第一篇：高等數(shù)學(xué)第六版上冊(cè)(同濟(jì))復(fù)習(xí)重點(diǎn)

高數(shù)重點(diǎn)

1、洛必達(dá)法則求未定式極限

2、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式（隱函數(shù)存在的三個(gè)定理）

3、多元函數(shù)的極值及其求法（多元函數(shù)極值和最值的概念，二元函數(shù)極值存在的必要條件

和充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值）

4、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，全微分形式的不變性）

5、全微分（全微分的定義，課微分的必要條件和充分條件）

6、偏導(dǎo)數(shù)（概念，二階偏導(dǎo)數(shù)求解）

7、二重積分的計(jì)算法（利用直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)求二重積分）

8、微分方程的基本概念（微分方程及其階，解，通解，初始條件，特解）

9、齊次方程

10、牛頓——萊布尼茨公式

一、1、夾逼定理

2、連續(xù)（定義證明函數(shù)連續(xù)，判斷間斷點(diǎn)類(lèi)型）

二、1、導(dǎo)數(shù)（證明函數(shù)是否可導(dǎo)）連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定連續(xù)

2、求導(dǎo)法則

3、求導(dǎo)公式，微分公式

三、1、微分中值定理！

2、洛必達(dá)法則

3、泰勒公式，拉格朗日中值定理

4、曲線凹凸性，極值

5、曲率公式 曲率半徑

四、積分不定積分

1、兩類(lèi)換元法

2、分部積分法（注意加C）

3、定積分定義、反常積分

五、定積分的應(yīng)用

極坐標(biāo)求做功求面積求體積求弧長(zhǎng)

第二篇：高等數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)

第一章復(fù)習(xí)提要 第一節(jié) 映射與函數(shù)

1、注意幾個(gè)特殊函數(shù)：符號(hào)函數(shù)，取整函數(shù)，狄利克雷函數(shù)；這些函數(shù)通常用于判斷題中的反例

2、注意無(wú)界函數(shù)的概念

3、了解常用函數(shù)的圖像和基本性質(zhì)（特別是大家不太熟悉的反三角函數(shù)）第二節(jié) 數(shù)列的極限 會(huì)判斷數(shù)列的斂散性 第三節(jié) 函數(shù)的極限

1、函數(shù)極限存在的充要條件：左右極限存在并相等。（重要）

2、水平漸近線的概念，會(huì)求函數(shù)的水平漸近線（p37）。（重要）

3、了解函數(shù)極限的局部有界性、局部保號(hào)性。第四節(jié) 無(wú)窮大和無(wú)窮小

1、無(wú)窮小和函數(shù)極限的關(guān)系：limf(x)?A?f(x)?A??，其中?是無(wú)窮小。

x?x0x??

2、無(wú)窮大和無(wú)窮小是倒數(shù)關(guān)系

3、鉛直漸近線的概念（p41）, 會(huì)求函數(shù)的鉛直漸近線

4、無(wú)界與無(wú)窮大的關(guān)系：無(wú)窮大一定無(wú)界，反之不對(duì)。

5、極限為無(wú)窮大事實(shí)上意味著極限不存在，我們把它記作無(wú)窮大只是為了描述函數(shù)增大的這種狀態(tài) 第五節(jié) 極限的運(yùn)算法則

1、極限的四則運(yùn)算法則：兩個(gè)函數(shù)的極限都存在時(shí)才能用。以乘法為例比如f(x)?x,g(x)?但是limf(x)?g(x)?1

x?01。limf(x)?0，limg(x)??。xx?0x?02、會(huì)求有理分式函數(shù)

p(x)的極限（P47 例3-例7）（重要）q(x)x?x0時(shí):若分母q(x0)?0，則極限為函數(shù)值

0型極限，約去公因子 0 若只是分母為零，則極限為無(wú)窮大。（p75頁(yè)9（1））

x??時(shí)，用抓大頭法，分子、分母同時(shí)約去x的最高次冪。第六節(jié) 極限存在的準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限（重要）

1、利用夾逼準(zhǔn)則求極限： 例 p56也習(xí)題4（1）（2），及其中考試題（B）卷第三題（1）

2、利用兩個(gè)重要極限求其他的極限（p56習(xí)題2）

1sinxsinx?0；lim?1 3 注意下面幾個(gè)極限：limxsin?0；limx?0x??x?0xxx第七節(jié) 無(wú)窮小的比較（重要）

1、會(huì)比較兩個(gè)無(wú)窮之間的關(guān)系（高階、低階、同階，k 階還是等價(jià)窮?。┤舴肿雍头帜竿瑫r(shí)為零，則為

x22、常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮?。簊inx,tanx,arcsinx~x；1?cosx~

2ex?1~x；(1?x)~1nx n13、若?(x)為無(wú)窮小，則sin?(x)~?(x)，(1??(x))n~?(x)n，ln(1??(x))~?(x)，e?(x)?1~?(x)。

4、替換無(wú)窮小時(shí)必須是因式

x?0limtanx?sinxx3?limx?x3x?0x?0

應(yīng)該

x2xtanx?sinxtanx(1?cosx)1lim?lim?lim2?

2x?0x?0x?0x3x3x35、會(huì)利用等價(jià)無(wú)窮小計(jì)算極限（p60頁(yè)習(xí)題4）

第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)（重要）

1、函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù) ?limf(x)?f(x0)

x?x0?左連續(xù)limf(x)?f(x0)且

x?x?0f(x)?f(x0)

右連續(xù)lim?x?x02、會(huì)判斷間斷點(diǎn)及其類(lèi)型。討論分段函數(shù)的連續(xù)性。

3、f(x)在點(diǎn)a連續(xù)?f(x)在點(diǎn)a連續(xù)；但反之不對(duì)。

第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

初等函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)的，因而求某點(diǎn)處極限時(shí)可以直接把點(diǎn)代入求值。

4.注意三個(gè)例題：例6-例8（重要）

5、冪指函數(shù)u(x)v(x)求極限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)來(lái)求。（重要）

6、若含有根式，則分子或者分母有理化（p75頁(yè)9（2））是求極限的一種重要方法。（重要）

7、利用分段函數(shù)的連續(xù)性求未知數(shù)的值（如p70頁(yè) 6）（重要）第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

最大值最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理的內(nèi)容 會(huì)零點(diǎn)定理證明方程根的存在性。（重要）補(bǔ)充說(shuō)明 請(qǐng)熟悉函數(shù)e當(dāng)x?0?,x?0?,x??時(shí)的極限。第二章復(fù)習(xí)提要

1、導(dǎo)數(shù)的定義

（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義求一些極限的值：例如P86頁(yè)第6題 例

1、設(shè)f(0)?0,f?(0)?k0,則limf(x)?____.x?0x1x例

2、設(shè)f?(x0)存在，則limf(x0?h)?f(x0)?________.（重要）

hh?0（2）利用左右導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的可導(dǎo)性：P125頁(yè)第7題

?sinx,x?0例

3、已知f(x)??，求f?(x)

?x,x?0注意分點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該用定義來(lái)求。（重要）

（3）利用左右導(dǎo)數(shù)求未知數(shù)的值：P87頁(yè)第17題（重要）

?sinx,x?0例

4、設(shè)f(x)??為可導(dǎo)的，求a的值

ax,x?0?（4）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線和法線方程（重要）

（5）可導(dǎo)?連續(xù)，反之不成立！

2、求導(dǎo)法則

（1）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)不要掉項(xiàng)；

（2）冪指函數(shù)u(x)v(x)?ev(x)lnu(x)轉(zhuǎn)化成指數(shù)來(lái)求導(dǎo)

3、高階導(dǎo)數(shù)

（1）一般的函數(shù)求到2階即可；（2）幾個(gè)初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：

??(eax)(n)?aneax；y(n)?sin(x?n)；(cosx)(n)?cos(x?n)

22[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(n?1)!(1?x)n，(n?1)!(1?x)n[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(?1)n(n?1)!(1?x)n??

由上面的求導(dǎo)公式我們?nèi)菀淄瞥鱿铝星髮?dǎo)公式：

1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?(?1)nn?11?x(1?x)1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?n?11?x(1?x)(1(n)n!)?[ln(a?x)](n?1)?(?1)nn?1a?x(a?x)1(n)n!)?[ln(1?x)](n?1)?n?1a?x(a?x)((3)二項(xiàng)式定理

(uv)(n)(n?k)(k)??Ckuv nk?0n（4）間接法求高階導(dǎo)數(shù)：

1?x2例

5、求y?的n階導(dǎo)數(shù)：提示y??1?。

1?x1?x（5）注意下列函數(shù)的求導(dǎo)

例

6、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：P103頁(yè)第3題（重要）（1）y?f(x2)；（2）y?ln[f(x)]

4、隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)（重要）（1）一般方法，兩邊對(duì)x球到后解出

dy。dx（2）會(huì)求二階導(dǎo)數(shù)

（3）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù)和連乘或連除的函數(shù)（4）注意參數(shù)方程二階導(dǎo)數(shù)的公式

dydyd()2()?tdydtdx。（重要）??dxdx2dtdxdxdt（5）相關(guān)變化率問(wèn)題：

根據(jù)題意給出變量x和y之間的關(guān)系；

?

兩邊對(duì)t（或者是其他變量）求導(dǎo)

?

dydx和之間的關(guān)系，已知其中一個(gè)求另外一個(gè)。dtdt5、函數(shù)的微分

（1）微分與可導(dǎo)的關(guān)系：可微?可導(dǎo)且dy?f?(x)dx（2）利用微分的形式不變性求隱函數(shù)或顯函數(shù)的微分： 顯函數(shù)的例子見(jiàn)課本的例題；下面給出隱函數(shù)的例子 例

7、設(shè)ysinx?cos(x?y)?0,求dy。解: 利用一階微分形式不變性 , 有

d(ysinx)?d(cos(x?y))?0

sinxdy?ycosxdx?sin(x?y)(dx?dy)?0

dy?ycosx?sin(x?y)dx。

sin(x?y)?sinx（3）近似計(jì)算公式：注意x0的選取原則。(一般不會(huì)考)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)提要 3.1 微分中值定理（重要）

羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理應(yīng)用： 證明等式，一般通過(guò)證明導(dǎo)數(shù)為零

證明不等式：若不等式中不含x，則取x作為輔助函數(shù)的自變量；若含有x，則取t作為輔助函數(shù)的自變量。（重要）

判斷方程的根（存在性用零點(diǎn)定理，唯一性或判斷根的個(gè)數(shù)用中值定理，有時(shí)還要結(jié)合單調(diào)性，見(jiàn)153也習(xí)題6）（重要）

利用輔助函數(shù)和中值定理證明等式（一個(gè)函數(shù)用拉格朗日，二個(gè)用柯西）例1 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)?0，證明至少存在一點(diǎn)??(0,1)使得f?(?)??2f(?)?。

證明：上述問(wèn)題等價(jià)于?f?(?)?2f(?)?0。

令f(x)?x2f(x)，則f(x)在[0,1]上滿足羅爾定理?xiàng)l件，于是少存在一點(diǎn)??(0,1)使得

??(?)?2?f(?)??2f?(?)?0 即有?f?(?)?2f(?)?0。

（5）請(qǐng)熟悉132頁(yè)例1.3.2 洛必達(dá)法則（重要）

（1）(其他類(lèi)型的未定式)最終轉(zhuǎn)化成0?型和型未定式 0?（2）每次用前需判斷

（3）結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小效果更佳。3.3 泰勒公式

（1）一般方法：求各階導(dǎo)數(shù)代入公式即可；

（2）常見(jiàn)函數(shù)ex,ln(1?x)，sinx,cosx的麥克勞林公式 3.4 函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性（1）會(huì)用列表法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間（注意一般是閉區(qū)間），拐點(diǎn)。注意不要漏掉導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是單調(diào)區(qū)間的分點(diǎn)； 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn)。（2）利用單調(diào)性證明不等式（重要）（3）利用單調(diào)性判斷方程的根（重要）3.5 極值和最值（重要）

（1）列表法求極值（極值可能點(diǎn)為駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)）（2）最值（找出極值可能點(diǎn)再與端點(diǎn)比較）

（3）對(duì)于時(shí)間問(wèn)題，若極值點(diǎn)唯一，則也為最值點(diǎn)。3.6 函數(shù)圖形的描繪 注意漸近線 3.7 曲率

（1）弧微分公式

（2）曲率和曲率半徑的計(jì)算公式（重要）第四章復(fù)習(xí)提要

4.1 不定積分的概念和性質(zhì)

1、基本積分表

?

2、公式?f(x)dx?f(x)和?f?(x)dx?f(x)?C ??

3、注意如下問(wèn)題：（填空、選擇、判斷）若e?x是f(x)的原函數(shù)，則?x2f(lnx)dx??若f(x)是e?x的原函數(shù)，則?12x?C 2f(lnx)1dx? ?C0lnx?C xx若f(x)的導(dǎo)數(shù)為sinx，則f(x)的一個(gè)原函數(shù)是（B）。A 1?sinx;B 1?sinx;C 1?cosx;D 1?cosx

4.2 換元積分法（重要）

1、第一換元法的原理：?g(x)dx

把被積函數(shù)g(x)湊成g(x)?f(?(x))??(x)的形式，因而這種方法也稱(chēng)為湊微分法。

2、一些規(guī)律： ①?f(x)1xdx?2?f(x)(x)??2?f(x)dx

11?f(ax?b)(ax?b)dx?f(ax?b)d(ax?b)

a?a?②?f(ax?b)dx?1③?f(lnx)dx??f(lnx)(lnx)?dx??f(lnx)d(lnx)

x④?sin(2k?1)xcosnxdx??sin2kxcosnxsinxdx???(1?cos2x)cosnxdcosx ⑤?cos(2k?1)kxsinxdx??cosxsinxcosxdx??(1?sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：?sin(2k?1)xdx和?cos(2k?1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥?sin2kxcos2nxdx用公式sin2x?⑦?tanxsecn2k?2n2k1?cos2x1?cos2x和cos2x?降次。22n2kxdx??tanxsecxdtanx??tanx(1?tanx)dtanx

注?sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧?csc2k?2xdx??csc2kxcsc2xdx???(1?cot2x)dcotx

⑨?tan(2k?1)xsecnxdx??tan2kxsecn?1xdsecx??(sec2x?1)secn?1xdsecx ⑩利用積化和差公式：

1cosAcosB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

21sinAcosB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21cosAsinB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21sinAsinB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

2第二換元法

被積函數(shù)中含有a2?x2，利用代換x?asint,t?(?被積函數(shù)中含有a2?x2，利用代換x?atant,t?(?kk??,)22,)22??被積函數(shù)中含有x2?a2，利用代換x?asect,t?(0,?)（一般要分情況討論）被積函數(shù)為分式，分母次數(shù)比分子次數(shù)高，到代換 利用下列積分公式：

⒃?tanxdx??ln|cosx|?C；⒄?cotxdx?ln|sinx|?C

⒅?secxdx?ln|secx?tanx|?C；⒆?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C ⒇?dx1xdx1x?a?arctan?C；（21）?ln?x2?a22ax?a?C aa2?x2a（22）?xdx?arcsin?C；?ln(x?a2?x2)?C（23）?ax2?a2a2?x2dx（24）?dxx2?a2?lnx?x2?a2?C

4.3 分部積分法（重要）

1、分部積分公式：?udv?uv??vdu

2、u的選取原則：反?對(duì)?冪?指?三。

這個(gè)原則不是絕對(duì)的，如通常?exsinxdx??sinxdex。

3、如果遇到反三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的高次冪，通常先換元更容易算。如?(arcsinx)2dxarcsinx?t?t2dsint；

ln2x2?ttdxlnx?t?edt ?x2遇到根式ax?b，先令t?ax?b去根號(hào)。會(huì)做形如例7、8那樣具有典型特點(diǎn)的題目。

4.4 有理函數(shù)的積分（重要）

1、P(x)，先用多項(xiàng)式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)

2、對(duì)Q(x)分解因式，根據(jù)分解結(jié)果用待定系數(shù)法確定x?1x?1AB??：應(yīng)設(shè)

(x?2)(x?3)(x?2)(x?3)x?2x?3 ?x?2x?2ABx?C：應(yīng)設(shè) ???(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)x?2x?2ABx3?Cx2?Dx?E?(2x?1)(x2?x?1)2：應(yīng)設(shè)(2x?1)(x2?x?1)?(2x?1)?(x2?x?1)2

原則就是分子的次數(shù)總是要比分母低一次。

3、三角函數(shù)可以通過(guò)如下?lián)Q元法轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分

xxx2tan1?tan22tan2；cosx?2；tanx?2 sinx?xxx1?tan21?tan21?tan2222x令tan?t，則三角函數(shù)就轉(zhuǎn)化成為有理函數(shù)

24.被積函數(shù)含有nax?b或nax?bcx?d，則令t?nax?b或t?nax?bcx?d 幾個(gè)典型題目 P207頁(yè)（42）?x?1dxdx，（43）?x?1?x2P211頁(yè)例7、8 x2?2x?3補(bǔ)充說(shuō)明：這一章的內(nèi)容需要大家在掌握一定規(guī)律的前提下多做練習(xí)，方能取得比較好的效果 第五章：定積分

5.1 定積分的概念和性質(zhì)

1、定積分的定義：?f(x)dx?lim?f(?i)?xi

abni??02、定積分的幾何意義：曲邊梯形的面積

3、定積分的性質(zhì)：利用定積分的性質(zhì)判斷積分的取值范圍或比較兩個(gè)積分的大小（p235,10,13）(重要)5.2 微積分基本公式

1、y?f(x),a?x?b的積分上限的函數(shù)（重要）

?(x)??xaf(t)dt,a?x?b

及其導(dǎo)數(shù)：（如p243,5題）（1）??(x)?f(x)

d?(x)f(t)dt?f(?(x))??(x)?adxda（3）?f(t)dt??f(?(x))??(x)

dx?(x)d?(x)（4）?f(t)dt?f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)

dx?(x)

2、利用上面的公式計(jì)算極限、判斷函數(shù)單調(diào)性等： 相應(yīng)例題（p242,例7，8），相應(yīng)習(xí)題（p243-244:習(xí)題9，12，12，14）（重要）（2）

3、牛頓-萊布尼茨公式：函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則

?baf(x)dx?F(b)?F(a)，記作[F(x)]a或F(x)bba

注意：分段函數(shù)(或者帶絕對(duì)值的函數(shù))的積分應(yīng)為分段積分的和：典型題目p244，習(xí)題10.5.3 定積分的換元法和分布積分法（重要）

1、第一換元公式：?f[?(x)]??(x)dt??f(t)dt

ab??

2、第二還原公式：?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt

ab??注意：一般來(lái)說(shuō)應(yīng)用第一換元公式，我們一般不需要把新變量寫(xiě)出來(lái)，因而也就

?cos?2不需要寫(xiě)出新變量的積分限，如?cossinxdx??? 但是應(yīng)用第二換元?。

3??0公式，一般要寫(xiě)出新變量及其積分限，如

202??3?a??asinta2?x2dx(a?0)?x???a2?2cos2tdt

003、分布積分公式：?u(x)dv(x)??u(x)v(x)?a??v(x)du(x)

baabb說(shuō)明：無(wú)論是還原法還是分布積分法，定積分和不定積分的計(jì)算過(guò)程都是相似的。

4、利用下面的公式能幫助我們簡(jiǎn)化計(jì)算：（重要）（1）偶倍寄零

?0?0（2）?2f(sinx)dx??2f(cosx)dx（3）?xf(sinx)dx?0??2??0f(sinx)dx（p248, 例6，p270, 10(6)）

（4）設(shè)f(x)是周期為T(mén)的連續(xù)函數(shù)：則

?a?Taf(x)dx??f(x)dx；?0Ta?nTaf(x)dx?n?f(x)dx(n?N).(p249，例7，p253，0T1(26))

5、形如例9這樣的積分。5.4 反常積分

1、無(wú)窮限的反常積分：設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，引入記號(hào)

F(??)?limF(x);F(??)?limF(x)

x???x???則

????a???f(x)dx?F(x)|?a??F(??)?F(a)；??f(x)dx?F(x)|?????F(??)?F(??).b??f(x)dx?F(x)|b????F(b)?F(??)；

??反常積分收斂意味著相應(yīng)的F(??),F(??)存在；特別的積分?F(??),F(??)同時(shí)存在。

????f(x)dx收斂必須注意：對(duì)于無(wú)窮限積分來(lái)說(shuō)，偶倍寄零原則不在成立！

2、無(wú)界函數(shù)的反常積分（瑕積分）：設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，則 若b為瑕點(diǎn)，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a)；

bab若a為瑕點(diǎn)，則?f(x)dx??F(x)?a?F(b)?F(a?)；

bab若a,b都為瑕點(diǎn)，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a?)；

bab則c?(a,b)為瑕點(diǎn)，則?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??F(x)?c。a??F(x)?caacbcbb反常積分收斂意味著相應(yīng)的F(a?),F(b?)存在；特別的積分?f(x)dx（c?(a,b)ab為瑕點(diǎn)）收斂必須F(c?),F(c?)同時(shí)存在。

說(shuō)明：由上面的公式看出，反常積分與定積分的計(jì)算方法是一樣的。都是先求原函數(shù)然后代入兩個(gè)端點(diǎn)，只是對(duì)于非正常點(diǎn)（如?和瑕點(diǎn)）算的是函數(shù)的極限。

3、換元法也適用于反常積分

4、會(huì)利用下面的兩個(gè)重要反常積分來(lái)討論一些函數(shù)的收斂性（重要）

???ap?1???,dx???(a?0)1,p?1xp?p?1?(p?1)a?(b?a)1?qb,q?1dx?? 1?q?a(x?a)q????,q?1?練習(xí)：p260,2題；求積分?bdx的收斂性。

b(x?b)qa5、遇到形如?f(x)dx積分時(shí)，注意[a,b]是否含有瑕點(diǎn)。否則會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果：

adx。?1x第六章 定積分的應(yīng)用

6.2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

1、平面圖形的面積（直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)下）（重要）

2、體積（特別是旋轉(zhuǎn)體的體積）（重要）

3、三個(gè)弧長(zhǎng)公式（重要）

6.3 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用（做功、水壓力重要，引力了解）如?1

第三篇：高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

高等數(shù)學(xué)2考試知識(shí)點(diǎn)

總題型：填空（10空），選擇題（5個(gè)），計(jì)算題（A-9,B-8），證明題（2個(gè)）

第8章：填空選擇題型：向量的數(shù)量積和向量積的計(jì)算，運(yùn)算性質(zhì)，兩向量平行與垂直的充分必要條件即向量積為零向量和數(shù)量積為零，兩向量數(shù)量積的模表示以這兩向量為鄰邊的平行四邊形的面積，點(diǎn)到平面的距離公式，旋轉(zhuǎn)曲面方程的特點(diǎn)即出現(xiàn)兩個(gè)變量的平方和且其對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，球面的一般方程；

計(jì)算題型：根據(jù)直線和平面的關(guān)系求平面方程或直線方程；

第9章：填空選擇題型：多元函數(shù)的定義域，簡(jiǎn)單函數(shù)的二重極限計(jì)算，多元函數(shù)的極限、連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，多元函數(shù)取極值的必要條件；

計(jì)算題型：偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，空間曲線的切線法平面，空間曲面的切平面法線，函數(shù)在已知點(diǎn)沿已知向量方向的方向?qū)?shù)，多元函數(shù)的極值和條件極值；

證明題型：證明與偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)的等式；

第10章：填空選擇題型：重積分的性質(zhì)，計(jì)算被積函數(shù)為常數(shù)且積分區(qū)域比較特殊的二重積分或三重積分，二次積分交換積分次序；

計(jì)算題型：二重積分計(jì)算，極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算，三重積分的計(jì)算（球面坐標(biāo)結(jié)合高斯公式），曲頂柱體的體積；

第11章：填空選擇題型：第一第二類(lèi)曲線曲面積分的性質(zhì)，計(jì)算被積函數(shù)為常數(shù)且積分曲線或積分曲面比較特殊的第一類(lèi)曲線積分或第一類(lèi)曲面積分；

計(jì)算題型：曲線型構(gòu)建的質(zhì)量（已知線密度，且曲線為圓弧），對(duì)坐標(biāo)的曲線積分使用格林公式，高斯公式（積分區(qū)域?yàn)榍虻娜胤e分），全微分求積（求原函數(shù)）

第11章：填空選擇題型：級(jí)數(shù)收斂的定義，收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂以及發(fā)散的判定，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域，冪級(jí)數(shù)的間接展開(kāi)(利用指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù))，傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理，記住奇偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為正弦與余弦級(jí)數(shù)；

計(jì)算題型：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法，一般的級(jí)數(shù)判定其絕對(duì)收斂還是條件收斂，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)（分式展開(kāi)，主要利用1/(1-x)的展開(kāi)式，要注意收斂的范圍）； 證明題型：利用296頁(yè)的Weierstrass判別法證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是一致收斂的；

第四篇：2014年考研數(shù)學(xué)大綱高等數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)重點(diǎn)串講

大家期盼已久的2014年大綱已于今天正式公告，今年的大綱較之往年，仍然沒(méi)有變化，那么在9月份大綱出來(lái)之后，我們考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)該怎么進(jìn)行呢?下面我將為大家介紹高等數(shù)學(xué)上冊(cè)的復(fù)習(xí)重點(diǎn)，供大家參考：

第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

本章函數(shù)部分主要是從構(gòu)建函數(shù)關(guān)系,或確定函數(shù)表達(dá)式等方面進(jìn)行考查.而極限作為高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ),不僅需要準(zhǔn)確理解它的概念、性質(zhì)和存在的條件,而且要會(huì)利用各種方法求出函數(shù)(或數(shù)列)的極限,還要會(huì)根據(jù)題目所給的極限得到相應(yīng)結(jié)論.連續(xù)是可導(dǎo)與可積的重要條件,因此要熟練掌握判斷函數(shù)連續(xù)性及間斷點(diǎn)類(lèi)型的方法,特別是分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性.與此同時(shí)，還要了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)(如有界性、介值定理、零點(diǎn)定理、最值定理等),這些內(nèi)容往往與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)考查.本章的知識(shí)點(diǎn)可以以多種形式(如選擇題、填空題、)考查,平均來(lái)看,本章內(nèi)容在歷年考研試卷中數(shù)學(xué)

一、數(shù)學(xué)三大約占10分,分

本章重要題型主要有：

1、求極限;2;3;

4、間斷點(diǎn)類(lèi)型的判斷。

第二章一元函數(shù)微分學(xué)

本章按內(nèi)容可以分為兩部分：第一部分是導(dǎo)數(shù)與微分,可導(dǎo)性與可;確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。,以凹凸性以及方程根的題..平均來(lái)看,本章內(nèi)12分,分,數(shù)學(xué)三大約占10分.本章重要題型有：;

2、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo);

3、;

4、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的形態(tài)(判斷單調(diào)、求極值與最值、求凹凸區(qū)間與拐點(diǎn));5;

6、漸近線;

7、求邊際和彈性(數(shù)三)。

第三章一元函數(shù)積分學(xué)

本章內(nèi)容中，不定積分和定積分是積分學(xué)的基本概念，不定積分和定積分的計(jì)算是積分學(xué)的基本計(jì)算，利用定積分表示并計(jì)算一些幾何、物理、經(jīng)濟(jì)量是積分學(xué)的基本應(yīng)用。這一部分要特別注意變限積分，它的各種性質(zhì)都是我們考查的重點(diǎn)。變上限積分函數(shù)跟微分方程結(jié)合的一個(gè)點(diǎn)也可以出題的。還有定積分的應(yīng)用，求平面圖形面積，求旋轉(zhuǎn)體的體積，一定要熟悉，要掌握好微元法。

本章對(duì)概念部分的考查主要是出現(xiàn)在選擇題中，對(duì)運(yùn)算部分的考查通常出現(xiàn)在填空題和解答題中，而定積分的應(yīng)用和有關(guān)定積分的證明題大多出現(xiàn)在解答題中.平均來(lái)看，本章內(nèi)容在歷年考研試卷中，數(shù)學(xué)一大約占15分，數(shù)學(xué)二大約占33分，數(shù)學(xué)三大約占20分。

本章重要題型有：

1、不定積分、定積分和反常積分的基本運(yùn)算;

2、定積分等式或不等式的證明;

3、變上限積分的相關(guān)問(wèn)題;

4、利用定積分求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積。

第四章向量代數(shù)與空間解析幾何(數(shù)一)

本章內(nèi)容不是考研重點(diǎn)，很少直接命題。直線與平面方程是多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用的基礎(chǔ)，常見(jiàn)二次曲面的圖形被應(yīng)用到三重積分、曲面積分的計(jì)算中，用于確定積分區(qū)域。

以上是我們對(duì)于高數(shù)部分上冊(cè)重點(diǎn)考點(diǎn)的一些總結(jié)，希望能助大家一臂之力。最后祝廣大考生復(fù)習(xí)順利，考研成功!

第五篇：高等數(shù)學(xué)上冊(cè)

《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)

一、函數(shù)與極限

1.函數(shù)基本概念—了解

1． 集合及集合的運(yùn)算

2． 數(shù)軸、無(wú)窮大和無(wú)窮小的幾何表示、區(qū)間 3． 常量和變量

4． 函數(shù)的定義和函數(shù)的表達(dá)方式 5． 函數(shù)的定義域和函數(shù)的計(jì)算 6． 基本初等函數(shù)

7． 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù) 8． 分段函數(shù)

2.函數(shù)的極限及運(yùn)算法則—理解極限的含義，會(huì)計(jì)算求極限的題目；涉及范圍較廣，高等數(shù)學(xué)上冊(cè)下冊(cè)均有求極限的題目，極限的方法是研究函數(shù)的工具。（不會(huì)涉及證明用極限定義證明極限的題目）

1． 數(shù)列及數(shù)列極限 2． 函數(shù)的極限

3． 無(wú)窮大和無(wú)窮小的極限表示

4． 無(wú)窮大和無(wú)窮小的關(guān)系及無(wú)窮小的性質(zhì)（運(yùn)算注意前提條件有限個(gè)和無(wú)限個(gè)的區(qū)別）5． 極限的有界性定理及應(yīng)用

6． 復(fù)合函數(shù)求極限（變量代換的方法）

3.兩個(gè)重要極限（兩個(gè)極限的運(yùn)算法則的條件、推廣和應(yīng)用）

1． 第一個(gè)重要極限

2． 第一個(gè)重要極限的應(yīng)用 3． 第二個(gè)重要極限

4． 第二個(gè)重要極限的應(yīng)用（注意：?jiǎn)握{(diào) 且有界是證明題的關(guān)鍵部分）4.無(wú)窮小的比較

等價(jià)無(wú)窮小及其應(yīng)用

重要部分！5.函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)

1． 增量

2． 函數(shù)連續(xù)的兩個(gè)定義 3． 左連續(xù)和右連續(xù)

4． 函數(shù)的間斷點(diǎn)分類(lèi)（重要，出小題）

5． 連續(xù)函數(shù)四則運(yùn)算的連續(xù)性（運(yùn)算法則的條件、推廣和應(yīng)用）6． 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

7． 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，重要，但一般不單獨(dú)出題）一致連續(xù)性不用看 練習(xí)題一

2.導(dǎo)數(shù)與微分（重要,小題必考章節(jié)?。?.導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則

1． 導(dǎo)數(shù)的定義（重要），2． 導(dǎo)數(shù)的幾何意義（理解；其中數(shù)一數(shù)二導(dǎo)數(shù)的物理意義；數(shù)三，經(jīng)濟(jì)意義、邊際函數(shù)、彈性函數(shù)）

3． 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系（必需的?。?． 求導(dǎo)公式表（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>

5． 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算（必需的，熟悉到1+1=2！）2.不同類(lèi)型函數(shù)的求導(dǎo)法則及高階導(dǎo)數(shù)

1． 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>

3． 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則（小題，理解！多元隱函數(shù)的求導(dǎo)）4． 高階導(dǎo)數(shù)（重要）

3.函數(shù)的微分及應(yīng)用（理解，重要同導(dǎo)數(shù)必考，小題）

1． 微分的定義

2． 微分的幾何意義

3． 微分的基本公式和運(yùn)算法則 4． 復(fù)合函數(shù)的微分公式

5． 利用微分進(jìn)行近似計(jì)算（除去不用看）練習(xí)題二

3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（考大題 難題，重要章節(jié)?。?/p>

1.中值定理和洛必達(dá)法則（中值定理包括費(fèi)馬定理的應(yīng)用及相關(guān)的證明題，必須會(huì)做證明題?。?/p>

1． 羅爾定理及幾何意義

2． 拉格郎日中值定理及幾何意義

3． 利用拉格郎日中值定理證明不等式

4． 洛必達(dá)法則（必考;泰勒公式及其應(yīng)用，參照張宇的老師的導(dǎo)學(xué)或視頻）2.函數(shù)的極值和最值（考小題，單調(diào)性及極值點(diǎn)、最大值最小值）

1． 函數(shù)的單調(diào)性及判斷 2． 函數(shù)的極值 3． 函數(shù)的最值

3.曲線的凸凹性，拐點(diǎn)及函數(shù)作圖（考小題，單調(diào)性及極值點(diǎn)、凹凸性及拐點(diǎn)、漸近線的定義理解）

1． 曲線的凸凹性及判斷 2． 曲線的拐點(diǎn) 3.曲線的漸近線

4.函數(shù)作圖（會(huì)大致描繪圖形幫助做題）5.曲率

（了解即可）練習(xí)題三

4.不定積分（重要！運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)。與數(shù)

一、數(shù)三相比，數(shù)二有可能大題。）

1.不定積分的概念和基本公式

1． 原函數(shù)與不定積分（理解原函數(shù)）

2． 不定積分的定義（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 不定積分的性質(zhì)（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 基本積分表（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 直接積分法（必需的，熟悉到1+1=2?。?.換元積分法

1． 換元積分法的引入

2． 第一類(lèi)換元法（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>

3． 第一類(lèi)換元法的應(yīng)用（必需的，熟悉到1+1=2?。?． 第二類(lèi)換元法（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>

5． 第二類(lèi)換元法的應(yīng)用（必需的，熟悉到1+1=2?。?.分部積分法和不定積分技巧的綜合應(yīng)用

1． 分部積分法（必需的，熟悉到1+1=2?。?/p>

2． 被積函數(shù)和積分變量的選?。ū匦璧?，熟悉到1+1=2?。?/p>

3.有理函數(shù)的積分（重要，常見(jiàn)的一些題型，基本的運(yùn)算方法的綜合利用）4.綜合題舉例（積分表不必看）

5.定積分（重要！非常重要，是多元函數(shù)的二重積分，三重積分，線面積分的基礎(chǔ)）1.定積分的定義和基本運(yùn)算

1． 定積分的定義（理解！）

2． 定積分的性質(zhì)

3． 變上限的積分函數(shù)（理解?。?/p>

4． 牛頓—萊布尼茲公式 各種題型的必需的，熟悉到1+1=2！

2.定積分的換元法和分部積分法

若不定積分學(xué)好，這一部分涉及的計(jì)算應(yīng)該1． 定積分的換元法 很簡(jiǎn)單！2． 定積分的分部積分法

3． 利用方程和數(shù)列求定積分

常見(jiàn)的各種類(lèi)型的題目一定要熟悉，再熟悉，3.廣義積分（理解！考小題）再再熟悉，怎么熟悉都不為過(guò)！

1． 積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間的廣義積分 一元函數(shù)的極限，導(dǎo)數(shù)，微分，不定積分，定2． 被積函數(shù)有無(wú)窮間斷點(diǎn)的廣義積分（Г積分這是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，根本所在；然后多函數(shù)不用看）元函數(shù)（二元函數(shù)）的類(lèi)似運(yùn)算，只要把定義4.定積分的運(yùn)用（會(huì)應(yīng)用）相關(guān)推理過(guò)程理解了，則 自然會(huì)有 水到渠成1． 定積分的元素法 效果，難點(diǎn)不再難點(diǎn)！2． 利用定積分求平面圖形面積

3． 利用定積分求體積（數(shù)三只看旋轉(zhuǎn)體 體積）

4.曲線的弧長(zhǎng)（數(shù)

一、數(shù)二公式記住，數(shù) 三不考）