第一篇：九年級(jí)數(shù)學(xué)正多邊形與圓教案

九年級(jí)數(shù)學(xué)正多邊形與圓教案

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、了解正多邊形的概念、正多邊形和圓的關(guān)系；

2、會(huì)通過等分圓心角的方法等分圓周，畫出所需的正多邊形；

3、能夠用直尺和圓規(guī)作圖，作出一些特殊的正多邊形；

4、理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：利用直尺與圓規(guī)作特殊的正多邊形。學(xué)習(xí)過程：

一、情境創(chuàng)設(shè)：

觀察下列圖形，你能說出這些圖形的特征嗎？

提問：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？

2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？

二、探索活動(dòng)：

活動(dòng)一 觀察生活中的一些圖形，歸納它們的共同特征，引入正多邊形的概念

概念： 叫做正多邊形。

（注：各邊相等與各角相等必須同時(shí)成立）

提問：矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

如果一個(gè)正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．

活動(dòng)二 用量角器作正多邊形，探索正多邊形與圓的內(nèi)在聯(lián)系

1、用量角器將一個(gè)圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點(diǎn)所得的n邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；圓的內(nèi)接正n邊形將圓n等分；

2、正多邊形的外接圓的圓心叫正多邊形的中心?；顒?dòng)三 探索正多邊形的對(duì)稱性

問題：正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形中，哪些是軸對(duì)稱圖形？哪些是中心對(duì)稱圖形？哪些既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形？如果是軸對(duì)稱圖形，畫出它的對(duì)稱軸；如果是中心對(duì)稱圖形，找出它的對(duì)稱中心。

問題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？什么是正多邊形的中心？

發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓．圓心就是正多邊形的中心。

分析：正三角形三個(gè)頂點(diǎn)把圓三等分；正方形的四個(gè)頂點(diǎn)把圓四等分．要將圓五等分，把等分點(diǎn)順次連結(jié)，可得正五邊形．要將圓六等分呢？你知道為什么嗎？

思考：任何一個(gè)正多邊形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形嗎？跟邊數(shù)有何關(guān)系？ 結(jié)論：正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形有 條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的 ；一個(gè)正多邊形，如果有偶數(shù)條邊，那么它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形?；顒?dòng)四 利用直尺與圓規(guī)作特殊的正多邊形 問題：用直尺和圓規(guī)作出正方形，正六多邊形。

思考：如何作正八邊形正三角形、正十二邊形？

拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．

拓展2：各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形？

三、課堂練習(xí)

1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六邊形的邊長(zhǎng)為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個(gè)內(nèi)角是______．

4、正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等．

5、P144 練習(xí)1、2

四、課堂小結(jié)

1、正多邊形的概念、正多邊形與圓的關(guān)系以及正多邊形的對(duì)稱性；

2、利用直尺與圓規(guī)作一些特殊的正多邊形。

正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等．正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．正n邊形的每個(gè)中心角都等于 ．

五、課堂作業(yè)：

P108 5 6

第二篇：圓與正多邊形教案一

正多邊形與圓

田小華

一．學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、了解正多邊形的概念、正多邊形和圓的關(guān)系；

2、會(huì)通過等分圓心角的方法等分圓周，畫出所需的正多邊形；

3、能夠用直尺和圓規(guī)作圖，作出一些特殊的正多邊形； 二．教學(xué)重難點(diǎn)

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：利用直尺與圓規(guī)作特殊的正多邊形。三．自學(xué)提綱

了解正多邊形的概念，掌握如何利用尺規(guī)做正多邊形的畫法，理解正多邊形與圓的的定理。

四．教學(xué)過程： 1.情境創(chuàng)設(shè)：

我們國(guó)旗上的五角星怎么畫的？能不能利用尺規(guī)作出正五邊形 及所有邊相等的正多邊形

提問：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？ 2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？

拓展：如果圓內(nèi)接正三角形，正方形有什么性質(zhì)

二、探索活動(dòng)：活動(dòng)一 觀察生活中的一些圖形，歸納它們的共同特征，引入正多邊形的概念

正多邊形的概念：（學(xué)生讀出，并及時(shí)理解）

（注：各邊相等與各角相等必須同時(shí)成立）

提問：矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

如果一個(gè)正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形等．

定理：

此定理講述了元與正多邊形的關(guān)系，和包含了做圓內(nèi)接正多邊形的方法，我們拿正五邊形來做事例 分析書上的例題 P33 拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA．（圖形師生共同作圖）

（1）求證：五邊形ABCDE是正五邊形． 探討：以圓心到弦AB的弦心距為半徑，還以O(shè)為圓心畫圓。這個(gè)圓與正五邊形什么關(guān)系？

活動(dòng)二 用量角器作正多邊形，探索正多邊形與圓的內(nèi)在聯(lián)系

1、用量角器將一個(gè)圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點(diǎn)所得的n邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；圓的內(nèi)接正n邊形將圓n等分；

2、正多邊形的外接圓的圓心叫正多邊形的中心。

活動(dòng)四 利用直尺與圓規(guī)作特殊的正多邊形 問題：用直尺和圓規(guī)作出正方形，正六多邊形。

思考：如何作正八邊形正三角形、正十二邊形？

拓展2：各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形？

五、課堂練習(xí)

課本P34練習(xí)1,2和P35習(xí)題3，4

六．小結(jié)：本節(jié)課主要講的是圓與正多邊形聯(lián)系，及如何作正（四，五，六，八）多邊形，及進(jìn)一步探討正多邊形的對(duì)稱性。

第三篇：九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 24.6 正多邊形與圓教案 滬科版

第24章 圓

24.6正多邊形與圓（2）

——正多邊形的性質(zhì)

【教學(xué)內(nèi)容】正多邊形與圓 【教學(xué)目標(biāo)】 知識(shí)與技能

了解正多邊形和圓的有關(guān)概念；，會(huì)應(yīng)用多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫多邊形． 過程與方法

通過作圖，培養(yǎng)作圖能力．

情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過探究 正多邊形與圓知識(shí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的研究問題能力；培養(yǎng)學(xué)生解 決實(shí)際問題的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn)：正多邊形與圓

難點(diǎn)：正多邊形與圓

【導(dǎo)學(xué)過程】 【知識(shí)回顧】 1.復(fù)習(xí)

（1）什么叫正多邊形？

（2）從你身邊舉出兩三個(gè)正多邊形的實(shí)例，正多邊形具有軸對(duì)稱、?中心對(duì)稱嗎？其對(duì)稱軸有幾條，對(duì)稱中心是哪一點(diǎn)？ 【情景導(dǎo)入】

【新知探究】

探究

一、1、正多邊形和圓有什么關(guān)系？ 只要把一個(gè)圓分成 的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的。

2、通過教材圖形，識(shí)別什么叫正多邊形的中心、正多邊形的中心角、正多邊形的邊心距？

3、計(jì)算一下正五邊形的中心角時(shí)多少？正五邊形的一個(gè)內(nèi)角是多少？正五邊形的一個(gè)外角是多少？正六邊形呢？

4通過上述計(jì)算，說明正n邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是多少？中心角呢？正多邊形的中心角與外角的大小有什么關(guān)系？

5、如何利用等分圓弧的方法來作正n邊形？ 方法

一、用量角器作一個(gè)等于 的圓心角。

方法

二、正六邊形、正三角形、正十二邊形等特殊正多邊形的作法？

…….【知識(shí)梳理】

正多邊形與圓的概念?！倦S堂練習(xí)】

1．如圖1所示，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，則∠ADB的度數(shù)是（）． A．60° B．45° C．30° D．22．5°

BDCA

(1)(2)(3)2．圓內(nèi)接正五邊形ABCDE中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)P，則∠APB的度數(shù)是（）． A．36° B．60° C．72° D．108°

3．若半徑為5cm的一段弧長(zhǎng)等于半徑為2cm的圓的周長(zhǎng)，?則這段弧所對(duì)的圓心角為（）

A．18° B．36°C．72° D．144°

4．已知正六邊形邊長(zhǎng)為a，則它的內(nèi)切圓面積為_____．

5．如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑的圓交AB于D，若AC=6，則AD的長(zhǎng)為_______．

6．四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接梯形，如圖3所示，AB∥CD，且CD為直徑，?如果⊙O的半徑等于r，∠C=60°，那圖中△OAB的邊長(zhǎng)AB是______；△ODA的周長(zhǎng)是_______；∠BOC的度數(shù)是________．

第四篇：[初中數(shù)學(xué)]正多邊形和圓教案2 人教版

《正多邊形和圓》教案2 教學(xué)目標(biāo) ：

（1）使學(xué)生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關(guān)系的第一個(gè)定理；

（2）通過正多邊形定義教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生歸納能力；通過正多邊形與圓關(guān)系定理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、推理、遷移能力；

（3）進(jìn)一步向?qū)W生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想．

教學(xué)重點(diǎn)：

正多邊形的概念與正多邊形和圓的關(guān)系的第一個(gè)定理．

教學(xué)難點(diǎn) ：

對(duì)定理的理解以及定理的證明方法．

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

（一）觀察、分析、歸納：

觀察、分析：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？

2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？

歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)的共同點(diǎn)．

教師組織學(xué)生進(jìn)行，并可以提問學(xué)生問題．

（二）正多邊形的概念：

（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如果一個(gè)正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．

（2）概念理解：

①請(qǐng)同學(xué)們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形．（正三角形、正方形、正六邊形，…….）

②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

矩形不是正多邊形，因?yàn)檫叢灰欢ㄏ嗟龋庑尾皇钦噙呅危驗(yàn)榻遣灰欢ㄏ嗟龋?/p>

（三）分析、發(fā)現(xiàn)：

問題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？

發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓．

分析：正三角形三個(gè)頂點(diǎn)把圓三等分；正方形的四個(gè)頂點(diǎn)把圓四等分．要將圓五等分，把等分點(diǎn)順次連結(jié)，可得正五邊形．要將圓六等分呢？

（四）多邊形和圓的關(guān)系的定理

定理：把圓分成n(n≥3)等份：

(1)依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；

(2)經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形．

我們以n=5的情況進(jìn)行證明．

已知：⊙O中，= = = =，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過點(diǎn)A、B、C、D、E的⊙O的切線．

求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形；

（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形．

證明：（略）

引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納證明思路：

弧相等

說明：(1)要判定一個(gè)多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來判定外，還可以根據(jù)這個(gè)定理來判定，即：①依次連結(jié)圓的n(n≥3)等分點(diǎn)，所得的多邊形是正多迫形；②經(jīng)過圓的n(n≥3)等分點(diǎn)作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件．

(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正多邊形或根據(jù)它作正多邊形．

（五）初步應(yīng)用

P157練習(xí)

1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么? 2．求證：正五邊形的對(duì)角線相等．

3．如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D、E是⊙O的5等分點(diǎn)，畫出⊙O的內(nèi)接和外切正五邊形．

（六）小結(jié)：

知識(shí)：（1）正多邊形的概念．（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．

能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力

（七）作業(yè) 教材P172習(xí)題A組2、3． 教學(xué)設(shè)計(jì)示例2 教學(xué)目標(biāo) ：

（1）理解正多邊形與圓的關(guān)系定理；

（2）理解正多邊形的對(duì)稱性和邊數(shù)相同的正多邊形相似的性質(zhì)；

（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（4）通過正多邊形性質(zhì)的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的探索、推理、歸納、遷移等能力；

教學(xué)重點(diǎn)：

理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質(zhì)定理．

教學(xué)難點(diǎn) ：

對(duì)“正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且這兩個(gè)圓是同心圓”的理解．

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

（一）提出問題：

問題：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．反過來，是否每一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓呢？

（二）實(shí)踐與探究：

組織學(xué)生自己完成以下活動(dòng)．

實(shí)踐：

1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點(diǎn)？半徑是什么？

2、作已知三角形的內(nèi)切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點(diǎn)？半徑是什么？

探究1：當(dāng)三角形為正三角形時(shí)，它的外接圓和內(nèi)切圓有什么關(guān)系？

探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對(duì)角線的交點(diǎn)．)（2）根據(jù)正方形的哪個(gè)性質(zhì)證明對(duì)角線的交點(diǎn)是它的外接圓圓心？

（3）正方形有內(nèi)切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰(shuí)？

（三）拓展、推理、歸納：

（1）拓展、推理：

過正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A、B、C、作⊙O連結(jié)OA、OB、OC、OD．

同理，點(diǎn)E在⊙O上．

所以正五邊形ABCDE有一個(gè)外接圓⊙O．

因?yàn)檎暹呅蜛BCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以點(diǎn)O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切．可見正五邊形ABCDE還有一個(gè)以O(shè)為圓心的內(nèi)切圓．

（2）歸納：

正五邊形的任意三個(gè)頂點(diǎn)都不在同一條直線上

它的任意三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，即確定了圓心和半徑．

其他兩個(gè)頂點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑．

正五邊形的各頂點(diǎn)共圓．

正五邊形有外接圓．

圓心到各邊的距離相等．

正五邊形有內(nèi)切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離．

照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓．

定理： 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓．

正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等．正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．正n邊形的每個(gè)中心角都等于 ．

（3）鞏固練習(xí)：

1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六邊形的邊長(zhǎng)為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個(gè)內(nèi)角是______．

4、正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等．

（四）正多邊形的性質(zhì)：

1、各邊都相等．

2、各角都相等．

觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對(duì)稱圖形？如果是，它們又各應(yīng)有幾條對(duì)稱軸？

3、正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心．邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心．

4、邊數(shù)相同的正多邊形相似．它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．

5、任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓．

以上性質(zhì)，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養(yǎng)學(xué)生的探究問題的能力、培養(yǎng)學(xué)生的研究意識(shí)，也培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作學(xué)習(xí)精神．

（五）總結(jié)

知識(shí)：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（2）正多邊形與圓的關(guān)系定理、正多邊形的性質(zhì)．

能力：探索、推理、歸納等能力．

方法：證明點(diǎn)共圓的方法．

（六）作業(yè) P159中練習(xí)1、2、3．

教學(xué)設(shè)計(jì)示例3 教學(xué)目標(biāo) ：

（1）鞏固正多邊形的有關(guān)概念、性質(zhì)和定理；

（2）通過證明和畫圖提高學(xué)生綜合運(yùn)用分析問題和解決問題的能力；

（3）通過例題的研究，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和不斷更新的創(chuàng)新意識(shí)及選優(yōu)意識(shí)．

教學(xué)重點(diǎn)：

綜合運(yùn)用正多邊形的有關(guān)概念和正多邊形與圓關(guān)系的有關(guān)定理來解決問題，要理解通過對(duì)具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學(xué)知識(shí)的聯(lián)想和化歸．

教學(xué)難點(diǎn) ：綜合運(yùn)用知識(shí)證題．

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

（一）知識(shí)回顧

1．什么叫做正多邊形？

2．什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？

3．正多邊形有哪些性質(zhì)？(邊、角、對(duì)稱性、相似性、有兩圓且同心)4．正n邊形的每個(gè)中心角都等于 ．

5．正多邊形的有關(guān)的定理．

（二）例題研究：

例

1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形．

已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．

分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個(gè)角相等，顯然證五條邊相等即可．

教師引導(dǎo)學(xué)生分析，學(xué)生動(dòng)手證明．

證法1：連結(jié)OA、OB、OC，∵五邊形ABCDE外切于⊙O．

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

∴∠BAO=∠OCB．

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA．

∴五邊形ABCDE是正五邊形．

證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

∠B=∠C ∠1=∠2 = ．

同理 = = =，即切點(diǎn)A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點(diǎn)．所以五邊形ABCDE是正五邊形．

反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關(guān)系定理1來判定，證明關(guān)鍵是證出各切點(diǎn)為圓的等分點(diǎn)．由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”．

此外，用正多邊形與圓的關(guān)系定理1中“把圓n等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)，所得的多邊形是圓內(nèi)接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內(nèi)接n邊形是正n邊形”，證明關(guān)鍵是證出各接點(diǎn)是圓的等分點(diǎn)。

拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

分小組進(jìn)行證明競(jìng)賽，并歸納學(xué)生的證明方法．

拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內(nèi)切圓和外接圓，切點(diǎn)分別為F、G、H、M、N．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

學(xué)生獨(dú)立完成證明過程，對(duì)B、C層學(xué)生教師給予及時(shí)指導(dǎo)，最后可以應(yīng)用實(shí)物投影展示學(xué)生的證明成果，特別是對(duì)證明方法好，步驟推理嚴(yán)密的學(xué)生給予表?yè)P(yáng)．

例

2、已知：正六邊形ABCDEF．

求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內(nèi)切圓．

作法：1過A、B、C三點(diǎn)作⊙O．⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓．

2、以O(shè)為圓心，以O(shè)到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內(nèi)切圓．

用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內(nèi)切圓．

練習(xí)：P161

1、求證：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個(gè)反例．

(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；

(2)各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓．

（三）小結(jié)

知識(shí)：復(fù)習(xí)了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)和判定方法．

能力與方法：重點(diǎn)復(fù)習(xí)了正多邊形的判定．正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的畫法．

（四）作業(yè)

教材P172習(xí)題4、5；另A層學(xué)生：P174B組3、4．

探究活動(dòng)

折疊問題：（1）想一想：怎樣把一個(gè)正三角形紙片折疊一個(gè)最大的正六邊形．

（提示：①對(duì)折；②再折使A、B、C分別與O點(diǎn)重合即可）

（2）想一想：能否把一個(gè)邊長(zhǎng)為8正方形紙片折疊一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正六邊形．

（提示：可以．主要應(yīng)用把一個(gè)直角三等分的原理．參考圖形如下：

①對(duì)折成小正方形ABCD；

②對(duì)折小正方形ABCD的中線；

③對(duì)折使點(diǎn)B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；

④則B、B’為正六邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，這樣可得滿足條件的正六邊形．）

探究問題：

（安徽省2002）某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時(shí)，進(jìn)行如下討論：

甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；

乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時(shí)，它也不一定是正多邊形．如圖一，△ABC是正三角形, 形，= =，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形；

丙同學(xué)：我能證明，邊數(shù)是5時(shí)，它是正多邊形．我想，邊數(shù)是7時(shí)，它可能也 是正多邊形．

(1)請(qǐng)你說明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等．

(2)請(qǐng)你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證)．

(3)根據(jù)以上探索過程，提出你的猜想(不必證明)．

（1）[說明]（2）[證明]（3）[猜想]

解：（1）由圖知∠AFC對(duì) ．因?yàn)?=，而∠DAF對(duì)的 = + = + = ．所以∠AFC=∠DAF．

同理可證，其余各角都等于∠AFC．所以，圖1中六邊形各內(nèi)角相．

（2）因?yàn)椤螦對(duì)，∠B對(duì)，又因?yàn)椤螦=∠B，所以 = ．所以 = ．

同理 = = = = = = ．所以 七邊形ABCDEFG是正七邊形．

猜想：當(dāng)邊數(shù)是奇數(shù)時(shí)(或當(dāng)邊數(shù)是3，5，7，9，……時(shí))，各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形

第五篇：2.6正多邊形與圓同步練習(xí)蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

2.6正多邊形與圓

一、選擇題

1.有以下說法:①各角相等的多邊形是正多邊形;②各邊相等的三邊形是正三邊形;③各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形;④各頂點(diǎn)等分外接圓的多邊形是正多邊形.其中正確的有

()

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

2.下列圖形中既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形的是

()

A.多邊形

B.邊數(shù)為奇數(shù)的正多邊形

C.正多邊形

D.邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形

3.[2019·湖州]

如圖1,已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O,連接BD,則∠ABD的度數(shù)是

()

圖1

A.60°

B.70°

C.72°

D.144°

4.[2019·蘇州期末]

如圖2,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O,若☉O的半徑為6,則△ADE的周長(zhǎng)是

()

圖2

A.9+33

B.12+63

C.18+33

D.18+63

5.如圖3,若干個(gè)全等的正五邊形排成環(huán)狀,圖中所示的是前3個(gè)正五邊形,要完成這一圓環(huán)還需正五邊形的個(gè)數(shù)為()

圖3

A.10

B.9

C.8

D.7

二、填空題

6.[2020·株洲]

一個(gè)蜘蛛網(wǎng)如圖4所示,若多邊形ABCDEFGHI為正九邊形,其中心為點(diǎn)O,點(diǎn)M,N分別在射線OA,OC上,則∠MON=　　　　°.圖4

7.如圖5,正方形ABCD內(nèi)接于☉O,若☉O的半徑是1,則正方形的邊長(zhǎng)是.圖5

8.[2020·葫蘆島]

如圖6,以AB為邊,在AB的同側(cè)分別作正五邊形ABCDE和等邊三角形ABF,連接FE,FC,則∠EFA的度數(shù)是.圖6

9.如圖7,AB,AC分別為☉O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊,而BC恰好是同圓一個(gè)內(nèi)接正n邊形的一邊,則n=.圖7

10.[2019·長(zhǎng)春模擬]

如圖8,點(diǎn)O是正八邊形ABCDEFGH的中心,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在AB和DE上,且AM=DN,則∠MON的度數(shù)為.圖8

三、解答題

11.如圖9,已知五邊形ABCDE是正五邊形,AD是對(duì)角線.求證:AD∥BC.圖9

12.作圖與證明:如圖10,已知☉O和☉O上的一點(diǎn)A,請(qǐng)完成下列任務(wù):

(1)作☉O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF;

(2)連接BF,CE,判斷四邊形BCEF的形狀,并加以證明.圖10

13.如圖11,☉O的半徑為4

cm,六邊形ABCDEF是其內(nèi)接正六邊形,點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A,D同時(shí)出發(fā),以1

cm/s的速度沿AF,DC向終點(diǎn)F,C運(yùn)動(dòng),連接PB,QE,PE,BQ.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

s.(1)求證:四邊形PBQE為平行四邊形.(2)填空:

①當(dāng)t=　　　　時(shí),四邊形PBQE為菱形;

②當(dāng)t=　　　　時(shí),四邊形PBQE為矩形.圖11

14.如圖12,在☉O中,如果作兩條互相垂直的直徑AB,CD,那么弦AC是☉O的內(nèi)接正方形的一邊;如果以點(diǎn)A為圓心,以O(shè)A為半徑畫弧,與☉O相交于點(diǎn)E,F,那么弦AE,CE,EF分別是☉O的內(nèi)接正六邊形、正十二邊形、正三角形的一邊,為什么?

圖12

15.如圖13,正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是☉O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形,點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)B,C開始,同時(shí)以相同的速度在☉O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),AM,BN相交于點(diǎn)P.圖13

(1)求圖①中∠APB的度數(shù).(2)圖②中∠APB的度數(shù)是　　　　,圖③中∠APB的度數(shù)是.(3)根據(jù)前面的探索,你能否將本題推廣到一般的正n邊形?若能,寫出推廣問題和結(jié)論;若不能,請(qǐng)說明理由.答案

1.[解析]

B?、俑鹘呛透鬟吘嗟鹊亩噙呅问钦噙呅?錯(cuò)誤;

②各邊相等的三邊形是正三邊形,正確;

③各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形,錯(cuò)誤;

④各頂點(diǎn)等分外接圓的多邊形是正多邊形,正確.故選B.2.[解析]

D　A選項(xiàng),多邊形無法確定是軸對(duì)稱圖形,無法確定是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)不符合題意;

B選項(xiàng),邊數(shù)為奇數(shù)的正多邊形是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)不符合題意;

C選項(xiàng),正多邊形是軸對(duì)稱圖形,不一定是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)不符合題意;

D選項(xiàng),邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形,既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)符合題意.故選D.3.[解析]

C　∵五邊形ABCDE為正五邊形,∴∠ABC=∠C=(5-2)×180°5=108°.∵CD=CB,∴∠CBD=180°-108°2=36°,∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°.故選C.4.[解析]

D　連接OE.∵多邊形ABCDEF是正多邊形,∴∠DOE=360°6=60°,∴∠DAE=12∠DOE=12×60°=30°,∠AED=90°.∵☉O的半徑為6,∴AD=2OD=12,∴DE=12AD=12×12=6,∴AE=AD2-DE2=63,∴△ADE的周長(zhǎng)為6+12+63=18+63.故選D.5.[解析]

D　∵五邊形的內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°,∴正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為540°÷5=108°.如圖,延長(zhǎng)正五邊形的兩邊相交于點(diǎn)O,則∠1=360°-108°×3=360°-324°=36°,360°÷36°=10.∵已經(jīng)有3個(gè)正五邊形,∴10-3=7,即完成這一圓環(huán)還需7個(gè)正五邊形.故選D.6.[答案]

[解析]

根據(jù)正多邊形的性質(zhì),得

∠AOB=360°÷9=40°,∴∠MON=2∠AOB=80°.7.[答案]

[解析]

如圖,連接OB,OC,則OC=OB=1,∠BOC=90°,在Rt△BOC中,BC=OB2+OC2=2,∴正方形的邊長(zhǎng)是2.8.[答案]

66°

[解析]

∵五邊形ABCDE為正五邊形,∴∠EAB=(5-2)×180°5=108°,AE=AB.∵△ABF是等邊三角形,∴∠FAB=60°,AB=AF,∴∠EAF=108°-60°=48°.∵AE=AB,AB=AF,∴AE=AF,∴∠AEF=∠EFA=12×(180°-48°)=66°.9.[答案]

[解析]

如圖,連接OA,OB,OC.∵AB,AC分別為☉O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊,∴∠AOB=360°4=90°,∠AOC=360°3=120°,∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°,∴n=360°30°=12.10.[答案]

135°

[解析]

如圖,連接OA,OB,OC,OD.∵正八邊形的中心角為360°÷8=45°,∴∠OAM=∠ODN=180°-45°2=67.5°.∵OA=OD,∠OAM=∠ODN,AM=DN,∴△OAM≌△ODN(SAS),∴∠AOM=∠DON,∴∠MON=∠MOB+∠BOC+∠COD+∠NOD=3∠AOB=135°.11.證明:∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴∠E=∠EAB=∠B=108°,AE=ED,∴∠EAD=∠EDA=36°.∵∠BAD+∠EAD=∠EAB=108°,∴∠BAD=72°.∵∠BAD+∠B=72°+108°=180°,∴AD∥BC.12.[解析]

(1)由正六邊形ABCDEF的中心角為60°,可得△OAB是等邊三角形,繼而可得正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑,則可畫出☉O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF;

(2)首先連接OE,由六邊形ABCDEF是正六邊形,易得EF=BC,BF=CE,則可得BF=CE,證得四邊形BCEF是平行四邊形,然后由∠EDC=∠DEF=120°,∠DEC=30°,求得∠CEF=90°,則可證得結(jié)論.解:(1)如圖①,首先作直徑AD,然后分別以A,D為圓心,OA長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交☉O于點(diǎn)B,F和C,E,連接AB,BC,CD,DE,EF,AF,則正六邊形ABCDEF即為所求.(2)如圖,連接BF,CE,四邊形BCEF是矩形.證明:如圖②,連接OE.∵六邊形ABCDEF是正六邊形,∴AB=AF=DE=DC=FE=BC,∴AB=AF=DE=DC,∴BF=CE,∴BF=CE,∴四邊形BCEF是平行四邊形.∵∠EOD=360°6=60°,OE=OD,∴△EOD是等邊三角形,∴∠OED=∠ODE=60°,∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°.∵DE=DC,∴∠DEC=∠DCE=30°,∴∠CEF=∠FED-∠DEC=90°,∴四邊形BCEF是矩形.13.解:(1)證明:∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O,∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F.∵點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A,D同時(shí)出發(fā),以1

cm/s的速度沿AF,DC向終點(diǎn)F,C運(yùn)動(dòng),∴AP=DQ.在△ABP和△DEQ中,AB=DE,∠A=∠D,AP=DQ,∴△ABP≌△DEQ(SAS),∴BP=EQ.同理可證PE=QB,∴四邊形PBQE是平行四邊形.(2)①當(dāng)PA=PF,QC=QD時(shí),四邊形PBQE是菱形,此時(shí)t=2.故答案為2.②當(dāng)t=0時(shí),∠EPF=∠PEF=30°,∴∠BPE=120°-30°=90°,∴此時(shí)四邊形PBQE是矩形.當(dāng)t=4

s時(shí),同法可知∠BPE=90°,此時(shí)四邊形PBQE是矩形.綜上所述,當(dāng)t=0或4時(shí),四邊形PBQE是矩形.故答案為0或4.14.解:如圖,連接OE.∵OA=AE=OE,∴∠AOE=60°,∴AE是☉O的內(nèi)接正六邊形的一邊.∵∠AOE=60°,∠AOC=90°,∴∠EOC=90°-60°=30°,∴CE是☉O的內(nèi)接正十二邊形的一邊.如圖,連接OF,易知∠AOF=60°,∴∠EOF=60°×2=120°,∴EF是☉O的內(nèi)接正三角形的一邊.15.解:(1)∵點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)B,C開始,同時(shí)以相同的速度在☉O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),∴BM=CN,∴∠BAM=∠CBN,∴∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°,∴∠APB=180°-∠BPM=120°.(2)90°　72°

(3)能推廣到一般的正n邊形.問題:正n邊形ABCD…內(nèi)接于☉O,點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)B,C開始,同時(shí)以相同的速度在☉O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),AM,BN相交于點(diǎn)P,求∠APB的度數(shù).結(jié)論:∠APB的度數(shù)為所在正多邊形一個(gè)外角的度數(shù),即∠APB=360°n.