第一篇：(教案)從梯子的傾斜程度談起

第一章 直角三角形的邊角關(guān)系

§1.1 從梯子的傾斜程度談起

課時(shí)安排 2課時(shí) 從容說(shuō)課

直角三角形中邊角之間的關(guān)系是現(xiàn)實(shí)世界中應(yīng)用廣泛的關(guān)系之—.銳角三角函數(shù)在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中有著重要的作用.如在測(cè)量、建筑、工程技術(shù)和物理學(xué)中，人們常常遇到距離、高度、角度的計(jì)算問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)，這些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系往往歸結(jié)為直角三角形中邊與角的關(guān)系問(wèn)題.本節(jié)首光從梯子的傾斜程度談起。引入了第—個(gè)銳角三角函數(shù)——正切.因?yàn)橄啾戎拢惺巧町?dāng)中用的最多的三角函數(shù)概念，如刻畫(huà)物體的傾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類(lèi)比正切的概念得到的.所以本節(jié)從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，讓學(xué)生在經(jīng)歷探索直角：三角形邊角關(guān)系的過(guò)程中，理解銳角三角函數(shù)的意義，并能夠舉例說(shuō)明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比，并能夠根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.本節(jié)的重點(diǎn)就是理解tanA、sinA、cosA的數(shù)學(xué)含義.并能夠根據(jù)它們的數(shù)學(xué)意義進(jìn)行直角三角形邊角關(guān)系的計(jì)算，難點(diǎn)是從現(xiàn)實(shí)情境中理解tanA、sim4、cosA的數(shù)學(xué)含義.所以在教學(xué)中要注重創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生實(shí)際的問(wèn)題情境，引出銳角三角函數(shù)的概念，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，鼓勵(lì)他們有條理地進(jìn)行表達(dá)和思考，特別關(guān)注他們對(duì)概念的理解.第一課時(shí)

課 題

§ 1.1.1 從梯子的傾斜程度談起(一)教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過(guò)程.理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.(二)能力訓(xùn)練要求

1.經(jīng)歷觀察、猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點(diǎn).2.體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力.3.體會(huì)解決問(wèn)題的策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神.(三)情感與價(jià)值觀要求

1.積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.2.形成實(shí)事求是的態(tài)度以及獨(dú)立思考的習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn)

1.從現(xiàn)實(shí)情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.教學(xué)難點(diǎn)

理解正切的意義，并用它來(lái)表示兩邊的比.教學(xué)方法

引導(dǎo)—探索法./ 8 教具準(zhǔn)備

FLASH演示 教學(xué)過(guò)程

1.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

用FLASH課件動(dòng)畫(huà)演示本章的章頭圖，提出問(wèn)題，問(wèn)題從左到右分層次出現(xiàn)： [問(wèn)題1]在直角三角形中，知道一邊和一個(gè)銳角，你能求出其他的邊和角嗎? [問(wèn)題2]隨著改革開(kāi)放的深入，上海的城市建設(shè)正日新月異地發(fā)展，幢幢大樓拔地而起.70年代位于南京西路的國(guó)際飯店還一直是上海最高的大廈，但經(jīng)過(guò)多少年的城市發(fā)展，“上海最高大廈”的桂冠早已被其他高樓取代，你們知道目前上海最高的大廈叫什么名字嗎?你能應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和適當(dāng)?shù)耐緩降玫浇鹈髲B的實(shí)際高度嗎? 通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，相信大家一定能夠解決.這節(jié)課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.(板書(shū)課題§1.1從梯子的傾斜程度談起).Ⅱ.講授新課

用多媒體演示如下內(nèi)容：

[師]梯子是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ?jiàn)的物體.我們經(jīng)常聽(tīng)人們說(shuō)這個(gè)梯子放的“陡”，那個(gè)梯子放的“平緩”，人們是如何判斷的?“陡”或“平緩”是用來(lái)描述梯子什么的?請(qǐng)同學(xué)們看下圖，并回答問(wèn)題(用多媒體演示)(1)在圖中，梯子AB和EF哪個(gè)更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法?

[生]梯子AB比梯子EF更陡./ 8 [師]你是如何判斷的? [生]從圖中很容易發(fā)現(xiàn)∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.[生]我覺(jué)得是因?yàn)锳C＝ED，所以只要比較BC、FD的長(zhǎng)度即可知哪個(gè)梯子陡.BC

[師]我們觀察上圖直觀判斷梯子的傾斜程度，即哪一個(gè)更陡，就比較困難了.能不能從第(1)問(wèn)中得到什么啟示呢? [生]在第(1)問(wèn)的圖形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的，而水平寬度BC和FD不一樣長(zhǎng)，由此我想到梯子的垂直高度與水平寬度的比值越大，梯子應(yīng)該越陡.[師]這位同學(xué)的想法很好，的確如此，在第(2)問(wèn)的圖中，哪個(gè)梯子更陡，應(yīng)該從梯子 AB和EF的垂直高度和水平寬度的比的大小來(lái)判斷.那么請(qǐng)同學(xué)們算一下梯子AB和EF哪一個(gè)更陡呢？

AC48??, BC1.53ED3.535??.FD1.313835∵??, 313[生]∴梯子EF比梯子AB更陡.多媒體演示： 想一想

如圖，小明想通過(guò)測(cè)量B1C1：及AC1，算出它們的比，來(lái)說(shuō)明梯子的傾斜程度；而小亮則認(rèn)為，通過(guò)測(cè)量B2C2及AC2，算出它們的比，也能說(shuō)明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎?(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關(guān)系?(2)B1C1BC和22和有什么關(guān)系? AC1AC23 / 8(3)如果改變B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么結(jié)論? [師]我們已經(jīng)知道可以用梯子的垂直高度和水平寬度的比描述梯子的傾斜程度，即用傾斜角的對(duì)邊與鄰邊的比來(lái)描述梯子的傾斜程度.下面請(qǐng)同學(xué)們思考上面的三個(gè)問(wèn)題，再來(lái)討論小明和小亮的做法.[生]在上圖中，我們可以知道Rt△AB1C1，和Rt△AB2C2是相似的.因?yàn)椤螧2C2A＝∠B1C1A＝90°，∠B2AC2＝∠B1AC1，根據(jù)相似的條件，得Rt△AB1C1∽R(shí)t△AB2C2.[生]由圖還可知：B2C2⊥AC2，B1C1⊥AC1，得 B2C2//B1C1，Rt△AB1C1∽R(shí)t△AB2C2.[生]相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，得

B1C1AC1BCBC?,即11?22.B2C2AC2A1C1AC2 如果改變B2在梯子上的位置，總可以得到Rt△B2C2A∽R(shí)t△Rt△B1C1A，仍能得到B1C1B2C2BCBC因此，無(wú)論B2在梯子的什么位置(除A外)，11?22總成立.?AC1AC2AC1AC2 [師]也就是說(shuō)無(wú)論B2在梯子的什么位置(A除外)，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值是不會(huì)改變的.現(xiàn)在如果改變∠A的大小，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值會(huì)改變嗎? [生]∠A的大小改變，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值會(huì)改變.[師]你又能得出什么結(jié)論呢? [生]∠A的對(duì)邊與鄰邊的比只與∠A的大小有關(guān)系，而與它所在直角三角形的大小無(wú)關(guān).也就是說(shuō)，當(dāng)直角三角形中的一個(gè)銳角確定以后，它的對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定.[師]這位同學(xué)回答得很棒，現(xiàn)在我們?cè)俜祷厝タ匆幌滦∶骱托×恋淖龇?，你作何評(píng)價(jià)? [生]小明和小亮的做法都可以說(shuō)明梯子的傾斜程度，因?yàn)閳D中直角三角形中的銳角A是確定的，因此它的對(duì)邊與鄰邊的比值也是唯一確定的，與B1、B2在梯子上的位置無(wú) 關(guān)，即與直角三角形的大小無(wú)關(guān).[生]但我覺(jué)得小亮的做法更實(shí)際，因?yàn)橐獪y(cè)量B1C1的長(zhǎng)度，需攀到梯子的最高端，危險(xiǎn)并且復(fù)雜，而小亮只需站在地面就可以完成.[師]這位同學(xué)能將數(shù)學(xué)和實(shí)際生活緊密地聯(lián)系在一起，值得提倡.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了更好地應(yīng)用數(shù)學(xué).由于直角三角形中的銳角A確定以后，它的對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定，因此我們有如下定義：(多媒體演示)如圖，在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對(duì)邊與鄰邊之比便隨之確定，這個(gè)比叫做∠A的正切(tangent)，記作tanA，即

tanA=?A的對(duì)邊.?A的鄰邊4 / 8 注意：

1.tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“∠”.2.tanA沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中∠A的對(duì)邊與鄰邊的比.3.tanA不表示“tan”乘以“A”.4.初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，∠A是銳角的正切.思考：1.∠B的正切如何表示?它的數(shù)學(xué)意義是什么? 2.前面我們討論了梯子的傾斜程度，課本圖1—3，梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系嗎? [生]1.∠B的正切記作tanB，表示∠B的對(duì)邊與鄰邊的比值，即 tanB=?B的對(duì)邊.?B的鄰邊 2.我們用梯子的傾斜角的對(duì)邊與鄰邊的比值刻畫(huà)了梯子的傾斜程度，因此，在圖1—3 中，梯子越陡，tanA的值越大；反過(guò)來(lái)，tanA的值越大，梯子越陡.[師]正切在日常生活中的應(yīng)用很廣泛，例如建筑，工程技術(shù)等.正切經(jīng)常用來(lái)描述山 坡的坡度、堤壩的坡度.如圖，有一山坡在 水平方向上每前進(jìn)100 m，就升高60 m，那么山 坡的坡度(即坡角α的正 切——tanα就是

tanα=α603?.1005 這里要注意區(qū)分坡度和坡角.坡面的鉛直高度與水平寬度的比即坡角的正切稱(chēng)為坡度.坡度越大，坡面就越陡.Ⅲ.例題講解

多媒體演示

[例1]如圖是甲，乙兩個(gè)自動(dòng)扶梯，哪一個(gè)自動(dòng)扶梯比較陡?

分析：比較甲、乙兩個(gè)自動(dòng)電梯哪一個(gè)陡，只需分別求出tanα、tanβ的值，比較大小，越大，扶梯就越陡.解：甲梯中，tanα= ??的對(duì)邊55??.??的鄰邊12132?52 乙梯中，tanβ=??的對(duì)邊63??.??的鄰邊84因?yàn)閠anβ＞tanα，所以乙梯更陡.[例2]在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值./ 8 分析：要求tanA，tanB的值，根據(jù)勾股定理先求出直角邊AC的長(zhǎng)度.解：在△ABC中，∠C＝90°，所以AC==16(cm), tanA=AB2?BC2?202?122

?A的對(duì)邊BC123???，?A的鄰邊AC164?B的對(duì)邊AC164???.?B的鄰邊BC12334，tanB=.43tanB=所以tanA= Ⅳ，隨堂練習(xí)

1.如圖，△ABC 是等腰直角三角形，你能根據(jù)圖中所給 數(shù)據(jù)求出tanC嗎? 分析：要求tanC.需從圖中找到∠C所在的直角三角形，因?yàn)锽D⊥AC，所以∠C在Rt△BDC中.然后求出∠C的對(duì)邊與鄰邊的比，即

BD的值.DC 解：∵△ABC是等腰直角三角形，BD⊥AC，11AC＝×3＝1.5.22BD1.5 在Rt△BDC中，tanC＝ =＝1.DC1.5 ∴CD＝ 2.如圖，某人從山 腳下的點(diǎn)A走了200m后 到達(dá)山頂?shù)狞c(diǎn)B，已知點(diǎn) B到山腳的垂直距離為55 m，求山的坡度.(結(jié)果精確到0.001)分析：由圖可知，∠A是坡角，∠A的正切即tanA為山的坡度.解：根據(jù)題意：

在Rt△ABC中，AB=200 m，BC＝55 m，AC=2002?552?51479?5?38.46=192.30(m).TanA=BC55??0.286.AC192.30所以山的坡度為0.286.Ⅴ.課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課從梯子的傾斜程度談起，經(jīng)歷了探索直角三角形中的邊角關(guān)系，得出了在直角三角形中的銳角確定之后，它的對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定，并以此為基礎(chǔ)，在“Rt△”中定義了tanA＝?A的對(duì)邊.?A的鄰邊6 / 8 接著，我們研究了梯子的傾斜程度，工程中的問(wèn)題坡度與正切的關(guān)系，了解了正切在 現(xiàn)實(shí)生活中是一個(gè)具有實(shí)際意義的一個(gè)很重要的概念.Ⅵ.課后作業(yè)

1.習(xí)題1.1第1、2題.2.觀察學(xué)校及附近商場(chǎng)的樓梯，哪個(gè)更陡.Ⅶ.活動(dòng)與探究(江蘇鹽城)如圖，Rt△ABC是一防 洪堤背水坡的橫截面 圖，斜坡AB的長(zhǎng)為 m，它的坡角為45°，為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡AD，求DB的長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))[過(guò)程]要求DB的長(zhǎng)，需分別在Rt△ABC和Rt△ACD中求出BC和DC.根據(jù)題意，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，AB＝12 m，則可根據(jù)勾股定理求出BC；在Rt△ADC中，坡比為1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC＝AC，可求出CD.[結(jié)果]根據(jù)題意，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，所以△ABC為等腰直角三角形.設(shè)BC=AC＝xm，則

222 x+x＝12，x=62，所以BC＝AC=62.在Rt△ADC中，tanD=

AC1?, CD1.5 即621?CD=92.CD1.5 所以DB＝CD-BC＝92-62=32(m).板書(shū)設(shè)計(jì)

§1.1.1 從梯子的傾斜程度談起(一)1.當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，它的對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定.2.正切的定義：

在Rt△ABC中，銳角A確定，那么∠A的對(duì)邊與鄰邊的比隨之確定，這個(gè)比叫做∠A的正切，記作tanA，即 tanA＝?A的對(duì)邊.?A的鄰邊注：(1)tanA的值越大.梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的傾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.3.例題講解(略)4.隨堂練習(xí)5.課時(shí)小結(jié) 備課資料 / 8 [例1](浙江沼興)若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前進(jìn)10米，則他所在的位置比原來(lái)的位置升高_(dá)_______米.分析：根據(jù)題意(如圖)：在Rt△ABC 中

AC：BC＝3：4，AB＝10米.設(shè)AC＝3x，BC＝4x，根據(jù)勾股定理，得(3x)+(4x)＝10，∴x＝2.∴AC＝3x=6(米).因此某人沿斜坡前進(jìn)10米后，所在位置比原來(lái)的位置升高6米.解：應(yīng)填“6 m”.[例2](內(nèi)

蒙古赤峰)菱形的兩條 對(duì)角線分別是16和12.較長(zhǎng)的一條對(duì)角線與菱 形的一邊的夾角為θ，則tanθ＝______.分析：如圖，菱形ABCD，BD＝16，AC＝12，∠ABO＝θ，在Rt△AOB中，AO= BO=

1AC=6，21BD=8.2OA63??.tanθ=OB843 解：應(yīng)填“”.4 / 8

第二篇：從梯子的傾斜程度談起教案

《從梯子的傾斜程度談起》教學(xué)設(shè)計(jì)

哈鎮(zhèn)學(xué)校 付利萍

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)目標(biāo)

1．經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過(guò)程，理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系．

2．能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，并能夠用正切進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算．

(二)能力目標(biāo)

1．經(jīng)歷觀察、猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點(diǎn)． 2．體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力． 3．體會(huì)解決問(wèn)題的策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神．(三)情感與價(jià)值觀

1．積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲． 2．形成實(shí)事求是的態(tài)度以及獨(dú)立思考的習(xí)慣．教學(xué)重點(diǎn) 1．從現(xiàn)實(shí)情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系．

2．理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系． 教學(xué)難點(diǎn)

理解正切的意義，并用它來(lái)表示兩邊的比． 教學(xué)方法 引導(dǎo)—探索法． 教具準(zhǔn)備 WPS演示文稿 教學(xué)過(guò)程

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

課件展示“小猴爬梯找香蕉”圖片及問(wèn)題引入課題

二、講授新課

[師]梯子是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ?jiàn)的物體．我們經(jīng)常聽(tīng)人們說(shuō)這個(gè)梯子放的“陡”，那個(gè)梯子放的“平緩”，人們是如何判斷的？“陡”或“平緩”是用來(lái)描述梯子什么的？請(qǐng)同學(xué)們看下圖，并回答問(wèn)題(用多媒體演示3、4、5、)學(xué)生小組討論，并匯報(bào)。

[師]通過(guò)三個(gè)實(shí)例，我們明確了要想判斷兩個(gè)梯子哪個(gè)更陡，可以通過(guò)兩個(gè)直角三角形的兩直角邊的比值來(lái)判斷，也就是說(shuō)可以運(yùn)用兩直角邊的比值來(lái)刻畫(huà)梯子的傾斜程度。

多媒體演示：

[師]如果我現(xiàn)只有一個(gè)梯子AB1搭在城墻上,而我手中只有皮尺與計(jì)算器，請(qǐng)你設(shè)想一下，我可以通過(guò)測(cè)量哪些數(shù)據(jù)來(lái)刻畫(huà)梯子AB1的傾斜程度。[生]討論小結(jié)

[師]如果我的皮尺沒(méi)那么長(zhǎng)，或我不想爬到城墻上來(lái)測(cè)量，那我還可以通過(guò)測(cè)量什么來(lái)刻畫(huà)梯子的傾斜程度呢？

[生]討論小結(jié)

[師]也就是說(shuō)無(wú)論B2在梯子的什么位置(A除外)，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值是不會(huì)改變的． 現(xiàn)在如果改變∠A的大小，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值會(huì)改變嗎？ [師]你又能得出什么結(jié)論呢？ [師]介紹正切的概念。（多媒體演示）注意：

1．tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“∠”． 2．tanA沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中∠A的對(duì)邊與鄰邊的比． 3．tanA不表示“tan”乘以“A”．

4．初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，∠A是銳角的正切． 思考：1．∠B的正切如何表示？

2．前面我們討論了梯子的傾斜程度，梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系嗎？ [師]tanA的值越大，梯子越陡；反過(guò)來(lái)，梯子越陡，tanA的值越大。[變式訓(xùn)練]多媒體演示 [例題講解]多媒體演示課本例1 [師]像我們?cè)谌粘Ｉ钪醒芯刻葑拥膬A斜程度類(lèi)似，在工程上也經(jīng)常研究上坡的坡度，正切也經(jīng)常用來(lái)描述山坡的坡度、堤壩的坡度．例如：展示第11張幻燈片

[例題講解]多媒體演示例2

三、隨堂練習(xí)多媒體演示 見(jiàn)課本P6

四、課時(shí)小結(jié)

五、課后作業(yè)

第三篇：從梯子的傾斜程度談起教案

教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過(guò)程，理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，并能夠用正切進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.(二)能力訓(xùn)練要求1.經(jīng)歷觀察、猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點(diǎn).2.體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力.3.體會(huì)解決問(wèn)題的策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神.(三)情感與價(jià)值觀要求1.積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.2.形成實(shí)事求是的態(tài)度以及獨(dú)立思考的習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn)1.從現(xiàn)實(shí)情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.教學(xué)難點(diǎn)理解正切的意義，并用它來(lái)表示兩邊的比.教學(xué)方法引導(dǎo)探索法.教具準(zhǔn)備FLASH演示教學(xué)過(guò)程Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課用FLASH課件動(dòng)畫(huà)演示本章的章頭圖，提出問(wèn)題，問(wèn)題從左到右分層次出現(xiàn)：[問(wèn)題1]在直角三角形中，知道一邊和一個(gè)銳角，你能求出其他的邊和角嗎?[問(wèn)題2]隨著改革開(kāi)放的深入，上海的城市建設(shè)正日新月異地發(fā)展，幢幢大樓拔地而起.70年代位于南京西路的國(guó)際飯店還一直是上海最高的大廈，但經(jīng)過(guò)多少年的城市發(fā)展，上海最高大廈的桂冠早已被其他高樓取代，你們知道目前上海最高的大廈叫什么名字嗎?你能應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和適當(dāng)?shù)耐緩降玫浇鹈髲B的實(shí)際高度嗎?通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，相信大家一定能夠解決.這節(jié)課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.(板書(shū)課題1.1.1從梯子的傾斜程度談起).

第四篇：《從梯子的傾斜程度談起》第二課時(shí)教案

1.1 從梯子的傾斜程度談起(二)編寫(xiě)人： 審核人：

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過(guò)程，認(rèn)識(shí)正弦和余弦的意義.2.能夠運(yùn)用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.3.能根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.4.經(jīng)歷類(lèi)比、猜想等過(guò)程.發(fā)展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn).5.體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，并利用它分析、解決問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)

1.理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義，并能舉例說(shuō)明.2.能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.3.能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.教學(xué)難點(diǎn)

用函數(shù)的觀點(diǎn)理解正弦、余弦和正切.教學(xué)方法

探索——交流法.教具準(zhǔn)備

多媒體演示.教學(xué)過(guò)程

一、.創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題，引入新課

[師]我們?cè)谏弦还?jié)課曾討論過(guò)用傾斜角的對(duì)邊與鄰邊之比來(lái)刻畫(huà)梯子的傾斜程度，并且得出了當(dāng)傾斜角確定時(shí)，其對(duì)邊與斜邊之比隨之確定.也就是說(shuō)這一比值只與傾斜角有關(guān)，與直角三角形的大小無(wú)關(guān).并在此基礎(chǔ)上用直角三角形中銳角的對(duì)邊與鄰邊之比定義了正切.現(xiàn)在我們提出兩個(gè)問(wèn)題：

[問(wèn)題1]當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，其他邊之間的比也確定嗎? [問(wèn)題2]梯子的傾斜程度與這些比有關(guān)嗎?如果有，是怎樣的關(guān)系?

二、講授新課

/ 8 1.正弦、余弦及三角函數(shù)的定義

多媒體演示如下內(nèi)容： 想一想：如圖

(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C有什么關(guān)系?(2A2C2BC1BC2A1C1和和有什么關(guān)系?呢? BA1BA2BA1BA2[生] ∵A1C1⊥BC1，A2C2⊥BC2，∴A1C1//A2C2.∴Rt△BA1C1∽R(shí)t△BA2C2.A2C2BC1BC2A1C1和和相等相等(相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例).BA1BA2BA1BA2(3)如果改變A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么結(jié)論? 由于A2是梯子A1B上的任意—點(diǎn)，所以，如果改變A2在梯子A1B上的位置，上述結(jié)論仍成立.由此我們可得出結(jié)論：只要梯子的傾斜角確定，傾斜角的對(duì)邊.與斜邊的比值，傾斜角的鄰邊與斜邊的比值隨之確定.也就是說(shuō)，這一比值只與傾斜角有關(guān)，而與直角三角形大小無(wú)關(guān).(4)如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什么結(jié)論? 請(qǐng)同學(xué)們討論后回答.[生]如果改變梯子A1B的傾斜角的大小，如虛線的位置，傾斜角的對(duì)邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值隨之改變.[師]我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)變化的過(guò)程.對(duì)邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值都隨著傾斜角的改變而改變，同時(shí)，如果給定一個(gè)傾斜角的值，它的對(duì)邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值是唯一確定的.這是一種什么關(guān)系呢? [生]函數(shù)關(guān)系.2 / 8 [師]很好!上面我們有了和定義正切相同的基礎(chǔ)，接著我們類(lèi)比正切還可以有如下定義：(用多媒體演示)在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對(duì)邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.如圖，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦(sine)，記作sinA，即 sinA＝?A的對(duì)邊

斜邊 ∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦(cosine)，記作cosA，即 cosA=?A的鄰邊

斜邊 銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函數(shù)(trigonometricfunction).[師]你能用自己的語(yǔ)言解釋一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A的三角函數(shù)”呢? [生]我們?cè)谇懊嬉延懻撨^(guò)，當(dāng)直角三角形中的銳角A確定時(shí).∠A的對(duì)邊與斜邊的比值，∠A的鄰邊與斜邊的比值，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值也都唯一確定.在“∠A的三角函數(shù)”概念中，∠A是自變量，其取值范圍是0°

[師]我們上一節(jié)知道了梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系：tanA的值越大，梯子越陡.由此我們想到梯子的傾斜程度是否也和sinA、cosA有關(guān)系呢?如果有關(guān)系，是怎樣的關(guān)系? [生]如圖所示，AB＝A1B1，在Rt△ABC中，sinA=Rt△A1B1C中，sinA1=BC，在 ABB1C.A1B1 ∵ BCBC＜1, A1B1AB 即sinA

ACAC cosA1＝1，A1B1AB ∵AB=A1B1

ACAC＞1 即cosA>cosA1，A1B1AB 所以梯子的傾斜程度與cosA也有關(guān)系.cosA的值越小，梯子越陡.[師]同學(xué)們分析得很棒，能夠結(jié)合圖形分析就更為妙哉!從理論上講正弦和余弦都可以刻畫(huà)梯子的傾斜程度，但實(shí)際中通常使用正切.3.例題講解

多媒體演示.[例1]如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的長(zhǎng).分析：sinA不是“sin”與“A”的乘積，sinA表示∠A所在直角三角形它的對(duì)邊與斜邊的比值，已知sinA＝0.6，BC＝0.6.AC 解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200.sinA＝0.6，即=BC0.6，BC＝AC×0.6＝200×0.6=120.AC 思考：(1)cosA＝?(2)sinC＝？ cosC＝?(3)由上面計(jì)算，你能猜想出什么結(jié)論? 解：根據(jù)勾股定理，得

AB＝AC2?BC2?2002?1202=160.在Rt△ABC中，CB＝90°.AB1604??＝0.8，AC2005AB1604 sinC= ??=0.8，AC2005BC1203 cosC＝ ?? ＝0.6，AC2005 cosA＝ 由上面的計(jì)算可知

/ 8 sinA＝cosC＝O.6，cosA＝sinC＝0.8.因?yàn)椤螦+∠C＝90°，所以，結(jié)論為“一個(gè)銳角的正弦等于它余角的余弦”“一個(gè)銳角的余弦等于它余角的正弦”.[例2]做一做：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝

12，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、13sinA呢?你還能得出類(lèi)似例1的結(jié)論嗎?請(qǐng)用一般式表達(dá).分析：這是正弦、余弦定義的進(jìn)一步應(yīng)用，同時(shí)進(jìn)一步滲透sin(90°-A)＝cosA，cos(90°-A)=sinA.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10，cosA＝12AC，cosA＝, 13ABcosA1213126∴AB=Ac?10?10?13?65, sinB＝Ac?cosA?12

AB13根據(jù)勾股定理，得

22252652265?60BC＝AB-AC＝()-10=?2

3666222∴BC＝25.625∴cosB＝BC?6?25?5, AB6565136sinA＝BC?5

AB13可以得出同例1一樣的結(jié)論.∵∠A+∠B=90°，∴sinA：cosB=cos(90-A)，即sinA＝cos(90°-A)；

/ 8 cosA＝sinB＝sin(90°-A)，即cosA＝sin(90°-A).三、隨堂檢測(cè)

多媒體演示

1.在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.分析：要求sinB，cosB，tanB，先要構(gòu)造∠B所在的直角三角形.根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可過(guò)A作AD⊥BC，D為垂足.解：過(guò)A作AD⊥BC，D為垂足.∴AB=AC，∴BD=DC=

1BC=3.2 在Rt△ABD中，AB＝5，BD=3，∴AD＝4.AD4BD3? cosB＝?，AB5AB5AD4 tanB=?.BD3 sinB＝ 2.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ 解：sinA=

4，BC=20，求△ABC的周長(zhǎng)和面積.5BC4，∵sinA=，BC＝20，AB5BC20 ∴AB＝＝＝25.?sinA45 在Rt△BC中，AC＝252?202=15，∴ABC的周長(zhǎng)＝AB+AC+BC＝25+15+20＝60，△ABC的面積：11AC×BC=×15×20＝150.223.(2003年陜西)(補(bǔ)充練習(xí))在△ABC

1，則sinA=.2BC1 解：如圖，tanA==.AC2中.∠C=90°，若tanA=設(shè)BC=x，AC=2x，根據(jù)勾股定理，得 AB=x2?(2x)2?5x.∴sinA=BCx15???.AB55x5 6 / 8

四、課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們類(lèi)比正切得出了正弦和余弦的概念，用函數(shù)的觀念認(rèn)識(shí)了三種三角函數(shù)，即在銳角A的三角函數(shù)概念中，∠A是自變量，其取值范圍是0°<∠A<90°；三個(gè)比值是因變量.當(dāng)∠A確定時(shí)，三個(gè)比值分別唯一確定；當(dāng)∠A變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).類(lèi)比前一節(jié)課的內(nèi)容，我們又進(jìn)一步思考了正弦和余弦的值與梯子傾斜程度之間的關(guān)系以及用正弦和余弦的定義來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.五、課后作業(yè)

習(xí)題1.2第1、3、4題

六、活動(dòng)與探究

已知：如圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，求證：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函數(shù)的定義證明)

[過(guò)程]根據(jù)正弦和余弦的定義，在不同的直三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)

角就相等，不必只局限于某一個(gè)直角三角形中，在Rt△ABC中，CD⊥AB.所以圖中含有三個(gè)直角三角形.例如∠B既在Rt△BDC中，又在Rt△ABC中，涉及線段BC、BD、AB，BCBD，cosB=.ABBCBC [結(jié)果]在Rt△ABC中，cosB＝

AB由正弦、余弦的定義得cosB＝ 又∵CD⊥AB.∴在Rt△CDB中，cosB＝∴

/ 8

BD BCBCBD2=BC＝AB·BD.ABBC板書(shū)設(shè)計(jì)

1.1 從梯子傾斜程度談起(二)1.正弦、余弦的定義在Kt△ABC中，如果銳角A確定.sinA＝?A的對(duì)邊

斜邊斜邊cosA＝?A的對(duì)邊

2.梯子的傾斜程度與sinA和cosA有關(guān)嗎? sinA的值越大，梯子越陡 cosA的值越小，梯子越陡 3.例題講解 4.隨堂檢測(cè)

/ 8

第五篇：數(shù)學(xué)： 1.1從梯子的傾斜程度談起(第1課時(shí))教案 (九年級(jí)下北師大版)

1.1從梯子的傾斜程度談起

直角三角形中邊角之間的關(guān)系是現(xiàn)實(shí)世界中應(yīng)用廣泛的關(guān)系之—.銳角三角函數(shù)在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中有著重要的作用.如在測(cè)量、建筑、工程技術(shù)和物理學(xué)中，人們常常遇到距離、高度、角度的計(jì)算問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)，這些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系往往歸結(jié)為直角三角形中邊與角的關(guān)系問(wèn)題.本節(jié)首光從梯子的傾斜程度談起。引入了第—個(gè)銳角三角函數(shù)——正切.因?yàn)橄啾戎拢惺巧町?dāng)中用的最多的三角函數(shù)概念，如刻畫(huà)物體的傾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類(lèi)比正切的概念得到的.所以本節(jié)從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，讓學(xué)生在經(jīng)歷探索直角：三角形邊角關(guān)系的過(guò)程中，理解銳角三角函數(shù)的意義，并能夠舉例說(shuō)明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比，并能夠根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.本節(jié)的重點(diǎn)就是理解tanA、sinA、cosA的數(shù)學(xué)含義.并能夠根據(jù)它們的數(shù)學(xué)意義進(jìn)行直角三角形邊角關(guān)系的計(jì)算，難點(diǎn)是從現(xiàn)實(shí)情境中理解tanA、sim4、cosA的數(shù)學(xué)含義.所以在教學(xué)中要注重創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生實(shí)際的問(wèn)題情境，引出銳角三角函數(shù)的概念，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，鼓勵(lì)他們有條理地進(jìn)行表達(dá)和思考，特別關(guān)注他們對(duì)概念的理解.1.1從梯子的傾斜程度談起(一)教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過(guò)程.理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.(二)能力訓(xùn)練要求

1.經(jīng)歷觀察、猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點(diǎn).2.體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力.3.體會(huì)解決問(wèn)題的策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神.(三)情感與價(jià)值觀要求

1.積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.用心

愛(ài)心

專(zhuān)心 1

2.形成實(shí)事求是的態(tài)度以及獨(dú)立思考的習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn)

1.從現(xiàn)實(shí)情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.教學(xué)難點(diǎn)

理解正切的意義，并用它來(lái)表示兩邊的比.教學(xué)方法

引導(dǎo)—探索法.教具準(zhǔn)備 FLASH演示 教學(xué)過(guò)程

1.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

用FLASH課件動(dòng)畫(huà)演示本章的章頭圖，提出問(wèn)題，問(wèn)題從左到右分層次出現(xiàn)： [問(wèn)題1]在直角三角形中，知道一邊和一個(gè)銳角，你能求出其他的邊和角嗎? [問(wèn)題2]隨著改革開(kāi)放的深入，上海的城市建設(shè)正日新月異地發(fā)展，幢幢大樓拔地而起.70年代位于南京西路的國(guó)際飯店還一直是上海最高的大廈，但經(jīng)過(guò)多少年的城市發(fā)展，“上海最高大廈”的桂冠早已被其他高樓取代，你們知道目前上海最高的大廈叫什么名字嗎?你能應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和適當(dāng)?shù)耐緩降玫浇鹈髲B的實(shí)際高度嗎? 通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，相信大家一定能夠解決.這節(jié)課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.(板書(shū)課題§1.1.1從梯子的傾斜程度談起).Ⅱ.講授新課

用多媒體演示如下內(nèi)容：

用心

愛(ài)心

專(zhuān)心 2

[師]梯子是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ?jiàn)的物體.我們經(jīng)常聽(tīng)人們說(shuō)這個(gè)梯子放的“陡”，那個(gè)梯子放的“平緩”，人們是如何判斷的?“陡”或“平緩”是用來(lái)描述梯子什么的?請(qǐng)同學(xué)們看下圖，并回答問(wèn)題(用多媒體演示)(1)在圖中，梯子AB和EF哪個(gè)更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法?

[生]梯子AB比梯子EF更陡.[師]你是如何判斷的? [生]從圖中很容易發(fā)現(xiàn)∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.[生]我覺(jué)得是因?yàn)锳C＝ED，所以只要比較BC、FD的長(zhǎng)度即可知哪個(gè)梯子陡.BC

用心

愛(ài)心

專(zhuān)心 3

[師]我們觀察上圖直觀判斷梯子的傾斜程度，即哪一個(gè)更陡，就比較困難了.能不能從第(1)問(wèn)中得到什么啟示呢? [生]在第(1)問(wèn)的圖形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的，而水平寬度BC和FD不一樣長(zhǎng)，由此我想到梯子的垂直高度與水平寬度的比值越大，梯子應(yīng)該越陡.[師]這位同學(xué)的想法很好，的確如此，在第(2)問(wèn)的圖中，哪個(gè)梯子更陡，應(yīng)該從梯子 AB和EF的垂直高度和水平寬度的比的大小來(lái)判斷.那么請(qǐng)同學(xué)們算一下梯子AB和EF哪一個(gè)更陡呢？

AC48??, BC1.53ED3.535.??FD1.313835∵??, 313[生]∴梯子EF比梯子AB更陡.多媒體演示： 想一想

如圖，小明想通過(guò)測(cè)量B1C1：及AC1，算出它們的比，來(lái)說(shuō)明梯子的傾斜程度；而小亮則認(rèn)為，通過(guò)測(cè)量B2C2及AC2，算出它們的比，也能說(shuō)明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎?(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關(guān)系?(2)B1C1BC和22和有什么關(guān)系? AC1AC2用心

愛(ài)心

專(zhuān)心

(3)如果改變B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么結(jié)論? [師]我們已經(jīng)知道可以用梯子的垂直高度和水平寬度的比描述梯子的傾斜程度，即用傾斜角的對(duì)邊與鄰邊的比來(lái)描述梯子的傾斜程度.下面請(qǐng)同學(xué)們思考上面的三個(gè)問(wèn)題，再來(lái)討論小明和小亮的做法.[生]在上圖中，我們可以知道Rt△AB1C1，和Rt△AB2C2是相似的.因?yàn)椤螧2C2A＝∠B1C1A＝90°，∠B2AC2＝∠B1AC1，根據(jù)相似的條件，得Rt△AB1C1∽R(shí)t△AB2C2.[生]由圖還可知：B2C2⊥AC2，B1C1⊥AC1，得 B2C2//B1C1，Rt△AB1C1∽R(shí)t△AB2C2.[生]相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，得

B1C1AC1BCBC?,即11?22.B2C2AC2A1C1AC2 如果改變B2在梯子上的位置，總可以得到Rt△B2C2A∽R(shí)t△Rt△B1C1A，仍能得到B1C1B2C2BCBC?因此，無(wú)論B2在梯子的什么位置(除A外)，11?22總成立.AC1AC2AC1AC2 [師]也就是說(shuō)無(wú)論B2在梯子的什么位置(A除外)，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值是不會(huì)改變的.現(xiàn)在如果改變∠A的大小，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值會(huì)改變嗎? [生]∠A的大小改變，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值會(huì)改變.[師]你又能得出什么結(jié)論呢? [生]∠A的對(duì)邊與鄰邊的比只與∠A的大小有關(guān)系，而與它所在直角三角形的大小無(wú)關(guān).也就是說(shuō)，當(dāng)直角三角形中的一個(gè)銳角確定以后，它的對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定.[師]這位同學(xué)回答得很棒，現(xiàn)在我們?cè)俜祷厝タ匆幌滦∶骱托×恋淖龇?，你作何評(píng)價(jià)? [生]小明和小亮的做法都可以說(shuō)明梯子的傾斜程度，因?yàn)閳D中直角三角形中的銳角A是確定的，因此它的對(duì)邊與鄰邊的比值也是唯一確定的，與B1、B2在梯子上的位置無(wú) 關(guān)，即與直角三角形的大小無(wú)關(guān).[生]但我覺(jué)得小亮的做法更實(shí)際，因?yàn)橐獪y(cè)量B1C1的長(zhǎng)度，需攀到梯子的最高端，危險(xiǎn)并且復(fù)雜，而小亮只需站在地面就可以完成.[師]這位同學(xué)能將數(shù)學(xué)和實(shí)際生活緊密地聯(lián)系在一起，值得提倡.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了更好地應(yīng)用數(shù)學(xué).由于直角三角形中的銳角A確定以后，它的對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定，因此我們有如下定義：(多媒體演示)

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如圖，在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對(duì)邊與鄰邊之比便隨之確定，這個(gè)比叫做∠A的正切(tangent)，記作tanA，即

tanA=?A的對(duì)邊.?A的鄰邊 注意：

1.tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“∠”.2.tanA沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中∠A的對(duì)邊與鄰邊的比.3.tanA不表示“tan”乘以“A”.4.初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，∠A是銳角的正切.思考：1.∠B的正切如何表示?它的數(shù)學(xué)意義是什么? 2.前面我們討論了梯子的傾斜程度，課本圖1—3，梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系嗎? [生]1.∠B的正切記作tanB，表示∠B的對(duì)邊與鄰邊的比值，即 tanB=?B的對(duì)邊.?B的鄰邊 2.我們用梯子的傾斜角的對(duì)邊與鄰邊的比值刻畫(huà)了梯子的傾斜程度，因此，在圖1—3 中，梯子越陡，tanA的值越大；反過(guò)來(lái)，tanA的值越大，梯子越陡.[師]正切在日常生活中的應(yīng)用很廣泛，例如建筑，工程技術(shù)等.正切經(jīng)常用來(lái)描述山 坡的坡度、堤壩的坡度.如圖，有一山坡在 水平方向上每前進(jìn)100 m，就升高60 m，那么山 坡的坡度(即坡角α的正 切——tanα就是

tanα=α

603?.1005用心

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這里要注意區(qū)分坡度和坡角.坡面的鉛直高度與水平寬度的比即坡角的正切稱(chēng)為坡度.坡度越大，坡面就越陡.Ⅲ.例題講解

多媒體演示

[例1]如圖是甲，乙兩個(gè)自動(dòng)扶梯，哪一個(gè)自動(dòng)扶梯比較陡?

分析：比較甲、乙兩個(gè)自動(dòng)電梯哪一個(gè)陡，只需分別求出tanα、tanβ的值，比較大小，越大，扶梯就越陡.解：甲梯中，tanα= ??的對(duì)邊55??.22??的鄰邊1213?5 乙梯中 tanβ=??的對(duì)邊63??.??的鄰邊84因?yàn)閠anβ＞tanα，所以乙梯更陡.[例2]在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.分析：要求tanA，tanB的值，根據(jù)勾股定理先求出直角邊AC的長(zhǎng)度.解：在△ABC中，∠C＝90°，所以AC==16(cm), tanA=AB2?BC2?202?122

?A的對(duì)邊BC123???，?A的鄰邊AC164?B的對(duì)邊AC164???.?B的鄰邊BC123tanB=所以tanA=34，tanB=.43 Ⅳ，隨堂練習(xí) 1.如圖，△ABC

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是等腰直角三角形，你能根據(jù)圖中所給 數(shù)據(jù)求出tanC嗎? 分析：要求tanC.需從圖中找到∠C所在的直角三角形，因?yàn)锽D⊥AC，所以∠C在Rt△BDC中.然后求出∠C的對(duì)邊與鄰邊的比，即

BD的值.DC 解：∵△ABC是等腰直角三角形，BD⊥AC，11AC＝×3＝1.5.22BD1.5 在Rt△BDC中，tanC＝ =＝1.DC1.5 ∴CD＝ 2.如圖，某人從山 腳下的點(diǎn)A走了200m后 到達(dá)山頂?shù)狞c(diǎn)B，已知點(diǎn)

B到山腳的垂直距離為55 m，求山的坡度.(結(jié)果精確到0.001)分析：由圖可知，∠A是坡角，∠A的正切即tanA為山的坡度.解：根據(jù)題意：

在Rt△ABC中，AB=200 m，BC＝55 m，AC=200?55?51479?5?38.46=192.30(m).TanA=22BC55??0.286.AC192.30所以山的坡度為0.286.Ⅴ.課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課從梯子的傾斜程度談起，經(jīng)歷了探索直角三角形中的邊角關(guān)系，得出了在直角三角形中的銳角確定之后，它的對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定，并以此為基礎(chǔ)，在“Rt△”中定義了tanA＝?A的對(duì)邊.?A的鄰邊 接著，我們研究了梯子的傾斜程度，工程中的問(wèn)題坡度與正切的關(guān)系，了解了正切在 現(xiàn)實(shí)生活中是一個(gè)具有實(shí)際意義的一個(gè)很重要的概念.Ⅵ.課后作業(yè)

1.習(xí)題1.1第1、2題.用心

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2.觀察學(xué)校及附近商場(chǎng)的樓梯，哪個(gè)更陡.Ⅶ.活動(dòng)與探究(2003年江蘇鹽城)如圖，Rt△ABC是一防 洪堤背水坡的橫截面 圖，斜坡AB的長(zhǎng)為 m，它的坡角為45°，為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡AD，求DB的長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))[過(guò)程]要求DB的長(zhǎng)，需分別在Rt△ABC和Rt△ACD中求出BC和DC.根據(jù)題意，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，AB＝12 m，則可根據(jù)勾股定理求出BC；在Rt△ADC中，坡比為1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC＝AC，可求出CD.[結(jié)果]根據(jù)題意，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，所以△ABC為等腰直角三角形.設(shè)BC=AC＝xm，則 x+x＝12，x=62，所以BC＝AC=62.在Rt△ADC中，tanD=222

AC1, ?CD1.5 即621?CD=92.CD1.5 所以DB＝CD-BC＝92-62=32(m).板書(shū)設(shè)計(jì)

§1.1.1 從梯子的傾斜程度談起(一)1.當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，它的對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定.2.正切的定義：

在Rt△ABC中，銳角A確定，那么∠A的對(duì)邊與鄰邊的比隨之確定，這個(gè)比叫做∠A的正切，記作tanA，即 tanA＝?A的對(duì)邊.?A的鄰邊用心

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專(zhuān)心 9

注：(1)tanA的值越大.梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的傾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.3.例題講解(略)4.隨堂練習(xí)5.課時(shí)小結(jié) 備課資料

[例1](2003年浙江沼興)若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前進(jìn)10米，則他所在的位置比原來(lái)的位置升高_(dá)_______米.分析：根據(jù)題意(如圖)：在Rt△ABC 中

AC：BC＝3：4，AB＝10米.設(shè)AC＝3x，BC＝4x，根據(jù)勾股定理，得(3x)+(4x)＝10，∴x＝2.∴AC＝3x=6(米).因此某人沿斜坡前進(jìn)10米后，所在位置比原來(lái)的位置升高6米.解：應(yīng)填“6 m”.[例2](2003年內(nèi) 蒙古赤峰)菱形的兩條 對(duì)角線分別是16和12.較長(zhǎng)的一條對(duì)角線與菱

形的一邊的夾角為θ，則tanθ＝______.分析：如圖，菱形ABCD，BD＝16，AC＝12，∠ABO＝θ，在Rt△AOB中，AO= BO=

1AC=6，21BD=8.2OA63 tanθ=??.OB84用心

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專(zhuān)心 10

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專(zhuān)心11 解：應(yīng)填“

3” 4