第一篇：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用例析解

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用例解

（有興趣的同學(xué)，請(qǐng)把趁熱打鐵部分做一做，有答案的哈）

對(duì)于一元二次方程，當(dāng)判別式△＝時(shí)，其求根公式為：；若兩根為，當(dāng)△≥0時(shí)，則兩根的關(guān)系為：；，根與系數(shù)的這種關(guān)系又稱為韋達(dá)定理；它的逆定理也是成立的，即當(dāng)，時(shí)，那么則是的兩根。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，應(yīng)用極為廣泛，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有極重要的地位，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)。學(xué)習(xí)中，老師除了要求同學(xué)們應(yīng)用韋達(dá)定理解答一些變式題目外，還常常要求同學(xué)們熟記一元二次方程及應(yīng)用求根公式求出方程即

根的判別式的兩個(gè)根

存在的三種情況，以，進(jìn)而分解因式。下面就對(duì)應(yīng)用韋達(dá)定理可能出現(xiàn)的問(wèn)題舉例做些分析，希望能給同學(xué)們帶來(lái)小小的幫助。

一、根據(jù)判別式，討論一元二次方程的根。例1：已知關(guān)于的方程（1）根，且關(guān)于的方程（2）方程（1）有整數(shù)解？

分析：在同時(shí)滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數(shù)值。

解：∵方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

沒(méi)有實(shí)數(shù)根，問(wèn)取什么整數(shù)時(shí)，1 解得；

∵方程（2）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴

解得；

于是，同時(shí)滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍是

其中，的整數(shù)值有或

當(dāng)時(shí)，方程（1）為，無(wú)整數(shù)根；

當(dāng)時(shí)，方程（1）為，有整數(shù)根。

解得：

所以，使方程（1）有整數(shù)根的的整數(shù)值是。

說(shuō)明：熟悉一元二次方程實(shí)數(shù)根存在條件是解答此題的基礎(chǔ)，正確確定的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答本題的基本技巧。

二、判別一元二次方程兩根的符號(hào)。

例1：不解方程，判別方程

兩根的符號(hào)。

分析：對(duì)于來(lái)說(shuō)，往往二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)皆為已知，可據(jù)此求出根的判別式△，但△只能用于判定根的存在與否，若 2 判定根的正負(fù)，則需要確定既要求出判別式的值，又要確定

或

或的正負(fù)情況。因此解答此題的關(guān)鍵是：的正負(fù)情況。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。設(shè)方程的兩個(gè)根為，∵＜0 ∴原方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根。

說(shuō)明：判別根的符號(hào)，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來(lái)進(jìn)行確定，另外由于本題中若＞0，仍需考慮

＜0，所以可判定方程的根為一正一負(fù)；倘的正負(fù)，方可判別方程是兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根。

三、已知一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根以及字母系數(shù)的值。

例2：已知方程值。

分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把

代入原方程，的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及的先求出的值，再通過(guò)解方程辦法求出另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及的值。

解法一：把

代入原方程，得：

即

解得

當(dāng)時(shí)，原方程均可化為：

，解得：

∴方程的另一個(gè)根為4，的值為3或—1。

解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為，根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得：，∵，∴把代入，可得：

∴把代入，可得：，即

解得

∴方程的另一個(gè)根為4，的值為3或—1。

說(shuō)明：比較起來(lái)，解法二應(yīng)用了韋達(dá)定理，解答起來(lái)較為簡(jiǎn)單。

例3：已知方程和比兩根的積大21，求

有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)根的平方的值。分析：本題若利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求得的值。

解：∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴△

解這個(gè)不等式，得

設(shè)方程兩根為

則

，≤0

∵

∴

∴

整理得：

解得：

又∵，∴

說(shuō)明：當(dāng)求出意的。

后，還需注意隱含條件，應(yīng)舍去不合題

四、運(yùn)用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題。

例5：已知、是關(guān)于的一元二次方程零實(shí)數(shù)根，問(wèn)和

能否同號(hào)？若能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)的的兩個(gè)非的取值范圍；若不能同號(hào)，請(qǐng)說(shuō)明理由，解：因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程

有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，∴則有

∴

又∵、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得：

假設(shè)、同號(hào)，則有兩種可能：

（1）（2）若，則有： ；

即有：

解這個(gè)不等式組，得

∵時(shí)方程才有實(shí)樹根，∴此種情況不成立。若，則有：

即有：

解這個(gè)不等式組，得；

又∵，∴當(dāng)時(shí)，兩根能同號(hào)

說(shuō)明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系深刻揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，是分析研究有關(guān)一元二次方程根的問(wèn)題的重要工具，也是計(jì)算有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問(wèn)題的重要工具。知識(shí)的運(yùn)用方法靈活多樣，是設(shè)計(jì)考察創(chuàng)新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高，應(yīng)是同學(xué)們重點(diǎn)練習(xí)的內(nèi)容。

六、運(yùn)用一元二次方程根的意義及根與系數(shù)的關(guān)系解題。例：已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。

分析：本題可充分運(yùn)用根的意義和根與系數(shù)的關(guān)系解題，應(yīng)摒棄常規(guī)的求根后，再帶入的方法，力求簡(jiǎn)解。

解法一：由于是方程的實(shí)數(shù)根，所以

設(shè)，與相加，得：）

（變形目的是構(gòu)造根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有：，和）

于是，得：∴=0

解法二：由于、是方程的實(shí)數(shù)根，∴

∴

說(shuō)明：既要熟悉問(wèn)題的常規(guī)解法，也要隨時(shí)想到特殊的簡(jiǎn)捷解法，是解題能力提高的重要標(biāo)志，是努力的方向。

有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問(wèn)題，當(dāng)根是無(wú)理數(shù)時(shí)，運(yùn)算將十分繁瑣，這時(shí)，如果方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用。這類問(wèn)題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查能力，多年來(lái)一直受到命題老師的青睞。

七、運(yùn)用一元二次方程根的意義及判別式解題。例8：已知兩方程

和

至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，求這兩個(gè)方程的四個(gè)實(shí)數(shù)根的乘積。

分析：當(dāng)設(shè)兩方程的相同根為時(shí)，根據(jù)根的意義，可以構(gòu)成關(guān)于和二元方程組，得解后再由根與系數(shù)的關(guān)系求值。

解：設(shè)兩方程的相同根為，根據(jù)根的意義，有 的

兩式相減，得

當(dāng)時(shí)，方程的判別式

方程無(wú)實(shí)數(shù)解

當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)解

代入原方程，得，所以

于是，兩方程至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，4個(gè)實(shí)數(shù)根的相乘積為

說(shuō)明：（1）本題的易錯(cuò)點(diǎn)為忽略對(duì)除了犯有默認(rèn)的討論和判別式的作用，常常的錯(cuò)誤，甚至還會(huì)得出并不存在的解：

當(dāng)時(shí)，兩方程相同，方程的另一根也相同，所以4個(gè)根的相乘積為：；

（2）既然本題是討論一元二次方程的實(shí)根問(wèn)題，就應(yīng)首先確定方程有實(shí)根的條件：

且另外還應(yīng)注意：求得的【趁熱打鐵】 的值必須滿足這兩個(gè)不等式才有意義。

一、填空題：

1、如果關(guān)于的方程的兩根之差為2，那么。

2、已知關(guān)于的一元二次方程。

兩根互為倒數(shù)，則

3、已知關(guān)于的方程則。

4、已知是方程的兩根為，且，的兩個(gè)根，那么： ；

。

5、已知關(guān)于的一元二次方程，則 ；的兩根為。

和，且

6、如果關(guān)于的一元二次方程個(gè)根是，的值為。

7、已知為。

8、一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根是為：。

二、求值題：

1、已知是方程

和是的一個(gè)根是，那么另一的一根，則另一根為，的值，那么這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。

2、已知的值。是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求

3、已知是方程的值。的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求

4、已知兩數(shù)的和等于6，這兩數(shù)的積是4，求這兩數(shù)。

5、已知關(guān)于x的方程求的值及方程的兩個(gè)根。

6、已知方程值及這個(gè)相同的根。

三、能力提升題：

1、實(shí)數(shù)在什么范圍取值時(shí)，方程

有正的實(shí)數(shù)根？

和

有一個(gè)相同的根，求的的兩根滿足關(guān)系式，2、已知關(guān)于的一元二次方程（1）求證：無(wú)論

取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。、滿足，求的值。（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

3、若，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的正的實(shí)數(shù)根，求的值。

4、是否存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，滿足請(qǐng)說(shuō)明理由。，如果存在，試求出所有滿足條件的的值，如果不存在，5、已知關(guān)于的一元二次方程（）的兩實(shí)數(shù)根為，若，求的值。

6、實(shí)數(shù)、分別滿足方程和，求代數(shù)式的值。

答案與提示：

一、填空題：

1、提示：，，∴，∴，解得：

2、提示：，由韋達(dá)定理得：，∴，解得：，代入檢驗(yàn)，有意義，∴。

3、提示：由于韋達(dá)定理得：，∵，∴，∴，解得：。

4、提示：由韋達(dá)定理得：，；；由，則

可判定方程的兩根異號(hào)。有兩種情況：①設(shè)＞0，＜0，；②設(shè)＜0，＞0，則。

5、提示：由韋達(dá)定理得：，∴，∴，∵。，∴，6、提示：設(shè)，解得：，由韋達(dá)定理得：，，即，∴。

7、提示：設(shè)，由韋達(dá)定理得：，∴∴，∴

8、提示：設(shè)所求的一元二次方程為，那么，13 ∴求的一元二次方程為：

二、求值題：，即

；；∴設(shè)所

1、提示：由韋達(dá)定理得：，∴

2、提示：由韋達(dá)定理得：，∴

3、提示：由韋達(dá)定理得：，∴

4、提示：設(shè)這兩個(gè)數(shù)為看作方程程：，于是有，，因此

可的兩根，即，解得：。，所以可得方，所以所求的兩個(gè)數(shù)分別是 14

5、提示：由韋達(dá)定理得，，∵，∴∴解得：，∴，化簡(jiǎn)得：；

；以下分兩種情況：

①當(dāng)時(shí)，，組成方程組： ；解這個(gè)方程組得：；

②當(dāng)時(shí)，，組成方程組：；

解這個(gè)方程組得：

6、提示：設(shè)得方程組：

和相同的根為，于是可

；①②得：；，解這個(gè)方程得： 15 以下分兩種情況：（1）當(dāng)代入①得。

時(shí)，代入①得；（2）當(dāng)時(shí)，所以和相同的根為，的值分別為。

三、能力提升題：

1、提示：方程有正的實(shí)數(shù)根的條件必須同時(shí)具備：①判別式△≥0；②＞0，＞0；于是可得不等式組：

解這個(gè)不等式組得：＞1

2、提示：（1）

＞0，所以無(wú)論的判別式△

取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（2）利用韋達(dá)定理，并根據(jù)已知條件可得：

解這個(gè)關(guān)于的方程組，可得到：，由于，所以可得，解這個(gè)方程，可得：，；

3、提示：可利用韋達(dá)定理得出①組：

＞0，②＞0；于是得到不等式

求得不等式組的解，且兼顧

；即可得到

＞，再由

可得：，接下去即可根據(jù)，＞，得到，即：＝4

4、答案：存在。

提示：因?yàn)椋钥稍O(shè)（）；由韋達(dá)定理得：，；于是可得方程組：

解這個(gè)方程組得：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；

所以的值有兩個(gè)：；；

5、提示：由韋達(dá)定理得：，則，即，解得：

6、提示：利用求根公式可分別表示出方程

和的根：，∴，∴，∴，又∵，變形得：，∴，∴

第二篇：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系說(shuō)課稿

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系說(shuō)課稿

作為一名教學(xué)工作者，通常會(huì)被要求編寫說(shuō)課稿，說(shuō)課稿有利于教學(xué)水平的提高，有助于教研活動(dòng)的開展。那么優(yōu)秀的說(shuō)課稿是什么樣的呢？下面是小編幫大家整理的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系說(shuō)課稿，歡迎閱讀與收藏。

[教材分析]

中學(xué)階段我們研究的多項(xiàng)式函數(shù)中有二次函數(shù)，研究的幾何圖形中有二次曲線。因此一元二次方程便成為了方程中研究的重要內(nèi)容。一元二次方程有根與系數(shù)關(guān)系，求根公式向我們揭示了兩根與系數(shù)間的密切關(guān)系，而根與系數(shù)還有更進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)，這一發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科中具有極強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值，本節(jié)內(nèi)容既是代數(shù)式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知識(shí)的進(jìn)一步深化，又蘊(yùn)含有豐富的數(shù)學(xué)思想方法，也為學(xué)生們將來(lái)的學(xué)習(xí)打下了必要的基礎(chǔ)。

[學(xué)生分析]

進(jìn)入了初二下半學(xué)期，隨著年齡的增長(zhǎng)以及實(shí)驗(yàn)幾何向論證幾何的逐步推進(jìn)，學(xué)生們的邏輯推理能力已有了較大提高。因此在學(xué)過(guò)了一元二次方程的解法后，自主探究其根與系數(shù)的關(guān)系是完全可能的。再加上我所執(zhí)教的學(xué)生，他們有著較強(qiáng)的認(rèn)知力與求知欲，

基于以上思考，我在設(shè)計(jì)中擴(kuò)大了學(xué)生的智力參與度，也相對(duì)放大了知識(shí)探索的空間。

[教學(xué)目標(biāo)]

在學(xué)生探求一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的活動(dòng)中，經(jīng)歷觀察、分析、概括的過(guò)程以及“實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——再實(shí)踐——再認(rèn)識(shí)”的過(guò)程，得出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

能利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系檢驗(yàn)兩數(shù)是否為原方程的根;已知一根求另一根及系數(shù)。

理解數(shù)學(xué)思想，體會(huì)代數(shù)論證的方法，感受辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論的基本觀點(diǎn)。

[教學(xué)重難點(diǎn)]

發(fā)現(xiàn)并掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，包括知識(shí)從特殊到一般的發(fā)生發(fā)展過(guò)程

[教學(xué)過(guò)程]

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

請(qǐng)學(xué)生求解表格內(nèi)的方程，完成解法的交流以及求根公式的復(fù)習(xí)，求根公式向我們揭示了兩根與系數(shù)間的關(guān)系，那么一元二次方程根與系數(shù)間是否還有更深一層的聯(lián)系呢?由此疑問(wèn)，導(dǎo)入新課。

二、探求新知

數(shù)學(xué)學(xué)科中由數(shù)到式的結(jié)構(gòu)編排，讓我們想到了從兩根運(yùn)算上的最簡(jiǎn)組合：和差積商展開進(jìn)一步研究。初探新知中，我將學(xué)生們分成兩組，分別對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程兩根進(jìn)行和差積商的運(yùn)算，之后將結(jié)果匯總展示，共同觀察與系數(shù)的聯(lián)系。我在這些方程中安排了兩個(gè)無(wú)理根方程。當(dāng)學(xué)生們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)無(wú)理根在求和，求積后，竟變成了有理數(shù)，而且每一組兩根和(積)都與系數(shù)有著密切的聯(lián)系，此時(shí)的他們不難對(duì)兩根和與兩根積產(chǎn)生關(guān)注，經(jīng)歷了對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程兩根和差積商的研究后，確定了課題并獲得猜想：“兩根和等于一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù),兩根積等于常數(shù)項(xiàng)?！睂?duì)于這一猜想，會(huì)有學(xué)生提出不同看法，他們提出研究二次項(xiàng)系數(shù)非1的一元二次方程。學(xué)生的質(zhì)疑啟動(dòng)再探新知。直接研究一元二次方程兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系。這一環(huán)節(jié)中我不再給出具體的方程要求研究，故除了部分同學(xué)自定義方程求根求和求積后產(chǎn)生猜想，還有部分同學(xué)對(duì)仍保留在板書部分的求根公式著手進(jìn)行兩根和，積的運(yùn)算。這兩種方案齊頭并進(jìn)，當(dāng)前者通過(guò)不斷驗(yàn)證來(lái)說(shuō)明他們猜想的可靠度時(shí)，后者通過(guò)論證，在嚴(yán)格意義下，說(shuō)明了此結(jié)論的正確性。對(duì)于論證中學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題，我們?cè)诘谝粫r(shí)間內(nèi)揪錯(cuò)指正，

在知識(shí)初探與再探后，學(xué)生獲得了新知，得到了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，

三、訓(xùn)練感悟

我將之前從學(xué)生那里收集來(lái)的錯(cuò)解對(duì)照表中方程，詢問(wèn)檢驗(yàn)其正誤的方法。學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，將其代入方程，進(jìn)行檢驗(yàn)。為尋求更為簡(jiǎn)便的方法，引出作用一，利用根與系數(shù)的關(guān)系，不解方程檢驗(yàn)兩數(shù)是否為原方程的根。我再給出兩例，便于鞏固練習(xí)，更明確了只有當(dāng)兩數(shù)和(積)同時(shí)滿足方程兩根和(積)的時(shí)侯，才是正確的根。當(dāng)學(xué)生們正為找到了一種行之有效的檢驗(yàn)方法，高興不已的時(shí)候。突然間，表格中的數(shù)據(jù)丟失了，我分別隱去了方程的一根及b,c,a三個(gè)系數(shù)。為了將材料修復(fù)，學(xué)生小組展開熱烈的討論。有了上一題的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生們會(huì)利用根與系數(shù)關(guān)系，不解方程，求出另一根及系數(shù)。也會(huì)使用代入求解的方法解題，通過(guò)新舊方法的比較，在訓(xùn)練中獲得感悟：方法的選擇在于簡(jiǎn)便，學(xué)生們?cè)谶x擇了恰當(dāng)?shù)姆椒ê?，修?fù)了材料也鞏固了新知。

四、總結(jié)提升

由學(xué)生回顧知識(shí)的發(fā)生發(fā)展及應(yīng)用過(guò)程，以“我的收獲”與“我的疑惑”交流心得。我再幫助學(xué)生整理所學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的思想。我還會(huì)自豪的告訴他們，數(shù)學(xué)家們還發(fā)現(xiàn)了存在于一元n次方程中的根與系數(shù)的普遍關(guān)系，這一內(nèi)容將在高數(shù)中有所涉及，激勵(lì)奮進(jìn)五、分層作業(yè)，除必做題外，留有一道思考題：已知x1,x2分別是方程2x2+3x-5=0和兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求：（1）x12x2 +x1x22（2）x12 +x22（3）x1－x2的值。作為能力上的提升。也為下一課內(nèi)容作下鋪墊。

[設(shè)計(jì)意圖]

現(xiàn)在的設(shè)計(jì)較之以往，有所繼承，有所變革。

1.研究啟動(dòng)入口不同

過(guò)去我總是先給出若干具體方程要求學(xué)生求根，并計(jì)算兩根和(積)，作出猜想。這樣的數(shù)學(xué)后曾有學(xué)生問(wèn)我：“老師為什么會(huì)想到兩根和(積)與系數(shù)的關(guān)系，而不是其它?”這種疑問(wèn)的產(chǎn)生一定與過(guò)去設(shè)計(jì)指定了學(xué)生的活動(dòng)過(guò)程有關(guān)，為了給學(xué)生的活動(dòng)指向更為寬泛，讓兩根和積與系數(shù)的研究更顯合理，現(xiàn)在的設(shè)計(jì)中主要體現(xiàn)了由數(shù)到式的研究，從兩根和差積商的重組合再有所觀察，有所挑選，方才定位于兩根和(積)作進(jìn)一步的探究。這種設(shè)計(jì)正是從數(shù)學(xué)內(nèi)部下了功夫，由知識(shí)線索的連貫性，師生共同理順了實(shí)驗(yàn)對(duì)象的來(lái)龍去脈，從數(shù)學(xué)本身上培養(yǎng)了學(xué)生的觀察、分析、概括的綜合能力。

2.探究部分兩步走

我將二次項(xiàng)系數(shù)為1，非1的一元二次方程分兩次出現(xiàn)，分別放置與知識(shí)初探和再探兩個(gè)環(huán)節(jié)，這樣設(shè)計(jì)的原因有一：學(xué)生的認(rèn)知能力總是有所差異的，如果將這些方程合二為一加以研究的話，一部分同學(xué)對(duì)別人獲得的正確猜想是瞬間接受，卻缺乏思維的參與。事實(shí)上，研究事物往往從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，在這里，當(dāng)a=1時(shí)，易找規(guī)律，當(dāng)a ≠1后造成的認(rèn)知沖突，更是激發(fā)了這一猜想的`完善。其實(shí)這一串，由實(shí)驗(yàn)——猜想——再實(shí)驗(yàn)——再猜想的思維過(guò)程，既符合認(rèn)知規(guī)律，也是一種研究性學(xué)習(xí)的示范，一種創(chuàng)造性能力的培養(yǎng)。為了讓每一個(gè)學(xué)生都親身參與其中，真正感受由“實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——再實(shí)踐——再認(rèn)識(shí)”這一客觀世界認(rèn)知論的基本規(guī)律。便是我如此設(shè)計(jì)的原因之一。原因二：研究入口處，利用兩根和差積商的結(jié)果，優(yōu)選出對(duì)和積的研究。初探中二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程兩根計(jì)算足以起到這一篩選作用。因此在下一環(huán)節(jié)的再探新知中，便自然關(guān)閉了對(duì)兩根差與商相對(duì)較為繁瑣的計(jì)算，直接由兩根和積入手研究與系數(shù)的關(guān)系，提高了研究的效率。

3.再探新知放手走

我沒(méi)有再給出任何具體的方程以供研究，這里的放手，引出了學(xué)生不同的操作方法。一部分學(xué)生把注意力轉(zhuǎn)放在求根公式上展開直接論證，就連另一部分學(xué)生自定義方程數(shù)據(jù)研究的方式也各不相同，他們有的翻開筆記本查閱之前解方程的資料;有的反湊特殊值方程;更有的會(huì)從中提煉出代數(shù)論證的方法;當(dāng)然也有借助于計(jì)算器完成了繁瑣的計(jì)算。

放手的探究，為了給學(xué)生更大的思維空間，讓學(xué)生有更多方法的選擇，從而展開自主的學(xué)習(xí)。

[尾聲]

但原學(xué)生們帶著對(duì)數(shù)學(xué)的興趣與喜愛(ài)，在學(xué)的海洋里，奮勇搏擊。而作為一名青年教師的我，亦將在教學(xué)的舞臺(tái)上，不斷求索。多由學(xué)生所想來(lái)引導(dǎo);多設(shè)角度空間去探究;多從細(xì)節(jié)處滲透數(shù)學(xué)思想，充分利用數(shù)學(xué)課堂來(lái)達(dá)成文化傳承與發(fā)展創(chuàng)新的協(xié)調(diào)統(tǒng)一。

第三篇：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系試題

1．已知方程x2-2x-m=0有兩個(gè)正的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．

2．已知m、n是方程x2－2002x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式mn2+m2n－mn+1的值．

3.已知關(guān)于x的方程x-92x+m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，且丨x1-x2丨=22, 求m的值.4．若實(shí)數(shù)x1≠x2，且x1－3x1+1=0，x2－3x2+1=0，求

5．已知關(guān)于x的方程2(x-1)(x-3t)=x(t-4)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和與積相等，求t的值。

6.是否存在整數(shù)m，使關(guān)于x的方程x2-4(m-2)x+4m2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為224?若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

7．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，兩條對(duì)角線相交于O，并且AO、BO的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2+(2m－

1)x+m2+3=0的兩個(gè)根，求m的值。

8.在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，已知a=3,b和c是關(guān)于x的方程x2+mx+2-

12222+的值． m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求ΔABC的周長(zhǎng)。

第四篇：《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案

《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案

教學(xué)目標(biāo)：

1、發(fā)現(xiàn)、了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生善于獨(dú)立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

2、探索、運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，由一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根及未知系數(shù)，提升學(xué)生的合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神。

3、在不解一元二次方程的情況下，會(huì)求直接（或變形后）含有兩根積的代數(shù)式的值，并從中體會(huì)整體代換的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成。教學(xué)重點(diǎn)：

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及簡(jiǎn)單應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)。數(shù)學(xué)思考與問(wèn)題解決：

通過(guò)創(chuàng)設(shè)一定的問(wèn)題情境，注重由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、探索，讓學(xué)生參與“韋達(dá)定理”的發(fā)現(xiàn)、不完全歸納驗(yàn)證以及演繹證明等整個(gè)數(shù)學(xué)思維過(guò)程。

一、自學(xué)互研 探索發(fā)現(xiàn)（每小題10分，共30分）（自主完成，組長(zhǎng)檢查）

【師生活動(dòng)】：

教師引導(dǎo)，巡視，隨時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、了解學(xué)生導(dǎo)學(xué)案完成情況并點(diǎn)撥；評(píng)價(jià)、鼓勵(lì)、調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的主動(dòng)性和積極性。

學(xué)生獨(dú)立完成導(dǎo)學(xué)案，觀察、對(duì)比、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，逐步由易到難，探索出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；小組長(zhǎng)檢查小組成員完成情況；分小組匯報(bào)自學(xué)成果?！驹O(shè)計(jì)意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，即感性認(rèn)識(shí)過(guò)程。通過(guò)幾個(gè)具體的方程，經(jīng)過(guò)觀察、比較、分析、歸納，感性地得出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的一般規(guī)律。培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探求規(guī)律的學(xué)習(xí)習(xí)慣和注重自主加合作的學(xué)習(xí)方式?！緦W(xué)案內(nèi)容】：

1、方程：X2+3X–4=0（1）二次項(xiàng)系數(shù)是_____，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項(xiàng)系數(shù)?（）

二次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)?（）(4)X1·X2=_______，方程中

二次項(xiàng)系數(shù)

2、方程3 X2+X-2=0（1）二次項(xiàng)系數(shù)是_____，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。

（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項(xiàng)系數(shù) ?（）二次項(xiàng)系數(shù)比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么呢：__________________________________(4)X1·X2=_______，方程中

常數(shù)項(xiàng)?（）

二次項(xiàng)系數(shù)比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么呢：__________________________________

3、方程X2-2X=（1）二次項(xiàng)系數(shù)是_____，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）由你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知: X1+X2=?(________)

X1·X2=?（）（________)(_________)?（）

(_________)

二、合作求證 生成新知（每小題10分，共20分）（合作完成，交換檢查）

【師生活動(dòng)】：

教師引導(dǎo)，巡視，隨時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、了解學(xué)生導(dǎo)學(xué)案完成情況并點(diǎn)撥；鼓勵(lì)學(xué)生參與合作學(xué)習(xí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生合作交流的主動(dòng)性和積極性。

學(xué)生小組合作完成導(dǎo)學(xué)案，通過(guò)推導(dǎo)證明前面的結(jié)論；實(shí)現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)變；小組長(zhǎng)檢查小組成員完成情況后，兩小組交換檢查推導(dǎo)過(guò)程；分小組匯報(bào)合作學(xué)習(xí)成果?！驹O(shè)計(jì)意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的證明過(guò)程，即理性認(rèn)識(shí)過(guò)程。讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探求規(guī)律，兩從理論角度加以驗(yàn)證，經(jīng)歷從特殊到一般的科學(xué)探索過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那髮W(xué)態(tài)度，團(tuán)隊(duì)精神和合作意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生的相互交流、學(xué)習(xí)?！緦W(xué)案內(nèi)容】：

（1）根據(jù)以上規(guī)律，若aX2+bX+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為X1和X2，則X1+X2=_______，X1·X2=_______。（2）這是不是一個(gè)普遍規(guī)律呢？在所有的一元二次方程中，是否成立呢？請(qǐng)用一元二次方程的一般形式證明：(b2-4ac≧0)∵ X1=?b?b2?4ac?b?b2?4ac

X2=

2a2a∴X1+X2=

∴X1·X2=

三、交流展示 目標(biāo)達(dá)成（每小題10分，共40分）（合作完成，分組展示）

【師生活動(dòng)】：

教師巡視，隨時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、了解學(xué)生導(dǎo)學(xué)案完成情況并適時(shí)點(diǎn)撥、強(qiáng)調(diào)；充分利用現(xiàn)有設(shè)施設(shè)備，為學(xué)生搭建電子白板、實(shí)物投影、黑板等不同的展示自我的平臺(tái)；適時(shí)評(píng)價(jià)、鼓勵(lì)學(xué)生能多種方法解決問(wèn)題，促進(jìn)發(fā)散思維的培養(yǎng)。

導(dǎo)學(xué)案【目標(biāo)1】：學(xué)生先獨(dú)立完成，組長(zhǎng)檢查，后組內(nèi)交流，全班匯報(bào)、評(píng)價(jià)。（學(xué)生利用一體機(jī)白板演示解題過(guò)程）

導(dǎo)學(xué)案【目標(biāo)2】：小組合作完成，組長(zhǎng)督促，全班匯報(bào)、評(píng)價(jià)。（學(xué)生利用實(shí)物投影展示解題過(guò)程）

導(dǎo)學(xué)案【目標(biāo)3】：小組合作完成，組長(zhǎng)督促，全班匯報(bào)、評(píng)價(jià)。（學(xué)生利用黑板展示解題過(guò)程）

【設(shè)計(jì)意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的實(shí)踐過(guò)程，即教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成、檢測(cè)過(guò)程。設(shè)計(jì)了三個(gè)不同難度且有梯度的“目標(biāo)”，讓學(xué)生由易到難、由淺入深，加深對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和書寫的規(guī)范性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力，以及合作學(xué)習(xí)意識(shí)與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表述能力?！緦W(xué)案內(nèi)容】：

【目標(biāo)1】不解方程，求下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？

（1）x2-3x+1=0;

（2）3x2-2x=2;

【目標(biāo)2】已知方程X2-4X+M=0的一個(gè)根是-2，求方程的另一個(gè)根及M的值。

【目標(biāo)3】已知X1，X2 是方程2X2-4X-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求

x1的值。

2?x22

四、查漏補(bǔ)缺 總結(jié)提高（共10分）（自主完成，集體分享）

【師生活動(dòng)】：

教師鼓勵(lì)學(xué)生談所學(xué)所想所獲，集體分享學(xué)習(xí)成果，歸納課堂所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，解決學(xué)習(xí)中仍然存在的問(wèn)題和困惑?！驹O(shè)計(jì)意圖】：

本環(huán)節(jié)為本節(jié)課的總結(jié)提高過(guò)程。目的是幫助所有學(xué)生總結(jié)回顧、查漏補(bǔ)缺，形成知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生及時(shí)小結(jié)、善于歸納梳理的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力和口頭表達(dá)能力?！緦W(xué)案內(nèi)容】：

請(qǐng)你談?wù)劚竟?jié)課的收獲或存在的問(wèn)題。__________________

第五篇：復(fù)習(xí)教案 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

第十三課時(shí) 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：掌握一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理，并會(huì)靈活運(yùn)用它們解決問(wèn)題.二、復(fù)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

（一）復(fù)習(xí)重點(diǎn)： 一元二次方程根的韋達(dá)定理.（二）復(fù)習(xí)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用韋達(dá)定理解決問(wèn)題.三、復(fù)習(xí)過(guò)程：

（一）知識(shí)梳理：

1、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，如果有實(shí)數(shù)根（即??b?4ac?0），設(shè)兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1?x2??

2、常見(jiàn)的含兩根的對(duì)稱式：

（1）x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2（2）222bc，x1x2? aax?x211 ??1x1x2x1x2（3）(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2 ； x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2

x2x1x1?x2(x1?x2)2?2x1x2（4）； ???x1x2x1x2x1x2

3、利用根與系數(shù)的關(guān)系判定一元二次方程的兩根符號(hào)： 22c可判斷兩根符號(hào)之間的關(guān)系： acc 若x1x2??0，則x1，x2同號(hào)； 若x1x2??0，則x1，x2異號(hào)，即一正一負(fù)

aab 再由x1?x2??可判斷兩根大小的關(guān)系。

a由x1x2?

4、由x1，x2兩根可構(gòu)造的一元二次方程 以x1，x2為根的一個(gè)一元二次方程為x2?(x1?x2)x?x1x2?0；

5、一元二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系：

若二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸有兩交點(diǎn)，分別設(shè)為A（x1，0），B（x2，0），則x1、x2就是一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根，因此，求二次函數(shù)y=ax+bx+c

22的圖象與x軸有交點(diǎn)坐標(biāo)，只要令y=0，解ax?bx?c?0(a?0)的根，就可得到二次函

2數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸有交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)。

強(qiáng)調(diào)：應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意： ①根的判別式b2?4ac?0 ②二次項(xiàng)系數(shù)a?0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系.（二）典例精析：

一、已知一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根。

例

1、已知方程x?6x?m?2m?5?0的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及

分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把22

2的值。

代入原方程，先求出的值，再通過(guò)解方程辦法求出另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及的值。

解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得：

?x1?2?6?x1?4?x1?4，解得：或? ??2m?3m??12x?m?2m?5???1∴方程

二、不解方程，判斷兩根的情況。

例

2、不解方程，試判斷方程x?3x?6?0兩根的符號(hào)；

分析：要判斷方程根的符號(hào)，可以根據(jù)根的定義，這樣的方法顯得很笨拙，而我們?nèi)绻酶c系數(shù)的關(guān)系就顯得非常巧妙。

解：由??3?4?(?6)?33?0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。設(shè)這兩根為x1,x2，得x1?x2??6?0，易得方程兩根一正一負(fù)。

如果得出x1?x2?0，需考慮x1?x2的正負(fù)，從而判斷方程有兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根。

三、求作新的方程；

例

3、作一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根為一元二次方程x?3x?1?0的兩根的平方． 解：設(shè)方程x?3x?1?0的兩根為x1,x2，那么所求的方程的根為x1,x2，由根與系數(shù)關(guān)系可得：x1?x2?3,x1.x2??1，∴x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2?32?2?(?1)?11，22222的另一個(gè)根為4，的值為3或—1。

222 x1?x2?(x1?x2)2?(?1)2?1，∴所求作的方程為x?11x?1?0．

四、不解方程，求方程兩根所組成的某些代數(shù)式的值，這種應(yīng)用與根的判別結(jié)合在一起。例4（1）已知關(guān)于x的方程3x+6x-2=0的兩根為x1，x2，求

222211的值.?x1x2 分析：已知方程，求兩根組成代數(shù)式的值。這里主要說(shuō)明解題格式，學(xué)生完成過(guò)程.（2）已知關(guān)于x的方程3x-mx-2=0的兩根為x1，x2，且2

2211??3，求 ①m的值；②求x1x2x1+x2的值.分析：第（1）題是已知方程，求兩根組成代數(shù)式的值，而第（2）題的第一問(wèn)就反來(lái)了，也就是已知代數(shù)式的值求方程。第②問(wèn)，再進(jìn)一步，已知代數(shù)式的值，求另一個(gè)代數(shù)式的值.但是，無(wú)論是哪一個(gè)問(wèn)題，所要用到的都是根與系數(shù)的關(guān)系.小結(jié)：1.求方程兩根所組成的代數(shù)式的值，關(guān)鍵在于把所求代數(shù)式變形為兩根的和與兩根的積的形式.例

5、（2000年四川省中考試題）若關(guān)于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，又已知a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，∠C=90°，且cosB=

23,b-a=3,5是否存在整數(shù)m,使上述一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方？若存在，請(qǐng)求出滿足條件m的值；若不存在，說(shuō)明理由.“存在性”問(wèn)題）

分析：（１）提問(wèn)：此題與哪些知識(shí)有關(guān)？（勾股道理、解直角三角形、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式）

（２）如何利用條件cosB=

3？ 5（３）“使上述一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方”通過(guò)這句話，你能明白什么？你先必須求什么？

（４）然后按照解決“存在性”問(wèn)題的過(guò)程去解題.（５）求出m后，要考慮它是否符合題意.通過(guò)此題，使學(xué)生明白解決這類問(wèn)題，一般遵循“三步曲”，即假設(shè)存在——推理論證——得出結(jié)論（合理或矛盾兩種情況）.五、利用根與系數(shù)關(guān)系解決一元二次方程與二次函數(shù)的綜合題： 例

6、已拋物線y?(m?1)x2?(m?2)x?1（m為實(shí)數(shù)）。

（1）m為何值時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)？

（2）如果拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且△ABC的面積為2，求該拋物線的解析式。

分析：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根m應(yīng)滿足的條件。

?m?1?0略解：（1）由已知有?，解得m?0且m?1 2???m?0（2）由x?0得C（0，－1）

又∵AB??m? am?1∴S?ABC?∴m?11m?AB?OC???1?2 22m?144或m? 35122126∴y?x?x?1或y??x?x?1

3355