第一篇：高中數(shù)學(xué)第十章-排列組合范文

高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)................................................................高考復(fù)習(xí)科目：數(shù)學(xué)

高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

（九）復(fù)習(xí)內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)第十章-排列組合 復(fù)習(xí)范圍：第十章 編寫時間：2004-7 修訂時間：總計第三次 2005-4

一、兩個原理.1.乘法原理、加法原理.2.可以有重復(fù)元素的排列.．．．．．．．從m個不同元素中，每次取出n個元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個，所以從m個不同元素中，每次取出n個元素可重復(fù)排列數(shù)m·m·… m = mn..例如：n件物品放入m個抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？

（解：m種）

二、排列.1.?對排列定義的理解.定義：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m．．．．．．個元素的一個排列.?相同排列.如果；兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.?排列數(shù).從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.從n

m個不同元素中取出m個元素的一個排列數(shù)，用符號An表示.n?排列數(shù)公式：

Am?n(n?1)?(n?m?1)?n!(m?n,n,m?N)

(n?m)!注意：n?n!?(n?1)!?n!

規(guī)定0!= 1

mmmm?1mm?1mm?10

An

規(guī)定Cn?CnAn??nAnn?1 1?An?Am?Cn?An?mAn?12.含有可重元素的排列問題.．．．．．．對含有相同元素求排列個數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個不同元素a1，a2,…...an其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 則S的排列個數(shù)等于n?n!.n1!n2!...nk!例如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個數(shù)n?數(shù)n?3!?1.3!

三、組合.(1?2)!?3又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個數(shù)？其排列個1!2!1.?組合：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)

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m?組合數(shù)公式：Cm?An?n(n?1)?(n?m?1)nmAmm!Cmn?n!

m!(n?m)!n?mm?1mm?兩個公式：①Cmn?Cn;

②Cn?Cn?Cn?1

①從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中取出 n-m個元素的方法是一一對應(yīng)的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的一個組合.（或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是1m?1m含紅球選法有Cm?n?C11?Cn一類是不含紅球的選法有Cn）

②根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取m-1個元素，所以有C一元素，則需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有C?排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個不同元素中取出m個元素.區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無順序關(guān)系.?①幾個常用組合數(shù)公式

012n Cn?Cn?Cn???nn?2m?1n，如果不取這

mn1m種，依分類原理有Cm?n?Cmn?Cn?1.024135Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n?1mmmm?1Cmn?Cm?1?Cm?2?Cm?n?Cm?n?1kC?nCknk?1n?1

11?1Ck?Cknn?1k?1n?1②常用的證明組合等式方法例.i.裂項(xiàng)求和法.如：123n1n?111?????1???）（利用2!3!4!(n?1)!(n?1)!n!(n?1)!n!ii.導(dǎo)數(shù)法.iii.數(shù)學(xué)歸納法.iv.倒序求和法.m?1m3333v.遞推法（即用CmCn?Cn?4n?Cn?Cn?1遞推）如：C3?C4?C5??1.02122nvi.構(gòu)造二項(xiàng)式.如：(Cn)?(Cn)???(Cnn)?C2n證明：這里構(gòu)造二項(xiàng)式(x?1)n(1?x)n?(1?x)2n其中x的系數(shù)，左邊為

01n?12n?2n00212n2，而右邊?C2n Cn?Cnn?Cn?Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?(Cn)?(Cn)???(Cn)nn

四、排列、組合綜合.1.I.排列、組合問題幾大解題方法及題型： ①直接法.②排除法.③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當(dāng)作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個不同元素排成一列，要求其中某m(m?n)個元素必相鄰的排列有An?m?1?Am個.其中An?m?1是一個“整體排列”，而Am則是“局部排列”.22又例如①有n個不同座位，A、B兩個不能相鄰，則有排列法種數(shù)為An.?An?11?A2n?m?1mn?m?1m高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)

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?12.②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有Ann?1?A22?1.③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有An?Ann?1注：①③區(qū)別在于①是確定的座位，有A2種；而③的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個，有不2確定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.?mm例如：n個元素全排列，其中m個元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少？An（插空法），當(dāng)n n?m?An?m?1– m+1≥m, 即m≤n?1時有意義.2⑤占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.⑥調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：先將n個元素進(jìn)行全排列有Ann種，m(m?n)個元素的全排列有Amm種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有

AnnAmm種排列方法.例如：n個元素全排列，其中m個元素順序不變，共有多少種不同的排法？ 解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m?。唤夥ǘ海ū壤峙浞ǎ?/p>

mAnn/Am.⑦平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有

nnCkn?C(k?1)nn?CnAkk.C2例如：從1，2，3，4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分法？有4?3（平均分組就用不著管組

2!與組之間的順序問題了）又例如將200名運(yùn)動員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？（P?82C18C210C20/2!）

注意：分組與插空綜合.例如：n個元素全排列，其中某m個元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？?mmm有An，當(dāng)n – m+1 ≥m, 即m≤n?1時有意義.n?m?An?m?1/Am2⑧隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.例如：x1?x2?x3?x4?12的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為x1,x2,x3,x4顯然x1?x2?x3?x4?12，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解(y1,y2,y3,y4)，對應(yīng)著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式（如圖所示）故方程的解和插板的方法一一對應(yīng).即方程的3解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù)C11.x1x2x3x4注意：若為非負(fù)數(shù)解的x個數(shù)，即用a1,a2,...an中ai等于xi?1，有x1?x2?x3...?xn?A?a1?1?a2?1?...an?1?A，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個數(shù)為CA?n.⑨定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規(guī)定某r個元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)

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n?1?r個指定位置則有ArrAkn?r.例如：從n個不同元素中，每次取出m個元素的排列，其中某個元素必須固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少種排法？

m1m?1m?1或m，?1；固定在某一位置上：不在某一位置上：（一類是不取出特殊元素a，有An?An?AmAm1?Am?1?An?1n?An?11n?1一類是取特殊元素a，有從m-1個位置取一個位置，然后再從n-1個元素中取m-1，這與用插空法解決是一樣的）

⑩指定元素排列組合問題.i.從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都包含在內(nèi)。先C后Ak?rkrk?r策略，排列CrrCn?rAk；組合CrCn?r.ii.從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都不包含在內(nèi)。先C后Akk策略，排列Cn?rAk；組合Cn?kr.iii 從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個排列（或組合）都只包含某r個

k?sksk?s元素中的s個元素。先C后A策略，排列CrsCn?rAk；組合CrCn?r.II.排列組合常見解題策略：

①特殊元素優(yōu)先安排策略；②合理分類與準(zhǔn)確分步策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略（處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列）；④正難則反，等價轉(zhuǎn)化策略；⑤相鄰問題插空處理策略； ⑥不相鄰問題插空處理策略；⑦定序問題除法處理策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略；⑩構(gòu)造模型的策略.2.組合問題中分組問題和分配問題.①均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為A/Ar（其中A為非均勻不編號分組中分法數(shù)）.如果再有K組均勻分組應(yīng)再除以Ak.rk244例：10人分成三組，各組元素個數(shù)為2、4、4，其分法種數(shù)為C10.若分成六組，各組人C8C4/A22?***數(shù)分別為1、1、2、2、2、2，其分法種數(shù)為C10 C9C8C6C4C2/A22?A4②非均勻編號分組: n個不同元素分組，各組元素數(shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為A?Am m233例：10人分成三組，各組人數(shù)分別為2、3、5，去參加不同的勞動，其安排方法為：C10種.?C8?C55?A3234若從10人中選9人分成三組，人數(shù)分別為2、3、4，參加不同的勞動，則安排方法有C10種 C8C5?A33③均勻編號分組：n個不同元素分成m組，其中r組元素個數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為m.A/Arr?Am例：10人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4，參加三種不同勞動，分法種數(shù)為C10C8C4?A3

32244A2④非均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，每組元素數(shù)目均不相同，且不考慮各組間順序，k不管是否分盡，其分法種數(shù)為A?Cn1Cn-2m1…Cn-(m1?m2?...?mk-1)

mmm235例：10人分成三組，每組人數(shù)分別為2、3、5，其分法種數(shù)為C10C8C5?2520若從10人中選出6人分成三

123組，各組人數(shù)分別為1、2、3，其分法種數(shù)為C10C9C7?12600.高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)

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五、二項(xiàng)式定理.0n01n?1rn?rrn0n1.?二項(xiàng)式定理：(a?b)n?Cnab?Cnab???Cnab???Cnab.展開式具有以下特點(diǎn)： ① 項(xiàng)數(shù)：共有n?1項(xiàng)；

012r② 系數(shù)：依次為組合數(shù)Cn,Cn,Cn,?,Cn,?,Cnn;

③ 每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.?二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).rn?rr（a?b)n展開式中的第r?1項(xiàng)為：Tr?1?Cnab(0?r?n,r?Z).?二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).①在二項(xiàng)展開式中與首未兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等； ②二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.．．．．．

nI.當(dāng)n是偶數(shù)時，中間項(xiàng)是第?1項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)C2n最大；

2n?1n?1II.當(dāng)n是奇數(shù)時，中間項(xiàng)為兩項(xiàng)，即第項(xiàng)和第?1項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)C22③系數(shù)和：

01nCn?Cn???Cnn?202413Cn?Cn?Cn???Cn?Cn???2n?1n?1n?12?C2最大.nnn

附：一般來說(ax?by)n(a,b為常數(shù)）在求系數(shù)最大的項(xiàng)或最小的項(xiàng)時均可直接根據(jù)性質(zhì)二求解.當(dāng)．．．．．．．．．．．

?Ak?Ak?1,?Ak?Ak?1或?(Ak為Tk?1的系數(shù)或系數(shù)的絕對值）的a?1或b?1時，一般采用解不等式組?A?AA?Akk?1kk?1??辦法來求解.pqr?如何來求(a?b?c)n展開式中含abc的系數(shù)呢？其中p,q,r?N,且p?q?r?n把

r(a?b?c)n?[(a?b)?c]n視為二項(xiàng)式，先找出含有Cr的項(xiàng)Cn(a?b)n?rCr，另一方面在(a?b)n?r中qpqrrqpqrqn?r?qqqpq含有b的項(xiàng)為Cn?r故在(a?b?c)n中含abc的項(xiàng)為CnCn?rabc.其系數(shù)為ab?Cn?rab，rCnCn?qr?(n?r)!n!n!pqr???CnCn?pCr.r!(n?r)!q!(n?r?q)!r!q!p!2.近似計算的處理方法.當(dāng)a的絕對值與1相比很小且n不大時，常用近似公式(1?a)?1?na，因?yàn)檫@時展開式的后面部分2233nnCna?Cna???Cna很小，可以忽略不計。類似地，有(1?a)n?1?na但使用這兩個公式時應(yīng)注意a

n的條件，以及對計算精確度的要求.高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)

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第二篇：高中數(shù)學(xué)排列組合教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)《排列組合》教學(xué)設(shè)計

【教學(xué)目標(biāo)】 1．知識目標(biāo)

（1）能夠熟練判斷所研究問題是否是排列或組合問題；（2）進(jìn)一步熟悉排列數(shù)、組合數(shù)公式的計算技能；（3）熟練應(yīng)用排列組合問題常見解題方法；

（4）進(jìn)一步增強(qiáng)分析、解決排列、組合應(yīng)用題的能力。2．能力目標(biāo)

認(rèn)清題目的本質(zhì)，排除非數(shù)學(xué)因素的干擾，抓住問題的主要矛盾，注重不同題目之間解題方法的聯(lián)系，化解矛盾，并要注重解題方法的歸納與總結(jié)，真正提高分析、解決問題的能力。3．德育目標(biāo)

（1）用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題；

（2）認(rèn)識事物在一定條件下的相互轉(zhuǎn)化；（3）解決問題能抓住問題的本質(zhì)?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：排列數(shù)與組合數(shù)公式的應(yīng)用 【教學(xué)難點(diǎn)】：解題思路的分析

【教學(xué)策略】：以學(xué)生自主探究為主，教師在必要時給予指導(dǎo)和提示，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動采用自主探索和小組協(xié)作討論相結(jié)合的方法。

【媒體選用】：學(xué)生在計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)教室通過專題學(xué)習(xí)網(wǎng)站，利用網(wǎng)絡(luò)資源（如在線測度等）進(jìn)行自主探索和研究。

【教學(xué)過程】

一、知識要點(diǎn)精析

（一）基本原理

1.分類計數(shù)原理 2.分步計數(shù)原理

3.兩個原理的區(qū)別在于一個與分類有關(guān)，一個與分步有關(guān)即“聯(lián)斥性”：（1）對于加法原理有以下三點(diǎn)： ①“斥”——互斥獨(dú)立事件；

②模式：“做事”——“分類”——“加法”

③關(guān)鍵：抓住分類的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤诸?，要使分類既不遺漏也不重復(fù)。（2）對于乘法原理有以下三點(diǎn)： ①“聯(lián)”——相依事件；

②模式：“做事”——“分步”——“乘法”

③關(guān)鍵：抓住特點(diǎn)進(jìn)行分步，要正確設(shè)計分步的程序使每步之間既互相聯(lián)系又彼此獨(dú)立。

（二）排列

1．排列定義 2．排列數(shù)定義 3． 排列數(shù)公式

（三）組合

1．組合定義 2．組合數(shù)定義 3．組合數(shù)公式 4．組合數(shù)的兩個性質(zhì)

（四）排列與組合的應(yīng)用

1.排列的應(yīng)用問題

（1）無限制條件的簡單排列應(yīng)用問題，可直接用公式求解。

（2）有限制條件的排列問題，可根據(jù)具體的限制條件，用“直接法”或“間接法”求解。2．組合的應(yīng)用問題

（1）無限制條件的簡單組合應(yīng)用問題，可直接用公式求解。

（2）有限制條件的組合問題，可根據(jù)具體的限制條件，用“直接法”或“間接法”求解。3．排列、組合的綜合問題

排列組合的綜合問題，主要是排列組合的混合題，解題的思路是先解決組合問題，然后再討論排列問題。

在解決排列與組合的應(yīng)用題時應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）限制條件的排列問題常見命題形式： “在”與“不在” “相鄰”與“不相鄰”

在解決問題時要掌握基本的解題思想和方法：

①“相鄰”問題在解題時常用“捆綁法”，可以把兩個或兩個以上的元素當(dāng)做一個元素來看，這是處理相鄰最常用的方法。

②“不相鄰”問題在解題時最常用的是“插空法”。

③“在”與“不在”問題，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置。

④元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后利用規(guī)定順序的實(shí)情求出結(jié)果。

（2）限制條件的組合問題常見命題形式： “含”與“不含” “至少”與“至多”

在解題時常用的方法有“直接法”或“間接法”。

（3）在處理排列組合綜合題時，通過分析條件按元素的性質(zhì)分類，做到不重復(fù)，不遺漏按事件的發(fā)生過程分類、分步，正確地交替使用兩個原理，這是解決排列問題的最基本，也是最重要的思想方法。

4、解題步驟：（1）認(rèn)真審題（2）列式并計算（3）作答

二、學(xué)習(xí)過程 題型一：排列應(yīng)用題

9名同學(xué)站成一排：（分別用A，B，C等作代號）（1）如果A必站在中間，有多少種排法？（答案：）（2）如果A不能站在中間，有多少種排法？（答案：）

（3）如果A必須站在排頭，B必須站在排尾，有多少種排法？（答案：）（4）如果A不能在排頭，B不能在排尾，有多少種排法？（答案：）（5）如果A，B必須排在兩端，有多少種排法？（答案：）（6）如果A，B不能排在兩端，有多少種排法？（答案：）（7）如果A，B必須在一起，有多少種排法？（答案：）（8）如果A，B必須不在一起，有多少種排法？（答案：）（9）如果A，B，C順序固定，有多少種排法？（答案：）題型二：組合應(yīng)用題

若從這9名同學(xué)中選出3名出席一會議

（10）若A，B兩名必在其內(nèi)，有多少種選法？（答案：）（11）若A，B兩名都不在內(nèi)，有多少種選法？（答案：）（12）若A，B兩名有且只有一名在內(nèi)，有多少種選法？（答案：）（13）若A，B兩名中至少有一名在內(nèi)，有多少種選法？（答案： 或）（14）若A，B兩名中至多有一名在內(nèi)，有多少種選法？（答案： 或）題型三：排列與組合綜合應(yīng)用題

若9名同學(xué)中男生5名，女生4名

（15）若選3名男生，2名女生排成一排，有多少種排法？（答案：）（16）若選3名男生2名女生排成一排且有一男生必須在排頭，有多少種排法？（答案：）

（17）若選3名男生2名女生排成一排且某一男生必須在排頭，有多少種排法？（答案：）

（18）若男女生相間，有多少種排法？（答案：）題型四：分組問題

6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？

（19）一堆一本，一堆兩本，一堆三本

（答案：）（20）甲得一本，乙得兩本，丙得三本

（答案：）（21）一人得一本，一人得兩本，一人得三本

（答案：）（22）平均分給甲、乙、丙三人

（答案：）（23）平均分成三堆

（答案：）

（24）分成四堆，一堆三本，其余各一本

（答案：）（25）分給三人每人至少一本。（答案： + +）題型五：全能與專項(xiàng)

車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機(jī)床，有多少種選派方法？ 題型六：染色問題

（26）梯形的兩條對角線把梯形分成四部分，用五種不同顏色給這四部分涂不同顏色，且相鄰的區(qū)域不同色，問有（）種不同的涂色方法？

（答案：260）

（27）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖）?，F(xiàn)在栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相 鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有

種。分析：先排1、2、3排法 種排法；再排4，若4與2同色，5有 種排法，6有1種排法；若4與2不同色，4只有1種排法； 若5與2同色，6有 種排法；若5與3同色，6有1種排法 所以共有（+ +1）=120種 題型七：編號問題

（28）四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，則恰有一個空盒的放法共有多少種？

（答案：144）（29）將數(shù)字1，2，3，4填在標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，每格填上一個數(shù)字且每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法有多少種？（答案：9）

題型八：幾何問題

（30）：（Ⅰ）四面體的一個頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)中取3個點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一個平面上，有多少種不同的取法？

（Ⅱ）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個點(diǎn)，在其中取4個不共面的點(diǎn)，有多少種不同的取法？

解：（1）（直接法）如圖，含頂點(diǎn)A的四面體的3個面上，除點(diǎn)A外都有 5個點(diǎn)，從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面共有 種取法，含頂點(diǎn)A的 三條棱上各有三個點(diǎn)，它們與所對的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法。根據(jù)分類計數(shù)原理，與頂點(diǎn)A共面三點(diǎn)的取法有 +3=33（種）

（2）（間接法）如圖，從10個頂點(diǎn)中取4個點(diǎn)的取法有 種，除去4點(diǎn)共面 的取法種數(shù)可以得到結(jié)果。從四面體同一個面上的6個點(diǎn)取出4點(diǎn)必定共面。有 =60種，四面體的每一條棱上3點(diǎn)與相對棱中點(diǎn)共面，共有6種共面情況，從6條棱的中點(diǎn)中取4個點(diǎn)時有3種共面情形（對棱中點(diǎn)連線兩兩相交且互相平分）故4點(diǎn)不共面的取法為

-（60+6+3）=141 題型九：關(guān)于數(shù)的整除個數(shù)的性質(zhì)：

①被2整除的：個位數(shù)為偶數(shù)；

②被3整除的：各個位數(shù)上的數(shù)字之和被3整除；

③被6整除的：3的倍數(shù)且為偶數(shù)；

④被4整除的：末兩位數(shù)能被4整除；

⑤被8整除的：末三位數(shù)能被8整除；

⑥25的倍數(shù)：末兩位數(shù)為25的倍數(shù)；

⑦5的倍數(shù)：個位數(shù)是0，5；

⑧9的倍數(shù)：各個位數(shù)上的數(shù)字之和為9的倍數(shù)。

（31）：用0,1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中5的倍數(shù)有多少個？（答案：216）

題型十：隔板法：（適用于“同元”問題）

（32）：把12本相同的筆記本全部分給7位同學(xué)，每人至少一本，有多少種分法？ 分析：把12本筆記本排成一行，在它們之間有11個空當(dāng)（不含兩端）插上6塊板將本子分成7份，對應(yīng)著7名同學(xué)，不同的插法就是不同的分法，故有 種。

三、在線測試題

1．以一個正方形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有（D）個（A）70（B）64（C）60（D）58 2．3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所所為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方法共有（D）

（A）90種（B）180種（C）270種（D）540種

3．將組成籃球隊(duì)的12個名額分配給7所學(xué)校，每校至少1個名額，則不同的名額分配方法共有（A）

（A）（B）（C）（D）

4．5本不同的書，全部分給四個學(xué)生，每個學(xué)生至少1本，不同分法的種數(shù)為（B）（A）480（B）240（C）120（D）96 5．編號為1，2，3，4，5的五個人分別去坐在編號為1，2，3，4，5的座位上，至多有兩個號碼一致的坐法種數(shù)為（C）（A）90（B）105（C）109（D）100 6．如右圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)在4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有（B）種（用數(shù)字作答）（A）48（B）72（C）120（D）36 7．若把英語“error”中字母的拼寫順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤的種數(shù)是（A）。（A）19（B）20（C）119（D）60 8．某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場，得3分；平一場，得1分；負(fù)一場，得0分，一球隊(duì)打完15場，積分33分，若不考慮順序，該隊(duì)勝、負(fù)、平的情況有（D）

（A）6 種

（B）5種

（C）4種

（D）3種

四、課后練習(xí)

1．10個不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒子的編數(shù)，問有 種不同的放法？

2．坐在一排9個椅子上，相鄰兩人之間至少有2個空椅子，則不同的坐法的種數(shù)是 3．如圖A，B，C，D為海上的四個小島，要建三座橋，將這四個島連接起來，不同的建橋方案共有 種。

4．面直角坐標(biāo)系中，X軸正半軸上有5個點(diǎn)，Y軸正半軸有3個點(diǎn)，將X軸上這5個點(diǎn)或Y軸上這3個點(diǎn)連成15條線段，這15條線段在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)最多有 個。

5．某郵局現(xiàn)只有郵票0.6元，0.8元，1.1元的三種面值郵票，現(xiàn)有郵資為7.5元的郵件一件，為使粘貼的郵票張數(shù)最小，且郵資恰為7.5元，則至少要購買 張郵票。

6．（1）從1，2，…，30這前30個自然數(shù)中，每次取出不同的三個數(shù)，使這三個 數(shù)的和是3的倍數(shù)的取法有多少種？

（2）用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，可以組成多少個能被3整除的四位數(shù)。

（3）在1，2，3，…，100這100個自然數(shù)中，每次取出三個數(shù)，使它們構(gòu)成一個等差數(shù)列，問這樣的等差數(shù)列共有多少個？

（4）1！+2！+3！+…+100！的個位數(shù)字是

7．5個身高均不等的學(xué)生站成一排合影，若高個子站中間，從中間到兩邊一個比一個矮，則這樣的排法種數(shù)共有（）

（A）6種（B）8種（C）10種（D）12種

8．某產(chǎn)品中有4只次品，6只正品（每只產(chǎn)品均可區(qū)別），每次取一只測試，直到4只次品全部測出為止，則第五次測試發(fā)現(xiàn)最后一只次品的可能情況共有多少種？

《排列和組合的綜合應(yīng)用》教師小結(jié)

數(shù)學(xué)教師在傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境下也許會遭遇諸如以下的困難： ——我怎樣向?qū)W生提供更多的相關(guān)的學(xué)習(xí)資料？ ——我如何有效地進(jìn)行課堂檢測并及時反饋？

——我怎樣讓每個學(xué)生都參與討論并且使討論的結(jié)果都呈現(xiàn)出來？

這種在教學(xué)資源、教學(xué)檢測、教學(xué)組織上所體現(xiàn)出來的局限，不僅在傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境下難以改變，即使在多媒體輔助教學(xué)下也是捉襟見肘。它不僅影響了數(shù)學(xué)教學(xué)效率的提高，更是阻礙了數(shù)學(xué)教改的進(jìn)程。幸而，計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展已經(jīng)到了網(wǎng)絡(luò)時代，基于Web的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了革命的曙光。鑒此認(rèn)真分析教材特點(diǎn)，學(xué)生特點(diǎn)開了《排列和組合的綜合應(yīng)用》這堂網(wǎng)絡(luò)課，現(xiàn)對此進(jìn)行課后總結(jié)：

《排列和組合的綜合應(yīng)用》這堂網(wǎng)絡(luò)課，教學(xué)重點(diǎn)是幾種常見命題的形式的解題思路及有關(guān)應(yīng)用。首先，通過排列和組合有關(guān)知識的學(xué)習(xí)，對排列和組合有一個整體上的認(rèn)識，給學(xué)生打下了很好的基礎(chǔ)。其次，在教學(xué)中，本著以學(xué)生為本的原則，讓學(xué)生自己動手參與實(shí)踐，使之獲取知識。在傳統(tǒng)教學(xué)過程中，學(xué)生主要依靠老師，自主探索的能力不強(qiáng)，因此在本節(jié)課學(xué)習(xí)中，教師在課堂上適時拋出問題，使學(xué)生有的放矢，有針對性，知道自己下一步應(yīng)該做什么，同時組織學(xué)生以小組進(jìn)行討論學(xué)習(xí)，防止出現(xiàn)學(xué)生純粹瀏覽網(wǎng)頁這種現(xiàn)象。在強(qiáng)大的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，讓學(xué)生探討排列和組合的區(qū)別與聯(lián)系，自主發(fā)現(xiàn)結(jié)論，以人機(jī)交互的方式，使個性化學(xué)習(xí)成為可能，體現(xiàn)了學(xué)科教學(xué)與教育技術(shù)的整合。第三、針對數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，在學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論后，還需在理論上給予支持。因此，對各種常見的類型，教師在課堂上分別給予小結(jié)，目的是讓學(xué)生在今后的自主學(xué)習(xí)中，若遇到同樣的問題，有能力自己解決。從而讓學(xué)生逐步熟悉、形成較為完整的一套自主學(xué)習(xí)的方法。

在上課的過程中，充分體現(xiàn)出計算機(jī)的交互和便捷的特點(diǎn)，學(xué)生可以根據(jù)需要，在老師的引導(dǎo)下，選擇自己學(xué)習(xí)的進(jìn)度和內(nèi)容，去自主的學(xué)習(xí)和探索。通過實(shí)際操作，幫助理解和掌握本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容。在上課過程中，學(xué)生積極思考，相互協(xié)作討論，踴躍回答問題，氣氛活躍，教學(xué)效果好。在學(xué)生課后的反饋中，總體的反映都覺得各自獲益匪淺，從中學(xué)到了不少的東西，切實(shí)掌握了排列和組合的有關(guān)知識。

當(dāng)然，本節(jié)課還有許多需要改進(jìn)的地方，如課堂上安排節(jié)奏比較快，例題，練習(xí)留給學(xué)生探索，動手的時間還可以再多一些；另外由于學(xué)生電腦的水平以及數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，所以許多學(xué)生不能很熟練地操作電腦，許多數(shù)學(xué)符號，公式無法在討論區(qū)中體現(xiàn)。

總之，網(wǎng)絡(luò)探究的最大好處是學(xué)生能夠在網(wǎng)絡(luò)中找到課堂教學(xué)中體驗(yàn)過和未體驗(yàn)過的感性知識，提高學(xué)生求知欲，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自主性，使學(xué)生的個性在學(xué)習(xí)中得以充分張揚(yáng)。而探究過程中的相互交流不僅可擴(kuò)大知識的攝入量，更可培養(yǎng)學(xué)生形成一種在交流中學(xué)習(xí)成長的意識。因此在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)這領(lǐng)域中，今后還有很大的學(xué)習(xí)空間，做為一名教師，要適應(yīng)時代的需要，改善自己平時的傳統(tǒng)教學(xué)思維，大膽創(chuàng)新，努力學(xué)習(xí)，不斷地探索，不斷反思。樹立現(xiàn)代教育觀念，不斷學(xué)習(xí)現(xiàn)代化技術(shù)，完善自己，提高素質(zhì)，才能擔(dān)負(fù)起祖國賦于我們肩上的重任。

第三篇：高中數(shù)學(xué) 排列組合與二項(xiàng)式定理

排列組合與二項(xiàng)式定理

1．（西城區(qū)）在(2x2?

A．－5 1x)的展開式常數(shù)項(xiàng)是 6 D．60（）B．15 C．－60

2．（東城區(qū)）8名運(yùn)動員參加男子100米的決賽.已知運(yùn)動場有從內(nèi)到外編號依次為1，2，3，4，5，6，7，8的八條跑道，若指定的3名運(yùn)動員所在的跑道編號必須是三個連續(xù)

數(shù)字（如：4，5，6），則參加比賽的這8名運(yùn)動員安排跑道的方式共有（）A．360種 B．4320種 C．720種 D．2160種

3．（海淀區(qū)）從3名男生和3名女生中，選出2名女生1名男生分別擔(dān)任語文、數(shù)學(xué)、英語的課代表，則選派方案共有（）

A．18種B．36種C．54種D．72種

4．(崇文區(qū))某運(yùn)動隊(duì)從5名男運(yùn)動員和6名女運(yùn)動員中選出兩名男運(yùn)動員和兩名女運(yùn)動員舉行乒乓球混合雙打比賽，對陣雙方各有一名男運(yùn)動員和一名女運(yùn)動員，則不同的選法共有

A．50種B．150種C．300種 D．600種（）

5．（豐臺區(qū)）把編號為1、2、3、4的4位運(yùn)動員排在編號為1、2、3、4的4條跑道中，要求有且只有兩位運(yùn)動員的編號與其所在跑道的編號相同，共有不同的排法種數(shù)是()

A． 3B．6C．12D．2

46．（朝陽區(qū)）從4位男教師和3位女教師中選出3位教師，派往郊區(qū)3所學(xué)校支教，每校1人.要求這3位教師中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有（）

A．210種

x

6B．186種 7C．180種 D．90種 7．（東城區(qū)）已知(x?)展開式的第4項(xiàng)的值等于5，則x= 48．（海淀區(qū)）在(ax?1)的展開式中x的系數(shù)是240，則正實(shí)數(shù)a9．（宣武區(qū)）設(shè)二項(xiàng)式(33x?1

x)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為P，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為S，n

若P+S=272，則n=,其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.210．(崇文區(qū))若(x?1

x2)展開式中只有第四項(xiàng)的系數(shù)最大，則，展開式中的第五n

項(xiàng)為

11．（豐臺區(qū)）.在(x?1

a)的展開式中，含x與x項(xiàng)的系數(shù)相等，則a的值是 754

12．（朝陽區(qū)）若(1－ax)6的展開式中x4的系數(shù)是240，則實(shí)數(shù)a的值是

13．（宣武區(qū)）現(xiàn)有A、B、C、D、E、F、共6位同學(xué)站成一排照像，要求同學(xué)A、B相鄰，C、D不相鄰，這樣的排隊(duì)照像方式有

DBCCBC7.?1715x411.53;12.±213.144

第四篇：高中數(shù)學(xué)-公式-排列組合與概率

排列組合、二項(xiàng)式定理

1、分類計數(shù)原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+……+mn.分步計數(shù)原理：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步又mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1Xm2X……Xmn。

2、排列數(shù)公式是：An=n(n?1)?(n?m?1)=

nmn！(m≤n,m、n∈N*)；(n?m)！當(dāng)m=n時，為全排列An=n(n-1)(n-2)…3.2.1。

?Cn排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系是：An?m！

組合數(shù)公式是：C組合數(shù)性質(zhì)：Cmn=mmmAnn!n！n(n?1)?(n?m?1)m=（m≤n）；Cn?m?； m！?(n?m)！Amm!(n?m)!1?2???mm

n=Cn?m

n

r

r?1

n，C?C?1； Crr?200nnnmn+Cm?1=nCm； n?1 C?C

式：Tr?1?Cnarn?rrr?C???C?Cn1n?1rnr?0r?1n?1； n.n!=(n+1)!-n!，即?Cnrn=2；rCn=nCn?1； nrr?1nn?1nnAn?An?A?1n。

3、二項(xiàng)式定理：(a?b)?Cna?Cna2n?22rn?rrnnb?Cnab???Cnab???Cnb二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公br(r?0，1，2?，n)

(1)二項(xiàng)式性質(zhì)：與首末兩端等距離的二項(xiàng)式系數(shù)相等；

對于(a?b)?Cna?Cna

n

2nn0n1n?12n?22rn?rrnnb?Cnab???Cnab???Cnb的二次項(xiàng)系數(shù)：當(dāng)n是偶數(shù)時，nn?1n?1中間的一項(xiàng)C(第＋1項(xiàng))取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項(xiàng)Cn2(第項(xiàng))、Cn2(第＋1222

項(xiàng))相等，且同時取得最大值。

012n?Cn?Cn?????Cn?2n；且奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式(a?b)n的展開式的各個二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即Cnn?1n?1

系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Cn?Cn?????Cn?Cn?????2

7.F(x)=(ax+b)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為f(1)；奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為0213n?1。1[f(1)?f(?1)]；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為2

1[f(1)?f(?1)]。2

第五篇：高中數(shù)學(xué)排列組合的復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)《排列組合的復(fù)習(xí)》教學(xué)設(shè)計

稿件提供人:北辰區(qū)高中數(shù)學(xué)教研員 姜德華

教學(xué)目標(biāo) 1．知識目標(biāo)

（1）能夠熟練判斷所研究問題是否是排列或組合問題；（2）進(jìn)一步熟悉排列數(shù)、組合數(shù)公式的計算技能；（3）熟練應(yīng)用排列組合問題常見解題方法；

（4）進(jìn)一步增強(qiáng)分析、解決排列、組合應(yīng)用題的能力。2．能力目標(biāo)

認(rèn)清題目的本質(zhì)，排除非數(shù)學(xué)因素的干擾，抓住問題的主要矛盾，注重不同題目之間解題方法的聯(lián)系，化解矛盾，并要注重解題方法的歸納與總結(jié)，真正提高分析、解決問題的能力。3．德育目標(biāo)

（1）用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題；

（2）認(rèn)識事物在一定條件下的相互轉(zhuǎn)化；（3）解決問題能抓住問題的本質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)：排列數(shù)與組合數(shù)公式的應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)：解題思路的分析

教學(xué)策略：以學(xué)生自主探究為主，教師在必要時給予指導(dǎo)和提示，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動采用自主探索和小組協(xié)作討論相結(jié)合的方法。

媒體選用：學(xué)生在計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)教室通過專題學(xué)習(xí)網(wǎng)站，利用網(wǎng)絡(luò)資源（如在線測度等）進(jìn)行自主探索和研究。教學(xué)過程

一、知識要點(diǎn)精析

（一）基本原理

1.分類計數(shù)原理：做一件事，完成它可以有 類辦法，在第一類辦法中有 種不同的方法，在第二類辦法中有 種不同的方法，??，在第 類辦法中有 種不同的辦法，那么完成這件事共有： ? 種不同的方法。

2.分步計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成 個步驟，做第一步有 種不同的方法，做第二步有 種不同的方法，??，做第 步有 種不同的辦法，那么完成這件事共有： ? 種不同的方法。

3.兩個原理的區(qū)別在于一個與分類有關(guān)，一個與分步有關(guān)即“聯(lián)斥性”：（1）對于加法原理有以下三點(diǎn)： ①“斥”——互斥獨(dú)立事件；

②模式：“做事”——“分類”——“加法”

③關(guān)鍵：抓住分類的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤诸?，要使分類既不遺漏也不重復(fù)。（2）對于乘法原理有以下三點(diǎn)： ①“聯(lián)”——相依事件；

②模式：“做事”——“分步”——“乘法”

③關(guān)鍵：抓住特點(diǎn)進(jìn)行分步，要正確設(shè)計分步的程序使每步之間既互相聯(lián)系又彼此獨(dú)立。

（二）排列

1．排列定義：一般地說從 個不同元素中，任取 個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 個不同元素中，任取 個元素的一個排列。特別地當(dāng) 時，叫做 個不同元素的一個全排列。2．排列數(shù)定義：從 個不同元素中取出 個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從 個不同元素中取出 個元素的排列數(shù)，用符號 表示。3． 排列數(shù)公式：（1）?，特別地

（2）且規(guī)定

（三）組合

1．組合定義：一般地說從 個不同元素中，任取 個元素并成一組，叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個組合。

2．組合數(shù)定義：從 個不同元素中取出 個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從 個不同元素中取出 個元素的組合數(shù)，用符號 表示。3． 組合數(shù)公式：（1）

（2）

4．組合數(shù)的兩個性質(zhì)：（1）規(guī)定（2）

（四）排列與組合的應(yīng)用 1.排列的應(yīng)用問題

（1）無限制條件的簡單排列應(yīng)用問題，可直接用公式求解。

（2）有限制條件的排列問題，可根據(jù)具體的限制條件，用“直接法”或“間接法”求解。2．組合的應(yīng)用問題（1）無限制條件的簡單組合應(yīng)用問題，可直接用公式求解。

（2）有限制條件的組合問題，可根據(jù)具體的限制條件，用“直接法”或“間接法”求解。3．排列、組合的綜合問題

排列組合的綜合問題，主要是排列組合的混合題，解題的思路是先解決組合問題，然后再討論排列問題。

在解決排列與組合的應(yīng)用題時應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）限制條件的排列問題常見命題形式： “在”與“不在” “相鄰”與“不相鄰”

在解決問題時要掌握基本的解題思想和方法：

①“相鄰”問題在解題時常用“捆綁法”，可以把兩個或兩個以上的元素當(dāng)做一個元素來看，這是處理相鄰最常用的方法。

②“不相鄰”問題在解題時最常用的是“插空法”。

③“在”與“不在”問題，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置。

④元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后利用規(guī)定順序的實(shí)情求出結(jié)果。

（2）限制條件的組合問題常見命題形式： “含”與“不含” “至少”與“至多”

在解題時常用的方法有“直接法”或“間接法”。

（3）在處理排列組合綜合題時，通過分析條件按元素的性質(zhì)分類，做到不重復(fù)，不遺漏按事件的發(fā)生過程分類、分步，正確地交替使用兩個原理，這是解決排列問題的最基本，也是最重要的思想方法。

4、解題步驟：

（1）認(rèn)真審題：看這個問題是否與順序有關(guān)，先歸結(jié)為排列問題或組合問題或二者的綜合題，還應(yīng)考慮以下幾點(diǎn)：

①在這個問題中 個不同的元素指的是什么？② 個元素指的又是什么？ ②從 個不同的元素中每次取出 個元素的排列（或組合）對應(yīng)的是什么事件；（2）列式并計算；（3）作答。

二、學(xué)習(xí)過程 題型一：排列應(yīng)用題

9名同學(xué)站成一排：（分別用A，B，C等作代號）（1）如果A必站在中間，有多少種排法？（答案：）（2）如果A不能站在中間，有多少種排法？（答案：）

（3）如果A必須站在排頭，B必須站在排尾，有多少種排法？（答案：）（4）如果A不能在排頭，B不能在排尾，有多少種排法？（答案：）（5）如果A，B必須排在兩端，有多少種排法？（答案：）（6）如果A，B不能排在兩端，有多少種排法？（答案：）（7）如果A，B必須在一起，有多少種排法？（答案：）（8）如果A，B必須不在一起，有多少種排法？（答案：）（9）如果A，B，C順序固定，有多少種排法？（答案：）題型二：組合應(yīng)用題

若從這9名同學(xué)中選出3名出席一會議

（10）若A，B兩名必在其內(nèi)，有多少種選法？（答案：）（11）若A，B兩名都不在內(nèi)，有多少種選法？（答案：）

（12）若A，B兩名有且只有一名在內(nèi)，有多少種選法？（答案：）（13）若A，B兩名中至少有一名在內(nèi)，有多少種選法？（答案： 或）（14）若A，B兩名中至多有一名在內(nèi)，有多少種選法？（答案： 或）題型三：排列與組合綜合應(yīng)用題 若9名同學(xué)中男生5名，女生4名

（15）若選3名男生，2名女生排成一排，有多少種排法？（答案：）（16）若選3名男生2名女生排成一排且有一男生必須在排頭，有多少種排法？（答案：）

（17）若選3名男生2名女生排成一排且某一男生必須在排頭，有多少種排法？（答案：）

（18）若男女生相間，有多少種排法？（答案：）題型四：分組問題

6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？（19）一堆一本，一堆兩本，一堆三本（答案：）（20）甲得一本，乙得兩本，丙得三本（答案：）（21）一人得一本，一人得兩本，一人得三本（答案：）（22）平均分給甲、乙、丙三人（答案：）（23）平均分成三堆（答案：）

（24）分成四堆，一堆三本，其余各一本（答案：）（25）分給三人每人至少一本。（答案： + +）題型五：全能與專項(xiàng)

車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機(jī)床，有多少種選派方法？

題型六：染色問題

（26）梯形的兩條對角線把梯形分成四部分，用五種不同顏色給這四部分涂不同顏色，且相鄰的區(qū)域不同色，問有（）種不同的涂色方法？（答案：260）

（27）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖）?，F(xiàn)在栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相 鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有 種。分析：先排1、2、3排法 種排法；再排4，若4與2同色，5有 種排法，6有1種排法；若4與2不同色，4只有1種排法； 若5與2同色，6有 種排法；若5與3同色，6有1種排法 所以共有（+ +1）=120種 題型七：編號問題

（28）四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，則恰有一個空盒的放法共有多少種？（答案：144）

（29）將數(shù)字1，2，3，4填在標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，每格填上一個數(shù)字且每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法有多少種？（答案：9）題型八：幾何問題

（30）：（Ⅰ）四面體的一個頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)中取3個點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一個平面上，有多少種不同的取法？（Ⅱ）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個點(diǎn)，在其中取4個不共面的點(diǎn)，有多少種不同的取法？

解：（1）（直接法）如圖，含頂點(diǎn)A的四面體的3個面上，除點(diǎn)A外都有 5個點(diǎn)，從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面共有 種取法，含頂點(diǎn)A的 三條棱上各有三個點(diǎn)，它們與所對的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法。根據(jù)分類計數(shù)原理，與頂點(diǎn)A共面三點(diǎn)的取法有 +3=33（種）

（2）（間接法）如圖，從10個頂點(diǎn)中取4個點(diǎn)的取法有 種，除去4點(diǎn)共面 的取法種數(shù)可以得到結(jié)果。從四面體同一個面上的6個點(diǎn)取出4點(diǎn)必定共面。有 =60種，四面體的每一條棱上3點(diǎn)與相對棱中點(diǎn)共面，共有6種共面情況，從6條棱的中點(diǎn)中取4個點(diǎn)時有3種共面情形（對棱中點(diǎn)連線兩兩相交且互相平分）故4點(diǎn)不共面的取法為

-（60+6+3）=141 題型九：關(guān)于數(shù)的整除個數(shù)的性質(zhì)：

①被2整除的：個位數(shù)為偶數(shù)；

②被3整除的：各個位數(shù)上的數(shù)字之和被3整除；

③被6整除的：3的倍數(shù)且為偶數(shù)；

④被4整除的：末兩位數(shù)能被4整除；

⑤被8整除的：末三位數(shù)能被8整除；

⑥25的倍數(shù)：末兩位數(shù)為25的倍數(shù)；

⑦5的倍數(shù)：個位數(shù)是0，5；

⑧9的倍數(shù)：各個位數(shù)上的數(shù)字之和為9的倍數(shù)。

（31）：用0,1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中5的倍數(shù)有多少個？（答案：216）

題型十：隔板法：（適用于“同元”問題）

（32）：把12本相同的筆記本全部分給7位同學(xué)，每人至少一本，有多少種分法？ 分析：把12本筆記本排成一行，在它們之間有11個空當(dāng)（不含兩端）插上6塊板將本子分成7份，對應(yīng)著7名同學(xué)，不同的插法就是不同的分法，故有 種。

三、在線測試題

1．以一個正方形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有（D）個（A）70（B）64（C）60（D）58 2．3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所所為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方法共有（D）

（A）90種（B）180種（C）270種（D）540種

3．將組成籃球隊(duì)的12個名額分配給7所學(xué)校，每校至少1個名額，則不同的名額分配方法共有（A）

（A）（B）（C）（D）

4．5本不同的書，全部分給四個學(xué)生，每個學(xué)生至少1本，不同分法的種數(shù)為（B）（A）480（B）240（C）120（D）96 5．編號為1，2，3，4，5的五個人分別去坐在編號為1，2，3，4，5的座位上，至多有兩個號碼一致的坐法種數(shù)為（C）

（A）90（B）105（C）109（D）100 6．如右圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)在4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有（B）種（用數(shù)字作答）（A）48（B）72（C）120（D）36 7．若把英語“error”中字母的拼寫順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤的種數(shù)是（A）。（A）19（B）20（C）119（D）60 8．某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場，得3分；平一場，得1分；負(fù)一場，得0分，一球隊(duì)打完15場，積分33分，若不考慮順序，該隊(duì)勝、負(fù)、平的情況有（D）（A）6 種（B）5種（C）4種（D）3種

四、課后練習(xí)

1．10個不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒子的編數(shù)，問有 種不同的放法？

2．坐在一排9個椅子上，相鄰兩人之間至少有2個空椅子，則不同的坐法的種數(shù)是 3．如圖A，B，C，D為海上的四個小島，要建三座橋，將這四個島連接起來，不同的建橋方案共有 種。

4．面直角坐標(biāo)系中，X軸正半軸上有5個點(diǎn)，Y軸正半軸有3個點(diǎn)，將X軸上這5個點(diǎn)或Y軸上這3個點(diǎn)連成15條線段，這15條線段在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)最多有 個。5．某郵局現(xiàn)只有郵票0.6元，0.8元，1.1元的三種面值郵票，現(xiàn)有郵資為7.5元的郵件一件，為使粘貼的郵票張數(shù)最小，且郵資恰為7.5元，則至少要購買 張郵票。6．（1）從1，2，?，30這前30個自然數(shù)中，每次取出不同的三個數(shù)，使這三個 數(shù)的和是3的倍數(shù)的取法有多少種？

（2）用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，可以組成多少個能被3整除的四位數(shù)。

（3）在1，2，3，?，100這100個自然數(shù)中，每次取出三個數(shù)，使它們構(gòu)成一個等差數(shù)列，問這樣的等差數(shù)列共有多少個？

（4）1！+2！+3！+?+100！的個位數(shù)字是

7．5個身高均不等的學(xué)生站成一排合影，若高個子站中間，從中間到兩邊一個比一個矮，則這樣的排法種數(shù)共有（）

（A）6種（B）8種（C）10種（D）12種

8．某產(chǎn)品中有4只次品，6只正品（每只產(chǎn)品均可區(qū)別），每次取一只測試，直到4只次品全部測出為止，則第五次測試發(fā)現(xiàn)最后一只次品的可能情況共有多少種？

《排列和組合的綜合應(yīng)用》多媒體教學(xué)的教師小結(jié)

數(shù)學(xué)教師在傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境下也許會遭遇諸如以下的困難： ——我怎樣向?qū)W生提供更多的相關(guān)的學(xué)習(xí)資料？ ——我如何有效地進(jìn)行課堂檢測并及時反饋？

——我怎樣讓每個學(xué)生都參與討論并且使討論的結(jié)果都呈現(xiàn)出來？

這種在教學(xué)資源、教學(xué)檢測、教學(xué)組織上所體現(xiàn)出來的局限，不僅在傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境下難以改變，即使在多媒體輔助教學(xué)下也是捉襟見肘。它不僅影響了數(shù)學(xué)教學(xué)效率的提高，更是阻礙了數(shù)學(xué)教改的進(jìn)程。

幸而，計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展已經(jīng)到了網(wǎng)絡(luò)時代，基于Web的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了革命的曙光。鑒此認(rèn)真分析教材特點(diǎn)，學(xué)生特點(diǎn)開了《排列和組合的綜合應(yīng)用》這堂網(wǎng)絡(luò)課，現(xiàn)對此進(jìn)行課后總結(jié)：

《排列和組合的綜合應(yīng)用》這堂網(wǎng)絡(luò)課，教學(xué)重點(diǎn)是幾種常見命題的形式的解題思路及有關(guān)應(yīng)用。首先，通過排列和組合有關(guān)知識的學(xué)習(xí)，對排列和組合有一個整體上的認(rèn)識，給學(xué)生打下了很好的基礎(chǔ)。其次，在教學(xué)中，本著以學(xué)生為本的原則，讓學(xué)生自己動手參與實(shí)踐，使之獲取知識。在傳統(tǒng)教學(xué)過程中，學(xué)生主要依靠老師，自主探索的能力不強(qiáng)，因此在本節(jié)課學(xué)習(xí)中，教師在課堂上適時拋出問題，使學(xué)生有的放矢，有針對性，知道自己下一步應(yīng)該做什么，同時組織學(xué)生以小組進(jìn)行討論學(xué)習(xí)，防止出現(xiàn)學(xué)生純粹瀏覽網(wǎng)頁這種現(xiàn)象。在強(qiáng)大的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，讓學(xué)生探討排列和組合的區(qū)別與聯(lián)系，自主發(fā)現(xiàn)結(jié)論，以人機(jī)交互的方式，使個性化學(xué)習(xí)成為可能，體現(xiàn)了學(xué)科教學(xué)與教育技術(shù)的整合。第三、針對數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，在學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論后，還需在理論上給予支持。因此，對各種常見的類型，教師在課堂上分別給予小結(jié)，目的是讓學(xué)生在今后的自主學(xué)習(xí)中，若遇到同樣的問題，有能力自己解決。從而讓學(xué)生逐步熟悉、形成較為完整的一套自主學(xué)習(xí)的方法。

在上課的過程中，充分體現(xiàn)出計算機(jī)的交互和便捷的特點(diǎn)，學(xué)生可以根據(jù)需要，在老師的引導(dǎo)下，選擇自己學(xué)習(xí)的進(jìn)度和內(nèi)容，去自主的學(xué)習(xí)和探索。通過實(shí)際操作，幫助理解和掌握本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容。在上課過程中，學(xué)生積極思考，相互協(xié)作討論，踴躍回答問題，氣氛活躍，教學(xué)效果好。在學(xué)生課后的反饋中，總體的反映都覺得各自獲益匪淺，從中學(xué)到了不少的東西，切實(shí)掌握了排列和組合的有關(guān)知識。

當(dāng)然，本節(jié)課還有許多需要改進(jìn)的地方，如課堂上安排節(jié)奏比較快，例題，練習(xí)留給學(xué)生探索，動手的時間還可以再多一些；另外由于學(xué)生電腦的水平以及數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，所以許多學(xué)生不能很熟練地操作電腦，許多數(shù)學(xué)符號，公式無法在討論區(qū)中體現(xiàn)。

總之，網(wǎng)絡(luò)探究的最大好處是學(xué)生能夠在網(wǎng)絡(luò)中找到課堂教學(xué)中體驗(yàn)過和未體驗(yàn)過的感性知識，提高學(xué)生求知欲，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自主性，使學(xué)生的個性在學(xué)習(xí)中得以充分張揚(yáng)。而探究過程中的相互交流不僅可擴(kuò)大知識的攝入量，更可培養(yǎng)學(xué)生形成一種在交流中學(xué)習(xí)成長的意識。因此在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)這領(lǐng)域中，今后還有很大的學(xué)習(xí)空間，做為一名教師，要適應(yīng)時代的需要，改善自己平時的傳統(tǒng)教學(xué)思維，大膽創(chuàng)新，努力學(xué)習(xí)，不斷地探索，不斷反思。樹立現(xiàn)代教育觀念，不斷學(xué)習(xí)現(xiàn)代化技術(shù)，完善自己，提高素質(zhì)，才能擔(dān)負(fù)起祖國賦于我們肩上的重任。