第一篇：江蘇泰興市高中數(shù)學第1章解三角形教材分析素材蘇教版5

第1章 解三角形

目標定位

1．三角形是最基本的幾何圖形，三角形中的數(shù)量關(guān)系在天文、地理、航海等領(lǐng)域之中有著極其廣泛的應(yīng)用．

學習本章之前，已經(jīng)研究過有關(guān)三角形、三角函數(shù)和解直角三角形、平面向量等知識，解三角形是在這些知識的基礎(chǔ)上，對任意三角形的邊長和角度關(guān)系作進一步的探索研究．通過研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長與角度之間的數(shù)量關(guān)系，運用它們解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題；通過研究，培養(yǎng)學生的歸納、猜想、論證能力以及分析問題和解決問題的能力，同時讓學生在學習中感受數(shù)學的對稱美與和諧美；通過解決一些實際問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用意識，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，讓學生感受到數(shù)學知識既來源于生活，又服務(wù)于生活．

2．本章具體的教學目標是：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題．

（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量學、力學、運動學以及幾何計算等有關(guān)的實際問題． 教材解讀

1．在教科書中，將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何的作用，為學生理解數(shù)學中的量化思想、進一步學習數(shù)學奠定基礎(chǔ)．

解三角形處理的是三角形中長度、角度、面積的度量問題，長度、面積是理解積分的基礎(chǔ)，角度是刻畫方向的，長度、方向是向量的特征，有了長度、方向，向量的工具自然就有用武之地．從這一角度看，正弦定理和余弦定理的證明讓學生經(jīng)歷了運用向量工具解決三角形的度量問題的過程，并為學生運用向量工具解決三角形的度量問題留有余地，進而對運用向量解決幾何度量問題奠定了基礎(chǔ)．

2．在教科書中，注重數(shù)學知識的應(yīng)用性，體現(xiàn)學以致用的原則，讓學生自主體驗數(shù)學在解決問題中的作用，提高學生的分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)數(shù)學應(yīng)用意識；注重數(shù)學內(nèi)部不同分支之間的聯(lián)系、數(shù)學與日常生活的聯(lián)系、數(shù)學與其他學科的聯(lián)系，從而提高學生對數(shù)學的整體認識，體現(xiàn)數(shù)學的文化價值．

本章分為“正弦定理”、“余弦定理”、“正弦定理、余弦定理的應(yīng)用”三大節(jié)． 第一節(jié)是“正弦定理”．教材首先由學生熟悉的直角三角形中的邊角關(guān)系得出正弦定理的形式，猜想對于任意三角形該結(jié)論也成立，然后引導學生按不同的思路嘗試證明正弦定理．這一過程與以往教材的設(shè)計不同，它有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“發(fā)現(xiàn)”過程，從而培養(yǎng)學生的“數(shù)學探究”能力，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律．

第二節(jié)是“余弦定理”．教材通過向量的數(shù)量積將向量等式化為數(shù)量等式，得出余弦定理，體現(xiàn)了向量方法在解三角形中的作用，也讓學生進一步感受了數(shù)學的和諧美．

3．在教科書中，強調(diào)了信息技術(shù)在探索問題中的作用，如正弦定理的探索和驗證、使用計算器進行近似計算等，一方面，學生借助信息技術(shù)手段去探索數(shù)學規(guī)律，從事一些富有探索性和創(chuàng)造性的數(shù)學活動，可以培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新精神；另一方面，借助計算器可以解決計算量大的問題，也可以根據(jù)實際需要進行近似計算，有利于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣． 教學方法與教學建議

1．區(qū)別于以往比較關(guān)注三角形邊角關(guān)系的恒等變換的教學設(shè)計，新課程更側(cè)重將解三角形作為幾何度量問題來展開，強調(diào)學生在已有知識的基礎(chǔ)上，通過對任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長與角度之間的數(shù)量關(guān)系，解決簡單的三角形度量問題．這就要求在新的教學過程中，突出幾何的作用和數(shù)學量化思想，發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的探究過程、再創(chuàng)造過程．

對運用正弦定理、余弦定理，應(yīng)側(cè)重運用它們解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題，不必在恒等變形上進行過于煩瑣的訓練．在教學中應(yīng)為學生體驗數(shù)學解決問題中的作用，感受數(shù)學與日常生活的其他學科的聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學應(yīng)用意識，提高實踐能力創(chuàng)造條件．對于以往的恒等變形則應(yīng)降低要求．

2．可以引導學生嘗試運用平面向量解決三角形的度量問題．教科書在安排正弦定理和余弦定理的公式推導時，都用到了向量的方法．本章在得到正弦定理的猜想后，提出了關(guān)于 正弦定理證明的四條途徑，意在引導學生嘗試探究，經(jīng)歷證明的過程，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學思想，有利于發(fā)展學生的思維能力．教學中，擬結(jié)合學生具體情況點撥啟發(fā)，靈活安排．

???關(guān)于向量方法探索正弦定理的教學，可從三角形中最基本的向量關(guān)系式BC=BA+AC入手，提出“如何將這個向量關(guān)系式轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系式”的問題讓學生討論．學生容易由“數(shù)量積是實施向量等式向數(shù)量等式轉(zhuǎn)化的有力工具”想到用“點乘”的方法，至于“點乘”哪?個向量，可以充分讓學生嘗試探究．例如，在等式兩邊同時“點乘”BC，可得a=ccosB+bcosC，這就是射影定理；若等式兩邊同時平方，即兩邊各自“與自己點乘”，可得a=b+c-2bccosA，這就是余弦定理；如果要想得到兩條邊與它們所對角之間的關(guān)系，就要讓第三條邊“消失”，?????那就只能在向量關(guān)系式的兩邊同時“點乘”與BC垂直的向量AD，于是可以得到BA?AD+AC??AD＝0，進而再分類討論推得正弦定理．這樣，用向量方法證明正弦定理的“瓶頸”就不難解決了．

3．解三角形的內(nèi)容，在教學形式上可以靈活多樣，不只限于讓學生接受、記憶、模仿和練習，而引導學生獨立思考，尊重學生的學習主體地位，倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學；課堂教學應(yīng)運用多媒體手段輔助教學，引導學生歸納猜想，培養(yǎng)學生的歸納概括能力；課外活動應(yīng)針對正弦定理、余弦定理的實用性，設(shè)計一些研究性、開放性題材，讓學生自行探索解決，也可以由學生在課外自行尋找研究性、應(yīng)用性的題目去做，寫出研究或?qū)嶒瀳蟾妫囵B(yǎng)學生的實踐能力和數(shù)學建模能力，同時還可以引導學生嘗試用向量的方法去解決三角形的度量問題．

第二篇：高中數(shù)學競賽教材講義 第七章 解三角形

第七章解三角形

一、基礎(chǔ)知識

在本章中約定用A，B，C分別表示△ABC的三個內(nèi)角，a, b, c分別表示它們所對的各邊長，p?a?b?c為半周長。

2abc??1．正弦定理：=2R（R為△ABC外接圓半徑）。sinAsinBsinC

111推論1：△ABC的面積為S△ABC=absinC?bcsinA?casinB.222

推論2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推論3：在△ABC中，A+B=?，解a滿足ab，則a=A.?sinasin(??a)

1absinC；再證推論2，因為B+C=?-A，所2正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到，這里不再給出，下證推論。先證推論1，由正弦函數(shù)定義，BC邊上的高為bsinC，所以S△ABC=

以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，兩邊同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再證推

absinasin(??a)??，所以，即sinasin(?-A)=sin(?-a)sinA，sinAsinBsinAsin(??A)

11等價于?[cos(?-A+a)-cos(?-A-a)]= ?[cos(?-a+A)-cos(?-a-A)]，等價于22

cos(?-A+a)=cos(?-a+A)，因為0

b2?c2?a2

2．余弦定理：a=b+c-2bccosA?cosA?，下面用余弦定理證明幾個常2bc222用的結(jié)論。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC邊上任意一點，BD=p，DC=q，則b2p?c2qAD=?pq.（1）p?q2【證明】因為c=AB=AD+BD-2AD·BDcos?ADB，222所以c=AD+p-2AD·pcos?ADB.①

222同理b=AD+q-2AD·qcos?ADC，②

因為?ADB+?ADC=?，所以cos?ADB+cos?ADC=0，所以q×①+p×②得 2222

b2p?c2qqc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD=?pq.p?q22222b2?2c2?a2

注：在（1）式中，若p=q，則為中線長公式AD?.2

1222122122?22（2）海倫公式：因為S?ABC?bcsinA=bc(1-cosA)= bc 44

4?(b2?c2?a2)2?122 22?[(b+c)-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c).?1??22164bc??

這里p?a?b?c.2

用心 愛心 專心-1-

所以S△ABC=

p(p?a)(p?b)(p?c).二、方法與例題

1．面積法。

例1（共線關(guān)系的張角公式）如圖所示，從O點發(fā)出的三條射線滿足?POQ??,?QOR??，另外OP，OQ，OR的長分別為u, w, v，這里α，β，α+β∈(0, ?)，則P，Q，R的共線的充要條件是

sin?sin?sin(???)

??.uvw

【證明】P，Q，R共線?SΔPQR?0?S?OPR?S?OPQ?S?ORQ ?

1uvsin(α+β)=uwsinα+vwsinβ 222sin(???)sin?sin????，得證。

wuv

2．正弦定理的應(yīng)用。

例2如圖所示，△ABC內(nèi)有一點P，使得?BPC-?BAC=?CPA-?CBA=?APB-?ACB。求證：AP·BC=BP·CA=CP·AB。

【證明】過點P作PD?BC，PE?AC，PF?AB，垂足分別為D，E，F(xiàn)，則P，D，C，E；P，E，A，F(xiàn)；P，D，B，F(xiàn)三組四點共圓，所以?EDF=?PDE+?PDF=?PCA+?PBA=?BPC-?BAC。

00

由題設(shè)及?BPC+?CPA+?APB=360可得?BAC+?CBA+?ACB=180。

所以?BPC-?BAC=?CPA-?CBA=?APB-?ACB=60。

00

所以?EDF=60，同理?DEF=60，所以△DEF是正三角形。所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsin?ACB=APsin?BAC=BPsin?ABC，兩邊同時乘以△ABC的外接圓直徑2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得證：

例3如圖所示，△ABC的各邊分別與兩圓⊙O1，⊙O2相切，直線GF與DE交于P，求證：PA?BC。

【證明】延長PA交GD于M，GMO1AAF

??.MDAO2AE

APAFPAAE

?,?由正弦定理，sin(???1)sin?sin(???2)sin?AEsin?1sin?

??.所以

AFsin?2sin?

GMPMMDPM

?,?另一方面，sin?sin?1sin?sin?2GMsin?2sin?

??所以，MDsin?1sin?GMAF

?所以，所以PA//O1G，MDAE即PA?BC，得證。

因為O1G?BC，O2D?BC，所以只需證

3．一個常用的代換：在△ABC中，記點A，B，C到內(nèi)切圓的切線長分別為x, y, z，則a=y+z, b=z+x, c=x+y.22

2例4在△ABC中，求證：a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)≤3abc.【證明】令a=y+z, b=z+x, c=x+y，則 abc=(x+y)(y+z)(z+x)

?xy?yz?zx=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

=a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)-2abc.222

所以a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)≤3abc.4．三角換元。

例5設(shè)a, b, c∈R，且abc+a+c=b，試求P?

+

222

3??的最大值。a2?1b2?1c2?1

【解】由題設(shè)b?

a?c，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ, 1?ac

101?10?2

則tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cosγ≤?3?sin????，33?3?

?11022

當且僅當α+β=，sinγ=，即a=時，Pmax=.,b?2,c?

3322

41222

例6在△ABC中，若a+b+c=1，求證: a+b+c+4abc<.???22222

【證明】設(shè)a=sinαcosβ, b=cosαcosβ, c=sinβ, β??0,?.?2?

因為a, b, c為三邊長，所以c<, c>|a-b|，???222

從而???0,?，所以sinβ>|cosα·cosβ|.?4?

因為1=(a+b+c)=a+b+c+2(ab+bc+ca),222

所以a+b+c+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)

22224

=sinβcosβ+sinαcosα·cosβ·cos2β

141=41>4

=

[1-cos2β+(1-cos2α)cosβcos2β] +

224

1424

cos2β(cosβ-cos2αcosβ-cos2β)411442

+cos2β(cosβ-sinβ-cosβ)=.44

1222

所以a+b+c+4abc<.三、基礎(chǔ)訓練題

1．在△ABC中，邊AB為最長邊，且sinAsinB=

2?

3，則cosAcosB的最大值為__________.42．在△ABC中，若AB=1，BC=2，則?C的取值范圍是__________.3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+?tanCtanB，則△ABC的面積為__________.4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，則?C=__________.5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________條件.6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，則角A的取值范圍是__________.35，cosB=，則cosC=__________.513

AC

1?”的__________條件.8．在△ABC中，“三邊a, b, c成等差數(shù)列”是“tan?tan

223

7．在△ABC中，sinA=

9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，則三角形形狀是__________.10．在△ABC中，tanA·tanB>1，則△ABC為__________角三角形.11．三角形有一個角是60，夾這個角的兩邊之比是8：5，內(nèi)切圓的面積是12?，求這個三角形的面積。

12．已知銳角△ABC的外心為D，過A，B，D三點作圓，分別與AC，BC相交于M，N兩點。求證：△MNC的外接圓半徑等于△ABD的外接圓半徑。

13．已知△ABC中，sinC=

四、高考水平訓練題 1．在△ABC中，若tanA=

sinA?sinB，試判斷其形狀。

cosA?cosB

1, tanB=，且最長邊長為1，則最短邊長為__________.2

32．已知n∈N+，則以3，5，n為三邊長的鈍角三角形有________個.+22

23．已知p, q∈R, p+q=1，比較大?。簆sinA+qsinB__________pqsinC.4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，則△ABC 為__________角三角形.5．若A為△ABC 的內(nèi)角，比較大?。篶ot

A

?cotA__________3.8

6．若△ABC滿足acosA=bcosB，則△ABC的形狀為__________.7．滿足A=60，a=6, b=4的三角形有__________個.8．設(shè)?為三角形最小內(nèi)角，且acos

?2?2?2?+sin-cos-asin=a+1，則a的取值范圍是2222

__________.9．A，B，C是一段筆直公路上的三點，分別在塔D的西南方向，正西方向，西偏北30方向，且AB=BC=1km，求塔與公路AC段的最近距離。

10．求方程xy?1?yx?1?xy的實數(shù)解。11．求證：

17?sin200?.320

五、聯(lián)賽一試水平訓練題

1．在△ABC中，b=ac，則sinB+cosB的取值范圍是____________.sinBcosA?2cosC

?，則△ABC 的形狀為____________.sinCcosA?2cosB

ABC

3．對任意的△ABC，T?cot?cot?cot-(cotA+cotB+cotC)，則T的最大值為

22．在△ABC中，若____________.4．在△ABC中，sin

A

sinBsinC的最大值為____________.2

5．平面上有四個點A，B，C，D，其中A，B為定點，|AB|=3，C，D為動點，且

|AD|=|DC|=|BC|=1。記S△ABD=S，S△BCD=T，則S+T的取值范圍是____________.6．在△ABC中，AC=BC，?ACB?80，O為△ABC的一點，?OAB?10，?ABO=30，則?ACO=____________.00

7．在△ABC中，A≥B≥C≥小值為__________.?ABC，則乘積cossincos的最大值為____________，最

2226

C?AA?C

?cos=____________.22

8．在△ABC中，若c-a等于AC邊上的高h，則sin

9．如圖所示，M，N分別是△ABC外接圓的弧AB，AC中點，P為BC上的動點，PM交AB

于Q，PN交AC于R，△ABC的內(nèi)心為I，求證：Q，I，R三點共線。

10．如圖所示，P，Q，R分別是△ABC的邊BC，CA，AB上一點，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。

求證：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。

11．在△ABC外作三個等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，?ADC=2?BAC，?AEB=2?ABC，?BFC=2?ACB，并且AF，BD，CE交于一點，試判斷△ABC的形狀。

六、聯(lián)賽二試水平訓練題

1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圓以BC的中點為圓心，且與兩腰AB和AC分別相切于點D和G，EF與半圓相切，交AB于點E，交AC于點F，過E作AB的垂線，過F作AC的垂線，兩垂線相交于P，作PQ?BC，Q為垂足。求證：PQ?

EF，此處?=?B。

2sin?

2．設(shè)四邊形ABCD的對角線交于點O，點M和N分別是AD和BC的中點，點H1，H2（不重合）分別是△AOB與△COD的垂心，求證：H1H2?MN。

3．已知△ABC，其中BC上有一點M，且△ABM與△ACM的內(nèi)切圓大小相等，求證：

AM?P(P?a)，此處P?

(a+b+c), a, b, c分別為△ABC對應(yīng)三邊之長。

24．已知凸五邊形ABCDE，其中?ABC=?AED=90，?BAC=?EAD，BD與CE交于點O，求證：AO?BE。

5．已知等腰梯形ABCD，G是對角線BD與AC的交點，過點G作EF與上、下底平行，點E

和F分別在AB和CD上，求證：?AFB=90的充要條件是AD+BC=CD。

6．AP，AQ，AR，AS是同一個圓中的四條弦，已知?PAQ=?QAR=?RAS，求證：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。

22222

7．已知一凸四邊形的邊長依次為a, b, c, d，外接圓半徑為R，如果a+b+c+d=8R，試問對此四邊形有何要求？

8．設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，BA和CD延長后交于點R，AD和BC延長后交于點P，?A，?B，?C指的都是△ABC的內(nèi)角，求證：若AC與BD交于點Q，則

cosAcosCcosB

??.APCRBQ

9．設(shè)P是△ABC內(nèi)一點，點P至BC，CA，AB的垂線分別為PD，PE，PF（D，E，F(xiàn)是垂足），求證：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并討論等號成立之條件。

第三篇：江蘇泰興市高中數(shù)學第2章數(shù)列21數(shù)列蘇教版5

2.1 數(shù)列（1）

教學目標：

1.了解數(shù)列的概念，了解數(shù)列的分類，理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，會用列表法和圖象法表示數(shù)列；

2．理解數(shù)列通項公式的概念，會根據(jù)通項公式寫出數(shù)列的前幾項，會根據(jù)簡單數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式．

教學重點：

1．理解數(shù)列的概念；

2．會根據(jù)簡單數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式． 教學難點：

1．理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；

2．會根據(jù)簡單數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的通項公式.教學方法：

采用啟發(fā)式、討論式以及講練結(jié)合的教學方法，通過問題激發(fā)學生求知欲，使學生主動參與數(shù)學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式，在教師的指導下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題．

教學過程：

一、問題情境 1．情境：

劇場座位： 20，22，24，26，28，．．．（1）彗星出現(xiàn)的年份： 1740，1823，1906，1989，2072，．．．（2）細胞分裂的個數(shù)： 1，2，4，8，16，．．．（3）“一尺之棰” 每日剩下的部分： 1，1111，，．．．（4）24816各年樹木的枝干數(shù)： 1，1，2，3，5，8，．．．（5）我國參加6次奧運會獲金牌數(shù)： 15，5，16，16，28，32．（6）2．問題：

這些數(shù)字能否調(diào)換順序？順序變了之后所表達的意思變化了嗎？

二、學生活動

思考問題，并理解順序變化對這列數(shù)字的影響．

三、建構(gòu)數(shù)學

1．數(shù)列：按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．

數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，．．．，an，．．．，簡記為?an?． 2．項：數(shù)列中的每個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項．，a2稱為第2項，．．．，an稱為第n項． a1稱為數(shù)列?an?的第1項（或稱為首項）說明：數(shù)列的概念和記號?an?與集合概念和記號的區(qū)別：（1）數(shù)列中的項是有序的，而集合中的項是無序的；（2）數(shù)列中的項可以重復，而集合中的元素不能重復． 3．有窮數(shù)列與無窮數(shù)列．

項數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列． 4．數(shù)列是特殊的函數(shù)．

在數(shù)列?an?中，對于每一個正整數(shù)n（或n?｛1，2，…,k｝），都有一個數(shù)an與之對應(yīng)．因此，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N（或它的有限子集｛1，2，…,k｝）為定義域的函數(shù)

*an?f(n)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應(yīng)的一列函數(shù)值．反過來，對于函數(shù)y?f(x)，如果f(i)（i?1,2,3，…）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列

f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…．（強調(diào)有序性）

說明：數(shù)列的圖象是一些離散的點． 5．通項公式．

一般地，如果數(shù)列?an?的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示．那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．

四、數(shù)學運用 例2．已知數(shù)列?an?的通項公式，寫出這個數(shù)列的前5項，并作出它的圖象：

n(?1)n（1）an?；（2）an?．

n?12n

例3．寫出數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：（1）1，3，5，7；（2）2，4，6，8；（3）?1，1，?1；

五、要點歸納與方法小結(jié) 本節(jié)課學習了以下內(nèi)容： 1．數(shù)列的概念；

2．求數(shù)列的通項公式的要領(lǐng)．

4）0，2，0，2． 3

（

第四篇：高中數(shù)學 §1.1.3解三角形的進一步討論教案 新人教A版必修5

安徽省滁州二中高中數(shù)學必修5 課題 §1．1．3解三角形的進一

步討論

●教學目標 知識與技能：掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。

過程與方法：通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問題。

情感態(tài)度與價值觀：通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)的關(guān)系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系?！窠虒W重點

在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形； 三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。●教學難點

正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運用?！窠虒W過程 Ⅰ.課題導入 [創(chuàng)設(shè)情景] 思考：在ABC中，已知，，解三角形。

（由學生閱讀課本第9頁解答過程）

從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無解的情形。下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題。Ⅱ.講授新課 [探索研究] 例1．在ABC中，已知，討論三角形解的情況

分析：先由則

可進一步求出B；

從而

才能有且只有一解；否則無解。1．當A為鈍角或直角時，必須2．當A為銳角時，如果≥，那么只有一解； 如果，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若，則有兩解；（2）若，則只有一解；（3）若，則無解。（以上解答過程詳見課本第910頁）

評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且

時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。

[隨堂練習1]（1）在ABC中，已知，，試判斷此三角形的解的情況。

（2）在（3）在ABC中，若ABC中，，，則符合題意的b的值有_____個。，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。

（答案：（1）有兩解；（2）0；（3）例2．在ABC中，已知分析：由余弦定理可知，），判斷

ABC的類型。

（注意：解：∴[隨堂練習2]

（1）在ABC中，已知（2）已知ABC滿足條件（答案：（1），判斷ABC的類型。，判斷ABC的類型。

；（2）

ABC是等腰或直角三角形），即。，）

例3．在ABC中，，面積為，求的值

分析：可利用三角形面積定理以及正弦定理

解：由則

得=3，即，從而Ⅲ.課堂練習（1）在ABC中，若，且此三角形的面積，求角C（2）在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積或

；（2）），求角C（答案：（1）Ⅳ.課時小結(jié)

（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；（2）三角形各種類型的判定方法；

（3）三角形面積定理的應(yīng)用。

Ⅴ.課后作業(yè)（1）在ABC中，已知，，試判斷此三角形的解的情況。

（2）設(shè)x、x+

1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實數(shù)x的取值范圍。（3）在ABC中，，判斷

ABC的形狀。的根，（4）三角形的兩邊分別為3cm，5cm,它們所夾的角的余弦為方程求這個三角形的面積?！癜鍟O(shè)計 ●授后記

第五篇：2015高中數(shù)學第一章解三角形復習課教案新人教A版必修5

解三角形復習課

（一）沅陵七中 黃有圣

2016.12.3 ●教學目標

知識與技能：1.梳理解三角形的知識點，及時查找知識點的漏洞，建立知識之間的聯(lián)系，形成知識體系。

2.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關(guān)三角形的問題。

過程與方法：采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學生在溫故知新中學會正確解三角形，幫助學生逐步構(gòu)建知識框架，并通過練習、訓練來鞏固深化解三角形實際問題的一般方法。教學形式要堅持引導——討論——歸納，目的不在于讓學生記住結(jié)論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習慣，讓學生在具體的實踐中結(jié)合圖形靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，有利地進一步突破難點。

情感態(tài)度與價值觀：讓學生進一步鞏固所學的知識，加深對所學定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學生在探究中體驗愉悅的成功體驗

●教學重點

1.正弦定理，余弦定理的掌握。

2.應(yīng)用正、余弦定理進行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化問題（內(nèi)角和的靈活運用）。

●教學難點

讓學生轉(zhuǎn)變觀念，由記憶到理解，由解題公式的使用到結(jié)合圖形去解題和校驗。●教學過程（課件上課）【復習導入】 1． 正弦定理: abc???2R（2R可留待學生練習中補充）sinAsinBsinC111absinC?bcsinA?acsinB.222 S??余弦定理 ：a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB

c2?a2?b2?2abcosC

222222a2?b2?c2b?c?aa?c?b求角公式：cosA? cosB? cosC?

2ab2bc2ac 2．思考：各公式所能求解的三角形題型？

正弦定理: 已知兩角和一邊、兩邊和其中一邊的對角，求其他邊角

余弦定理 ：已知兩邊和夾角、已知三邊、兩邊和其中一邊的對角，求其它邊角

注意：由公式出發(fā)記憶較為凌亂，解題往往由條件出發(fā)?！竞献魈骄俊?5 注：求三角形的邊角時，應(yīng)注意挖掘隱含的條件上。如第3題的角A只能是銳角這個隱含條件?！緫?zhàn)高考】

【一題多變】

【歸納小結(jié)】

1． 應(yīng)用正、余弦定理進行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化問題，要注意公式及題目的隱含條件。2． 解三角形問題要注意結(jié)合圖形，特別是三角形的相關(guān)性質(zhì)(內(nèi)角和、邊角關(guān)系)3.正確選擇正弦定理和余弦定理是解決問題的關(guān)鍵。

【課后練習】（難度取舍不同，各班可按實際情況安排）、在 ?ＡＢＣ中，AC=3,?A?45?,?C?75?,則BC??? A.2,B.3,C.2，D.5.?ＡＢＣ中，a,b,c分別為?A、?B、?C的對邊，如果 a、b、c成等差數(shù)列，?B=30?，?ABC的面積 3 2，那么b等于??

1３為2?3,D.2?3 2 abc4.在?ABC中，若??,則?ABC是?conAconBconC

A.直角三角形，B.等邊三角形，A.3,C.1?3,B.1?2?C.鈍角三角形，D.等腰直角三角形

9.在?ABC中，已知（a?b?c)(a?b?c)?3ab，且2cosAsinB?sinC,試確定?ABC的形狀

10.tanC?37 在?ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，（）求1cosC

????????5（2）若CA?CB?，且a?b?9，求c2

課后反思：時間安排上考慮不太周到，知識梳理時間過長，尤其是正弦、余弦定理的語言表示要求過高，課堂上花了太多時間，解三角形中角的關(guān)系的辨析是關(guān)鍵，尤其是正弦化余弦時要明確角是否可以為銳角和鈍角。解三角形時應(yīng)注意正弦定理和余弦定理的選擇，注意轉(zhuǎn)化與化歸。過后還需加強訓練，提升學生角三角形的能力。