第一篇：反證法”教學案例

反證法”教學案例

數(shù)學組 梁華超

教學內容：人教版九年義務教育四年制幾何第三冊第14—16頁。教學目的：

1、知識技能：了解反證法，掌握反證法證題的過程。

2、過程方法：通過學生裝的獨立思考、交流合作，讓學生裝經(jīng)歷問題解決的過程，體驗解決問題策略的多樣性。

3、情感態(tài)度：讓學生感情感悟數(shù)學與日常生活的聯(lián)系，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

重點難點：反證法證明命題的過程 教學方法：互動式教學 教學過程：

（一）導入（3分鐘）：

師：中國古代有一個成語故事——自相矛盾，哪一位同學能講述這個故事呢？

（讓學生講這個故事）

師：這個故事蘊含什么道理？

生：這個故事告訴我們要實事求是，不要夸大其辭。

師：很好，雖然這個故事是貶義的，但在數(shù)學中，我們常常借鑒這種“以子之矛，攻子之盾”的做法來證明數(shù)學命題，這就是我們今天要學習的“反證法”。（板書課題）

（二）掀起你的蓋頭來——認識反證法（10分鐘）。師：請同學們試證明命題“400人中至少有兩個人的生日相同。”（課件演示）

（讓學生分組討論后交流）

生：寫出每個人的生日，對比一下就知道了。師：可以，有沒有比他更簡單的方法呢？

生：假設400人中每兩人的生日不同，那么一年會有400天，這與一年有365天不符合，因此是不可能的。

師：很好，這位同學沒有從正面去證明，而是從結論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。它的特點是快捷、方便，請同學們嘗試證明命題：一個三角形中不可能有兩個直角。（讓學生模仿1的證明方式，嘗試證明此命題。）

生：假設有兩個直角，則三角形的內角和就大于180度，這與三角形內角和定理矛盾，因此原命題成立

師：很好，通過以上兩個命題的證明，同學們能不能歸納出反證法的證題步驟，各小組分開討論，看看哪一個小組的結論最合理。（讓學生分組討論后進行交流）

生：我們小組的討論結果是：

（1）假設命題的結論不成立；

（2）從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。

師：很好，其他小組有沒有補充的（讓同學們各抒己見，互相補充，歸納出反證法證明命題的步驟）師：在這三個步驟中，最重要的是第一步，如果找不到問題的反面，證明就沒有力度，同學們在運用反證法的時候要注意這個問題。下面我們一起來證明一個命題，大家仔細體會反證法的證明過程： 已知：A、B、C三點在同一條直線上。求證：過A、B、C三點不能作圓。

(引導學生分析，寫出假設，推出錯誤的結論，教師板書證明過程。)

（三）小試牛刀——嘗試反證法（12分鐘）。師：下面我們做一組練習

練習1：用反證法證明下列命題（多媒體顯示）。① 一個三角形中不可能有兩個鈍角。② 梯形的兩條對角線不能互相平分。③ 兩條直線相交，交點只有一個。

（讓學生分組討論，合作完成以上3個命題的證明，熟練反證法的證明過程）。練習2：已知：如圖三角形ABC中，D、E兩點分別在AB、AC上。

求證：CD、BE不能互相平分。

（讓學生獨立思考完成，進一步鞏固訓練，然后交流解題思路）

（四）舉一反三——妙用反證法（13分鐘）。

1、諸葛亮與反證法（3分鐘）。

師：設計情景： 三國時代，蜀國丞相兼軍師諸葛亮屯兵陽平時，派大將魏延領兵去攻打魏國，只留下少數(shù)老弱軍士守城，不料魏國大都督司馬懿率大隊兵馬殺來，靠幾個老弱兵士出城迎戰(zhàn)，猶如雞蛋碰石頭，怎么辦？諸葛亮冷靜思考之后，傳令打開城門，讓老弱軍士在城門口灑掃道路，自己則登上城樓，擺好香

C

案，端坐彈琴，態(tài)度從容，琴聲優(yōu)雅。司馬懿來到城前，見此情景，心中疑惑，他想：“諸葛亮一生聰明過人，謹慎有余，從不冒險。今天如此這般，與其一生表現(xiàn)矛盾，恐怕城內必有伏兵，故意誘我入城，決不中計也！”于是急令退兵。這就是家喻戶曉的“空城計”。

② 展開討論：諸葛亮面臨的問題是什么？從正面考慮該如何解決這個問題？諸葛亮是如何考慮的？

③名家點評：諸葛亮利用了司馬懿的心理上的矛盾，才以“不守城”來達到暫時“守住城”的目的。諸葛亮從問題（守住城）的反面（不守城）考慮，來解決用直接或正面的方法（用少數(shù)老弱軍士去拼殺）很難或根本無法解決的問題，在歷史上傳為美談。這就是家喻戶曉的“空城計”。

2、律師與反證法（10分鐘）。

師：①設置情景：這是生活中的一個真實的案例：一公司老總在某酒店設宴款待自己的朋友，他們點的菜中有一道叫做水煮雞圍蝦，酒宴過半，客人突然提出這道菜中有一只紅頭大蒼蠅，要求酒店方面給予賠償，雙方為此爭執(zhí)不休，酒店經(jīng)理為了證實那不是蒼蠅，情急之下，把這個疑似紅頭蒼蠅的東西吃了下去。對方一看證物被毀，更加有恃無恐，一紙訴狀將酒店告上法庭，酒店經(jīng)理對自己的沖動很后悔，深知庭審對自己將非常不利，但事情已無法挽回，為打贏官司，他們聘請了一個著名的律師為自己辯護。法庭上，雙方律師圍繞著是不是紅頭蒼蠅展開辯論，原告律師自恃證據(jù)確鑿，咄咄逼人，形式對被告很不利。這時，被告律師站了起來，要求對原告方提問，法官允許后，被告律師問：“你真的看到一只紅頭大蒼蠅嗎？”“是的?！薄澳憧隙ㄊ羌t色的嗎？”“是的，我肯定?！苯又?，被告律師用了一個巧妙的方法證實了原告說了謊話，這個方法就是我們今天學習的反證法。假如你是被告方律師，你會怎么證實原告說的是謊話呢？ ②開討論：讓學生以小組為單位合作探討，尋找最佳方法。③模擬法庭：讓各個小組的代表說出自己的做法，發(fā)言的同學作為“律師”，不發(fā)言的同學作為“法官”，看看哪位“律師”的說法能讓“法官”們信服。④真相大白：不少小組的做法非常接近律師的方法，讓我們看看這位律師的做法：把提前準備的五只紅頭大蒼蠅放到酒精鍋里，當庭開煮，幾分鐘后，呈現(xiàn)在眾人面前的是五只黑色的大蒼蠅，法官當場宣布：原告敗訴。反證法在社會實踐中和數(shù)學各個領域中都有著廣泛的應用，它還是創(chuàng)造發(fā)明的一種工具，例如無理數(shù)和非歐幾何的發(fā)現(xiàn)都得益于反證法。

（五）矢志不渝——情系反證法（3分鐘）。（課件演示）。

師：我們在感受反證法的快捷、方便的同時，不能忘記那些利用反證法作出突出貢獻的科學家，讓我們一起來認識矢志不渝——情系反證法的俄國科學家

講述數(shù)學家利用反證法發(fā)現(xiàn)非歐幾何的故事。

1815年 俄國 羅巴切夫斯基礎過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。

1826年 非歐幾何遭到譏諷和打擊 高斯 歐洲數(shù)學之王。1856年 在苦悶和抑郁中度過生命的最后一段路程。1868年 幾何學中的哥白尼。

1893年 喀山大學世界史上第一個為數(shù)學家立的雕塑。

師：通過講述上面的故事，同學們有什么感觸？

生：我們了解了反證法背后的辛酸歷史，學習數(shù)學家堅持真理畏權勢、鍥而不舍的奮斗精神。師：在科學探索的征途中，一個人經(jīng)得住一時的挫折和打擊并不難，難的是勇于長期甚至終生在逆境中奮斗。我們再學習數(shù)學知識的同時，更應該學習數(shù)學家的這種品質，這也是我們學習數(shù)學的真諦。

（六）小結：

師：通過本節(jié)課的學習，同學們有哪些收獲？（2分鐘）生：了解反證法證明命題的過程。生：感受了反證法的妙用。

生：感受到數(shù)學家不畏權勢，堅持真理，鍥而不舍的奮斗精神。師：同學們總結的很好。本節(jié)課表現(xiàn)較好的是1、3、4、8組。

（讓學生歸納總結本節(jié)課的收獲，根據(jù)學生的回答教師及時補充，并對表現(xiàn)突出的小組和個人給予表揚和鼓勵。）

（七）作業(yè)（2分鐘）：

用反證法證明下列命題：

①等腰三角形的底角必定是銳角。②直徑是圓上的最大弦。

師：通過本節(jié)課的學習，我們了解了反證法在生活中有廣泛的應用，由于時間的關系，我們不能一一列舉，課后以小組為單位收集相關的資料，以《生活中的反證法》為題寫一篇小論文，時間兩個周，屆時我們將評選出優(yōu)秀論文若干篇。

教學反思：

1、準確定位教學目標。新課程標準十分重視學生“雙基”的培養(yǎng)，也十分關注學生的學習過程以及情感、態(tài)度、能力等方面的發(fā)展，在設計教學目標時，我從三個方面即知識技能目標、過程性目標和情感態(tài)度目標進行了詳細準確的定位。體現(xiàn)了“立足雙基，著眼發(fā)展”的教育理念。

2、創(chuàng)造性的使用教材。教材的內容相對來說比較簡單，具有一定的權威性，但同時又肯有相對的滯后性、封閉性、靜止性等缺陷，不能適應新課程的要求。因此，再設計本節(jié)課時，以課本的基本內容為藍本，結合學生的認知規(guī)律和生活經(jīng)驗，改造和充實所教的內容，尤其是諸葛亮與反證法、律師與反證法、科學家的故事的引入，體現(xiàn)了學數(shù)學、用數(shù)學的思想，注重對學生的情感態(tài)度和價值觀的教育。努力使課堂教學充滿趣味性、挑戰(zhàn)性，讓學生感知數(shù)學來源于生活，同時又服務于生活。

3、突出學生的主體地位。課堂上教師把學習的主動權交給學生，讓學生學會參與、學會發(fā)現(xiàn)、學會應用、學會創(chuàng)新。本節(jié)課師生圍繞情景-問題-解決的思路，步步深入地經(jīng)歷了問題解決的過程。課堂氣氛自始至終和諧、生動、自然，既有學生的獨立思考，更有師生間的相互交流、激烈的討論。

作者： 梁華超 來源： 本站原創(chuàng)

第二篇：高中數(shù)學反證法

反證法解題

反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定→推理→否定”。即從否定結論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應用反證法證明的主要三步是：否定結論 → 推導出矛盾 → 結論成立。實施的具體步驟是：

第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；

第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；

第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。

在應用反證法證題時，一定要用到“反設”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫“窮舉法”。

Ⅰ、題組：

1.已知函數(shù)f(x)在其定義域內是減函數(shù)，則方程f(x)＝0 ______。

A.至多一個實根B.至少一個實根C.一個實根D.無實根

2.已知a<0,－1

A.a>ab> abB.ab>ab>aC.ab>a> abD.ab> ab>a

3.已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b為異面直線，則_____。

A.a、b都與l相交B.a、b中至少一條與l相交

C.a、b中至多有一條與l相交D.a、b都與l相交

4.四面體頂點和各棱的中點共10個，在其中取4個不共面的點，不同的取法有_____。

5.A.150種B.147種C.144種D.141種

S 例1.如圖，設SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB 上一點。求證：AC與平面SOB不垂直。

2222例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一個方程有實根。試求實數(shù)a的取值范圍。

例3.給定實數(shù)a，a≠0且a≠1，設函數(shù)y＝222221x?1(其中x∈R且x≠)，證明：①.經(jīng)過這個函數(shù)ax?1a

圖像上任意兩個不同點的直線不平行于x軸；②.這個函數(shù)的圖像關于直線y＝x成軸對稱圖像。練習：

1.已知f(x)＝x，求證：當x1≠x2時，f(x1)≠f(x2)。1?|x|

2.已知非零實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，a≠c，求證：1、1、1不可能成等差數(shù)列。abc

3.已知f(x)＝x＋px＋q，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于1。

24.求證：拋物線y＝x－1上不存在關于直線x＋y＝0對稱的兩點。22

5.已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求證：方程x＋ax＋b＝0的兩個根的絕對值均小于1。2

第三篇：淺談反證法

淺談反證法

摘要：在數(shù)學的諸多證明方法中,有一種被稱為“數(shù)學家最精良的武器之一”的間接證明方法,這就是反證法。它與一般證明方法不同，反證法又可分為歸謬反證法和窮舉反證法兩種。只要抓住要領，反證法就能使一些不易直接證明的問題變得簡單、易證，它在數(shù)學證題中確有奇效。本文闡述反證法的概念、步驟，依據(jù)及分類。反證法如何正確的作出反設及導出矛盾，及何時宜用反證法，反證法在中學中最常用的證明的題型展示，反證法的綜合思路分析。關鍵詞：反證法數(shù)學學習

正文：

一：反證法的概念

一般地，假設原命題不成立,經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤,從而證明了原命題成立.二：反證法的證明過程

① 反設：假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立;

② 歸謬：從假設出發(fā)，經(jīng)過正確的推理證明，得出矛盾;

③ 結論：由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確

三：反證法的適用范圍

(1)直接證明困難的(2)否定性命題

(3)唯一性問題

(4)至多、至少型命題

四：理論依據(jù)

從邏輯角度看，命題“若p則q”的否定，是“p且非q”，由此進行推理，如果發(fā)生矛盾，那么“p且非q”為假，因此可知“若 p則q”為真。像這樣證明“若p 則q”為真的證明方法，叫做反證法。

五：常用詞語

原詞語等于大于（>）小于（<）是都是否定詞語不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是原詞語至多有一個至少有一個至多有n個

否定詞語至少有兩個一個也沒有至少有n+1個

原詞語任意的任意兩個所有的能

否定詞語某個某兩個某些不能

第四篇：高二文-反證法

§2.2.2反證法

滕州一中東校韓霞

教材分析

推理與證明是數(shù)學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式.反證法是繼前面學習完推理知識后的證明方法中的一種間接證明問題的基本方法，它彌補了直接證明的不足，完善了證明方法，有利于培養(yǎng)學生的逆向思維能力.課時分配

本節(jié)內容用1課時完成，使學生了解反證法的基本原理；掌握運用反證法的一般步驟.教學目標

重點：理解反證法的推理依據(jù)；掌握反證法證明命題的方法；反證法證明題的步驟.難點：掌握反證法的證明步驟，體會反證法證明命題的思路方法.知識點：

1、反證法的概念

2、反證法證明題的基本方法.能力點：培養(yǎng)學生通過事物的結論的反面出發(fā)，進行推理，使之引出矛盾，從而證明事物的結論成立的簡單推理能力與思維能力.教育點： 通過反證法的學習,讓學生形成逆向思維的模式,體驗數(shù)學方法的多樣性.自主探究點：通過學生動手及簡單實例,讓學生充分體會反證法的數(shù)學思想,并學會簡單應用.考試點：掌握反證法證明命題的方法.易錯易混點：否定結論時應對結論全盤否定，不能部分否定.拓展點：初步掌握反證法的概念，理解反證法證題的基本方法，培養(yǎng)學生用反證法簡單推理的技能.教具準備：多媒體課件

課堂模式：采用設問、引導、啟發(fā)、發(fā)現(xiàn)等教學方法.一．引入新課

故事：王戎7歲時,與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹上結滿了果子.小伙伴們紛紛爬上樹去摘果子,只有王戎站在原地不動.有人問王戎為什么? 王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李.問題1:王戎是怎樣知道李子是苦的呢？

問題2:你認為他的判斷方法正確嗎？他運用了怎樣的推理方法？

（1）學生經(jīng)過思考，知道王戎是這樣判斷出李子是苦的：假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結滿了李子，所以李子一定是苦的.（2）我們不妨把這則故事改編成數(shù)學中證明題的格式，即寫出“已知、求證、證明過程”來總結王戎的推理方法：

而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.【設計說明】讓學生能夠從具體的例子中，感受到反證法的存在.【設計意圖】愛因斯坦說：“興趣是最好的導師.”這樣引入讓學生明確數(shù)學來源于生活、科研的需要，同時又能解決生活中的問題，激發(fā)了學生興趣，增強學生求知欲.二．探究新知

問題1：上面的證明方法和我們上節(jié)課學習的綜合法和分析法相同嗎？上面這種證明方法在數(shù)學中叫做什么呢？

生：不同, 綜合法和分析法是直接證明：是從命題的條件或結論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推理證明結論的真實性.上面這種證明方法不是從正面證明命題的真實性，而是證明命題的反面為假，或改證它的等價命題為真，間接地達到證明的目的.它是一種間接證明方法，反證法就是一種常用的間接證明方法.【設計意圖】讓學生知道在數(shù)學證明方法中，還有這樣一種證明方法反證法，它是與直接證明不同的一種證明方法.問題2：在學習命題的知識時，我們主要學習了哪些詞的否定？

【設計意圖】讓同學們能回憶起某些特殊詞的否定，為后面的題目做鋪墊.三.理解新知

例1．已知a?0，證明x的方程ax?b有且只有一個根.證明：由于a?0，因此方程至少有一個根x?

ba

.ax1?b,(1)ax2?b,(2)

如果方程不只一個根，不妨設x1,x2是它的兩個不同的根，即

（1）-（2）a(x1?x2)?0

因為x1?x2，所以應有a?0，這與已知矛盾，故假設錯誤.所以，當a?0時，方程ax?b有且只有一個根.問題3：根據(jù)反證法的定義，你能總結出用反證法證明題目的步驟嗎？ 學生討論后總結：反證法證明題的步驟：

（1）假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立。（2）從假設出發(fā)，經(jīng)過推理，得出矛盾.（3）由矛盾假設不正確，從而肯定命題的結論正確.【設計意圖】通過教師設問，學生思考、探究、類比，學生得出了反證法的概念，初步明確反證法的步驟.練習：用反證法證明：一個三角形內，不能有兩個鈍角.證明：假設?ABC中，有兩個鈍角，即?A?900,?B?900，于是?A??B?1800，更有

?A??B??C?180，這與三角形內角和定理矛盾.∴一個三角形內，不能有兩個鈍角．

四．運用新知

例

2、已知直線a,b和平面?，如果a??,b??,且a//b，求證a//? 證明：因為a//b，所以經(jīng)過直線a,b確定一個平面?.因為a??,而a??, 所以?,?是兩個不同的平面.因為b??,且b??,所以????b

下面用反證法證明直線a與平面?沒有公共點.假設直線a與平面?有公共點P，則P?????b 即點P是直線a,b的公共點，這與a//b矛盾.所以a//?.問題4：你能總結在什么情形下應用反證法呢？

師生共同總結：①直接證明困難;②需分成很多類進行討論．

③結論為“至少”、“至多”、“有無窮多個”---類命題；

④結論為 “唯一”類命題；

【設計意圖】教師從例題分析中小結反證法知識，提高學生的解題能力.練習：平面?交平面?于直線a，直線b在平面?內，直線c在平面?內，a?b?A,c//a

求證：b,c是異面直線.證明：假設b,c不是異面直線，則b,c平行或相交若c//b,?c//a,?a//b這與a?b?A矛盾.?b不平行于c，若c?b?B，?B?b??,B?c??

?B是?，?的公共點，又???=a ?B?a,則c與a相交，與c//a矛盾.?b,c是異面直線

【設計意圖】通過兩個練習，鞏固本節(jié)課所學知識，加深印象.問題5：你能總結反證法的矛盾有哪些種?

(1)與已知條件矛盾，（2）與公理、定理、定義矛盾,(3)與假設矛盾

【設計意圖】同學們對反證法的學習已經(jīng)有了一些認識，而反證法引出矛盾沒有固定的模式，需要認真觀察、分析，洞察矛盾.五.課堂小結

（1）、反證法的一般步驟；（2）、反證法的關鍵：在正確的推理下得出矛盾，可以是與已知條件矛盾，與假設矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等；（3）、反證法適合證明哪些命題？否定性問題、存在性、唯一性命題，至多至少問題，結論的反面比原結

論更具體、更易于研究和掌握的問題.六.布置作業(yè)

必做：

1、應用反證法推出矛盾的推導過程中要把下列哪些作為條件使用（）（1）結論相反判斷，即假設；（2）原命題的條件；（3）公理、定理、定義等；（4）原結論

A、（1）（2）B、（1）（2）（4）C、（1）（2）（3）D、（2）（3）

2、命題“?ABC中，若?A??B則a?b”的結論的否定應該是（）A、a?bB、a?bC、a?bD、a?b

3、命題“關于x的方程ax?b,(a?0)的解是唯一的”的結論的否定是（）A、無解B、兩解C、至少兩解D、無解或至少兩解

4、命題“三角形中最多只有一個內角是直角”的結論的否定是（）A、有兩個內角是直角B、有三個內角是直角

C、至少有兩個內角是直角D、沒有一個內角是直角

5、對一個命題的證明，下列說法錯誤的是（）Ａ．若能用分析法，必能用綜合法

Ｂ．若用綜合法或分析法證明難度較大時，可考慮分析法與綜合法的合用等方法 Ｃ．若用直接證法難度較大時，可考慮反證法 Ｄ．用反證法就是要證結論的反面成立

6、已知a,b,c均為實數(shù)，且a?x?2y?求證：a,b,c中至少有一個大于0.選做：

1、已知a,b,c是互不相等的非零實數(shù).若用反證法證明三個方程ax2?2bx?c?0，bx?2cx?a?0,cx?2ax?b?0至少有一個方程有兩個相異實根.?,b?y?2z?

?,c?z?2x?

?

6，2.已知：f(x)?x?px?q，f(1)?f(3)?2f(2)?2 求證：f(1),f(2),f(3)中至少有一個不小于

2.答案：必做：1.C、2.B、3.D、4.C、5.Ｄ．

6.證明：假設a,b,c都不大于0，即a?0,b?0,c?0，得a?b?c?0，而a?b?c??x?1???y?1???z?1????3?0，即a?b?c?0，與a?b?c?0矛盾，?a,b,c中至少有一個大于0.選做：1.證明：假設三個方程中都沒有兩個相異實根，22

2則?1?4b?4ac?0,?2?4c?4ab?0,?3?4a?4bc?0.222

相加有?a?b???b?c???c?a??0① 由題意a,b,c是互不相等的非零實數(shù)，∴①式不能成立.222

∴假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.2.證明：假設f(1),f(2),f(3)都小于

f(1)?

12,f(2)??f(1)?

12,f(3)?

12，則，12

即有?

12,?

?f(2)?,?

?f(3)?

∴?2?f(1)?f(3)?2f(2)?2與已知f(1)?f(3)?2f(2)?2矛盾，∴假設不成立，即原命題成立.七.教后反思：

亮點是:設計合理,重點突出,難點突破,充分體現(xiàn)教師為主導,學生為主體的雙主體課堂地位,充分調動學生的積極性,教師合理清晰的引導思路,使學生的數(shù)學思維得到培養(yǎng)和提高,教學內容容量與難度適中,符合學情,并關注學生的個體差異,使不同程度的學生都得到不同效果的收獲.不足是: 對于反證法的熟練掌握還需以后隨著進一步的學習深入，逐步加強和提高.八、板書設計的

第五篇：高中數(shù)學教學論文 中學數(shù)學中的反證法

中學數(shù)學中的反證法

摘要：對于反證法，人們常常有一種對其功能認識不是的誤解。為此本文對反證 法的基本概念、步驟、及其正確使用等方向進行了闡述。關鍵詞：中學數(shù)學;反證法;間接證法

引言：

去掉大米中的砂粒，有兩種方法。一種是直接從大米中把砂粒一粒一粒地撿出來；一種是用間接的方法——淘洗法，把砂粒殘留下來。這兩種方法雖然形式不同，但結果卻是一樣的，都能達到去掉砂粒的目的。但直接方法困難得很，間接方法卻容易的多。在數(shù)學解題中，也常用間接的方法（即有些命題不易用直接的方法去證明，這時可通過證明它的等價命題真，從而斷定原命題真的證明方法）來證題。下面我們就來談談數(shù)學證明的間接方法之一——反證法。

一、反證法的基本概念

反證法是指“證明某個命題時，現(xiàn)假設它的結論的否定成立，然后從這個假設出發(fā)，根據(jù)命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過推理，得出與已知事實（條件、公理、定義、定理、法則、公式等）相矛盾的結果。這樣，就證明了結論的否定不成立，從而間接地肯定了原命題的結論成立?！边@種證明的方法，叫做反證法。

反證法的原理是：假設命題不真，也就是說，我們附加一個與要證明的結論完全相反的假設條件（反正假設）到已知條件中去，利用一系列的推理，得到矛盾的結論（與已知條件矛盾，與已證明過的數(shù)學命題矛盾，與剛提出的反證假設矛盾，或是導出兩個自相矛盾的結論），依據(jù)排中律，附加的條件不真，從而，證得原命題成立。

反證法的基本思想是：將否定結論作為條件就會導致矛盾。這種基本思想可以用下面的公式來表示： “否定推理矛盾肯定”

“否定”——假設所要證明的結論不成立，而結論的反面成立。即首先否定結論。

“推論”——從原條件和新作的假設出發(fā)，引用一系列的論據(jù)進行推理。

“矛盾”——通過推理，導致矛盾，即得出與已知條件、定義、公理、定理或明顯的事實相矛盾的結果。

“肯定”——由于推理過程正確，矛盾產(chǎn)生的原因是由假設所引起，因此假設是錯的，從而肯定原結論的正確。

二、反證法的步驟：

用反證法證題一般分為三個步驟：

1.假設原命題的結論不成立；

2.從這個結論出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；

3.由矛盾判定假設不成立，從而肯定原命題的結論正確。

即：提出假設例1：已知：求證：直線

推出矛盾

和是異面直線。

肯定結論

證明：【提出假設】假設直線內，那么這個平面一定經(jīng)過點【推出矛盾】直線，經(jīng)過點

內 矛盾。

和是異面直線。

和在同一平面 和直線。

和直線只能有一個平面

與應在平面,這與已知【肯定結論】直線在運用反證法證題時，必須認真考察原命題的結論，并找出結論反面的所有情況，因為結論的反面可能只有一種情況，也可能有多種情況。因此，反證法分為歸謬法和窮舉法兩種。當結論的反面只有一種情況時，只要否定這一情況就能證明原命題結論的正確，這種反證法叫歸謬法；當結論的反面有多種情況時，必須一一予以否定才能證明原命題的正確，這種反證法叫窮舉法。例2：已知：，求證：。

>2，因此用反證法證明時，只要否定了這種情分析：此題的結論的否定只有一種情況況，就能肯定證明：假設>>的這種情況了。>2，則>

==

由此可知：

例3：已知：平面求證：與，這與已知矛盾。

∥平面，直線.也相交。

分析：此題結論的否定有兩種情況： 1；2∥.用反證法證明時，只有把這兩種情況都否定了，才肯定與相交。

能

證明省略。

三、反證法的正確使用

任何方法都有它成立的條件，都有它適用的范圍。離開了條件超越了范圍就會犯錯誤，同樣，也會影響解題的成功率。因此，我們應該學會正確使用反證法來解題。

1.注意其適用范圍。雖然反證法是一種很積極的證明方法，而且用反證法證題還有很多優(yōu)點：如適用范圍廣、思想選擇的余地大、推理方便等。但是并不是每一道題都能用反證法來解的。例4：如果對任何正數(shù)試證之。

證明：假設>0，則二次函數(shù)當增大時，拋物線就沿

軸向上平移，而當?shù)膱D象是開口向上的拋物線，顯然可見，值增大到相當大的正數(shù)時，拋物線就上開

>0，這，二次方程的兩個根是正實數(shù)，則系數(shù)，到與軸沒有交點，則對這樣的一些一假設與已知矛盾。同理，<0，也不合題意。

值，二次方程的實數(shù)根就不存在。因此，綜上所述，當>0和<0時均不合題意。因此，分析：看了本題的證明過程似乎很合理，但其實第三步，即肯定原結論成立的論證錯了。因為，本題的題設條件為對任意正數(shù)設條件與結論是矛盾的； 當何正數(shù)時，二次方程就變成了一次方程，它只有一個根；在時，僅當，此一次方程在時，對于任，有兩個正實數(shù)根，結論是，但本題的題

>0的條件下，它有無數(shù)個根，否則無根，但總之不會有兩個根。題設條件和結論矛盾。因此，本題不能反證法來處理。若原題改為“如果對于任何正數(shù)，只存在正實根，則系數(shù)

”，就能用反證法證明了。

因此，對于下列命題，較適用反證法來解決。

1對于結論是否定形式的命題；

2對于結論是以“至多”，“至少”或“無限”的形式出現(xiàn)的命題； 3對于結論是以“唯一”或“必然”的形式出現(xiàn)的命題；

4對于可利用的公理定理較少或者較以與已知條件相溝通的命題。

例5：設、都是正數(shù)，求證：.證明：反設不成立，便有>，由對稱性知：>

相加：>

即：>

這一矛盾說明正確

從而

即

交換、位置：

合并得：

2.提出假設時，要分清結論反面的全部情況，即不能多，也不能少。例6:求證：五個連續(xù)自然數(shù)的平方和不可能是一個完全平方數(shù)。證明：設五個連續(xù)自然數(shù)是，，則

是一個關于為一個完全平方數(shù)，即二次三項式

與

矛盾。的二次三項式，若其

有兩個相等的實根，于是有即五個連續(xù)自然數(shù)的平方和不是一個完全平方數(shù)。

分析：本題的證明過程似乎也合理，但其實它的假設發(fā)生了錯誤。原結論是對于任何大于2的自然數(shù)，數(shù)使是不能推出例如：不是完全平方數(shù)，所以結論的反面應是至少存在一個大于2的自然是一個完全平方數(shù)，而不是對所有的。當

時是一個完全平方數(shù)，但是

是一個完全平方數(shù)，于3.推出矛盾時，一般說來，根據(jù)條件和假設，通過推理導出與下列矛盾之一即可： 1與題設矛盾； 2與定義相矛盾； 3與定理相矛盾； 4與公理相矛盾； 5與客觀事實相矛盾； 6自相矛盾；

例7：設、、>0，求證：，三個數(shù)中至少有一個不大于.證明：假設三個數(shù)都大于，則

>【1】

另一方面，根據(jù)平均值不等式：

5，同理：，于是：【1】與【2】矛盾。所以原命題成立。小結：

【2】

反證法是數(shù)學證明中的一種重要方法。牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧?。它是從否定命題的結論出發(fā)，通過正確的邏輯推理導出矛盾，從而證明了原命題的正確性的一種重要方法。反證法之所以有效是因為它對結論的否定實際上增加了論證的條件，這對發(fā)現(xiàn)正確的解題思路是有幫助的。對于具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。在現(xiàn)代數(shù)學中，反證法已成為最常用和最有效的解決問題的方法之一。參考文獻：

反證法初探；數(shù)學通訊；2001年13期 淺議反證法；教育實踐與研究；2002年02期 反證法；數(shù)學通訊；2000年24期 反證法的應用；中等數(shù)學；2005年03期