第一篇：“反證法”與“逆否命題”的爭(zhēng)端

“反證法”與“逆否命題”的爭(zhēng)端

“反證法”與“逆否命題”是數(shù)學(xué)家族中的一對(duì)好兄弟，但最近兩人為了一個(gè)問(wèn)題，引起了爭(zhēng)端。究竟是什么回事呢？

原來(lái)，“逆否命題”發(fā)現(xiàn)“反證法”往往利用自己來(lái)證明一些結(jié)論，所以認(rèn)為反證法的實(shí)質(zhì)就是證明一個(gè)命題的逆否命題。而“反證法”并不認(rèn)帳。兩人找來(lái)“邏輯”與“推理”兩位法官主持公道。

“逆否命題”說(shuō)：“反證法是間接證法中的一種，從命題的角度來(lái)看，由于原命題與它的逆否命題具有相同的真假性，所以反證法的證明思路是證明原命題的逆否命題成立。”

“反證法”微微一笑，說(shuō)：“反證法的理論基礎(chǔ)是互為逆否命題的等價(jià)性, 從邏輯角度看,命題:“若p則q”的逆否命題是“若?q，則?p”，而命題“若?q，則?p”的否定是“若?q，則p”，由此推理,如果發(fā)生矛盾,那么就說(shuō)明“若?q則p”為假,即命題“若?q，則?p”為真，從而可以導(dǎo)出“若p則q”為真,從而達(dá)到證明的目的.…”

還沒(méi)等“反證法”說(shuō)完，“逆否命題”就打斷了他的話：“兩位法官聽(tīng)聽(tīng)，“反證法”現(xiàn)在已經(jīng)承認(rèn)了?！?“反證法”笑著說(shuō)：“別急，我還沒(méi)說(shuō)完呢。我的理論基礎(chǔ)是互為命題的等價(jià)性，但是我們證明的思路并不完全是證明一個(gè)命題的逆否命題?！?/p>

法官“邏輯”說(shuō)：你說(shuō)來(lái)聽(tīng)聽(tīng)。

“反證法”說(shuō)：“從邏輯形式上來(lái)說(shuō)，反證法的理論依據(jù)在于矛盾律和排中律（矛盾律：對(duì)于同一事物的兩個(gè)矛盾的判斷不能同時(shí)為真，其中至少有一個(gè)是假的；排中律：對(duì)于同一事物的肯定判斷與否定判斷不能同時(shí)進(jìn)行）；其矛盾的種類(lèi)可以有：與題設(shè)矛盾，與假設(shè)矛盾，寫(xiě)定義、定理、公理、公式矛盾或自相矛盾等等。由此可知，反證法證明的思路是只要找到矛盾即可，不一定是與題設(shè)矛盾。這說(shuō)明，反證法與證明逆否命題是不一樣的。”

“邏輯”與“推理”兩位聽(tīng)完之后，點(diǎn)了點(diǎn)頭，贊許地說(shuō)：“你說(shuō)的非常正確，還有其他理由嗎？” “反證法”說(shuō)：“還有。而反證法的本質(zhì)是：由證明p?q轉(zhuǎn)向證明：

或與某個(gè)真命題矛盾，是“若?q?r????t,t與假設(shè)?q為假，推出q為真的方法．從邏輯角度看,命題:“若p則q”的逆否命題?q，則?p”?q，則?p”的否定是“若?q，則p”，而命題“若，由此推理,如果發(fā)生矛

?q則p”為假,即命題“若?q，則?p”為真.而證明命題“p?q”逆否命盾,那么就說(shuō)明“若

題是證明“?q??p”，這兩者的證明思路也不一樣。所以我們兩人是不同的。”

在事實(shí)面前，“逆否命題”也不得不認(rèn)真反思自己的想法，思考了一會(huì)，說(shuō)：“我知識(shí)看到了反證法的外在形式，而沒(méi)有深入思考他的邏輯基礎(chǔ)。我錯(cuò)了?！?/p>

兩位法官聽(tīng)完后，真誠(chéng)地對(duì)“逆否命題”說(shuō)：“是的，我們不應(yīng)該只看事物的外在形式，更要深入研究它的實(shí)質(zhì)。反證法與證逆否命題是不同的．由于受“反證法就是證逆否命題”的錯(cuò)誤影響，在否定結(jié)論后的推理過(guò)程中，往往一味尋求與原題設(shè)的矛盾，而不注意尋求其他形式的矛盾，這樣就大大限制和影響了解題思路．”

“推理”說(shuō)：“反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法,在不等式和立體幾何的證明中以常用到,它所反映出的“正難則反”的解決問(wèn)題的思想方法更為重要, 反證法是一種逆高思維的一種推理方式，它?？蓪⒖隙ㄕ孓D(zhuǎn)化為否定反面，由反面的否定得出正面的肯定，從而避開(kāi)直接肯定正面的障礙，正因?yàn)槿绱?，反證法往往可以完成直接證明難以完成的工作。從2009年的高考開(kāi)始已經(jīng)把反證法納入高考的范疇，所以我們一定要認(rèn)真學(xué)習(xí)?！?/p>

第二篇：淺談反證法

淺談反證法

摘要：在數(shù)學(xué)的諸多證明方法中,有一種被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”的間接證明方法,這就是反證法。它與一般證明方法不同，反證法又可分為歸謬反證法和窮舉反證法兩種。只要抓住要領(lǐng)，反證法就能使一些不易直接證明的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、易證，它在數(shù)學(xué)證題中確有奇效。本文闡述反證法的概念、步驟，依據(jù)及分類(lèi)。反證法如何正確的作出反設(shè)及導(dǎo)出矛盾，及何時(shí)宜用反證法，反證法在中學(xué)中最常用的證明的題型展示，反證法的綜合思路分析。關(guān)鍵詞：反證法數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

正文：

一：反證法的概念

一般地，假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立.二：反證法的證明過(guò)程

① 反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立;

② 歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理證明，得出矛盾;

③ 結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確

三：反證法的適用范圍

(1)直接證明困難的(2)否定性命題

(3)唯一性問(wèn)題

(4)至多、至少型命題

四：理論依據(jù)

從邏輯角度看，命題“若p則q”的否定，是“p且非q”，由此進(jìn)行推理，如果發(fā)生矛盾，那么“p且非q”為假，因此可知“若 p則q”為真。像這樣證明“若p 則q”為真的證明方法，叫做反證法。

五：常用詞語(yǔ)

原詞語(yǔ)等于大于（>）小于（<）是都是否定詞語(yǔ)不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是原詞語(yǔ)至多有一個(gè)至少有一個(gè)至多有n個(gè)

否定詞語(yǔ)至少有兩個(gè)一個(gè)也沒(méi)有至少有n+1個(gè)

原詞語(yǔ)任意的任意兩個(gè)所有的能

否定詞語(yǔ)某個(gè)某兩個(gè)某些不能

第三篇：高中數(shù)學(xué)反證法

反證法解題

反證法的證題模式可以簡(jiǎn)要的概括我為“否定→推理→否定”。即從否定結(jié)論開(kāi)始，經(jīng)過(guò)正確無(wú)誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 → 推導(dǎo)出矛盾 → 結(jié)論成立。實(shí)施的具體步驟是：

第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；

第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過(guò)一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；

第三步，結(jié)論：說(shuō)明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。

在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時(shí)，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。

Ⅰ、題組：

1.已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f(x)＝0 ______。

A.至多一個(gè)實(shí)根B.至少一個(gè)實(shí)根C.一個(gè)實(shí)根D.無(wú)實(shí)根

2.已知a<0,－1

A.a>ab> abB.ab>ab>aC.ab>a> abD.ab> ab>a

3.已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b為異面直線，則_____。

A.a、b都與l相交B.a、b中至少一條與l相交

C.a、b中至多有一條與l相交D.a、b都與l相交

4.四面體頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法有_____。

5.A.150種B.147種C.144種D.141種

S 例1.如圖，設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB 上一點(diǎn)。求證：AC與平面SOB不垂直。

2222例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一個(gè)方程有實(shí)根。試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

例3.給定實(shí)數(shù)a，a≠0且a≠1，設(shè)函數(shù)y＝222221x?1(其中x∈R且x≠)，證明：①.經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)ax?1a

圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸；②.這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x成軸對(duì)稱(chēng)圖像。練習(xí)：

1.已知f(x)＝x，求證：當(dāng)x1≠x2時(shí)，f(x1)≠f(x2)。1?|x|

2.已知非零實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，a≠c，求證：1、1、1不可能成等差數(shù)列。abc

3.已知f(x)＝x＋px＋q，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于1。

24.求證：拋物線y＝x－1上不存在關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)。22

5.已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求證：方程x＋ax＋b＝0的兩個(gè)根的絕對(duì)值均小于1。2

第四篇：中國(guó)海洋爭(zhēng)端(形勢(shì)與政策)

我國(guó)海洋現(xiàn)狀：我們領(lǐng)海周邊有八個(gè)國(guó)家,分別是朝鮮、韓國(guó)、日本、菲律賓、文萊、馬來(lái)西亞、印度尼西亞、越南。在黃海海域，由于中國(guó)曾幫助朝鮮打敗美韓聯(lián)軍的原因，朝鮮與我們國(guó)家的關(guān)系還是比較好的。雖然存在爭(zhēng)端，但他們也沒(méi)有什么過(guò)激行為。而對(duì)于韓國(guó)，它不是一個(gè)友好的國(guó)家，憑借和美國(guó)的關(guān)系，搞所謂的軍事演習(xí)，耀武揚(yáng)威。在南海海域，菲律賓慢慢地強(qiáng)大起來(lái)以后，不甘心海洋的面積太小，置“國(guó)際海洋法”于不顧，在南海搶奪我島嶼！致使在南海引發(fā)了一波搶奪我島嶼的“熱潮”。越南更是狂的沒(méi)邊，搶占了我國(guó)20多個(gè)島嶼?？傮w局勢(shì)在我國(guó)積極的努力下還算平靜，但島嶼的歸還工作依然會(huì)繼續(xù)堅(jiān)持下去。目前，最令我們頭疼的和日本在釣魚(yú)島上的爭(zhēng)端。由于東海大陸架存在大量的資源，而日本急缺各種資源，日本不打算放棄這些資源，從而多次挑起事端。我國(guó)維護(hù)海洋權(quán)益的基本策略我國(guó)作為一個(gè)海洋大國(guó)，如何解決海洋爭(zhēng)端，有效地維護(hù)海洋權(quán)益，開(kāi)拓國(guó)家發(fā)展的利益空間和安全空間對(duì)我國(guó)的和平崛起具有十分重要的意義。

（一）、遵循國(guó)際法，和平解決爭(zhēng)端。和平與發(fā)展是當(dāng)今時(shí)代的主流。我國(guó)一直堅(jiān)持通過(guò)平等協(xié)商，按照公平原則劃定各自的管轄權(quán)界限。在這一原則的指導(dǎo)下，我國(guó)已與越南就北部灣劃界問(wèn)題進(jìn)行了協(xié)商與談判

（二）、尊重歷史的原則。目前我國(guó)被其他國(guó)家侵占的島礁幾乎無(wú)一例外地是在歷史上早就屬于中國(guó)，只是由于發(fā)現(xiàn)了豐富的資源或戰(zhàn)略位置日益突出，而使周邊國(guó)家頓生凱覷之心?！堵?lián)合國(guó)海洋法公約》承認(rèn)沿海國(guó)享有“ 歷史性所有權(quán)”，我國(guó)在南中國(guó)海享有的歷史性權(quán)利被國(guó)際社會(huì)廣泛認(rèn)可我國(guó)在南中國(guó)海標(biāo)注的九段斷續(xù)國(guó)界線為世界許多國(guó)家包括一些周邊國(guó)家所認(rèn)可，在很多國(guó)家出版的地圖上也標(biāo)示了這九段國(guó)界并注明屬于中國(guó)。

（三）、自然延伸原則?！堵?lián)合國(guó)海洋法公約》對(duì)大陸架的定義是“沿海國(guó)的大陸架包括其領(lǐng)海以外依其陸地領(lǐng)土的全部自然延伸，擴(kuò)大到大陸緣的海底區(qū)域的海床和底土”，這充分說(shuō)明自然延伸原則是大陸架制度的主導(dǎo)原則。我國(guó)是寬大陸架?chē)?guó)家，大陸架面積居世界第七，我國(guó)歷來(lái)主張大陸架是陸地領(lǐng)土的自然延伸，大陸架的劃分也應(yīng)該依據(jù)自然延伸原則，這一原則不僅是國(guó)際法中劃分大陸架的主導(dǎo)原則，也是我國(guó)捍衛(wèi)海洋權(quán)益的有力武器

（四）、公平合理原則。海洋權(quán)益和海域邊界的劃分還必須兼顧公平合理的原則，要全面考慮岸線比例、人口的規(guī)模和密度等因素。

（五）、擱置爭(zhēng)議，共同開(kāi)發(fā)原則。擱置爭(zhēng)議并不是對(duì)鄰國(guó)侵占我國(guó)領(lǐng)土和海洋權(quán)益的認(rèn)可，而是在雙方認(rèn)識(shí)差距較大的情況下，主動(dòng)回避，以求國(guó)家關(guān)系的大局不受局部爭(zhēng)端影響的一種暫時(shí)性的措施。擱置爭(zhēng)議也不意味著消極等待，而是要通過(guò)保持克制，避免摩擦，緩解緊張的矛盾，然后通過(guò)在一定年限內(nèi)的共同開(kāi)發(fā)，促進(jìn)雙方經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，為未來(lái)解決爭(zhēng)端創(chuàng)造良好的條件。隨著我國(guó)“與鄰為善，以鄰為伴”的有中國(guó)特色的大國(guó)外交戰(zhàn)略的實(shí)施，我國(guó)能夠通過(guò)和平協(xié)商的方式，在公平合理的基礎(chǔ)上解決與鄰國(guó)間的海洋權(quán)益爭(zhēng)端，為我國(guó)的和平崛起創(chuàng)造良好的發(fā)展環(huán)境。

鑒于周邊的環(huán)境，我國(guó)政府的態(tài)度及應(yīng)當(dāng)采取的進(jìn)一步措施

（一）、作好戰(zhàn)略性長(zhǎng)遠(yuǎn)規(guī)劃?！胺彩骂A(yù)則立，不預(yù)則廢?！睘榱烁玫胤乐怪苓厙?guó)家侵害我海洋權(quán)益，保護(hù)我海洋資源，針對(duì)有關(guān)國(guó)家所采取的手段，我們必須充分認(rèn)識(shí)到這個(gè)問(wèn)題的復(fù)雜性和長(zhǎng)期性，從戰(zhàn)略高度作好我國(guó)海洋產(chǎn)業(yè)、海軍發(fā)展的規(guī)劃。

（二）、建立高效協(xié)調(diào)機(jī)構(gòu)。維護(hù)海洋權(quán)益是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，單靠一個(gè)部門(mén)管理或是各個(gè)部門(mén)各管一攤，力量太薄弱。必須設(shè)立一個(gè)專(zhuān)門(mén)的機(jī)構(gòu)，負(fù)責(zé)聯(lián)系協(xié)調(diào)有關(guān)海洋權(quán)益維護(hù)的工作。使我國(guó)外交、海洋機(jī)構(gòu)、海軍、科調(diào)、民間力量有機(jī)地協(xié)調(diào)起來(lái)，互為補(bǔ)充，平時(shí)作好預(yù)案，一旦有事便能快速反應(yīng)。

（三）、加快聯(lián)合性調(diào)查開(kāi)發(fā)。

（四）、加強(qiáng)持續(xù)性實(shí)際控制。

（五）、實(shí)施決定性力量建設(shè)。

第五篇：釣魚(yú)島爭(zhēng)端

釣魚(yú)島及其附屬島嶼自古以來(lái)就是中國(guó)的固有領(lǐng)土，中國(guó)對(duì)此擁有充分的歷史和法律依據(jù)。但是，日本方面無(wú)視大量歷史事實(shí)，竟聲稱(chēng)日本人古賀辰四郎在明治十七年（1884）發(fā)現(xiàn)該島。由此引發(fā)了一系列的爭(zhēng)端。釣魚(yú)島爭(zhēng)端也就一直成為了中日兩國(guó)關(guān)系的爭(zhēng)議焦點(diǎn)。

2012年7月的日本購(gòu)島事件，掀起了釣魚(yú)島爭(zhēng)端的又一次沖突。釣魚(yú)島爭(zhēng)端，給原本就脆弱的中日關(guān)系增添了新的陰霾。

從西太平洋地緣政治來(lái)看，存在對(duì)立的兩大力量：中國(guó)力量和美日臺(tái)力量。對(duì)于后者而言，北起白令海峽，北方四島，日本海，中經(jīng)釣魚(yú)島和臺(tái)灣島，至南中國(guó)海和馬六甲海峽，既是美國(guó)利益的包線，也是日本的利益生命線。

作為一個(gè)資源潰乏的島國(guó)，日本的資源和貿(mào)易嚴(yán)重依賴(lài)于南下的海運(yùn)，這條線路有兩個(gè)關(guān)鍵而又脆弱的節(jié)點(diǎn)，一是釣魚(yú)島和臺(tái)灣島，二是南海。任何一點(diǎn)發(fā)生了政治格局的根本變化，都會(huì)對(duì)日本造成戰(zhàn)略上的困境。日本要成為政治強(qiáng)國(guó)，影響本地區(qū)乃至世界的局勢(shì)了，成為世界政治舞臺(tái)上舉足輕重的一員，只有沿此路線南下。因此，對(duì)于日本，這條線既是一條生命線，也是日本實(shí)現(xiàn)軍事政治強(qiáng)國(guó)之夢(mèng)的起跑線。

然而對(duì)于中國(guó)，這條線距離中國(guó)沿海遠(yuǎn)者不過(guò)數(shù)百公里，近者不過(guò)百余公里，幾乎將中國(guó)所有的出?？诜怄i得牢牢實(shí)實(shí)。在遭受攻擊時(shí)，中國(guó)最富庶的東部地區(qū)將暴露在敵人的火力面前，無(wú)險(xiǎn)可守。中國(guó)一萬(wàn)多公里的海岸線，與這條戰(zhàn)略線幾乎完全平行。在現(xiàn)代的軍事斗爭(zhēng)中，中國(guó)要確保國(guó)家安全，維護(hù)領(lǐng)土和主權(quán)完整，就必須死守這條漫長(zhǎng)的戰(zhàn)略線，實(shí)施戰(zhàn)略防御。而中國(guó)作為一個(gè)崛起中的世界大國(guó)，必然不能被鎖在陸地上，走向大洋是中國(guó)不可逃避的選擇。只有突破這條戰(zhàn)略線，將海防線向外擴(kuò)展，使戰(zhàn)爭(zhēng)威脅遠(yuǎn)離本土，才能夠確保國(guó)家安全。于是，這條對(duì)于日本而言是必然牢牢控制的生命線和實(shí)現(xiàn)政治崛起的海上戰(zhàn)略線，同時(shí)也成為中國(guó)確保國(guó)家安全的底線和實(shí)現(xiàn)海上強(qiáng)國(guó)夢(mèng)想必須突破的戰(zhàn)略線。

兩個(gè)世界強(qiáng)國(guó)竟然被捆在了一條事關(guān)雙方民族興衰的戰(zhàn)略線上。即使具有有效的溝通和協(xié)商機(jī)制，雙方的沖突也很難避免。何況中日兩國(guó)是數(shù)百年之宿敵，懷著對(duì)對(duì)方極度的不信任感，沖突的可能性大大增加。

最近消息稱(chēng)，日本政府為了加強(qiáng)監(jiān)視中國(guó)在釣魚(yú)島附近海域的活動(dòng)，2014的防衛(wèi)預(yù)算將比2013增加2.8%，約為4.88萬(wàn)億日元(約合人民幣2848億)。這是日本連續(xù)兩年增加防衛(wèi)預(yù)算，對(duì)于軍事部署強(qiáng)化軍隊(duì)，可謂不留余力。

安倍主導(dǎo)的日本內(nèi)閣與極右翼勢(shì)力在釣魚(yú)島問(wèn)題上，對(duì)中國(guó)采取步步緊逼的策略，一邊在強(qiáng)化釣魚(yú)島近嶼的軍事部署，一邊在試圖將釣魚(yú)島問(wèn)題國(guó)際化，拉其盟國(guó)加入釣魚(yú)島之爭(zhēng)的漩渦，并挑撥中國(guó)與其他鄰國(guó)的島礁爭(zhēng)議制造事端。

對(duì)此，中國(guó)政府在捍衛(wèi)釣魚(yú)島主權(quán)問(wèn)題上的態(tài)度是明確的和一貫的，對(duì)日本政府一意孤行挑戰(zhàn)中國(guó)主權(quán)底線的行為，中國(guó)政府和軍隊(duì)不可能一再忍讓下去，東海防空識(shí)別區(qū)的公布和空軍進(jìn)行首次空中巡邏，對(duì)日發(fā)出強(qiáng)烈信號(hào)等于向日本政府正式攤牌，中國(guó)軍隊(duì)絕不允許日本海警在中國(guó)防空識(shí)別區(qū)為所欲為，將日本海空力量徹底逐出釣魚(yú)島區(qū)域，是中國(guó)政府劃定東海防空識(shí)別區(qū)的根本目的。

最近幾年，中國(guó)軍事實(shí)力尤其是海軍大幅增長(zhǎng)。因此，對(duì)于海上主權(quán)的維護(hù)也越發(fā)堅(jiān)決。2013年11月23日，中國(guó)國(guó)防部宣布劃設(shè)東海防空識(shí)別區(qū)，包含釣魚(yú)島附近相關(guān)空域。

中日在南海的軍備競(jìng)爭(zhēng)以及軍事部署已經(jīng)愈演愈烈，雙方都到了騎虎難下的境地。然而一旦出現(xiàn)摩擦，在輿論的壓迫下，勢(shì)必采取報(bào)復(fù)反報(bào)復(fù)行為，到那時(shí)，中日或許都將身不由己的滑向戰(zhàn)爭(zhēng)的泥淖。