第一篇：2012(好)高中數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題常用的解題方法

排列組合常用的解題方法

一、相鄰問(wèn)題捆綁法

題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素并為一個(gè)組(當(dāng)作一個(gè)元素)參與排列． 例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 種。

分析：把甲、乙視為一人，并且乙固定在甲的右邊，則本題相當(dāng)于4人4的全排列，A4?24種。

二、相離問(wèn)題插空法

元素相離(即不相鄰)問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素間的空位和兩端．

例2 七個(gè)人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同排法的種數(shù)是。

分析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為A5種，再用甲乙去插6個(gè)空位有A652種，不同的排法種數(shù)是A5A6?3600種。

三、定序問(wèn)題縮倍法

在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法． 例3 A、B、C、D、E五個(gè)人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數(shù)有。

分析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即

15A5?60種。

2四、標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題分步法

把元素排到指定號(hào)碼的位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成．

例4 將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有。

分析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法。

五、有序分配問(wèn)題逐分法

有序分配問(wèn)題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法。例5 有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法總數(shù)有。

分析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有211C10C8C7?2520種。

六、多元問(wèn)題分類(lèi)法

元素多，取出的情況也有多種，可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類(lèi)情況分別計(jì)算，最后總計(jì)。

例6 由數(shù)字 0，1，2，3，4，5組成且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有 個(gè)。

分析：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有511311311313個(gè)，A4A5A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3個(gè)，合并總計(jì)300個(gè)。

七、交叉問(wèn)題集合法

某些排列組合問(wèn)題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B。)

例 9 從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4個(gè)參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？

分析：設(shè)全集Ⅰ＝｛6人中任取4人參賽的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：

n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A∩B)＝P64?P53?P53?P42＝252(種)．

八、定位問(wèn)題優(yōu)先法

某個(gè)(或幾個(gè))元素要排在指定位置，可先排這個(gè)(幾個(gè))元素，再排其他元素。

例10 1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有_______ _種。

41分析：老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有A3種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有A4 2 14種方法；所以共有A3A4?72種。

九、多排問(wèn)題單排法

把元素排成幾排的問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。

例11 6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是。

分析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排6成一排，共A6?720種。

例12 8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某 1個(gè)元素要排在后排，有多少種排法？

2分析：看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有A4種，某11個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有A4種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上5125有A5種，故共有A4A4A5?5760種排法。

十、“至少”問(wèn)題間接法

關(guān)于“至少”類(lèi)型組合問(wèn)題，用間接法較方便。

例13 從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取出3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同取法共有 種。

分析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種

333型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有C9?C4?C5?70種。

分析2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；

2112甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有C5C4?C5C4?70種。

十一、選排問(wèn)題先取后排法

從幾類(lèi)元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。

例14 四個(gè)不同的球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有_____ ___種

2分析：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有C4種，再排：在323四個(gè)盒中每次排3個(gè)有A4種，故共有C4A4?144種。

例15 9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同分組法？

22分析：先取男女運(yùn)動(dòng)員各2名，有C52C4種，這四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)有A2222中排法，故共有C5C4A2?120種。

十二、部分合條件問(wèn)題排除法

在選取總數(shù)中，只有一部分合條件，可從總數(shù)中減去不合條件數(shù)，即為所求。

例16 以一個(gè)正方體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有 個(gè)。

分析：正方體8個(gè)頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成C84四面體，但6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面的四個(gè)頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有C84?12?58個(gè)。

例17 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有 種。

4分析：10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共有C10種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：①在44四面體的四個(gè)面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為C6，四個(gè)面共有4C6個(gè)；②過(guò)空間四邊形各邊中點(diǎn)的平行四邊形共3個(gè)；③過(guò)棱上三點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)的三角形共6

44個(gè)；所以四點(diǎn)不共面的情況的種數(shù)是C10?4C6?3?6?141種。

十三、復(fù)雜排列組合問(wèn)題構(gòu)造模型法

例18馬路上有編號(hào)為1，2，3?9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方案有多少種？

分析：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排對(duì)模型，在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮3的燈C5種方法。所以滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方案有10種。

說(shuō)明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型可使問(wèn)題容易解決。

十四、利用對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法

例19 圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有多少個(gè)？ 分析：因?yàn)閳A的一個(gè)內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，一個(gè)圓的內(nèi) 接四邊形就對(duì)應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為圓周上的410個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)不同的四邊形，顯然有C10個(gè)，所以圓周上有10點(diǎn)，以4這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有C10個(gè)。

一、相鄰問(wèn)題捆綁法

例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 種。

二、相離問(wèn)題插空法

例2 七個(gè)人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同排法的種數(shù)是。

三、定序問(wèn)題縮倍法

例3 A、B、C、D、E五個(gè)人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數(shù)有。

四、標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題分步法

例4 將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有。

五、有序分配問(wèn)題逐分法

例5 有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法總數(shù)有。

六、多元問(wèn)題分類(lèi)法

例6 由數(shù)字 0，1，2，3，4，5組成且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有 個(gè)。

七、交叉問(wèn)題集合法

例 7 從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4個(gè)參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？

八、定位問(wèn)題優(yōu)先法

例8 1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則 6 有不同的排法有_______ _種。

九、多排問(wèn)題單排法

例9 6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是。

十、“至少”問(wèn)題間接法

例10 從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取出3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同取法共有 種。

十一、選排問(wèn)題先取后排法

例11 四個(gè)不同的球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有_____ ___種

十二、部分合條件問(wèn)題排除法

例12 以一個(gè)正方體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有 個(gè)。

十三、復(fù)雜排列組合問(wèn)題構(gòu)造模型法

例13 馬路上有編號(hào)為1，2，3?9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方案有多少種？

十四、利用對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法

例14 圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有多少個(gè)？

第二篇：2016(好)高中數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題常用的解題方法

初高中理科專(zhuān)業(yè)教學(xué)機(jī)構(gòu)

高中數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題常用的解題方法

一、相鄰問(wèn)題捆綁法

題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素并為一個(gè)組(當(dāng)作一個(gè)元素)參與排列． 例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 種。

分析：把甲、乙視為一人，并且乙固定在甲的右邊，則本題相當(dāng)于4人4的全排列，A4?24種。

二、相離問(wèn)題插空法

元素相離(即不相鄰)問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素間的空位和兩端．

例2 七個(gè)人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同排法的種數(shù)是。

分析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為A5種，再用甲乙去插6個(gè)空位有A652種，不同的排法種數(shù)是A5A6?3600種。

三、定序問(wèn)題縮倍法

在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法． 例3 A、B、C、D、E五個(gè)人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數(shù)有。

分析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元

15?60種。素全排列數(shù)的一半，即A

52四、標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題分步法

把元素排到指定號(hào)碼的位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成．

例4 將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有。

分析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法。

五、有序分配問(wèn)題逐分法

有序分配問(wèn)題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法。例5 有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法總數(shù)有。

分析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有211C10C8C7?2520種。

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六、多元問(wèn)題分類(lèi)法

元素多，取出的情況也有多種，可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類(lèi)情況分別計(jì)算，最后總計(jì)。

例6 由數(shù)字 0，1，2，3，4，5組成且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有 個(gè)。

分析：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有511311311313個(gè)，A4A5A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3個(gè)，合并總計(jì)300個(gè)。

例7 從1，2，3，?100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法(不計(jì)順序)共有多少種？

分析：被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí)，他們的乘積就能被7整除，將這100個(gè)數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做A??7,14,21,98?共有14個(gè)元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做A??1,2,3,4，10086個(gè)元素；由此可知，從A中任取2個(gè)元素的取法有?共有211，從A中任取一個(gè)，又從A中任取一個(gè)共有C14，兩種情形共符合要求的C14C86211取法有C14?C14C86?1295種。

例8 從1，2，?100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法(不計(jì)順序)有多少種？

分析：將I??1,2,3,100?分成四個(gè)不相交的子集，能被4整除的數(shù)集

97?，能被4除余2的數(shù)99?，易見(jiàn)這四個(gè)集合中A??4,8,12,集C??2,6,100?；能被4除余1的數(shù)集B??1,5,9，98?，能被4除余3的數(shù)集D??3,7,11,每一個(gè)有25個(gè)元素；從A中任取兩個(gè)數(shù)符合要；從B,D中各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從C中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求2112的取法共有C25種。?C25C25?C2

5七、交叉問(wèn)題集合法

某些排列組合問(wèn)題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B。)

例 9 從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4個(gè)參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？

分析：設(shè)全集Ⅰ＝｛6人中任取4人參賽的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：

初高中理科專(zhuān)業(yè)教學(xué)機(jī)構(gòu)

n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A∩B)＝P64?P53?P53?P42＝252(種)．

八、定位問(wèn)題優(yōu)先法

某個(gè)(或幾個(gè))元素要排在指定位置，可先排這個(gè)(幾個(gè))元素，再排其他元素。

例10 1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有_______ _種。

41分析：老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有A3種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有A414種方法；所以共有A3A4?72種。

九、多排問(wèn)題單排法

把元素排成幾排的問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。

例11 6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是。

分析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排6成一排，共A6?720種。

例12 8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某 1個(gè)元素要排在后排，有多少種排法？

2分析：看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有A4種，某11個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有A4種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上5125有A5種，故共有A4A4A5?5760種排法。

十、“至少”問(wèn)題間接法

關(guān)于“至少”類(lèi)型組合問(wèn)題，用間接法較方便。例13 從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取出3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同取法共有 種。

分析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種

333型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有C9?C4?C5?70種。

分析2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；

2112甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有C5C4?C5C4?70種。

十一、選排問(wèn)題先取后排法

從幾類(lèi)元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。

例14 四個(gè)不同的球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有_____ ___種

2分析：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有C4種，再排：在 3

初高中理科專(zhuān)業(yè)教學(xué)機(jī)構(gòu)

323四個(gè)盒中每次排3個(gè)有A4種，故共有C4A4?144種。

例15 9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同分組法？

22分析：先取男女運(yùn)動(dòng)員各2名，有C52C4種，這四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)有A2222中排法，故共有C5C4A2?120種。

十二、部分合條件問(wèn)題排除法

在選取總數(shù)中，只有一部分合條件，可從總數(shù)中減去不合條件數(shù)，即為所求。

例16 以一個(gè)正方體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有 個(gè)。分析：正方體8個(gè)頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成C84四面體，但6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面的四個(gè)頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有C84?12?58個(gè)。

例17 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有 種。

4分析：10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共有C10種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：①在44四面體的四個(gè)面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為C6，四個(gè)面共有4C6個(gè)；②過(guò)空間四邊形各邊中點(diǎn)的平行四邊形共3個(gè)；③過(guò)棱上三點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)的三角形共6

44個(gè)；所以四點(diǎn)不共面的情況的種數(shù)是C10?4C6?3?6?141種。

十三、復(fù)雜排列組合問(wèn)題構(gòu)造模型法

例18馬路上有編號(hào)為1，2，3?9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方案有多少種？

分析：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排對(duì)模型，在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮3的燈C5種方法。所以滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方案有10種。

十四、利用對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法

例19 圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有多少個(gè)？ 分析：因?yàn)閳A的一個(gè)內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形就對(duì)應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為圓周上的410個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)不同的四邊形，顯然有C10個(gè)，所以圓周上有10點(diǎn)，以4這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有C10個(gè)。

第三篇：2012(好)高中數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題常用的解題方法

高中數(shù)學(xué)排列組合問(wèn)題常用的解題方法

江蘇省濱?？h五汛中學(xué) 王玉娟

排列組合是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)。排列組合問(wèn)題通常聯(lián)系實(shí)際，生動(dòng)有趣，并且能夠鍛煉同學(xué)們的邏輯推理能力和思維的縝密性，但題型多樣，思路靈活，不易掌握。實(shí)踐證明，備考有效方法是題型與解法歸類(lèi)、識(shí)別模式、熟練運(yùn)用，現(xiàn)將高中階段常用的排列問(wèn)題和組合問(wèn)題的解題方法歸納如下：

一、相鄰問(wèn)題捆綁法

題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素并為一個(gè)組(當(dāng)作一個(gè)元素)參與排列． 例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 種。

分析：把甲、乙視為一人，并且乙固定在甲的右邊，則本題相當(dāng)于4人4的全排列，A4?24種。

二、相離問(wèn)題插空法

元素相離(即不相鄰)問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素間的空位和兩端．

例2 七個(gè)人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同排法的種數(shù)是。

分析：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為A5種，再用甲乙去插6個(gè)空位有A652種，不同的排法種數(shù)是A5A6?3600種。

三、定序問(wèn)題縮倍法

在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法． 例3 A、B、C、D、E五個(gè)人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數(shù)有。

分析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元

15?60種。素全排列數(shù)的一半，即A

52四、標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題分步法

把元素排到指定號(hào)碼的位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成．

例4 將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有。

分析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法。

五、有序分配問(wèn)題逐分法

有序分配問(wèn)題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法。例5 有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法總數(shù)有。

分析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選1人承 擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有211C10C8C7?2520種。

六、多元問(wèn)題分類(lèi)法

元素多，取出的情況也有多種，可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類(lèi)情況分別計(jì)算，最后總計(jì)。

例6 由數(shù)字 0，1，2，3，4，5組成且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有 個(gè)。

分析：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有1***個(gè)，A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3個(gè)，合并總計(jì)300個(gè)。A5例7 從1，2，3，?100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法(不計(jì)順序)共有多少種？

分析：被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí)，他們的乘積就能被7整除，將這100個(gè)數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做A??7,14,21,?98?共有14個(gè)元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做A??1,2,3,?4，10086個(gè)元素；由此可知，從A中任取2個(gè)元素的取法有?共有211，從A中任取一個(gè)，又從A中任取一個(gè)共有C14，兩種情形共符合要求的C14C86211取法有C14?C14C86?1295種。

例8 從1，2，?100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使其和能被4整除的取法(不計(jì)順序)有多少種？

分析：將I??1,2,3?,100?分成四個(gè)不相交的子集，能被4整除的數(shù)集A??4,8,12,?100?；能被4除余1的數(shù)集B??1,5,9,?97?，能被4除余2的數(shù)集C??2,6,?,98?，能被4除余3的數(shù)集D??3,7,11,?99?，易見(jiàn)這四個(gè)集合中每一個(gè)有25個(gè)元素；從A中任取兩個(gè)數(shù)符合要；從B,D中各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從C中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求2112的取法共有C25種。?C25C25?C2

5七、交叉問(wèn)題集合法

某些排列組合問(wèn)題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B)。

例 9 從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4個(gè)參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？

分析：設(shè)全集Ⅰ＝｛6人中任取4人參賽的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有： n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A∩B)＝P64?P53?P53?P42＝252(種)．

八、定位問(wèn)題優(yōu)先法

某個(gè)(或幾個(gè))元素要排在指定位置，可先排這個(gè)(幾個(gè))元素，再排其他元素。

例10 1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有_______ _種。

14分析：老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有A3種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有A414種方法；所以共有A3A4?72種。

九、多排問(wèn)題單排法

把元素排成幾排的問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。

例11 6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是。

分析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排6成一排，共A6?720種。

例12 8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某 1個(gè)元素要排在后排，有多少種排法？

2分析：看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有A4種，某11個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有A4種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上1255有A5種，故共有A4A4A5?5760種排法。

十、“至少”問(wèn)題間接法

關(guān)于“至少”類(lèi)型組合問(wèn)題，用間接法較方便。例13 從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取出3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同取法共有 種。

分析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種

333型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有C9?C4?C5?70種。

分析2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；

2112甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有C5C4?C5C4?70種。

十一、選排問(wèn)題先取后排法

從幾類(lèi)元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。

例14 四個(gè)不同的球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有_____ ___種

2分析：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有C4種，再排：在233四個(gè)盒中每次排3個(gè)有A4種，故共有C4A4?144種。

例15 9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同分組法？

22分析：先取男女運(yùn)動(dòng)員各2名，有C52C4種，這四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)有A2222中排法，故共有C5C4A2?120種。

十二、部分合條件問(wèn)題排除法

在選取總數(shù)中，只有一部分合條件，可從總數(shù)中減去不合條件數(shù)，即為所求。

例16 以一個(gè)正方體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有 個(gè)。分析：正方體8個(gè)頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成C84四面體，但6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面的四個(gè)頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有C84?12?58個(gè)。

例17 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有 種。

4分析：10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共有C10種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：①在44四面體的四個(gè)面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為C6，四個(gè)面共有4C6個(gè)；②過(guò)空間四邊形各邊中點(diǎn)的平行四邊形共3個(gè)；③過(guò)棱上三點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)的三角形共6

44個(gè)；所以四點(diǎn)不共面的情況的種數(shù)是C10?4C6?3?6?141種。

十三、復(fù)雜排列組合問(wèn)題構(gòu)造模型法

例18馬路上有編號(hào)為1，2，3?9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方案有多少種？

分析：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排對(duì)模型，在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮3的燈C5種方法。所以滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方案有10種。

說(shuō)明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型可使問(wèn)題容易解決。

十四、利用對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法

對(duì)應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題處理。

例19 圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有多少個(gè)？ 分析：因?yàn)閳A的一個(gè)內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形就對(duì)應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為圓周上的410個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)不同的四邊形，顯然有C10個(gè)，所以圓周上有10點(diǎn)，以4這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有C10個(gè)。

以上介紹的各種方法是解決一般排列組合問(wèn)題常用方法，并非絕對(duì)的。數(shù)學(xué)是一門(mén)非常靈活的課程，同一問(wèn)題有時(shí)會(huì)有多種解法，所以解題時(shí)要注意不斷積 累經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)解題規(guī)律，掌握更多的解題技巧。

第四篇：高中數(shù)學(xué)解題方法名錄

第一篇 數(shù)學(xué)具體解題方法 代入法

直接法

定義法

向量坐標(biāo)法

查字典法

擋板模型法

等差中項(xiàng)法

逆向化法

極限化法

整體化法

參數(shù)法

交軌法

幾何法

弦中點(diǎn)軌跡求

比較法

基本不等式法

以題攻題法

綜合法

分析法

放縮法

反證法

換元法

構(gòu)造法

數(shù)學(xué)歸納法

配方法

判別式法

序軸標(biāo)根法

函數(shù)與方程思想

整體思想

比較法綜合法向量平行法篩選法（排除法）向量垂直法數(shù)形結(jié)合法同一法特殊值法累加法 回代法（驗(yàn)證法）累乘法特殊圖形法倒序相加法 分類(lèi)法分組法運(yùn)算轉(zhuǎn)換法公式法結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換法錯(cuò)位相減法 割補(bǔ)轉(zhuǎn)換法裂項(xiàng)法導(dǎo)數(shù)法迭代法象限分析法角的變換法補(bǔ)集法公式的變形及逆距離法用法變更主元法降冪法差異分析法升冪法反例法“1”的代換法閱讀理解法引入輔助角法信息遷移法三角函數(shù)線法類(lèi)比聯(lián)想法構(gòu)造對(duì)偶式法抽象概括法構(gòu)造三角形法邏輯推理法估算法等價(jià)轉(zhuǎn)化法 待定系數(shù)法根的分布法特殊優(yōu)先法分離參數(shù)法先選后排法抽簽法捆綁法隨機(jī)數(shù)表法插空法間接法數(shù)形結(jié)合思想第二篇 數(shù)學(xué)思想方法分類(lèi)討論思想化歸轉(zhuǎn)化 第三篇分析法數(shù)學(xué)邏輯方法 反證法歸納法抽象與概括法思想類(lèi)比法

第五篇：高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 排列組合的解題策略（本站推薦）

高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：排列組合的解題策略

讓學(xué)生成為“演員”——也談排列組合的解題策略

排列組合作為高中代數(shù)課本的一個(gè)獨(dú)立分支，因?yàn)闃O具抽象性而成為“教”與“學(xué)”難點(diǎn)。有相當(dāng)一部分題目教者很難用比較清晰簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言講給學(xué)生聽(tīng)，有的即使教者覺(jué)得講清楚了，但是由于學(xué)生的認(rèn)知水平，思維能力在一定程度上受到限制，還不太適應(yīng)。從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)題目一知半解，甚至覺(jué)得“云里霧里”.針對(duì)這一現(xiàn)象，筆者在日常教學(xué)過(guò)程中經(jīng)過(guò)嘗試總結(jié)出一些個(gè)人的想法跟各位同行交流一下。

筆者認(rèn)為之所以學(xué)生“怕”學(xué)排列組合，主要還是因?yàn)榕帕薪M合的抽象性，那么解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是將抽象問(wèn)題具體化，我們不妨將原題進(jìn)行一下轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生走進(jìn)題目當(dāng)中，成為“演員”，成為解決問(wèn)題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)和主觀能動(dòng)性，能讓學(xué)生從具體問(wèn)題的分析過(guò)程中得到啟發(fā)，逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律，從而做到以不變應(yīng)萬(wàn)變。當(dāng)然，在具體的教學(xué)過(guò)程中一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價(jià)性，可操作性。

下面筆者將就教學(xué)過(guò)程中的兩個(gè)難點(diǎn)通過(guò)兩個(gè)特例作進(jìn)一步的說(shuō)明：

1、占位子問(wèn)題例1：將編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)小球放進(jìn)編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)盒子中，要求只有兩個(gè)小球與其所在的盒子編號(hào)相同，問(wèn)有多少種不同的方法？

① 仔細(xì)審題：在轉(zhuǎn)換題目之前先讓學(xué)生仔細(xì)審題，從特殊字眼小球和盒子都已“編號(hào)”著手，清楚這是一個(gè)“排列問(wèn)題”，然后對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

② 轉(zhuǎn)換題目：在審題的基礎(chǔ)上，為了激發(fā)學(xué)生興趣進(jìn)入角色，我將題目轉(zhuǎn)換為：讓學(xué)號(hào)為1、2、3、4、5的學(xué)生坐到編號(hào)為1、2、3、4、5的五張凳子上（已準(zhǔn)備好放在講臺(tái)前），要求只有兩個(gè)學(xué)生與其所坐的凳子編號(hào)相同，問(wèn)有多少種不同的坐法？

③ 解決問(wèn)題：這時(shí)我在選另一名學(xué)生來(lái)安排這5位學(xué)生坐位子（學(xué)生爭(zhēng)著上臺(tái)，積極性已經(jīng)得到了極大的提高），班上其他同學(xué)也都積極思考（充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位和主觀能動(dòng)性），努力地“出謀劃策”，不到兩分鐘的時(shí)間，同學(xué)們有了統(tǒng)一的看法：先選定符合題目特殊條件“兩個(gè)學(xué)生與其所坐的凳子編號(hào)相同”的兩位同學(xué)，有C 種方法，讓他們坐到與自己編號(hào)相同的凳子上，然后剩下的三位同學(xué)不坐編號(hào)相同的凳子有2種排法，最后根據(jù)乘法原理得到結(jié)果為2×C =20（種）。這樣原題也就得到了解決。

④ 學(xué)生小結(jié)：接著我讓學(xué)生之間互相討論，根據(jù)自己的分析方法對(duì)這一類(lèi)問(wèn)題提出一個(gè)好的解決方案。（課堂氣氛又一次活躍起來(lái)）

⑤ 老師總結(jié)：對(duì)于這一類(lèi)占位子問(wèn)題，關(guān)鍵是抓住題目中的特殊條件，先從特殊對(duì)象或者特殊位子入手，再考慮一般對(duì)象，從而最終解決問(wèn)題。

2、分組問(wèn)題例2：從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出3個(gè)和2個(gè)數(shù)組成五位數(shù)，問(wèn)這樣的五位數(shù)有幾個(gè)？

用心

愛(ài)心

專(zhuān)心 1

（本題我是先讓學(xué)生計(jì)算，有很多同學(xué)得出的結(jié)論是P ×P）

① 仔細(xì)審題：先由學(xué)生審題，明確組成五位數(shù)是一個(gè)排列問(wèn)題，但是由于這五個(gè)數(shù)來(lái)自?xún)蓚€(gè)不同的組，因此是一個(gè)“分組排列問(wèn)題”，然后對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

② 轉(zhuǎn)換題目：在學(xué)生充分審題后，我讓學(xué)生自己對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，有一位同學(xué)A將題目轉(zhuǎn)換如下：從班級(jí)的第一組（12人）和第二組（10人）中分別選3位和2位同學(xué)分別去參加蘇州市舉辦的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，問(wèn)有多少種不同的選法？

③ 解決問(wèn)題：接著我就讓同學(xué)A來(lái)提出選人的方案同學(xué)A說(shuō)：先從第一組的12個(gè)人中選出3人參加其中的3科競(jìng)賽，有P ×P 種選法；再?gòu)牡诙M的10人中選出2人參加其中2科競(jìng)賽有P ×P 種選法；最后由乘法原理得出結(jié)論為（P ×P）×（P ×P）（種）。（這時(shí)同學(xué)B表示反對(duì)）

同學(xué)B說(shuō)：如果第一組的3個(gè)人先選了3門(mén)科目，那么第二組的2人就沒(méi)有選擇的余地。所以第二步應(yīng)該是P ×P.（同學(xué)們都表示同意，但是同學(xué)C說(shuō)太蘩）

同學(xué)C說(shuō)：可以先分別從兩組中把5個(gè)人選出來(lái)，然后將這5個(gè)人在5門(mén)學(xué)科中排列，他列出的計(jì)算式是C ×C ×P（種）。（再次通過(guò)互相討論，都表示贊賞）

這樣原題的解答結(jié)果就“浮現(xiàn)”出來(lái)C ×C ×P（種）。

④ 老師總結(jié)：針對(duì)這樣的“分組排列”題，我們多采用“先選后排”的方法：先將需要排列的對(duì)象選定，再對(duì)它們進(jìn)行排列。

以上是我一節(jié)課兩個(gè)例題的分析過(guò)程，旨在通過(guò)這種方法的嘗試（教學(xué)效果比較明顯），進(jìn)一步活躍課堂氣氛，更全面地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生在互相討論的過(guò)程中學(xué)會(huì)自己分析轉(zhuǎn)換問(wèn)題，解決問(wèn)題。

用心

愛(ài)心

專(zhuān)心 2