第一篇：2014年高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教案：11.2 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率

2013年，2014年,高考第一輪復(fù)習(xí),數(shù)學(xué)教案集

11.2 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率

●知識(shí)梳理

1.互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫互斥事件.2.對(duì)立事件：其中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫對(duì)立事件.3.對(duì)于互斥事件要抓住如下的特征進(jìn)行理解： 第一，互斥事件研究的是兩個(gè)事件之間的關(guān)系;第二，所研究的兩個(gè)事件是在一次試驗(yàn)中涉及的;第三，兩個(gè)事件互斥是從試驗(yàn)的結(jié)果不能同時(shí)出現(xiàn)來(lái)確定的.從集合角度來(lái)看，A、B兩個(gè)事件互斥，則表示A、B這兩個(gè)事件所含結(jié)果組成的集合的交集是空集.對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件，集合A的對(duì)立事件記作A，從集合的角度來(lái)看，事件A所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集，即A∪A=U，A∩A=?.對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件.4.事件A、B的和記作A+B，表示事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生.當(dāng)A、B為互斥事件時(shí)，事件A+B是由“A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構(gòu)成的，因此當(dāng)A和B互斥時(shí)，事件A+B的概率滿足加法公式：

P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+A）=P（A）+P（A）=1.當(dāng)計(jì)算事件A的概率P（A）比較困難時(shí)，有時(shí)計(jì)算它的對(duì)立事件A的概率則要容易些，為此有P（A）=1－P（A）.對(duì)于n個(gè)互斥事件A1，A2，?，An，其加法公式為P（A1+A2+?+An）=P（A1）+P（A2）+?+P（An）.5.分類討論思想是解決互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的一個(gè)重要的指導(dǎo)思想.●點(diǎn)擊雙基

1.兩個(gè)事件互斥是這兩個(gè)事件對(duì)立的 A.充分不必要條件 C.充要條件

解析：根據(jù)定義判斷.答案：B 2.從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個(gè)，質(zhì)量小于4.8 g的概率是0.3，質(zhì)量不小于4.85 g的概率是0.32，那么質(zhì)量在［4.8，4.85）g范圍內(nèi)的概率是

A.0.62

B.0.38

C.0.7

解析：設(shè)一個(gè)羽毛球的質(zhì)量為ξ g，則

P（ξ<4.8）+P（4.8≤ξ＜4.85）+P（ξ≥4.85）=1.∴P（4.8≤ξ＜4.85）=1－0.3－0.32=0.38.D.0.68

B.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案：B 3.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是40%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙二人下成和棋的概率為

A.60% B.30% C.10% D.50% 解析：甲不輸即為甲獲勝或甲、乙二人下成和棋，90%=40%+p，∴p=50%.答案：D 4.（2004年?yáng)|北三校模擬題）一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中摸出一個(gè)球，放回后再摸出一個(gè)球，則兩次摸出的球恰好顏色不同的概率為_(kāi)_______.解析：（1）先摸出白球，P白=C1，再摸出黑球，P2=C，再摸出白球，P122513白黑

=C1C13；（2）先摸出黑球，P2.黑黑白

=CC，故P=

1312C2C3C5C51111+

C3C2C5C51111=

1225答案：

5.有10張人民幣，其中伍元的有2張，貳元的有3張，壹元的有5張，從中任取3張，則3張中至少有2張的幣值相同的概率為_(kāi)_______.解析：至少2張相同，則分2張時(shí)和3張時(shí)，故P=34C2C8?C3C7?C5C5?C3?C5C10321212133=

34.答案：

●典例剖析

【例1】 今有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五封信，另有同樣標(biāo)號(hào)的五個(gè)信封.現(xiàn)將五封信任意地裝入五個(gè)信封，每個(gè)信封裝入一封信，試求至少有兩封信配對(duì)的概率.解：設(shè)恰有兩封信配對(duì)為事件A，恰有三封信配對(duì)為事件B，恰有四封信（也即五封信配對(duì)）為事件C，則“至少有兩封信配對(duì)”事件等于A+B+C，且A、B、C兩兩互斥.∵P（A）=C5?2A552，P（B）=

C5A553，P（C）=

311201A55，∴所求概率P（A）+P（B）+P（C）=答：至少有兩封信配對(duì)的概率是

31120..思考討論

若求（1）至少有1封信配對(duì).答案：9C15?C5?2?C5?1A3323.（2）沒(méi)有一封信配對(duì).答案：1－9C15?C5?2?C5?1A5522.【例2】（2004年合肥模擬題）在袋中裝20個(gè)小球，其中彩球有n個(gè)紅色、5個(gè)藍(lán)色、10個(gè)黃色，其余為白球.求：（1）如果從袋中取出3個(gè)都是相同顏色彩球（無(wú)白色）的概率是

13114，且n≥2，那么，袋中的紅球共有幾個(gè)?（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，計(jì)算從袋中任取3個(gè)小球至少有一個(gè)是紅球的概率.解：（1）取3個(gè)球的種數(shù)為C3=1140.20設(shè)“3個(gè)球全為紅色”為事件A，“3個(gè)球全為藍(lán)色”為事件B，“3個(gè)球全為黃色”為事件C.P（B）=C5C3203=101140，P（C）=

C10C3203=

1201140.∵A、B、C為互斥事件，∴P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C），即13114=P（A）+101140+

1201140?P（A）=0? 取3個(gè)球全為紅球的個(gè)數(shù)≤2.又∵n≥2，故n=2.（2）記“3個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球”為事件D.則D為“3個(gè)球中沒(méi)有紅球”.P（D）=1－P（D）=1－

C18C20279533=

2795或

P（D）=C2C18?C2C18C3201221=.【例3】 9個(gè)國(guó)家乒乓球隊(duì)中有3個(gè)亞洲國(guó)家隊(duì)，抽簽分成甲、乙、丙三組（每組3隊(duì)）進(jìn)行預(yù)賽，試求：

（1）三個(gè)組各有一個(gè)亞洲隊(duì)的概率；

（2）至少有兩個(gè)亞洲隊(duì)分在同一組的概率.33解：9個(gè)隊(duì)分成甲、乙、丙三組有C39C6C3種等可能的結(jié)果.（1）三個(gè)亞洲國(guó)家隊(duì)分給

222甲、乙、丙三組，每組一個(gè)隊(duì)有A33種分法，其余6個(gè)隊(duì)平分給甲、乙、丙三組有C6C4C2222種分法.故三個(gè)組各有一個(gè)亞洲國(guó)家隊(duì)的結(jié)果有A33·C6C4C2種，所求概率

P（A）=A3?C6C4C2C3339C6C33222=

928.928答：三個(gè)組各有一個(gè)亞洲國(guó)家隊(duì)的概率是.（2）∵事件“至少有兩個(gè)亞洲國(guó)家隊(duì)分在同一組”是事件“三個(gè)組各有一個(gè)亞洲國(guó)家隊(duì)”的對(duì)立事件，∴所求概率為1－

928=

1928.答：至少有兩個(gè)亞洲國(guó)家隊(duì)分在同一組的概率是

1928.●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ)

1.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是 A.至少有1個(gè)白球，都是紅球

C.恰有1個(gè)白球，恰有2個(gè)白球

B.至少有1個(gè)白球，至多有1個(gè)紅球 D.至多有1個(gè)白球，都是紅球

答案：C 2.一批產(chǎn)品共10件，其中有兩件次品，現(xiàn)隨機(jī)地抽取5件，則所取5件中至多有一件次品的概率為

A.C.114127929

C2C85C104

C85

140252

56252

B.D.解析：P=+

5C10=+=.答案：B 3.有3人，每人都以相同的概率被分配到4個(gè)房間中的一間，則至少有2人分配到同一房間的概率是________.解析：P=1－58A4433=58.答案：

4.從編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十個(gè)球中，任取5個(gè)球，則這5個(gè)球編號(hào)之和為奇數(shù)的概率是________.4255解析：任取5個(gè)球有C10種結(jié)果，編號(hào)之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)為C15C5+C35C5+C5=126，故所求概率為12126C105=12.答案：

5.52張橋牌中有4張A，甲、乙、丙、丁每人任意分到13張牌，已知甲手中有一張A，求丙手中至少有一張A的概率.解：丙手中沒(méi)有A的概率是

C4813C5113，由對(duì)立事件概率的加法公式知，丙手中至少有一張A的概率是1－C48C511313=0.5949.6.袋中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任意摸出4個(gè)，求下列事件發(fā)生的概率：（1）摸出2個(gè)或3個(gè)白球；

（2）至少摸出1個(gè)白球；（3）至少摸出1個(gè)黑球.4解：從8個(gè)球中任意摸出4個(gè)共有C8種不同的結(jié)果.記從8個(gè)球中任取4個(gè)，其中恰有1個(gè)白球?yàn)槭录嗀1，恰有2個(gè)白球?yàn)槭录嗀2，3個(gè)白球?yàn)槭录嗀3，4個(gè)白球?yàn)槭录嗀4，恰有i個(gè)黑球?yàn)槭录﨎i.則

（1）摸出2個(gè)或3個(gè)白球的概率

P1=P（A2+A3）=P（A2）+P（A3）=（2）至少摸出1個(gè)白球的概率 P2=1－P（B4）=1－0=1.（3）至少摸出1個(gè)黑球的概率 P3=1－P（A4）=1－

C5C4C5C3C4822+

C5C34C831=

37+

37=

67.48=

1314.培養(yǎng)能力

7.某單位36人的血型類型是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人.現(xiàn)從這36人中任選2人.求：（1）兩人同為A型血的概率；（2）兩人具有不相同血型的概率.解：（1）P=C12C2362=11105.（2）考慮對(duì)立事件：兩人同血型為事件A，那么P（A）=C12?C10?C8?C6C3622222=

1347.3447所以不同血型的概率為P=1－P（A）=.8.8個(gè)籃球隊(duì)中有2個(gè)強(qiáng)隊(duì)，先任意將這8個(gè)隊(duì)分成兩個(gè)組（每組4個(gè)隊(duì)）進(jìn)行比賽，則這兩個(gè)強(qiáng)隊(duì)被分在一個(gè)組內(nèi)的概率是________.解法一：2個(gè)強(qiáng)隊(duì)分在同一組，包括互斥的兩種情況：2個(gè)強(qiáng)隊(duì)都分在A組和都分在B組.2個(gè)強(qiáng)隊(duì)都分在A組，可看成“從8個(gè)隊(duì)中抽取4個(gè)隊(duì)，里面包括2個(gè)強(qiáng)隊(duì)”這一事件，其概率為C6C248；2個(gè)強(qiáng)隊(duì)都分在B組，可看成“從8個(gè)隊(duì)中抽取4個(gè)隊(duì)，里面沒(méi)有強(qiáng)隊(duì)”這一事件，其概率為C6C844.因此，2個(gè)強(qiáng)隊(duì)分在同一個(gè)組的概率為P=

C6C824+

C6C844=

37.解法二：“2個(gè)強(qiáng)隊(duì)分在同一個(gè)組”這一事件的對(duì)立事件“2個(gè)組中各有一個(gè)強(qiáng)隊(duì)”，而兩個(gè)組中各有一個(gè)強(qiáng)隊(duì)，可看成“從8個(gè)隊(duì)中抽取4個(gè)隊(duì)，里面恰有一個(gè)強(qiáng)隊(duì)”這一事件，其概率為C2C6C4813.因此，2個(gè)強(qiáng)隊(duì)分在同一個(gè)組的概率P=1－

C2C6C4813=1－

47=

37.答案：37

探究創(chuàng)新

9.有點(diǎn)難度喲！

有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面為等可能性事件，棋盤上標(biāo)有第0站，第1站，第2站，?，第100站，一枚棋子開(kāi)始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正面，棋向前跳一站（從k到k+1），若擲出反面，棋向前跳兩站（從k到k+2），直到棋子跳到第99站（勝利大本營(yíng)）或跳到第100站（失敗集中營(yíng)）時(shí)，該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站概率為Pn.（1）求P0，P1，P2的值；（2）求證：Pn－Pn－1=－

12（Pn－1－Pn－2），其中n∈N，2≤n≤99；

（3）求P99及P100的值.（1）解：棋子開(kāi)始在第0站為必然事件，∴P0=1.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為，21∴P1=12.棋子跳到第2站應(yīng)從如下兩方面考慮：

14①前兩次擲硬幣都出現(xiàn)正面，其概率為②第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，其概率為∴P2=1412；

.+12=34.（2）證明：棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情況是下列兩種，而且也只有兩種： ①棋子先到第n－2站，又?jǐn)S出反面，其概率為Pn－2；

21②棋子先到第n－1站，又?jǐn)S出正面，其概率為Pn－1.21∴Pn=12Pn－2+1212Pn－1.（Pn－1－Pn－2）.12∴Pn－Pn－1=－（3）解：由（2）知，當(dāng)1≤n≤99時(shí)，數(shù)列{Pn－Pn－1}是首項(xiàng)為P1－P0=－－12，公比為的等比數(shù)列.∴P1－1=－12，P2－P1=（－

12）2，P3－P2=（－

1212）3，?，Pn－Pn－1=（－

1212）n.以上各式相加，得Pn－1=（－∴Pn=1+（－99）.12）+（－

1212）2+?+（－

23）n，12）+（－

12）2+?+（－）n=

［1－（－）n+1］（n=0，1，2，?，∴P99=P100=1223［1－（121223）100］，［1－（－

12P98=·）99］=［1+（3112）99］.●思悟小結(jié)

求某些稍復(fù)雜的事件的概率時(shí)，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的對(duì)立事件的概率.●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛

1.概率加法公式僅適用于互斥事件，即當(dāng)A、B互斥時(shí)，P（A+B）=P（A）+P（B），否則公式不能使用.2.如果某事件A發(fā)生包含的情況較多，而它的對(duì)立事件（即A不發(fā)生）所包含的情形較少，利用公式P（A）=1－P（A）計(jì)算A的概率則比較方便.這不僅體現(xiàn)逆向思維，同時(shí)對(duì)培養(yǎng)思維的靈活性是非常有益的.拓展題例

【例題】 某單位一輛交通車載有8個(gè)職工從單位出發(fā)送他們下班回家，途中共有甲、乙、丙3個(gè)停車點(diǎn)，如果某停車點(diǎn)無(wú)人下車，那么該車在這個(gè)點(diǎn)就不停車.假設(shè)每個(gè)職工在每個(gè)停車點(diǎn)下車的可能性都是相等的，求下列事件的概率：

（1）該車在某停車點(diǎn)停車；（2）停車的次數(shù)不少于2次；

（3）恰好停車2次.解：將8個(gè)職工每一種下車的情況作為1個(gè)基本事件，那么共有38=6561（個(gè)）基本事件.（1）記“該車在某停車點(diǎn)停車”為事件A，事件A發(fā)生說(shuō)明在這個(gè)停車點(diǎn)有人下車，即至少有一人下車，這個(gè)事件包含的基本事件較復(fù)雜，于是我們考慮它的對(duì)立事件A，即“8個(gè)人都不在這個(gè)停車點(diǎn)下車，而在另外2個(gè)點(diǎn)中的任一個(gè)下車”.∵P（A）=2388=2566561，2566561∴P（A）=1－P（A）=1－=

63056561.（2）記“停車的次數(shù)不少于2次”為事件B，則“停車次數(shù)恰好1次”為事件B，則

C3381P（B）=1－P（B）=1－=1－

36561=

21862187.（3）記“恰好停車2次”為事件C，事件C發(fā)生就是8名職工在其中2個(gè)停車點(diǎn)下車，2273每個(gè)停車點(diǎn)至少有1人下車，所以該事件包含的基本事件數(shù)為C3（C18+C8+C8+?+C8）=3×（2－2）=3×254，于是P（C）=

3?2546561=

2542187.

第二篇：2014年高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教案：11.1 隨機(jī)事件的概率

2013年，2014年,高考第一輪復(fù)習(xí),數(shù)學(xué)教案集

第十一章

概率

●網(wǎng)絡(luò)體系總覽

隨機(jī)事件的概率 概率 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

●考點(diǎn)目標(biāo)定位

1.了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用排列組合公式計(jì)算一些等可能性事件的概率.2.了解互斥事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算一些事件的概率.3.了解相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率，會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率.●復(fù)習(xí)方略指南

概率是新課程中新增加部分的主要內(nèi)容之一.這一內(nèi)容是在學(xué)習(xí)排列、組合等計(jì)數(shù)知識(shí)之后學(xué)習(xí)的,主要內(nèi)容為等可能性事件的概率、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率.這一內(nèi)容從2000年被列入新課程高考的考試說(shuō)明.在2000,2001,2002,2003,2004這五年高考中,新課程試卷每年都有一道概率解答題,并且這五年的命題趨勢(shì)是：從分值上看,從10分提高到17分,從題目的位置看,2000年為第（17）題,2001年為第（18）題,2002年為第（19）題,2003年為第（20）題即題目的位置后移,2004年兩題分值增加到17分.從概率在試卷中的分?jǐn)?shù)比與課時(shí)比看,在試卷中的分?jǐn)?shù)比（12∶150=1∶12.5）是在數(shù)學(xué)中課時(shí)比（約為11∶330=1∶30）的2.4倍.概率試題體現(xiàn)了考試中心提出的“突出應(yīng)用能力考查”以及“突出新增加內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值和應(yīng)用功能”的指導(dǎo)思想,在命題時(shí),提高了分值,提高了難度,并設(shè)置了靈活的題目情境,如普法考試、串聯(lián)并聯(lián)系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)上網(wǎng)、產(chǎn)品合格率等,所以在概率復(fù)習(xí)中要注意全面復(fù)習(xí),加強(qiáng)基礎(chǔ),注重應(yīng)用.11.1 隨機(jī)事件的概率

●知識(shí)梳理

1.隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.2.必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件.3.不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件.4.事件A的概率：在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí),事件A發(fā)生的頻率

mn總接近于某個(gè)常數(shù),在它附近擺動(dòng),這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率,記作P（A）.由定義可知0≤P（A）≤1,顯然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.5.等可能性事件的概率：一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件,通常此試驗(yàn)中的某一事件A由幾個(gè)基本事件組成.如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè),即此試驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成,而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是1n.如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè),那么事件A的概率P（A）=

mn.6.使用公式P（A）=

mn計(jì)算時(shí),確定m、n的數(shù)值是關(guān)鍵所在,其計(jì)算方法靈活多變,沒(méi)有固定的模式,可充分利用排列組合知識(shí)中的分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理,必須做到不重復(fù)不遺漏.●點(diǎn)擊雙基 1.（2004年全國(guó)Ⅰ,文11）從1，2，?，9這九個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是

A.59

B.49

C.11

21D.1021

解析：基本事件總數(shù)為C3，設(shè)抽取3個(gè)數(shù),和為偶數(shù)為事件A,則A事件數(shù)包括兩類：92抽取3個(gè)數(shù)全為偶數(shù),或抽取3數(shù)中2個(gè)奇數(shù)1個(gè)偶數(shù),前者C3,后者C1C5.4412∴A中基本事件數(shù)為C34+C4C5.∴符合要求的概率為答案：C

C4?C4C5C39312=

1121.2.（2004年重慶,理11）某校高三年級(jí)舉行的一次演講比賽共有10位同學(xué)參加,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位.若采取抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班的3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號(hào)相連），而二班的2位同學(xué)沒(méi)有被排在一起的概率為

A.110120140

B.C.D.1120

解析：10位同學(xué)總參賽次序A1010.一班3位同學(xué)恰好排在一起,而二班的2位同學(xué)沒(méi)有排

6在一起的方法數(shù)為先將一班3人捆在一起A33,與另外5人全排列A6,二班2位同學(xué)不排在一226起,采用插空法A7,即A33A6A7.∴所求概率為答案：B A3A6A7 A1010362=

120.3.（2004年江蘇,9）將一顆質(zhì)地均勻的骰子（它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6的正方體玩具）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是

A.5216

B.25216

C.31216

D.91216

解析：質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲3次,共有6×6×6種結(jié)果.3次均不出現(xiàn)6點(diǎn)向上的擲法有5×5×5種結(jié)果.由于拋擲的每一種結(jié)果都是等可能出現(xiàn)的,所以不出現(xiàn)6點(diǎn)向上的概率為5?5?56?6?6125216125216=,由對(duì)立事件概率公式,知3次至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是1－= 91216.答案：D 4.一盒中裝有20個(gè)大小相同的彈子球，其中紅球10個(gè)，白球6個(gè)，黃球4個(gè)，一小孩隨手拿出4個(gè)，求至少有3個(gè)紅球的概率為_(kāi)_______.解析：恰有3個(gè)紅球的概率P1=

C10C10C20431=

80323.有4個(gè)紅球的概率P2=

C1044C20=

14323.94323至少有3個(gè)紅球的概率P=P1+P2=答案：94323.5.在兩個(gè)袋中各裝有分別寫著0，1，2，3，4，5的6張卡片.今從每個(gè)袋中任取一張卡片，則取出的兩張卡片上數(shù)字之和恰為7的概率為_(kāi)_______.解析：P=194C6?C611=

19.答案：

●典例剖析

【例1】用數(shù)字1，2，3，4，5組成五位數(shù)，求其中恰有4個(gè)相同數(shù)字的概率.解：五位數(shù)共有55個(gè)等可能的結(jié)果.現(xiàn)在求五位數(shù)中恰有4個(gè)相同數(shù)字的結(jié)果數(shù)：4個(gè)

1相同數(shù)字的取法有C15種，另一個(gè)不同數(shù)字的取法有C14種.而這取出的五個(gè)數(shù)字共可排出C51個(gè)不同的五位數(shù)，故恰有4個(gè)相同數(shù)字的五位數(shù)的結(jié)果有C15C14C5個(gè)，所求概率

P=C5C4C555111=4125.4125答：其中恰恰有4個(gè)相同數(shù)字的概率是.【例2】 從男女生共36人的班中，選出2名代表，每人當(dāng)選的機(jī)會(huì)均等.如果選得同性代表的概率是12，求該班中男女生相差幾名？

解：設(shè)男生有x名，則女生有（36－x）人，選出的2名代表是同性的概率為P=Cx?C36-xC23622=12,(36?x)(35?x)36?3512即x(x?1)36?35+=, 解得x=15或21.所以男女生相差6人.【例3】把4個(gè)不同的球任意投入4個(gè)不同的盒子內(nèi)（每盒裝球數(shù)不限），計(jì)算：

（1）無(wú)空盒的概率；

（2）恰有一個(gè)空盒的概率.解：4個(gè)球任意投入4個(gè)不同的盒子內(nèi)有44種等可能的結(jié)果.（1）其中無(wú)空盒的結(jié)果有A4種，所求概率 4A4444P==332.332答：無(wú)空盒的概率是.（2）先求恰有一空盒的結(jié)果數(shù)：選定一個(gè)空盒有C1種，選兩個(gè)球放入一盒有C2A13種，441221其余兩球放入兩盒有A22種.故恰有一個(gè)空盒的結(jié)果數(shù)為C4C4A3A2,所求概率P（A）=C4C4A3A2441212=916.916答：恰有一個(gè)空盒的概率是.深化拓展

把n+1個(gè)不同的球投入n個(gè)不同的盒子（n∈N*）.求：

（1）無(wú)空盒的概率；（2）恰有一空盒的概率.解：（1）Cn?1Annn?12n.1Cn?(C3n?1?Cn?1?Cn?1Ann?12222)?An?1n?1（2）.【例4】某人有5把鑰匙，一把是房門鑰匙，但忘記了開(kāi)房門的是哪一把.于是，他逐把不重復(fù)地試開(kāi)，問(wèn)：

（1）恰好第三次打開(kāi)房門鎖的概率是多少？

（2）三次內(nèi)打開(kāi)的概率是多少？

（3）如果5把內(nèi)有2把房門鑰匙，那么三次內(nèi)打開(kāi)的概率是多少？ 解：5把鑰匙，逐把試開(kāi)有A55種等可能的結(jié)果.（1）第三次打開(kāi)房門的結(jié)果有A種，因此第三次打開(kāi)房門的概率P（A）=

44A4A554=

15.（2）三次內(nèi)打開(kāi)房門的結(jié)果有3A種，因此，所求概率P（A）=

443A4A554=

35.2（3）方法一：因5把內(nèi)有2把房門鑰匙，故三次內(nèi)打不開(kāi)的結(jié)果有A33A2種，從而三

次內(nèi)打開(kāi)的結(jié)果有A－AA種，所求概率P（A）=553322A5?A3A2A55532=

910.方法二：三次內(nèi)打開(kāi)的結(jié)果包括：三次內(nèi)恰有一次打開(kāi)的結(jié)果有C1A13A1A3種；三次22322內(nèi)恰有2次打開(kāi)的結(jié)果有A3A3種.因此，三次內(nèi)打開(kāi)的結(jié)果有C1A13A1A3+A3A3種，所22333求概率

P（A）=C2A3A2A3?A3A3A55111323=

910.特別提示

1.在上例（1）中,讀者如何解釋下列兩種解法的意義.P（A）=15A4A532=

15或P（A）=

45··=

4313.2.仿照1中,你能解例題中的（2）嗎? ●闖關(guān)訓(xùn)練

夯實(shí)基礎(chǔ)

1.從分別寫有A、B、C、D、E的5張卡片中，任取2張，這2張上的字母恰好按字母順序相鄰的概率為

A.1

54C25B.25

C.310

D.710

解析：P==25.答案：B 2.（2004年湖北模擬題）甲、乙二人參加法律知識(shí)競(jìng)賽,共有12個(gè)不同的題目,其中選擇題8個(gè),判斷題4個(gè).甲、乙二人各依次抽一題,則甲抽到判斷題,乙抽到選擇題的概率是

A.62B.2125

C.83D.2533

1解析：甲、乙二人依次抽一題有C112·C11種方法，1而甲抽到判斷題,乙抽到選擇題的方法有C14C8種.∴P=C4C81C121C1111=833.答案：C 3.（2004年全國(guó)Ⅰ,理11）從數(shù)字1、2、3、4、5中，隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)）組成一個(gè)三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于9的概率為

A.***81251912

5B.C.D.解析：從數(shù)字1、2、3、4、5中，允許重復(fù)地隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)字，這三個(gè)數(shù)字和為9的情況為5、2、2；5、3、1；4、3、2；4、4、1；3、3、3.∴概率為C3?A3?A3?C3?1532332=

19125.答案：D 4.一次二期課改經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)打算交流試點(diǎn)學(xué)校的論文5篇和非試點(diǎn)學(xué)校的論文3篇.若任意排列交流次序，則最先和最后交流的論文都為試點(diǎn)學(xué)校的概率是________.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

解析：總的排法有A8種.82最先和最后排試點(diǎn)學(xué)校的排法有A5A6種.6概率為A5?A6A8826=514.答案： 514

5.甲、乙二人參加普法知識(shí)競(jìng)答，共有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)，甲、乙二人依次各抽一題.（1）甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？

（2）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？ 分析：（1）是等可能性事件，求基本事件總數(shù)和A包含的基本事件數(shù)即可.（2）分類或間接法，先求出對(duì)立事件的概率.1解：（1）基本事件總數(shù)甲、乙依次抽一題有C10C19種，事件A包含的基本事件數(shù)為C16C14，故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率為

C6C4C10C91111=

415.（2）A包含的基本事件總數(shù)分三類： 甲抽到選擇題,乙抽到判斷題有C16C14； 甲抽到選擇題,乙也抽到選擇題有C16C15;

1甲抽到判斷題,乙抽到選擇題有C14C6.1111共C16C14+C6C5+C4C6.1基本事件總數(shù)C110C9，∴甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為

C6C4?C6C5?C4C6C10C911111111=

1315或P（A）

=C4C31C101C911=215，P（A）=1－P（A）=

1315.6.把編號(hào)為1到6的六個(gè)小球，平均分到三個(gè)不同的盒子內(nèi)，求：（1）每盒各有一個(gè)奇數(shù)號(hào)球的概率；（2）有一盒全是偶數(shù)號(hào)球的概率.2解：6個(gè)球平均分入三盒有C6C2C2種等可能的結(jié)果.42（1）每盒各有一個(gè)奇數(shù)號(hào)球的結(jié)果有AA種，所求概率P（A）=

3333A3A3C4226C4C233=

25.2（2）有一盒全是偶數(shù)號(hào)球的結(jié)果有（C3C13）·C2C2，42所求概率P（A）=(C3C3)?C4C2C2226C4C22122=

35.培養(yǎng)能力

7.（2004年全國(guó)Ⅱ,18）已知8支球隊(duì)中有3支弱隊(duì)，以抽簽方式將這8支球隊(duì)分為A、B兩組，每組4支.求：

（1）A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率；（2）A組中至少有兩支弱隊(duì)的概率.（1）解法一：三支弱隊(duì)在同一組的概率為

C5C481+C5C481=17，1767故有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率為1－=.解法二：有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率為

C3C5C4822+C3C5C4822=67.（2）解法一：A組中至少有兩支弱隊(duì)的概率為

C3C5C8422+

C3C5C8431=

12.解法二：A、B兩組有一組至少有兩支弱隊(duì)的概率為1，由于對(duì)A組和B組來(lái)說(shuō)，至少有兩支弱隊(duì)的概率是相同的，所以A組中至少有兩支弱隊(duì)的概率為.218.從1，2,?,10這10個(gè)數(shù)字中有放回地抽取3次，每次抽取一個(gè)數(shù)字，試求3次抽取中最小數(shù)為3的概率.解：有放回地抽取3次共有10個(gè)結(jié)果，因最小數(shù)為3又可分為：恰有一個(gè)3，恰有兩

2個(gè)3，恰有三個(gè)3.故最小數(shù)為3的結(jié)果有C13·7+C3·7+C33，32所求概率P（A）= C3?712?C3?7?C310323=0.169.答：最小數(shù)為3的概率為0.169.探究創(chuàng)新

9.有點(diǎn)難度喲！

將甲、乙兩顆骰子先后各拋一次,a、b分別表示拋擲甲、乙兩顆骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).?x?0,?（1）若點(diǎn)P（a,b）落在不等式組?y?0,表示的平面區(qū)域的事件記為A,求事件A的?x?y?4?概率;（2）若點(diǎn)P（a,b）落在直線x+y=m（m為常數(shù)）上,且使此事件的概率最大,求m的值.解：（1）基本事件總數(shù)為6×6=36.y4321O1234x 當(dāng)a=1時(shí),b=1,2,3;當(dāng)a=2時(shí),b=1,2;當(dāng)a=3時(shí),b=1.共有（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3,1）6個(gè)點(diǎn)落在條件區(qū)域內(nèi), ∴P（A）=636=16.636（2）當(dāng)m=7時(shí),（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共有6種,此時(shí)P=16= 最大.●思悟小結(jié)

求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步驟：

（1）先確定一次試驗(yàn)是什么,此時(shí)一次試驗(yàn)的可能性結(jié)果有多少，即求出A.（2）再確定所研究的事件A是什么,事件A包括結(jié)果有多少,即求出m.（3）應(yīng)用等可能性事件概率公式P=●教師下載中心

教學(xué)點(diǎn)睛

1.一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生既有隨機(jī)性（對(duì)單次試驗(yàn)）,又存在著統(tǒng)計(jì)規(guī)律（對(duì)大量重復(fù)試驗(yàn)）,mn計(jì)算.這是偶然性和必然性的對(duì)立統(tǒng)一.2.隨機(jī)事件A的概率P（A）滿足0≤P（A）≤1.（3）P（A）=拓展題例

【例1】 某油漆公司發(fā)出10桶油漆，其中白漆5桶，黑漆3桶，紅漆2桶.在搬運(yùn)中所有標(biāo)簽脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)簽重新貼上，問(wèn)一個(gè)定貨3桶白漆、2桶黑漆和1桶紅漆的顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？

mn既是等可能性事件的概率的定義,又是計(jì)算這種概率的基本方法.解：P（A）=C5C3C26C10321=

27.27答：顧客按所定的顏色得到定貨的概率是.【例2】 一個(gè)口袋里共有2個(gè)紅球和8個(gè)黃球，從中隨機(jī)地接連取3個(gè)球，每次取一個(gè).設(shè){恰有一個(gè)紅球}=A，{第三個(gè)球是紅球}=B.求在下列條件下事件A、B的概率.（1）不返回抽樣；（2）返回抽樣.解：（1）不返回抽樣, P（A）=C2C3A8A103112=

715,P（B）=

C2A9A10312=

15.（2）返回抽樣, P（A）=C 13210（810）=

48125,P（B）=

C2?1010312=

15.

第三篇：數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)名師精品教案：第87課時(shí)：第十章 排列、組合和概率-互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率

數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)名師精品教案

第87課時(shí)：第十章 排列、組合和概率——互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率

一．課題：互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率

二．教學(xué)目標(biāo)：了解互斥事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算一些事件的概率．

三．教學(xué)重點(diǎn)：互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式． 四．教學(xué)過(guò)程：

（一）主要知識(shí)：

1．互斥事件的概念： ； 2．對(duì)立事件的概念： ； 3．若A,B為兩個(gè)事件，則A?B事件指 ． 若A,B是互斥事件，則P(A?B)? ．

（二）主要方法：

1．弄清互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系； 2．掌握對(duì)立事件與互斥事件的概率公式；

（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練：

1．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三個(gè)等級(jí)，其中乙、丙兩等級(jí)為次品，若產(chǎn)品中出現(xiàn)乙級(jí)品的概率為0.03，出現(xiàn)丙級(jí)品的概率為0.01，則在成品中任意抽取一件抽得

正品的概率為（）

(A)0.04(B)0.96(C)0.97(D)0.99 2．下列說(shuō)法中正確的是（）

(A)事件A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大(B)事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率一定比事件A、B恰有一個(gè)發(fā)生的概率小(C)互斥事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件(D)互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件

3．一盒內(nèi)放有大小相同的10個(gè)球，其中有5個(gè)紅球，3個(gè)綠球，2個(gè)白球，從中任取2個(gè)球，其中至少有1個(gè)綠球的概率為（）

(A)2827(B)(C)(D)

15515157為概104．在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，那么以率的事件是（）

(A)都不是一等品(B)恰有一件一等品(C)至少有一件一等品(D)至多一件一等品

5．今有光盤驅(qū)動(dòng)器50個(gè)，其中一級(jí)品45個(gè)，二級(jí)品5個(gè)，從中任取3個(gè)，出現(xiàn)二級(jí)品的概率為（）

1312133C5C5?C52?C5C45C5C45?C52C45(A)3(B)(C)1－3(D)33C50C50C50C50

（四）例題分析：

例1．袋中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任意摸出4個(gè)，求下列事件發(fā)生的概率：

(1)摸出2個(gè)或3個(gè)白球；(2)至少摸出1個(gè)白球；(3)至少摸出1個(gè)黑球.4解：從8個(gè)球中任意摸出4個(gè)共有C8種不同的結(jié)果.記從8個(gè)球中任取4個(gè)，其中恰有1個(gè)白球?yàn)槭录嗀1，恰有2個(gè)白球?yàn)槭录嗀2，3個(gè)白球?yàn)槭录嗀3，4個(gè)白

球?yàn)槭录嗀4，恰有i個(gè)黑球?yàn)槭录﨎ｉ，則(1)摸出2個(gè)或3個(gè)白球的概率：

221C5C3C33365C3P?P(A?A)?P(A)?P(A)????? 11212244C8C8777(2)至少摸出1個(gè)白球的概率P2＝1－Ｐ（B4）＝1－0＝1

4C513(3)至少摸出1個(gè)黑球的概率Ｐ3＝1－Ｐ（A4）＝1－4?

C814答：(1)摸出2個(gè)或3個(gè)白球的概率是；(2)至少摸出1個(gè)白球的概率是1；(3)至少摸出1個(gè)黑球的概率是

13.1467例2． 盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回地從中任取兩次，每次取一只，試求下列事件的概率：

(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品.

解：從6只燈泡中有放回地任取兩只，共有62＝36種不同取法.(1)取到的2只都是次品情況為22＝4種.因而所求概率為

41?. 369(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有兩種可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率為 P=4?22?44?? 36369(3)由于“取到的兩只中至少有一只正品”是事件“取到的兩只都是次品”的對(duì)立事件.因而所求概率為P=1-?

答：(1)取到的2只都是次品的概率為；(2)取到的2只中正品、次品各一只的概率為；(3)取到的2只中至少有一只正品的概率為.例3．從男女學(xué)生共有36名的班級(jí)中，任意選出2名委員，任何人都有同樣的當(dāng)選機(jī)會(huì).如果選得同性委員的概率等于，求男女生相差幾名?

198919498912

解：設(shè)男生有x名，則女生有36-x名.選得2名委員都是男性的概率為

C2x(x?1)x ?2C3636?35選得2名委員都是女性的概率為

2C36?x(36?x)(35?x)?236?35C36以上兩種選法是互斥的，又選得同性委員的概率等于，得

x(x?1)(36?x)(35?x)1??，解得x=15或x=21 36?3536?35212即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名.答：男女生相差6名.例4．在某地區(qū)有2000個(gè)家庭，每個(gè)家庭有4個(gè)孩子，假定男孩出生率是.(1)求在一個(gè)家庭中至少有一個(gè)男孩的概率；

(2)求在一個(gè)家庭中至少有一個(gè)男孩且至少有一個(gè)女孩的概率； 解：(1)P(至少一個(gè)男孩)＝1-P(沒(méi)有男孩)＝1-()4＝

121215； 1611-1616(2)P(至少1個(gè)男孩且至少1個(gè)女孩)＝1-P(沒(méi)有男孩)-P(沒(méi)有女孩)＝1-＝；

五．課后作業(yè)： 781．如果事件A、B互斥，那么（B）

(A)A+B是必然事件(B)A+B是必然事件(C)A與B一定互斥(D)A與B一定不互斥

2．甲袋裝有m個(gè)白球，n個(gè)黑球,乙袋裝有n個(gè)白球,m個(gè)黑球,(m?n),現(xiàn)從兩袋中各摸一個(gè)球,A：“兩球同色”,B：“兩球異色”，則P(A)與P(B)的大小關(guān)系為()

(A)P(A)?P(B)(B)P(A)?P(B)(C)P(A)?P(B)(D)視m,n的大小而定

3．甲袋中裝有白球3個(gè)，黑球5個(gè)，乙袋內(nèi)裝有白球4個(gè)，黑球6個(gè)，現(xiàn)從甲袋內(nèi)隨機(jī)抽取一個(gè)球放入乙袋，充分摻混后再?gòu)囊掖鼉?nèi)隨機(jī)抽取一球放入甲袋，則甲袋中的白球沒(méi)有減少的概率為()(A)3735259(B)(C)(D)144444444．一盒內(nèi)放有大小相同的10個(gè)球，其中有5個(gè)紅球，3個(gè)綠球，2個(gè)白球，從中任取2個(gè)球，其中至少有1個(gè)綠球的概率為()(A)2827(B)(C)(D)

15515155．一批產(chǎn)品共10件，其中有2件次品，現(xiàn)隨機(jī)地抽取5件，則所取5件中至多有1件次品的概率為（）

(A)7211(B)(C)(D)

929146．從裝有10個(gè)大小相同的小球（4個(gè)紅球、3個(gè)白球、3個(gè)黑球）口袋中任取兩個(gè)，則取出兩個(gè)同色球的概率是（）

(A)1241(B)(C)(D)

355157．在房間里有4個(gè)人，至少有兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率是（）

(A)(B)(C)14124155(D)96968.戰(zhàn)士甲射擊一次，問(wèn)：

(1)若事件A(中靶)的概率為0.95，A的概率為多少?

(2)若事件B(中靶環(huán)數(shù)大于5)的概率為0.7，那么事件C(中靶環(huán)數(shù)小于6)的概率為多少?事件D(中靶環(huán)數(shù)大于0且小于6)的概率是多少?

9.在放有5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、3個(gè)白球的袋中，任意取出3個(gè)球，分別求出3個(gè)全是同色球的概率及全是異色球的概率.10.某單位36人的血型類別是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人.現(xiàn)從這36人中任選2人，求此2人血型不同的概率.11.在一只袋子中裝有7個(gè)紅玻璃球，3個(gè)綠玻璃球.從中無(wú)放回地任意抽取兩次，每次只取一個(gè).試求：(1)取得兩個(gè)紅球的概率；(2)取得兩個(gè)綠球的概率；(3)取得兩個(gè)同顏色的球的概率；(4)至少取得一個(gè)紅球的概率.12.在房間里有4個(gè)人，問(wèn)至少有兩個(gè)人的生日是同一個(gè)月的概率是多少? 答案：

41。96 6

第四篇：2014年高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教案：1.3 充要條件與反證法

1.3 充要條件與反證法

●知識(shí)梳理

1.充分條件：如果p?q，則p叫q的充分條件，原命題（或逆否命題）成立，命題中的條件是充分的，也可稱q是p的必要條件.2.必要條件：如果q?p，則p叫q的必要條件，逆命題（或否命題）成立，命題中的條件為必要的，也可稱q是p的充分條件.3.充要條件：如果既有p?q，又有q?p，記作p?q，則p叫做q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件，原命題和逆命題（或逆否命題和否命題）都成立，命題中的條件是充要的.4.反證法：當(dāng)直接證明有困難時(shí)，常用反證法.●點(diǎn)擊雙基

1.ac2＞bc2是a＞b成立的 A.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件

2B.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：a＞bac＞bc，如c=0.答案：A 2.（2004年湖北，理4）已知a、b、c為非零的平面向量.甲：a2b=a2c，乙：b=c，則 A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

解析：命題甲:a2b=a2c?a2（b－c）=0?a=0或b=c.命題乙:b=c，因而乙?甲，但甲乙.故甲是乙的必要條件但不是充分條件.答案：B 3.（2004年浙江，8）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞A.充分而不必要條件

C.充分必要條件

12”的

B.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件 sinA＞

1212解析：在△ABC中，A＞30°?0＜sinA＜1A＞30°.∴“A＞30°”是“sinA＞答案：B

12，sinA＞?30°＜A＜150°?

”的必要不充分條件.4.若條件p:a＞4，q:5＜a＜6，則p是q的______________.解析：a＞45＜a＜6，如a=7雖然滿足a＞4，但顯然a不滿足5＜a＜6.答案：必要不充分條件

5.（2005年春季上海，16）若a、b、c是常數(shù)，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對(duì)任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的

A.充分不必要條件

C.充要條件

B.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

解析：若a＞0且b2－4ac＜0，則對(duì)任意x∈R，有ax2+bx+c＞0，反之，則不一定成立.如a=0，b=0且c＞0時(shí)，也有對(duì)任意x∈R，有ax+bx+c＞0.因此應(yīng)選A.答案：A ●典例剖析

【例1】 使不等式2x2－5x－3≥0成立的一個(gè)充分而不必要條件是

A.x＜0

C.x∈{－1，3，5}

22B.x≥0 D.x≤－

1212 或x≥3

13剖析：∵2x－5x－3≥0成立的充要條件是x≤－2x－5x－3≥0.同理其他也可用特殊值驗(yàn)證.答案：C 2

或x≥3，∴對(duì)于A當(dāng)x=－時(shí)【例2】 求證：關(guān)于x的方程ax+bx+c=0有一根為1的充分必要條件是a+b+c=0.證明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，則a+b+c=0”.∵x=1是方程的根，將x=1代入方程，得a212+b21+c=0，即a+b+c=0.（2）充分性，即“若a+b+c=0，則x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.把x=1代入方程的左邊，得a21+b21+c=a+b+c.∵a+b+c=0，∴x=1是方程的根.綜合（1）（2）知命題成立.深化拓展

求ax+2x+1=0（a≠0）至少有一負(fù)根的充要條件.證明：必要性：

（1）方程有一正根和一負(fù)根，等價(jià)于

?Δ?4?4a?0??a＜0.1?xx??0?12a?2

2（2）方程有兩負(fù)根，等價(jià)于

??Δ??????1??a?4?4a?02a?0?0＜a≤1.?0綜上可知，原方程至少有一負(fù)根的必要條件是a＜0或0＜a≤1.充分性：由以上推理的可逆性，知當(dāng)a＜0時(shí)方程有異號(hào)兩根；當(dāng)0＜a≤1時(shí)，方程有兩負(fù)根.故a＜0或0＜a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一負(fù)根的充分條件.答案：a＜0或0＜a≤1.【例3】 下列說(shuō)法對(duì)不對(duì)?如果不對(duì)，分析錯(cuò)誤的原因.22（1）x＝x＋2是xx?2=x的充分條件；

22（2）x＝x＋2是xx?2=x的必要條件.解：（1）x2=x+2是xx?2=x2的充分條件是指x2=x+2?xx?2=x2.但這里“?”不成立，因?yàn)閤=－1時(shí)，“?”左邊為真，但右邊為假.得出錯(cuò)誤結(jié)論的原因可能是應(yīng)用了錯(cuò)誤的推理：

x2=x+2?x=x?2?x2=xx?2.這里推理的第一步是錯(cuò)誤的（請(qǐng)同學(xué)補(bǔ)充說(shuō)明具體錯(cuò)在哪里）.2222（2）x=x+2是xx?2=x的必要條件是指xx?2=x?x=x+2.但這里“?”不成立，因?yàn)閤=0時(shí)，“?”左邊為真，但右邊為假.得出錯(cuò)誤結(jié)論的原因可能是用了錯(cuò)誤的推理: xx?2=x2?x?2=x?x+2=x.2這里推理的第一步是錯(cuò)誤的（請(qǐng)同學(xué)補(bǔ)充說(shuō)明具體錯(cuò)在哪里）.評(píng)述：此題的解答比較注重邏輯推理.事實(shí)上，也可以從真值集合方面來(lái)分析：x=x+2

2的真值集合是{－1，2}，xx?2=x的真值集合是{0，2}，{－1，2}{0，2}，而{0，2}

2{－1，2}，所以（1）（2）兩個(gè)結(jié)論都不對(duì).●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ)

1.（2004年重慶，7）已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q成立的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

p.C.充要條件

D.既不充分也不必要條件 解析：依題意有p?r，r?s，s?q，∴p?r?s?q.但由于rp，∴q答案：A 2.（2003年北京高考題）“cos2α=－A.必要不充分條件 C.充分必要條件

解析：cos2α=－3232”是“α=kπ+

5π12，k∈Z”的

5π6B.充分不必要條件 D.既不充分又不必要條件

5π12?2α=2kπ±?α=kπ±.答案：A 3.（2005年海淀區(qū)第一學(xué)期期末練習(xí)）在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的 A.充分不必要條件 C.充要條件

B.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

解析：在△ABC中，A＞B?cosA＜cosB（余弦函數(shù)單調(diào)性）.答案：C 4.命題A：兩曲線F（x，y）＝0和G（x，y）=0相交于點(diǎn)P（x0，y0），命題B：曲線F（x，y）+λG（x，y）＝0（λ為常數(shù)）過(guò)點(diǎn)P（x0，y0），則A是B的__________條件.答案：充分不必要 5.（2004年北京，5）函數(shù)f（x）=x－2ax－3在區(qū)間［1，2］上存在反函數(shù)的充分必要條件是

A.a∈（－∞，1］

B.a∈［2，+∞）C.α∈［1，2］

D.a∈（－∞，1］∪［2，+∞）

2解析：∵f（x）=x－2ax－3的對(duì)稱軸為x=a，∴y=f（x）在［1，2］上存在反函數(shù)的充

要條件為［1，2］?（－∞，a］或［1，2］?［a，+∞），即a≥2或a≤1.答案：D 6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件.分析：先根據(jù)前n項(xiàng)和公式，導(dǎo)出使{an}為等比數(shù)列的必要條件，再證明其充分條件.解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=p+q； 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=（p－1）2p

n－

1.*由于p≠0，p≠1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是等比數(shù)列.要使{an}（n∈N）是等比數(shù)列，則

a2a1=p，即（p－1）2p=p（p+q），∴q=－1，即{an}是等比數(shù)列的必要條件是p≠0且p≠1且q=－1.再證充分性：

當(dāng)p≠0且p≠1且q=－1時(shí)，Sn=p－1，an=（p－1）2pn－1，∴{an}是等比數(shù)列.培養(yǎng)能力

7.（2004年湖南，9）設(shè)集合U=｛（x，y）｜x∈R，y∈R｝，A=｛（x，y）|2x－y+m＞0｝，B=｛（x，y）|x+y－n≤0｝，那么點(diǎn)P（2，3）∈A∩（A.m＞－1，n＜5 C.m＞－1，n＞5 解析：∵A.答案：A 8.已知關(guān)于x的一元二次方程mx2－4x+4=0，①

x－4mx+4m－4m－5=0.②

求使方程①②都有實(shí)根的充要條件.解：方程①有實(shí)數(shù)根的充要條件是Δ1=（－4）2－16m≥0，即m≤1； 方程②有實(shí)數(shù)根的充要條件是Δ2=（4m）2－4（4m2－4m－5）≥0，即m≥－∴方程①②都有實(shí)數(shù)根的充要條件是－9.已知a、b、c是互不相等的非零實(shí)數(shù).求證：三個(gè)方程ax+2bx+c=0，bx+2cx+a=0，cx+2ax+b=0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.證明：反證法：

假設(shè)三個(gè)方程中都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根，則Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.

22222

UB）的充要條件是

n

anan?1=p（n≥2），B.m＜－1，n＜5 D.m＜－1，n＞5（x，y）｜n＜x+y｝，將UB=｛P（2，3）分別代入集合A、B取交集即可.∴選

54.54≤m≤1.①

由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.∴假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.探究創(chuàng)新

10.若x、y、z均為實(shí)數(shù)，且a=x2－2y+是否至少有一個(gè)大于零？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：假設(shè)a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，則a+b+c≤0.而a+b+c=x－2y+

2π2，b=y2－2z+

π3，c=z2－2x+

π6，則a、b、c中π2+y－2z+

2π3+z－2x+

2π6=（x－1）+（y－1）+（z－1）+π－3，222∵π－3＞0，且無(wú)論x、y、z為何實(shí)數(shù)，（x－1）+（y－1）+（z－1）≥0，∴a+b+c＞0.這與a+b+c≤0矛盾.因此，a、b、c中至少有一個(gè)大于0.●思悟小結(jié)

1.要注意一些常用的“結(jié)論否定形式”，如“至少有一個(gè)”“至多有一個(gè)”“都是”的否定形式是“一個(gè)也沒(méi)有”“至少有兩個(gè)”“不都是”.2.證明充要性要從充分性、必要性兩個(gè)方面來(lái)證明.●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛

1.掌握常用反證法證題的題型，如含有“至少有一個(gè)”“至多有一個(gè)”等字眼多用反證法.2.強(qiáng)調(diào)反證法的第一步，要與否命題分清.3.要證明充要性應(yīng)從充分性、必要性兩個(gè)方面來(lái)證.拓展題例

【例題】 指出下列命題中，p是q的什么條件.（1）p:0＜x＜3，q:|x－1|＜2；（2）p:（x－2）（x－3）=0，q:x=2；（3）p:c=0，q:拋物線y=ax2+bx+c過(guò)原點(diǎn).解：（1）p:0＜x＜3，q:－1＜x＜3.p是q的充分但不必要條件.（2）pq，q?p.p是q的必要但不充分條件.（3）p是q的充要條件.評(píng)述：依集合的觀點(diǎn)看，若A?B，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件.2

第五篇：2014年高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教案：2.4 函數(shù)的奇偶性

2.4 函數(shù)的奇偶性

●知識(shí)梳理

1.奇函數(shù)：對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+ f（－x）=0〕，則稱f（x）為奇函數(shù).2.偶函數(shù)：對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，則稱f（x）為偶函數(shù).3.奇、偶函數(shù)的性質(zhì)

（1）具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（也就是說(shuō)，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）.（2）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.（3）若奇函數(shù)的定義域包含數(shù)0，則f（0）=0.（4）奇函數(shù)的反函數(shù)也為奇函數(shù).（5）定義在（－∞，+∞）上的任意函數(shù)f（x）都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和.●點(diǎn)擊雙基

1.下面四個(gè)結(jié)論中，正確命題的個(gè)數(shù)是

①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交

②奇函數(shù)的圖象一定通過(guò)原點(diǎn)

③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

④既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（x）=0（x∈R）

A.1

B.2

C.3

D.4 解析：①不對(duì)；②不對(duì)，因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域可能不包含原點(diǎn)；③正確；④不對(duì)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以為f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：A 2.已知函數(shù)f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函數(shù)，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是 A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù) C.既奇且偶函數(shù)

D.非奇非偶函數(shù)

3解析：由f（x）為偶函數(shù)，知b=0，有g(shù)（x）=ax＋cx（a≠0）為奇函數(shù).答案：A 3.若偶函數(shù)f（x）在區(qū)間［－1，0］上是減函數(shù)，α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，且α≠β，則下列不等式中正確的是

A.f（cosα）＞f（cosβ）

C.f（sinα）＞f（sinβ）

B.f（sinα）＞f（cosβ）D.f（cosα）＞f（sinβ）

解析：∵偶函數(shù)f（x）在區(qū)間［－1，0］上是減函數(shù)，∴f（x）在區(qū)間［0，1］上為增函數(shù).由α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞0.∴f（sinα）＞f（cosβ）.答案：B 4.已知（fx）＝ax＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)椋踑－1，2a］，則a＝___________，b＝___________.解析：定義域應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故有a－1＝－2a，得a＝

32.又對(duì)于所給解析式，要使f（－x）＝f（x）恒成立，應(yīng)b＝0.答案：13

0 1x5.給定函數(shù):①y=（x≠0）；②y=x2+1；③y=2x；④y=log2x；⑤y=log2（x+

x2?1）.在這五個(gè)函數(shù)中，奇函數(shù)是_________，偶函數(shù)是_________，非奇非偶函數(shù)是__________.答案：①⑤

②

③④ ●典例剖析

【例1】 已知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，y=f（x－2）在［0，2］上是單調(diào)減函數(shù)，則 A.f（0）＜f（－1）＜f（2）C.f（－1）＜f（2）＜f（0）

B.f（－1）＜f（0）＜f（2）D.f（2）＜f（－1）＜f（0）

剖析：由f（x－2）在［0，2］上單調(diào)遞減，∴f（x）在［－2，0］上單調(diào)遞減.∵y=f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）在［0，2］上單調(diào)遞增.又f（－1）=f（1），故應(yīng)選A.答案：A 【例2】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）2

1?x1?x；

（3）f（x）=1?x2|x?2|?2?x(1?x)?x(1?x)；

（4）f（x）=?(x?0),(x?0).剖析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.解：（1）函數(shù)的定義域x∈（－∞，+∞），對(duì)稱于原點(diǎn).∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函數(shù).（2）先確定函數(shù)的定義域.由

1?x1?x≥0，得－1≤x＜1，其定義域不對(duì)稱于原點(diǎn)，所以f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（3）去掉絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)定義判斷.?1?x2?0,??1?x?1,由?得?

x?0且x??4.|x?2|?2?0,??故f（x）的定義域?yàn)椋郏?，0）∪（0，1］，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且有x+2＞0.從而有f（x）= 1?x2x?2?2=1?xx2，這時(shí)有f（－x）=

1?(?x)?x2=－

1?xx2=－f（x），故f（x）為奇函

數(shù).（4）∵函數(shù)f（x）的定義域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函數(shù)f（x）為奇函數(shù).評(píng)述：（1）分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明.（2）判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡(jiǎn)函數(shù)解析式.【例3】（2005年北京東城區(qū)模擬題）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈={x|x≠0}，且滿足對(duì)于任意x1、x2∈D，有f（x12x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；

（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；

（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x－6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，求x的取值范圍.（1）解：令x1=x2=1，有f（131）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）證明：令x1=x2=－1，有f［（－1）3（－1）］=f（－1）+f（－1）.解得f（－1）=0.令x1=－1，x2=x，有f（－x）=f（－1）+f（x），∴f（－x）=f（x）.∴f（x）為偶函數(shù).（3）解：f（434）=f（4）+f（4）=2，f（1634）=f（16）+f（4）=3.∴f（3x+1）+f（2x－6）≤3即f［（3x+1）（2x－6）］≤f（64）.（*）∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴（*）等價(jià)于不等式組

?(3x?1)(2x?6)?0, ??(3x?1)(2x?6)?64?(3x?1)(2x?6)?0,??(3x?1)(2x?6)?64,或?

1?x?3或x??,?1????x?3,?3或?或?3

?x?R.??7?x?5???3∴3＜x≤5或－73≤x＜－

7313或－

1313＜x＜3.或－

13∴x的取值范圍為{x|－≤x＜－＜x＜3或3＜x≤5}.評(píng)述：解答本題易出現(xiàn)如下思維障礙：

（1）無(wú)從下手，不知如何脫掉“f”.解決辦法:利用函數(shù)的單調(diào)性.（2）無(wú)法得到另一個(gè)不等式.解決辦法：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)的單調(diào)性相反.深化拓展

已知f（x）、g（x）都是奇函數(shù)，f（x）＞0的解集是（a，b），g（x）＞0的解集是（b2

2a22，），b2＞a，那么f（x）2g（x）＞0的解集是 2

A.（a222，b2b2）

b2

2B.（－b，－a2）D.（a2C.（a，）∪（－，－a）

2，b）∪（－b2，－a2）

提示：f（x）2g（x）＞0??2

?f(x)?0,?g(x)?02

或??f(x)?0,?g(x)?0.∴x∈（a，答案：C b2）∪（－

b2，－a）.【例4】（2004年天津模擬題）已知函數(shù)f（x）=x+

px+m（p≠0）是奇函數(shù).（1）求m的值.（2）（理）當(dāng)x∈［1，2］時(shí)，求f（x）的最大值和最小值.（文）若p＞1，當(dāng)x∈［1，2］時(shí)，求f（x）的最大值和最小值.解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（－x）=－f（x）.∴－x－pxpx+m=－x－－m.∴2m=0.∴m=0.（2）（理）（?。┊?dāng)p＜0時(shí)，據(jù)定義可證明f（x）在［1，2］上為增函數(shù).∴f（x）max= f（2）=2+p2，f（x）min=f（1）=1+p.p］上是減函數(shù)，在［

p，+∞）（ⅱ）當(dāng)p＞0時(shí)，據(jù)定義可證明f（x）在（0，上是增函數(shù).①當(dāng)p＜1，即0＜p＜1時(shí)，f（x）在［1，2］上為增函數(shù)，∴f（x）max=f（2）=2+②當(dāng)

p2，f（x）min=f（1）=1+p.p∈［1，2］時(shí)，f（x）在［1，p］上是減函數(shù).在［p，2］上是增函數(shù).p.f（x）min=f（p）=2f（x）max=max{f（1），f（2）}=max{1+p，2+當(dāng)1≤p≤2時(shí)，1+p≤2+③當(dāng)

p2p2}.p2，f（x）max=f（2）；當(dāng)2＜p≤4時(shí)，1+p≥2+，f（x）max=f（1）.p＞2，即p＞4時(shí)，f（x）在［1，2］上為減函數(shù)，∴f（x）max=f（1）=1+p，f（x）min=f（2）=2+（文）解答略.p2.評(píng)述：f（x）=x+px（p＞0）的單調(diào)性是一重要問(wèn)題，利用單調(diào)性求最值是重要方法.深化拓展

f（x）=x+px的單調(diào)性也可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷，本題如何用導(dǎo)數(shù)來(lái)解？

●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ)

1.定義在區(qū)間（－∞，+∞）上的奇函數(shù)f（x）為增函數(shù)，偶函數(shù)g（x）在區(qū)間［0，+∞）上的圖象與f（x）的圖象重合，設(shè)a＜b＜0，給出下列不等式，其中成立的是

①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b）②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）A.①④

B.②③

C.①③

D.②④

解析：不妨取符合題意的函數(shù)f（x）=x及g（x）=|x|進(jìn)行比較，或一般地g（x）=??f(x)?f(?x)x?0,x?0, f（0）=0，f（a）＜f（b）＜0.答案：D 2.（2003年北京海淀區(qū)二模題）函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，又是以2為周期的周期函數(shù).若f（x）在［－1，0］上是減函數(shù)，那么f（x）在［2，3］上是

A.增函數(shù)

C.先增后減的函數(shù)

B.減函數(shù)

D.先減后增的函數(shù)

解析：∵偶函數(shù)f（x）在［－1，0］上是減函數(shù)，∴f（x）在［0，1］上是增函數(shù).由周期為2知該函數(shù)在［2，3］上為增函數(shù).答案：A 3.已知f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=lgf（x）的表達(dá)式是__________.解析：當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，－x∈（0，1），∴f（x）=－f（－x）=－lg答案：lg（1－x）

?x?2?24.（2003年北京）函數(shù)f（x）=lg（1+x），g（x）=?0??x?2?x??1,|x|?1,h（x）=tan2x中，x?1.11?x，那么當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，11?x=lg（1－x）.______________是偶函數(shù).解析：∵f（－x）=lg［1+（－x）］=lg（1+x）=f（x），∴f（x）為偶函數(shù).又∵1°當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，－1≤－x≤1，∴g（－x）=0.又g（x）=0，∴g（－x）=g（x）.2°當(dāng)x＜－1時(shí)，－x＞1，∴g（－x）=－（－x）+2=x+2.又∵g（x）=x+2，∴g（－x）=g（x）.3°當(dāng)x＞1時(shí)，－x＜－1，2

∴g（－x）=（－x）+2=－x+2.又∵g（x）=－x+2，∴g（－x）=g（x）.綜上，對(duì)任意x∈R都有g(shù)（－x）=g（x）.∴g（x）為偶函數(shù).h（－x）=tan（－2x）=－tan2x=－h(huán)（x），∴h（x）為奇函數(shù).答案：f（x）、g（x）5.若f（x）=a?2?a?22?122xxx為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.解：∵x∈R，∴要使f（x）為奇函數(shù)，必須且只需f（x）+f（－x）=0，即a－a－22?x?1+ ?1=0，得a=1.6.（理）定義在［－2，2］上的偶函數(shù)g（x），當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，若g（1－m）＜g（m），求m的取值范圍.解：由g（1－m）＜g（m）及g（x）為偶函數(shù)，可得g（|1－m|）＜g（|m|）.又g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴|1－m|＞|m|，且|1－m|≤2，|m|≤2，解得－1≤m＜說(shuō)明：也可以作出g（x）的示意圖，結(jié)合圖形進(jìn)行分析.（文）（2005年北京西城區(qū)模擬題）定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，又f（－3）=0，則不等式xf（x）＜0的解集為

A.（－3，0）∪（0，3）

B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）

D.（－∞，－3）∪（0，3）解析：由奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合圖象來(lái)解.答案：A 培養(yǎng)能力 7.已知f（x）＝x（12x12.?1＋

12）.（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）證明f（x）＞0.（1）解：f（x）＝x2

2xx?1?1)，其定義域?yàn)閤≠0的實(shí)數(shù).又f（－x）＝－x2

2?x?x?1?1)2(21?2xx2(2＝－x2＝x2

2xx?1?1)＝f（x），2(1?2)2(2∴f（x）為偶函數(shù).（2）證明：由解析式易見(jiàn)，當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞0.又f（x）是偶函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)－x＞0，∴當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＝f（－x）＞0，即對(duì)于x≠0的任何實(shí)數(shù)x，均有f（x）＞0.探究創(chuàng)新

8.設(shè)f（x）=log1（21?axx?1）為奇函數(shù)，a為常數(shù)，（1）求a的值；

（2）證明f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；

（3）若對(duì)于［3，4］上的每一個(gè)x的值，不等式f（x）＞（m的取值范圍.（1）解：f（x）是奇函數(shù)，∴f（－x）=－f（x）.∴l(xiāng)og1?ax1212）+m恒成立，求實(shí)數(shù)

x?x?1=－log

1?ax12x?1?1?ax?x?1=

x?11?ax＞0?1－a2x2=1－x2?a=±1.檢驗(yàn)a=1（舍），∴a=－1.（2）證明：任取x1＞x2＞1，∴x1－1＞x2－1＞0.∴0＜2x1?1＜2x2?1?0＜1+

2x1?1＜1+

2x2?1?0＜

x1?1x1?1＜

x2?1x2?1?log

x1?112x1?1＞logx2?112x2?1，即f（x1）＞f（x2）.∴f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.1（3）解：f（x）－（）x＞m恒成立.2令g（x）=f（x）－（）x.只需g（x）min＞m，用定義可以證g（x）在［3，4］上是

21增函數(shù)，∴g（x）min=g（3）=－

98.∴m＜－

98時(shí)原式恒成立.●思悟小結(jié)

1.函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，即自變量x在整個(gè)定義域內(nèi)任意取值.2.有時(shí)可直接根據(jù)圖象的對(duì)稱性來(lái)判斷函數(shù)的奇偶性.●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛

1.函數(shù)的奇偶性經(jīng)常與函數(shù)的其他性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性結(jié)合起來(lái)考查.因此，在復(fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)加強(qiáng)知識(shí)橫向間的聯(lián)系.2.數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)是解決本節(jié)問(wèn)題常用的思想方法.3.在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)強(qiáng)調(diào)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，而單調(diào)性是其局部性質(zhì).拓展題例

【例1】 已知函數(shù)f（x）=

ax2?1bx?c（a、b、c∈Z）是奇函數(shù)，又f（1）=2，f（2）＜3，求a、b、c的值.解：由f（－x）=－f（x），得－bx+c=－（bx+c）.∴c=0.由f（1）=2，得a+1=2b.由f（2）＜3，得4a?1a?1＜3，解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a=0或a=1.若a=0，則b=

12，與b∈Z矛盾.∴a=1，b=1，c=0.【例2】 已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且對(duì)任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=－3.（1）試證明：函數(shù)y=f（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)；

（2）試證明：函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；

（3）試求函數(shù)y=f（x）在［m，n］（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域.分析：（1）可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行論證，考慮證明過(guò)程中如何利用題設(shè)條件.（2）可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明，應(yīng)由條件先得到f（0）=0后，再利用條件f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）中x1、x2的任意性，可使結(jié)論得證.（3）由（1）的結(jié)論可知f（m）、f（n）分別是函數(shù)y=f（x）在［m、n］上的最大值與最小值，故求出f（m）與f（n）就可得所求值域.（1）證明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，f（x2）=f［x1+（x2－x1）］，于是由題設(shè)條件f（x+x′）=f（x）+f（x′）可知f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）.∵x2＞x1，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0.∴f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）＜f（x1）.故函數(shù)y=f（x）是單調(diào)減函數(shù).（2）證明：∵對(duì)任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），∴若令x=x′=0，則f（0）=f（0）+f（0）.∴f（0）=0.再令x′=－x，則可得f（0）=f（x）+f（－x）.∵f（0）=0，∴f（－x）=－f（x）.故y=f（x）是奇函數(shù).（3）解：由函數(shù)y=f（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)，∴y=f（x）在［m，n］上也為單調(diào)減函數(shù).∴y=f（x）在［m，n］上的最大值為f（m），最小值為f（n）.∴f（n）=f［1+（n－1）］=f（1）+f（n－1）=2f（1）+f（n－2）=?=nf（1）.同理，f（m）=mf（1）.∵f（3）=－3，∴f（3）=3f（1）=－3.∴f（1）=－1.∴f（m）=－m，f（n）=－n.因此，函數(shù)y=f（x）在［m，n］上的值域?yàn)椋郏璶，－m］.評(píng)述：（1）滿足題設(shè)條件f（x+x′）=f（x）+f（x′）的函數(shù)，只要其定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，它就為奇函數(shù).（2）若將題設(shè)條件中的x＞0，均有f（x）＜0改成均有f（x）＞0，則函數(shù)f（x）就是R上的單調(diào)增函數(shù).（3）若題設(shè)條件中的m、n∈Z去掉，則我們就無(wú)法求出f（m）與f（n）的值，故m、n∈Z不可少.