第一篇：【名師測(cè)控】2016春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系教案 (新版)浙教版

第2章 一元二次方程

2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 【教學(xué)目標(biāo)】 知識(shí)與技能

要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根與未知數(shù)，會(huì)求一元二次方程兩個(gè)根的倒數(shù)和與平方數(shù)，兩根之差。過(guò)程與方法

通過(guò)韋達(dá)定理的教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀(guān)點(diǎn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)

通過(guò)情境教學(xué)過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿(mǎn)著探索與創(chuàng)造，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的成功感，建立自信心?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】

重點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

難點(diǎn)：讓學(xué)生從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，并用語(yǔ)言表述，以及由一個(gè)已知方程求作新方程，使新方程的根與已知的方程的根有某種關(guān)系，比較抽象，學(xué)生真正掌握有一定的難度，是教學(xué)的難點(diǎn)?！緦?dǎo)學(xué)過(guò)程】 【知識(shí)回顧】 解下列方程：

2x2+5x+3=0

3x2-2x-8=0 并根據(jù)問(wèn)題2和以上的求解填寫(xiě)下表

請(qǐng)觀(guān)察上表，你能發(fā)現(xiàn)兩根之和、兩根之積與方程的系數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？ 【新知探究】

1.請(qǐng)根據(jù)以上的觀(guān)察發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2與a、b、c之間的關(guān)系：____________。

2.你能證明上面的猜想嗎？請(qǐng)證明，并用文字語(yǔ)言敘述說(shuō)明。分小組討論以上的問(wèn)題，并作出推理證明

若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2。則

x1+x2= ；

x1.x2= ·

韋達(dá)是法國(guó)十六世紀(jì)最有影響的數(shù) 學(xué)家之一。第一個(gè)引進(jìn)系統(tǒng)的代數(shù)符號(hào)，并對(duì)方程論做了改進(jìn)。他生于法國(guó)的普瓦圖。年青時(shí)學(xué)習(xí)法律當(dāng)過(guò)律師，后從事政治活動(dòng)，當(dāng)過(guò) 議會(huì)的議員，在對(duì)西班牙的戰(zhàn)爭(zhēng)中曾為 政府破譯敵軍的密碼。韋達(dá)還致力于數(shù) 學(xué)研究，第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用 字母來(lái)表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來(lái)了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步。韋 達(dá)討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn) 了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（所以人們 把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié) 韋達(dá)（1540－1603）論稱(chēng)為“韋達(dá)定理”）。韋達(dá)在歐洲被尊稱(chēng)為“代數(shù)學(xué)之 父”。3.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用嗎？（引導(dǎo)學(xué)生反思性小結(jié)）

①二次項(xiàng)系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程； ②當(dāng)a≠0時(shí)，b=0，a、c異號(hào)，方程兩根互為相反數(shù)；

③當(dāng)a≠0時(shí)，△=b2-4ac可判定根的情況；

④當(dāng)a≠0，b2-4ac≥0時(shí)，x1+x2=，x1x2=。

⑤當(dāng)a≠0，c=0時(shí)，方程必有一根為0 4.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫(xiě)出下列方程的兩根之和與兩根之積（方程兩根為x1，x2、k是常數(shù)）（1）2x2-3x+1=0

x1+x2= ________

x1x2= _________

（2）3x2+5x=0

x1+x2= ________

x1x2= __________

（3）5x2+x-2=0

x1+x2= _________

x1x2= __________

（4）5x2+kx-6=0

x1+x2= _________

x1x2= _______ 【隨堂練習(xí)】

一、填空題

1．如果x1、x2是一元二次方程x2?6x?2?0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1+x2=_________． 2．一元二次方程x?x?3?0兩根的倒數(shù)和等于__________．

3．關(guān)于x的方程x2?px?q?0的根為x1?1?2,x2?1-2，則p=______，q=____． 4．若x1、x2是方程x?5x?7?0的兩根，那么x1+x2=，（x1-x2）．

22225．已知方程x?x?k?0的兩根之比為2，則k的值為_(kāi)______．

26．已知x1,x2為方程x?3x?1?0的兩實(shí)根，則x1?3x2?20?__________.227．方程x?5x?2?0與方程x?2x?6?0的所有實(shí)數(shù)根的和為_(kāi)__________． 8．關(guān)于x的方程ax?2x?1?0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根同號(hào)，則a的取值范圍是__________．

二、選擇題

29．已知a、b是關(guān)于x的一元二次方程x?nx?1?0的兩實(shí)數(shù)根，則式子222ba?的值是（）． abA．n?2 B．?n?2 C．n?2 D．-n-2 10．以3和—2為根的一元二次方程是（）．

A．x?x?6?0 B．x?x?6?0 C．x?x?6?0 D．x?x?6?0

11．設(shè)方程3x?5x?m?0的兩根分別為x1，x2，且6x1?x2?0，那么m的值等于（）． 222222222222 B．—2 C． D．—

939612．點(diǎn)P（a，b）是直線(xiàn)y=—x+5與雙曲y?的一個(gè)交點(diǎn)，則以a，b兩數(shù)為根的一元二

xA．?次方程是（）．

A．x?5x?6?0 B．x?5x?6?0 C．x?5x?6?0 D．x?5x?6?0 13．已知x2?(m?1)x?(2m?2)?0兩根之和等于兩根之積，則m的值為（）． A．1 B．—1 C．2 D．—2 【知識(shí)梳理】

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲? 1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是什么? 2.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，首先要把已知方程化成一般形式.3.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，要特 別注意，方程有實(shí)根的條件，即在初中代數(shù) 里，當(dāng)且僅當(dāng) b 2 ? 4ac ? 0 時(shí)，才能應(yīng) 用根與系數(shù)的關(guān)系.【達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng)】

1.已知x1、x2是方程x－x－3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則A、?22222x1x2?的值為（）x2x17171 B、? C、D、3333

2.下列方程中兩根之和是2的方程是（）

A、x+2x+4=0 B、x－2x－4=0 C、x+2x－4=0 D、x－2x+4=0

23.若方程x+px+2=0的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根是，p=.4.寫(xiě)一個(gè)根為x=1，另一個(gè)根滿(mǎn)足—1

25.已知關(guān)于x的方程2x－px＋q＝0的兩個(gè)根是4和－3，求p和 q的值 2222

第二篇：八年級(jí)數(shù)學(xué)浙教版下冊(cè)2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系同步測(cè)試題

2.4

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

同步測(cè)試題

班級(jí)：_____________姓名：_____________

一、選擇題

（本題共計(jì)

小題，每題

分，共計(jì)24分，）

1.如果3是方程2x2-c=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（）

A.12

B.-12

C.3

D.-3

2.關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+k=0的一個(gè)根是1，則另一個(gè)根是()

A.5

B.-5

C.-6

D.-7

3.下列一元二次方程中，兩實(shí)數(shù)根的積為4的是（）

A.2x2-5x+4=0

B.3x2-5x+4=0

C.x2+2x+4=0

D.x2-5x+4=0

4.方程2x2+4x-3=0的兩個(gè)根分別為x1，x2，則x1+x2的值為（）

A.2

B.-2

C.32

D.-32

5.已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+a=0的兩個(gè)解，若(m-1)(n-1)=-6，則a的值為（）

A.-10

B.4

C.-4

D.10

6.若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1=-2，x2=4，則b+c的值是（）

A.-10

B.10

C.-6

D.-1

7.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-bx+c＝0的兩根分別為x1＝1，x2＝-2，則b與c的值分別為（）

A.b＝-1，c＝2

B.b＝1，c＝-2

C.b＝1，c＝2

D.b＝-1，c＝-2

8.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一根是另一個(gè)根的14，則a、b、c的關(guān)系正確的是（）

A.5ac=4b2

B.25b2=25ac

C.4b2=25ac

D.4b2=-25ac

二、填空題

（本題共計(jì)

小題，每題

分，共計(jì)30分，）

9.設(shè)x1，x2是方程x2-4x=3兩根，則x1x2的值為_(kāi)_______.10.已知矩形兩邊長(zhǎng)分別是方程x2-50x+35=0的兩根，則矩形的面積為_(kāi)_______．

11.設(shè)x1，x2是一元二次方程x2-x-1=0的兩根，則x1+x2+x1x2=________．

12.一元二次方程x2+3x-1=0與x2-3x-1=0的所有實(shí)數(shù)根的和等于________.13.若方程3x2-mx-6=0的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根是________．

14.若方程2x2-4x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，則x1+x2=________.15.已知a2+a-1=0，b2+b-1=0(a≠b)，則a2b+ab2=________．

16.關(guān)于x的方程x2-23x+1=0的兩根分別為x1，x2，則x1x2+x2x1=________．

17.已知x1，x2是方程x2-73x+13=0的兩根，若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足a+x1+x2-x1x2＝2018，則a＝________．

18.若x1，x2方程x2-3x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則1x1+1x2的值為_(kāi)_______．

三、解答題

（本題共計(jì)

小題，共計(jì)66分，）

19.已知關(guān)于x的方程x2+5x-c=0一根為2，求另一根及c的值．

20.已知一元二次方程：x2-3x-1=0的兩個(gè)根分別是x1、x2，求x12x2+x1x22的値．

21.已知a，b是一元二次方程x2-2x-1=0的兩個(gè)根，求a2-a+b+3ab的值．

22.已知-3x2+mx-6＝0的一個(gè)根是1，求m及另一個(gè)根．

23.已知：關(guān)于x的一元二次方程2x2-4x-3=0有兩個(gè)根x1，x2．求：

(1)(x1-1)(x2-1)

（2）x2x1+x1x2．

24.在解方程x2+px+q=0時(shí)，小張看錯(cuò)了p，解得方程的根為1與-3；小王看錯(cuò)了q，解得方程的根為4與-2．

（1）求p和q的值；

（2）設(shè)α，β是方程x2+px+q=0的兩實(shí)數(shù)根，不解方程求α2+2β2+pβ?的值．

25.閱讀材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足m2-m-1=0，n2-n-1=0，求nm+mn的值．

解：由題知m，n是方程x2-x-1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得m+n=1，mn=-1，所以nm+mn=m2+n2mn=m+n2-2mnmn=1+2-1=-3.根據(jù)上述材料解決以下問(wèn)題：

(1)一元二次方程5x2+10x-1=0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1+x2=_______，x1x2=_______；

(2)類(lèi)比探究：已知m，n滿(mǎn)足7m2-7m-1=0，7n2-7n-1=0，求m2n+mn2的值；

(3)思維拓展：已知p，q滿(mǎn)足p2=9p-6，3q2=9q-2，求p2+9q2的值．

第三篇：《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案

《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案

教學(xué)目標(biāo)：

1、發(fā)現(xiàn)、了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生善于獨(dú)立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

2、探索、運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，由一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根及未知系數(shù)，提升學(xué)生的合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神。

3、在不解一元二次方程的情況下，會(huì)求直接（或變形后）含有兩根積的代數(shù)式的值，并從中體會(huì)整體代換的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成。教學(xué)重點(diǎn)：

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及簡(jiǎn)單應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)。數(shù)學(xué)思考與問(wèn)題解決：

通過(guò)創(chuàng)設(shè)一定的問(wèn)題情境，注重由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、探索，讓學(xué)生參與“韋達(dá)定理”的發(fā)現(xiàn)、不完全歸納驗(yàn)證以及演繹證明等整個(gè)數(shù)學(xué)思維過(guò)程。

一、自學(xué)互研 探索發(fā)現(xiàn)（每小題10分，共30分）（自主完成，組長(zhǎng)檢查）

【師生活動(dòng)】：

教師引導(dǎo)，巡視，隨時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、了解學(xué)生導(dǎo)學(xué)案完成情況并點(diǎn)撥；評(píng)價(jià)、鼓勵(lì)、調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的主動(dòng)性和積極性。

學(xué)生獨(dú)立完成導(dǎo)學(xué)案，觀(guān)察、對(duì)比、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，逐步由易到難，探索出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；小組長(zhǎng)檢查小組成員完成情況；分小組匯報(bào)自學(xué)成果。【設(shè)計(jì)意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，即感性認(rèn)識(shí)過(guò)程。通過(guò)幾個(gè)具體的方程，經(jīng)過(guò)觀(guān)察、比較、分析、歸納，感性地得出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的一般規(guī)律。培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探求規(guī)律的學(xué)習(xí)習(xí)慣和注重自主加合作的學(xué)習(xí)方式?！緦W(xué)案內(nèi)容】：

1、方程：X2+3X–4=0（1）二次項(xiàng)系數(shù)是_____，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項(xiàng)系數(shù)?（）

二次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)?（）(4)X1·X2=_______，方程中

二次項(xiàng)系數(shù)

2、方程3 X2+X-2=0（1）二次項(xiàng)系數(shù)是_____，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。

（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項(xiàng)系數(shù) ?（）二次項(xiàng)系數(shù)比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么呢：__________________________________(4)X1·X2=_______，方程中

常數(shù)項(xiàng)?（）

二次項(xiàng)系數(shù)比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么呢：__________________________________

3、方程X2-2X=（1）二次項(xiàng)系數(shù)是_____，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）由你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知: X1+X2=?(________)

X1·X2=?（）（________)(_________)?（）

(_________)

二、合作求證 生成新知（每小題10分，共20分）（合作完成，交換檢查）

【師生活動(dòng)】：

教師引導(dǎo)，巡視，隨時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、了解學(xué)生導(dǎo)學(xué)案完成情況并點(diǎn)撥；鼓勵(lì)學(xué)生參與合作學(xué)習(xí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生合作交流的主動(dòng)性和積極性。

學(xué)生小組合作完成導(dǎo)學(xué)案，通過(guò)推導(dǎo)證明前面的結(jié)論；實(shí)現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)變；小組長(zhǎng)檢查小組成員完成情況后，兩小組交換檢查推導(dǎo)過(guò)程；分小組匯報(bào)合作學(xué)習(xí)成果?！驹O(shè)計(jì)意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的證明過(guò)程，即理性認(rèn)識(shí)過(guò)程。讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探求規(guī)律，兩從理論角度加以驗(yàn)證，經(jīng)歷從特殊到一般的科學(xué)探索過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那髮W(xué)態(tài)度，團(tuán)隊(duì)精神和合作意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生的相互交流、學(xué)習(xí)?！緦W(xué)案內(nèi)容】：

（1）根據(jù)以上規(guī)律，若aX2+bX+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為X1和X2，則X1+X2=_______，X1·X2=_______。（2）這是不是一個(gè)普遍規(guī)律呢？在所有的一元二次方程中，是否成立呢？請(qǐng)用一元二次方程的一般形式證明：(b2-4ac≧0)∵ X1=?b?b2?4ac?b?b2?4ac

X2=

2a2a∴X1+X2=

∴X1·X2=

三、交流展示 目標(biāo)達(dá)成（每小題10分，共40分）（合作完成，分組展示）

【師生活動(dòng)】：

教師巡視，隨時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、了解學(xué)生導(dǎo)學(xué)案完成情況并適時(shí)點(diǎn)撥、強(qiáng)調(diào)；充分利用現(xiàn)有設(shè)施設(shè)備，為學(xué)生搭建電子白板、實(shí)物投影、黑板等不同的展示自我的平臺(tái)；適時(shí)評(píng)價(jià)、鼓勵(lì)學(xué)生能多種方法解決問(wèn)題，促進(jìn)發(fā)散思維的培養(yǎng)。

導(dǎo)學(xué)案【目標(biāo)1】：學(xué)生先獨(dú)立完成，組長(zhǎng)檢查，后組內(nèi)交流，全班匯報(bào)、評(píng)價(jià)。（學(xué)生利用一體機(jī)白板演示解題過(guò)程）

導(dǎo)學(xué)案【目標(biāo)2】：小組合作完成，組長(zhǎng)督促，全班匯報(bào)、評(píng)價(jià)。（學(xué)生利用實(shí)物投影展示解題過(guò)程）

導(dǎo)學(xué)案【目標(biāo)3】：小組合作完成，組長(zhǎng)督促，全班匯報(bào)、評(píng)價(jià)。（學(xué)生利用黑板展示解題過(guò)程）

【設(shè)計(jì)意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的實(shí)踐過(guò)程，即教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成、檢測(cè)過(guò)程。設(shè)計(jì)了三個(gè)不同難度且有梯度的“目標(biāo)”，讓學(xué)生由易到難、由淺入深，加深對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力，以及合作學(xué)習(xí)意識(shí)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表述能力?！緦W(xué)案內(nèi)容】：

【目標(biāo)1】不解方程，求下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？

（1）x2-3x+1=0;

（2）3x2-2x=2;

【目標(biāo)2】已知方程X2-4X+M=0的一個(gè)根是-2，求方程的另一個(gè)根及M的值。

【目標(biāo)3】已知X1，X2 是方程2X2-4X-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求

x1的值。

2?x22

四、查漏補(bǔ)缺 總結(jié)提高（共10分）（自主完成，集體分享）

【師生活動(dòng)】：

教師鼓勵(lì)學(xué)生談所學(xué)所想所獲，集體分享學(xué)習(xí)成果，歸納課堂所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，解決學(xué)習(xí)中仍然存在的問(wèn)題和困惑?！驹O(shè)計(jì)意圖】：

本環(huán)節(jié)為本節(jié)課的總結(jié)提高過(guò)程。目的是幫助所有學(xué)生總結(jié)回顧、查漏補(bǔ)缺，形成知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生及時(shí)小結(jié)、善于歸納梳理的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力和口頭表達(dá)能力?！緦W(xué)案內(nèi)容】：

請(qǐng)你談?wù)劚竟?jié)課的收獲或存在的問(wèn)題。__________________

第四篇：復(fù)習(xí)教案 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

第十三課時(shí) 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：掌握一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理，并會(huì)靈活運(yùn)用它們解決問(wèn)題.二、復(fù)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

（一）復(fù)習(xí)重點(diǎn)： 一元二次方程根的韋達(dá)定理.（二）復(fù)習(xí)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用韋達(dá)定理解決問(wèn)題.三、復(fù)習(xí)過(guò)程：

（一）知識(shí)梳理：

1、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，如果有實(shí)數(shù)根（即??b?4ac?0），設(shè)兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1?x2??

2、常見(jiàn)的含兩根的對(duì)稱(chēng)式：

（1）x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2（2）222bc，x1x2? aax?x211 ??1x1x2x1x2（3）(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2 ； x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2

x2x1x1?x2(x1?x2)2?2x1x2（4）； ???x1x2x1x2x1x2

3、利用根與系數(shù)的關(guān)系判定一元二次方程的兩根符號(hào)： 22c可判斷兩根符號(hào)之間的關(guān)系： acc 若x1x2??0，則x1，x2同號(hào)； 若x1x2??0，則x1，x2異號(hào)，即一正一負(fù)

aab 再由x1?x2??可判斷兩根大小的關(guān)系。

a由x1x2?

4、由x1，x2兩根可構(gòu)造的一元二次方程 以x1，x2為根的一個(gè)一元二次方程為x2?(x1?x2)x?x1x2?0；

5、一元二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系：

若二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸有兩交點(diǎn)，分別設(shè)為A（x1，0），B（x2，0），則x1、x2就是一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根，因此，求二次函數(shù)y=ax+bx+c

22的圖象與x軸有交點(diǎn)坐標(biāo)，只要令y=0，解ax?bx?c?0(a?0)的根，就可得到二次函

2數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸有交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)。

強(qiáng)調(diào)：應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意： ①根的判別式b2?4ac?0 ②二次項(xiàng)系數(shù)a?0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系.（二）典例精析：

一、已知一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根。

例

1、已知方程x?6x?m?2m?5?0的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及

分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把22

2的值。

代入原方程，先求出的值，再通過(guò)解方程辦法求出另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及的值。

解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得：

?x1?2?6?x1?4?x1?4，解得：或? ??2m?3m??12x?m?2m?5???1∴方程

二、不解方程，判斷兩根的情況。

例

2、不解方程，試判斷方程x?3x?6?0兩根的符號(hào)；

分析：要判斷方程根的符號(hào)，可以根據(jù)根的定義，這樣的方法顯得很笨拙，而我們?nèi)绻酶c系數(shù)的關(guān)系就顯得非常巧妙。

解：由??3?4?(?6)?33?0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。設(shè)這兩根為x1,x2，得x1?x2??6?0，易得方程兩根一正一負(fù)。

如果得出x1?x2?0，需考慮x1?x2的正負(fù)，從而判斷方程有兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根。

三、求作新的方程；

例

3、作一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根為一元二次方程x?3x?1?0的兩根的平方． 解：設(shè)方程x?3x?1?0的兩根為x1,x2，那么所求的方程的根為x1,x2，由根與系數(shù)關(guān)系可得：x1?x2?3,x1.x2??1，∴x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2?32?2?(?1)?11，22222的另一個(gè)根為4，的值為3或—1。

222 x1?x2?(x1?x2)2?(?1)2?1，∴所求作的方程為x?11x?1?0．

四、不解方程，求方程兩根所組成的某些代數(shù)式的值，這種應(yīng)用與根的判別結(jié)合在一起。例4（1）已知關(guān)于x的方程3x+6x-2=0的兩根為x1，x2，求

222211的值.?x1x2 分析：已知方程，求兩根組成代數(shù)式的值。這里主要說(shuō)明解題格式，學(xué)生完成過(guò)程.（2）已知關(guān)于x的方程3x-mx-2=0的兩根為x1，x2，且2

2211??3，求 ①m的值；②求x1x2x1+x2的值.分析：第（1）題是已知方程，求兩根組成代數(shù)式的值，而第（2）題的第一問(wèn)就反來(lái)了，也就是已知代數(shù)式的值求方程。第②問(wèn)，再進(jìn)一步，已知代數(shù)式的值，求另一個(gè)代數(shù)式的值.但是，無(wú)論是哪一個(gè)問(wèn)題，所要用到的都是根與系數(shù)的關(guān)系.小結(jié)：1.求方程兩根所組成的代數(shù)式的值，關(guān)鍵在于把所求代數(shù)式變形為兩根的和與兩根的積的形式.例

5、（2000年四川省中考試題）若關(guān)于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，又已知a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，∠C=90°，且cosB=

23,b-a=3,5是否存在整數(shù)m,使上述一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方？若存在，請(qǐng)求出滿(mǎn)足條件m的值；若不存在，說(shuō)明理由.“存在性”問(wèn)題）

分析：（１）提問(wèn)：此題與哪些知識(shí)有關(guān)？（勾股道理、解直角三角形、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式）

（２）如何利用條件cosB=

3？ 5（３）“使上述一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方”通過(guò)這句話(huà)，你能明白什么？你先必須求什么？

（４）然后按照解決“存在性”問(wèn)題的過(guò)程去解題.（５）求出m后，要考慮它是否符合題意.通過(guò)此題，使學(xué)生明白解決這類(lèi)問(wèn)題，一般遵循“三步曲”，即假設(shè)存在——推理論證——得出結(jié)論（合理或矛盾兩種情況）.五、利用根與系數(shù)關(guān)系解決一元二次方程與二次函數(shù)的綜合題： 例

6、已拋物線(xiàn)y?(m?1)x2?(m?2)x?1（m為實(shí)數(shù)）。

（1）m為何值時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)？

（2）如果拋物線(xiàn)與x軸相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且△ABC的面積為2，求該拋物線(xiàn)的解析式。

分析：拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根m應(yīng)滿(mǎn)足的條件。

?m?1?0略解：（1）由已知有?，解得m?0且m?1 2???m?0（2）由x?0得C（0，－1）

又∵AB??m? am?1∴S?ABC?∴m?11m?AB?OC???1?2 22m?144或m? 35122126∴y?x?x?1或y??x?x?1

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第五篇：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的九年級(jí)教案

一、復(fù)習(xí)引入

導(dǎo)語(yǔ)：一元二次方程的根與系數(shù)有著密切的關(guān)系，早在16世紀(jì)法國(guó)的杰出數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)了這一關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)嗎？

二、探究新知

1.課本思考

分析：將（x-x1）（x-x2）=0化為一般形式x2-(x1+x2)x+x1x2=0與x2+px+q=0對(duì)比,易知p=-(x1+x2)，q=x1x2.即二次項(xiàng)系數(shù)是1的一元二次方程如果有實(shí)數(shù)根，則一次項(xiàng)系數(shù)等于兩根和的相反數(shù)，常數(shù)項(xiàng)等于兩根之積.2.跟蹤練習(xí)

求下列方程的兩根x1、x2.的和與積.x2+3x+2=0；x2+2x-3=0;x2-6x+5=0;x2-6x-15=0

3.方程2x2-3x+1=0的兩根的和、積與系數(shù)之間有類(lèi)似的關(guān)系嗎？

分析：這個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)等于2，與上面情形有所不同，求出方程兩根，再通過(guò)計(jì)算兩根的和、積，檢驗(yàn)上面的結(jié)論是否成立，若不成立，新的結(jié)論是什么？

4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的兩根的和、積與系數(shù)之間有第3題中的關(guān)系嗎？

分析：利用求根公式，求出方程兩根，再通過(guò)計(jì)算兩根的和、積，得到方程的兩個(gè)根x1、x2和系數(shù)a，b，c的關(guān)系，即韋達(dá)定理，也就是任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.求根公式是在一般形式下推導(dǎo)得到，根與系數(shù)的關(guān)系由求根公式得到，因此，任何一個(gè)一元二次方程化為一般形式后根與系數(shù)之間都有這一關(guān)系.5.跟蹤練習(xí)

求下列方程的兩根x1、x2.的和與積.13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0;3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；

25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x

6.拓展練習(xí)

1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的兩個(gè)根是-1，3，則b=,c=.2已知關(guān)于x的方程x2+x-2=0的一個(gè)根是1，則另一個(gè)根是,的值是.3若關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩個(gè)根互為相反數(shù)，則p=若兩個(gè)根互為倒數(shù)，則q=.分析：方程中含有一個(gè)字母系數(shù)時(shí)利用方程一根的值可求得另一根和這個(gè)字母系數(shù)；方程中含有兩個(gè)字母系數(shù)時(shí)利用方程的兩根的值可求得這兩個(gè)字母系數(shù).二次項(xiàng)系數(shù)是1時(shí)，若方程的兩根互為相反數(shù)或互為倒數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得方程的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)