第一篇：利用幾何畫板探究數(shù)學(xué)問題

利用幾何畫板探究數(shù)學(xué)問題 王敏

信息技術(shù)應(yīng)用于課堂教學(xué)，不僅可以提高課堂教學(xué)效率，還可以發(fā)揮學(xué)生的積極性、主動性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.利用幾何畫板探究數(shù)學(xué)的相關(guān)問題，便于學(xué)生直觀觀察、分析、驗證和歸納圖象的特征，突破難點.在歷年的中考中，二次函數(shù)都屬于重頭戲，所占的分值比例都很高，而且學(xué)習(xí)上也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點.便于學(xué)生直觀觀察、分析、驗證和歸數(shù)學(xué)作為一門獨立的自然科學(xué)，有它自身的特點、體系和規(guī)律。從國外引進的教育軟件幾何畫板以其學(xué)習(xí)入門容易和操作簡單的優(yōu)點及其強大的圖形和圖象功能、方便的動畫功能被國內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好，并已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要創(chuàng)作平臺之一。

（一）問題的提出

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，在傳統(tǒng)的認識中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只不過是一支筆一張紙的純理論性學(xué)習(xí)，既枯燥又乏味，從而使人們逐漸對其產(chǎn)生了厭惡的心理，尤其是在中學(xué)數(shù)學(xué)中，有相當一部分的知識是比較抽象難懂的，如不等式解的討論、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、圓錐曲線方程等等，于是在一些學(xué)校中產(chǎn)生了數(shù)學(xué)教師難教學(xué)生難學(xué)的現(xiàn)象。然而，近年來，隨著計算機和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展，現(xiàn)代信息技術(shù)漸漸地走進了課堂，并越來越多地影響著教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)活動。根據(jù)數(shù)學(xué)這門學(xué)科的特點，幾何畫板也正在漸漸地被越來越多的人所認識和應(yīng)用。

（二）可行性研究

1、對硬件配置要求比較低，即使是在老式的386機器上也可以運行，并且不需要其他軟件的支持就可以獨立運行。這樣即使計算機配置不是很好的學(xué)校也可以正常地使用它來進行教學(xué)；

2、制作出來的課件非常形象直觀，有利于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。而且修改也非常方便，甚至可以在課堂上直接地對課件進行制作與修改。

（三）幾何畫板的優(yōu)點

1.體積小 一是軟件本身的體積小，體積會更小，只用一張軟盤就可以裝下，而不必攜帶硬盤或刻錄到光盤上，方便于共享、上傳、下載、攜帶、演示和交流。

2.可以打包 幾何畫板雖然不像其他軟件一樣自帶打包工具，所制作的課件一般情況下只能在安裝有原程序的微機中才能運行,這樣就可以在沒有安裝原程序的微機中使用，更加方便于教學(xué)和管理。

3.強大的動畫功能 幾何畫板的運動按鈕可以分為“動畫”和“移動”兩種。“動畫”的運動方向可以分為向前、向后、雙向、自由四種，速度又可以分為中速、慢速、快速和其他四種，并且在其他后面的輸入框中可以輸入任意一個合適的數(shù)值，自定教師認為合適的速度；“移動”中的速度也可以分為慢速、中速、快速和高速四種。經(jīng)過巧妙組合后，所制作的點、線、面、體都可以在各自的路徑上以不同的速度和方向進行動畫或移動，可以產(chǎn)生良好、強大的動畫效果，并且所度量的角度或線段的長度及其他的一些數(shù)值也可以隨著點、線、面、體的運動而不斷地發(fā)生變化，非常接近于實際，可以更好地實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，給學(xué)生一個直觀的印象，起到良好的教學(xué)效果。

4.操作簡單 幾何畫板一切操作都只靠工具欄和菜單實現(xiàn)，而無需編制任何程序。整個只有一個常用工具欄，一個工具箱、一個運動控制臺和一個文本工具欄，并且工具箱、運動控制臺和文本工具欄還可以利用顯示菜單中的工具使它們處于隱藏狀態(tài)，使整個畫面盡可能地最大化。在常用工具欄的菜單中所涉及的制作工具都與數(shù)學(xué)內(nèi)容緊密聯(lián)系在一起，使用的都是數(shù)學(xué)中的名詞和術(shù)語，只要熟悉數(shù)學(xué)知識，這些內(nèi)容一看就懂，非常簡單。用幾何畫板進行開發(fā)速度非?？?，一般來說，如果有設(shè)計思路的話，操作較為熟練的老師開發(fā)一個難度適中的軟件只需5～10分鐘。

5.可以作為研發(fā)工具直接應(yīng)用于課堂在教學(xué)過程中 教師可以隨時根據(jù)學(xué)生的實際情況邊授課邊制作，或者由學(xué)生小組親自動手，制作一些簡單的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如平面上的任意一點，線段上的任意一點，三角形的中線、角平分線、高，等等，可以使學(xué)生不僅明白“任意”的意思，更綜合運用了平時所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，方便地用動態(tài)方式表現(xiàn)對象之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，實現(xiàn)直覺思維與邏輯思維相結(jié)合，并且學(xué)生還可以從中學(xué)會軟件的一些使用方法，體會到信息技術(shù)的優(yōu)勢。

通過利用幾何畫板讓學(xué)生動手體驗操作過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

第二篇：七年級數(shù)學(xué)幾何問題探究

七年級數(shù)學(xué)下暑假復(fù)習(xí)

幾何問題探究

1.如圖1，A、B兩點同時從原點O出發(fā)，點A以每秒x個單位長度沿x軸的負方向運動，點B以每秒y個單位長度沿y軸的正方向運動.（1）若∣x＋2y－5∣＋∣2x－y∣＝0，試分別求出1秒鐘后，OA和OB的長度。.（2）如圖2，設(shè)∠BAO的鄰補角和∠ABO的鄰補角的平分線相交于點P。問：點A、B在運動的過程中，∠P的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由。

（3）如圖3，延長BA至E，在∠ABO的內(nèi)部作射線BF交x軸于點C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分線相交于點G，過點G作BE的垂線，垂足為H，試問∠AGH和∠BGC的大小關(guān)系如何？請寫出你的結(jié)論并說明理由.圖1

圖2

圖3

2.如圖1，一副三角板的兩個直角重疊在一起，∠A=30°，∠C=45°△COD固定不動，△AOB繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)α°（0°< α <180°）

（1）若△AOB繞著O點旋轉(zhuǎn)圖2的位置，若∠BOD=60°，則∠AOC=________；

（2）若0°<α<90°，在旋轉(zhuǎn)的過程中∠BOD+∠AOC的值會發(fā)生變化嗎?若不變化，請求出這個定值；（3）若90°< α <180°，問題（2）中的結(jié)論還成立嗎?說明理由；

（4）將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α度（0°< α <180°），問當α為多少度時，兩個三角形至少有一組邊所在直線垂直?（請直接寫出所有答案）．

七年級數(shù)學(xué)下暑假復(fù)習(xí)

3.如圖1，已知直線m⊥n，垂足為點A，現(xiàn)有一個直角三角形ABC，其中∠ACB=90°，∠B=30°，現(xiàn)將這個三角形按如圖1方式放置，使點C落在直線m上． 操作：將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一周，如圖2所示．

通過操作我們發(fā)現(xiàn)，當旋轉(zhuǎn)一定角度α?xí)r，△ABC會被直線m或n分成兩個三角形，其中一個三角形有兩個角相等，請直接寫出所有符合條件的旋轉(zhuǎn)角度α．

4.RtΔ ABC中，∠C=90°，點D、E分別是邊AC、BC上的點，點P是一動點．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若點P在線段AB上，如圖1所示，且∠α=50°，則 ∠1+ ∠2= °；

（2）若點P在斜邊AB上運動，如圖2所示，則∠α、∠

1、∠2之間的關(guān)系是什么？

（3）若點P在斜邊BA的延長線上運動(CE＜CD)，請直接寫出∠α、∠

1、∠2之間的關(guān)系： _______；

（4）若點P運動到ΔABC形外(只需下圖情形)，則∠α、∠

1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．

5、在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內(nèi)任意一點，將AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使∠QAP=∠BAC，連接BQ，CP；

（1）如圖1，試說明BQ=CP；

（2）若將點P在△ABC外，如圖2，其它條件不變，結(jié)論依然成立嗎？試說明理由。

七年級數(shù)學(xué)下暑假復(fù)習(xí)

6、如圖1，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉(zhuǎn)，若點B、P在直線a的異側(cè)，BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，連接PM=PN

（1）延長MP交CN于點E（如圖2），①求證：△BPM≌△CPE；②求證：PM=PN

（2）若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，點B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變.此時PM=PN請給予證明；若不成立，請說明理由；

（3）若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷PM=PN

.7、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，求證：DE=AD+BE(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，求證：DE=AD-BE

當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，試問：DE、AD、BE有怎樣的等量關(guān)系?請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明

8、如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，GC．

（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（2）將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在BC邊上，如圖2，連接AE 和GC．你認為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由

七年級數(shù)學(xué)下暑假復(fù)習(xí)

9、如圖1，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形．

（1）當把△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；

（2）當△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，△AMN是否還是等邊三角形，為什么？

10、如圖，AC為正方形ABCD的一條對角線，點E為DA邊延長線上的一點，連接BE，在BE上取一點F，使BF=BC，過點B作BKBEB，交AC于點K，連接CF，交AB于點H，交BK于點G．

（1）求證：當t為何值時，BH=BG；

（2）求證：BE=BG+AE。

11、如圖，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP.請你通過觀察，測量，（1）猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連接AP，BQ，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；

（3）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連接AP，BQ.你認為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.

第三篇：利用幾何畫板進行探索性教學(xué)

利用“幾何畫板”進行探索性教學(xué)

————《一次函數(shù)的圖象》教學(xué)案例

溫州四中

王克局

[案例背景] “幾何畫板”是美國Key Curriculum Press公司制作的教育軟件，他給師生創(chuàng)造一個實際“操作”幾何圖形的環(huán)境，學(xué)生可以任意拖動圖形、觀察圖形、猜想和驗證結(jié)論。在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對各種圖形的感性認識，形成豐厚的幾何經(jīng)驗背景，從而更有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和理解。

“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法在初中數(shù)學(xué)中就有了一定的要求；同時函數(shù)是用運動變化的觀點對顯示世界數(shù)量關(guān)系的一種刻劃，這就決定了它是對學(xué)生進行素質(zhì)教育的重要材料，也是新的課程標準理念所在。正如華羅庚所說：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)少入微?！焙瘮?shù)的兩種表達方式（解析式和圖象）之間常常又需要進行對照，解決數(shù)形結(jié)合的問題。在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖“列表---描點---連線”，但手工繪圖不精確、速度慢。利用“幾何畫板”就能快速直觀地顯示其形成和變化過程，克服手工繪圖的弊端，提高課堂效率，進而達到事半功倍的目的。

[案例描述] ■ 教學(xué)目標

1、了解一次函數(shù)圖象的意義；

2、會畫一次函數(shù)的圖象；

3、會求一次函數(shù)的圖象與坐標軸的交點?！?教學(xué)重點：一次函數(shù)的圖象

■ 教學(xué)難點：驗證圖象的完備性（坐標滿足一次函數(shù)解析式的點在直線上）、純粹性（圖象上的點的坐標滿足函數(shù)解析式），學(xué)生不容易理解其意義。■ 教材分析

對函數(shù)的研究，在初中階段，只能是初步的。從方法上，是用初等方法，即傳統(tǒng)的初等數(shù)學(xué)的方法，而不是用極限、導(dǎo)數(shù)等高等數(shù)學(xué)的基本工具，并且，比起高中對函數(shù)的研究，更多地依賴于圖象的直觀，從研究的內(nèi)容上，通常包括定義域、值域、函數(shù)的變化特征等方面。關(guān)于定義域，只是在開始學(xué)習(xí)函數(shù)概念時，有一個一般的簡介，在具體學(xué)習(xí)幾種數(shù)時，就不一一單獨講述了，關(guān)于值域，初中暫不涉及，至于函數(shù)的變化特征，像上升、下降、極大、極小，以及奇、偶性、周期性，連續(xù)性等，初中只就一次函數(shù)與反比例函效的升降問題略作介紹，其它，在初中都不做為基本教學(xué)要求。本節(jié)課，函數(shù)的圖象直觀地反映了函數(shù)的性質(zhì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)打好基礎(chǔ)，并且函數(shù)圖象本身在解決實際問題中有許多應(yīng)用，因此學(xué)好本節(jié)課顯得至關(guān)重要。

[教學(xué)過程]

一、創(chuàng)設(shè)情境

我的媽媽有一個激勵我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好方法：每次我數(shù)學(xué)成績考滿分，就獎勵我2元人民幣。在5次考試后，我得到x次滿分。求：我得到的y元人民幣關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍。

y?2x(x?0,1,2,3,4,5)。但有些學(xué)生會錯認為是y?2x(0?x?5)），教師提示讓學(xué)生自己說出：x只能取整數(shù)。

回顧函數(shù)的三種表達方法：解析法；表格法；圖象法。

（板書其表格法）函數(shù)的解析法和表格法我們都會，而函數(shù)的圖象應(yīng)該怎么畫呢？（引起學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)圖象法的興趣，使之有強烈的欲望去將其弄明白。）

二、探索圖象

學(xué)生自主分組討論，并動手畫圖。大部分學(xué)生畫出來的是一條線段，也有一部分學(xué)生畫出來的是六個點，教師提示：

除這六個點以外的其他點取得到嗎？這是由什么決定的？生：x的取值范圍。教師利用“幾何畫板”操作：［列表---繪制點］（如圖１）。

圖１

圖２

變形1：請畫出函數(shù)y?2x(0?x?5)的圖形？這時，學(xué)生都能馬上說出這個函數(shù)的圖形是一條線段。教師操作演示：畫線段。（如圖２）

師：實際上這里函數(shù)圖象有多少個點組成？（無數(shù)個）（讓學(xué)生體會“線是有點構(gòu)成的”）變形2：請畫出函數(shù)y?2x的圖形？（直線）師：函數(shù)圖形是由什么基本元素構(gòu)成的呢？（點）

得出函數(shù)的圖象概念（板書）：把一個函數(shù)的自變量x與對應(yīng)的函數(shù)y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系內(nèi)描出它的對應(yīng)點，這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。

師：從而我們得到了當自變量為任意實數(shù)的時候，正比例函數(shù)的圖象是一條直線，那么是不是所有的一次函數(shù)的圖象都是一條直線呢？（這時學(xué)生的積極性極高，教師趁熱打鐵給出一個一次函數(shù)。）

變形3：請畫出一次函數(shù)y?2x?2的圖象？（直線）

三、研究畫法

師：畫一次函數(shù)的圖象基本步驟應(yīng)該是怎么樣呢？（先…然后…最后…）生：先找點。師：怎么找？（隨意）

師：非常對。同學(xué)們回答的都非常好。剛才大家取的點的坐標都是整數(shù)，取小數(shù)可以嗎？(可以)大家會不會這樣去做？(不會)為什么？(麻煩)所以我們習(xí)慣都是取整數(shù)點。

總結(jié)畫一次函數(shù)圖象的步驟：（1）列表（找點）（2）描點（3）連線。這種方法叫做描點法。師：函數(shù)y?2x和y?2x?2的圖象有什么關(guān)系？ 生：平行，可以通過平移得到。

師：對，非常正確。但是具體是經(jīng)過怎么平移的呢？我們以后會學(xué)到，如果有興趣的同學(xué)可以在課余時間去查閱資料。

師：是不是滿足一次函數(shù)y?2x的點都在直線y?2x上嗎？y?2x?2呢？反過來在直線y?2x上取一些點的坐標都滿足y?2x嗎？（通過使用“幾何畫板”精確地描出任意給出的點坐標在圖象上的位置［表格---繪制點］，以及能夠讀出在圖象上任意描出的點的坐標［右擊---坐標］。）如圖３、４。

圖３

圖４

結(jié)論：滿足一次函數(shù)的解析式的點都在圖象上，圖象上的每一個點的坐標都滿足一次函數(shù)解析式。想一想，說一說：

1、下列各點中，哪些點在函數(shù)y=4x+1的圖象上?哪些點不在函數(shù)y=4x+1的圖象上?為什么？

(2，9)，(5，1)，(-1，-3)

2、若函數(shù)y=2x-4 的圖象經(jīng)過點(1，a)，(b，2)兩點，則a=_______，b=_________。

3、點已知M(1，4)在一次函數(shù)y=ax+1的圖象上，則a的值是________。

四、例題分析

例1。在同一坐標系作出下列函數(shù)的圖象，并求出它們與坐標軸的交點坐標:

1y?3x，y??x?2

3分析：回顧畫函數(shù)圖象的基本步驟：（1）列表（找點）（2）描點（3）連線。師：要找?guī)讉€點？很多很多個？生：只用兩個就可以。師：為什么？生：兩個點確定一條直線。教師介紹“兩點法”。

教師在講函數(shù)圖象與坐標軸的交點時必須嚴格板書其步驟，讓學(xué)生注意格式。

引導(dǎo)學(xué)生自己說出：正比例函數(shù)y?kx與坐標軸的交點只有一個：原點。一次函數(shù)y?kx?b(k,b?0)與坐標軸有兩個交點。

五、練習(xí)鞏固

在同一坐標系中畫出下列函數(shù)的圖象；

y=3x-1，y=-2x+4

六、課堂小結(jié)

說說你的收獲??

1、知道了什么是函數(shù)圖象。

2、畫函數(shù)圖象的方法。

3、一次函數(shù)y?kx?b(k，b都為常數(shù)，且k?0)的圖象跟自變量的取值范圍有關(guān)。

[案例分析和思考]

1、突出數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的探索性。

真知的形成往往來源于真實的自主探究，只有放手探究，學(xué)生的潛力與智慧才會充分表現(xiàn)，學(xué)生也才會表現(xiàn)真實的思維和真實的自我。在新課程理念的指導(dǎo)下，我們的一切教學(xué)都要圍繞學(xué)生的成長與發(fā)展做文章，真正讓學(xué)生理解、掌握真實的知識和真正的知識。

本節(jié)課，關(guān)于一次函數(shù)圖象的引出，筆者沒有像教材那樣直接給出一個圖象，然后求出它就是一次函數(shù)的圖象；而是由引例的一個函數(shù)只有幾個點的出發(fā)，讓學(xué)生去畫一畫、討論討論的方式，使學(xué)生通過對直觀圖象觀察、歸納和猜想，自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后在自變量的取值范圍上設(shè)計了幾個一次函數(shù)，其圖象是由點?線段?直線，讓學(xué)生感受一次函數(shù)圖象跟自變量的取值范圍息息相關(guān)。

2、引進計算機《幾何畫板》技術(shù)

本課在驗證圖象的完備性（坐標滿足一次函數(shù)解析式的點在直線上）、純粹性（圖象上的點的坐標滿足函數(shù)解析式）時，通過使用《幾何畫板》精確地描出任意給出的點坐標在圖象上的位置，以及能夠讀出在圖象上任意描出的點的坐標，這樣使得初中平面幾何教學(xué)發(fā)生了重大的變化，充分調(diào)動了學(xué)生的直覺思維。這樣一來不僅極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，而且比過去的教學(xué)更能夠使學(xué)生深刻地理解幾何。當然，本教學(xué)案例在這方面的探索還是初步的，設(shè)想今后通過計算機技術(shù)的進一步開發(fā)與應(yīng)用，初中平面幾何能夠給學(xué)生更多動手的機會，讓學(xué)生以研究的方式利用計算機來學(xué)習(xí)幾何，進一步突出學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位。

3、開放課堂，張揚學(xué)生的自主能力。

尊重學(xué)生的思維主體和獨特感受，相信學(xué)生的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)能力。給學(xué)生更多的自主思考、自由表達和自我感受。本著這一教學(xué)理念，本課無論對情境信息的交流，還是一次函數(shù)圖象的認識，無論是對數(shù)形結(jié)合思想的理解，還是對描點法注意事項的說明，都給學(xué)生以充分的時間和空間，暢所欲言，盡情展示，最終達到“答案由學(xué)生找，結(jié)論由學(xué)生說”的理想境界。

第四篇：利用幾何畫板探究二次函數(shù)一般式的性質(zhì)

2y?ax?bx?c(a?0)的性質(zhì) 二次函數(shù)

目標：學(xué)生經(jīng)歷使用幾何畫板繪制二次函數(shù)圖像，通過觀察、思考、討論得出二次函數(shù)y?ax2?bx?c(a?0)中的待定系數(shù)a、b、c與圖像之間的關(guān)系 重點：二次函數(shù)y?ax2?bx?c(a?0)的性質(zhì) 難點：二次函數(shù)y?ax2?bx?c(a?0)性質(zhì)的得出

信息技術(shù)硬件：信息技術(shù)教室、學(xué)生計算機 信息技術(shù)軟件：幾何畫板、幻燈片投影 過程：

一、幾何畫板操作講解

1.將下載好的幾何畫板分發(fā)給學(xué)生機器

，并控制所有學(xué)生機

2.啟動幾何畫板的方法：雙擊

圖標，進入界面

3.啟動函數(shù)繪圖的操作方法：圖表→繪制新函數(shù)→新建函數(shù)對話框 或用快捷鍵（Ctrl+G）

4.繪制指定函數(shù)圖像的輸入方法： 注意：指數(shù)使用“

”輸入 例如：要繪制函數(shù)y?3x2?4x?1，應(yīng)該在對話框中依次輸入3,X，︿，2，+，4，*，X，-，1，然后確定，就得到圖像

可以通過向右、向左拖拽下圖中的紅點控制坐標系的精度大小和圖像的大小

例如：要繪制函數(shù)y?3(x?1)2?2，應(yīng)該在對話框中依次輸入3，（，X,-,1，）︿,2，+,2然后確定，就得到圖像

二、學(xué)生實踐

1.教師取消學(xué)生機控制，讓學(xué)生嘗試用幾何畫板作函數(shù)y??x2和y?x2?2x?1的圖像

2.教師指導(dǎo)個別邊緣學(xué)生操作

三、自主探究

探究1.利用幾何畫板分別作函數(shù)y?x2?3x?2，y??2x2?x?1的圖像

探究2.利用幾何畫板分別作函數(shù)y?x2?2x?2，y??x2?3x?

4四、思考與討論

1.教師利用幻燈展示以上四個函數(shù)的圖像

2.教師提問，學(xué)生獨立思考一下問題，教師隨機抽查：

問題1：以上四個二次函數(shù)都是以一般式y(tǒng)?ax2?bx?c(a?0)形式給出的，他們的圖像都是什么形狀的？

問題2：以上四個二次函數(shù)中的待定系數(shù)a、b、c各是多少？

問題3：以上四個二次函數(shù)圖像的開口方向、頂點位置、圖像與y軸的交點位置情況如何？

3.學(xué)生以四人小組討論：二次函數(shù)中的待定系數(shù)a、b、c與圖像的開口方向、頂點位置、圖像與y軸的交點位置有怎樣的關(guān)系？ 學(xué)生展示，教師逐一抽查各小組討論結(jié)果

五、教師講解難點問題：“待定系數(shù)b的作用”

注意觀察第一組函數(shù)y?x2?3x?2和y??2x2?x?1的待定系數(shù)與圖像，他們的二次項系數(shù)與一次項系數(shù)同號，且頂點都位于y軸的左側(cè)；而第二組函數(shù)y?x2?2x?2，y??x2?3x?4的二次項系數(shù)與一次項系數(shù)異號，且頂點都位于y軸的右側(cè)，由此我們不難得出這樣的猜想：二次函數(shù)y?ax2?bx?c(a?0)中的待定系數(shù)b與拋物線的頂點位置有關(guān)，當b與a同號時，頂點位于y軸的左側(cè)，當b與a異號時，頂點位于y軸的右側(cè)。這是一般性結(jié)論呢還是巧合，請同學(xué)們再次驗證

六、學(xué)生驗證

1.每一位學(xué)生寫出一個b與a同號的二次函數(shù)和一個b與a異號的二次函數(shù)并用幾何畫板驗證以上猜想 2.學(xué)生展示結(jié)果、質(zhì)疑

七、教師給出一般性證明

對一般的二次函數(shù)y?ax2?bx?c(a?0)進行配方后我們能得到

b4ac?b2)頂點坐標公式：(?,2a4a分類討論：

1.頂點位于y軸的左側(cè)時，頂點橫坐標?同乘2得

bb?0，兩邊同時除以?1得?0，兩邊2a2ab?0，因此b與a同號 abb?0，兩邊同時除以?1得?0，兩邊2a2a2.頂點位于y軸的右側(cè)時，頂點橫坐標?同乘2得b?0，因此b與a異號 a

八、師生互動、共同小結(jié)

二次函數(shù)一般式y(tǒng)?ax2?bx?c(a?0)的圖像是拋物線

1.二次項系數(shù)“a”決定拋物線的開口方向 當a?0時，開口向上 當a?0時，開口向下

2.一次項系數(shù)“b”與二次項系數(shù)“a”共同決定拋物線的頂點位置（左同右異）當b與a同號時，頂點位于y軸的左側(cè) 當b與a異號時，頂點位于y軸的右側(cè) 3.常數(shù)項“c”決定拋物線與y軸的交點位置 當c?0時，拋物線與y軸交于正半軸，交點為(0,c)當c?0時，拋物線與y軸交于負半軸，交點為(0,c)當c?0時，拋物線經(jīng)過原點(0,0)

反之亦然，我們也可以通過圖像的特征得出待定系數(shù)a、b、c的正負。給出拋物線的形狀讓我們判斷待定系數(shù)的正負是數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的重要考點之一。

九、課堂作業(yè) 1.2.3.4.5.6.

第五篇：《幾何畫板》與數(shù)學(xué)教學(xué)

存檔編號

贛南師范學(xué)院科技學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文

《幾何畫板》與數(shù)學(xué)教學(xué)

屆 別 2012屆 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號 0820151207 姓 名 程思華 指導(dǎo)老師 黃進紅 完成日期 2012年4月28日

系 別 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系

目錄

內(nèi)容摘要.........................................................1 關(guān)鍵詞...........................................................1 Abstract.........................................................1 Key word.........................................................1 1.《幾何畫板》簡介...............................................2 2.《幾何畫板》主要功能及其特點...................................2 2.1 《幾何畫板》的主要功能.......................................2 2.2 《幾何畫板》的特點...........................................4 3．《幾何畫板》在數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要作用體現(xiàn).........................5 3.1 《幾何畫板》在代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用...............................5 3.2《幾何畫板》在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用............................5 4．《幾何畫板》輔助數(shù)學(xué)教學(xué)分析...................................6 5．《幾何畫板》輔助數(shù)學(xué)教學(xué)課件示例...............................7 5.1 課件制作過程.................................................7 5.2 小結(jié).........................................................9 參考文獻........................................................10 致謝............................................................11

《幾何畫板》與數(shù)學(xué)教學(xué)

內(nèi)容摘要：《幾何畫板》是21世紀數(shù)學(xué)教學(xué)的一個新興軟件，它是一個通用的數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境，提供豐富而方便的創(chuàng)造功能使用戶可以隨心所欲地編寫出自己需要的教學(xué)課件。本文對幾何畫板的功能、特點，以及其應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)進行分析，闡明了幾何畫板對數(shù)學(xué)教學(xué)的輔助作用。

關(guān)鍵詞：幾何畫板 數(shù)學(xué)教學(xué) 教學(xué)分析

Abstract: “ Geometry drawing board” in twenty-first Century mathematics teaching an emerging software, it is a general mathematical teaching environment, providing a rich and convenient feature allows users to create arbitrary need to write their own teaching courseware.The Geometer's Sketchpad function, characteristics, and should be used in mathematics teaching to carry on the analysis, explained the Geometer's Sketchpad in mathematics teaching aided function.Key word：The Geometer's Sketchpad Mathematics Teaching Teaching analysis

1.《幾何畫板》簡介

21世紀對于人才的重視程度越來越高，對教育的關(guān)注也有增無減，而數(shù)學(xué)教學(xué)便成為了教育環(huán)節(jié)中的一個重點與難點，由于許多數(shù)學(xué)概念的抽象化，平面化，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上理解困難，而《幾何畫板》正是解決這一難題的理想的教學(xué)軟件。

《幾何畫板》原名:The Geometer's Sketchpad，是由美國Key Curriculum Press公司研制并出版的幾何軟件。它是一個適用于數(shù)學(xué)教學(xué)的軟件平臺,為教師和學(xué)生提供了一個探索幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境。它以點、線、圓為基本元素,通過對這些基本元素的變換、構(gòu)造、測算、計算、動畫和跟蹤軌跡等方式,能顯示或構(gòu)造出較為復(fù)雜的圖形。

《幾何畫板》操作簡單,只要用鼠標點取工具欄和菜單就可以開發(fā)課件。它無需編制任何程序,一切都要借助于幾何關(guān)系來表現(xiàn),因此它只適用于能夠用數(shù)學(xué)模型來描述的內(nèi)容。很適合于數(shù)學(xué)老師使用,這也正是數(shù)學(xué)老師所擅長的。用《幾何畫板》進行開發(fā)速度非常快,一般來說,如果有設(shè)計思路的話,操作較為熟練的老師開發(fā)一個難度適中的軟件只需5～10分鐘。

2.《幾何畫板》主要功能及其特點

2.1 《幾何畫板》的主要功能

《幾何畫板》被譽為是21世紀的動態(tài)幾何，其功能可見一斑。

《幾何畫板》是一個通用的數(shù)學(xué)、物理教學(xué)環(huán)境，提供豐富而方便的創(chuàng)造功能使用戶可以隨心所欲地編寫出自己需要的教學(xué)課件。軟件提供充分的手段幫助用戶實現(xiàn)其教學(xué)思想，只需要熟悉軟件的簡單的使用技巧即可自行設(shè)計和編寫應(yīng)用范例，范例所體現(xiàn)的并不是編者的計算機軟件技術(shù)水平，而是教學(xué)思想和教學(xué)水平。可以說《幾何畫板》是最出色的教學(xué)軟件之一。

《幾何畫板》所作出的圖形是動態(tài)的，可以再圖形變動時保持設(shè)定不變的幾何關(guān)系。如設(shè)定某線段的重點后，線段的未知、長短、斜率變化時，該點的

位置變化，但永遠是該線段的中點；設(shè)定為平行的直線在動態(tài)中永遠保持平行。由于能“在運動中保持給定的幾何關(guān)系”，就可以運用《幾何畫板》在“變化的圖形中，發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律”，給我們開展“數(shù)學(xué)實驗”，進行探索式學(xué)習(xí)提供了很好的工具。

《幾何畫板》提供了平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射燈圖形變換功能，可以按指定的值或動態(tài)的值對圖形進行這些變換，也可以使用由用戶定義的向量、距離、角度、比值來控制這些交換?！稁缀萎嫲濉愤€能對動態(tài)的對象進行“追蹤”，并能顯示該對象的“蹤跡”，如點的蹤跡、線的蹤跡、形成的曲線或包絡(luò)。利用這一功能可以是學(xué)生預(yù)先猜測軌跡的形狀，還可以看到軌跡形成的過程以及軌跡形成的原因，為觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探討問題創(chuàng)設(shè)了較好的情境。

《幾何畫板》提供了度量和計算功能，能夠?qū)λ鞒龅膶ο筮M行度量，如度量線段的長度、度量弧長、角度、面積等。還能夠?qū)Χ攘砍龅闹颠M行計算，包括四則運算、函數(shù)運算，并把結(jié)果動態(tài)的顯示在屏幕上。當被測量的對象變動時，顯示它們大小的量也隨之改變，可以動態(tài)地觀察它們的變化或者關(guān)系。這樣一來，像研究多邊形的內(nèi)角和之類的問題就非常容易了。許多定量研究也可以借助《幾何畫板》來進行。

《幾何畫板》還提供自定義工具，自定義工具就是把繪圖過程自動記錄下來，形成一個工具，并隨文件保存下來，以后可以使用這個工具進行繪圖。比如，課前把畫正方體的過程記錄下來，制作成一個名為“畫正方體”的工具，用這個工具在課堂上再畫一個正方體只要幾秒鐘。我們可以把畫橢圓、畫雙曲線、畫拋物線或者一些常用圖形的制作過程分別記錄下來，建立自己的工具庫，這可以大大增強《幾何畫板》的功能。用這一功能還可以揭示他人用《幾何畫板》制作課件的過程，向他人學(xué)習(xí)制作經(jīng)驗，提高制作水平，還可以進一步用來進行課件制作方法交流、研究。

《幾何畫板》支持直角坐標系和極坐標系，支持由y=f(x),x=f(y), r=f(θ)，θ=f（r）確定的圖像或曲線。只要給出函數(shù)的表達式，《幾何畫板》

能畫出任何一個初等函數(shù)的圖像，還可以給定自變量的范圍。如果需要進行動態(tài)控制，可以做出含若干個參數(shù)的函數(shù)圖像。用《幾何畫板》可以畫分段函數(shù)的圖像，而且可以畫出分任意段的分段函數(shù)的圖像。

《幾何畫板》支持多種坐標系的選擇，不但可以作出直角坐標系下方程所表示的曲線，也可以做出極坐標下方程表示的曲線。不僅能制作出由普通方程給出的曲線，也能作出由參數(shù)方程給出的曲線

2.2 《幾何畫板》的特點

《幾何畫板》的很多不同于其他繪圖軟件的特點為教學(xué)過程中提出問題、探索問題、分析問題和進一步解決問題提供了極好的外部條件,為培養(yǎng)學(xué)生的能力提供了極好的工具。

《幾何畫板》最大的特點是“動態(tài)性”：即：可以用鼠標拖動圖形上的任一元素（點、線、圓），而事先給定的所有幾何關(guān)系（即圖形的基本性質(zhì)）都保持不變，這樣更有利于在圖形的變化中把握不變，深入幾何的精髓，突破了傳統(tǒng)教學(xué)的難點。

《幾何畫板》操作簡單，易于掌握運用。只要用鼠標點取工具欄和菜單就可以開發(fā)課件。它無需編制任何程序，一切都要借助于幾何關(guān)系來表現(xiàn)，因此它只適用于能夠用數(shù)學(xué)模型來描述的內(nèi)容--例如部分物理、天文問題等。因此，它非常適合于數(shù)學(xué)老師使用，如果有設(shè)計思路的話，用《幾何畫板》進行開發(fā)課件速度非?？臁?/p>

《幾何畫板》還能為學(xué)生創(chuàng)造一個進行幾何“實驗”的環(huán)境。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要數(shù)學(xué)邏輯經(jīng)驗的支撐，而數(shù)學(xué)經(jīng)驗是從操作活動中獲得。離開人的活動是沒有數(shù)學(xué)、也學(xué)不懂數(shù)學(xué)的。在老師的引導(dǎo)下，《幾何畫板》可以給學(xué)生創(chuàng)造一個實際“操作”幾何圖形的環(huán)境。學(xué)生可以任意拖動圖形、觀察圖形、猜測并驗證，在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對各種圖形的感性認識，形成豐厚的幾何經(jīng)驗背景，從而更有助于學(xué)生理解和證明。因此，《幾何畫板》還能為學(xué)生創(chuàng)造一個進行幾何“實驗”的環(huán)境，有助于發(fā)揮學(xué)生的主體性、積極性和創(chuàng)

造性，充分體現(xiàn)了現(xiàn)代教學(xué)的思想。

3．《幾何畫板》在數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要作用體現(xiàn)

3.1 《幾何畫板》在代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)是高中的重要知識體系,而函數(shù)又是最基本、最重要的概念,它的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個部分;同時,函數(shù)是以運動變化的觀點對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的一種刻畫,這又決定了它是對學(xué)生進行素質(zhì)教育的重要材料。就如華羅庚所說:“數(shù)缺形少直觀,形缺數(shù)難入微?！倍覀兘處熢谶M行函數(shù)教學(xué)時,備感頭疼的是函數(shù)的圖像,為了解決數(shù)形結(jié)合的問題,在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中,大多數(shù)老師用手工繪圖,但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端;而運用《幾何畫板》快速直觀的顯示及變化功能,恰好可以克服上述弊端,從而大大提高課堂效率,進而起到事半功倍的效果。

比如,圖像的變化是代數(shù)教學(xué)的一個難點,要說明函數(shù)的圖像與圖像的關(guān)系,我們可以通過《幾何畫板》拖動點反復(fù)觀察圖像移動與t的數(shù)量關(guān)系,當函數(shù)式中t>0時,圖像右移,當t<0時,圖像左移,形象直觀地顯示了圖像的移動與參數(shù)t之間的關(guān)系,從而歸納出圖像平移變化的規(guī)律。

3.2《幾何畫板》在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

立體幾何主要是為了培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力而開設(shè)的,初學(xué)立體幾何時,大多數(shù)學(xué)生不具備豐富的空間想象的能力和較強的平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力,主要原因在于人們習(xí)慣于依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形,而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照,平面上繪出的立體圖形的平面直觀圖因受其視角的影響,難于綜觀全局。而用《幾何畫板》則能輕松地達到意想不到的效果。

對于棱臺的教學(xué),我們往往采用模型進行教學(xué),通過“模型”和“圖形”的聯(lián)系,加深對所授幾何體的概念和性質(zhì)的理解,但“模型”加“圖形”的教學(xué)方法仍不能直觀明了地向?qū)W生展示棱臺的性質(zhì),倘若能通過《《幾何畫板》》

在前面得到的三棱錐的基礎(chǔ)上,在大的棱錐上截取一個小棱錐,然后對這個小棱錐進行移動來實現(xiàn)對棱錐的拆分得到棱臺。充分培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,通過《幾何畫板》解決教學(xué)中的重點和難點,也使學(xué)生對立體幾何學(xué)習(xí)有一種新的認識,并能產(chǎn)生濃厚的興趣。

3.3 《幾何畫板》在平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科,它研究問題的基本思想和基本方法是:根據(jù)已知條件,選擇適當?shù)淖鴺讼?借助形和數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,求出表示平面曲線的方程,把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)來研究;再通過方程,研究平面曲線的性質(zhì),把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化,導(dǎo)致點、線按不同的方式做運動,曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系比較抽象,學(xué)生不易理解。而展示幾何圖形變形與運動的整體過程在解析幾何教學(xué)中是非常重要的,這樣,《幾何畫板》就以其極強的運算功能和圖形圖像功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手。

4．《幾何畫板》輔助數(shù)學(xué)教學(xué)分析

培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。在教師精心的設(shè)計下,恰當?shù)乩谩稁缀萎嫲濉返难菔?協(xié)助學(xué)生思考而不是代替學(xué)生思考,可促進學(xué)生思維的發(fā)展。在橢圓的離心角的教學(xué)中,橢圓的半徑為終邊的角與橢圓離心角容易混淆。若利用《幾何畫板》,不僅可以使學(xué)生把這兩個角的關(guān)系辨析清楚,而且電腦動態(tài)顯示的優(yōu)勢抓住了時機,有助于發(fā)展學(xué)生的思維能力。

培養(yǎng)學(xué)生的探索、觀察能力?！疤剿魇菙?shù)學(xué)的生命線”。用《幾何畫板》進行探索思考、觀察,使學(xué)生的想象力得以發(fā)揮,其顯示功能通過動態(tài)的演示軌跡,增強學(xué)生感性認識,化抽象的事物為具體的事物。

解決許多帶參數(shù)的軌跡問題,培養(yǎng)學(xué)生分類討論的能力。在畫板的幫助下很多需要分類討論的帶參數(shù)的問題變得簡單,讓學(xué)生們在思考過程中“興奮”起來,學(xué)生對參數(shù)的改變引起軌跡的變化的認識也就更深刻了,分類討論的思 6

想迎刃而解。

培養(yǎng)學(xué)生解決實際應(yīng)用問題的能力。應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)的又一特點,數(shù)學(xué)教學(xué)中注重應(yīng)用。應(yīng)用題往往難在對實際問題的數(shù)學(xué)化。而運用畫板進行輔助教學(xué)將易于揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì),有助于增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

5．《幾何畫板》輔助數(shù)學(xué)教學(xué)課件示例

范例：一條線段CD的一個短點C在定圓A上運動，制作線段CD的垂直平分線與直線AC的交點的軌跡。

5.1 課件制作過程

(1)按“文件”-“新建文件”，建立新畫板。用“畫圓”工具畫一個圓A。B是圓上的電，可用以改變遠的大小，Ctrl+H隱藏B點。（2）用“畫線段”工具畫線段CD，使點C在圓上，D在圓內(nèi)。

（3）選擇線段CD，做出線段中點E。（如圖5.1.1）

圖 5.1.1（4）過點E做線段CD的垂線，選定直線，顯示直線的標簽j。

（5）在空白處單擊鼠標，釋放對之間j的選擇。用鼠標按住“畫線段工具

不放開，顯示出一排按鈕，拖動鼠標到“畫直線”工具處松開鼠標，“畫線段”工具成為“畫直線”工具。（如圖5.1.2）

圖 5.1.2（6）用“畫直線”工具畫直線AC，按Ctrl+K鍵，顯示直線AC的標簽k。（7）用“選擇”工具單擊之間j與k的交點處，做出交點F。

（8）用“選擇”工具同時選中主動點C與被動點F，單擊“構(gòu)造”菜單里的“軌跡”，做出點F的軌跡--橢圓。

圖 5.1.3 8

（9）按shift鍵，單擊“顯示”菜單里的“線型”-“粗線”選項，把橢圓設(shè)置成粗線。（如圖5.1.3）

（10）同時選中之間j和點C，單擊“構(gòu)造”菜單里的軌跡，做出之間j的軌跡，它的包絡(luò)是橢圓。（如圖5.1.4）

圖 5.1.4 5.2 小結(jié)

如以上制作過程，《幾何畫板》通過簡潔方便的操作，直觀的展示了橢圓的構(gòu)造原理及其軌跡，其動態(tài)的圖形功能，豐富的圖像功能，無一不說明《幾何畫板》是一個優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教學(xué)輔助工具。

參考文獻

文玉蟬，《幾何畫板》----21世紀的動態(tài)幾何{J}，玉林師范學(xué)院學(xué)報，2003，（03）。

楊超杰，淺談“《幾何畫板》”及其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用{J}，中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2009，（03）。

雒淑英，應(yīng)用《幾何畫板》優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué){J}，科技信息（學(xué)術(shù)研究），2007，（30）。

丁佐宏，《幾何畫板》：高中數(shù)學(xué)教學(xué)的工具{J}，新課程（新高考版），2008，（01）。

劉愛英，《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用例談{J}，中國現(xiàn)在教育設(shè)備，2010，（04）。

陳俊新，《幾何畫板》與數(shù)學(xué)教學(xué)-----課堂教學(xué)的小課件應(yīng)用{J}，考試周2007，萬方數(shù)據(jù)庫 004km.cn

致謝：

感謝我的指導(dǎo)老師黃進紅老師，從論文的選題，到定稿，都在黃老師的悉心指導(dǎo)下完成，黃老師認真負責的工作態(tài)度給我留下了難以磨滅的印象，也為我今后的工作樹立了優(yōu)秀的榜樣。