第一篇：如何進(jìn)行定理教學(xué)

如何進(jìn)行定理教學(xué)

——高職院校高等數(shù)學(xué)課程改革的反思與探索

劉新求

付麗

（湖南工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)系

湖南

長沙

410151）

摘要：高職院校的高等數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)該把握尺度，定理的教學(xué)應(yīng)該根據(jù)學(xué)生和課程特點采取靈活多變和盡可能直觀形象的方法，以微分中值定理進(jìn)行個案設(shè)計。關(guān)鍵詞：高職院校；高等數(shù)學(xué)；定理；

How to Teach Theorems

_____ Thinking and exploring to the reform of advanced mathematics in

higher vocational institutions

Liu xinqiu(the basic department of Hunan engineering vocational institution

changsha hunan

410151)1[1]

Abstract: The reform of advanced mathematics in higher vocational institutions must be careful.The teaching of Theory must be suitable to the students and the curriculum.The teaching way would be feasible and visuale.Key Words: higher vocational institutions;advanced mathematics;Theory 問題的提出

高職院校的高等數(shù)學(xué)課程改革正在全面進(jìn)行，各種各樣的專門為高職院校學(xué)生編寫的高等數(shù)學(xué)教材不斷涌現(xiàn)出來。改革的指導(dǎo)思想定位為：為專業(yè)服務(wù)，夠用為度，淡化理論，注重應(yīng)用。在這一指導(dǎo)思想之下，許多教材一再降低難度，尤其是略去了大部分定理的證明。針對現(xiàn)有的高職系列高等數(shù)學(xué)教材大幅縮減定理的證明這一現(xiàn)象，筆者在所任教的兩個班（共96人）作一項關(guān)于高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的問卷調(diào)查時，設(shè)計了“你如何看待定理的證明”的問題，在備選答案“希望把定理的證明講清楚”和“定理的證明不太重要，只要會做題就行了”中，有62%的學(xué)生選擇“希望把定理的證明講清楚”，這大大出乎我的意料之外，為此，我特意找了一部分學(xué)生進(jìn)行訪談，大部分同學(xué)都認(rèn)為如果不講清楚定理的證明則沒有說服力，會產(chǎn)生抵制情緒，也很難記住定理的結(jié)論。我們教學(xué)的對象是學(xué)生，學(xué)生的感受和體會應(yīng)該是衡量我們教學(xué)成敗的一個重要依據(jù)，高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革應(yīng)該如何把握尺度，這是一個值得關(guān)注的問題。筆者就高職院校的高等數(shù)學(xué)課程如何進(jìn)行定理的教學(xué)進(jìn)行了反思和探討。探索解決問題的途徑

2.1 分析學(xué)生的心理

我們一般認(rèn)為，學(xué)生不喜歡抽象的理論推導(dǎo)，對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生尤其如此。為什么調(diào)查中會有那么多學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該講清楚定理的證明呢？通過與學(xué)生訪談，我分析總結(jié)出以下三個方面的原因：（1）中學(xué)以來的數(shù)學(xué)教學(xué)模式所形成的思維定勢。我國的數(shù)學(xué)教學(xué)一貫以來注重理論的嚴(yán)謹(jǐn)性，學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)知識就是要言之有理，都必須要經(jīng)過推導(dǎo)才能得出來。中小學(xué)因為內(nèi)容少，難度小，課時充足，教師在教學(xué)中基本上作到了這一點，這是學(xué)生 劉新求：（1971-）女，湖南婁底人，碩士研究生，湖南師范大學(xué)在讀博士，主要研究數(shù)學(xué)課程教學(xué)和圖論。形成這樣的數(shù)學(xué)觀念的重要原因；（2）從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的看，并不是狹隘的應(yīng)用主義，相反比較傾向于能力方面的提高，有人做過這方面的調(diào)查，得出了相似的結(jié)論[1]。這一點似乎和改革的思路有出入，從社會文化背景的角度看，和我們中國人對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的傳統(tǒng)觀念有關(guān)。（3）證明有助于理解定理的內(nèi)容，記住定理的結(jié)論，從認(rèn)知的觀點來說就是易于把新知識同化到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。

從以上分析來看，學(xué)生對數(shù)學(xué)定理的證明所持的態(tài)度有傳統(tǒng)教學(xué)方式和社會觀念的影響，也有自身的價值取向，對此我們不能簡單地肯定與否定，簡單地迎合學(xué)生的心理將使得高等數(shù)學(xué)課程改革回到原點，這絕對不符合這一事物發(fā)展的規(guī)律；全盤否定更是會使得高等數(shù)學(xué)課程改革走入一種困境，十多年來高等數(shù)學(xué)課程改革因為各種因素而步履維艱，收效甚微，這是值得我們借鑒的。

2.2 反思高等數(shù)學(xué)課程開設(shè)的意義

高等數(shù)學(xué)課程在各級各類學(xué)校的地位都是一門公共基礎(chǔ)課程，承擔(dān)著提高學(xué)生文化素質(zhì)和為專業(yè)服務(wù)的雙重任務(wù)。筆者認(rèn)為，這兩重目的應(yīng)該處于一個并列的地位，以前過分強(qiáng)調(diào)前者不對，現(xiàn)在如果純粹強(qiáng)調(diào)后者也會走入一條死胡同，數(shù)學(xué)本身的特點決定了這一點。數(shù)學(xué)的應(yīng)用是一種最廣泛意義上的應(yīng)用，日本數(shù)學(xué)教育家米三國藏曾指出“數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法”將長期在學(xué)生的生活和工作中發(fā)揮作用[2]。對于職業(yè)技術(shù)學(xué)院的學(xué)生來說，高等數(shù)學(xué)課程既為專業(yè)學(xué)習(xí)提供語言和工具，同時也是增長知識，提高素質(zhì)一條重要途徑。狹隘的實用主義思想之下，勢必會把那些所謂有用的知識簡單羅列呈現(xiàn)給學(xué)生，期望學(xué)生盡快掌握它，應(yīng)用它，高等數(shù)學(xué)知識抽象而聯(lián)系緊密，要做到這一點實屬不易。另外，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用扎根于它最初的發(fā)生發(fā)展過程之中，也就是說，絕大分?jǐn)?shù)學(xué)知識最初的發(fā)生發(fā)展就是因為實際的需要，所以用適當(dāng)?shù)姆绞秸故緮?shù)學(xué)知識的本質(zhì)和形成過程是必要的，證明定理就是一種有效的教學(xué)途徑。2.3 解決問題的思路

高職院校的高等數(shù)學(xué)課程如何進(jìn)行定理的教學(xué)？我們既要考慮高職學(xué)生的實際需要，又要結(jié)合高等數(shù)學(xué)課程的特點，我們應(yīng)該有區(qū)別地對待不同的定理，有所取舍，同時采用靈活多變、盡可能直觀形象的教學(xué)方式：（1）定理本身在課程中的地位相當(dāng)重要，定理的證明過程包含了最普遍、最本質(zhì)、最原始的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)出定理結(jié)論發(fā)現(xiàn)過程的，盡量詳細(xì)地論證，而對那些相對處于次要地位或證明過程表現(xiàn)為一種技巧和發(fā)現(xiàn)結(jié)論后的一種說明的，證明過程可以相對簡化，有些甚至可以不加證明；（2）證明的方法應(yīng)該多樣化，幾何直觀，物理背景，舉例分析，反例驗證，整體思路說明，局部證明等都是可以應(yīng)用的方法，這些方法不一定是嚴(yán)格完整的證明，但卻要能從不同側(cè)面說明定理的實質(zhì)。尤其對于那些抽象難懂的定理應(yīng)靈活地運(yùn)用多種方法來進(jìn)行生動形象地說明解釋，不應(yīng)拘泥于教材（教材往往表現(xiàn)為相對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问剑＠纭白钪刀ɡ怼蔽覀兛梢圆捎脦缀沃庇^和舉反例的方法來說明：為什么要是閉區(qū)間？為什么一定要連續(xù)？是不是必要條件？等等。又如“二元函數(shù)取得極值的充分條件”我們可以采用局部證明的方法：學(xué)生往往對判別式“ ”感到很抽象，不理解，而要嚴(yán)格證明這條定理有確實有困難，一般非數(shù)學(xué)專業(yè)的教材中都沒有證明，只舉例說明 的情況。我們可以引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù) 在的二階導(dǎo)數(shù)必須同號的問題，指出：如果和異號，則表明函數(shù)在不同的變化方向取得極值的情況不同，分別取得極大和極小，所以從整體上看就不取得極值，此時判別式。這雖然算不上是完整的證明，但也能從某種程度上反映二元函數(shù)取得極值的實質(zhì)是點 從不同方向趨近于點時都應(yīng)該取得極大（?。┲?，函數(shù)才取得極

大（小）值，這對學(xué)生理解定理是有好處的。教材也許不好靈活變動，但具體的教學(xué)過程確實可以變通的。3 個案設(shè)計

為了能更好地說明筆者的思路，下面以微分中值定理的教學(xué)為例進(jìn)行個案設(shè)計。微分中值定理是微積分中處于基礎(chǔ)地位的重要定理，包括3條定理：羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理，根據(jù)這三條定理各自的特點我們應(yīng)該采取不同的教學(xué)方法和策略。3.1證明羅爾定理

羅爾定理是證明其他兩條定理的基礎(chǔ)，況且羅爾定理的證明過程反映出連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)變化的規(guī)律：函數(shù)值從增加到減少，或從減少到增加，連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在其間必定經(jīng)歷一個穩(wěn)定點，即導(dǎo)數(shù)為零的點，這是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)！相比之下，后面拉格朗日定理和柯西定理的證明雖然比較簡潔，但是卻相對表現(xiàn)為一種技巧，方法，更像是發(fā)現(xiàn)結(jié)論之后的一種說明，所以后兩個定理的證明反而顯得沒有那樣重要（有些高職教材上卻略去了羅爾定理的證明）。具體的教學(xué)過程可以分4個步驟進(jìn)行：

（1）引導(dǎo)學(xué)生畫出符合羅爾定理條件的各種圖形。

如果照本宣科地證明羅爾定理，既引不起學(xué)生的興趣，學(xué)生也不能深刻理解羅爾定理。所以根據(jù)高職學(xué)生的特點，為了展示羅爾定理本質(zhì)和形成過程，在呈現(xiàn)了羅爾定理的內(nèi)容之后可以要學(xué)生畫出符合定理的曲線。于是引導(dǎo)學(xué)生分析：第一個條件表明這是一條連續(xù)的曲線，第二個條件表明這是一條光滑的曲線，第三個條件則表明曲線在端點處的函數(shù)值相等。學(xué)生在畫圖的過程中能夠注意到符合羅爾定理的圖形有可能有各種不同的形式并體會到極值點的存在性。（2）證明費(fèi)馬定理

怎樣從理論上證明極大值點或極小值點的導(dǎo)數(shù)為零呢？實際上就是證明引理費(fèi)馬定理，證明了費(fèi)馬定理就是理解了羅爾定理乃至中值定理的實質(zhì)，所以這里必須充分展示定理結(jié)論的形成過程。

（3）理清思路，簡要寫出證明過程

提問：符合羅爾定理條件的圖形一定在 內(nèi)有極值點嗎？從理論上怎樣來保證這一點？引導(dǎo)學(xué)生回憶閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間取得最大值和最小值 引導(dǎo)學(xué)生完整地寫出證明過程，在此過程中學(xué)生又將感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性（分情況討論的過程），但決不會因此而掩蓋數(shù)學(xué)的本質(zhì)（函數(shù)變化的性質(zhì)）。（4）畫出一些不符合羅爾定理條件的圖形

為了加深對羅爾定理的理解，可以利用幾何圖形從反面加以論證和說明。3.2 結(jié)合圖形分析拉格朗日定理

拉格朗日定理的證明重點在于構(gòu)造輔助函數(shù)，證明則直接建立在羅爾定理的基礎(chǔ)之上，所以證明基本上是算是一種技巧或方法，證明過程本身并不直接反映函數(shù)變化的規(guī)律。然而其結(jié)論更具有普遍性，應(yīng)用也更為廣泛，從而拉格朗日定理的教學(xué)和羅爾定理相比有所區(qū)別。首先提問：羅爾定理的第三個條件較為苛刻，如果沒有這個條件，函數(shù)曲線將是什么情形？畫出各種可能的情形。

一般教科書上只畫出了左邊的圖形，但這個圖形不能體現(xiàn)出拉格朗日定理和羅爾定理的結(jié)論上的區(qū)別，因為它同樣存在 內(nèi)某一點的導(dǎo)數(shù)為零，所以還應(yīng)畫出函數(shù)單調(diào)遞增或遞減的圖形。

觀察后得出：至少存在一點 這點的切線平行于弦AB，也就是，變形為

和羅爾定理的聯(lián)系：羅爾定理是拉格朗日定理 時的特殊情形，羅爾定理的弦AB平行于x軸，故結(jié)論為。

對于拉格朗日定理，我們可以不用教學(xué)嚴(yán)格的證明，轉(zhuǎn)而采用直觀的方法來說明它：如圖把坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)到平行于弦AB的位置，則羅爾定理的條件符合，從而定理獲證，這雖然不是嚴(yán)格地證明，但學(xué)生卻很容易理解。

3.3 大致了解柯西定理

柯西定理在三條定理中最為抽象，它的幾何意義卻不如前面兩條那么明顯，所以很多教科書上都沒有說明柯西定理的幾何意義，而是直接采用輔助函數(shù)證明其結(jié)論，有些高職類的教材則干脆不證。筆者認(rèn)為，無論采用何種方法構(gòu)造輔助函數(shù)證明柯西定理，對學(xué)生理解柯西定理的實質(zhì)并不是十分有效的，雖然證明過程本身并不難懂，然而學(xué)生很自然地問：為什么會想到這樣證？定理的結(jié)論表達(dá)了的意義是什么？為什么要 的條件？等等。鑒于高職學(xué)生的特點和任務(wù)，可以只要分析柯西定理和拉格朗日定理的聯(lián)系，指出當(dāng) 時，結(jié)論即為拉格朗日定理，至此，學(xué)生對三條定理有了較為深刻全面的了解，建立了整體的聯(lián)系。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊曉萍等.關(guān)于高等數(shù)學(xué)教育的調(diào)查報告[J].上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2002，11.[2] 侯維民.“數(shù)學(xué)精神”與數(shù)學(xué)教育[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2004，13（3）.[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1988.[4]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編著.高等數(shù)學(xué)[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2002.[5]曾慶柏主編.高等數(shù)學(xué)[M].北京：中國財經(jīng)大學(xué)出版社，2004.

第二篇：必修5 正弦定理1

必修51.1.1正弦定理（學(xué)案）

【學(xué)習(xí)要求】

1．發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理及證明方法。

2．會初步應(yīng)用正弦定理解斜三角形．

3．三角形的面積公式

【學(xué)習(xí)過程】

1.正弦定理證明方法：（1）定義法（2）向量法（3法四：法一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中，S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA.兩邊同除以abc即得：

法三：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴CD?2R?.同理2R =＝.可將正弦定理推廣為：abc== =2R（R為△ABC外接圓半sinAsinBsinC12121212abc==.sinAsinBsinC徑）.2.正弦定理：在一個三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相等，都

等于這個三角形的外接圓的直徑，即

注意：正弦定理本質(zhì)是三個恒等式：

三角形的元素：a,b,c,??,??,?C

已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫解三角形。

3.定理及其變形 ：（1）sinA:sinB:sinC=a:b:c；

a?b?cabc(2)====2R； sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

（3）a=2RsinA,；b=_2RsinB ；c=2RsinC；

abc（4）sinA=；sinB=；sinC=.2R2R2R

4.正弦定理可以解決的問題：

（1）_已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和一角；（唯一解）abc=== 2RsinAsinBsinCabcbac??，, =.sinAsinCsinCsinBsinCsinB

（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和兩角．（常見：大一小二）

5.常用面積公式：

對于任意?ABC，若a，b，c為三角形的三邊，且A,B,C為三邊的對角，則三角形的面積為：

111①S?ABC?_____ha(ha表示a邊上的高）.②S?ABC?absinC?acsinB?____________ 22

2例1：在?ABC中，已知A?45?,B?30?,c?10,求b.例2：在?ABC中，已知A?45?,a?2,b?2,求B

例3：在?ABC中，已知B?45?,a?,b?2,求A,C和c

總結(jié)：（1）已知兩角和任意一邊，求解三角形時，注意結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理求出已知邊的對角；應(yīng)用正弦定理時注意邊與角的對應(yīng)性

（2）應(yīng)用正弦定理時注意邊與角的對應(yīng)性;注意由sinC求角C時，討論角C為銳角或鈍角的情況.例4不解三角形，判斷下列三角形解的個數(shù)．

(l)a=5,b=4，A=120?（2）a =7,b=l4,A= 150?(3)a =9,b=l0,A= 60?（4）c=50,b=72,C=135?練習(xí)：

1、在△ABC中，一定成立的是

A、acosA?bcosBB、asinA?bsinBC、asinB?bsinAD、acosB?bcosA

2．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,則a:b:c?3．已知在△ABC中，a=10，∠A=60°，b=10，則cosB=___________.4．在△ABC中，已知a?2,b?2,A?30?，解三角形。

5.（1）在?ABC中，已知b?,B?600,c?1,求a和A,C

（2）?ABC中，c?,A?450,a?2,求b和B,C

6.在△ABC中，若∠A=60，∠B=45，a?求△ABC的面積。00

第三篇：19.1.2命題與定理教學(xué)反思

§19.1.2命題與定理教學(xué)反思

本節(jié)課的主要內(nèi)容是命題、定理，是以后學(xué)習(xí)推理證明的基礎(chǔ)，更是培養(yǎng)學(xué)生有條理的思考和表達(dá)的一個重要環(huán)節(jié)。為此，我做了如下思考：在課前延伸部分，我讓學(xué)生利用已學(xué)知識將學(xué)生所未知的命題補(bǔ)充完整，讓學(xué)生在不知不覺中已體會到命題的因果聯(lián)系。而創(chuàng)設(shè)情境的引入部分，考慮到本課以有關(guān)命題的概念為主，所以將命題的引入和語文聯(lián)系起來，激發(fā)了學(xué)生的好奇心，引起學(xué)生的興趣。自主探究過程中，教師提出問題，學(xué)生共同討論。整個過程以學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師之間的“對話”、“討論”為出發(fā)點，以互助、合作為手段，以解決問題為目的，讓學(xué)生在一個較為寬松的環(huán)境中自主選擇獲得成功的方向，判斷發(fā)現(xiàn)的價值。對于練習(xí)的設(shè)計，本課內(nèi)容比較簡單，但概念太多，因此在學(xué)習(xí)之后設(shè)計了大量練習(xí)，讓學(xué)生在練習(xí)中鞏固所學(xué)知識，加深對概念的理解和運(yùn)用。反思本課的不足之處：《19.1.2命題與定理》的主要內(nèi)容就是命題的定義以及命題的結(jié)構(gòu)。涉及的新概念新名詞較多，在概念的傳授上，我沒能做到一個成功的引導(dǎo)者，雖然有引導(dǎo)的內(nèi)容，但實際效果不佳。在判斷一些較難命題的一般形式時引導(dǎo)的不夠，如“等角的余角相等”，學(xué)生很容易理解成“如果兩個角相等，那么它們的余角相等”，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生自己往正確的方向理解，而不是告訴他們這樣是錯誤的，應(yīng)該理解成“如果兩個角分別是相等的兩個角的余角，那么這兩個角相等”。還有，本課的例題沒有太多的新意，顯得課堂的內(nèi)容比較平淡，沒有亮點。最后對定理部分的內(nèi)容介紹太少，要加強(qiáng)。另外就是在涉及本課的難點時，留給學(xué)生思考的時間太短。

第四篇：《正弦定理》教學(xué)反思

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，結(jié)合教學(xué)目標(biāo)，從知識、能力、情感三個方面預(yù)測可能會出現(xiàn)的結(jié)果：

1、學(xué)生對于正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理的幾何法、正弦定理的簡單應(yīng)用，能夠很輕松地掌握；在證明正弦定理的向量法方面，估計有少部分學(xué)生還會有一定的困惑，需要在以后的教學(xué)中進(jìn)一步培養(yǎng)應(yīng)用向量工具的意識。

2、學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思維能力得到一定的提高，能領(lǐng)悟一些基本的數(shù)學(xué)思想方法；但由于學(xué)生還沒有形成完整、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣，對問題的認(rèn)識會不周全，良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成有待于進(jìn)一步提高。

3、由于學(xué)生的層次不同，體驗與認(rèn)識有所不同。對層次較高的學(xué)生，還應(yīng)引導(dǎo)其形成更科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)、謙虛及鍥而不舍的求學(xué)態(tài)度；基礎(chǔ)較差的學(xué)生，由于不善表達(dá)，參與性較差，還應(yīng)多關(guān)注，鼓勵，培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)興趣，多找些機(jī)會讓其體驗成功。

第五篇：正弦定理 教學(xué)設(shè)計

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計

郭來華

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“正弦定理”是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)（必修5）》（人教版）第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是三角函數(shù)一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學(xué)生所關(guān)心的問題。

本節(jié)課是“正弦定理”教學(xué)的第一課時，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。因此，做好“正弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且通過對定理的探究，能使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識和平面向量的有關(guān)內(nèi)容，對解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已形成初步的知識框架，這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時又是突破定理證明障礙的強(qiáng)有力的工具。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一，《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過程，并能運(yùn)用它解決一些實際問題，可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。

三、設(shè)計思想

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究呢？建構(gòu)主義認(rèn)為：“知識不是被動吸收的，而是由認(rèn)知主體主動建構(gòu)的?！边@個觀點從教學(xué)的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，并通過與他人（在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下）協(xié)作，主動建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循這個原則而進(jìn)行設(shè)計。

四、教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。

2、過程與方法：讓學(xué)生從已有的知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。

3、情感態(tài)度與價值觀：在平等的教學(xué)氛圍中，通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評價，實現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長的教學(xué)情境。

五、教學(xué)重點與難點

重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo) 難點：正弦定理的推導(dǎo)

六、教學(xué)過程設(shè)計

（一）設(shè)置情境

利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬d?1km。因上游暴發(fā)特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉(zhuǎn)運(yùn)到正對岸的碼頭B處或其下游1km的碼頭C處，請你確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案。已知船在靜水中的速度v1?5km/h，水流速度v1?3km/h?！驹O(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)起源于生活，運(yùn)用于

（二）提出問題

師：為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案，請同學(xué)們設(shè)身處地地考慮有關(guān)的問題，將各自的問題經(jīng)小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。

待各小組將問題交給老師后，老師篩選了幾個問題通過投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的五個問題：

1、船應(yīng)開往B處還是C處？

2、船從A開到B、C分別需要多少時間？

3、船從A到B、C的距離分別是多少？

4、船從A到B、C時的速度大小分別是多少？

5、船應(yīng)向什么方向開，才能保證沿直線到達(dá)B、C？

【設(shè)計意圖】通過小組交流，提供一定的研究學(xué)習(xí)與情感交流的時空，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力；問題源于學(xué)生，突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；問題通過老師的篩選，確定研究的方向，體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用。

師：誰能幫大家講解，應(yīng)該怎樣解決上述問題？

大家經(jīng)過討論達(dá)成如下共識：要回答問題1，需要解決問題2，要解決問題2，需要先解決問題3和4，問題3用直角三角形知識可解，所以重點是解決問

A圖 1BC生活”的思想意識，同時情境問題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。題4，問題4與問題5是兩個相關(guān)問題。因此，解決上述問題的關(guān)鍵是解決問題4和5。

師：請同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問題對應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生1：船從A開往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1與v2的夾角?：

|v|?|v1|?|v2|?|v1||v2|?35, 22BDEC5?3?4，22v1vFAv2圖 2sin?? 用計算器可求得??37?

BDv1vv2AF圖 3EC船從A開往C的情況如圖3，|AD|?|v1|?5，|DE|?|AF|?|v2|?3，易求得?AED??EAF?45?，還需求?DAE及v，我還不知道怎樣解這兩個問題。

師：請大家思考，這兩個問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)是什么？ 部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。

【設(shè)計意圖】將問題數(shù)學(xué)化，有助于加深學(xué)生對問題的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識。

師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？ 生3：不知道。

師：圖2的情形大家都會解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何異同點？

生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。但圖2中?ADE是直角三角形，而圖3中?ADE不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關(guān)系求解。

師：圖3的情形能否轉(zhuǎn)化成直角三角形來解呢？

【設(shè)計意圖】通過教師的問題引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，同時為下一步用特例作為突破口來研究正弦定理以及用作高的方法來證明正弦定理做好鋪墊。

生5：能，過點D作DG?AE于點G（如圖4），?|DG|?|v1|sin?DAG?|DE|sin?AED|AG|?|v1|cos?DAGBDv1vAGv2EC，|EG|?|DE|cos?AED

F圖 4?sin?DAG?|DE|sin?AED|v1|?3sin45?5?3210

|v|?|AG|?|GE|????

師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個直角三角形求解。但在生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關(guān)系求解呢？三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【設(shè)計意圖】通過教師對學(xué)生的肯定評價，創(chuàng)造一個教與學(xué)的和諧環(huán)境，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使緊接著的問題能更好地得到學(xué)生的認(rèn)同，又有利于學(xué)生和教師的共同成長。

（三）解決問題

1、正弦定理的引入

師：請同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？ 眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法?？梢砸灾苯侨切螢樘乩?，先在直角三角形中試探一下。

師：如果一般三角形具有某種邊角關(guān)系，對于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我們先研究特例，請同學(xué)們對直角三角形進(jìn)行研究，尋找一般三角形的各邊及其對角之間有何關(guān)系？同學(xué)們可以參與小組共同研究。

（1）學(xué)生以小組為單位進(jìn)行研究；教師觀察學(xué)生的研究進(jìn)展情況或參與學(xué)生的研究。

（2）展示學(xué)生研究的結(jié)果。

【設(shè)計意圖】教師參與學(xué)生之間的研究，增進(jìn)師生之間的思維與情感的交流，并通過教師的指導(dǎo)與觀察，及時掌握學(xué)生研究的情況，為展示學(xué)生的研究結(jié)論做準(zhǔn)備；同時通過展示研究結(jié)論，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)的動機(jī)，增進(jìn)學(xué)生的成功感及學(xué)習(xí)的信心。

師：請說出你研究的結(jié)論？ 生7：asinA?bsinB?csinC

師：你是怎樣想出來的？

生7：因為在直角三角形中，它們的比值都等于斜邊c。

師：有沒有其它的研究結(jié)論？（根據(jù)實際情況，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析判斷結(jié)論正確與否，或留課后進(jìn)一步深入研究。）

師：asinA?bsinB?csinC對一般三角形是否成立呢？

眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗，若有一個不成立，則否定結(jié)論：若都成立，則說明這個結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。

師：這是個好主意。那么生9：成立。師：對任意三角形

asinA?bsinB?csinCasinA?bsinB?csinC對等邊三角形是否成立呢？

是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于《幾何畫板》做一個數(shù)學(xué)實驗，??

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步形成“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決問題”的思維方式，進(jìn)而形成解決問題的能力。

2、正弦定理的探究（1）實驗探究正弦定理

師：借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教學(xué)課件。邊演示邊引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。

結(jié)論：asinA?bsinB?csinC對于任意三角形都成立。

【設(shè)計意圖】通過《幾何畫板》軟件的演示，使學(xué)生對結(jié)論的認(rèn)識從感性逐步上升到理性。

師：利用上述結(jié)論解決情境問題中圖3的情形，并檢驗與生5的計算結(jié)果是否一致。

生10：（通過計算）與生5的結(jié)果相同。

師：如果上述結(jié)論成立，則在三角形中利用該結(jié)論解決“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊?！钡膯栴}就簡單多了。

【設(shè)計意圖】與情境設(shè)置中的問題相呼應(yīng)，間接給出了正弦定理的簡單應(yīng)用，并強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)探究、應(yīng)用正弦定理的心理需求。

（2）點明課題：正弦定理（3）正弦定理的理論探究

師：既然是定理，則需要證明，請同學(xué)們與小組共同探究正弦定理的證明。探究方案：

直角三角形——已驗證； 銳角三角形——課堂探究； 鈍角三角形——課后證明。

【設(shè)計意圖】通過分析，確定探究方案。課堂只讓學(xué)生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進(jìn)程的同時，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學(xué)生鞏固課堂的成果。師：請你（生11）到講臺上，講講你的證明思路？

生11：（走上講臺），設(shè)法將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問題進(jìn)行解決。通過作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，則AD?csinB?bsinC，所以

bsinB?csinCAcabB，同理可得

asinA?bsinBCD圖 5 銳角三角形

師：因為要證明的是一個等式，所以應(yīng)從銳角三角形的條件出發(fā)，構(gòu)造等量關(guān)系從而達(dá)到證明的目的。注意： csinB?bsinC表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是一個簡捷的證明方法！

【設(shè)計意圖】點明此證法的實質(zhì)是找到一個可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系，為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時適時對學(xué)生作出合情的評價。

師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？ 學(xué)生七嘴八舌地說出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價值：①三角形的面積不變；②三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下，學(xué)生分別利用這兩種關(guān)系作為基礎(chǔ)又得出了如下兩種證法：

證法二：如圖6，設(shè)AD、BE、CF分別是?ABC的三條高。則有

AD?b?sin?ACB，BE?c?sin?BACCF?a?sin?ABCAFcaD圖 6 EbCB。

b?c?sin?BAC?c12c?a?sin?ABC12?S?ABC??a12a?b?sin?ACB??bsin?ABC?

Asin?BACsin?ACB

cB

a證法三：如圖7，設(shè)BD?2r是?ABC外接圓的直徑，則?BAD?90?，?ACB??ADB

?BD?2r

sin?ADBab??2r同理可證：sin?BACsin?ABC?sin?ACB??asin?BAC?bsin?ABC?csin?ACBccb

D

C圖 7 三角形外接圓

【設(shè)計意圖】在證明正弦定理的同時，將兩邊及其夾角的三角形面積公式 及asinA?bsinB?csinC?2r一并牽出，使知識的產(chǎn)生自然合理。

????????、BC、CA間有什么關(guān)系？ 師：前面我們學(xué)習(xí)了平面向量，能否運(yùn)用向量的方法證明呢？

????師：任意?ABC中，三個向量AB?????????????生12：AB?BC?CA?0

?????????????師：正弦定理體現(xiàn)的是三角形中邊角間的數(shù)量關(guān)系，由AB?BC?CA?0轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系？

??????????????????????????師：在AB?BC?CA兩邊同乘以向量j,有(AB?BC?CA)?j?0,這里的向量??j可否任意？又如何選擇向量j?

?生14：因為兩個垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮讓向量j與三個向量中的一????個向量（如向量BC）垂直，而且使三個項的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個項的關(guān)系式。生13：利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。

師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請大家具體試一下，看還有什么問題？

教師參與學(xué)生的小組研究，同時引導(dǎo)學(xué)生注意兩個向量的夾角，最后讓學(xué)生通過小組代表作完成了如下證明。

?????證法四：如圖8，設(shè)非零向量j與向量BC垂直。

?????????????因為AB?BC?CA?0，?????????????所以(AB?BC?CA)?j?0 ??????????即AB?j?CA?j?0 B????????????????????|AB|?|j|?cos?AB,j??|CA|?|j|?cos?CA,j??0 ??c?|j|?cos(90??B)?b?|j|?cos(90??C)?0 ??c?|j|?(?sinB)?b?|j|?sinC?0

Ac?jbaC圖 8 向量所以bsinB?csinC，同理可得

asinA?bsinB

師：能否簡化證法四的過程？（留有一定的時間給學(xué)生思考）

??????????師：AB?j?CA?j?0有什么幾何意義？

????????????????????生15：把AB?j?CA?j?0移項可得CA?j?BA?j?????????義可知CA與BA在j方向上的投影相等。，由向量數(shù)量積的幾何意生16：我還有一種證法

????????證法五：如圖9，作AD?BC，則AB與AC在????????????????????AD方向上的投影相等,即AB?AD?AC?AD

?????????????????|AB|?|AD|?cos(90??B)?|AC|?|AD|?cos(90??C)C

?c?sinB?b?sin 師：請你到講臺來給大家講一講。（學(xué)生16上臺板書自己的證明方法。）

AcBDabC圖 9 向量故bsinB?csinC，同理可得

asinA?bsinB

師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡捷明了！

【設(shè)計意圖】利用向量法來證明幾何問題，學(xué)生相對比較生疏，不容易馬上想出來，教師通過設(shè)計一些遞進(jìn)式的問題給予適當(dāng)?shù)膯l(fā)引導(dǎo)，將很難想到的方法合理分解，有利于學(xué)生理解接受。

（四）小結(jié)

師：本節(jié)課我們是從實際問題出發(fā)，通過猜想、實驗，歸納等思維方法，最后發(fā)現(xiàn)了正弦定理，并從不同的角度證明了它。本節(jié)課，我們研究問題的突出特點是從特殊到一般，利用了幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗。我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。

（五）作業(yè)

1、回顧本節(jié)課的整個研究過程，體會知識的發(fā)生過程；

2、思考：證法五與證法一有何聯(lián)系？

3、思考：能否借助向量的坐標(biāo)的方法證明正弦定理？

4、當(dāng)三角形為鈍角三角形時，證明正弦定理。

【設(shè)計意圖】為保證學(xué)生有充足的時間來完成觀察、歸納、猜想、探究和證明，小結(jié)的時間花得少且比較簡單，這將在下一節(jié)課進(jìn)行完善，因此作業(yè)的布置也為下節(jié)課做一些必要的準(zhǔn)備。

七、教學(xué)反思

為了使學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗數(shù)學(xué)的過程。我想到了“情境——問題”教學(xué)模式，即構(gòu)建一個以情境為基礎(chǔ)，提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境——問題”學(xué)習(xí)鏈，并根據(jù)上述精神，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，具體做出了如下設(shè)計：①創(chuàng)設(shè)一個現(xiàn)實問題情境作為提出問題的背景（注：該情境源于《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)（必修4）》（人教版）第二章習(xí)題2.5 B組第二題，我將其加工成一個具有實際意義的決策型問題）；②啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決過渡性問題4與5時需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問題的動機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標(biāo)問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關(guān)系？③為了解決提出的目標(biāo)問題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板對猜想進(jìn)行驗證，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明。

總之，整個過程讓學(xué)生通過自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決問題”——“反思總結(jié)”的歷程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，從而使三維教學(xué)目標(biāo)得以實現(xiàn)。