所以是等腰三角形.總結(jié)升華：三角形是按邊和角進(jìn)行分類的，會(huì)根據(jù)題意判斷三角形的形狀.【變式2】已知等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，且BD⊥AC，垂足為D，求∠DBC的度數(shù).思路點(diǎn)撥：本題利用三角形內(nèi)角和求出∠C，從而得出結(jié)論.解：∵等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，∠ABC+∠C+∠A=180°

∴∠C=72°，∵BD⊥AC，∴∠DBC+∠C=90°，∴∠DBC=90°-72°=18°.【變式3】把腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形折疊兩次后，得到的一個(gè)小三角形的周長(zhǎng)是________.解析：本題是動(dòng)手操作題型，展開(kāi)后會(huì)發(fā)現(xiàn)小三角形一邊恰好是原三角形的中位線，從而得出小三角

形的周長(zhǎng)就是原三角形周長(zhǎng)的一半.答案：.例11．如果線段a、b、c能組成直角三角形，則它們的比可以是()

A.1：2：4

B.1：3：5

C.3：4：7 D.5：12：13

考點(diǎn)：考查勾股定理的逆定理.思路點(diǎn)撥：常見(jiàn)的一些勾股數(shù)如：3、4、5；5、12、13；7、24、25及倍數(shù)等，應(yīng)熟練掌握.解析：D中設(shè)三邊的比中每一份為k，則(5k)2+(12k)2=(13k)2，所以該三角形是直角三角形.其它答案都不滿足，故選D.例12．（1）（2010年江蘇無(wú)錫）

①如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn),P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)．若∠AMN=90°，求證：AM=MN．

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．

證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．

（下面請(qǐng)你完成余下的證明過(guò)程）

②若將①中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2）,N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠AMN=60°時(shí)，結(jié)論AM=MN是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

③若將①中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCD…X”，請(qǐng)你作出猜想：

當(dāng)∠AMN=_____________°時(shí)，結(jié)論AM=MN仍然成立．（直接寫(xiě)出答案，不需要證明）

考點(diǎn)：考查三角形全等知識(shí)，輔助線的做法.解：（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM=1355°，∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°

在△AEM和△MCN中：∵

（2）仍然成立．

在邊AB上截取AE=MC，連接ME

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACP=120°．

∵AE=MC，∴BE=BM

∴∠BEM=∠EMB=60°

∴∠AEM=120°．

∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，∴∠AEM=∠MCN=120°

∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM

∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

（3）

如圖所示折疊，使頂點(diǎn)

落在點(diǎn).已知，則

（2）將一張矩形紙片折痕的長(zhǎng)為()

A.B.C.D.考點(diǎn)：勾股定理和直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半.思路點(diǎn)撥：考查學(xué)生了解折疊前后圖形的變化，找出對(duì)應(yīng)相等的量，運(yùn)用勾股定理解答.解析：由折疊可知，∠CED=∠C′ED =30°，因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，∠C等于90°，CD=AB=2，所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故選C.總結(jié)升華：直角三角形是常見(jiàn)的幾何圖形，在習(xí)題中比較多的利用數(shù)形結(jié)合解決相應(yīng)的問(wèn)題.常用的是兩銳角互余，三邊滿足勾股定理.舉一反三：

【變式1】下列條件能確定△ABC是直角三角形的條件有()

(1)∠A+∠B=∠C；(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3；(3)∠A=90°-∠B；(4)∠A=∠B=

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

考點(diǎn)：直角三角形三個(gè)內(nèi)角之間關(guān)系.∠C.解析:三角形中有一個(gè)角是90°，就是直角三角形.題中四個(gè)關(guān)系式都可以解得△ABC中∠C =90°.故選D.【變式2】如圖，一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=4cm，BC=8cm，將△ABC折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則DE的長(zhǎng)為()

A.B.C.D.5

考點(diǎn)：勾股定理和線段垂直平分線定理.解析：由折疊可知，AD=BD，DE⊥AB，∴BE=

設(shè)BD為x，則CD=8-x

AB

∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2

∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=

在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5

在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即（【變式3】已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.(1)若∠BAC=30°，求證: AD=BD；)2+DE2=52，∴DE= 故選B.(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度數(shù).圖1

圖2

思路點(diǎn)撥：(1)利用直角三角形兩銳角互余，求得∠ABD=∠A=30°，得出AD=BD.(2)利用三角形內(nèi)角和及角平分線定義或利用三角形外角性質(zhì).解析：

(1)證明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴ ∠ABC=60°

又∵ BD平分∠ABC，∴∠ABD=30°，∴ ∠BAC =∠ABD，∴ BD=AD；

(2)解法一： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°

∴=45°

∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC

∠BAP=，∠ABP=

即∠BAP+∠ABP=45°

∴∠APB=180°-45°=135°

解法二： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°

∴=45°

∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC

∠DBC=，∠PAC=

∴ ∠DBC+∠PAD=45°

∴ ∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°.

第二篇：相似三角形復(fù)習(xí)教案

相似三角形復(fù)習(xí)教案

教學(xué)目標(biāo): 本課為相似三角形專題復(fù)習(xí)課，是對(duì)本章基本內(nèi)容復(fù)習(xí)基礎(chǔ)上的深化，通過(guò)對(duì)一個(gè)題目的演變，緊緊圍繞一線三直角這個(gè)基本模型展開(kāi)，由淺入深對(duì)相似三角形進(jìn)行，同時(shí)結(jié)合數(shù)學(xué)中的方程思想，分類思想，模型思想，數(shù)形結(jié)合思想等拓展深化.教學(xué)重點(diǎn):相似三角形的一些基本圖形特別是一線三直（等）角的復(fù)習(xí).教學(xué)難點(diǎn): 一線三直（等）角模型的拓展深化.教學(xué)過(guò)程: 練習(xí):1.如圖，AB＞AC，過(guò)D點(diǎn)作一直線與AB相交于 點(diǎn)E，使所得到的新三角形與原△ABC相似.2.如圖，直角梯形ABCD中，E是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，使△ABE與△ECD相似，則AB、BE、CE、CD之間滿足的關(guān)系為_(kāi)___________.得到相似中最基本的幾種圖形，即：

A型 斜A型 一線三直角反射型

在得到上述基本圖形后，通過(guò)找相似三角形，讓學(xué)生體會(huì)基本圖形的應(yīng)用。并通過(guò)對(duì)這個(gè)題目的演變，將本課內(nèi)容提要呈現(xiàn)出來(lái).例1：在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)全等Rt△OAB與Rt △A’OC’如圖放置，點(diǎn)A、C’在y軸上，點(diǎn)A’在x軸上，BO 與A’ C’相交于D.你能找出與Rt△OAB相似的三角形嗎？ 請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由 在上述條件下，設(shè)點(diǎn)B、C’ 的坐標(biāo)分別為（1，3），（0，1），將△ A’OC’繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ AOC，如圖所示：

（1）若拋物線過(guò)C、A、A’，求此拋物線的解析式及對(duì)稱軸；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸與點(diǎn)M，P為對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)∠APC=90°時(shí)的點(diǎn)P坐標(biāo).本題主要是應(yīng)用一線三直角這個(gè)基本圖形，從而利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊關(guān)系求解，在教學(xué)過(guò)程中對(duì)P點(diǎn)的位置應(yīng)作說(shuō)明，可借助于幾何畫(huà)板演示.【變一變】線段BM上是否存在點(diǎn)P，使△ABP和△PMC相似？如存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.本例讓學(xué)生進(jìn)一步應(yīng)用基本圖形，同時(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)思想——分類思想的應(yīng)用.【拓展一】若點(diǎn)N是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

∠NAA’=90°時(shí)，求N點(diǎn)坐標(biāo).通過(guò)添加一條輔助線構(gòu)造一線三直角來(lái)提升對(duì)學(xué)生的要求。另外利用本題比較特殊的情況，即△AOA為等腰直三角形的 條件，采用一題多解的方法，幫助學(xué)生提高解題的能力.【拓展二】點(diǎn)N是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn),將拋物線繞Q點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），當(dāng)以點(diǎn)M、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

/本例難度較大，通過(guò)引導(dǎo)讓學(xué)生知道本題仍然可通過(guò)構(gòu)造一線三直角的模型來(lái)解決，因?yàn)橐砑虞^多輔助線，教師可將第一種情況和輔助線添加出來(lái)，從而讓學(xué)生類比得到第二種方法的輔助線.課堂小節(jié):對(duì)本節(jié)課復(fù)習(xí)模型的整理;相似應(yīng)用的技巧梳理;學(xué)生疑惑的交流.

第三篇：全等三角形單元復(fù)習(xí)教案

知識(shí)點(diǎn)一：全等三角形

1、全等三角形的定義

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做_______。能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。要點(diǎn)詮釋：（1）把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做________，重合的邊叫做_________，重合的角叫做_________。（2）記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在______的位置上。例如，△ABC與△DEF全等，點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)E，點(diǎn)C與點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，記作△ABC≌△DEF，而不寫(xiě)作△ABC≌△EFD等其他形式。

2、全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的__________、_______________． 要點(diǎn)詮釋：找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角通常有下面兩種方法：

（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角。

3、三角形全等的判定

（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成）。

（2）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成）。（3）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成）。（4）兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成）。（5）在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成）。要點(diǎn)詮釋：

（1）沒(méi)有“SSA”、“AAA”這樣的判定定理。（2）“HL”定理是直角三角形

，對(duì)于一般三角形不成立。

（3）判定兩個(gè)直角三角形全等時(shí)，這兩個(gè)直角三角形已經(jīng)有一對(duì)直角相等的條件，只需找另兩個(gè)條件即可，而這兩個(gè)條件中必須有一邊對(duì)應(yīng)相等。能夠完全

的兩個(gè)圖形叫做全等形．

知識(shí)點(diǎn)二：角平分線的性質(zhì)

（1）角的平分線的性質(zhì)定理

角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)

。（2）角的平分線的判定定理

角的內(nèi)部到的點(diǎn)在角的平分線上。要點(diǎn)詮釋：

三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)。

注意在證明中用到這兩個(gè)定理，如何把文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)：例：如圖

怎么運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)定理：

∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE

怎么運(yùn)用角的平分線的判定定理：

∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE ∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上

類型一：全等三角形的性質(zhì)

例1．如圖，△ABC≌DEF，DF和AC，F(xiàn)E和CB是對(duì)應(yīng)邊。若∠A=100°，∠F=47°，則∠DEF等于（）

A.100°

B.53°

C.47°

D.33°

類型二：全等三角形的證明

例2．如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求證：BC∥EF．

類型三：角平分線的性質(zhì)與判定

例3．已知：如圖所示，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE、CD交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC，求證：OB=OC．

【變式】如圖，直線l1,l2,l3表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)塔臺(tái)，若要求它到

三條公路的距離相等，試問(wèn)： 可選擇的地點(diǎn)有幾處？ 你能畫(huà)出塔臺(tái)的位置嗎？

【變式2】如圖，已知∠1=∠2，P為BN上的一點(diǎn)，PF⊥BC于F，PA=PC，求證：∠PCB+∠BAP=180o

AP

N 2 BFC

類型四：利用三角形全等知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題 例4．要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使CD=?BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上，可以證明△EDC?≌△ABC，?得到ED=AB，因此測(cè)得ED的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)（如圖），判定△EDC≌△ABC的理由是（）

A．邊角邊公理

B．角邊角公理；

C．邊邊邊公理

D．斜邊直角邊公理

【變式】如圖,工人師傅要檢查模型中的∠A和∠B是否相等,但他手邊沒(méi)有量角器,只有一把刻度尺,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案來(lái)說(shuō)明∠A和∠B是否相等。

1、總結(jié)尋找對(duì)應(yīng)邊、角的規(guī)律：

（1）有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；（2）有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角；（3）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；

（4）兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等。

2、證明三角形全等的一般步驟及注意的問(wèn)題

（1）先指明在哪兩個(gè)三角形中研究問(wèn)題；

（2）按邊、角的順序列出全等的三個(gè)條件，并用大括號(hào)括起來(lái)；

（3）寫(xiě)出結(jié)論，讓兩個(gè)全等三角形中表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母順序?qū)R；

（4）在證明中每一步推理都要有根據(jù)，不能想當(dāng)然。

3、常用添加輔助線的方法

（1）作公共邊構(gòu)造全等三角形；

（2）有中點(diǎn)倍長(zhǎng)構(gòu)造全等三角形（中線法）；

（3）有角平分線，向角兩邊引垂線或通過(guò)翻折構(gòu)造全等三角形（截長(zhǎng)補(bǔ)短）；（4）利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等。

第四篇：相似三角形復(fù)習(xí)課教案

《相似三角形》復(fù)習(xí)課教案

城區(qū)二中 章松巖

目的：使學(xué)生掌握相似三角形的判定和性質(zhì)和應(yīng)用，并能靈活運(yùn)用。重點(diǎn)：相似三角形的判定和性質(zhì)和應(yīng)用。難點(diǎn)：相似三角形的靈活運(yùn)用。教法：三疑三探。教具：多媒體。過(guò)程：

課前熱身：時(shí)間為3分鐘

1、根據(jù)下列條件能否判定△ABC與△A′B′C′相似？為什么？

(1)∠A=120°，AB=7，AC=14

∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6(2)AB=4，BC=6，AC=8 A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21

(3)∠A=70°,∠B=48°, ∠A′=70°, ∠C′=62°

2、已知△ABC∽△ A′B′C′，其相似比為，則△ABC 與△A′B′C′的周長(zhǎng)比為＿＿對(duì)應(yīng)高的比為＿＿對(duì)應(yīng)中線的比為＿＿對(duì)應(yīng)角平分線的比為＿＿面積比為＿＿。提問(wèn)學(xué)生后教師簡(jiǎn)單總結(jié),并讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)本單元的復(fù)習(xí)任務(wù)是什么？ 相似三角形的判定

（1）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,兩個(gè)三角形相似。（2）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似。（3）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似。相似三角形的性質(zhì)

（1）相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等。（2）相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比。

（3）相似三角形的面積比等于相似比的平方。

（4）相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高、中線、角平分線的比等于相似比。要求學(xué)生讀幾遍。介紹相似三角形的應(yīng)用： 相似三角形的應(yīng)用：

１、利用三角形相似，可證明角相等；線段成比例（或等積式）； ２、利用三角形相似，求線段的長(zhǎng)等；

3、利用三角形相似，可以解決一些不能直接測(cè)量的物體的長(zhǎng)度。如求河的寬度、求建筑物的高度等。課堂搶答：

１、D是△ABC的邊AB上的點(diǎn), 請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使△ACD與△ABC相似, 這個(gè)條件是（）

２、如果一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為5、12、13,與其相似的三角形最大邊長(zhǎng)是39，則該三角形最短的邊長(zhǎng)為（）

３、如圖，在平行四邊形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＢ延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，ＤＥ交ＢＣ于點(diǎn)Ｆ，ＢＥ：ＡＢ＝２：３，則△ＢＥＦ與△ＣＤＦ的周長(zhǎng)比為（）；若△ＢＥＦ的面積為８平方厘米，則△ＣＤＦ的面積為（）

４、如圖，鐵道口的欄桿的短臂長(zhǎng)1米，長(zhǎng)臂長(zhǎng)16米，當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.8米時(shí)，長(zhǎng)臂端點(diǎn)升高（）（桿的寬度忽略不計(jì)）

５、如圖，身高為1.6m的某同學(xué)想測(cè)量一棵大樹(shù)的高度，她沿樹(shù)影BA由B向A走去，當(dāng)走到C點(diǎn)時(shí)，她的影子頂端正好與樹(shù)的影子頂端重合，測(cè)得BC=3.2m，CA=0.8m，則樹(shù)高為（）

A、4.8m

B、6.4m

C、8m

D、10m 競(jìng)賽角

如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，E為AC的中點(diǎn)，ED交CB的延長(zhǎng)線于F。求證：BD·CF=CD·DF 證明：∵CD⊥AB，E為AC的中點(diǎn)

∴ DE=AE

∴∠EDA=∠A

∵ ∠EDA=∠FDB

∴∠A=∠FDB

∵∠ACB= Rt ∠

∴ ∠A=∠FCD

∴ ∠FDB=∠FCD

∵ △FDB∽△FCD

∴ BD：CD=DF：CF

∴ BD·CF=CD·DF 中考鏈接：

在?ABC中，AB=8cm,BC=16cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向B點(diǎn)以2cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC向點(diǎn)C以4cm/秒的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘?BPQ與?BAC相似？

大膽質(zhì)疑：

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)同學(xué)們還有什么疑問(wèn)或新的發(fā)現(xiàn)請(qǐng)大膽提出來(lái)？ 教師預(yù)設(shè)：

某社區(qū)擬籌資金2000元，計(jì)劃在一塊上、下底分別是10米、20米的梯形空地上種植花木（如圖）他們想在△AMD和△BMC地帶種植單價(jià)為10元 ／米2的太陽(yáng)花，當(dāng)△AMD地帶種滿花后，已經(jīng)花了500元，請(qǐng)你算一下，若繼續(xù)在△BMC地帶種植同樣的太陽(yáng)花，資金是否夠用？并說(shuō)明理由。

小結(jié)：

通這一節(jié)的復(fù)習(xí)之后你有哪些收獲？

（1）掌握相似三角形的判定方法及性質(zhì)；

（2）能靈活運(yùn)用相似三角形的判定方法及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明；（3）利用相似解決一些實(shí)際問(wèn)題

（4）分類討論思想： 遇到?jīng)]有明確指明對(duì)應(yīng)關(guān)系的三角形相似時(shí)，要注意考慮對(duì)位相似和錯(cuò)位相似兩種情況，采取分類討論的方法解決問(wèn)題.作業(yè)：

1、必做題：學(xué)習(xí)指導(dǎo)第82頁(yè)2,3,5題。

2、選做題： 板書(shū)設(shè)計(jì)： 教后記：

相似三角形復(fù)習(xí)課教案

城區(qū)二中

章松巖

2013年1月8日

教后反思

結(jié)合上課時(shí)的感受及課后評(píng)課，我對(duì)這節(jié)課作出如下反思： 成功地方：

1．能科學(xué)運(yùn)用三疑三探模式上課。

2．能有效開(kāi)展小組活動(dòng)。充分發(fā)揮小組協(xié)作功能。

3．注重學(xué)生動(dòng)口動(dòng)手能力的培養(yǎng)，教師只起輔助引導(dǎo)作用。不足地方：

1.課前可創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，結(jié)合日常生活實(shí)際設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題。2.課前熱身習(xí)題可設(shè)計(jì)成學(xué)案的形式。3.學(xué)生評(píng)價(jià)素質(zhì)有待于進(jìn)一步提高。

4.部分習(xí)題處理過(guò)快影響了中差生的學(xué)習(xí)。5.中招鏈接題因?yàn)闀r(shí)間關(guān)系為處理。6.竟賽角題目設(shè)計(jì)過(guò)難。7.教師未使用普通話。整改措施：

1.復(fù)習(xí)期間認(rèn)真?zhèn)浜脧?fù)習(xí)課。2.注重發(fā)揮教研組集體協(xié)作功能。

3.注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，注重講題的效果，注重總結(jié)歸納解題方法。4.精選習(xí)題，不搞題海戰(zhàn)術(shù)。5.注重批改，反饋，考后總結(jié)。6.注意培優(yōu)補(bǔ)差，努力降低過(guò)差率。

第五篇：相似三角形復(fù)習(xí)教案

設(shè)計(jì)意圖：

1、通過(guò)學(xué)生對(duì)一道中考題的解答，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到有時(shí)利用相似三角形解決問(wèn)題較簡(jiǎn)便。

2、以小題目的形式來(lái)回顧梳理相似三角形的基本圖形，并重點(diǎn)得到“三垂直型”；

使學(xué)生熟練掌握基本題型。

3、通過(guò)變式訓(xùn)練讓學(xué)生感受圖形從一般到特殊的變化；感受到題目的多解性；提高培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

4、通過(guò)拓展訓(xùn)練讓學(xué)生感受圖形從特殊到一般（“三垂直型”拓展到“三角相等型”）；加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形的感覺(jué)。

5、通過(guò)課堂及作業(yè)訓(xùn)練學(xué)生會(huì)用分類思想解決問(wèn)題；鞏固“三垂直型”和 “三角相等型”。設(shè)計(jì)方案：

一、情境：

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對(duì)角線BD重合，折痕為DG，則AG的長(zhǎng)為（）

A．1 B．

C． D．2（檢查學(xué)生做的情況，大部分學(xué)生利用勾股定理計(jì)算。）

這道題目也可以利用相似三角形來(lái)計(jì)算。有時(shí)利用相似三角形解決問(wèn)題較簡(jiǎn)便。今天我們復(fù)習(xí)相似三角形。（出示課題）

二、梳理相似三角形基本圖形： 在我們學(xué)習(xí)相似三角形這一章時(shí)同學(xué)們做了許多題目，今天我們來(lái)回顧一下，看看他們之間有沒(méi)有聯(lián)系，同時(shí)檢驗(yàn)一下同學(xué)們對(duì)圖形的感覺(jué)。

1、如圖（1），已知CA=8,CB=6，AB=5，CD=4(1)若CE= 3，則DE=____(2)如圖（2）若CE=，則DE=____.2、如圖（3），在⊿ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，∠DBC= ∠A，BC= AC=3，則CD的長(zhǎng)為（）

，（A）1（B）2（C）（D）

3、如圖（4），∠ABC=90埃?SPAN>BD⊥AC于D，DC=4，AD=9，則BD的長(zhǎng)為（）

（A）36（B）16（C）6（D）

4、如圖，F(xiàn)、C、D共線，BD⊥FD, EF⊥FD，BC⊥EC ,若DC=2，BD=3，F(xiàn)C=9,則EF的長(zhǎng)為（）

（A）6（B）16（C）26（D）

（這四道題目先留時(shí)間給學(xué)生在下面做，再讓一個(gè)學(xué)生上黑板講解。）由這四條題目讓學(xué)生感受圖形從一般到特殊的變化。

歸納小結(jié)相似三角形的基本圖形：

“A”型 公共角型 公共邊角型 雙垂直型 三垂直型

（母子型）（母子、子子型）

“X”型 蝴蝶型

（老師在黑板上逐一畫(huà)出基本圖形）

三、學(xué)生探究：

1、在△ ABC中，AB>AC，過(guò)AB上一點(diǎn)D作直線DE交另一邊于E，使所得三角形與原三角形相似，畫(huà)出滿足條件的圖形.變式：在Rt△ABC中，∠C=90?，?SPAN>AB上一點(diǎn)D作直線DE交另一邊于E，使所得三角形與原三角形相似，畫(huà)出滿足條件的圖形.（先讓學(xué)生在下面畫(huà)，再讓一個(gè)學(xué)生上黑板畫(huà)、其他學(xué)生上黑板補(bǔ)充）讓學(xué)生感受圖形從一般到特殊變化時(shí)，題目的答案從四解減少到三解。

2．如圖，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，連結(jié)BF，則圖中與△ABE 一定相似的三角形是（）A．△EFB B．△DEF C．△CFB D．△EFB 和△DEF

變式：如圖，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，連結(jié)BF，若使圖中△BEF與△ABE相似，需添加條件：。

（讓學(xué)生感受三垂直型）

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，點(diǎn)P在BC邊上，若△ABP與△DCP相似?！鰽PD一定是（）（A）直角三角形

（B）等腰三角形

（C）等腰直角三角形

（D）等腰三角形或直角三角形 變式： 如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，若點(diǎn)P在BC邊上，則△ABP與△DCP相似的點(diǎn)P有 個(gè)。

（進(jìn)一步讓學(xué)生感受“三垂直型”，并提醒學(xué)生注意全等三角形是特殊的相似三角形）

四、拓展：

1、梯形ABCD中，AD ∥ BC,AD

（將“三垂直型”拓展到“三角相等型”，讓學(xué)生感受圖形從特殊到一般。）

2、如圖，梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=90?SPAN>,AD=9,BC=12，AB=10，在線段BC上任取一點(diǎn)P，作射線PE⊥PD，與線段AB交于點(diǎn)E.（1）試確定CP=3時(shí)點(diǎn)E的位置；

（2）若設(shè)CP=x，BE=y，試寫(xiě)出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍.（作輔助線：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H。構(gòu)造“三垂直型”）

五、課堂小結(jié)：

我們要善于在題目中發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造基本圖形，利用相似三角形解決問(wèn)題。從“三垂直型”到“三角相等型”我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多題目中都隱藏著到“三角相等型”，只要我們善于歸納總結(jié)，就不難發(fā)現(xiàn)題目之間的聯(lián)系，就會(huì)將題目歸類。在解題時(shí)我們還要注意到特殊情況和多解的情況。

六、作業(yè)：

1.如圖，在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠B=90埃?SPAN>AD=3，BC=6，點(diǎn)P在AB上滑動(dòng)。若△DAP與△PBC相似，且 AP= 求PB的長(zhǎng)。

（本題有兩解）

，2、已知：點(diǎn)D是等邊三角形ABCBC邊上任一點(diǎn)，∠EDF=60啊?/SPAN> 求證：△BDE∽△CFD3、王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長(zhǎng)為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過(guò)，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過(guò)菜地部分的長(zhǎng)為15米(水渠的寬不計(jì))，請(qǐng)你計(jì)算這塊等腰三角形菜地的面積．（本題有兩解）

教學(xué)后記：

本節(jié)課用一道中考題做引例既說(shuō)明有時(shí)利用相似三角形解決問(wèn)題較簡(jiǎn)便，同時(shí)又提高了學(xué)生的關(guān)注度。前面放了足夠的時(shí)間讓學(xué)生做、學(xué)生講基本題，照顧了差生，但由于節(jié)奏慢了一點(diǎn)點(diǎn)，后面拓展中的第2題（構(gòu)造“三垂直型”）課上沒(méi)有時(shí)間講了（一點(diǎn)遺憾）。在學(xué)生探究中，這三條題目以及它們的變式每個(gè)學(xué)生都積極去思考了，尤其在第2題的變式中，當(dāng)學(xué)生添加了有關(guān)角的條件后，我再問(wèn)：可以添加有關(guān)線段的條件嗎？當(dāng)學(xué)生添加了有關(guān)比例線段的條件后，我又追問(wèn)：可以添加角和比例線段以外的條件嗎？幾個(gè)學(xué)生又能想到：添點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)。（是這節(jié)課的一個(gè)高潮）。第3題，我在課件上將選擇題改成了填空題，學(xué)生異口同聲地回答：直角三角形。這時(shí)我再給出選擇，學(xué)生一看，又想到了等腰三角形時(shí)△ABP與△DCP全等，是相似的特殊情況。（這樣的設(shè)計(jì)學(xué)生的印象深刻）。在最后的拓展中，將“三垂直型”拓展到“三角相等型”，讓學(xué)生感受圖形從特殊到一般。（是這節(jié)課的又一亮點(diǎn)）?？傊竟?jié)課有相似三角形的基本圖形的梳理；通過(guò)圖形的不斷變化，讓學(xué)生感受到圖形之間的聯(lián)系、題目之間的聯(lián)系?！叭怪毙汀钡奶岢鍪菍W(xué)生感到新鮮的，并將它拓展到“三角相等型” 讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)從薄到厚，又從厚到薄的過(guò)程。培養(yǎng)學(xué)生善于歸納總結(jié)，將題目歸類，會(huì)用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題。教學(xué)目標(biāo)基本達(dá)到。

教學(xué)心得： 我認(rèn)為，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課沒(méi)有一個(gè)基本公認(rèn)的課堂教學(xué)模式。復(fù)習(xí)課并非單純的知識(shí)的重述，而應(yīng)是知識(shí)點(diǎn)的重新整合、深化、升華。復(fù)習(xí)課更應(yīng)重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，鞏固舊知，是為了獲取新知，同時(shí)，要盡可能兼顧每一位不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生，要讓每一個(gè)學(xué)生都有所得。讓不會(huì)的學(xué)生會(huì)，讓會(huì)的學(xué)生熟，讓熟的學(xué)生精，讓學(xué)生逐步走出“以題論題”的困境，達(dá)到“以題論法”，從而實(shí)現(xiàn)“以題論道”。在課堂上，我們不僅要考慮到老師怎么講，還要考慮到學(xué)生怎么學(xué)。讓學(xué)生感覺(jué)到復(fù)習(xí)課不僅僅是知識(shí)的回顧、題目的重復(fù)，還要感覺(jué)到自己站得更高了，以前做過(guò)的題目有好多都是有聯(lián)系的，題目由多變少了。讓我們根據(jù)不同的內(nèi)容、不同的學(xué)生設(shè)計(jì)出更加有效的復(fù)習(xí)課，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。