第一篇：高中數(shù)學(xué) 2.2.1向量的加法運算及其幾何意義教學(xué)設(shè)計 新人教A版必修4

2.2.1《向量的加法運算及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計

教材版本：人民教育出版社A版，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教材，數(shù)學(xué)必修4

教學(xué)內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)必修4，第二章《平面向量》第二節(jié)向量的加法運算及其幾何意義第1課時

一、教學(xué)目標(biāo)

知識目標(biāo)：理解向量加法的含義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則 作出兩個向量的和；掌握向量加法的交換律與結(jié)合律，并會用它們進(jìn)行向量運算．

能力目標(biāo)：經(jīng)歷向量加法概念、法則的建構(gòu)過程，感受和體會將實際問題抽象為 數(shù)學(xué)概念的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力．

情感目標(biāo)：經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)來描述和刻畫現(xiàn)實世界的過程，體驗探索的樂趣，激發(fā) 學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的個性品質(zhì)．

二、重點與難點

重點：向量加法的定義與三角形法則的概念建構(gòu)；以及利用法則作兩個向量的和向量． 難點：理解向量的加法法則及其幾何意義．

三、教法學(xué)法

教法運用了“問題情境教學(xué)法”、“啟發(fā)式教學(xué)法”和“多媒體輔助教學(xué)法”． 學(xué)法采用以“小組合作、自主探究”為主要方式的自主學(xué)習(xí)模式．

四、教學(xué)過程

新課程理念下的教學(xué)過程是一個內(nèi)容活化、創(chuàng)生的過程，是一個學(xué)生思考、體驗的過程，更是一個師生互動、發(fā)展的過程．基于此，我設(shè)定了下面幾個教學(xué)環(huán)節(jié)

一、復(fù)習(xí)回顧

1、向量、平行向量、相等向量的含義是什么？

2、用有向線段表示向量，向量的大小和方向是怎樣反映的？什么叫零向量和單位向量？

二、合作探究

【問題1】如圖，某人從點A到點B，再從點B改變方向到點C，則兩次位移的和可用哪個向量表示？由此可得什么結(jié)論？

學(xué)生活動：學(xué)生討論，集體回答

點評：位移是向量．位移可以相加，所以向量可以進(jìn)行加法運算。

2、向量加法的定義

B如圖，已知非零向量a、b，在平面內(nèi)

abAC取一點A，作AB?a，BC?b，則AC叫作a與b的和。兩個向量可以相加，并且兩個向量的和還是一個向量。一般地，求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。

點評：加法的定義其實是用數(shù)學(xué)的作圖語言來刻畫的，這種方法經(jīng)常出現(xiàn)在幾何中，這一點也更好的體現(xiàn)了向量加法具有的幾何意義和向量數(shù)形結(jié)合的特征．

3、向量加法的運算法則

【問題2】上面整個計算過程中我們作了一個什么圖形？你能不能結(jié)合圖形給這種運算法則起個名字？

學(xué)生活動：學(xué)生討論，集體回答

（1）三角形法則：定義中求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則

位移的合成可以看成向量加法三角形法則的物理模型。（2）平行四邊形法則

【問題3】圖1表示橡皮條在兩個力F1和F2的作用下，沿GE方向伸長了EO；圖2表示橡皮條在一個力F的作用下，沿相同方向伸長了相同長度.從力學(xué)的觀點分析，力F與F1、F2之間的關(guān)系如何？ 學(xué)生活動：集體回答

【問題4】通過剛才這個過程你發(fā)現(xiàn)對向量進(jìn)行加法運算還可以怎樣進(jìn)行？ 學(xué)生活動：學(xué)生討論，集體回答

點評：以同一點O為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點的對角線OC就是a與b的和。我們把這種作兩個向量和的方法叫作向量加法的平行四邊形法則 力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型。

三、例題精解

例

1、已知向量a、b，分別用向量加法的三角形法則與向量加法的平行四邊形法則 作出向量a+b

教學(xué)活動：師板演作圖過程，生集體回答注意事項 小試牛刀

學(xué)生活動：學(xué)生自主解答，生代表展示講解做題過程 點評：使學(xué)生熟練掌握向量加法的兩個運算法則

四、模的關(guān)系探究 【問題4】想一想

ab（1）若兩向量互為相反向量,則它們的和是什么?（2）零向量和任一向量a的和是什么?（3）a?b，|a+b|和

a?b的大小關(guān)系如何？何時能取到等號呢？

學(xué)生活動：學(xué)生討論，代表回答

設(shè)計意圖：通過三角形三邊關(guān)系，讓學(xué)生找出向量的模與他們和的模之間的大小關(guān)系。

五、類比聯(lián)想，探究性質(zhì)

1、你能說出實數(shù)相加有哪些運算律嗎？類比實數(shù)加法的運算律，向量是否也有運算律？

2、作圖驗證

（1）b+a的結(jié)果與a+b是否相同？（2）(a+b)+c的結(jié)果與a+(b+c)的結(jié)果呢？

學(xué)生活動：學(xué)生討論，代表展示驗證過程

設(shè)計意圖：通過作圖驗證，加深學(xué)生對向量加法運算律的理解。

3、練一練 根據(jù)圖示填空:

EefDdCg(1)a?b=________(2)c?d=________(3)a?b?d=______(4)c?d?e=______ cAb

Ba設(shè)計意圖：在訓(xùn)練三角形法則的同時，使同學(xué)們注意到三角形法則推廣到 n 個向量相加的形式．

六、實際應(yīng)用

例

2、長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進(jìn)行運輸.如圖所示,一艘船從長江南岸A點出發(fā),以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度為向東2km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度(保留兩個有效數(shù)字)(2)求船實際航行的速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示,精確到度).變式訓(xùn)練

船在靜水 的速度是6Km/s,水流的速度是3Km/s,則要使船到對岸的路程最短，它應(yīng)該朝那個方向前進(jìn)？船的實際速度是多少？

設(shè)計意圖：加強學(xué)生對向量加法運算的實際應(yīng)用能力。

六、小結(jié)（這節(jié)課我學(xué)會了什么？）本環(huán)節(jié)有課堂小結(jié)和作業(yè)布置兩部分內(nèi)容： 課堂小結(jié)：

【問題6】同學(xué)們想一想：本節(jié)課你有些什么收獲呢？留給你印象最深的是什么？作為課堂的延伸，你課后還想作些什么探究？

作業(yè)布置：

1、化簡

(1)AB?CD?BC?________(2)MA?BN?AC?CB?________(3)AB?BD?CA?DC?________??????

2、一艘船從 A點出發(fā)以23km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水以2km/h的速度向東流求船實際行駛速度的大小與方向。

第二篇：《2.2.1向量加法運算及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計說明

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第三篇：2.2 向量加法運算及其幾何意義 教學(xué)設(shè)計 (北師大必修4)

2.2.1向量加法運算及其幾何意義

一．教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容分析

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)》人教A版必修4第二章《平面向量》第二節(jié)《平面向量的線性運算》的第一課時，內(nèi)容是向量加法運算及其幾何意義。

向量是數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。向量的加法運算是通過類比數(shù)的加法，以位移的合成、力的合力兩個物理模型為背景引入的，主要內(nèi)容是向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。教科書從幾何角度具體給出了通過兩個法則作兩個向量和的方法，介紹了向量加法滿足的運算率，最后舉例說明生活中有向量，生活中用向量。向量加法運算是學(xué)生對向量運算體系所進(jìn)行的第一次探索和嘗試，學(xué)好本節(jié)課將為后面學(xué)習(xí)向量的其他知識奠定基礎(chǔ)，為用“數(shù)”的運算解決“形”的問題提供工具和方法。

因此，本節(jié)的教學(xué)重點是掌握用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個向量的和以及向量加法的運算率。

二． 教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)分析（一)教學(xué)目標(biāo)

1.掌握用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個向量的和以及向量加法的運算律。

2.理解向量加法及其幾何意義。

3.通過類比、觀察、歸納等方法提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。

（二）教學(xué)目標(biāo)分析

1.用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個向量的和向量時，體會在平面內(nèi)任取一點O的依據(jù)，它體現(xiàn)了向量起點的任意性，用平行四邊形法則作圖時強調(diào)向量的起點放在一起，而用三角形法則作圖則要求首尾相連。

2.通過對向量的大小、方向的探究，加深理解向量加法及其幾何意義。

3.從位移的合成、力的合成總結(jié)出向量加法法則；從向量的大小與方向探究出向量加法性質(zhì)；從實數(shù)加法的運算律類比向量加法的運算律。三．教學(xué)問題診斷分析

本節(jié)課學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能遇到以下疑惑和困難： 1.對三角形法則的理解，尤其是方向相反的兩個向量的加法。

2.在實際生活中，抽象、識別出向量加法的模型。

為此在教學(xué)中，讓學(xué)生認(rèn)識到三角形法則的實質(zhì)是：將已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向線段之間必須構(gòu)成三角形。通過對應(yīng)用題的討論，拉近學(xué)生與抽象數(shù)學(xué)知識之間的距離，激發(fā)他們的興趣，增強他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力。

因此，本節(jié)的教學(xué)難點是：理解向量加法及其幾何意義。四．教法分析

偉大的教育家葉圣陶先生說過“教師之謂教，不在全盤授予，而在相機誘導(dǎo)”。本節(jié)課以學(xué)生為中心，以問題為載體，采用啟發(fā)、引導(dǎo)、探究相結(jié)合的教學(xué)方法。1.設(shè)置情景，激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望。

2.提供交流探究機會，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，有效調(diào)動學(xué)生思維，在開放的活動中獲取知識。

3.在教學(xué)中體現(xiàn)“重過程、重情感、重生活”的理念。4.讓學(xué)生經(jīng)歷“學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”的過程。

五、教學(xué)過程設(shè)計

根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的的認(rèn)知水平和規(guī)律，結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容特點，分以下五個環(huán)節(jié)展開教學(xué)： 創(chuàng)設(shè)情境、引入課題；獨思共議、總結(jié)法則；合作交流、探究性質(zhì)；典例分析、深化認(rèn)識；課堂小結(jié)、拓展延伸。

1、創(chuàng)設(shè)情境 引入課題

情景：原來從浙江的嘉興到寧波的慈溪，需先從嘉興到杭州，再從杭州到慈溪，現(xiàn)在建好了杭州灣跨海大橋，可以從嘉興直接到達(dá)慈溪。

這兩種方式的位移是一樣的。然后將圖片中的問題抽象出來，也就是從點O到

【設(shè)計意圖】熟練兩個法則的作圖技能，讓學(xué)生開展小組合作、自主探究，特別是向量共線時，通過研究向量的方向以及模之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的個性品質(zhì)，使他們在輕松愉快的氛圍中突破難點，在過程中收獲自信，體驗成功！通過學(xué)生展示講解，鍛煉學(xué)生的組織能力和語言表達(dá)能力。通過教師點撥，強化重、難點，形成規(guī)律，加深理解。４、典例分析，深化認(rèn)識

bc，請作出a+b,b+a,b+c例1:如圖，已知a, , a+(b+c),(a+b)+c.向量加法的運算律交換律：a?b?b?acabaa+bc??aa?bb??b?c結(jié)合律：(a?b)?c?a?(b?c)ba?b?cb+aba

例2.在長江南岸某渡口處,江水以12.5km/h的速度向東流,渡船的速度為25km/h,渡船要垂直地渡過長江,求渡船的航向.解設(shè)AB、AD、AC分別表示水流的速度,渡船的速度, 渡船實際垂直過江的速度.因為AB+AD=AC,所以四邊形ABCD為平行四邊形.在RtΔACD中, ACD=90O,B|DC|=|AB|=12.5, |AD|=25,所以CAD=30.o o練.O為正六邊形A1A2A3A4A5A6的中心,求下列向量:(1)OA1+OA3(2)A2A3+A6A5(3)OA1+A6A5(4)A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A6A1A2A6A5OA4A3DCA思考：在(4)的基礎(chǔ)上你能得到更為一般的結(jié)論嗎？推廣1：A1A2 +A2A3+A3A4+······+An-1An=A1An答: 渡船要垂直地渡過長江,其航向應(yīng)為北偏西30.【設(shè)計意圖】通過“類比”的方法引入向量的加法運算律，是符合建構(gòu)主義的認(rèn)識的．同時，對于結(jié)論的驗證使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識的數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)之美，也欣賞到了兩個法則的和諧統(tǒng)一之美．由特殊到一般，讓學(xué)生通過練習(xí)歸納向量加法的三角形法則的推廣-----多邊形法則。然后生活中有向量，生活中用向量，通過對應(yīng)用題的討論，拉近了學(xué)生和抽象的數(shù)學(xué)知識之間的距離，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)的興趣，同時增強了他們學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)的動力．

5、課堂小結(jié)，拓展延伸

（1）讓學(xué)生自己從所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法兩個方面進(jìn)行總結(jié)，提高學(xué)生的

第四篇：《平面向量加法運算及其幾何意義 》教學(xué)設(shè)計

《平面向量加法運算及其幾何意義 》教學(xué)設(shè)計

〖教學(xué)目標(biāo)〗

（1）知識與技能：理解掌握向量加法運算，能夠運用向量加法三角形法則和平行四邊形法則求任意兩個向量的和向量；初步嘗試用向量方法解決幾何問題及實際問題；

（2）過程與方法：經(jīng)歷概念的形式過程，提高數(shù)學(xué)建設(shè)模能力；通過自主探究活動，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，提高概括、分析歸納，數(shù)學(xué)表達(dá)等基本數(shù)學(xué)思維能力；（3）情態(tài)與價值：通過師生互動，生生互動的教學(xué)活動，形成學(xué)生的體驗性認(rèn)識，體會成功的愉悅，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。形成鍥而不舍的鉆研精神和合作交流的科學(xué)態(tài)度。

〖教學(xué)重點、難點〗

教學(xué)重點：理解向量加法的意義，掌握向量加法三角形法則和平行四邊形法則； 教學(xué)難點：向量加法概念的形成過程；

〖教學(xué)方法與教學(xué)手段〗 教學(xué)方法：啟發(fā)探究式教學(xué) 教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)

〖教學(xué)過程〗

一、設(shè)置情境、嘗試探求 1．設(shè)置問題情境

今年夏天，我國某些地區(qū)洪災(zāi)泛濫，某城外有一條東西流向的大河，河兩岸高筑堤壩，河寬4km, 水深10km，當(dāng)時河水流速為4km/h, 有一天，三名巡防隊員在巡邏中發(fā)現(xiàn)正對岸堤壩有一處決口，情急之下，三人跳上船以8km/h 的速度直向決口處駛?cè)?，同學(xué)們想一想，如果船不改變方向，他們能否準(zhǔn)確、及時到達(dá)出事地點？

2、學(xué)生自主探究與研討 學(xué)生會直觀猜測：不能及時準(zhǔn)確及時到達(dá)（有了猜測就有探式的欲望）

V船

V

教師引導(dǎo)學(xué)生：能否運用你所學(xué)的知識進(jìn)行說明；

V水

學(xué)生得出：船的實際速度應(yīng)是船行駛速度和水的速度的合成。如圖

教師小結(jié)：速度是一個看矢量，矢量的合成與數(shù)量相加不同，要同時考慮方向。提問，根據(jù)已有知識你還能舉出一些有關(guān)矢量合成的例子嗎？

3、師生共同探究

學(xué)生舉例：（1）位移的合成（2）力的合成；（1）如圖：某對象從A點經(jīng)B點到C點，兩次位移點的位移 結(jié)果相同。

，的結(jié)果，與A點直接到C

（2）如圖：表示橡皮條在兩個力F1、F2的作用下，沿GE的方向伸長了EO，與力F的作用結(jié)果相同。

教師：兩個既有大小又有方向的量的合成運算，物理上叫做矢量的合成，在數(shù)學(xué)上叫做向量的加法。

二、形成概念，歸納方法。

向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法

1、提問：對于平面上任意兩個向量，如何定義它們的加法？ 同學(xué)們?nèi)我庾鞒鰞蓚€向量試一試。

2、學(xué)生自主探究 學(xué)生可能答案：

（1）共起點的兩個向量相加，用平行四邊形法則；

（2）首尾相接的兩個向量相加，模仿位移的合成，作出和向量；（3）任意兩個向量相加，先平移到共點，再作出和向量；（4）共線的兩個向量相加（同向或反向）

3、交流、研討、辯析 投影同學(xué)們的研究成果，引導(dǎo)學(xué)生對幾種作圖方法進(jìn)行辯析，它們有什么共同和不同之處？如何理解“任意”？和向量的方向和大小有何變化？能否對作圖過程進(jìn)行語言表達(dá)。

4、歸納總結(jié)

在師生、生生的互動交流中，形成以下共識：

一、向量加法的定義

1、三角形法則：

已知非零向量a、ｂ.在平面內(nèi)任取一點和，記作a＋ｂ，即 a＋ｂ，作

=a，=ｂ，則向量

叫做a與ｂ的 a

a＋ｂ ｂ

ｂ

a

位移合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型

2平行四邊形法則

以同一點O為起點的兩個已知向量a、ｂ，為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點的對角線就是與的和。

力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型。對于零向量與任一向量我們規(guī)定：

提問：你能從向量加法的幾何意義，說明規(guī)定的合理性嗎？

思考：當(dāng)在數(shù)軸表示兩個共線向量時，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？ a a

ｂ ｂ

a+b

a+b

探究：|+|與||+||的大小關(guān)系：

當(dāng)向量與不共線時，|+|<||+||； 一般的有：|+|≤||+|| 思考：、處于什么位置時，（1）|+|=||+||（2）|+|=||-||（或|+b|=||-||）

三、實踐探索 形成能力

1、探究：數(shù)的加法滿足交換侓和結(jié)合侓，即對任意a、b a+b=b+a(a+b)+c= a+(b+c)任意向量、的加法是否也滿足交換侓和結(jié)合侓？（1）讓學(xué)生通過畫圖探索驗證：+=+（2）提問：你能否驗證：

有

(+)+=+(+)

小結(jié)：向量的加法滿足交換律：+=+ 向量的加法滿足結(jié)合律：(+)+=+(+)

2、練習(xí)P93 3、4題

3、例2：長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進(jìn)行運輸，如圖2.2-12所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h。

（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度（保留兩個有效數(shù)字）；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度間的夾角表示，精確到度）（引導(dǎo)學(xué)生正確理解題意，把問題化歸為向量的加法運算。注意規(guī)范學(xué)生的解題格式。）

4、鞏固作業(yè)

（1）P103習(xí)題2。2：第２，３，4（1）（2）（3）題（2）選做題：在△ABC中，求證：

四、歸納小結(jié)：內(nèi)化知識

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們談?wù)勛约后w會最深刻的是什么？

1、向量加法的幾何意義； ２、交換律和結(jié)合律；

３、注意：|+| ≤ || + ||，當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時取等號.

第五篇：高中數(shù)學(xué) 2.2.2向量減法及其幾何意義教學(xué)設(shè)計 新人教A版必修1

§2．2．2 向量減法運算及其幾何意義

教學(xué)目標(biāo) 1．通過探究活動，使學(xué)生掌握向量減法概念，理解兩個向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進(jìn)行，掌握相反向量．

2．啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨立思考，學(xué)會分析問題和創(chuàng)造地解決問題．能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量． 向量的減法運算及其幾何意義 對向量減法定義的理解 教學(xué)重點 教學(xué)難點 教學(xué)過程

一、新課導(dǎo)入

思路1．(問題導(dǎo)入)上節(jié)課，我們定義了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法．由向量的加法運算自然聯(lián)想到向量的減法運算：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．向量的減法是否也有類似的法則呢?引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究，由此展開新課．

思路2．(直接導(dǎo)入)數(shù)的減法運算是加法運算的逆運算．本節(jié)課，我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運算——減法．引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn)．

數(shù)的減法運算是數(shù)的加法運算的逆運算，數(shù)的減法定義即減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，因此定義數(shù)的減法運算，必須先引進(jìn)一個相反數(shù)的概念．類似地，向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算．可類比數(shù)的減法運算，我們定義向量的減法運算，也應(yīng)引進(jìn)一個新的概念，這個概念又該如何定義?

二、新課導(dǎo)學(xué)

【探究1】相反向量

一個質(zhì)點，先由A點作直線移動到B點，于是得到一個向量→AB，再由B點按相反方向移動到A點又得到一個向量→BA，如此移動的實際效果，等于沒有移動，因此，→AB＋→BA＝0，這個等式就建議我們把向量→BA定→的負(fù)向量，并記作→→，于是我們有 義為向量ABBA＝－AB新知1：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a，并且規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量，于是，－(－a)＝a.性質(zhì)：①－(－a)＝a；

②任一向量與它相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 ③如果a、b是互為相反的向量，則有 a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.練習(xí)1：判斷下列各命題的真假(1)─→AA＋─→AA＋…＋──→AA與──→AA是一對相反向量； 1223n﹣1n

n1(2)─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→Ai﹣1Ai與──→AiAi＋1＋───→Ai＋1Ai＋2＋──→AnA1是一對相反向量；(3)a＝－a的充要條件是a＝0；(4)─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223n1解：(1)真命題.∵─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→An﹣1An＝─→A1An，而──→AnA1與─→A1An長度相等，方向相反，所以命題(1)是真命題.(2)真命題.∵─→AA＋─→AA＋…＋──→AA＝─→AA，而──→AA＋───→AA＋──→AA＝─→AA，由于─→AA與122

3i﹣1i

1i

ii＋

1i＋1i＋

2n1

i1

1i─→AiA1是一對相反向量，所以命題(2)是真命題.(3)真命題.∵當(dāng)a≠0時，a≠－a；而當(dāng)a＝0時，a＝－a，故命題(3)是真命題.(4)真命題.∵─→AA＋─→AA＋──→AA＝0，∴─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223

n1

n1【探究2】向量減法

如圖，設(shè)向量AB＝b，AC=a，則AD=-b，由向量減法的定義，知AE=a+(-b)=a-b．

又b＋BC＝a，所以BC＝a－b． 由此，我們得到a-b的作圖方法．

如圖2，已知a、b，在平面內(nèi)任取一點O，作OA=a，則BA=aOB=b，－b，即a－b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義．

新知2：（1）向量減法的定義：a-b=a+(-b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量．向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b),求兩個向量差的運算，叫向量的減法．

（2）向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運算的幾何意義所在，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)．

說明：①還可以這樣定義：兩個向量a與b的差，是這樣一個向量x，它適合于等式x＋b＝a，并記作x＝a－b,并稱a為被減向量，b為減向量，而x稱為差向量．

②向量減法可以轉(zhuǎn)化為向量加法，如圖b與a－b首尾相接，根據(jù)向量加法的三角形法則有b＋(a－b)＝a,即a－b＝→CB． ③向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算.利用相反向量的意義，－→AB＝→BA，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法，在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接兩向量終點，箭頭指向被減數(shù)”即可．

→＝a，→→＝a＋b，BD→＝b－a, DB→④以向量ABAD＝b，為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量為AC＝a－b，這一結(jié)論在以后應(yīng)用是非常廣泛的．

【探究3】關(guān)于向量差的模的不等式

如果我們回憶向量加法的平行四邊形法則，那么就可以知道，對于兩向量a及b為邊作成的平行四邊

→＝a＋b，BA→＝a－b，利用圖中的三角形OAB，形中，其兩條對角線分別為a與b的和及差，如圖所示，有OC并注意三角形中兩邊之差小于第三邊，于是當(dāng)a與b不共線時，有|a－b|>||a|－|b||，與向量和的模的不等式類似．

對于兩任意兩向量a與b差的長度不大小兩向量長度之和，且又不小于兩向量長度差的絕對值，即

||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 證明：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知，||a|－|b||≤|a＋(－b)|≤|a|＋|－b|，亦即 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.說明：在不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，①當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向或a、b中至少一個為0時，左邊等號成立； ②當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向或a、b中至少一個為0時，右邊等號成立； ③當(dāng)且僅當(dāng)a、b中至少一個為0時，左右兩邊的等號同時成立.上述①、②及③三個結(jié)論在有關(guān)問題的求解中是十分有用的.新知3：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 例1 如圖，已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．

分析：根據(jù)向量減法的三角形法則，需要選點平移作出兩個同起點的向量．

作法：如圖3(2)，在平面內(nèi)任取一點O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．則BA=a-b，DC=c-d． 變式訓(xùn)練：在ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AB=DC 答案：C 例2 如圖4，B．AD+AB=AC C．AB-AD=BD

D．AD+BC=0 ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AC、DB嗎? 解：由向量加法的平行四邊形法則，我們知道AC=a+b，同樣，由向量的減法，知DB=AB-AD=a-b． 變式訓(xùn)練

1．已知一點O到ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c，則向量OD等于（）A．a(chǎn)+b+c

B．a(chǎn)-b+c C．a(chǎn)+b-c

D．a(chǎn)-b-c 解析：如圖5，點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c，結(jié)合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c．故選B．

2．若AC=a+b，DB=a-b．

①當(dāng)a、b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？ ②當(dāng)a、b滿足什么條件時，|a+b|=|a-b|？

③當(dāng)a、b滿足什么條件時，a+b平分a與b所夾的角？ ④a+b與a-b可能是相等向量嗎？

解析：如圖6，用向量構(gòu)建平行四邊形，其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線．由平行四邊形法則，得AC=a+b，DB=AB-AD=a-b．由此問題就可轉(zhuǎn)換為：

①當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線相等？(a、b互相垂直)③當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線平分內(nèi)角？(a、b相等)④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能，因為對角線方向不同例3 化簡→AB－→AC＋→BD－→CD．

解：原式＝→CB＋→BD－→CD＝→CD－→CD＝0 變式訓(xùn)練：8．如圖所示，DC?DE?AF?BC?FE＝________．答案：→AB →＝8，|AC|→＝5，則|BC|→的取值范圍是（）例4 若|AB|A．［3，8］

B．（3，8）

C．［3，13］

D．（3，13）

→、AC→同向時，|→解析： ∵→BC＝→AC－→AB，當(dāng)ABBC|＝8－5＝3；當(dāng)→AB、→AC反向時，|→BC|＝8＋5＝13；當(dāng)→AB、→不平行時，3＜|BC|→＜13，總上3≤|→ACBCBC|≤13，故選C．

變式訓(xùn)練：向量a．b滿足|a|＝8，|b|＝12，則|a＋b|的最大值為________．答案：20

三、總結(jié)提升

1.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家在理解向量減法定義的基礎(chǔ)上，掌握向量減法的三角形法則，并能加以適當(dāng)?shù)膽?yīng)用.2.向量減法的三角形法則的式子內(nèi)容是：兩個向量相減，則表示兩個向量起點的字母必須相同（否則無法相減），這樣兩個向量的差向量是以減向量的終點的字母為起點，以被減向量的終點的字母為終點.四、課后作業(yè)

課本第91頁習(xí)題2.2A組第4、6、7、8題 1．已知｜AB｜＝6，｜CD｜＝9，求｜AB－CD｜的取值范圍．答案：［3，15］ 2．已知：A．B．C是不共線的三點，O是△ABC內(nèi)的一點，若→OA＋→OB＋→OC＝0，求證：點O是△ABC的重心． →＋OC)→，2．證明：如圖，∵→OA＋→OB＋→OC＝0，∴→OA＝－(OB→＋OC→，長度相等，方向相反的向量，∴→OA是與OB以O(shè)B、OC為相鄰兩邊作BOCD，則→OD＝→OB＋→OC，→，∴A、O、D三點共線． ∴→OD＝－OA

→＝EC→，OE→＝ED→，在□BOCD中，設(shè)BC交OD于點E，則BE

→＝2|→故AE是△ABC的邊BC的中線，且|OA|OE|，∴點O是△ABC的重心．