第一篇：奧數(shù)最大和最小的問題教案

最大和最小的問題

最短的時間內(nèi)完成作業(yè)，有更多時間發(fā)展自己的業(yè)余愛好

怎樣乘車路程最短，話費(fèi)時間最少

怎么樣做可以使原材料最省

大橋建設(shè)在什么位置，才能方便附近盡可能多數(shù)居民

......例1.幼兒園老師把100根小棒分給小朋友做數(shù)學(xué)游戲，每個小朋友分的小棒根數(shù)不同。那么最多能分給幾個小朋友？

100=10+20+30+40 100=10+11+12+13+14+15+25

分析：得掉小棒的小朋友盡量多

每個人分的根數(shù)不同

↓

丨

每個人得到的小棒盡量少

丨

丨

丨

每個人分得的根數(shù)分別是1，2，3，4，......算一算：1+2+3+4+5+...+？=100

試算：1+2+3+4+5+...+13=91

＜100

1+2+3+4+5+...+13+14=105

＞100

解：每人分得的小棒分別是1根，2跟，3根，4跟，......1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91（根）1 1 1 1 1 1 1 1

100-91=9（根）

100根分給13人，分別是1根，2根，...13根，余9根

這9根只能分給得小棒多的1人，2人...，最多9人

答：最多能分給13個小朋友。

例2.把自然數(shù)1，2，3，......，19依次排列，1234567891011......1819，劃去24個數(shù)字后得到一個多位數(shù)，這個數(shù)最大是多少？

11213

71819

789 9

99887×錯誤

78989

分析：（1）去掉24個數(shù)字之后，得到一個幾位數(shù)？

（2）要使得到的多位數(shù)最大，在高位上盡量留較大的數(shù)字，9，8，7，......解：（1）這一列數(shù)共有多少個數(shù)字？

｝

一位數(shù)：1-9，有9個數(shù)字

｝共有29個數(shù)字

二位數(shù)：10-19，有2×10=20個數(shù)字

｝

（2）劃去24個數(shù)字后，得到一個幾位數(shù)？

29-24=5（位）

（3）劃去24個數(shù)字，合理的在高位數(shù)上盡量留較大數(shù)字

******819 819

劃掉24個數(shù)字→97819

觀察下面兩組算式的結(jié)果怎樣變化，由此得出什么規(guī)律？

10=1+9

1×9=9

10=2+8

2×8=16

10=3+7

3×7=21

10=4+6

4×6=24

10=5+5

5×5=25

規(guī)律1：兩個數(shù)的和一定時，這兩個數(shù)越接近，它們的乘積越大：當(dāng)兩個數(shù)相等時，它們的乘積最大。

例3.周長為36米2的竹籬笆圍成一個長方形菜園，要使菜園的面積最大，它的長和寬應(yīng)該是多少？這時的最大面積是多少？

分析：

面積最大

周長36米

長×寬（最大）

長+寬=18

規(guī)律1：長=寬時

解：菜園的長+寬是：

36*2=18（米）

據(jù)規(guī)律1，當(dāng)長=寬時，長×寬的積最大

長-寬=18*2=9（米）

最大面積是：9×9=18（平方米）

答：菜園圍成邊長為9米的正方形，面積最大，最大的面積是81平方米。

觀察下面兩組算式的結(jié)果怎樣變化，由此得出什么規(guī)律？

16=1×16

1+16=17

16=2×8

2+8=10

16=4×4

4+4= 8

規(guī)律2：兩個數(shù)的積一定時，這兩個數(shù)越接近，它們的和越小：當(dāng)兩個數(shù)相等時，它們的和最小。

例4.用竹籬笆圍一個面積為25平方米的長方形菜園。這個長方形菜園的長、寬哥等于多少時，最省材料？

分析：最省材料→周長最小→長=寬（最?。?/p>

↑

面積25平方米→長×寬=25

規(guī)律2：長=寬時

解：因為長茶寬=25（平方米）

據(jù)規(guī)律2，當(dāng)長=寬時，長+寬的和最小

25=5×5，所以：長=寬=5（米）時，周長最小

答：長方形菜園的長、寬都等于5米時周長最小，最省材料。

練習(xí)：把14拆成兩個數(shù)字的和。再求出這兩個數(shù)字的乘積。如何拆可以使乘積最大？最大積是多少？

分析：把14拆成兩個數(shù)的和

兩個數(shù)的乘積最大

↓

兩個數(shù)的和是14

↓

↑

規(guī)律1：兩個數(shù)相等時

解：14=7+7

最大積：7×7=49

答：14拆成兩個7的和時，這兩個數(shù)字的乘積最大，是49。

例5.把14拆成幾個自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的乘積。如何拆可以使乘積最大？最大的乘積是多少？

14=7+7

14=4+5+5

分析：（1）拆分出的自然數(shù)個數(shù)應(yīng)盡可能多

（2）拆分出來的每個數(shù)盡量小

（3）拆分出的自然數(shù)中沒有1

（4）拆分出來的數(shù)字中3多2少，且數(shù)2最多兩個

14=2+2+2+2+2+2+2

3+3

3+3

2×2×2×2×2×2×2=128

3×3×3×3×3×3×3=144

3×3×3×3×2=162

解：14=3+3+3+3+2

最大積是3×3×3×3×2=162

答：把14拆成4個3和1個2的和時，這幾個數(shù)的乘積最大，是162。

規(guī)律3：把一個自然數(shù)拆成若干個自然數(shù)的和.如果要使這些數(shù)的乘積最大，那么拆出的數(shù)中3的個數(shù)盡量多，2的個數(shù)不多于兩個。

例6.比較12489×12356與12359×12486的大小

↑ +3 ↑

觀察：12489×12356 ○12359×12486

↓

↓

解：12489+12356=12359+12486 和一定

12489-12356=133

12486-12359=127

差較小

所以12489×12356 ＜ 1235912486

隨堂練習(xí)

例1.幼兒園老師把100根小棒分給小朋友做數(shù)學(xué)游戲，每個小朋友分的小棒根數(shù)不同。那么最多能分給幾個小朋友？

例2.把自然數(shù)1，2，3，......，19依次排列，1234567891011......1819，劃去24個數(shù)字后得到一個多位數(shù)，這個數(shù)最大是多少？

例3.周長為36米2的竹籬笆圍成一個長方形菜園，要使菜園的面積最大，它的長和寬應(yīng)該是多少？這時的最大面積是多少？

例4.用竹籬笆圍一個面積為25平方米的長方形菜園。這個長方形菜園的長、寬哥等于多少時，最省材料？

例5.把14拆成幾個自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的乘積。如何拆可以使乘積最大？最大的乘積是多少？

例6.比較12489×12356與12359×12486的大小

課后作業(yè)

1.從0，1，2，4，6，8，9這七個數(shù)字中，選出五個數(shù)字組成一個被5整除并且盡可能大的五位數(shù)，這個五位數(shù)是多少？

2.小明看一本90頁的童話故事，每天看的頁數(shù)不同，而且一天中最少看3次。那么小明看完這本書需要多少天？

3.把自然數(shù)1，2，3，......，39，40 依次排列：

1234567891011......3940.劃去65個數(shù)，得到的多位數(shù)最大是多少？

4.a，b是兩個自然數(shù)，a+b=16，那么a×b最大是多少？

5.a，b是兩個自然數(shù)，a×b=49，那么a+b最小是多少？

6.用40厘米的鐵絲圍成一個長方形（不計接頭長度）中，最大的一個面積是多少平方米？

7.教室一個窗戶的面積是225平方米，怎樣設(shè)計窗戶的形狀和尺寸最省材料？

8.把17分成幾個自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的積，要使得積盡可能地大，最大的積是多少？

9.把1，2，3，4，5，9，填入下面方框里，要使兩個三位數(shù)的積最大，怎樣填？

（）（）（）×（）（）（）

10.比較下面兩個積的大小。

A=987654321×123456789

B=687654321×423456789

第二篇：小學(xué)奧數(shù)最大與最小教師版

第七講：最大與最小

模塊

一、數(shù)論中的極端思想

【例 1】 1～8這八個數(shù)字各用一次，分別寫成兩個四位數(shù)，使這兩個數(shù)相乘的乘積最大。那么這兩個四位數(shù)各是多少？

【解析】 8531和7642。高位數(shù)字越大，乘積越大，所以它們的千位分別是8，7，百位分別是6，5。兩數(shù)和一定時，這兩數(shù)越接近乘積越大，所以一個數(shù)的前兩位是85，另一個數(shù)的前兩位是76。同理可確定十位和個位數(shù).【鞏固】 兩個自然數(shù)的和是15，要使兩個整數(shù)的乘積最大，這兩個整數(shù)各是多少？ 【解析】 將兩個自然數(shù)的和為15的所有情況都列出來，考慮到加法與乘法都符合交換律，有下面7種情況：

15=1+14，1×14=14； 15=2+13，2×13=26； 15=3+12，3×12=36； 15=4+11，4×11=44； 15=5+10，5×10=50； 15=6+9，6×9=54； 15=7+8，7×8=56。

由此可知把15分成7與8之和，這兩數(shù)的乘積最大。

結(jié)論：如果兩個整數(shù)的和一定，那么這兩個整數(shù)的差越小，他們的乘積越大。特別地，當(dāng)這兩個數(shù)相等時，他們的乘積最大.【鞏固】 兩個自然數(shù)的積是48，這兩個自然數(shù)是什么值時，它們的和最小？ 【解析】 48的約數(shù)從小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。

所以，兩個自然數(shù)的乘積是48，共有以下5種情況：

48=1×48，1+48=49；

48=2×24，2+24=26；

48=3×16，3+16=19；

48=4×12，4+12=16；

48=6×8，6+8=14。

兩個因數(shù)之和最小的是6+8=14。

結(jié)論：兩個自然數(shù)的乘積一定時，兩個自然數(shù)的差越小，這兩個自然數(shù)的和也越小。

【例 2】 有一類自然數(shù)，從第三個數(shù)字開始，每個數(shù)字都恰好是它前面兩個數(shù)字之和，直至不能再寫為止，如257，1459等等，這類數(shù)中最大的自然數(shù)是多少？

【解析】 要想使自然數(shù)盡量大，數(shù)位就要盡量多，所以數(shù)位高的數(shù)值應(yīng)盡量小，故10112358滿足條件．如果最前面的兩個數(shù)字越大，則按規(guī)則構(gòu)造的數(shù)的位數(shù)較少，所以最前面兩個數(shù)字盡可能地小，取1與0．

【例 3】 有一類自然數(shù)，它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和為2003，那么這類自然數(shù)中最小的是幾？ 【解析】 一個自然數(shù)的值要最小，首先要求它的數(shù)位最小，其次要求高位的數(shù)值盡可能地小.由于各數(shù)位上的和固定為2003，要想數(shù)位最少，各位數(shù)上的和就要盡可能多地取9，而2003÷9=222??5，所以滿足條件的最小自然數(shù)為：599...9?

222個9

【例 4】 將前100個自然數(shù)依次無間隔地寫成一個192位數(shù)：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12??9899100從中劃去100個數(shù)字，那么剩下的92位數(shù)最大是多少？最小是多少？

【解析】 要得到最大的數(shù)，左邊應(yīng)盡量多地保留9。因為1～59中有109個數(shù)碼，其中有6個9，要想左邊保留6個9，必須劃掉1～59中的109-6＝103（個）數(shù)碼，剩下的數(shù)碼只有192－103=89（個），不合題意，所以左邊只能保留5個9，即保留1～49中的5個9，劃掉1～49中其余的84個數(shù)碼。然后，在后面再劃掉16個數(shù)碼，盡量保留大數(shù)（見下圖）：

所求最大數(shù)是9999978596061?99100。

同理，要得到最小的數(shù)，左邊第一個數(shù)是1，之后應(yīng)盡量保留0。2～50中有90個數(shù)碼，其中有5個0，劃掉其余90-5=85（個）數(shù)碼，然后在后面再劃掉15個數(shù)碼，盡量保留小數(shù)（見下圖）：所求最小數(shù)是***?99100。

【例 5】 把17分成幾個自然數(shù)的和，怎樣分才能使它們的乘積最大？ 【解析】 假設(shè)分成的自然數(shù)中有1，a是分成的另一個自然數(shù)，因為1×a＜1+a，也就是說，將1+a作為分成的一個自然數(shù)要比分成1和a兩個自然數(shù)好，所以分成的自然數(shù)中不應(yīng)該有1。如果分成的自然數(shù)中有大于4的數(shù)，那么將這個數(shù)分成兩個最接近的整數(shù)，這兩個數(shù)的乘積大于原來的自然數(shù)。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是說，只要有大于4的數(shù)，這個數(shù)就可以再分，所以分成的自然數(shù)中不應(yīng)該有大于4的數(shù)。如果分成的自然數(shù)中有4，因為4=2+2=2×2，所以可以將4分成兩個2。由上面的分析得到，分成的自然數(shù)中只有2和3兩種。因為2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，說明雖然三個2與兩個3的和都是6，但兩個3的乘積大于三個2的乘積，所以分成的自然數(shù)中最多有兩個2，其余都是3。由此得到，將17分為五個3與一個2時乘積最大，為3×3×3×3×3×2=486。結(jié)論：整數(shù)分拆的原則：不拆1，少拆2，多拆3。

【鞏固】 把14拆成幾個自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的乘積，如何拆可以使乘積最大？ 【解析】 14拆成3、3、3、3、2時，積為3×3×3×3×2=162最大.【例 6】 某國家的貨幣中有1元、3元、5元、7元、9元五種，為了能支付1元、2元??100元的錢數(shù)（整數(shù)元），那么至少需要準(zhǔn)備貨幣多少張？

【解析】 為了使貨幣越少越好，那么9元的貨幣應(yīng)該盡量多才行。當(dāng)有10張9元時，容易看出1、1、3、5這四張加上后就可以滿足條件。當(dāng)9元的貨幣超過11張時，找不到比14張更少的方案。當(dāng)9元的貨幣少于10張時，至少有19元需要由5元以下的貨幣構(gòu)成，且1元的貨幣至少2張，這樣也找不到比14張更少的方案。綜上分析可以知道，最少需要10張9元的、2張1元的、1張3元的、1張5元的，共14張貨幣。

【例 7】 在五位數(shù) 22576的某一位數(shù)碼后面再插入一個該數(shù)碼，能得到的六位數(shù)中最大的是幾？ 【解析】 225776

【鞏固】 在六位數(shù)865473的某一位數(shù)碼后面再插入一個該數(shù)碼，能得到的七位數(shù)中最小的是幾？ 【解析】 8654473.【例 8】 設(shè)自然數(shù)n有下列性質(zhì)：從1、2??n中任取50個不同的數(shù)，其中必有兩數(shù)之差等于7，這樣的n最大不能超過多少？

【解析】 當(dāng)n=98時，將1、2??98按每組中兩數(shù)的差為7的規(guī)則分組：{1，8}、{

2、9}、??{7，14}、{15，22}??{90，97}、{91、98}。一共有49組，所以當(dāng)任取50個數(shù)時，必有兩個數(shù)在同一組，他們的差等于7。當(dāng)n=99時，取上面每組中的前一個數(shù)，即1、2??

7、15??

21、29??

35、43??

49、57??63、71??77、85??91和99一共是50個數(shù)，而它們中任2個的差不為7。因此n最大不能超過98。

【例 9】 在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1這10個數(shù)的每相鄰兩個數(shù)之間都添上一個加號或一個減號，組成一個算式。要求：（1）算式的結(jié)果等于37；（2）這個算式中的所有減數(shù)（前面添了減號的數(shù)）的乘積盡可能地大。那么，這些減數(shù)的最大乘積是多少？

【解析】 把10個數(shù)都添上加號，它們的和是55，如果把其中一個數(shù)的前面的加號換成減號，使這個數(shù)成為減數(shù)，那么和數(shù)將要減少這個數(shù)的2倍。因為55-37＝18，所以我們變成減數(shù)的這些數(shù)之和是

18÷2=9。對于大于2的數(shù)來說，兩數(shù)之和總是比兩數(shù)乘積小，為了使這些減數(shù)的乘積盡可能大，減數(shù)越多越好（不包括1）。9最多可拆成三數(shù)之和2＋3＋4=9，因此這些減數(shù)的最大乘積是2×3×4＝24，添上加、減號的算式是：10 ＋ 9＋ 8＋ 7 ＋ 6＋ 5-4-3-2 ＋1＝37。

模塊

二、智巧趣題中的極端思想

【例 10】 99個蘋果要分給一群小朋友，每一個小朋友所分得的蘋果數(shù)都要不一樣，且每位小朋友至少要有一個蘋果．問：這群小朋友最多有幾位?

【解析】 1+2+3+?+13=91＜99，1+2+3+?+14=105＞99，說明若13位各分得1，2，3，?，13個蘋果，未分完99個，若14位各分得1，2，3，?，14個蘋果，則超出99個．因91+8=99，在13位上述分法中若把剩下的8個蘋果分別加到后8位人上，就可得合題意的一個分法：13人依次分1，2，3，4，5，7，8，9，lO，11，12，13，14個．所以最多有13位小朋友．(注：13人的分法不唯一)

【例 11】（第四屆希望杯1試）一位工人要將一批貨物運(yùn)上山，假定運(yùn)了5次，每次的搬運(yùn)量相同，運(yùn)到的貨物比這批貨物的33多一些，比少一些。按這樣的運(yùn)法，他運(yùn)完這批貨物最少共要運(yùn)

54次，最多共要運(yùn)

次。

【解析】 這道題目用到了極值判斷法，體會極值判斷法：

33331，則每一次最少運(yùn)÷5=，所以最多運(yùn)1÷=8≈9次； 552525333332假定5次運(yùn)的恰好等于，則每一次最多運(yùn)÷5=，所以最少運(yùn)1÷=6≈7次.4420203假定5次運(yùn)的恰好等于

【例 12】 某學(xué)校，星期一有15名學(xué)生遲到，星期二有12名學(xué)生遲到，星期三有9名學(xué)生遲到，如果有22名學(xué)生在這三天中至少遲到過一次，則這三天都遲到的學(xué)生最多有多少人？

【解析】 三天都遲到的要盡量多，則將遲到的22人次分為僅遲到一次和三天都遲到的．可求出三天都遲到的學(xué)生最多有(15+12+9-22)÷2=7(人)．

【鞏固】 某次數(shù)學(xué)、英語測試，所有參加測試者的得分都是自然數(shù)，最高得分198，最低得分169，沒有得193分、185分和177分，并且至少有6人得同一分?jǐn)?shù)，參加測試的至少多少人？

【解析】 得分?jǐn)?shù)共有198-169+1-3=27(種)，當(dāng)只有6個人得分相同時，參加測試的人最少，共有27+6-1=32(人)．

【例 13】 149位議員中選舉一位議長，每人可投一票．候選人是A，B，C三人．開票中途，A已得45票，B已得20票，C已得35票．如果票數(shù)最多者當(dāng)選，那么A至少再有多少票才能一定當(dāng)選?

【解析】 45+20+35=100，還有149-100=49(票)．45-35=10，如果49票中有10票都給C，49-10=39，那么A至少還要有20票才能當(dāng)選．

【例 14】 如圖，司機(jī)開車按順序到五個車站接學(xué)生到學(xué)校，每個站都有學(xué)生上車．第一站上了一批學(xué)生，以后每站上車的人數(shù)都是前一站上車人數(shù)的一半．車到學(xué)校時，車上最少有多少學(xué)生?

【解析】 因為每個站都有學(xué)生上車，所以第五站至少有1個學(xué)生上車．假如第五站只有一個學(xué)生上車，那么第四、三、二、一站上車的人數(shù)分別是2，4，8，16個．因此五個站上車的人數(shù)共有1+2+4+8+16=31(人)，很明顯，如果第五站有不止一個學(xué)生上車，那么上車的總?cè)藬?shù)一定多于31個．所以，最少有31個學(xué)生．

【例 15】 某公共汽車從起點(diǎn)開往終點(diǎn)站，中途共有15個停車站。如果這輛公共汽車從起點(diǎn)站開出，除終點(diǎn)站外，每一站上車的乘客中，正好各有一位乘客從這一站到以后的每一站，那么為了使每位乘客都有座位，這輛公共汽車至少應(yīng)有多少個座位？

【解析】（法1）：只需求車上最多有多少人。依題意列表如下：

由上表可見，車上最多有56人，這就是說至少應(yīng)有56個座位。本題問句出現(xiàn)了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取決于什么時候車上人數(shù)最多，要保證乘客中每人都有座位，應(yīng)準(zhǔn)備的座位至少應(yīng)當(dāng)?shù)扔诔丝妥疃鄷r的人數(shù)。所以，我們不能只看表面現(xiàn)象，誤認(rèn)為有了“至少”就是求最小數(shù)，而應(yīng)該把題意分析清楚后再作判斷。（法2）：因為車從某一站開出時，以前各站都有同樣多的人數(shù)到以后各站（每站1人），這一人數(shù)也和本站上車的人數(shù)一樣多，因此：車開出時人數(shù)=（以前的站數(shù)+1）×以后站數(shù)=站號×（15-站號）。因此只要比較下列數(shù)的大小：1×14，2×13，3×12，4×11，5×10，6×9，7×8，8×7，9×6，10×5，11×4，12×3，13×2，14×1.由這些數(shù)，得知7×8和8×7是最大值，也就是車上乘客最多時的人數(shù)是56人，所以它應(yīng)有56個座位.此題的兩種解法都是采用的枚舉法，枚舉法是求解離散最值問題的基本方法。這種方法的大意是：將問題所涉及的對象一一列出，逐一比較從中找出最值；或者將與問題相關(guān)的各種情況逐一考察，最后歸納出需要的結(jié)論。

【例 16】 某班學(xué)生50人，年齡均為整數(shù)，年齡的平均值為12.2，已知班上任意兩人的年齡差都不超過3．那么這班學(xué)生中年齡最大的能是多少歲?如果有一個學(xué)生的年齡達(dá)到這個值，那么這個班里年齡既不是最大也不是最小的學(xué)生最多有多少人?

【解析】 因為全班50人的年齡總和比平均12歲的年齡總和多(12.2-12)×50=10(歲)，所以年齡最大的能是12+3=15(歲)．如果有人年齡達(dá)到15歲，那么剩下的49人的年齡和比平均12歲的年齡和多10—3=7(歲)，所以最多有7人的年齡大于12歲，小于15歲．

【例 17】 若干名家長（爸爸或媽媽，他們都不是老師）和老師陪同一些小學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)競賽，已知家長和老師共有22人，家長比老師多，媽媽比爸爸多，女老師比媽媽多2人，至少有1名男老師，那么在這22人中，爸爸有多少人？

【解析】 家長比老師多，所以老師少于22÷2=11人，即不超過10人；相應(yīng)的，家長就不少于12人。在至少12個家長中，媽媽比爸爸多，所以媽媽要多于12÷2=6人，即不少于7人。因為女老師比媽媽多2人，所以女老師不少于9人。但老師最多就10個，并且還至少有1個男老師，所以老師必定是9個女老師和1個男老師，共10個。那么，在12個家長中，就有7個是媽媽。所以，爸爸有12-7=5人。

【例 18】 現(xiàn)有三堆蘋果，其中第一堆蘋果個數(shù)比第二堆多，第二堆蘋果個數(shù)比第三堆多。如果從每堆蘋果中各取出一個，那么在剩下的蘋果中，第一堆個數(shù)是第二堆的三倍。如果從每堆蘋果中各取出同樣多個，使得第一堆還剩34個，則第二堆所剩下的蘋果數(shù)是第三堆的2倍。問原來三堆蘋果數(shù)之和的最大值是多少？

【解析】 先每堆拿出一個，這樣第一堆就是第二堆的3倍：“如果從每堆蘋果中各取出同樣多個，使得第一堆還剩34個，則第二堆所剩下的蘋果數(shù)是第三堆的2倍”，第三堆最少剩一個，那么第一堆的每一份就是：（34-2）÷2=16，即三堆分別有：16×3+1=49，16+1=17和16個，總數(shù)：49+17+16=82個；如果第三堆剩2個，那么第一堆的每一份為：（34-4）÷2=15，各堆分別為：15×3+1=46，15+1=16和14個，總數(shù)減少.顯然第三堆留下的越多，第一堆的每一份就越少，總數(shù)越少.所以原來三堆蘋果之和的最大值是82.【例 19】 如圖，小明要從A走到B，每段路上的數(shù)字是小王走這段路所需的分鐘數(shù)．請問小明最快需幾分鐘?

【解析】 從A到B要想最快，肯定不能走回頭路，路線分為過C點(diǎn)和不

過C點(diǎn)兩類．①不過C點(diǎn)有兩條路：第一條是15+7+9+18=49(分鐘)；第二條是14+6+17+12=49(分鐘)；兩條路所用時間相同．②經(jīng)過C點(diǎn)的路線分為兩段，A→C、C→B．同上面一樣：A→C：①14+13=27(分鐘)；②15+11=26(分鐘)．C→B：①10+12=22(分鐘)；②5+18=23(分鐘)．在分析已知條件時。很可能會出現(xiàn)不同情況和不同結(jié)果，而且不好推理說明誰是極端情形，那就應(yīng)該列舉比較．所以從A→C→B最少用48分鐘，比前面不過C的少用1分鐘．

【例 20】 階梯教室座位有10排，每排有16個座位，當(dāng)有150個人就座，某些排坐著的人數(shù)就一樣多．我們希望人數(shù)一樣的排數(shù)盡可能少，這樣的排數(shù)至少有多少排？

【解析】 至少有4排．如果10排人數(shù)各不相同，那么最多坐：16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人)；如果最多有2排人數(shù)一樣，那么最多坐：(16+15+14+13+12)×2=140(人)；如果最多有3排人數(shù)一樣，那么最多坐：(16+15+14)×3+13=148(人)；如果最多有4排人數(shù)一樣，那么至多坐：(16+15)×4+14×2=152(人)．148<150<152，所以，至少有4排．

練習(xí)1.如果一個自然數(shù)N的各個位上的數(shù)字和是1996，那么這個自然數(shù)最小是幾？ 【解析】 1996÷9=221??7，N= 799...9?.221個9課后練習(xí)

練習(xí)2.有四個數(shù)，其中每三個數(shù)的和分別是45，46，49，52，那么這四個數(shù)中最小的一個數(shù)是多少？

【解析】 把4個數(shù)全加起來就是每個數(shù)都加了3遍，所以，這四個數(shù)的和等于（45+46+49+52）÷3=64。用總數(shù)減去最大的三數(shù)之和，就是這四個數(shù)中的最小數(shù)，即64-52=12。

3．小王現(xiàn)有一個緊急通知需要傳達(dá)給小區(qū)內(nèi)的975個人．若用電話聯(lián)系，每通知1個人需1分鐘，而見面可一次通知60個人，但需10分鐘，問：完成傳達(dá)任務(wù)最少需多少分鐘?(每人均有電話)【解析】 應(yīng)該充分發(fā)揮每個人的作用，即凡是知道通知的人都可以通知尚不知道的人．因此，可以先花10分鐘安排一次見面通知，然后凡被通知的人再不斷打電話，到第14分鐘時共可通知：(1+60)×2×2×2×2—1=975(人)，因此最少用14分鐘．

練習(xí)3.當(dāng)A+B+C＝10時(A、B、C是非零自然數(shù))。A×B×C的最大值是＿＿＿＿，最小值是＿＿＿＿?！窘馕觥?當(dāng)為3+3+4時有A×B×C的最大值，即為3×3×4＝36；

當(dāng)為1+1+8時有A×B×C的最小值，即為1×1×8＝8。

2練習(xí)4.要砌一個面積為72米的長方形豬圈，長方形的邊長以米為單位都是自然數(shù)，這個豬圈的圍墻最少長多少米？

【解析】 將72分解成兩個自然數(shù)的乘積，這兩個自然數(shù)的差最小的是9-8=1。，豬圈圍墻長9米、寬8米時，圍墻總長最少，為（8+9）×2=34（米）.練習(xí)5.公園里有一排彩旗，按3面黃旗、2面紅旗、4面粉旗的順序排列，小紅看到這排旗的盡頭是一面粉旗．已知這排旗不超過200面，這排旗子最多有多少面?

【解析】 旗子排列是9面一循環(huán)，關(guān)鍵在于最后幾面旗子，如果最后四面都能是粉旗那就好了．200÷9=22?2，所以最多可以出現(xiàn)200-2=198面旗子，共22個循環(huán)．

練習(xí)6.有四袋糖塊，其中任意三袋的總和都超過60塊，那么這四袋糖塊的總和至少有多少塊？

【解析】 最多的一袋糖數(shù)不小于另三袋糖的平均數(shù)，故不小于61÷3=20，即它不小于21．從而四袋糖總和不小于21十61=82(塊)．比如四袋糖數(shù)量分別為21，21，20，20即可．

13月測備選

測試

1、比較下面兩個乘積的大小：a=57128463×87596512，b=57128460×87596515.【解析】 對于a，b兩個積，它們都是8位數(shù)乘以8位數(shù)，盡管兩組對應(yīng)因數(shù)很相似，但并不完全相同。直接計算出這兩個8位數(shù)的乘積是很繁的。仔細(xì)觀察兩組對應(yīng)因數(shù)的大小發(fā)現(xiàn)，因為57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它們的兩因數(shù)之和相等，即57128463+87596512=57128460+87596515。因為a的兩個因數(shù)之差小于b的兩個因數(shù)之差，根據(jù)上題結(jié)論，可得a＞b

測試

2、將前100個自然數(shù)依次無間隔地寫成一個192位數(shù)：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12??9899100從中劃去170個數(shù)字，剩下的數(shù)字形成一個22位數(shù)，這個22位數(shù)最大是多少？最小是多少？ 【解析】 在前100個自然數(shù)中，共有20個9，再保留后面的“10”，即得到最大數(shù)：99999?99100（20個9）；最小數(shù)的第一位是“1”，再保留10～90中的9個“0”，再在91～100中留下12個盡量小的數(shù)，即得最小數(shù)：***6789100.測試

3、（第一屆希望杯1試）一艘輪船往返于A、B碼頭之間，它在靜水中船速不變，當(dāng)河水流速增加時，該船往返一次所有時間比河水流速增加前所用時間_______(填“多”或“少”)【解析】 極限判斷，當(dāng)水速為10，船速是20時，我們可以往來A，B兩地，當(dāng)河水速度增加時，比如增加到20，這樣逆水時，船速=水速，永遠(yuǎn)到不了B地，所以時間變多了。

測試4冬季運(yùn)動會共有58面金牌，至今A隊已得lO面，B隊已得11面，C隊已得13面．如果A隊要想金牌數(shù)居第一位，A隊至少還要得多少面金牌? 【解析】 10+ll+13=34．還有58-34=24(面)可爭奪．A隊要再得4面，才超過C隊．在余下的獎牌中不能少于一半，即再得4+(24-4)÷2=14(面)，才能確保金牌數(shù)居第一位．

測試

5、某班有50名學(xué)生，參加語文競賽的有28人，參加數(shù)學(xué)競賽的有23人，參加英語競賽的有20人，每人最多參加兩科，那么參加兩科的最多有多少人？ 【解析】 因為參加競賽的有28+23+20=71(人)．讓這71人盡可能多地重復(fù)，71÷2=35?1，所以至多有35人參加兩科．

測試

6、一個布袋中有紅、黃、綠三種顏色的小球各10個，這些小球的大小均相同，紅色小球上標(biāo)有數(shù)字“4”，黃色小球上標(biāo)有數(shù)字“5”，綠色小球上標(biāo)有數(shù)字“6”。小明從袋中摸出8個球，它們的數(shù)字和是39，其中最多可能有多少個球是紅色的？ 【解析】 假設(shè)摸出的8個球全是紅球，則數(shù)字之和為（4×8=）32，與實(shí)際的和39相差7，這是因為將摸出的黃球、綠球都當(dāng)成是紅球的緣故。用一個綠球換一個紅球，數(shù)字和可增加（6－4=）2，用一個黃球換一個紅球，數(shù)字和可增加（5-4=）1。為了使紅球盡可能地多，應(yīng)該多用綠球換紅球，現(xiàn)在7÷2=3……1，因此可用3個綠球換紅球，再用一個黃球換紅球，這樣8個球的數(shù)字之和正好等于39。所以要使8個球的數(shù)字之和為39，其中最多可能有（8-3-1=）4個是紅球。

測試

7、小明有一只最多能裝10千克物品的大提兜．現(xiàn)有白菜5千克，豬肉2千克，魚3．5千克，一瓶醬油連瓶重1.7千克，白糖l千克，蠶豆5.1千克．請你想想，把哪幾樣?xùn)|西放進(jìn)大提兜內(nèi)，才能充分利用提兜，使它所提東西的重量最重? 【解析】 大提兜能裝的重量限制在10千克之內(nèi)．把哪幾樣?xùn)|西的重量加在一起，使和不超過10千克，但最接近lO千克我們不妨列舉．在列舉前先分析數(shù)據(jù)：白菜和蠶豆不能同時放(共10.1千克)，但二者應(yīng)取其一，否則才裝2+3.5+1.7+1=8.2千克．列舉如下： 白菜+豬肉+醬油+白糖=9.7(千克)； 白菜+魚+白糖=9.5(千克)；

蠶豆+豬肉+醬油+白糖=9.8(千克)； 蠶豆+魚+白糖=9.6(千克)．

顯然，把5.1千克蠶豆，1.7千克的醬油，2千克的豬肉和1千克重的白糖放人大提兜內(nèi)最重．

第三篇：奧數(shù)植樹問題教案（精選）

《植樹問題》教案一

教學(xué)目標(biāo)：

1．經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象出植樹問題模型的過程，掌握種樹棵樹與間隔數(shù)之間的關(guān)系。

2．會解決在不封閉線路上植樹（指線路首尾不相連）問題，培養(yǎng)運(yùn)用植樹問題解決實(shí)際問題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：

理解種樹棵樹與間隔數(shù)之間的關(guān)系，會應(yīng)用植樹問題的模型解決一些相關(guān)的實(shí)際問題。教學(xué)難點(diǎn)：

應(yīng)用植樹問題靈活解決一些相關(guān)的實(shí)際問題。

一、例題1：一根木頭鋸成4段要付鋸費(fèi)1.2元，如果要鋸成12段，要付鋸費(fèi)多少元？

二、例題分析：把一根木頭平均鋸成4段，需據(jù)4－1=3次，屬于兩端都沒有點(diǎn)。從而可求出鋸1次的費(fèi)用1.2÷3=0.4元?，F(xiàn)要鋸成12段，也就是要鋸12-1=11次，這樣就可以求出費(fèi)用。解：1.2×（4-1）×（12-1）=0.4×11 =4.4元

三、同類練習(xí)

1、這條公路全長1000米，每隔5米種一棵樹（兩端要種）。一共需要多少棵樹苗？

解：1000÷5=200（棵）200 +1=201（棵）（兩端要種：棵樹=段數(shù)+1）

2、在一條長2000米的路的一側(cè)種樹，每隔10米種一棵（兩端不種）。一共需要多少棵樹苗？（兩端不種：棵樹=段數(shù)—1）

3、學(xué)校有一條長60米的走道，計劃在道路旁栽樹。每隔3米栽一棵。如果只有一端栽樹，那么共需多少棵樹苗？（一段種樹：棵樹=段數(shù)）

4、運(yùn)動會上，在筆直的跑道的一側(cè)插彩旗，每隔10米插一面（兩端要插）。這條跑道長100米，一共要插多少面彩旗？（學(xué)生獨(dú)立完成。）5.一根木頭長8米，每2米鋸一段。一共要鋸幾次？（學(xué)生獨(dú)立完成。）

6、在一條路的一側(cè)種樹，每隔6米種一棵，一共種了41棵樹。從第1棵樹到最后一棵樹的距離是多少米？

四、變式練習(xí)：

1、在一條長600米的公路兩旁各栽一行樹，起點(diǎn)和終點(diǎn)都栽，一共栽302棵，每相鄰兩棵之間的距離都相等，相鄰兩棵之間的距離是多少？

2、一條路每隔5米有一根電線桿，連兩端的電線桿在內(nèi)共20根，算一算公路有多長？

3、把30米長的一條繩子分成3段，后一段總比前一段多3米，秋各段長度。

4、小英和小明同住在一幢大樓里，小英家住在6層，每天回家要走80個臺階，小明回家要走32個臺階，小明家住在幾層？

5、一座橋長116米，在橋的兩側(cè)欄桿上，分別安裝了16塊花紋

圖案，圖案的橫長為2米，兩頭的圖案離橋端都是12米，且每相鄰兩塊圖案間的間隔都相等，相鄰兩塊圖案之間應(yīng)間隔多少米？ 《植樹問題》教案二 教學(xué)目標(biāo)：

1．經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象出植樹問題模型的過程，掌握種樹棵樹與間隔數(shù)之間的關(guān)系。

2．會解決在封閉線路上植樹（指線路首尾相連）問題，培養(yǎng)運(yùn)用植樹問題解決實(shí)際問題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：

理解種樹棵樹與間隔數(shù)之間的關(guān)系，會應(yīng)用植樹問題的模型解決一些相關(guān)的實(shí)際問題。教學(xué)難點(diǎn)：

應(yīng)用植樹問題靈活解決一些相關(guān)的實(shí)際問題。

一、例題

2、有一個長方形的操場，長45米，寬30米，如果沿著它的周圍每隔3米栽一棵樹，一共要栽多少棵樹？

二、例題分析：這是在一個封閉的長方形周長上植樹。首先要求出長方形的周長（45+30）×2=150米，在平均用每段3米，求出種多少棵樹。解：（45+30）×2÷3 =75×2÷3 50棵

三、同類習(xí)題：

1、一個圓形的跑道400米，如果每隔10米豎一塊警示牌，共需要多少塊警示牌？

2、一個湖泊的周長是1800米，沿湖泊周圍每隔8米栽一棵柳樹，每兩棵柳樹中間栽一個桃樹，湖泊周圍栽了多少棵柳樹和桃樹？

3、一個圓形花圃周圍長40米,沿周圍每隔4米插一面紅旗,每兩面紅旗的中間插一面黃旗,花圃周圍各插了多少面紅旗和黃旗?

4、一個圓形水池周圍每隔2米栽一棵柳樹，共栽了40棵，水池的周長是多少？

四、變式練習(xí)：

1、一個圓形噴水池，周長62.8米，在距池岸邊均為3米的池內(nèi)圓周上安裝28根噴水管，每相鄰兩個噴水管的距離是多少米？

2、學(xué)校圖書館前擺了一個方陣花壇，這個花壇的最外層每邊各擺放12盆花，最外層共擺了多少盆花？這個花壇一共要多少盆花？

3、張大伯在承包的正方形池塘四周種上樹，池塘邊長為60米，每隔5米種一課，四個角上各種一棵，張大伯買了50棵樹苗夠嗎？

第四篇：小學(xué)奧數(shù)工程問題教案.

小學(xué)奧數(shù)工程問題教案

一、本講學(xué)習(xí)目標(biāo)

聯(lián)系生活實(shí)際，弄清楚工作量、時間、效率之間的關(guān)系，提高解決行程問題的能力。

二、重點(diǎn)難點(diǎn)考點(diǎn)分析

工程問題的實(shí)質(zhì)就是工作量、工作時間和工作效率之間的關(guān)系問題。工程問題的解題思路和行程問題相似，需要找出三個基本量之間的關(guān)系，通過三個基本量之間的換算找出解題方法。工程問題當(dāng)中，分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)與運(yùn)算較為常見，因此，解決工程問題首先要學(xué)好分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算。

三、知識框架

解決工程問題首先弄清行程問題中這三個量的關(guān)系： 工作量=時間×效率(a=t×e)時間=工作量÷效率(t=a÷e)效率=工作量÷時間(e=a÷t)

四、概念解析

工作量：工程問題中的工作量是工程問題的總體量，在未知情況下，可假設(shè)工作量為1 ； 時間：工程問題中的時間是工程問題的因子量；

效率：和時間一樣，效率也是工程問題的因子量，其地位和形式與時間類似。

五、例題講解

甲、乙兩個工程隊共同完成一項工程需18天，如果甲隊干3天、乙隊干4天則完成工程的1/5。問：甲、乙兩隊獨(dú)立完成該工程各需多少天？

打印一份稿件，甲單獨(dú)打需要50分完成，乙單獨(dú)打需30分完成。現(xiàn)在甲單獨(dú)打若干份后，乙接著打完，共42分。問：甲打了稿件的幾分之幾？

有甲、乙兩根水管，分別同時給兩個大小相同的水池A和B注水，在相同的時間內(nèi)甲、乙兩管注水量之比是7:5。經(jīng)過2時，A、B兩池中已注入水之和恰好是一池水。此后，甲管的注水速度提高25%，乙管的注水速度降低30%。當(dāng)甲管注滿A池時，乙管還需多長時間注滿B池？

一項工程,甲,乙兩隊合作30天完成.如果甲隊單獨(dú)做24天后,乙隊再加入合作,兩隊合作12天后,甲隊因事離去,由乙隊繼續(xù)做了15天才完成.這項工程如果由甲隊單獨(dú)完成,需要多少天

李師傅加工540個零件。他前一半時間每分生產(chǎn)8個，后一半時間每分生產(chǎn)12個，正好完成任務(wù)。當(dāng)他完成任務(wù)的45%時，恰好是上午9點(diǎn)。張師傅開始工作的時間是幾點(diǎn)幾分幾秒？

師徒三人合作承包一項工程，8天能夠全部完成。已知師傅單獨(dú)做所需的天數(shù)與兩個徒弟合作所需的天數(shù)相同。師傅與徒弟甲所需的天數(shù)的4倍與徒弟乙單獨(dú)完成這項工程所需的天數(shù)相同。問：徒弟乙單獨(dú)完成這項工程需多少天？

一項工程,甲,隊獨(dú)做10天可以完成,乙隊獨(dú)做30天可以完成.現(xiàn)在兩隊合作期間甲隊休息了2天,乙隊休息了8天(兩隊不在同一天休息).從開始到完工共用了多少天

某工程如果由第一、二、三小隊合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小隊合干需要7天才13

能完成；如果由第二、四、五合干需要8天完成；如果由第一、三、四小隊合干需要42天。那么這五個小隊一起合干需要多少天才能完成這項工程？

六、課后練習(xí)

完成一項工作，需要甲干5天、乙干6天，或者甲干7天、乙干2天。問：甲、乙單獨(dú)干這件工作各需多少天？

一件工作，甲、乙合干需要6天完成，已知甲單獨(dú)完成該工作的1/2所需的時間與乙單獨(dú)完成該工作1/3的時間相等。問：甲單獨(dú)完成該工作需要多長時間？

一項工程,如甲隊獨(dú)做,可6天完成.甲3天的工作量,乙要4天完成.兩隊合做了2天后,由乙隊單獨(dú)做,乙隊還需做多少天才能完成

甲、乙、丙三人合修一圍墻。甲、乙合修5天修好圍墻的1/3，乙、丙合修2天修好圍墻的余下1/4，剩下的圍墻甲、丙又合修5天才完成。問：甲、乙、丙單獨(dú)修好圍墻分別需要幾天？

有一批工人完成某項工程，如果能增加八人，則10天就能完成；如果能增加3人，就要20天完成?，F(xiàn)在只能增加2個人，那么完成這項工程需要多少天？

八 勵志或?qū)W科小故事——?dú)W幾里得

歐幾里得出生于雅典，接受了希臘古典數(shù)學(xué)，30歲就成了有名的學(xué)者。歐幾里得善于用簡單的方法解決復(fù)雜的問題。他在人的身影與高正好相等的時刻，測量了金字塔影的長度，解決了當(dāng)時無人能解的金字塔高度的大難題。他說：“此時塔影的長度就是金字塔的高度”。盡管歐幾里得簡化了他的幾何學(xué)，國王還是不理解，希望找到一條學(xué)習(xí)的捷徑。歐幾里得說：“在幾何學(xué)里，大家只能走一條路，沒有專為國王鋪設(shè)的達(dá)到”。這句話成為千古傳誦的學(xué)習(xí)箴言。

第五篇：奧數(shù)和差問題教案

五年級奧數(shù)