第一篇：2014年中考數(shù)學考點復(fù)習 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

中考一輪復(fù)習之一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

知識考點： 掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并會根據(jù)條件和根與系數(shù)的關(guān)系不解方程確定相關(guān)的方程和未知的系數(shù)值。

精典例題：

【例1】關(guān)于x的方程2x?kx?4?10的一個根是－2，則方程的另一根是；2

k＝

分析：設(shè)另一根為x1，由根與系數(shù)的關(guān)系可建立關(guān)于x1和k的方程組，解之即得。答案：5，－1 2

2【例2】x1、x2是方程2x?3x?5?0的兩個根，不解方程，求下列代數(shù)式的值：

（1）x1?x2（2）x1?x2（3）x1?3x2?3x2 22224

12（2）x1?x2＝(x1?x2)?4x1x2＝3 2

11222（3）原式＝(x1?x2)?(2x2?3x2)＝7?5＝12 44略解：（1）x1?x2＝(x1?x2)?2x1x2＝7222

【例3】已知關(guān)于x的方程x?2(m?2)x?m?5?0有兩個實數(shù)根，并且這兩個根的平方和比這兩個根的積大16，求m的值。

分析：有實數(shù)根，則△≥0，且x1?x2?x1x2?16，聯(lián)立解得m的值。

略解：依題意有： 222

2?x1?x2??2(m?2)?2xx?m?5?12

?2 2

?x1?x2?x1x2?16

???4(m?2)2?4(m2?5)?0?

由①②③解得：m??1或m??15，又由④可知m≥?∴m??15舍去，故m??1 探索與創(chuàng)新：

【問題一】已知x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程4x2?4(m?1)x?m2?0的兩個非零實數(shù)根，問：x1與x2能否同號？若能同號請求出相應(yīng)的m的取值范圍；若不能同號，請說明理由。

略解：由???32m?16≥0得m≤4

112

。x1?x2??m?1，x1x2?m≥0 24

∴x1與x2可能同號，分兩種情況討論：

?x1?x2?0

（1）若x1＞0，x2＞0，則?，解得m＜1且m≠0

xx?0?12

∴m≤

且m≠0 2

?x1?x2?01

（2）若x1＜0，x2＜0，則?，解得m＞1與m≤相矛盾

2?x1x2?0

綜上所述：當m≤

且m≠0時，方程的兩根同號。

2【問題二】已知x1、x2是一元二次方程4kx?4kx?k?1?0的兩個實數(shù)根。（1）是否存在實數(shù)k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??不存在，請說明理由。

（2）求使

成立？若存在，求出k的值；若

2x1x2

??2的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值。x2x1

k?1

4k

略解：（1）由k≠0和△≥0?k＜0∵x1?x2?1，x1x2?

∴(2x1?x2)(x1?2x2)?2(x1?x2)?9x1x2??

k?93

?? 4k2

∴k?

9，而k＜0 5

∴不存在。

x1x2(x1?x2)244（2），要使?的值為整數(shù)，而k??2＝?4＝?

k?1k?1x2x1x1x2

為整數(shù)，k?1只能取±

1、±

2、±4，又k＜0

∴存在整數(shù)k的值為－

2、－

3、－5

跟蹤訓練：

一、填空題：

1、設(shè)x1、x2是方程x?4x?2?0的兩根，則①

＝；③(x1?1)(x2?1)＝

＝x1?x2?

x1x22、以方程2x?x?4?0的兩根的倒數(shù)為根的一元二次方程是。

3、已知方程x?mx?45?0的兩實根差的平方為144，則m＝。

4、已知方程x?3x?m?0的一個根是1，則它的另一個根是，m的值是。

5、反比例函數(shù)y?

2k2的圖象經(jīng)過點P（a、b），其中a、b是一元二次方程x?kx?4?0x的兩根，那么點P的坐標是。

6、已知x1、x2是方程x?3x?1?0的兩根，則4x1?12x2?11的值為

二、選擇題：

1、如果方程x?mx?1的兩個實根互為相反數(shù)，那么m的值為（）A、0B、－1C、1D、±

1?b?

2、已知ab≠0，方程ax?bx?c?0的系數(shù)滿足???ac，則方程的兩根之比為（）

?2?

A、0∶1B、1∶1C、1∶2D、2∶33、已知兩圓的半徑恰為方程2x?5x?2?0的兩根，圓心距為，則這兩個圓的外公切線有（）

A、0條B、1條C、2條D、3條

4、已知，在△ABC中，∠C＝900，斜邊長7，兩直角邊的長分別是關(guān)于x的方程：

2x2?3(m?)x?9m?0的兩個根，則△ABC的內(nèi)切圓面積是（）

379?C、?D、? 2445、菱形ABCD的邊長是5，兩條對角線交于O點，且AO、BO的長分別是關(guān)于x的方程：

A、4?B、x2?(2m?1)x?m2?3?0的根，則m的值為（）

A、－3B、5C、5或－3D、－5或3

三、解答題：

1、證明：方程x?1997x?1997?0無整數(shù)根。

2、已知關(guān)于x的方程x?3x?a?0的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3，關(guān)于x的方程

(k?1)x2?3x?2a?0有實根，且k為正整數(shù)，求代數(shù)式

k?1的值。k?23、已知關(guān)于x的方程x2?(1?2a)x?a2?3?0……①有兩個不相等的實數(shù)根，且關(guān)于x的方程x??2x?2a?1?0……②沒有實數(shù)根，問：方程①有整數(shù)解？ a取什么整數(shù)時，4、已知關(guān)于x的方程x2?2(m?1)x?m2?3?0（1）當m取何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？

（2）設(shè)x1、x2是方程的兩根，且(x1?x2)2?(x1?x2)?12?0，求m的值。

5、已知關(guān)于x的方程kx2?(2k?1)x?k?1?0只有整數(shù)根，且關(guān)于y的一元二次方程

(k?1)y2?3y?m?0的兩個實數(shù)根為y1、y2。

（1）當k為整數(shù)時，確定k的值。

（2）在（1）的條件下，若m＝2，求y1?y2的值。

6、已知x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程4x?4(m?1)x?m?0的兩個非零實根，問：

x1、x2能否同號？若能同號，請求出相應(yīng)m的取值范圍；若不能同號，請說明理由。

參考答案

一、填空題：

1、①2；②22；③7；

2、4x?x?2?0；

3、±18；

4、2，2；

5、（－2，－2）

6、43；

二、選擇題：ABCDA

三、解答題：

1、略證：假設(shè)原方程有整數(shù)根，由?

?x1?x2?1997

可得x1、x2均為整數(shù)根，?x1x2?1997

∵x1x2?1997∴x1、x2均為奇數(shù)

但x1?x2應(yīng)為偶數(shù)，這與x1?x2?1997相矛盾。

2、k?1，k?1

?0 k?23、a?

34、（1）m??2；（2）m?15、（1）k＝0，－1；（2）當k＝0時，y1?y2?13；當k??1時，y1?y2?

6、能同號，m≤4

且m≠0 2

第二篇：復(fù)習教案 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

第十三課時 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

一、復(fù)習目標：掌握一元二次方程根的判別式和韋達定理，并會靈活運用它們解決問題.二、復(fù)習重點和難點：

（一）復(fù)習重點： 一元二次方程根的韋達定理.（二）復(fù)習難點：靈活運用韋達定理解決問題.三、復(fù)習過程：

（一）知識梳理：

1、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，如果有實數(shù)根（即??b?4ac?0），設(shè)兩實數(shù)根為x1，x2，則x1?x2??

2、常見的含兩根的對稱式：

（1）x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2（2）222bc，x1x2? aax?x211 ??1x1x2x1x2（3）(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2 ； x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2

x2x1x1?x2(x1?x2)2?2x1x2（4）； ???x1x2x1x2x1x2

3、利用根與系數(shù)的關(guān)系判定一元二次方程的兩根符號： 22c可判斷兩根符號之間的關(guān)系： acc 若x1x2??0，則x1，x2同號； 若x1x2??0，則x1，x2異號，即一正一負

aab 再由x1?x2??可判斷兩根大小的關(guān)系。

a由x1x2?

4、由x1，x2兩根可構(gòu)造的一元二次方程 以x1，x2為根的一個一元二次方程為x2?(x1?x2)x?x1x2?0；

5、一元二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系：

若二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸有兩交點，分別設(shè)為A（x1，0），B（x2，0），則x1、x2就是一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根，因此，求二次函數(shù)y=ax+bx+c

22的圖象與x軸有交點坐標，只要令y=0，解ax?bx?c?0(a?0)的根，就可得到二次函

2數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸有交點坐標的橫坐標。

強調(diào)：應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意： ①根的判別式b2?4ac?0 ②二次項系數(shù)a?0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系.（二）典例精析：

一、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根。

例

1、已知方程x?6x?m?2m?5?0的一個根為2，求另一個根及

分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把22

2的值。

代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個根及的值。

解：設(shè)方程的另一個根為x1，根據(jù)題意，利用韋達定理得：

?x1?2?6?x1?4?x1?4，解得：或? ??2m?3m??12x?m?2m?5???1∴方程

二、不解方程，判斷兩根的情況。

例

2、不解方程，試判斷方程x?3x?6?0兩根的符號；

分析：要判斷方程根的符號，可以根據(jù)根的定義，這樣的方法顯得很笨拙，而我們?nèi)绻酶c系數(shù)的關(guān)系就顯得非常巧妙。

解：由??3?4?(?6)?33?0，方程有兩個不相等的實數(shù)根。設(shè)這兩根為x1,x2，得x1?x2??6?0，易得方程兩根一正一負。

如果得出x1?x2?0，需考慮x1?x2的正負，從而判斷方程有兩個正根還是兩個負根。

三、求作新的方程；

例

3、作一個一元二次方程，使它的兩個根為一元二次方程x?3x?1?0的兩根的平方． 解：設(shè)方程x?3x?1?0的兩根為x1,x2，那么所求的方程的根為x1,x2，由根與系數(shù)關(guān)系可得：x1?x2?3,x1.x2??1，∴x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2?32?2?(?1)?11，22222的另一個根為4，的值為3或—1。

222 x1?x2?(x1?x2)2?(?1)2?1，∴所求作的方程為x?11x?1?0．

四、不解方程，求方程兩根所組成的某些代數(shù)式的值，這種應(yīng)用與根的判別結(jié)合在一起。例4（1）已知關(guān)于x的方程3x+6x-2=0的兩根為x1，x2，求

222211的值.?x1x2 分析：已知方程，求兩根組成代數(shù)式的值。這里主要說明解題格式，學生完成過程.（2）已知關(guān)于x的方程3x-mx-2=0的兩根為x1，x2，且2

2211??3，求 ①m的值；②求x1x2x1+x2的值.分析：第（1）題是已知方程，求兩根組成代數(shù)式的值，而第（2）題的第一問就反來了，也就是已知代數(shù)式的值求方程。第②問，再進一步，已知代數(shù)式的值，求另一個代數(shù)式的值.但是，無論是哪一個問題，所要用到的都是根與系數(shù)的關(guān)系.小結(jié)：1.求方程兩根所組成的代數(shù)式的值，關(guān)鍵在于把所求代數(shù)式變形為兩根的和與兩根的積的形式.例

5、（2000年四川省中考試題）若關(guān)于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有兩個實數(shù)根，又已知a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊，∠C=90°，且cosB=

23,b-a=3,5是否存在整數(shù)m,使上述一元二次方程兩個實數(shù)根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方？若存在，請求出滿足條件m的值；若不存在，說明理由.“存在性”問題）

分析：（１）提問：此題與哪些知識有關(guān)？（勾股道理、解直角三角形、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式）

（２）如何利用條件cosB=

3？ 5（３）“使上述一元二次方程兩個實數(shù)根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方”通過這句話，你能明白什么？你先必須求什么？

（４）然后按照解決“存在性”問題的過程去解題.（５）求出m后，要考慮它是否符合題意.通過此題，使學生明白解決這類問題，一般遵循“三步曲”，即假設(shè)存在——推理論證——得出結(jié)論（合理或矛盾兩種情況）.五、利用根與系數(shù)關(guān)系解決一元二次方程與二次函數(shù)的綜合題： 例

6、已拋物線y?(m?1)x2?(m?2)x?1（m為實數(shù)）。

（1）m為何值時，拋物線與x軸有兩個交點？

（2）如果拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于點C，且△ABC的面積為2，求該拋物線的解析式。

分析：拋物線與x軸有兩個交點，則對應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，將問題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根m應(yīng)滿足的條件。

?m?1?0略解：（1）由已知有?，解得m?0且m?1 2???m?0（2）由x?0得C（0，－1）

又∵AB??m? am?1∴S?ABC?∴m?11m?AB?OC???1?2 22m?144或m? 35122126∴y?x?x?1或y??x?x?1

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第三篇：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系說課稿

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系說課稿

作為一名教學工作者，通常會被要求編寫說課稿，說課稿有利于教學水平的提高，有助于教研活動的開展。那么優(yōu)秀的說課稿是什么樣的呢？下面是小編幫大家整理的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系說課稿，歡迎閱讀與收藏。

[教材分析]

中學階段我們研究的多項式函數(shù)中有二次函數(shù)，研究的幾何圖形中有二次曲線。因此一元二次方程便成為了方程中研究的重要內(nèi)容。一元二次方程有根與系數(shù)關(guān)系，求根公式向我們揭示了兩根與系數(shù)間的密切關(guān)系，而根與系數(shù)還有更進一步的發(fā)現(xiàn)，這一發(fā)現(xiàn)在數(shù)學學科中具有極強的實用價值，本節(jié)內(nèi)容既是代數(shù)式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知識的進一步深化，又蘊含有豐富的數(shù)學思想方法，也為學生們將來的學習打下了必要的基礎(chǔ)。

[學生分析]

進入了初二下半學期，隨著年齡的增長以及實驗幾何向論證幾何的逐步推進，學生們的邏輯推理能力已有了較大提高。因此在學過了一元二次方程的解法后，自主探究其根與系數(shù)的關(guān)系是完全可能的。再加上我所執(zhí)教的學生，他們有著較強的認知力與求知欲，

基于以上思考，我在設(shè)計中擴大了學生的智力參與度，也相對放大了知識探索的空間。

[教學目標]

在學生探求一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的活動中，經(jīng)歷觀察、分析、概括的過程以及“實踐——認識——再實踐——再認識”的過程，得出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

能利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系檢驗兩數(shù)是否為原方程的根;已知一根求另一根及系數(shù)。

理解數(shù)學思想，體會代數(shù)論證的方法，感受辯證唯物主義認識論的基本觀點。

[教學重難點]

發(fā)現(xiàn)并掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，包括知識從特殊到一般的發(fā)生發(fā)展過程

[教學過程]

一、復(fù)習導(dǎo)入

請學生求解表格內(nèi)的方程，完成解法的交流以及求根公式的復(fù)習，求根公式向我們揭示了兩根與系數(shù)間的關(guān)系，那么一元二次方程根與系數(shù)間是否還有更深一層的聯(lián)系呢?由此疑問，導(dǎo)入新課。

二、探求新知

數(shù)學學科中由數(shù)到式的結(jié)構(gòu)編排，讓我們想到了從兩根運算上的最簡組合：和差積商展開進一步研究。初探新知中，我將學生們分成兩組，分別對二次項系數(shù)為1的一元二次方程兩根進行和差積商的運算，之后將結(jié)果匯總展示，共同觀察與系數(shù)的聯(lián)系。我在這些方程中安排了兩個無理根方程。當學生們發(fā)現(xiàn)這兩個無理根在求和，求積后，竟變成了有理數(shù)，而且每一組兩根和(積)都與系數(shù)有著密切的聯(lián)系，此時的他們不難對兩根和與兩根積產(chǎn)生關(guān)注，經(jīng)歷了對二次項系數(shù)為1的一元二次方程兩根和差積商的研究后，確定了課題并獲得猜想：“兩根和等于一次項系數(shù)的相反數(shù),兩根積等于常數(shù)項。”對于這一猜想，會有學生提出不同看法，他們提出研究二次項系數(shù)非1的一元二次方程。學生的質(zhì)疑啟動再探新知。直接研究一元二次方程兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系。這一環(huán)節(jié)中我不再給出具體的方程要求研究，故除了部分同學自定義方程求根求和求積后產(chǎn)生猜想，還有部分同學對仍保留在板書部分的求根公式著手進行兩根和，積的運算。這兩種方案齊頭并進，當前者通過不斷驗證來說明他們猜想的可靠度時，后者通過論證，在嚴格意義下，說明了此結(jié)論的正確性。對于論證中學生出現(xiàn)的問題，我們在第一時間內(nèi)揪錯指正，

在知識初探與再探后，學生獲得了新知，得到了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，

三、訓練感悟

我將之前從學生那里收集來的錯解對照表中方程，詢問檢驗其正誤的方法。學生根據(jù)已有經(jīng)驗，將其代入方程，進行檢驗。為尋求更為簡便的方法，引出作用一，利用根與系數(shù)的關(guān)系，不解方程檢驗兩數(shù)是否為原方程的根。我再給出兩例，便于鞏固練習，更明確了只有當兩數(shù)和(積)同時滿足方程兩根和(積)的時侯，才是正確的根。當學生們正為找到了一種行之有效的檢驗方法，高興不已的時候。突然間，表格中的數(shù)據(jù)丟失了，我分別隱去了方程的一根及b,c,a三個系數(shù)。為了將材料修復(fù)，學生小組展開熱烈的討論。有了上一題的經(jīng)驗，學生們會利用根與系數(shù)關(guān)系，不解方程，求出另一根及系數(shù)。也會使用代入求解的方法解題，通過新舊方法的比較，在訓練中獲得感悟：方法的選擇在于簡便，學生們在選擇了恰當?shù)姆椒ê?，修?fù)了材料也鞏固了新知。

四、總結(jié)提升

由學生回顧知識的發(fā)生發(fā)展及應(yīng)用過程，以“我的收獲”與“我的疑惑”交流心得。我再幫助學生整理所學知識，引導(dǎo)領(lǐng)會數(shù)學的思想。我還會自豪的告訴他們，數(shù)學家們還發(fā)現(xiàn)了存在于一元n次方程中的根與系數(shù)的普遍關(guān)系，這一內(nèi)容將在高數(shù)中有所涉及，激勵奮進五、分層作業(yè)，除必做題外，留有一道思考題：已知x1,x2分別是方程2x2+3x-5=0和兩個根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求：（1）x12x2 +x1x22（2）x12 +x22（3）x1－x2的值。作為能力上的提升。也為下一課內(nèi)容作下鋪墊。

[設(shè)計意圖]

現(xiàn)在的設(shè)計較之以往，有所繼承，有所變革。

1.研究啟動入口不同

過去我總是先給出若干具體方程要求學生求根，并計算兩根和(積)，作出猜想。這樣的數(shù)學后曾有學生問我：“老師為什么會想到兩根和(積)與系數(shù)的關(guān)系，而不是其它?”這種疑問的產(chǎn)生一定與過去設(shè)計指定了學生的活動過程有關(guān)，為了給學生的活動指向更為寬泛，讓兩根和積與系數(shù)的研究更顯合理，現(xiàn)在的設(shè)計中主要體現(xiàn)了由數(shù)到式的研究，從兩根和差積商的重組合再有所觀察，有所挑選，方才定位于兩根和(積)作進一步的探究。這種設(shè)計正是從數(shù)學內(nèi)部下了功夫，由知識線索的連貫性，師生共同理順了實驗對象的來龍去脈，從數(shù)學本身上培養(yǎng)了學生的觀察、分析、概括的綜合能力。

2.探究部分兩步走

我將二次項系數(shù)為1，非1的一元二次方程分兩次出現(xiàn)，分別放置與知識初探和再探兩個環(huán)節(jié)，這樣設(shè)計的原因有一：學生的認知能力總是有所差異的，如果將這些方程合二為一加以研究的話，一部分同學對別人獲得的正確猜想是瞬間接受，卻缺乏思維的參與。事實上，研究事物往往從簡單到復(fù)雜，在這里，當a=1時，易找規(guī)律，當a ≠1后造成的認知沖突，更是激發(fā)了這一猜想的`完善。其實這一串，由實驗——猜想——再實驗——再猜想的思維過程，既符合認知規(guī)律，也是一種研究性學習的示范，一種創(chuàng)造性能力的培養(yǎng)。為了讓每一個學生都親身參與其中，真正感受由“實踐——認識——再實踐——再認識”這一客觀世界認知論的基本規(guī)律。便是我如此設(shè)計的原因之一。原因二：研究入口處，利用兩根和差積商的結(jié)果，優(yōu)選出對和積的研究。初探中二次項系數(shù)為1的方程兩根計算足以起到這一篩選作用。因此在下一環(huán)節(jié)的再探新知中，便自然關(guān)閉了對兩根差與商相對較為繁瑣的計算，直接由兩根和積入手研究與系數(shù)的關(guān)系，提高了研究的效率。

3.再探新知放手走

我沒有再給出任何具體的方程以供研究，這里的放手，引出了學生不同的操作方法。一部分學生把注意力轉(zhuǎn)放在求根公式上展開直接論證，就連另一部分學生自定義方程數(shù)據(jù)研究的方式也各不相同，他們有的翻開筆記本查閱之前解方程的資料;有的反湊特殊值方程;更有的會從中提煉出代數(shù)論證的方法;當然也有借助于計算器完成了繁瑣的計算。

放手的探究，為了給學生更大的思維空間，讓學生有更多方法的選擇，從而展開自主的學習。

[尾聲]

但原學生們帶著對數(shù)學的興趣與喜愛，在學的海洋里，奮勇搏擊。而作為一名青年教師的我，亦將在教學的舞臺上，不斷求索。多由學生所想來引導(dǎo);多設(shè)角度空間去探究;多從細節(jié)處滲透數(shù)學思想，充分利用數(shù)學課堂來達成文化傳承與發(fā)展創(chuàng)新的協(xié)調(diào)統(tǒng)一。

第四篇：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系試題

1．已知方程x2-2x-m=0有兩個正的實數(shù)根，求m的取值范圍．

2．已知m、n是方程x2－2002x+1=0的兩個實數(shù)根，求代數(shù)式mn2+m2n－mn+1的值．

3.已知關(guān)于x的方程x-92x+m=0有兩個實數(shù)根x1、x2，且丨x1-x2丨=22, 求m的值.4．若實數(shù)x1≠x2，且x1－3x1+1=0，x2－3x2+1=0，求

5．已知關(guān)于x的方程2(x-1)(x-3t)=x(t-4)的兩個實數(shù)根的和與積相等，求t的值。

6.是否存在整數(shù)m，使關(guān)于x的方程x2-4(m-2)x+4m2=0的兩個實數(shù)根的平方和為224?若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

7．已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線相交于O，并且AO、BO的長是關(guān)于x的方程x2+(2m－

1)x+m2+3=0的兩個根，求m的值。

8.在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，已知a=3,b和c是關(guān)于x的方程x2+mx+2-

12222+的值． m=0的兩個實數(shù)根，求ΔABC的周長。

第五篇：《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案

《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案

教學目標：

1、發(fā)現(xiàn)、了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學生善于獨立思考、合作交流的學習習慣。

2、探索、運用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，由一元二次方程的一個根求出另一個根及未知系數(shù)，提升學生的合作意識和團隊精神。

3、在不解一元二次方程的情況下，會求直接（或變形后）含有兩根積的代數(shù)式的值，并從中體會整體代換的數(shù)學思想，促進學生數(shù)學思維的養(yǎng)成。教學重點：

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及簡單應(yīng)用。教學難點：

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)。數(shù)學思考與問題解決：

通過創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，注重由學生自己發(fā)現(xiàn)、探索，讓學生參與“韋達定理”的發(fā)現(xiàn)、不完全歸納驗證以及演繹證明等整個數(shù)學思維過程。

一、自學互研 探索發(fā)現(xiàn)（每小題10分，共30分）（自主完成，組長檢查）

【師生活動】：

教師引導(dǎo)，巡視，隨時發(fā)現(xiàn)問題、了解學生導(dǎo)學案完成情況并點撥；評價、鼓勵、調(diào)動學生參與的主動性和積極性。

學生獨立完成導(dǎo)學案，觀察、對比、發(fā)現(xiàn)問題，逐步由易到難，探索出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；小組長檢查小組成員完成情況；分小組匯報自學成果?！驹O(shè)計意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的發(fā)現(xiàn)過程，即感性認識過程。通過幾個具體的方程，經(jīng)過觀察、比較、分析、歸納，感性地得出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的一般規(guī)律。培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探求規(guī)律的學習習慣和注重自主加合作的學習方式。【學案內(nèi)容】：

1、方程：X2+3X–4=0（1）二次項系數(shù)是_____，一次項系數(shù)是______，常數(shù)項是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項系數(shù)?（）

二次項系數(shù)常數(shù)項?（）(4)X1·X2=_______，方程中

二次項系數(shù)

2、方程3 X2+X-2=0（1）二次項系數(shù)是_____，一次項系數(shù)是______，常數(shù)項是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。

（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項系數(shù) ?（）二次項系數(shù)比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么呢：__________________________________(4)X1·X2=_______，方程中

常數(shù)項?（）

二次項系數(shù)比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么呢：__________________________________

3、方程X2-2X=（1）二次項系數(shù)是_____，一次項系數(shù)是______，常數(shù)項是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）由你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知: X1+X2=?(________)

X1·X2=?（）（________)(_________)?（）

(_________)

二、合作求證 生成新知（每小題10分，共20分）（合作完成，交換檢查）

【師生活動】：

教師引導(dǎo)，巡視，隨時發(fā)現(xiàn)問題、了解學生導(dǎo)學案完成情況并點撥；鼓勵學生參與合作學習，調(diào)動學生合作交流的主動性和積極性。

學生小組合作完成導(dǎo)學案，通過推導(dǎo)證明前面的結(jié)論；實現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系感性認識到理性認識的轉(zhuǎn)變；小組長檢查小組成員完成情況后，兩小組交換檢查推導(dǎo)過程；分小組匯報合作學習成果?！驹O(shè)計意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的證明過程，即理性認識過程。讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題、探求規(guī)律，兩從理論角度加以驗證，經(jīng)歷從特殊到一般的科學探索過程，培養(yǎng)學生科學、嚴謹?shù)那髮W態(tài)度，團隊精神和合作意識，促進學生的相互交流、學習?！緦W案內(nèi)容】：

（1）根據(jù)以上規(guī)律，若aX2+bX+c=0(a≠0)的兩個根為X1和X2，則X1+X2=_______，X1·X2=_______。（2）這是不是一個普遍規(guī)律呢？在所有的一元二次方程中，是否成立呢？請用一元二次方程的一般形式證明：(b2-4ac≧0)∵ X1=?b?b2?4ac?b?b2?4ac

X2=

2a2a∴X1+X2=

∴X1·X2=

三、交流展示 目標達成（每小題10分，共40分）（合作完成，分組展示）

【師生活動】：

教師巡視，隨時發(fā)現(xiàn)問題、了解學生導(dǎo)學案完成情況并適時點撥、強調(diào)；充分利用現(xiàn)有設(shè)施設(shè)備，為學生搭建電子白板、實物投影、黑板等不同的展示自我的平臺；適時評價、鼓勵學生能多種方法解決問題，促進發(fā)散思維的培養(yǎng)。

導(dǎo)學案【目標1】：學生先獨立完成，組長檢查，后組內(nèi)交流，全班匯報、評價。（學生利用一體機白板演示解題過程）

導(dǎo)學案【目標2】：小組合作完成，組長督促，全班匯報、評價。（學生利用實物投影展示解題過程）

導(dǎo)學案【目標3】：小組合作完成，組長督促，全班匯報、評價。（學生利用黑板展示解題過程）

【設(shè)計意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的實踐過程，即教學目標的達成、檢測過程。設(shè)計了三個不同難度且有梯度的“目標”，讓學生由易到難、由淺入深，加深對一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的理解和應(yīng)用，強調(diào)學生對科學的嚴謹性和書寫的規(guī)范性，培養(yǎng)學生對所學知識的應(yīng)用意識和應(yīng)用能力，以及合作學習意識與數(shù)學語言的表述能力。【學案內(nèi)容】：

【目標1】不解方程，求下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？

（1）x2-3x+1=0;

（2）3x2-2x=2;

【目標2】已知方程X2-4X+M=0的一個根是-2，求方程的另一個根及M的值。

【目標3】已知X1，X2 是方程2X2-4X-1=0的兩個實數(shù)根，求

x1的值。

2?x22

四、查漏補缺 總結(jié)提高（共10分）（自主完成，集體分享）

【師生活動】：

教師鼓勵學生談所學所想所獲，集體分享學習成果，歸納課堂所學知識點，解決學習中仍然存在的問題和困惑?！驹O(shè)計意圖】：

本環(huán)節(jié)為本節(jié)課的總結(jié)提高過程。目的是幫助所有學生總結(jié)回顧、查漏補缺，形成知識體系，培養(yǎng)學生及時小結(jié)、善于歸納梳理的學習習慣，提高學生運用數(shù)學語言的能力和口頭表達能力。【學案內(nèi)容】：

請你談?wù)劚竟?jié)課的收獲或存在的問題。__________________