第一篇：《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1》教學設(shè)計

《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1》教學設(shè)計

一、素質(zhì)教育目標

（一）知識教學點：掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系并會初步應(yīng)用．

（二）能力訓練點：培養(yǎng)學生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力．

（三）德育滲透點：1．滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規(guī)律；2．培養(yǎng)學生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神．

二、教學重點、難點、疑點及解決方法 1．教學重點：根與系數(shù)的關(guān)系及其推導． 2．教學難點：正確理解根與系數(shù)的關(guān)系．

3．教學疑點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程兩根的和，兩根的積與系數(shù)的關(guān)系．

三、教學步驟

（一）明確目標

一元二次方程x2-5x+6=0的兩個根是x1=2，x2=3，可以發(fā)現(xiàn)x1＋x2=5恰是方程一次項系數(shù)-5的相反數(shù)，x1x2＝6恰是方程的常數(shù)項．其它的一元二次方程的兩根也有這樣的規(guī)律嗎？這就是本節(jié)課所研究的問題，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推導兩根和及兩根積與方程系數(shù)的關(guān)系——一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．

（二）整體感知

一元二次方程的求根公式是由系數(shù)表達的，研究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程的兩根的和，兩根的積與系數(shù)的關(guān)系．它是以一元二次方程的求根公式為基礎(chǔ)．學了這部分內(nèi)容，在處理有關(guān)一元二次方程的問題時，就會多一些思想和方法，同時，也為今后進一步學習方程理論打下基礎(chǔ)．

本節(jié)先由發(fā)現(xiàn)數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的兩根和與兩根積與方程系數(shù)的關(guān)系，到引導學生去推導論證一元二次方程兩根和與兩根積與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用．向?qū)W生滲透認識事物的規(guī)律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培養(yǎng)學生勇于探索、積極思維的精神．

（三）重點、難點的學習及目標完成過程 1．復習提問

（1）寫出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0． 觀察、思考兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系．

在教師的引導和點撥下，由學生得出結(jié)論，教師提問：所有的一元二次方程的兩個根都有這樣的規(guī)律嗎？

2．推導一元二次方程兩根和與兩根積和系數(shù)的關(guān)系． 設(shè)x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根．

以上一名學生在板書，其它學生在練習本上推導． 由此得出，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．（一元二次方程兩根和與兩根積與系數(shù)的關(guān)系）

結(jié)論1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么x1

我們就可把它寫成x2+px+q=0

結(jié)論2．如果方程x+px+q＝0的兩個根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 結(jié)論1具有一般形式，結(jié)論2有時給研究問題帶來方便． 練習1．（口答）下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少？（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0 此組練習的目的是更加熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系． 3．一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用．（1）驗根．（口答）判定下列各方程后面的兩個數(shù)是不是它的兩個根． 驗根是一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的簡單應(yīng)用，應(yīng)用時要注意三個問題：（1）要先把一元二次方程化成標準型，（2）不要漏除二次項

（2）已知方程一根，求另一根．

例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．

此題的解法是依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)未知數(shù)列方程達到目的，還可以向?qū)W生展現(xiàn)下列方法，并且作比較．

方法

（二）∵2是方程5x2+kx-6=0的根，∴5×22＋k×2-6＝0，∴k＝-7． ∴原方程可變?yōu)?x2-7x-6=0

學生進行比較，方法

（二）不如方法

（一）簡單，從而認識到根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用價值．

練習：教材P．34中2．

學習筆答、板書，評價，體會．

（四）總結(jié)、擴展

1．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導是在求根公式的基礎(chǔ)上進行．它深化了兩根的和與積和系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進一步使用打下基礎(chǔ)．

2．以一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導，向?qū)W生展示認識事物的一般規(guī)律，提倡積極思維，勇于探索的精神，借此鍛煉學生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力．

四、布置作業(yè)

1．教材P．35中A1．2．推導一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系．

五、板書設(shè)計

12．4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

（一）一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系 關(guān)系的推導 應(yīng)用（1）驗根（1）…… ……（2）已知一根，（2）…… …… 求另一根

六、作業(yè)

第二篇：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系說課稿

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系說課稿

作為一名教學工作者，通常會被要求編寫說課稿，說課稿有利于教學水平的提高，有助于教研活動的開展。那么優(yōu)秀的說課稿是什么樣的呢？下面是小編幫大家整理的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系說課稿，歡迎閱讀與收藏。

[教材分析]

中學階段我們研究的多項式函數(shù)中有二次函數(shù)，研究的幾何圖形中有二次曲線。因此一元二次方程便成為了方程中研究的重要內(nèi)容。一元二次方程有根與系數(shù)關(guān)系，求根公式向我們揭示了兩根與系數(shù)間的密切關(guān)系，而根與系數(shù)還有更進一步的發(fā)現(xiàn)，這一發(fā)現(xiàn)在數(shù)學學科中具有極強的實用價值，本節(jié)內(nèi)容既是代數(shù)式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知識的進一步深化，又蘊含有豐富的數(shù)學思想方法，也為學生們將來的學習打下了必要的基礎(chǔ)。

[學生分析]

進入了初二下半學期，隨著年齡的增長以及實驗幾何向論證幾何的逐步推進，學生們的邏輯推理能力已有了較大提高。因此在學過了一元二次方程的解法后，自主探究其根與系數(shù)的關(guān)系是完全可能的。再加上我所執(zhí)教的學生，他們有著較強的認知力與求知欲，

基于以上思考，我在設(shè)計中擴大了學生的智力參與度，也相對放大了知識探索的空間。

[教學目標]

在學生探求一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的活動中，經(jīng)歷觀察、分析、概括的過程以及“實踐——認識——再實踐——再認識”的過程，得出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

能利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系檢驗兩數(shù)是否為原方程的根;已知一根求另一根及系數(shù)。

理解數(shù)學思想，體會代數(shù)論證的方法，感受辯證唯物主義認識論的基本觀點。

[教學重難點]

發(fā)現(xiàn)并掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，包括知識從特殊到一般的發(fā)生發(fā)展過程

[教學過程]

一、復習導入

請學生求解表格內(nèi)的方程，完成解法的交流以及求根公式的復習，求根公式向我們揭示了兩根與系數(shù)間的關(guān)系，那么一元二次方程根與系數(shù)間是否還有更深一層的聯(lián)系呢?由此疑問，導入新課。

二、探求新知

數(shù)學學科中由數(shù)到式的結(jié)構(gòu)編排，讓我們想到了從兩根運算上的最簡組合：和差積商展開進一步研究。初探新知中，我將學生們分成兩組，分別對二次項系數(shù)為1的一元二次方程兩根進行和差積商的運算，之后將結(jié)果匯總展示，共同觀察與系數(shù)的聯(lián)系。我在這些方程中安排了兩個無理根方程。當學生們發(fā)現(xiàn)這兩個無理根在求和，求積后，竟變成了有理數(shù)，而且每一組兩根和(積)都與系數(shù)有著密切的聯(lián)系，此時的他們不難對兩根和與兩根積產(chǎn)生關(guān)注，經(jīng)歷了對二次項系數(shù)為1的一元二次方程兩根和差積商的研究后，確定了課題并獲得猜想：“兩根和等于一次項系數(shù)的相反數(shù),兩根積等于常數(shù)項?！睂τ谶@一猜想，會有學生提出不同看法，他們提出研究二次項系數(shù)非1的一元二次方程。學生的質(zhì)疑啟動再探新知。直接研究一元二次方程兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系。這一環(huán)節(jié)中我不再給出具體的方程要求研究，故除了部分同學自定義方程求根求和求積后產(chǎn)生猜想，還有部分同學對仍保留在板書部分的求根公式著手進行兩根和，積的運算。這兩種方案齊頭并進，當前者通過不斷驗證來說明他們猜想的可靠度時，后者通過論證，在嚴格意義下，說明了此結(jié)論的正確性。對于論證中學生出現(xiàn)的問題，我們在第一時間內(nèi)揪錯指正，

在知識初探與再探后，學生獲得了新知，得到了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，

三、訓練感悟

我將之前從學生那里收集來的錯解對照表中方程，詢問檢驗其正誤的方法。學生根據(jù)已有經(jīng)驗，將其代入方程，進行檢驗。為尋求更為簡便的方法，引出作用一，利用根與系數(shù)的關(guān)系，不解方程檢驗兩數(shù)是否為原方程的根。我再給出兩例，便于鞏固練習，更明確了只有當兩數(shù)和(積)同時滿足方程兩根和(積)的時侯，才是正確的根。當學生們正為找到了一種行之有效的檢驗方法，高興不已的時候。突然間，表格中的數(shù)據(jù)丟失了，我分別隱去了方程的一根及b,c,a三個系數(shù)。為了將材料修復，學生小組展開熱烈的討論。有了上一題的經(jīng)驗，學生們會利用根與系數(shù)關(guān)系，不解方程，求出另一根及系數(shù)。也會使用代入求解的方法解題，通過新舊方法的比較，在訓練中獲得感悟：方法的選擇在于簡便，學生們在選擇了恰當?shù)姆椒ê?，修復了材料也鞏固了新知?/p>

四、總結(jié)提升

由學生回顧知識的發(fā)生發(fā)展及應(yīng)用過程，以“我的收獲”與“我的疑惑”交流心得。我再幫助學生整理所學知識，引導領(lǐng)會數(shù)學的思想。我還會自豪的告訴他們，數(shù)學家們還發(fā)現(xiàn)了存在于一元n次方程中的根與系數(shù)的普遍關(guān)系，這一內(nèi)容將在高數(shù)中有所涉及，激勵奮進五、分層作業(yè)，除必做題外，留有一道思考題：已知x1,x2分別是方程2x2+3x-5=0和兩個根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求：（1）x12x2 +x1x22（2）x12 +x22（3）x1－x2的值。作為能力上的提升。也為下一課內(nèi)容作下鋪墊。

[設(shè)計意圖]

現(xiàn)在的設(shè)計較之以往，有所繼承，有所變革。

1.研究啟動入口不同

過去我總是先給出若干具體方程要求學生求根，并計算兩根和(積)，作出猜想。這樣的數(shù)學后曾有學生問我：“老師為什么會想到兩根和(積)與系數(shù)的關(guān)系，而不是其它?”這種疑問的產(chǎn)生一定與過去設(shè)計指定了學生的活動過程有關(guān)，為了給學生的活動指向更為寬泛，讓兩根和積與系數(shù)的研究更顯合理，現(xiàn)在的設(shè)計中主要體現(xiàn)了由數(shù)到式的研究，從兩根和差積商的重組合再有所觀察，有所挑選，方才定位于兩根和(積)作進一步的探究。這種設(shè)計正是從數(shù)學內(nèi)部下了功夫，由知識線索的連貫性，師生共同理順了實驗對象的來龍去脈，從數(shù)學本身上培養(yǎng)了學生的觀察、分析、概括的綜合能力。

2.探究部分兩步走

我將二次項系數(shù)為1，非1的一元二次方程分兩次出現(xiàn)，分別放置與知識初探和再探兩個環(huán)節(jié)，這樣設(shè)計的原因有一：學生的認知能力總是有所差異的，如果將這些方程合二為一加以研究的話，一部分同學對別人獲得的正確猜想是瞬間接受，卻缺乏思維的參與。事實上，研究事物往往從簡單到復雜，在這里，當a=1時，易找規(guī)律，當a ≠1后造成的認知沖突，更是激發(fā)了這一猜想的`完善。其實這一串，由實驗——猜想——再實驗——再猜想的思維過程，既符合認知規(guī)律，也是一種研究性學習的示范，一種創(chuàng)造性能力的培養(yǎng)。為了讓每一個學生都親身參與其中，真正感受由“實踐——認識——再實踐——再認識”這一客觀世界認知論的基本規(guī)律。便是我如此設(shè)計的原因之一。原因二：研究入口處，利用兩根和差積商的結(jié)果，優(yōu)選出對和積的研究。初探中二次項系數(shù)為1的方程兩根計算足以起到這一篩選作用。因此在下一環(huán)節(jié)的再探新知中，便自然關(guān)閉了對兩根差與商相對較為繁瑣的計算，直接由兩根和積入手研究與系數(shù)的關(guān)系，提高了研究的效率。

3.再探新知放手走

我沒有再給出任何具體的方程以供研究，這里的放手，引出了學生不同的操作方法。一部分學生把注意力轉(zhuǎn)放在求根公式上展開直接論證，就連另一部分學生自定義方程數(shù)據(jù)研究的方式也各不相同，他們有的翻開筆記本查閱之前解方程的資料;有的反湊特殊值方程;更有的會從中提煉出代數(shù)論證的方法;當然也有借助于計算器完成了繁瑣的計算。

放手的探究，為了給學生更大的思維空間，讓學生有更多方法的選擇，從而展開自主的學習。

[尾聲]

但原學生們帶著對數(shù)學的興趣與喜愛，在學的海洋里，奮勇搏擊。而作為一名青年教師的我，亦將在教學的舞臺上，不斷求索。多由學生所想來引導;多設(shè)角度空間去探究;多從細節(jié)處滲透數(shù)學思想，充分利用數(shù)學課堂來達成文化傳承與發(fā)展創(chuàng)新的協(xié)調(diào)統(tǒng)一。

第三篇：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系試題

1．已知方程x2-2x-m=0有兩個正的實數(shù)根，求m的取值范圍．

2．已知m、n是方程x2－2002x+1=0的兩個實數(shù)根，求代數(shù)式mn2+m2n－mn+1的值．

3.已知關(guān)于x的方程x-92x+m=0有兩個實數(shù)根x1、x2，且丨x1-x2丨=22, 求m的值.4．若實數(shù)x1≠x2，且x1－3x1+1=0，x2－3x2+1=0，求

5．已知關(guān)于x的方程2(x-1)(x-3t)=x(t-4)的兩個實數(shù)根的和與積相等，求t的值。

6.是否存在整數(shù)m，使關(guān)于x的方程x2-4(m-2)x+4m2=0的兩個實數(shù)根的平方和為224?若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

7．已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線相交于O，并且AO、BO的長是關(guān)于x的方程x2+(2m－

1)x+m2+3=0的兩個根，求m的值。

8.在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，已知a=3,b和c是關(guān)于x的方程x2+mx+2-

12222+的值． m=0的兩個實數(shù)根，求ΔABC的周長。

第四篇：《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案

《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案

教學目標：

1、發(fā)現(xiàn)、了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學生善于獨立思考、合作交流的學習習慣。

2、探索、運用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，由一元二次方程的一個根求出另一個根及未知系數(shù)，提升學生的合作意識和團隊精神。

3、在不解一元二次方程的情況下，會求直接（或變形后）含有兩根積的代數(shù)式的值，并從中體會整體代換的數(shù)學思想，促進學生數(shù)學思維的養(yǎng)成。教學重點：

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及簡單應(yīng)用。教學難點：

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的推導。數(shù)學思考與問題解決：

通過創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，注重由學生自己發(fā)現(xiàn)、探索，讓學生參與“韋達定理”的發(fā)現(xiàn)、不完全歸納驗證以及演繹證明等整個數(shù)學思維過程。

一、自學互研 探索發(fā)現(xiàn)（每小題10分，共30分）（自主完成，組長檢查）

【師生活動】：

教師引導，巡視，隨時發(fā)現(xiàn)問題、了解學生導學案完成情況并點撥；評價、鼓勵、調(diào)動學生參與的主動性和積極性。

學生獨立完成導學案，觀察、對比、發(fā)現(xiàn)問題，逐步由易到難，探索出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；小組長檢查小組成員完成情況；分小組匯報自學成果。【設(shè)計意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的發(fā)現(xiàn)過程，即感性認識過程。通過幾個具體的方程，經(jīng)過觀察、比較、分析、歸納，感性地得出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的一般規(guī)律。培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探求規(guī)律的學習習慣和注重自主加合作的學習方式?！緦W案內(nèi)容】：

1、方程：X2+3X–4=0（1）二次項系數(shù)是_____，一次項系數(shù)是______，常數(shù)項是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項系數(shù)?（）

二次項系數(shù)常數(shù)項?（）(4)X1·X2=_______，方程中

二次項系數(shù)

2、方程3 X2+X-2=0（1）二次項系數(shù)是_____，一次項系數(shù)是______，常數(shù)項是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。

（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項系數(shù) ?（）二次項系數(shù)比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么呢：__________________________________(4)X1·X2=_______，方程中

常數(shù)項?（）

二次項系數(shù)比一比，你發(fā)現(xiàn)了什么呢：__________________________________

3、方程X2-2X=（1）二次項系數(shù)是_____，一次項系數(shù)是______，常數(shù)項是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）由你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知: X1+X2=?(________)

X1·X2=?（）（________)(_________)?（）

(_________)

二、合作求證 生成新知（每小題10分，共20分）（合作完成，交換檢查）

【師生活動】：

教師引導，巡視，隨時發(fā)現(xiàn)問題、了解學生導學案完成情況并點撥；鼓勵學生參與合作學習，調(diào)動學生合作交流的主動性和積極性。

學生小組合作完成導學案，通過推導證明前面的結(jié)論；實現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系感性認識到理性認識的轉(zhuǎn)變；小組長檢查小組成員完成情況后，兩小組交換檢查推導過程；分小組匯報合作學習成果?！驹O(shè)計意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的證明過程，即理性認識過程。讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題、探求規(guī)律，兩從理論角度加以驗證，經(jīng)歷從特殊到一般的科學探索過程，培養(yǎng)學生科學、嚴謹?shù)那髮W態(tài)度，團隊精神和合作意識，促進學生的相互交流、學習?！緦W案內(nèi)容】：

（1）根據(jù)以上規(guī)律，若aX2+bX+c=0(a≠0)的兩個根為X1和X2，則X1+X2=_______，X1·X2=_______。（2）這是不是一個普遍規(guī)律呢？在所有的一元二次方程中，是否成立呢？請用一元二次方程的一般形式證明：(b2-4ac≧0)∵ X1=?b?b2?4ac?b?b2?4ac

X2=

2a2a∴X1+X2=

∴X1·X2=

三、交流展示 目標達成（每小題10分，共40分）（合作完成，分組展示）

【師生活動】：

教師巡視，隨時發(fā)現(xiàn)問題、了解學生導學案完成情況并適時點撥、強調(diào)；充分利用現(xiàn)有設(shè)施設(shè)備，為學生搭建電子白板、實物投影、黑板等不同的展示自我的平臺；適時評價、鼓勵學生能多種方法解決問題，促進發(fā)散思維的培養(yǎng)。

導學案【目標1】：學生先獨立完成，組長檢查，后組內(nèi)交流，全班匯報、評價。（學生利用一體機白板演示解題過程）

導學案【目標2】：小組合作完成，組長督促，全班匯報、評價。（學生利用實物投影展示解題過程）

導學案【目標3】：小組合作完成，組長督促，全班匯報、評價。（學生利用黑板展示解題過程）

【設(shè)計意圖】：

本環(huán)節(jié)為“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的實踐過程，即教學目標的達成、檢測過程。設(shè)計了三個不同難度且有梯度的“目標”，讓學生由易到難、由淺入深，加深對一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的理解和應(yīng)用，強調(diào)學生對科學的嚴謹性和書寫的規(guī)范性，培養(yǎng)學生對所學知識的應(yīng)用意識和應(yīng)用能力，以及合作學習意識與數(shù)學語言的表述能力?！緦W案內(nèi)容】：

【目標1】不解方程，求下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？

（1）x2-3x+1=0;

（2）3x2-2x=2;

【目標2】已知方程X2-4X+M=0的一個根是-2，求方程的另一個根及M的值。

【目標3】已知X1，X2 是方程2X2-4X-1=0的兩個實數(shù)根，求

x1的值。

2?x22

四、查漏補缺 總結(jié)提高（共10分）（自主完成，集體分享）

【師生活動】：

教師鼓勵學生談所學所想所獲，集體分享學習成果，歸納課堂所學知識點，解決學習中仍然存在的問題和困惑。【設(shè)計意圖】：

本環(huán)節(jié)為本節(jié)課的總結(jié)提高過程。目的是幫助所有學生總結(jié)回顧、查漏補缺，形成知識體系，培養(yǎng)學生及時小結(jié)、善于歸納梳理的學習習慣，提高學生運用數(shù)學語言的能力和口頭表達能力。【學案內(nèi)容】：

請你談?wù)劚竟?jié)課的收獲或存在的問題。__________________

第五篇：復習教案 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

第十三課時 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

一、復習目標：掌握一元二次方程根的判別式和韋達定理，并會靈活運用它們解決問題.二、復習重點和難點：

（一）復習重點： 一元二次方程根的韋達定理.（二）復習難點：靈活運用韋達定理解決問題.三、復習過程：

（一）知識梳理：

1、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，如果有實數(shù)根（即??b?4ac?0），設(shè)兩實數(shù)根為x1，x2，則x1?x2??

2、常見的含兩根的對稱式：

（1）x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2（2）222bc，x1x2? aax?x211 ??1x1x2x1x2（3）(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2 ； x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2

x2x1x1?x2(x1?x2)2?2x1x2（4）； ???x1x2x1x2x1x2

3、利用根與系數(shù)的關(guān)系判定一元二次方程的兩根符號： 22c可判斷兩根符號之間的關(guān)系： acc 若x1x2??0，則x1，x2同號； 若x1x2??0，則x1，x2異號，即一正一負

aab 再由x1?x2??可判斷兩根大小的關(guān)系。

a由x1x2?

4、由x1，x2兩根可構(gòu)造的一元二次方程 以x1，x2為根的一個一元二次方程為x2?(x1?x2)x?x1x2?0；

5、一元二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系：

若二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸有兩交點，分別設(shè)為A（x1，0），B（x2，0），則x1、x2就是一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根，因此，求二次函數(shù)y=ax+bx+c

22的圖象與x軸有交點坐標，只要令y=0，解ax?bx?c?0(a?0)的根，就可得到二次函

2數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸有交點坐標的橫坐標。

強調(diào)：應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意： ①根的判別式b2?4ac?0 ②二次項系數(shù)a?0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系.（二）典例精析：

一、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根。

例

1、已知方程x?6x?m?2m?5?0的一個根為2，求另一個根及

分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把22

2的值。

代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個根及的值。

解：設(shè)方程的另一個根為x1，根據(jù)題意，利用韋達定理得：

?x1?2?6?x1?4?x1?4，解得：或? ??2m?3m??12x?m?2m?5???1∴方程

二、不解方程，判斷兩根的情況。

例

2、不解方程，試判斷方程x?3x?6?0兩根的符號；

分析：要判斷方程根的符號，可以根據(jù)根的定義，這樣的方法顯得很笨拙，而我們?nèi)绻酶c系數(shù)的關(guān)系就顯得非常巧妙。

解：由??3?4?(?6)?33?0，方程有兩個不相等的實數(shù)根。設(shè)這兩根為x1,x2，得x1?x2??6?0，易得方程兩根一正一負。

如果得出x1?x2?0，需考慮x1?x2的正負，從而判斷方程有兩個正根還是兩個負根。

三、求作新的方程；

例

3、作一個一元二次方程，使它的兩個根為一元二次方程x?3x?1?0的兩根的平方． 解：設(shè)方程x?3x?1?0的兩根為x1,x2，那么所求的方程的根為x1,x2，由根與系數(shù)關(guān)系可得：x1?x2?3,x1.x2??1，∴x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2?32?2?(?1)?11，22222的另一個根為4，的值為3或—1。

222 x1?x2?(x1?x2)2?(?1)2?1，∴所求作的方程為x?11x?1?0．

四、不解方程，求方程兩根所組成的某些代數(shù)式的值，這種應(yīng)用與根的判別結(jié)合在一起。例4（1）已知關(guān)于x的方程3x+6x-2=0的兩根為x1，x2，求

222211的值.?x1x2 分析：已知方程，求兩根組成代數(shù)式的值。這里主要說明解題格式，學生完成過程.（2）已知關(guān)于x的方程3x-mx-2=0的兩根為x1，x2，且2

2211??3，求 ①m的值；②求x1x2x1+x2的值.分析：第（1）題是已知方程，求兩根組成代數(shù)式的值，而第（2）題的第一問就反來了，也就是已知代數(shù)式的值求方程。第②問，再進一步，已知代數(shù)式的值，求另一個代數(shù)式的值.但是，無論是哪一個問題，所要用到的都是根與系數(shù)的關(guān)系.小結(jié)：1.求方程兩根所組成的代數(shù)式的值，關(guān)鍵在于把所求代數(shù)式變形為兩根的和與兩根的積的形式.例

5、（2000年四川省中考試題）若關(guān)于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有兩個實數(shù)根，又已知a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊，∠C=90°，且cosB=

23,b-a=3,5是否存在整數(shù)m,使上述一元二次方程兩個實數(shù)根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方？若存在，請求出滿足條件m的值；若不存在，說明理由.“存在性”問題）

分析：（１）提問：此題與哪些知識有關(guān)？（勾股道理、解直角三角形、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式）

（２）如何利用條件cosB=

3？ 5（３）“使上述一元二次方程兩個實數(shù)根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方”通過這句話，你能明白什么？你先必須求什么？

（４）然后按照解決“存在性”問題的過程去解題.（５）求出m后，要考慮它是否符合題意.通過此題，使學生明白解決這類問題，一般遵循“三步曲”，即假設(shè)存在——推理論證——得出結(jié)論（合理或矛盾兩種情況）.五、利用根與系數(shù)關(guān)系解決一元二次方程與二次函數(shù)的綜合題： 例

6、已拋物線y?(m?1)x2?(m?2)x?1（m為實數(shù)）。

（1）m為何值時，拋物線與x軸有兩個交點？

（2）如果拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于點C，且△ABC的面積為2，求該拋物線的解析式。

分析：拋物線與x軸有兩個交點，則對應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，將問題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根m應(yīng)滿足的條件。

?m?1?0略解：（1）由已知有?，解得m?0且m?1 2???m?0（2）由x?0得C（0，－1）

又∵AB??m? am?1∴S?ABC?∴m?11m?AB?OC???1?2 22m?144或m? 35122126∴y?x?x?1或y??x?x?1

3355