第一篇：高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 排列組合的解題策略（本站推薦）

高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：排列組合的解題策略

讓學(xué)生成為“演員”——也談排列組合的解題策略

排列組合作為高中代數(shù)課本的一個(gè)獨(dú)立分支，因?yàn)闃O具抽象性而成為“教”與“學(xué)”難點(diǎn)。有相當(dāng)一部分題目教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學(xué)生聽，有的即使教者覺得講清楚了，但是由于學(xué)生的認(rèn)知水平，思維能力在一定程度上受到限制，還不太適應(yīng)。從而導(dǎo)致學(xué)生對題目一知半解，甚至覺得“云里霧里”.針對這一現(xiàn)象，筆者在日常教學(xué)過程中經(jīng)過嘗試總結(jié)出一些個(gè)人的想法跟各位同行交流一下。

筆者認(rèn)為之所以學(xué)生“怕”學(xué)排列組合，主要還是因?yàn)榕帕薪M合的抽象性，那么解決問題的關(guān)鍵就是將抽象問題具體化，我們不妨將原題進(jìn)行一下轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生走進(jìn)題目當(dāng)中，成為“演員”，成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)和主觀能動(dòng)性，能讓學(xué)生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā)，逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律，從而做到以不變應(yīng)萬變。當(dāng)然，在具體的教學(xué)過程中一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價(jià)性，可操作性。

下面筆者將就教學(xué)過程中的兩個(gè)難點(diǎn)通過兩個(gè)特例作進(jìn)一步的說明：

1、占位子問題例1：將編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)小球放進(jìn)編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)盒子中，要求只有兩個(gè)小球與其所在的盒子編號(hào)相同，問有多少種不同的方法？

① 仔細(xì)審題：在轉(zhuǎn)換題目之前先讓學(xué)生仔細(xì)審題，從特殊字眼小球和盒子都已“編號(hào)”著手，清楚這是一個(gè)“排列問題”，然后對題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

② 轉(zhuǎn)換題目：在審題的基礎(chǔ)上，為了激發(fā)學(xué)生興趣進(jìn)入角色，我將題目轉(zhuǎn)換為：讓學(xué)號(hào)為1、2、3、4、5的學(xué)生坐到編號(hào)為1、2、3、4、5的五張凳子上（已準(zhǔn)備好放在講臺(tái)前），要求只有兩個(gè)學(xué)生與其所坐的凳子編號(hào)相同，問有多少種不同的坐法？

③ 解決問題：這時(shí)我在選另一名學(xué)生來安排這5位學(xué)生坐位子（學(xué)生爭著上臺(tái)，積極性已經(jīng)得到了極大的提高），班上其他同學(xué)也都積極思考（充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位和主觀能動(dòng)性），努力地“出謀劃策”，不到兩分鐘的時(shí)間，同學(xué)們有了統(tǒng)一的看法：先選定符合題目特殊條件“兩個(gè)學(xué)生與其所坐的凳子編號(hào)相同”的兩位同學(xué)，有C 種方法，讓他們坐到與自己編號(hào)相同的凳子上，然后剩下的三位同學(xué)不坐編號(hào)相同的凳子有2種排法，最后根據(jù)乘法原理得到結(jié)果為2×C =20（種）。這樣原題也就得到了解決。

④ 學(xué)生小結(jié)：接著我讓學(xué)生之間互相討論，根據(jù)自己的分析方法對這一類問題提出一個(gè)好的解決方案。（課堂氣氛又一次活躍起來）

⑤ 老師總結(jié)：對于這一類占位子問題，關(guān)鍵是抓住題目中的特殊條件，先從特殊對象或者特殊位子入手，再考慮一般對象，從而最終解決問題。

2、分組問題例2：從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出3個(gè)和2個(gè)數(shù)組成五位數(shù)，問這樣的五位數(shù)有幾個(gè)？

用心

愛心

專心 1

（本題我是先讓學(xué)生計(jì)算，有很多同學(xué)得出的結(jié)論是P ×P）

① 仔細(xì)審題：先由學(xué)生審題，明確組成五位數(shù)是一個(gè)排列問題，但是由于這五個(gè)數(shù)來自兩個(gè)不同的組，因此是一個(gè)“分組排列問題”，然后對題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

② 轉(zhuǎn)換題目：在學(xué)生充分審題后，我讓學(xué)生自己對題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，有一位同學(xué)A將題目轉(zhuǎn)換如下：從班級的第一組（12人）和第二組（10人）中分別選3位和2位同學(xué)分別去參加蘇州市舉辦的語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)競賽，問有多少種不同的選法？

③ 解決問題：接著我就讓同學(xué)A來提出選人的方案同學(xué)A說：先從第一組的12個(gè)人中選出3人參加其中的3科競賽，有P ×P 種選法；再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P ×P 種選法；最后由乘法原理得出結(jié)論為（P ×P）×（P ×P）（種）。（這時(shí)同學(xué)B表示反對）

同學(xué)B說：如果第一組的3個(gè)人先選了3門科目，那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應(yīng)該是P ×P.（同學(xué)們都表示同意，但是同學(xué)C說太蘩）

同學(xué)C說：可以先分別從兩組中把5個(gè)人選出來，然后將這5個(gè)人在5門學(xué)科中排列，他列出的計(jì)算式是C ×C ×P（種）。（再次通過互相討論，都表示贊賞）

這樣原題的解答結(jié)果就“浮現(xiàn)”出來C ×C ×P（種）。

④ 老師總結(jié)：針對這樣的“分組排列”題，我們多采用“先選后排”的方法：先將需要排列的對象選定，再對它們進(jìn)行排列。

以上是我一節(jié)課兩個(gè)例題的分析過程，旨在通過這種方法的嘗試（教學(xué)效果比較明顯），進(jìn)一步活躍課堂氣氛，更全面地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生在互相討論的過程中學(xué)會(huì)自己分析轉(zhuǎn)換問題，解決問題。

用心

愛心

專心 2

第二篇：排列組合常見的解題策略

“排列組合常見的解題策略”課例

張玉華

一、教材分析

排列和組合是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分之一，它在解決實(shí)際問題以及科學(xué)技術(shù)的研究中都有廣泛的應(yīng)用；在排列組合問題中充分體現(xiàn)了分類、化歸的數(shù)學(xué)思想。它應(yīng)用性強(qiáng)，具有題型多變，條件隱晦，思維抽象，分類復(fù)雜，問題交錯(cuò)，易出現(xiàn)重復(fù)和遺漏以及不易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤等特征。因而在這部分教學(xué)中，應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體作用，明確基本原理，注重思維過程的分析，讓學(xué)生在問題解決的過程中不斷反思探索規(guī)律，體驗(yàn)成功，從而提升學(xué)生的思維能力。而且是概率的基礎(chǔ)。

二、學(xué)情分析

高三(1)班的同學(xué)基礎(chǔ)差，但勤奮好學(xué)，有一定的潛力。

三、教學(xué)目的

1、認(rèn)知目標(biāo)：

使學(xué)生進(jìn)一步理解并掌握處理排列組合問題的基本策略，進(jìn)一步體會(huì)分類與化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及分析與解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新意識(shí)。

2、技能目標(biāo)：

充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)和學(xué)生的主體作用，使學(xué)生的自主意識(shí)、自學(xué)能力、探索創(chuàng)新意識(shí)得到發(fā)展。

3、情感目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)興趣，樹立實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和不怕困難的進(jìn)取精神，積極探索，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

四、教法分析

根據(jù)排列組合的知識(shí)特點(diǎn)“條件隱晦，思維抽象”，在教學(xué)中采用發(fā)現(xiàn)法，堅(jiān)持“思路教學(xué)”，深鉆教材，注意從實(shí)驗(yàn)入手，模擬發(fā)現(xiàn)，從特殊到一般，歸納出一般的規(guī)律，優(yōu)化學(xué)生的思路，激活學(xué)生的思維。

五、教學(xué)過程分析

1、復(fù)習(xí)思考

（1）處理排列組合問題的常見解題策略(提問學(xué)生作答)問題

一、街道旁有編號(hào)1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共十只路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中的三只燈相滅，但不能同時(shí)熄滅相鄰兩只，在兩端的兩只路燈不熄滅的情況下，問不同的熄燈方法有多少種? ①通過復(fù)習(xí)提問總結(jié)解決排列組合問題的基本思路和方法。

②設(shè)置問題情景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望。通過引導(dǎo)，學(xué)生得出多種解法，從而優(yōu)化思維，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為構(gòu)造數(shù)學(xué)模型一做好鋪墊。

2、創(chuàng)設(shè)情景 練習(xí)（1）：四個(gè)相同蘋果分給三個(gè)人，沒人至少一個(gè)，有多少種分配方案?(提問，多解)，電腦演示。

（2）：把六個(gè)名額分給三個(gè)班級，沒班至少一個(gè)名額，有多少種分法?(提問多解)，電腦演示，介紹插板法。鞏固創(chuàng)設(shè)情景。

體現(xiàn)化歸思想，并將問題發(fā)散，從不同角度展示出問題的共性，給學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、探索的空間，引入“插板”這一解決問題的策略。

3、提出猜想

你能編一道與本題意思相近的習(xí)題或?qū)⒈绢}推廣嗎? 學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，是課堂教學(xué)的探索者、發(fā)現(xiàn)者和創(chuàng)造者，讓他們的智慧火花充分閃亮。

4、探得索出分結(jié)析論 模型一：把n個(gè)相同的小球放入m個(gè)不同的盒子中，要求每盒至少有一個(gè)球，問有多少種不同的方法? 歸納出共性，推廣到一般，抽象出數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生的思維得到提升。

5、問題解決進(jìn)一步推廣 練習(xí)：(分組討論)（1）求方程x+y+z=16的正整數(shù)解的組數(shù)。

（2）15個(gè)蘋果分給三個(gè)人，每人至少兩個(gè)，有多少種分法?（3）把二十個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4、的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中的小球數(shù)目不少于編號(hào)數(shù)，求不同的放法種數(shù)。

弄清問題本質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為模型，并能應(yīng)用模型解決問題。

6、新情境設(shè)計(jì)

（1）第二小題條件改為每人至少三個(gè)，有多少種分法?（2）學(xué)生總結(jié)規(guī)律。

（3）如果條件改為每人分得蘋果個(gè)數(shù)不限，有多少種分法種數(shù)?（4）你能將本題推廣嗎?（5）改變條件提出新問題，讓學(xué)生有一個(gè)再發(fā)現(xiàn)，再創(chuàng)造的過程。（6）培養(yǎng)學(xué)生自主探索創(chuàng)新意識(shí)。

7、探索分析

用電腦演示每人至少分得一個(gè)蘋果、二個(gè)蘋果和三個(gè)蘋果的情形，并由學(xué)生總結(jié)規(guī)律。體現(xiàn)從特殊到一般的思維方法，模擬發(fā)現(xiàn)，激勵(lì)探索，激活思路。

8、得出結(jié)論

模型

二、把n個(gè)相同的小球放入m個(gè)不同盒子(n≥m≥1)，每個(gè)盒子容量不限，有多少種不同方法? 比較差異，將模型一進(jìn)一步推廣，使學(xué)生在“好奇”中產(chǎn)生“內(nèi)驅(qū)力”，進(jìn)而產(chǎn)生不斷探索的愿望。

9、問題

（1）中日圍棋擂臺(tái)賽規(guī)定各國各出7名隊(duì)員，按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員比賽?，直到有一方隊(duì)員全被淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一個(gè)比賽過程，試求中方獲勝的所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)?（2）從7個(gè)學(xué)校選出12人組成足球聯(lián)隊(duì)，要求每校至少有一個(gè)人參加，問各校名額分配共有多少種不同情況? 將問題綜合，讓學(xué)生分享探索帶來的成果，感受問題解決的成功喜悅，同時(shí)也使他們進(jìn)一步掌握分類的數(shù)學(xué)思想和化歸的方法，激發(fā)探索的欲望。

10、小結(jié)

小結(jié)：回顧上述幾個(gè)例題的解答過程，我們可以看到一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是利用一一對應(yīng)關(guān)系將一種不易直接求得其數(shù)目的計(jì)數(shù)模式轉(zhuǎn)化為另一種易于計(jì)算的模式，從而收到了簡化問題的效果，可以說，這種通過建立一一對應(yīng)關(guān)系而化難為易的方法是數(shù)學(xué)中一種常用的方法，并且在代數(shù)問題發(fā)揮著極大的作用。另外，我們還推出了兩個(gè)模型，大家回去后希繼續(xù)對這個(gè)模型進(jìn)行研究，掌握這個(gè)模型的各種變化，并要善于把各種具體問題歸結(jié)成這個(gè)模型的某一種方式，那么解排列組合問題就有了一定的規(guī)律可循了。

六、課題后記

1、本著堅(jiān)持以學(xué)生是探索發(fā)現(xiàn)的主體這一教學(xué)原則，教師的角色從知識(shí)的傳播者轉(zhuǎn)化為學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，主動(dòng)探索的引導(dǎo)者和促進(jìn)者：學(xué)生以被動(dòng)接受知識(shí)轉(zhuǎn)到主動(dòng)參與，在討論探索中獲取知識(shí)。學(xué)生在教師的適時(shí)點(diǎn)撥下，通過自己動(dòng)腦，探索出兩個(gè)模型。由于學(xué)生親自品嘗了自己發(fā)現(xiàn)的樂趣，更激起了他們強(qiáng)烈的求知欲和創(chuàng)造欲。

2、體現(xiàn)循序漸進(jìn)原則。本課例的例題，練習(xí)題的安排體現(xiàn)了思維的階梯性，一步一個(gè)臺(tái)階，逐步引向深入。由于問題處在學(xué)生思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”，因而為學(xué)生提供了自由想象的空間，最后指引學(xué)生進(jìn)行變式練習(xí)，提出了新的探索目標(biāo)，從而滿足了不同層次學(xué)生的需要，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的思想。同時(shí)充分肯定學(xué)生的每一點(diǎn)進(jìn)步，使學(xué)生增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

3、通過現(xiàn)代化教育技術(shù)，以電腦動(dòng)畫方式模擬思維的動(dòng)態(tài)過程，將抽象內(nèi)容形象化，激發(fā)學(xué)生興趣，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和抽象概括能力。學(xué)生的“再發(fā)現(xiàn)”不是放任自流，而是在教師精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生自己從知識(shí)的發(fā)生，發(fā)展過程中去發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，認(rèn)識(shí)新知識(shí)，從而積極主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)，充分體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用。

4、層層建構(gòu)，分層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)使學(xué)生易于理解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。解決重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，通過分層遞進(jìn)，既可照顧后進(jìn)生，又可促進(jìn)優(yōu)等生，達(dá)到面向全體學(xué)生的目的，使不同的學(xué)生都能得到發(fā)展。

七、點(diǎn)評

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是知識(shí)建構(gòu)的過程，是思維訓(xùn)練的過程。本節(jié)課充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，通過精心設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生去探索，發(fā)現(xiàn)從特殊到一般，歸納規(guī)律，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，掌握分類的數(shù)學(xué)思想和化歸的方法，分層遞進(jìn)不斷深化。課堂思維密度大，高潮迭起，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和課堂開展研究性學(xué)習(xí)的典型范例。

第三篇：排列組合問題的解題策略的教學(xué)設(shè)計(jì)

《排列組合問題的解題策略》教學(xué)設(shè)計(jì)

河北圍場一中 王嘉偉

一、整體設(shè)計(jì)思路、指導(dǎo)依據(jù)：

《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出好的數(shù)學(xué)教育要從學(xué)習(xí)者的已有知識(shí)和實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，提供給學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐和交流的機(jī)會(huì)?！睌?shù)學(xué)是解決生活中一些實(shí)際問題的工具，同時(shí)還開發(fā)智力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。面對實(shí)際問題時(shí)，能主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問題的策略，是數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的重要體現(xiàn)。為學(xué)生后面學(xué)習(xí)排列組合問題打下基礎(chǔ)。

二、教學(xué)背景分析： “排列組合問題的解題策略”是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）教科書選修2-3第一章計(jì)數(shù)原理中的內(nèi)容，排列和組合的思想方法不僅應(yīng)用廣泛，而且是學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)基礎(chǔ)，同時(shí)也是發(fā)展學(xué)生抽象能力和邏輯思維能力的好素材。在高考中也是考點(diǎn)之一，本節(jié)重點(diǎn)在向?qū)W生滲透分類討論，轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，并初步培養(yǎng)學(xué)生有順序地、全面地思考問題的意識(shí)，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)組合數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)奠定基礎(chǔ)。簡單的兩種計(jì)數(shù)原理和排列組合 基本掌握了，由于本班學(xué)生的基礎(chǔ)不是很好，數(shù)學(xué)水平參差不齊，所以采取小組合作學(xué)習(xí)的方式合理分配學(xué)生資源，借助集體的智慧來解決問題。本節(jié)課是在學(xué)生掌握簡單的排列組合問題的基礎(chǔ)上的，對排列組合問題的一個(gè)拓展。

三、教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)目標(biāo)：1.掌握加法原理和乘法原理，并能用這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決簡單問題。2.掌握排列、組合問題應(yīng)用的幾種常見方法。能力目標(biāo)：掌握有限制條件的排列組合的應(yīng)用題的常用分析方法。情感目標(biāo)：體會(huì)解決排列組合問題中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想。

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析：

重點(diǎn)：有限制條件的排列組合問題的綜合應(yīng)用。難點(diǎn)：解決較復(fù)雜的排列組合問題的思想與解題策略

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)：

1．課程引入：平安夜的故事：

“蘋果”是平平安安的諧音，象征著平安、祥和之意，所以說平安夜吃蘋果能保一年平安。時(shí)間：13年12月24日晚。地點(diǎn)：XX職校女生公寓樓302室。

人物：寢室所有成員，包括英亞、竹萍、陳燕、劉佳、徐紅、周甜、龔佳、錢麗共八人。在這個(gè)特別的夜晚，劉佳提議，準(zhǔn)時(shí)在十二點(diǎn)吃蘋果，可大家發(fā)現(xiàn)沒有準(zhǔn)備蘋果。陳燕說：“我這里有些蘋果?！彼贸鲆淮O果。大家一看，只有大小不一的五個(gè)。竹萍說：“我柜子里面還有幾個(gè)梨?！敝衿寄贸鰜硪磺澹兴膫€(gè)形狀各異的梨。大家說：“沒辦法了，拿三個(gè)梨來湊吧?！?/p>

出招：從四個(gè)形狀各異的梨中拿出三個(gè)，有多少種方法？ 竹萍從中拿出了三個(gè)最好看的梨。

徐紅說：“我不喜歡吃梨，我只喜歡吃蘋果，所以我一定要吃蘋果?！?英亞說：“好吧。我來負(fù)責(zé)分派?！?/p>

出招：要保證徐紅一定吃到蘋果，有多少種分派方法？ 周甜說：“我也要吃蘋果！平安夜當(dāng)然吃蘋果?！?/p>

出招：，徐紅和周甜兩人都吃到蘋果，有多少種分派方法？

竹萍出招：五個(gè)大小不一的蘋果和三個(gè)形狀各異的梨分給八個(gè)人，每人一個(gè)，其中周甜吃蘋果，徐紅吃梨，有多少種分派方法？

有人說，你們倆只能有一個(gè)人吃蘋果。徐紅說：“那讓周甜吃蘋果吧，我吃梨好了。錢麗說：“這樣吧，我們把八個(gè)水果放在桌上排成一排，然后關(guān)燈，每人摸一個(gè)。” 出招：八個(gè)不同的水果排成一排，有多少種排方法？

劉佳說：“平安夜，第一個(gè)一定要放蘋果以示平安?！背稣校何鍌€(gè)大小不一的蘋果和三個(gè)形狀各異的梨排成一排，第一個(gè)一定要放蘋果，有多少種排法？

陳燕說：“第一個(gè)放不放蘋果不要緊，大家只要盡量把蘋果和梨分開就好，就是不要讓任何兩個(gè)梨挨在一起?！?出招：五個(gè)大小不一的蘋果和三個(gè)形狀各異的梨排成一排，其中梨不能挨在一起，有多少種排方法？ 徐紅說：“這樣不好，分梨分離。我們寢室每個(gè)人都應(yīng)該團(tuán)結(jié)，心不能分離。所以，應(yīng)該把這些梨全放在一起。出招：五個(gè)大小不一的蘋果和三個(gè)形狀各異的梨排成一排，其中梨必須放在一起有多少種排方法？ 正在大家討論得正熱烈的時(shí)間，響起了熄燈鈴聲。

“唉啊，快?！庇喌吐暯械溃骸八X時(shí)間到了！快去床上！”

英亞連忙關(guān)掉燈。黑暗中誰低聲叫了一句：“快拿水果！”大家連忙從桌上各自摸起一個(gè)水果，快速鉆入被窩。寢室迅速安靜下來。

漸漸地，八個(gè)同學(xué)都在安靜中睡著了。當(dāng)然，最終她們沒有破壞寢室的紀(jì)律，沒有在半夜起來吃蘋果。故事新編:(課下思考）

對＜平安夜的故事＞進(jìn)行重新編排，要求在故事里穿插至少三個(gè)有關(guān)排列，組合，或基本計(jì)數(shù)原理的問題。

從上面的故事中找出我們所運(yùn)用到的排列組合這一章所學(xué)的知識(shí)和方法。

設(shè)計(jì)意圖：用一則小故事引出排列組合常見的問題：相鄰，不相鄰，特殊元素，特殊位置安排的問題。

2、典例分析：（分組討論，學(xué)生講解，教師指導(dǎo)幫助總結(jié)）

（1）特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略：

例

1、由0,1,2,3,4,5，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)。師：若改成偶數(shù)呢，又該如何分析？

變式：7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少種不同的種法？

設(shè)計(jì)意圖： 位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法，要求學(xué)生熟練掌握。（2）相鄰元素捆綁策略：

例2.7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法。練習(xí)：5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排，3個(gè)女生要排在一起，有多少種不同的排法？ 設(shè)計(jì)意圖：要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.（3）不相鄰問題插空策略: 例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈，兩個(gè)相聲，三個(gè)獨(dú)唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)目的出場順序有多少種？

變式：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目，如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同的插法種數(shù)為________.師：元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端 拓展：請同學(xué)把上述兩個(gè)問題綜合在一起出道題，題中包含相鄰和不相鄰問題。

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生分析這兩類問題的解決辦法，并進(jìn)行延伸，通過小組討論解決問題，形成思路。（4）、定序問題：空位，插入；倍縮策略

例4.7人排隊(duì)，其中甲乙丙3人順序一定，共有多少種不同的排法？

練習(xí)：學(xué)考考試6門科目，歷史要排在化學(xué)前面考，有多少種不同的安排順序？ 師：定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插入模型處理

設(shè)計(jì)意圖：通過演示，板書讓學(xué)生理解占位插入模型的含義，從而解決排列組合中相似的問題。（5）重排問題求冪策略：

例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法？ 練習(xí)：

1、4人爭奪3個(gè)比賽項(xiàng)目的冠軍，問冠軍得主的可能性。

2、某8層大樓，一樓電梯上來8名乘客，他們到各自的一層下電 梯，下電梯的方法有（）種。師：一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為(6)排列組合混合問題先選后排策略：

種

例6.有5個(gè)不同小球，裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一球，共有多少種不同的裝法。

練習(xí)：一個(gè)班有6名戰(zhàn)士，其中正副班長各1人，現(xiàn)在從中選4人完成四種不同的任務(wù)，每人完成一種任務(wù)，且正副班長有且只有1人參加，則不同的選法有________種。師：解決排列組合的混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.設(shè)計(jì)意圖：近幾年高考中出現(xiàn)頻率較多的一類問題，通過典型例題找出解決問題的思路，引導(dǎo)學(xué)生尋求解題辦法。

(7)平均分組問題除法策略：

例8.6本不同的書，按如下方式分配，各有多少種不同的分法？ 1.分成一堆一本，一堆2本，一堆3本。2.甲得一本，乙得2本，丙得3本。3.一人得一本，一人得2本，一人得3本。4.平均分成3堆，每堆2本.5.分給甲乙丙三人，每人選2本。

練習(xí)：1.將13個(gè)球隊(duì)分成3組，一組5個(gè)隊(duì)，其他2組4個(gè)隊(duì)，有多少分法？

2.某校高二年級共有6個(gè)班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個(gè)班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為__________.師：平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生對于這類問題容易把幾個(gè)問題混淆，通過解決這個(gè)例題讓學(xué)生理解平均分組問題的解決方案。

（8）合理分類與分步策略：

例8.在一次演唱會(huì)上共10名演員，其中8人能夠唱歌，5人會(huì)跳舞，現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少種選派方法？

師：請同學(xué)們選擇3個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論：

練習(xí)：從4名男生和3名女生中選4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有________.設(shè)計(jì)意圖：解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。

課堂檢測：(考題重現(xiàn)）

1、(2014年廣西）有6名男醫(yī)生，5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生，1名女醫(yī)生，組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有____種。

2、（2013大綱卷）6個(gè)人排成一行，其中甲乙兩人不相鄰的不同排法有____種。

3、（2013北京）將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀卷，全部分給4人，每人至少一張，如果分給同一人的2張參觀卷連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是_____種。

4、（2014北京）把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_____種。

5、（2014四川）6個(gè)人從左到右排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法有_____種。

6、（2014重慶理）某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，兩個(gè)小品和一個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是_____.小結(jié)：

回顧上述幾個(gè)例題的解答過程，我們可以看到一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是利用一一對應(yīng)關(guān)系將一種不易直接求得其數(shù)目的計(jì)數(shù)模式轉(zhuǎn)化為另一種易于計(jì)算的模式，從而收到了簡化問題的效果，可以說，這種通過建立一一對應(yīng)關(guān)系而化難為易的方法是數(shù)學(xué)中一種常用的方法，并且在代數(shù)問題發(fā)揮著極大的作用。另外，我們還推出了幾個(gè)模型，大家回去后希繼續(xù)對這個(gè)模型進(jìn)行研究，掌握這個(gè)模型的各種變化，并要善于把各種具體問題歸結(jié)成這個(gè)模型的某一種方式，那么解排列組合問題就有了一定的規(guī)律可循了。

六、教學(xué)評價(jià)與反思：

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是知識(shí)建構(gòu)的過程，是思維訓(xùn)練的過程。本節(jié)課充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，通過精心設(shè)計(jì)排列組合中常見的問題，進(jìn)行分類，讓學(xué)生去探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)方法，并能構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，通過小組合作和教師的點(diǎn)撥，使學(xué)生的思維拓展，本節(jié)課堂容量較大，通過學(xué)生提前做學(xué)案預(yù)習(xí)基本能順利完成，本節(jié)課設(shè)計(jì)較合理，環(huán)環(huán)相扣比較連貫，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和課堂開展研究性學(xué)習(xí)的典型范例。

第四篇：高中數(shù)學(xué)排列組合教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)《排列組合》教學(xué)設(shè)計(jì)

【教學(xué)目標(biāo)】 1．知識(shí)目標(biāo)

（1）能夠熟練判斷所研究問題是否是排列或組合問題；（2）進(jìn)一步熟悉排列數(shù)、組合數(shù)公式的計(jì)算技能；（3）熟練應(yīng)用排列組合問題常見解題方法；

（4）進(jìn)一步增強(qiáng)分析、解決排列、組合應(yīng)用題的能力。2．能力目標(biāo)

認(rèn)清題目的本質(zhì)，排除非數(shù)學(xué)因素的干擾，抓住問題的主要矛盾，注重不同題目之間解題方法的聯(lián)系，化解矛盾，并要注重解題方法的歸納與總結(jié)，真正提高分析、解決問題的能力。3．德育目標(biāo)

（1）用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題；

（2）認(rèn)識(shí)事物在一定條件下的相互轉(zhuǎn)化；（3）解決問題能抓住問題的本質(zhì)。【教學(xué)重點(diǎn)】：排列數(shù)與組合數(shù)公式的應(yīng)用 【教學(xué)難點(diǎn)】：解題思路的分析

【教學(xué)策略】：以學(xué)生自主探究為主，教師在必要時(shí)給予指導(dǎo)和提示，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)采用自主探索和小組協(xié)作討論相結(jié)合的方法。

【媒體選用】：學(xué)生在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)教室通過專題學(xué)習(xí)網(wǎng)站，利用網(wǎng)絡(luò)資源（如在線測度等）進(jìn)行自主探索和研究。

【教學(xué)過程】

一、知識(shí)要點(diǎn)精析

（一）基本原理

1.分類計(jì)數(shù)原理 2.分步計(jì)數(shù)原理

3.兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)即“聯(lián)斥性”：（1）對于加法原理有以下三點(diǎn)： ①“斥”——互斥獨(dú)立事件；

②模式：“做事”——“分類”——“加法”

③關(guān)鍵：抓住分類的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤诸?，要使分類既不遺漏也不重復(fù)。（2）對于乘法原理有以下三點(diǎn)： ①“聯(lián)”——相依事件；

②模式：“做事”——“分步”——“乘法”

③關(guān)鍵：抓住特點(diǎn)進(jìn)行分步，要正確設(shè)計(jì)分步的程序使每步之間既互相聯(lián)系又彼此獨(dú)立。

（二）排列

1．排列定義 2．排列數(shù)定義 3． 排列數(shù)公式

（三）組合

1．組合定義 2．組合數(shù)定義 3．組合數(shù)公式 4．組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

（四）排列與組合的應(yīng)用

1.排列的應(yīng)用問題

（1）無限制條件的簡單排列應(yīng)用問題，可直接用公式求解。

（2）有限制條件的排列問題，可根據(jù)具體的限制條件，用“直接法”或“間接法”求解。2．組合的應(yīng)用問題

（1）無限制條件的簡單組合應(yīng)用問題，可直接用公式求解。

（2）有限制條件的組合問題，可根據(jù)具體的限制條件，用“直接法”或“間接法”求解。3．排列、組合的綜合問題

排列組合的綜合問題，主要是排列組合的混合題，解題的思路是先解決組合問題，然后再討論排列問題。

在解決排列與組合的應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）限制條件的排列問題常見命題形式： “在”與“不在” “相鄰”與“不相鄰”

在解決問題時(shí)要掌握基本的解題思想和方法：

①“相鄰”問題在解題時(shí)常用“捆綁法”，可以把兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素當(dāng)做一個(gè)元素來看，這是處理相鄰最常用的方法。

②“不相鄰”問題在解題時(shí)最常用的是“插空法”。

③“在”與“不在”問題，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置。

④元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后利用規(guī)定順序的實(shí)情求出結(jié)果。

（2）限制條件的組合問題常見命題形式： “含”與“不含” “至少”與“至多”

在解題時(shí)常用的方法有“直接法”或“間接法”。

（3）在處理排列組合綜合題時(shí)，通過分析條件按元素的性質(zhì)分類，做到不重復(fù)，不遺漏按事件的發(fā)生過程分類、分步，正確地交替使用兩個(gè)原理，這是解決排列問題的最基本，也是最重要的思想方法。

4、解題步驟：（1）認(rèn)真審題（2）列式并計(jì)算（3）作答

二、學(xué)習(xí)過程 題型一：排列應(yīng)用題

9名同學(xué)站成一排：（分別用A，B，C等作代號(hào)）（1）如果A必站在中間，有多少種排法？（答案：）（2）如果A不能站在中間，有多少種排法？（答案：）

（3）如果A必須站在排頭，B必須站在排尾，有多少種排法？（答案：）（4）如果A不能在排頭，B不能在排尾，有多少種排法？（答案：）（5）如果A，B必須排在兩端，有多少種排法？（答案：）（6）如果A，B不能排在兩端，有多少種排法？（答案：）（7）如果A，B必須在一起，有多少種排法？（答案：）（8）如果A，B必須不在一起，有多少種排法？（答案：）（9）如果A，B，C順序固定，有多少種排法？（答案：）題型二：組合應(yīng)用題

若從這9名同學(xué)中選出3名出席一會(huì)議

（10）若A，B兩名必在其內(nèi)，有多少種選法？（答案：）（11）若A，B兩名都不在內(nèi)，有多少種選法？（答案：）（12）若A，B兩名有且只有一名在內(nèi)，有多少種選法？（答案：）（13）若A，B兩名中至少有一名在內(nèi)，有多少種選法？（答案： 或）（14）若A，B兩名中至多有一名在內(nèi)，有多少種選法？（答案： 或）題型三：排列與組合綜合應(yīng)用題

若9名同學(xué)中男生5名，女生4名

（15）若選3名男生，2名女生排成一排，有多少種排法？（答案：）（16）若選3名男生2名女生排成一排且有一男生必須在排頭，有多少種排法？（答案：）

（17）若選3名男生2名女生排成一排且某一男生必須在排頭，有多少種排法？（答案：）

（18）若男女生相間，有多少種排法？（答案：）題型四：分組問題

6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？

（19）一堆一本，一堆兩本，一堆三本

（答案：）（20）甲得一本，乙得兩本，丙得三本

（答案：）（21）一人得一本，一人得兩本，一人得三本

（答案：）（22）平均分給甲、乙、丙三人

（答案：）（23）平均分成三堆

（答案：）

（24）分成四堆，一堆三本，其余各一本

（答案：）（25）分給三人每人至少一本。（答案： + +）題型五：全能與專項(xiàng)

車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺(tái)機(jī)床，有多少種選派方法？ 題型六：染色問題

（26）梯形的兩條對角線把梯形分成四部分，用五種不同顏色給這四部分涂不同顏色，且相鄰的區(qū)域不同色，問有（）種不同的涂色方法？

（答案：260）

（27）某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分（如圖）。現(xiàn)在栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相 鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有

種。分析：先排1、2、3排法 種排法；再排4，若4與2同色，5有 種排法，6有1種排法；若4與2不同色，4只有1種排法； 若5與2同色，6有 種排法；若5與3同色，6有1種排法 所以共有（+ +1）=120種 題型七：編號(hào)問題

（28）四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有多少種？

（答案：144）（29）將數(shù)字1，2，3，4填在標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填上一個(gè)數(shù)字且每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有多少種？（答案：9）

題型八：幾何問題

（30）：（Ⅰ）四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一個(gè)平面上，有多少種不同的取法？

（Ⅱ）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，有多少種不同的取法？

解：（1）（直接法）如圖，含頂點(diǎn)A的四面體的3個(gè)面上，除點(diǎn)A外都有 5個(gè)點(diǎn)，從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面共有 種取法，含頂點(diǎn)A的 三條棱上各有三個(gè)點(diǎn)，它們與所對的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法。根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，與頂點(diǎn)A共面三點(diǎn)的取法有 +3=33（種）

（2）（間接法）如圖，從10個(gè)頂點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的取法有 種，除去4點(diǎn)共面 的取法種數(shù)可以得到結(jié)果。從四面體同一個(gè)面上的6個(gè)點(diǎn)取出4點(diǎn)必定共面。有 =60種，四面體的每一條棱上3點(diǎn)與相對棱中點(diǎn)共面，共有6種共面情況，從6條棱的中點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)時(shí)有3種共面情形（對棱中點(diǎn)連線兩兩相交且互相平分）故4點(diǎn)不共面的取法為

-（60+6+3）=141 題型九：關(guān)于數(shù)的整除個(gè)數(shù)的性質(zhì)：

①被2整除的：個(gè)位數(shù)為偶數(shù)；

②被3整除的：各個(gè)位數(shù)上的數(shù)字之和被3整除；

③被6整除的：3的倍數(shù)且為偶數(shù)；

④被4整除的：末兩位數(shù)能被4整除；

⑤被8整除的：末三位數(shù)能被8整除；

⑥25的倍數(shù)：末兩位數(shù)為25的倍數(shù)；

⑦5的倍數(shù)：個(gè)位數(shù)是0，5；

⑧9的倍數(shù)：各個(gè)位數(shù)上的數(shù)字之和為9的倍數(shù)。

（31）：用0,1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中5的倍數(shù)有多少個(gè)？（答案：216）

題型十：隔板法：（適用于“同元”問題）

（32）：把12本相同的筆記本全部分給7位同學(xué)，每人至少一本，有多少種分法？ 分析：把12本筆記本排成一行，在它們之間有11個(gè)空當(dāng)（不含兩端）插上6塊板將本子分成7份，對應(yīng)著7名同學(xué)，不同的插法就是不同的分法，故有 種。

三、在線測試題

1．以一個(gè)正方形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有（D）個(gè)（A）70（B）64（C）60（D）58 2．3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所所為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方法共有（D）

（A）90種（B）180種（C）270種（D）540種

3．將組成籃球隊(duì)的12個(gè)名額分配給7所學(xué)校，每校至少1個(gè)名額，則不同的名額分配方法共有（A）

（A）（B）（C）（D）

4．5本不同的書，全部分給四個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少1本，不同分法的種數(shù)為（B）（A）480（B）240（C）120（D）96 5．編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)人分別去坐在編號(hào)為1，2，3，4，5的座位上，至多有兩個(gè)號(hào)碼一致的坐法種數(shù)為（C）（A）90（B）105（C）109（D）100 6．如右圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)在4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有（B）種（用數(shù)字作答）（A）48（B）72（C）120（D）36 7．若把英語“error”中字母的拼寫順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤的種數(shù)是（A）。（A）19（B）20（C）119（D）60 8．某賽季足球比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝一場，得3分；平一場，得1分；負(fù)一場，得0分，一球隊(duì)打完15場，積分33分，若不考慮順序，該隊(duì)勝、負(fù)、平的情況有（D）

（A）6 種

（B）5種

（C）4種

（D）3種

四、課后練習(xí)

1．10個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒子的編數(shù)，問有 種不同的放法？

2．坐在一排9個(gè)椅子上，相鄰兩人之間至少有2個(gè)空椅子，則不同的坐法的種數(shù)是 3．如圖A，B，C，D為海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)島連接起來，不同的建橋方案共有 種。

4．面直角坐標(biāo)系中，X軸正半軸上有5個(gè)點(diǎn)，Y軸正半軸有3個(gè)點(diǎn)，將X軸上這5個(gè)點(diǎn)或Y軸上這3個(gè)點(diǎn)連成15條線段，這15條線段在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)最多有 個(gè)。

5．某郵局現(xiàn)只有郵票0.6元，0.8元，1.1元的三種面值郵票，現(xiàn)有郵資為7.5元的郵件一件，為使粘貼的郵票張數(shù)最小，且郵資恰為7.5元，則至少要購買 張郵票。

6．（1）從1，2，…，30這前30個(gè)自然數(shù)中，每次取出不同的三個(gè)數(shù)，使這三個(gè) 數(shù)的和是3的倍數(shù)的取法有多少種？

（2）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)能被3整除的四位數(shù)。

（3）在1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)中，每次取出三個(gè)數(shù)，使它們構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，問這樣的等差數(shù)列共有多少個(gè)？

（4）1！+2！+3！+…+100！的個(gè)位數(shù)字是

7．5個(gè)身高均不等的學(xué)生站成一排合影，若高個(gè)子站中間，從中間到兩邊一個(gè)比一個(gè)矮，則這樣的排法種數(shù)共有（）

（A）6種（B）8種（C）10種（D）12種

8．某產(chǎn)品中有4只次品，6只正品（每只產(chǎn)品均可區(qū)別），每次取一只測試，直到4只次品全部測出為止，則第五次測試發(fā)現(xiàn)最后一只次品的可能情況共有多少種？

《排列和組合的綜合應(yīng)用》教師小結(jié)

數(shù)學(xué)教師在傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境下也許會(huì)遭遇諸如以下的困難： ——我怎樣向?qū)W生提供更多的相關(guān)的學(xué)習(xí)資料？ ——我如何有效地進(jìn)行課堂檢測并及時(shí)反饋？

——我怎樣讓每個(gè)學(xué)生都參與討論并且使討論的結(jié)果都呈現(xiàn)出來？

這種在教學(xué)資源、教學(xué)檢測、教學(xué)組織上所體現(xiàn)出來的局限，不僅在傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境下難以改變，即使在多媒體輔助教學(xué)下也是捉襟見肘。它不僅影響了數(shù)學(xué)教學(xué)效率的提高，更是阻礙了數(shù)學(xué)教改的進(jìn)程。幸而，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展已經(jīng)到了網(wǎng)絡(luò)時(shí)代，基于Web的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了革命的曙光。鑒此認(rèn)真分析教材特點(diǎn)，學(xué)生特點(diǎn)開了《排列和組合的綜合應(yīng)用》這堂網(wǎng)絡(luò)課，現(xiàn)對此進(jìn)行課后總結(jié)：

《排列和組合的綜合應(yīng)用》這堂網(wǎng)絡(luò)課，教學(xué)重點(diǎn)是幾種常見命題的形式的解題思路及有關(guān)應(yīng)用。首先，通過排列和組合有關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，對排列和組合有一個(gè)整體上的認(rèn)識(shí)，給學(xué)生打下了很好的基礎(chǔ)。其次，在教學(xué)中，本著以學(xué)生為本的原則，讓學(xué)生自己動(dòng)手參與實(shí)踐，使之獲取知識(shí)。在傳統(tǒng)教學(xué)過程中，學(xué)生主要依靠老師，自主探索的能力不強(qiáng)，因此在本節(jié)課學(xué)習(xí)中，教師在課堂上適時(shí)拋出問題，使學(xué)生有的放矢，有針對性，知道自己下一步應(yīng)該做什么，同時(shí)組織學(xué)生以小組進(jìn)行討論學(xué)習(xí)，防止出現(xiàn)學(xué)生純粹瀏覽網(wǎng)頁這種現(xiàn)象。在強(qiáng)大的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，讓學(xué)生探討排列和組合的區(qū)別與聯(lián)系，自主發(fā)現(xiàn)結(jié)論，以人機(jī)交互的方式，使個(gè)性化學(xué)習(xí)成為可能，體現(xiàn)了學(xué)科教學(xué)與教育技術(shù)的整合。第三、針對數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，在學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論后，還需在理論上給予支持。因此，對各種常見的類型，教師在課堂上分別給予小結(jié)，目的是讓學(xué)生在今后的自主學(xué)習(xí)中，若遇到同樣的問題，有能力自己解決。從而讓學(xué)生逐步熟悉、形成較為完整的一套自主學(xué)習(xí)的方法。

在上課的過程中，充分體現(xiàn)出計(jì)算機(jī)的交互和便捷的特點(diǎn)，學(xué)生可以根據(jù)需要，在老師的引導(dǎo)下，選擇自己學(xué)習(xí)的進(jìn)度和內(nèi)容，去自主的學(xué)習(xí)和探索。通過實(shí)際操作，幫助理解和掌握本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容。在上課過程中，學(xué)生積極思考，相互協(xié)作討論，踴躍回答問題，氣氛活躍，教學(xué)效果好。在學(xué)生課后的反饋中，總體的反映都覺得各自獲益匪淺，從中學(xué)到了不少的東西，切實(shí)掌握了排列和組合的有關(guān)知識(shí)。

當(dāng)然，本節(jié)課還有許多需要改進(jìn)的地方，如課堂上安排節(jié)奏比較快，例題，練習(xí)留給學(xué)生探索，動(dòng)手的時(shí)間還可以再多一些；另外由于學(xué)生電腦的水平以及數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，所以許多學(xué)生不能很熟練地操作電腦，許多數(shù)學(xué)符號(hào)，公式無法在討論區(qū)中體現(xiàn)。

總之，網(wǎng)絡(luò)探究的最大好處是學(xué)生能夠在網(wǎng)絡(luò)中找到課堂教學(xué)中體驗(yàn)過和未體驗(yàn)過的感性知識(shí)，提高學(xué)生求知欲，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自主性，使學(xué)生的個(gè)性在學(xué)習(xí)中得以充分張揚(yáng)。而探究過程中的相互交流不僅可擴(kuò)大知識(shí)的攝入量，更可培養(yǎng)學(xué)生形成一種在交流中學(xué)習(xí)成長的意識(shí)。因此在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)這領(lǐng)域中，今后還有很大的學(xué)習(xí)空間，做為一名教師，要適應(yīng)時(shí)代的需要，改善自己平時(shí)的傳統(tǒng)教學(xué)思維，大膽創(chuàng)新，努力學(xué)習(xí)，不斷地探索，不斷反思。樹立現(xiàn)代教育觀念，不斷學(xué)習(xí)現(xiàn)代化技術(shù)，完善自己，提高素質(zhì)，才能擔(dān)負(fù)起祖國賦于我們肩上的重任。

第五篇：2016(好)高中數(shù)學(xué)排列組合問題常用的解題方法

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高中數(shù)學(xué)排列組合問題常用的解題方法

一、相鄰問題捆綁法

題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素并為一個(gè)組(當(dāng)作一個(gè)元素)參與排列． 例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 種。

分析：把甲、乙視為一人，并且乙固定在甲的右邊，則本題相當(dāng)于4人4的全排列，A4?24種。

二、相離問題插空法

元素相離(即不相鄰)問題，可先把無位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素間的空位和兩端．

例2 七個(gè)人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同排法的種數(shù)是。

分析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為A5種，再用甲乙去插6個(gè)空位有A652種，不同的排法種數(shù)是A5A6?3600種。

三、定序問題縮倍法

在排列問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法． 例3 A、B、C、D、E五個(gè)人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數(shù)有。

分析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元

15?60種。素全排列數(shù)的一半，即A

52四、標(biāo)號(hào)排位問題分步法

把元素排到指定號(hào)碼的位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成．

例4 將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有。

分析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法。

五、有序分配問題逐分法

有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法。例5 有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法總數(shù)有。

分析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有211C10C8C7?2520種。

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六、多元問題分類法

元素多，取出的情況也有多種，可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類情況分別計(jì)算，最后總計(jì)。

例6 由數(shù)字 0，1，2，3，4，5組成且沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有 個(gè)。

分析：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有511311311313個(gè)，A4A5A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3個(gè)，合并總計(jì)300個(gè)。

例7 從1，2，3，?100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法(不計(jì)順序)共有多少種？

分析：被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí)，他們的乘積就能被7整除，將這100個(gè)數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做A??7,14,21,98?共有14個(gè)元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做A??1,2,3,4，10086個(gè)元素；由此可知，從A中任取2個(gè)元素的取法有?共有211，從A中任取一個(gè)，又從A中任取一個(gè)共有C14，兩種情形共符合要求的C14C86211取法有C14?C14C86?1295種。

例8 從1，2，?100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法(不計(jì)順序)有多少種？

分析：將I??1,2,3,100?分成四個(gè)不相交的子集，能被4整除的數(shù)集

97?，能被4除余2的數(shù)99?，易見這四個(gè)集合中A??4,8,12,集C??2,6,100?；能被4除余1的數(shù)集B??1,5,9，98?，能被4除余3的數(shù)集D??3,7,11,每一個(gè)有25個(gè)元素；從A中任取兩個(gè)數(shù)符合要；從B,D中各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從C中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求2112的取法共有C25種。?C25C25?C2

5七、交叉問題集合法

某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B。)

例 9 從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4個(gè)參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？

分析：設(shè)全集Ⅰ＝｛6人中任取4人參賽的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：

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n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A∩B)＝P64?P53?P53?P42＝252(種)．

八、定位問題優(yōu)先法

某個(gè)(或幾個(gè))元素要排在指定位置，可先排這個(gè)(幾個(gè))元素，再排其他元素。

例10 1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有_______ _種。

41分析：老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有A3種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有A414種方法；所以共有A3A4?72種。

九、多排問題單排法

把元素排成幾排的問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。

例11 6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是。

分析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排6成一排，共A6?720種。

例12 8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某 1個(gè)元素要排在后排，有多少種排法？

2分析：看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有A4種，某11個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有A4種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上5125有A5種，故共有A4A4A5?5760種排法。

十、“至少”問題間接法

關(guān)于“至少”類型組合問題，用間接法較方便。例13 從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取出3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同取法共有 種。

分析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種

333型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有C9?C4?C5?70種。

分析2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；

2112甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有C5C4?C5C4?70種。

十一、選排問題先取后排法

從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。

例14 四個(gè)不同的球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有_____ ___種

2分析：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有C4種，再排：在 3

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323四個(gè)盒中每次排3個(gè)有A4種，故共有C4A4?144種。

例15 9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同分組法？

22分析：先取男女運(yùn)動(dòng)員各2名，有C52C4種，這四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)有A2222中排法，故共有C5C4A2?120種。

十二、部分合條件問題排除法

在選取總數(shù)中，只有一部分合條件，可從總數(shù)中減去不合條件數(shù)，即為所求。

例16 以一個(gè)正方體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有 個(gè)。分析：正方體8個(gè)頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成C84四面體，但6個(gè)表面和6個(gè)對角面的四個(gè)頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有C84?12?58個(gè)。

例17 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有 種。

4分析：10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共有C10種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：①在44四面體的四個(gè)面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為C6，四個(gè)面共有4C6個(gè)；②過空間四邊形各邊中點(diǎn)的平行四邊形共3個(gè)；③過棱上三點(diǎn)與對棱中點(diǎn)的三角形共6

44個(gè)；所以四點(diǎn)不共面的情況的種數(shù)是C10?4C6?3?6?141種。

十三、復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法

例18馬路上有編號(hào)為1，2，3?9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？

分析：把此問題當(dāng)作一個(gè)排對模型，在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮3的燈C5種方法。所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種。

十四、利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法

例19 圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有多少個(gè)？ 分析：因?yàn)閳A的一個(gè)內(nèi)接四邊形的兩條對角線相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形就對應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，于是問題就轉(zhuǎn)化為圓周上的410個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)不同的四邊形，顯然有C10個(gè)，所以圓周上有10點(diǎn)，以4這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有C10個(gè)。