第一篇：《線性代數(shù)》課程序言部分教學(xué)要點(diǎn)分析

《線性代數(shù)》課程序言部分教學(xué)要點(diǎn)分析

摘 要：對(duì)大多數(shù)理工科專業(yè)而言，線性代數(shù)是一門(mén)十分重要的課程。線性代數(shù)的序言部分，主要是對(duì)線性代數(shù)課程進(jìn)行宏觀的介紹，并且引入二階和三階行列式的概念。教學(xué)中應(yīng)該調(diào)節(jié)好學(xué)生的心理狀態(tài)，注重定義以及之間的聯(lián)系，突出重點(diǎn)進(jìn)行講解，以確保這部分內(nèi)容的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：行列式 線性代數(shù) 序言 學(xué)習(xí)心理

《線性代數(shù)》是很多理工科專業(yè)的一門(mén)基礎(chǔ)課程，是學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程的基礎(chǔ)課。同時(shí)，《線性代數(shù)》還是考研的必考科目。因此，搞好《線性代數(shù)》的教學(xué)工作具有重要的意義[1]?！毒€性代數(shù)》的序言部分是帶領(lǐng)同學(xué)們進(jìn)入線性代數(shù)殿堂的第一課，是學(xué)生們與線性代數(shù)的初次相識(shí)，“第一印象”十分重要。如果能夠讓學(xué)生們對(duì)線性代數(shù)的研究?jī)?nèi)容產(chǎn)生興趣，充滿信心，那么日后的教學(xué)過(guò)程都將變得簡(jiǎn)單。反過(guò)來(lái)說(shuō)，如果學(xué)生們?cè)诼?tīng)這部分內(nèi)容的過(guò)程中不能對(duì)線性代數(shù)的研究對(duì)象進(jìn)行透徹完整的了解，而只是被動(dòng)地聽(tīng)到了教師對(duì)行列式、矩陣、向量組、方程組等等抽象的數(shù)學(xué)名詞的乃至彼此之間關(guān)系的介紹，他們很可能就會(huì)對(duì)線性代數(shù)望而卻步，日后再想讓他們充滿信心和興趣可能相對(duì)就比較難了?？偠灾?，線性代數(shù)序言部分的講解也是教學(xué)中很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，有必要對(duì)其教學(xué)要點(diǎn)進(jìn)行分析。

一、教學(xué)內(nèi)容總結(jié)

任何一門(mén)課程都有序言部分，《線性代數(shù)》課程的序言部分主要也是作為一個(gè)總開(kāi)端，對(duì)《線性代數(shù)》進(jìn)行介紹，導(dǎo)入后面的核心內(nèi)容。從教學(xué)內(nèi)容上看，序言部分包括兩大方面：第一部分，主要是帶領(lǐng)學(xué)生們認(rèn)識(shí)《線性代數(shù)》這門(mén)課程，知道《線性代數(shù)》在整個(gè)專業(yè)培養(yǎng)計(jì)劃中所處的地位，了解線性代數(shù)的研究對(duì)象與課程特色，掌握學(xué)習(xí)線性代數(shù)的方法；第二部分，主要是通過(guò)方程與行列式的關(guān)系，引入二階和三階行列式的定義、計(jì)算及簡(jiǎn)單的應(yīng)用，為后續(xù)推廣到n階行列式的相關(guān)內(nèi)容打好基礎(chǔ)。

二、學(xué)生心態(tài)把握

大學(xué)生作為經(jīng)過(guò)全國(guó)高考統(tǒng)一考試選拔出來(lái)的優(yōu)秀人才，事實(shí)上，他們當(dāng)中的大多數(shù)都是精力充沛，積極樂(lè)觀，求知欲旺盛，此處主要分析學(xué)生中可能影響學(xué)習(xí)的負(fù)面心理，旨在有的放矢地促進(jìn)教學(xué)效果。第一，在課程設(shè)置上，《線性代數(shù)》多安排在第一學(xué)年的第二個(gè)學(xué)期上課，學(xué)生們?cè)诮?jīng)歷了大一上學(xué)期的《高等數(shù)學(xué)》的學(xué)習(xí)以后，多會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)類課程產(chǎn)生一種“畏難”情緒，嚴(yán)重的甚至?xí)挓?shù)學(xué)類的課程。因此，作為一門(mén)數(shù)學(xué)類課程，《線性代數(shù)》首先可能會(huì)或多或少地受到?W生們心理上的抵觸，這就形成了《線性代數(shù)》的一個(gè)“先天劣勢(shì)”。第二，課堂中的學(xué)生們往往來(lái)自不同的省份，數(shù)學(xué)功底各不相同，有的學(xué)生中學(xué)階段沒(méi)有學(xué)過(guò)任何行列式知識(shí)，有的學(xué)生甚至沒(méi)有學(xué)過(guò)向量，從心理上，他們對(duì)序言部分內(nèi)容的興趣也是不同。第三，《線性代數(shù)》序言部分的講授處于新學(xué)期的起始階段，甚至被安排在新學(xué)期第一周的第一節(jié)課，好多學(xué)生經(jīng)過(guò)了返回學(xué)校的行程，疲憊感還沒(méi)有完全消除，也還沒(méi)有從“假期綜合癥”中恢復(fù)過(guò)來(lái)。此時(shí)，學(xué)生們的心態(tài)還有所浮躁，對(duì)課程內(nèi)容的吸收能力有限。第四，新學(xué)期新課程的開(kāi)始階段，學(xué)生們與教師也是初次見(jiàn)面，有些學(xué)生對(duì)教師本身的外在形象比較敏感，對(duì)于教師的教學(xué)特色和個(gè)人魅力還處于觀望狀態(tài)，對(duì)于課程本身的注意力不足，大部分同學(xué)還都存有首先觀望老師的心態(tài)，想看看老師的“水平”，往往只有很少一部分同學(xué)會(huì)對(duì)即將開(kāi)始的課程進(jìn)行預(yù)習(xí)。第五，在當(dāng)今的快節(jié)奏時(shí)代，各種各樣的信息量鋪天蓋地，學(xué)生們主動(dòng)或者被動(dòng)地面對(duì)很多信息已經(jīng)成為一種常態(tài)，學(xué)生們多重視應(yīng)用，重視看得見(jiàn)摸得著的現(xiàn)實(shí)的事例，對(duì)于抽象的數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)邏輯興趣不足，這也是線性代數(shù)序言教學(xué)中所無(wú)法忽視的。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)分析

基于以上分析，在序言部分教學(xué)中應(yīng)把握以下幾個(gè)方面：第一，講解的深度宜淺不宜深，盡量從實(shí)際事例中引入方程組和行列式。對(duì)于二元線性方程組，如果用諸如“雞兔同籠”問(wèn)題引入，可以很容易地使學(xué)生們契入到對(duì)問(wèn)題思考中，加強(qiáng)他們的參與意識(shí)，使他們很快進(jìn)入角色?！毒€性代數(shù)》本身是一個(gè)復(fù)雜的課程，其中的行列式、方程組、向量組和矩陣等各種的概念互相交叉[2]，想學(xué)好是很不容易的。但在序言部分，如果過(guò)多地引用《線性代數(shù)》的專業(yè)術(shù)語(yǔ)，例如用逆序數(shù)法定義行列式[3]等等，這將增大學(xué)生們聽(tīng)課的難度，容易使得一部分學(xué)生從課程一開(kāi)始就對(duì)《線性代數(shù)》望而卻步。實(shí)際上，《線性代數(shù)》也有簡(jiǎn)單的一面，從一定程度上說(shuō)，《線性代數(shù)》書(shū)中的概念與中學(xué)知識(shí)的銜接并不太大，它的幾乎所有定義都是獨(dú)立于之前的高中數(shù)學(xué)的函數(shù)、不等式、二次曲線等復(fù)雜數(shù)學(xué)知識(shí)的。學(xué)好《線性代數(shù)》并不需要很扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，只要學(xué)生們能夠入門(mén)，能夠進(jìn)入到《線性代數(shù)》的思維方式，教學(xué)工作就成功了一大步，后續(xù)的具體計(jì)算中，大多也都是100以內(nèi)的加減乘除，所以應(yīng)極力避免一上來(lái)用復(fù)雜的講解把學(xué)生“當(dāng)頭打蒙”，反過(guò)來(lái)說(shuō)，深入淺出地講解更有助于增強(qiáng)學(xué)生們的信心，持續(xù)不斷地激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。第二，對(duì)于《線性代數(shù)》的研究對(duì)象應(yīng)該講解到位。首先，應(yīng)該要介紹清楚“線性”所代表的含義?！熬€性”，從運(yùn)算上來(lái)講，主要也就是加減和數(shù)乘運(yùn)算，不涉及到變量之間的乘積。用學(xué)生們的知識(shí)結(jié)構(gòu)可以理解的話來(lái)講，《線性代數(shù)》研究的核心問(wèn)題也就是解方程組。這樣的一種講解方式，更利于學(xué)生們對(duì)《線性代數(shù)》的研究?jī)?nèi)容進(jìn)行整體的很好的把握，更容易把學(xué)習(xí)與應(yīng)用結(jié)合起來(lái)。第三，應(yīng)當(dāng)要講解好《線性代數(shù)》的學(xué)習(xí)方法。學(xué)習(xí)方法聽(tīng)起來(lái)雖然抽象，但能否把學(xué)習(xí)方法講解好卻是很考驗(yàn)一個(gè)教師對(duì)整門(mén)課程的把握的一個(gè)重要體現(xiàn)。畢竟，只有在對(duì)課程整體的很好的把握的前提下，才能高屋建瓴地提出對(duì)《線性代數(shù)》的最適宜的學(xué)習(xí)方法。對(duì)大多數(shù)高?！毒€性代數(shù)》課程的教學(xué)和期末考試而言，對(duì)思維深度的要求并不是很高。然而，線性代數(shù)涉及到行列式、矩陣、向量組、方程組等理論，各個(gè)理論獨(dú)立完善且互相之間也都有聯(lián)系，因此熟練地從一種理論敘述轉(zhuǎn)換到另一種理論敘述是學(xué)完本課程后所應(yīng)達(dá)到的對(duì)知識(shí)“學(xué)活學(xué)透”水平的一種體現(xiàn)，這對(duì)思維的靈活性要求很高。而達(dá)到這一水平的前提，就是要對(duì)定義有熟練透徹的掌握。線性代數(shù)的學(xué)習(xí)方法，也應(yīng)當(dāng)是重視對(duì)基本定義的掌握。為了達(dá)到這一目的，要有必要的練習(xí)。這個(gè)學(xué)習(xí)方法，應(yīng)該跟學(xué)生們講解透徹。第四，在課堂上要增強(qiáng)學(xué)生們的參與意識(shí)，要讓他們成為推動(dòng)課堂活動(dòng)往下進(jìn)展的主人，要讓他們的大腦活動(dòng)起來(lái)。例如，在消元法解二元線性方程組時(shí)，可以讓學(xué)生們真正動(dòng)手去做，讓學(xué)生們親身體會(huì)消元的過(guò)程，讓他們自己去發(fā)現(xiàn)方程組的系數(shù)行列式出現(xiàn)的過(guò)程以及該行列式在方程組解的表達(dá)式中所處的位置。從而，使得行列式的引入不會(huì)顯得特別突兀，也為學(xué)生們對(duì)后續(xù)課程中克萊默法則的學(xué)習(xí)產(chǎn)生良好的鋪墊作用。通過(guò)構(gòu)造系數(shù)行列式以及通過(guò)用方程組的常數(shù)項(xiàng)來(lái)替代系數(shù)行列式的列向量來(lái)構(gòu)造行列式，通過(guò)此類行列式的比值來(lái)求解方程組是本節(jié)中的新的方法，應(yīng)努力使學(xué)生們對(duì)此種求解方法產(chǎn)生新的印象，看到行列式在求解方程組中的不可替代的作用，這一過(guò)程，也應(yīng)當(dāng)努力想辦法讓學(xué)生們最大限度地參與進(jìn)來(lái)，充分利用好課上時(shí)間，讓他們學(xué)有所得。第五，要注意講解好二階和三階行列式的定義。二階與三階行列式雖然簡(jiǎn)單，但是它們畢竟是不同于以前的新的定義，從行列式的形式到它的內(nèi)容，都要讓學(xué)生們建立起完整的概念。形式上，二階行列式，就是兩行兩列的數(shù)表兩邊加上兩個(gè)豎線，內(nèi)容上，行列式是一個(gè)式子，對(duì)于數(shù)表中是已知數(shù)值的情況，行列式就是一個(gè)可以計(jì)算的數(shù)值。如果行列式中存在未知變量，那么行列式與一個(gè)數(shù)值的相等，就構(gòu)成了一個(gè)方程。事實(shí)上，行列式的定義也包含了它的求解方法，行列式的表達(dá)式中很容易看出來(lái)它的計(jì)算方法――對(duì)角線法則。首先要把主對(duì)角線和副對(duì)角線的概念給學(xué)生們講解清楚。對(duì)于行列式的表達(dá)式而言，每一個(gè)乘積項(xiàng)的元素都是由不同行不同列的元素所組成的，注意到這一點(diǎn)，學(xué)生們就不會(huì)丟落元素，而能夠把行列式表達(dá)式完整準(zhǔn)確地表示出來(lái)。同時(shí)很重要的是，應(yīng)當(dāng)要強(qiáng)調(diào)對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式，對(duì)于高階行列式，對(duì)角線法則將不再成立。事實(shí)上，如果結(jié)合后續(xù)章節(jié)中關(guān)于行列式的嚴(yán)格定義的話，容易知道，這主要是由于行列式表達(dá)式中參與加減的各個(gè)乘積項(xiàng)都是且是所有的不同行不同列的元素的乘積，對(duì)角線法則中所確定各個(gè)乘積項(xiàng)的方法顯然不可能把所有的乘積項(xiàng)表達(dá)出來(lái)，所以，對(duì)角線法則對(duì)于4階及更高階的行列式不再成立是有充分理論支撐的。

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，《線性代數(shù)》課程序言部分的教學(xué)工作十分重要，它關(guān)系到學(xué)生們對(duì)線性代數(shù)整個(gè)這門(mén)課程的認(rèn)識(shí)問(wèn)題，關(guān)系到學(xué)生們學(xué)習(xí)的信心和學(xué)習(xí)的興趣的問(wèn)題。教學(xué)中應(yīng)未雨綢繆，細(xì)致地把握好現(xiàn)場(chǎng)學(xué)生的心理狀態(tài)，提前重點(diǎn)做好教學(xué)設(shè)計(jì)，深入淺出地開(kāi)展講解，激發(fā)學(xué)生的信心與能動(dòng)性，為后續(xù)克萊默法則的教學(xué)打好直接的基礎(chǔ)，也為《線性代數(shù)》教學(xué)開(kāi)一個(gè)好頭，為《線性代數(shù)》整體內(nèi)容的教學(xué)做好鋪墊。

參考文獻(xiàn)

[1] 段煉，方賢文.線性代數(shù)教學(xué)中高階行列式若干計(jì)算方法探究[J].教育教學(xué)論壇，2017（36）：195-196.[2] 居余馬等.線性代數(shù)（第2版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2002

[3] 劉玉軍，陸宜清.線性代數(shù)[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2017.作者簡(jiǎn)介

康浩（1987-），男，漢族，河北行唐人，河北師范大學(xué)，講師，博士，研究方向：建筑環(huán)境與能源應(yīng)用工程專業(yè)相關(guān)課程教學(xué)。

第二篇：《線性代數(shù)》教學(xué)要求及教學(xué)要點(diǎn)

《線性代數(shù)》教學(xué)要求及教學(xué)要點(diǎn)

第一章

矩陣

【本章教學(xué)目的和要求】

1、理解矩陣的概念，熟練掌握矩陣的各種運(yùn)算以及運(yùn)算法則，熟悉幾種特殊的矩陣。

2、理解行列式的概念，熟悉行列式的性質(zhì)，會(huì)用降階法計(jì)算行列式，掌握計(jì)算n階行列式的幾種常用技巧。

3、理解分塊矩陣的概念，會(huì)利用分塊矩陣進(jìn)行矩陣的運(yùn)算，了解兩類特殊的分塊矩陣。

4、理解可逆矩陣、逆矩陣的概念，了解矩陣可逆的充要條件；理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣法求逆矩陣。

5、理解矩陣的初等變換以及初等矩陣的概念，了解矩陣的初等變換與初等矩陣之間的關(guān)系；掌握求逆矩陣的初等變換法，會(huì)用初等變換法解簡(jiǎn)單的矩陣方程。

6、理解矩陣的秩的概念，會(huì)求矩陣的秩，會(huì)做基本的證明題?！颈菊轮攸c(diǎn)、難點(diǎn)】

1、矩陣的各種運(yùn)算、運(yùn)算律。

2、矩陣可逆的條件，用伴隨矩陣法求逆矩陣。

3、矩陣的初等變換和初等矩陣之間的關(guān)系，用初等變換的方法求逆矩陣、解矩陣方程。

4、矩陣的秩的概念以及有關(guān)結(jié)論。

第一節(jié)

矩陣的概念

一、理解矩陣的概念。

二、熟悉幾種特殊的矩陣。

第二節(jié)

矩陣的運(yùn)算

一、掌握矩陣的線性運(yùn)算的定義，熟悉線性運(yùn)算滿足的運(yùn)算法則，會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。

二、理解矩陣乘法的定義，了解矩陣可乘的條件；能熟練進(jìn)行矩陣的乘法運(yùn)算；熟悉矩陣乘法滿足的運(yùn)算法則，了解矩陣的乘法不滿足交換律和消去律，了解兩個(gè)矩陣可交換的定義并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。

三、理解轉(zhuǎn)置矩陣的定義，熟悉矩陣轉(zhuǎn)置的運(yùn)算法則。

第三節(jié)

方陣的行列式

一、熟悉二階、三階、n階行列式的定義。

二、熟悉行列式的性質(zhì)，知道矩陣乘積的行列式等于行列式的乘積、行列式某一行（列）與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零等結(jié)論。

三、會(huì)用降階法計(jì)算行列式，掌握計(jì)算n階行列式的幾種常用技巧。

四、了解拉普拉斯定理。

第四節(jié)

矩陣的分塊

一、理解分塊矩陣的概念。

二、熟練掌握運(yùn)用分塊矩陣進(jìn)行矩陣運(yùn)算的方法。

三、了解兩類特殊的分塊矩陣。

第五節(jié)

可逆矩陣

一、掌握可逆矩陣以及逆矩陣的概念。

（一）理解可逆矩陣和逆矩陣的定義。

（二）熟悉非奇異矩陣和奇異矩陣的定義。

（三）熟悉矩陣可逆的充要條件。

二、掌握伴隨矩陣的定義，會(huì)用伴隨矩陣法求逆矩陣。

三、熟悉逆矩陣的性質(zhì)，掌握一些做證明題的技巧。

四、會(huì)用分塊矩陣的方法求逆矩陣。

第六節(jié)

矩陣的初等變換

一、熟悉矩陣的初等變換的定義，熟悉初等矩陣的定義和性質(zhì)。

二、熟悉矩陣的初等變換和初等矩陣之間的關(guān)系。

三、熟練掌握求逆矩陣的初等變換法。

四、會(huì)用初等變換法解簡(jiǎn)單的矩陣方程。

第七節(jié)

矩陣的秩

一、理解并掌握矩陣的秩的概念。

二、知道矩陣經(jīng)初等變換后秩不變。

三、會(huì)利用初等變換將矩陣化為階梯形矩陣，并求矩陣的秩。

第二章

線性方程組

【本章教學(xué)目的和要求】

1、熟練掌握克萊姆法則及其推論；掌握線性方程組的消元解法；掌握線性方程組有解的判定定理。

2、掌握n維向量、向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算法則；理解n維向量空間以及子空間的概念。

3、理解向量的線性組合，向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)等概念。掌握判斷一個(gè)向量組是否線性相關(guān)的方法；熟悉有關(guān)向量組線性相關(guān)性的結(jié)論，掌握一些基本的證明方法。

4、理解向量組的極大線性無(wú)關(guān)組、向量組的秩的定義；理解矩陣的行秩和列秩的定義，了解矩陣的行秩、列秩和秩的關(guān)系；會(huì)求向量組的極大無(wú)關(guān)組并會(huì)用極大無(wú)關(guān)組線性表示其余向量；掌握一些基本的證明方法。

5、理解并掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)、基礎(chǔ)解系的定義，會(huì)求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，會(huì)用基礎(chǔ)解系表示齊次線性方程組的全部解；熟悉非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，會(huì)求非齊次線性方程組的全部解。

6、理解基的定義；熟練掌握向量的內(nèi)積及性質(zhì)；掌握向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)；掌握向量的正交、單位向量、標(biāo)準(zhǔn)正交基等概念；熟練掌握施密特正交化方法；理解掌握正交矩陣的定義、性質(zhì)和有關(guān)結(jié)論。【本章重點(diǎn)、難點(diǎn)】

1、線性方程組的消元解法，線性方程組有解的判定定理。

2、向量的線性組合，向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩。

3、線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

4、向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度、正交，標(biāo)準(zhǔn)正交基；施密特正交化方法。

第一節(jié)

線性方程組

一、熟悉克萊姆法則的條件和結(jié)論；熟悉含有n個(gè)方程的n元齊次線性方程組僅有零解的條件。

二、會(huì)用對(duì)增廣矩陣施行初等行變換的方法解線性方程組。

三、熟練掌握線性方程組有解的判定定理，掌握齊次線性方程組有非零解的判定定理。

第二節(jié)

向量及其線性運(yùn)算

一、掌握n維向量的概念，掌握向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算法則。

二、理解n維向量空間和子空間的概念。

第三節(jié)

向量間的線性關(guān)系

一、理解并掌握向量的線性組合、向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義。

二、理解并掌握有關(guān)線性相關(guān)與線性組合的定理。

三、掌握判斷一個(gè)向量組是否線性相關(guān)的方法；掌握一些基本的證明方法。

第四節(jié)

向量組的秩

一、理解并掌握向量組的極大線性無(wú)關(guān)組、向量組的秩的定義。

二、理解矩陣的行秩和列秩的定義，了解矩陣的行秩、列秩和秩的關(guān)系；會(huì)求向量組的極大無(wú)關(guān)組并會(huì)用極大無(wú)關(guān)組線性表示其余向量。

三、掌握一些基本的證明方法。

第五節(jié)

線性方程組解的結(jié)構(gòu)

一、理解并掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)、基礎(chǔ)解系的定義，熟練掌握求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的方法，會(huì)用基礎(chǔ)解系表示齊次線性方程組的全部解。

二、熟悉非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，會(huì)求非齊次線性方程組的全部解。

第六節(jié)

Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交基

一、理解基的定義；熟練掌握向量的內(nèi)積及性質(zhì)；掌握向量的長(zhǎng)度及性質(zhì)；掌握向量的正交、單位向量、標(biāo)準(zhǔn)正交基等概念。

二、熟練掌握施密特正交化方法。

三、理解掌握正交矩陣的定義、性質(zhì)和有關(guān)結(jié)論。

第三章

矩陣的特征值和特征向量

【本章教學(xué)目的和要求】

1、理解并掌握矩陣的特征值、特征向量的概念和性質(zhì)，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量。

2、理解并掌握矩陣的相似及性質(zhì)；熟知矩陣可對(duì)角化的條件，會(huì)判斷一個(gè)矩陣是否可對(duì)角化；對(duì)于可對(duì)角化的矩陣A，會(huì)求可逆矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角矩陣。

3、了解矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。

4、了解實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)；對(duì)一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A，會(huì)求正交矩陣Q，使得Q-1AQ為對(duì)角矩陣?！颈菊轮攸c(diǎn)、難點(diǎn)】

1、矩陣的特征值、特征向量的定義和計(jì)算。

2、矩陣可對(duì)角化的條件。

3、對(duì)可對(duì)角化的矩陣A，求可逆矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角矩陣。

4、對(duì)一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A，求正交矩陣Q，使得Q-1AQ為對(duì)角矩陣。

第一節(jié)

矩陣的特征值和特征向量

一、理解并掌握矩陣的特征值、特征向量的概念。

二、理解特征矩陣、特征多項(xiàng)式的概念，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量。

三、熟悉特征值和特征向量的性質(zhì)，掌握基本的證明方法。

第二節(jié)

相似矩陣與矩陣可對(duì)角化的條件

一、理解并掌握矩陣的相似及性質(zhì)；熟知矩陣可對(duì)角化的條件，會(huì)判斷一個(gè)矩陣是否可對(duì)角化。

二、三、對(duì)可對(duì)角化的矩陣A，會(huì)求可逆矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角矩陣。了解矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。

第三節(jié)

實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量

一、了解實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)，理解關(guān)于實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化的定理。

二、對(duì)一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A，會(huì)求正交矩陣Q，使得Q-1AQ為對(duì)角矩陣。

三、掌握基本的證明方法。

第四章

二次型

【本章教學(xué)目的和要求】

1、理解并掌握二次型的定義，二次型與對(duì)稱矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系；理解并掌握線性替換的定義以及矩陣合同的定義、性質(zhì)；理解并掌握二次型經(jīng)過(guò)非退化線性替換后化為新的二次型

后，兩個(gè)二次型的矩陣之間的關(guān)系。

2、熟悉二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形、正、負(fù)慣性指數(shù)、符號(hào)差的定義；會(huì)用正交替換法、配方法、初等變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形并寫(xiě)出所作的非退化線性替換；會(huì)用配方法、初等變換法將二次型化為規(guī)范形并寫(xiě)出所作的非退化線性替換。

3、理解并掌握二次型與對(duì)稱矩陣的正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定等概念，掌握二次型與對(duì)稱矩陣正定的充要條件，會(huì)判定二次型與對(duì)稱矩陣是否具有正定性或負(fù)定性?！颈菊轮攸c(diǎn)、難點(diǎn)】

1、二次型與對(duì)稱矩陣、非退化線性替換、矩陣合同等概念

2、用正交替換法、配方法、初等變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；用配方法、初等變換法將二次型化為規(guī)范形。

3、二次型與對(duì)稱矩陣的正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定，二次型與對(duì)稱矩陣正定的充要條件。

第一節(jié)

基本概念

一、理解并掌握二次型的定義，二次型與對(duì)稱矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

二、理解并掌握線性替換、非退化線性替換的定義以及矩陣合同的定義和性質(zhì)。

三、熟悉二次型經(jīng)過(guò)非退化線性替換化為新的二次型后，兩個(gè)二次型的矩陣之間的關(guān)系。

第二節(jié)

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形

一、熟悉二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的定義，會(huì)用正交替換法、配方法、初等變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形并寫(xiě)出所作的非退化線性替換。

二、熟悉二次型的規(guī)范形、正、負(fù)慣性指數(shù)、符號(hào)差等概念；熟悉慣性定理，會(huì)用配方法、初等變換法將二次型化為規(guī)范形并寫(xiě)出所作的非退化線性替換。

第三節(jié)

二次型與對(duì)稱矩陣的有定性

一、理解并掌握正定二次型和正定矩陣的概念；理解可逆線性變換不改變二次型的正定性，掌握二次型與對(duì)稱矩陣正定的充要條件，會(huì)判定一個(gè)二次型或?qū)ΨQ矩陣是否具有正定性。

二、理解半正定、負(fù)定、半負(fù)定二次型與對(duì)稱矩陣的概念，會(huì)判定二次型或?qū)ΨQ矩陣是否具有負(fù)定性。

第三篇：線性代數(shù)考試要點(diǎn)

線性代數(shù)考試要點(diǎn)：

1、行列式（要求只要是4階的行列式會(huì)求）

（1）會(huì)利用行列式的定義來(lái)計(jì)算行列式（包括逆序數(shù)的求法）；

（2）會(huì)利用行列式的性質(zhì)來(lái)計(jì)算行列式；

（3）利用按行、列展開(kāi)公式來(lái)求解行列式，包括按行、列展開(kāi)公式的應(yīng)用。

（4）會(huì)利用克拉默法則的推論討論齊次線性方程組解的情況。

2、向量

（1）向量的基本運(yùn)算；

（2）會(huì)判別向量組的線性相關(guān)性，掌握向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)；（證明題與選擇題）

（3）會(huì)求出給定的一組向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及其秩，并會(huì)應(yīng)用相應(yīng)的性質(zhì)；（計(jì)算題）

（4）利用施密特正交化把一組線性無(wú)關(guān)的向量組化成標(biāo)準(zhǔn)正交組；

（5）會(huì)判別一個(gè)集合是否會(huì)向量空間。

3、矩陣

（1）會(huì)矩陣的基本運(yùn)算，掌握矩陣運(yùn)算中的性質(zhì)；

（2）會(huì)求給定矩陣（3階）的逆矩陣；

（3）給定一個(gè)等式，會(huì)用逆矩陣的定義來(lái)判別一個(gè)矩陣是否可逆，并會(huì)求出其逆矩陣；

（4）掌握逆矩陣的性質(zhì)；

（5）掌握矩陣的初等變換，初等矩陣及其應(yīng)用；

（6）會(huì)利用逆矩陣或矩陣的初等變換方法求解矩陣方程。

4、線性方程組

（1）會(huì)求解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和非齊次線性方程組（不帶末知參數(shù)的）的一般解。

（2）定理4.1、4.2、4.5的應(yīng)用。（選擇題或判斷題）

（3）齊次線性方程組和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的性質(zhì)（主要是選擇題與判斷題）。

5、相似矩陣及二次型

（1）給定一個(gè)3階矩陣，會(huì)求出它的特征值與特征向量；

（2）給定一個(gè)3階矩陣，會(huì)求出它的相似矩陣P，使得PAP?B(對(duì)角陣)；

（3）掌握特征值的性質(zhì)；

（4）掌握相似矩陣的性質(zhì)；

（5）掌握正交矩陣的性質(zhì)；

（6）掌握矩陣可以對(duì)角化的幾個(gè)性質(zhì)；

（7）給定一個(gè)二次型，會(huì)寫(xiě)出它所對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣；或者給定一個(gè)二次型，會(huì)寫(xiě)出它所對(duì)應(yīng)的二次型；（填空題）

（8）會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。

以上給的要點(diǎn)是A、B兩份卷子的。此次題型分為判斷題（10分）、選擇題（15分）、填空題（15分）、簡(jiǎn)答題（60分），其中簡(jiǎn)答題中包括證明題。

此次的試卷出的題目很多來(lái)自書(shū)上和練習(xí)冊(cè)，建議大定讓學(xué)生要多做一下練習(xí)題（包括例題）。?1

第四篇：線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

“線性代數(shù)”主要題型（以第三版的編號(hào)為準(zhǔn)）

(注意：本復(fù)習(xí)要點(diǎn)所涉及的題目與考試無(wú)關(guān))

一、具體內(nèi)容

第一章、行列式：

1.1、四階或者五階行列式的計(jì)算。比如第1.3節(jié)例

3、例4，第四節(jié)的例3等。

1.2、n階含字母或數(shù)字的行列式的計(jì)算。比如第1.3節(jié)例8，第四節(jié)的例4。

1.3、一些特殊的齊次線性方程組有非零解的判斷。比如第1.5節(jié)例3。

第二章、矩陣。

2.1、矩陣的線性運(yùn)算、乘法運(yùn)算、轉(zhuǎn)置運(yùn)算、行列式運(yùn)算、逆運(yùn)算以及它們的運(yùn)算性質(zhì)。

2.2、矩陣方程的求解。比如第2.3節(jié)的例6，第2.5節(jié)的例7等等。

2.3、矩陣秩的計(jì)算。比如第2.6節(jié)例6等等

2.4、矩陣運(yùn)算的簡(jiǎn)單證明題目。比如第2.2節(jié)的例

12、例13，第2.3節(jié)例8等等。

第三章、線性方程組

3.1、向量的線性運(yùn)算。比如第3.2節(jié)的例1等等。

3.2、抽象的或n維向量線性相關(guān)性的證明。比如第3.3節(jié)的例

2、例

3、例4等等。

3.3、極大線性無(wú)關(guān)組的求解或證明。比如第3.4節(jié)的例

2、例3等等。

3.4、向量空間的基的計(jì)算或證明。比如第3.5節(jié)的例9等等。

3.5、線性方程的解的數(shù)量與結(jié)構(gòu)的討論。比如第3.1節(jié)的例4，第3.6節(jié)的例1等等。

第四章、矩陣的特征值

4.1、矩陣特征值、特征向量的計(jì)算。

4.2、矩陣特征值的性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用。比如第4.2節(jié)例6等等。

4.3、矩陣相似對(duì)角化的判斷。比如第4.3節(jié)的例4等等。

4.4、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化。比如第4.4節(jié)的例

1、例2等等。

第五章、二次型

5.1、用正交相似變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。比如第5.2節(jié)的例5等等。

5.2、正定矩陣的判別。比如第5.3的例4等等。

二、專業(yè)要求

1、非經(jīng)管類專業(yè)的同學(xué)，最好掌握上述所有的內(nèi)容。

2、經(jīng)管類專業(yè)的同學(xué)的要求，相對(duì)要低一些：若是計(jì)算題目，計(jì)算量減少；若是證明題，證明難度降低；一般只有一道題目里面的參數(shù)需要討論。比如“1.1”里面最多要求計(jì)算四階行列式，“3.2”里面只要求n維向量線性相關(guān)性的證明，“5.2”不要等等。請(qǐng)相應(yīng)的上課老師注意把握。

第五篇：2012線性代數(shù)Ⅱ復(fù)習(xí)要點(diǎn)

《線性代數(shù)Ⅱ》復(fù)習(xí)要點(diǎn)

教材：工程數(shù)學(xué)《線性代數(shù)》第五版，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編

1、掌握行列式的相關(guān)性質(zhì)與計(jì)算

2、掌握行列式的按行按列展開(kāi)法則

3、掌握矩陣的各種運(yùn)算及性質(zhì)，掌握分塊對(duì)角陣的行列式、逆矩陣的計(jì)算

4、掌握矩陣可逆的判定方法

5、掌握方陣A與A及伴隨矩陣A之間的關(guān)系，以及三者行列式之間的關(guān)系

6、掌握矩陣的初等變換及初等矩陣，掌握初等矩陣的性質(zhì)

7、掌握矩陣秩的定義及相關(guān)性質(zhì)

8、掌握矩陣方程的解法

9、掌握向量組線性相關(guān)無(wú)關(guān)的性質(zhì)

10、掌握向量組的秩的定義及相關(guān)性質(zhì)，會(huì)求向量組的秩及最大無(wú)關(guān)組

11、掌握線性方程組是否有解的判別，會(huì)解線性方程組，例如解系數(shù)含參變量的線性方程組

12、掌握線性方程組解的結(jié)構(gòu)，會(huì)利用方程組解的結(jié)構(gòu)寫(xiě)方程組的通解

13、掌握方陣的特征值與特征向量的定義及性質(zhì)，會(huì)求方陣的特征值、特征向量

參考例題和習(xí)題：

第21頁(yè)例13，第25頁(yè)例16，第26頁(yè)6題（2，3），第27頁(yè)8題（2），第28頁(yè)9題，第41頁(yè)例9，第44頁(yè)例10，第50頁(yè)例16，第54頁(yè)4題，第54頁(yè)5題，第55頁(yè)14題，第56頁(yè)15題，第56頁(yè)24題，第56頁(yè)26題，第65頁(yè)例3，第75頁(yè)例13，第78頁(yè)6題，第79頁(yè)12題，第80頁(yè)16題，第80頁(yè)18題，第90頁(yè)例7，第107頁(yè)5，第109頁(yè)27題，第110頁(yè)32題，第118頁(yè)例5，第119頁(yè)例7，第120頁(yè)例8，第134頁(yè)6題，第135頁(yè)7題，?1?