第一篇：高中數(shù)學(xué) 2.2.2向量減法及其幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版必修1

§2．2．2 向量減法運(yùn)算及其幾何意義

教學(xué)目標(biāo) 1．通過探究活動，使學(xué)生掌握向量減法概念，理解兩個向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進(jìn)行，掌握相反向量．

2．啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會分析問題和創(chuàng)造地解決問題．能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量． 向量的減法運(yùn)算及其幾何意義 對向量減法定義的理解 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 教學(xué)過程

一、新課導(dǎo)入

思路1．(問題導(dǎo)入)上節(jié)課，我們定義了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法．由向量的加法運(yùn)算自然聯(lián)想到向量的減法運(yùn)算：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．向量的減法是否也有類似的法則呢?引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究，由此展開新課．

思路2．(直接導(dǎo)入)數(shù)的減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算．本節(jié)課，我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運(yùn)算——減法．引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn)．

數(shù)的減法運(yùn)算是數(shù)的加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，數(shù)的減法定義即減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，因此定義數(shù)的減法運(yùn)算，必須先引進(jìn)一個相反數(shù)的概念．類似地，向量的減法運(yùn)算也可定義為向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算．可類比數(shù)的減法運(yùn)算，我們定義向量的減法運(yùn)算，也應(yīng)引進(jìn)一個新的概念，這個概念又該如何定義?

二、新課導(dǎo)學(xué)

【探究1】相反向量

一個質(zhì)點(diǎn)，先由A點(diǎn)作直線移動到B點(diǎn)，于是得到一個向量→AB，再由B點(diǎn)按相反方向移動到A點(diǎn)又得到一個向量→BA，如此移動的實(shí)際效果，等于沒有移動，因此，→AB＋→BA＝0，這個等式就建議我們把向量→BA定→的負(fù)向量，并記作→→，于是我們有 義為向量ABBA＝－AB新知1：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a，并且規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量，于是，－(－a)＝a.性質(zhì)：①－(－a)＝a；

②任一向量與它相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 ③如果a、b是互為相反的向量，則有 a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.練習(xí)1：判斷下列各命題的真假(1)─→AA＋─→AA＋…＋──→AA與──→AA是一對相反向量； 1223n﹣1n

n1(2)─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→Ai﹣1Ai與──→AiAi＋1＋───→Ai＋1Ai＋2＋──→AnA1是一對相反向量；(3)a＝－a的充要條件是a＝0；(4)─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223n1解：(1)真命題.∵─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→An﹣1An＝─→A1An，而──→AnA1與─→A1An長度相等，方向相反，所以命題(1)是真命題.(2)真命題.∵─→AA＋─→AA＋…＋──→AA＝─→AA，而──→AA＋───→AA＋──→AA＝─→AA，由于─→AA與122

3i﹣1i

1i

ii＋

1i＋1i＋

2n1

i1

1i─→AiA1是一對相反向量，所以命題(2)是真命題.(3)真命題.∵當(dāng)a≠0時，a≠－a；而當(dāng)a＝0時，a＝－a，故命題(3)是真命題.(4)真命題.∵─→AA＋─→AA＋──→AA＝0，∴─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223

n1

n1【探究2】向量減法

如圖，設(shè)向量AB＝b，AC=a，則AD=-b，由向量減法的定義，知AE=a+(-b)=a-b．

又b＋BC＝a，所以BC＝a－b． 由此，我們得到a-b的作圖方法．

如圖2，已知a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA=a，則BA=aOB=b，－b，即a－b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義．

新知2：（1）向量減法的定義：a-b=a+(-b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量．向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b),求兩個向量差的運(yùn)算，叫向量的減法．

（2）向量的減法運(yùn)算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運(yùn)算的幾何意義所在，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)．

說明：①還可以這樣定義：兩個向量a與b的差，是這樣一個向量x，它適合于等式x＋b＝a，并記作x＝a－b,并稱a為被減向量，b為減向量，而x稱為差向量．

②向量減法可以轉(zhuǎn)化為向量加法，如圖b與a－b首尾相接，根據(jù)向量加法的三角形法則有b＋(a－b)＝a,即a－b＝→CB． ③向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的意義，－→AB＝→BA，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法，在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接兩向量終點(diǎn)，箭頭指向被減數(shù)”即可．

→＝a，→→＝a＋b，BD→＝b－a, DB→④以向量ABAD＝b，為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量為AC＝a－b，這一結(jié)論在以后應(yīng)用是非常廣泛的．

【探究3】關(guān)于向量差的模的不等式

如果我們回憶向量加法的平行四邊形法則，那么就可以知道，對于兩向量a及b為邊作成的平行四邊

→＝a＋b，BA→＝a－b，利用圖中的三角形OAB，形中，其兩條對角線分別為a與b的和及差，如圖所示，有OC并注意三角形中兩邊之差小于第三邊，于是當(dāng)a與b不共線時，有|a－b|>||a|－|b||，與向量和的模的不等式類似．

對于兩任意兩向量a與b差的長度不大小兩向量長度之和，且又不小于兩向量長度差的絕對值，即

||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 證明：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知，||a|－|b||≤|a＋(－b)|≤|a|＋|－b|，亦即 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.說明：在不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，①當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向或a、b中至少一個為0時，左邊等號成立； ②當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向或a、b中至少一個為0時，右邊等號成立； ③當(dāng)且僅當(dāng)a、b中至少一個為0時，左右兩邊的等號同時成立.上述①、②及③三個結(jié)論在有關(guān)問題的求解中是十分有用的.新知3：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 例1 如圖，已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．

分析：根據(jù)向量減法的三角形法則，需要選點(diǎn)平移作出兩個同起點(diǎn)的向量．

作法：如圖3(2)，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．則BA=a-b，DC=c-d． 變式訓(xùn)練：在ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AB=DC 答案：C 例2 如圖4，B．AD+AB=AC C．AB-AD=BD

D．AD+BC=0 ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AC、DB嗎? 解：由向量加法的平行四邊形法則，我們知道AC=a+b，同樣，由向量的減法，知DB=AB-AD=a-b． 變式訓(xùn)練

1．已知一點(diǎn)O到ABCD的3個頂點(diǎn)A、B、C的向量分別是a、b、c，則向量OD等于（）A．a(chǎn)+b+c

B．a(chǎn)-b+c C．a(chǎn)+b-c

D．a(chǎn)-b-c 解析：如圖5，點(diǎn)O到平行四邊形的三個頂點(diǎn)A、B、C的向量分別是a、b、c，結(jié)合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c．故選B．

2．若AC=a+b，DB=a-b．

①當(dāng)a、b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？ ②當(dāng)a、b滿足什么條件時，|a+b|=|a-b|？

③當(dāng)a、b滿足什么條件時，a+b平分a與b所夾的角？ ④a+b與a-b可能是相等向量嗎？

解析：如圖6，用向量構(gòu)建平行四邊形，其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線．由平行四邊形法則，得AC=a+b，DB=AB-AD=a-b．由此問題就可轉(zhuǎn)換為：

①當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線相等？(a、b互相垂直)③當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線平分內(nèi)角？(a、b相等)④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能，因?yàn)閷蔷€方向不同例3 化簡→AB－→AC＋→BD－→CD．

解：原式＝→CB＋→BD－→CD＝→CD－→CD＝0 變式訓(xùn)練：8．如圖所示，DC?DE?AF?BC?FE＝________．答案：→AB →＝8，|AC|→＝5，則|BC|→的取值范圍是（）例4 若|AB|A．［3，8］

B．（3，8）

C．［3，13］

D．（3，13）

→、AC→同向時，|→解析： ∵→BC＝→AC－→AB，當(dāng)ABBC|＝8－5＝3；當(dāng)→AB、→AC反向時，|→BC|＝8＋5＝13；當(dāng)→AB、→不平行時，3＜|BC|→＜13，總上3≤|→ACBCBC|≤13，故選C．

變式訓(xùn)練：向量a．b滿足|a|＝8，|b|＝12，則|a＋b|的最大值為________．答案：20

三、總結(jié)提升

1.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家在理解向量減法定義的基礎(chǔ)上，掌握向量減法的三角形法則，并能加以適當(dāng)?shù)膽?yīng)用.2.向量減法的三角形法則的式子內(nèi)容是：兩個向量相減，則表示兩個向量起點(diǎn)的字母必須相同（否則無法相減），這樣兩個向量的差向量是以減向量的終點(diǎn)的字母為起點(diǎn)，以被減向量的終點(diǎn)的字母為終點(diǎn).四、課后作業(yè)

課本第91頁習(xí)題2.2A組第4、6、7、8題 1．已知｜AB｜＝6，｜CD｜＝9，求｜AB－CD｜的取值范圍．答案：［3，15］ 2．已知：A．B．C是不共線的三點(diǎn)，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若→OA＋→OB＋→OC＝0，求證：點(diǎn)O是△ABC的重心． →＋OC)→，2．證明：如圖，∵→OA＋→OB＋→OC＝0，∴→OA＝－(OB→＋OC→，長度相等，方向相反的向量，∴→OA是與OB以O(shè)B、OC為相鄰兩邊作BOCD，則→OD＝→OB＋→OC，→，∴A、O、D三點(diǎn)共線． ∴→OD＝－OA

→＝EC→，OE→＝ED→，在□BOCD中，設(shè)BC交OD于點(diǎn)E，則BE

→＝2|→故AE是△ABC的邊BC的中線，且|OA|OE|，∴點(diǎn)O是△ABC的重心．

第二篇：示范教案(2.2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義)

2.2.2 向量減法運(yùn)算及其幾何意義

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

向量減法運(yùn)算是加法的逆運(yùn)算.學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運(yùn)算掌握向量的減法運(yùn)算.因此,類比數(shù)的減法(減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)),首先引進(jìn)相反向量的概念,然后引入向量的減法(減去一個向量,等于加上這個向量的相反向量),通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則,結(jié)合一定數(shù)量的例題,深刻理解向量的減法運(yùn)算.通過闡述向量的減法運(yùn)算,可以轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算,滲透化歸的數(shù)學(xué)思想,使學(xué)生理解事物之間的相互轉(zhuǎn)化、相互聯(lián)系的辨證思想,同時由于向量的運(yùn)算能反映出一些物理規(guī)律,從而加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系,提高學(xué)生的應(yīng)用意識.三維目標(biāo)

1.通過探究活動,使學(xué)生掌握向量減法概念,理解兩個向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進(jìn)行,掌握相反向量.2.啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,善于獨(dú)立思考,學(xué)會分析問題和創(chuàng)造地解決問題.能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量.重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):向量的減法運(yùn)算及其幾何意義.教學(xué)難點(diǎn):對向量減法定義的理解.課時安排 1課時

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

思路1.(問題導(dǎo)入)上節(jié)課,我們定義了向量的加法概念,并給出了求作和向量的兩種方法.由向量的加法運(yùn)算自然聯(lián)想到向量的減法運(yùn)算:減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù).向量的減法是否也有類似的法則呢?引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究,由此展開新課.思路2.(直接導(dǎo)入)數(shù)的減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算.本節(jié)課,我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運(yùn)算——減法.引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn).推進(jìn)新課 新知探究 提出問題

①向量是否有減法？

②向量進(jìn)行減法運(yùn)算,必須先引進(jìn)一個什么樣的新概念？ ③如何理解向量的減法？

④向量的加法運(yùn)算有平行四邊形法則和三角形法則,那么,向量的減法是否也有類似的法則？

活動:數(shù)的減法運(yùn)算是數(shù)的加法運(yùn)算的逆運(yùn)算,數(shù)的減法定義即減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù),因此定義數(shù)的減法運(yùn)算,必須先引進(jìn)一個相反數(shù)的概念.類似地,向量的減法運(yùn)算也可定義為向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算.可類比數(shù)的減法運(yùn)算,我們定義向量的減法運(yùn)算,也應(yīng)引進(jìn)一個新的概念,這個概念又該如何定義? 引導(dǎo)學(xué)生思考,相反向量有哪些性質(zhì)? 由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向,因此a和-a互為相反向量.于是-(-a)=a.我們規(guī)定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四邊形法則

圖1 如圖1,設(shè)向量AB=b,AC=a,則AD=-b,由向量減法的定義,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我們得到a-b的作圖方法.圖2(2)三角形法則

如圖2,已知a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OA=a,OB=b,則BA=a-b,即a-b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量,這是向量減法的幾何意義.討論結(jié)果:①向量也有減法運(yùn)算.②定義向量減法運(yùn)算之前,應(yīng)先引進(jìn)相反向量.與數(shù)x的相反數(shù)是-x類似,我們規(guī)定,與a長度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,記作-a.③向量減法的定義.我們定義

a-b=a+(-b), 即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量.規(guī)定:零向量的相反向量是零向量.④向量的減法運(yùn)算也有平行四邊形法則和三角形法則,這也正是向量的運(yùn)算的幾何意義所在,是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn).提出問題

①上圖中,如果從a的終點(diǎn)到b的終點(diǎn)作向量,那么所得向量是什么? ②改變上圖中向量a、b的方向使a∥b,怎樣作出a-b呢? 討論結(jié)果:①AB=b-a.②略.應(yīng)用示例

如圖3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.圖3

活動:教師讓學(xué)生親自動手操作,引導(dǎo)學(xué)生注意規(guī)范操作,為以后解題打下良好基礎(chǔ);點(diǎn)撥學(xué)生根據(jù)向量減法的三角形法則,需要選點(diǎn)平移作出兩個同起點(diǎn)的向量.作法:如圖3(2),在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.則BA=a-b,DC=c-d.變式訓(xùn)練

(2006上海高考)在ABCD中,下列結(jié)論中錯誤的是（）A.AB=DC

B.AD+AB=AC

C.AB-AD=BD

D.AD+BC=0 分析:A顯然正確,由平行四邊形法則可知B正確,C中,AB-AD=BD錯誤,D中,AD+BC=AD+DA=0正確.答案:C 例2 如圖4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB嗎?

圖4

活動:本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量,這是用向量證明幾何問題的基礎(chǔ).要多注意這方面的訓(xùn)練,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關(guān)系.解:由向量加法的平行四邊形法則,我們知道AC=a+b, 同樣,由向量的減法,知DB=AB-AD=a-b.變式訓(xùn)練

1.(2005高考模擬)已知一點(diǎn)O到向量OD等于（）A.a+b+c

B.a-b+c

C.a+b-c

D.a-b-c

ABCD的3個頂點(diǎn)A、B、C的向量分別是a、b、c,則

圖5 解析:如圖5,點(diǎn)O到平行四邊形的三個頂點(diǎn)A、B、C的向量分別是a、b、c, 結(jié)合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B 2.若AC=a+b,DB=a-b.①當(dāng)a、b滿足什么條件時,a+b與a-b垂直？ ②當(dāng)a、b滿足什么條件時,|a+b|=|a-b|？

③當(dāng)a、b滿足什么條件時,a+b平分a與b所夾的角 ？

④a+b與a-b可能是相等向量嗎？

圖6 解析:如圖6,用向量構(gòu)建平行四邊形,其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線.由平行四邊形法則,得

AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此問題就可轉(zhuǎn)換為: ①當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線相等？(a、b互相垂直)③當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線平分內(nèi)角？(a、b相等)④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能,因?yàn)閷蔷€方向不同)

點(diǎn)評:靈活的構(gòu)想,獨(dú)特巧妙,數(shù)形結(jié)合思想得到充分體現(xiàn).由此我們可以想到在解決向量問題時,可以利用向量的幾何意義構(gòu)造幾何圖形,轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,這就是數(shù)形結(jié)合解題的威力與魅力,教師引導(dǎo)學(xué)生注意領(lǐng)悟.例3 判斷題:(1)若非零向量a與b的方向相同或相反,則a+b的方向必與a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,則A、B、C三點(diǎn)是一個三角形的三頂點(diǎn).(4)|a+b|≥|a-b|.活動:根據(jù)向量的加、減法及其幾何意義.解:(1)a與b方向相同,則a+b的方向與a和b方向都相同;若a與b方向相反,則有可能a與b互為相反向量, 此時a+b=0的方向不確定,說與a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法則AB+BC=AC,AC與CA是互為相反向量,所以有上述結(jié)論.(3)因?yàn)楫?dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時也有AB+BC+AC=0,而此時構(gòu)不成三角形.(4)當(dāng)a與b不共線時,|a+b|與|a-b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長,其大小不定.當(dāng)a、b為非零向量共線時,同向則有|a+b|>|a-b|,異向則有|a+b|<|a-b|;當(dāng)a、b中有零向量時,|a+b|=|a-b|.綜上所述,只有(2)正確.例4 若|AB|=8,|AC|=5,則|BC|的取值范圍是（）A.[3,8]

B.(3,8)

C.[3,13]

D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)當(dāng)AB、AC同向時,|BC|=8-5=3;

(2)當(dāng)AB、AC反向時,|BC|=8+5=13;(3)當(dāng)AB、AC不共線時,3<|BC|<13.綜上,可知3≤|BC|≤13.答案:C 點(diǎn)評:此題可直接應(yīng)用重要性質(zhì)||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.變式訓(xùn)練

已知a、b、c是三個非零向量,且兩兩不共線,順次將它們的終點(diǎn)和始點(diǎn)相連接而成一三角形的充要條件為a+b+c=0.證明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且a

b,b

c,c

a,(1)必要性:作AB=a,BC=b,則由假設(shè)CA=c, 另一方面a+b=AB+BC=AC.由于CA與AC是一對相反向量, ∴有AC+CA=0, 故有a+b+c=0.(2)充分性:作AB=a,BC=b,則AC=a+b,又由條件a+b+c=0, ∴AC+c=0.等式兩邊同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故順次將向量a、b、c的終點(diǎn)和始點(diǎn)相連接成一三角形.知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí)解答: 1.直接在課本上據(jù)原圖作(這里從略).2.DB,CA,AC,AD,BA.點(diǎn)評:解題中可以將減法變成加法運(yùn)算,如AB-AD=DA+AB=DB,這樣計(jì)算比較簡便.3.圖略.課堂小結(jié)

1.先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識:相反向量,向量減法的定義,向量減法的幾何意義,向量差的作圖.2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法,類比,數(shù)形結(jié)合,幾何作圖,分類討論.作業(yè)

課本習(xí)題2.2 A組6、7、8.設(shè)計(jì)感想

1.向量減法的幾何意義主要是結(jié)合平行四邊形法則和三角形法則進(jìn)行講解的,兩種作圖方法各有千秋.第一種作法結(jié)合向量減法的定義,第二種作法結(jié)合向量的平行四邊形法則,直接作出從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個向量a、b的差,即a-b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量,第二種作圖方法比較簡捷.2.鑒于上述情況,教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合向量減法的幾何意義,注意差向量的方向,也就是箭頭的方向不要搞錯了,a-b的箭頭方向要指向a,如果指向b則表示b-a,在幾何證明題目中,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關(guān)系.

第三篇：高中數(shù)學(xué) 2.2.1向量的加法運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版必修4

2.2.1《向量的加法運(yùn)算及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計(jì)

教材版本：人民教育出版社A版，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材，數(shù)學(xué)必修4

教學(xué)內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)必修4，第二章《平面向量》第二節(jié)向量的加法運(yùn)算及其幾何意義第1課時

一、教學(xué)目標(biāo)

知識目標(biāo)：理解向量加法的含義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則 作出兩個向量的和；掌握向量加法的交換律與結(jié)合律，并會用它們進(jìn)行向量運(yùn)算．

能力目標(biāo)：經(jīng)歷向量加法概念、法則的建構(gòu)過程，感受和體會將實(shí)際問題抽象為 數(shù)學(xué)概念的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力．

情感目標(biāo)：經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)來描述和刻畫現(xiàn)實(shí)世界的過程，體驗(yàn)探索的樂趣，激發(fā) 學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的個性品質(zhì)．

二、重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：向量加法的定義與三角形法則的概念建構(gòu)；以及利用法則作兩個向量的和向量． 難點(diǎn)：理解向量的加法法則及其幾何意義．

三、教法學(xué)法

教法運(yùn)用了“問題情境教學(xué)法”、“啟發(fā)式教學(xué)法”和“多媒體輔助教學(xué)法”． 學(xué)法采用以“小組合作、自主探究”為主要方式的自主學(xué)習(xí)模式．

四、教學(xué)過程

新課程理念下的教學(xué)過程是一個內(nèi)容活化、創(chuàng)生的過程，是一個學(xué)生思考、體驗(yàn)的過程，更是一個師生互動、發(fā)展的過程．基于此，我設(shè)定了下面幾個教學(xué)環(huán)節(jié)

一、復(fù)習(xí)回顧

1、向量、平行向量、相等向量的含義是什么？

2、用有向線段表示向量，向量的大小和方向是怎樣反映的？什么叫零向量和單位向量？

二、合作探究

【問題1】如圖，某人從點(diǎn)A到點(diǎn)B，再從點(diǎn)B改變方向到點(diǎn)C，則兩次位移的和可用哪個向量表示？由此可得什么結(jié)論？

學(xué)生活動：學(xué)生討論，集體回答

點(diǎn)評：位移是向量．位移可以相加，所以向量可以進(jìn)行加法運(yùn)算。

2、向量加法的定義

B如圖，已知非零向量a、b，在平面內(nèi)

abAC取一點(diǎn)A，作AB?a，BC?b，則AC叫作a與b的和。兩個向量可以相加，并且兩個向量的和還是一個向量。一般地，求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。

點(diǎn)評：加法的定義其實(shí)是用數(shù)學(xué)的作圖語言來刻畫的，這種方法經(jīng)常出現(xiàn)在幾何中，這一點(diǎn)也更好的體現(xiàn)了向量加法具有的幾何意義和向量數(shù)形結(jié)合的特征．

3、向量加法的運(yùn)算法則

【問題2】上面整個計(jì)算過程中我們作了一個什么圖形？你能不能結(jié)合圖形給這種運(yùn)算法則起個名字？

學(xué)生活動：學(xué)生討論，集體回答

（1）三角形法則：定義中求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則

位移的合成可以看成向量加法三角形法則的物理模型。（2）平行四邊形法則

【問題3】圖1表示橡皮條在兩個力F1和F2的作用下，沿GE方向伸長了EO；圖2表示橡皮條在一個力F的作用下，沿相同方向伸長了相同長度.從力學(xué)的觀點(diǎn)分析，力F與F1、F2之間的關(guān)系如何？ 學(xué)生活動：集體回答

【問題4】通過剛才這個過程你發(fā)現(xiàn)對向量進(jìn)行加法運(yùn)算還可以怎樣進(jìn)行？ 學(xué)生活動：學(xué)生討論，集體回答

點(diǎn)評：以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對角線OC就是a與b的和。我們把這種作兩個向量和的方法叫作向量加法的平行四邊形法則 力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型。

三、例題精解

例

1、已知向量a、b，分別用向量加法的三角形法則與向量加法的平行四邊形法則 作出向量a+b

教學(xué)活動：師板演作圖過程，生集體回答注意事項(xiàng) 小試牛刀

學(xué)生活動：學(xué)生自主解答，生代表展示講解做題過程 點(diǎn)評：使學(xué)生熟練掌握向量加法的兩個運(yùn)算法則

四、模的關(guān)系探究 【問題4】想一想

ab（1）若兩向量互為相反向量,則它們的和是什么?（2）零向量和任一向量a的和是什么?（3）a?b，|a+b|和

a?b的大小關(guān)系如何？何時能取到等號呢？

學(xué)生活動：學(xué)生討論，代表回答

設(shè)計(jì)意圖：通過三角形三邊關(guān)系，讓學(xué)生找出向量的模與他們和的模之間的大小關(guān)系。

五、類比聯(lián)想，探究性質(zhì)

1、你能說出實(shí)數(shù)相加有哪些運(yùn)算律嗎？類比實(shí)數(shù)加法的運(yùn)算律，向量是否也有運(yùn)算律？

2、作圖驗(yàn)證

（1）b+a的結(jié)果與a+b是否相同？（2）(a+b)+c的結(jié)果與a+(b+c)的結(jié)果呢？

學(xué)生活動：學(xué)生討論，代表展示驗(yàn)證過程

設(shè)計(jì)意圖：通過作圖驗(yàn)證，加深學(xué)生對向量加法運(yùn)算律的理解。

3、練一練 根據(jù)圖示填空:

EefDdCg(1)a?b=________(2)c?d=________(3)a?b?d=______(4)c?d?e=______ cAb

Ba設(shè)計(jì)意圖：在訓(xùn)練三角形法則的同時，使同學(xué)們注意到三角形法則推廣到 n 個向量相加的形式．

六、實(shí)際應(yīng)用

例

2、長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸.如圖所示,一艘船從長江南岸A點(diǎn)出發(fā),以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度為向東2km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度(保留兩個有效數(shù)字)(2)求船實(shí)際航行的速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示,精確到度).變式訓(xùn)練

船在靜水 的速度是6Km/s,水流的速度是3Km/s,則要使船到對岸的路程最短，它應(yīng)該朝那個方向前進(jìn)？船的實(shí)際速度是多少？

設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)學(xué)生對向量加法運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用能力。

六、小結(jié)（這節(jié)課我學(xué)會了什么？）本環(huán)節(jié)有課堂小結(jié)和作業(yè)布置兩部分內(nèi)容： 課堂小結(jié)：

【問題6】同學(xué)們想一想：本節(jié)課你有些什么收獲呢？留給你印象最深的是什么？作為課堂的延伸，你課后還想作些什么探究？

作業(yè)布置：

1、化簡

(1)AB?CD?BC?________(2)MA?BN?AC?CB?________(3)AB?BD?CA?DC?________??????

2、一艘船從 A點(diǎn)出發(fā)以23km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水以2km/h的速度向東流求船實(shí)際行駛速度的大小與方向。

第四篇：2017向量減法運(yùn)算及其幾何意義教案.doc

2.2.2 向量減法運(yùn)算及其幾何意義

一、教學(xué)分析

向量減法運(yùn)算是加法的逆運(yùn)算.學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運(yùn)算掌握向量的減法運(yùn)算.因此,類比數(shù)的減法(減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)),首先引進(jìn)相反向量的概念,然后引入向量的減法(減去一個向量,等于加上這個向量的相反向量),通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則,結(jié)合一定數(shù)量的例題,深刻理解向量的減法運(yùn)算.通過闡述向量的減法運(yùn)算,可以轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算,滲透化歸的數(shù)學(xué)思想,使學(xué)生理解事物之間的相互轉(zhuǎn)化、相互聯(lián)系的辨證思想,同時由于向量的運(yùn)算能反映出一些物理規(guī)律,從而加強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系,提高學(xué)生的應(yīng)用意識.二、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能：

了解相反向量的概念；掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義。

2、過程與方法：

通過將向量運(yùn)算與熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，使學(xué)生掌握向量減法運(yùn)算及其幾何意義，并會用它們進(jìn)行向量計(jì)算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法。

3、情感態(tài)度與價值觀：

通過闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運(yùn)算，使學(xué)生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想。

三、重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):向量的減法運(yùn)算及其幾何意義.教學(xué)難點(diǎn):對向量減法定義的理解.四、學(xué)法指導(dǎo)

減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)

合向量的加法運(yùn)算掌握向量的減法運(yùn)算；并利用三角形做出減向量。

五、教學(xué)設(shè)想

（一）導(dǎo)入新課

思路1.(問題導(dǎo)入)上節(jié)課,我們定義了向量的加法概念,并給出了求作和向量的兩種方法.由向量的加法運(yùn)算自然聯(lián)想到向量的減法運(yùn)算:減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù).向量的減法是否也有類似的法則呢?引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究,由此展開新課.思路2.(直接導(dǎo)入)數(shù)的減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算.本節(jié)課,我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運(yùn)算——減法.引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn).（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題

①向量是否有減法？

②向量進(jìn)行減法運(yùn)算,必須先引進(jìn)一個什么樣的新概念？ ③如何理解向量的減法？

④向量的加法運(yùn)算有平行四邊形法則和三角形法則,那么,向量的減法是否也有類似的法則？

活動:數(shù)的減法運(yùn)算是數(shù)的加法運(yùn)算的逆運(yùn)算,數(shù)的減法定義即減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù),因此定義數(shù)的減法運(yùn)算,必須先引進(jìn)一個相反數(shù)的概念.類似地,向量的減法運(yùn)算也可定義為向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算.可類比數(shù)的減法運(yùn)算,我們定義向量的減法運(yùn)算,也應(yīng)引進(jìn)一個新的概念,這個概念又該如何定義? 引導(dǎo)學(xué)生思考,相反向量有哪些性質(zhì)? 由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向,因此a和-a互為相反向量.于是-(-a)=a.我們規(guī)定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四邊形法則

圖1 如圖1,設(shè)向量AB=b,AC=a,則AD=-b,由向量減法的定義,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我們得到a-b的作圖方法.圖2(2)三角形法則

如圖2,已知a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OA=a,OB=b,則BA=a-b,即a-b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量,這是向量減法的幾何意義.討論結(jié)果:①向量也有減法運(yùn)算.②定義向量減法運(yùn)算之前,應(yīng)先引進(jìn)相反向量.與數(shù)x的相反數(shù)是-x類似,我們規(guī)定,與a長度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,記作-a.③向量減法的定義.我們定義

a-b=a+(-b), 即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量.規(guī)定:零向量的相反向量是零向量.④向量的減法運(yùn)算也有平行四邊形法則和三角形法則,這也正是向量的運(yùn)算的幾何意義所在,是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn).提出問題

①上圖中,如果從a的終點(diǎn)到b的終點(diǎn)作向量,那么所得向量是什么? ②改變上圖中向量a、b的方向使a∥b,怎樣作出a-b呢? 討論結(jié)果:①AB=b-a.②略.（三）應(yīng)用示例

如圖3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.圖3

活動:教師讓學(xué)生親自動手操作,引導(dǎo)學(xué)生注意規(guī)范操作,為以后解題打下良好基礎(chǔ);點(diǎn)撥學(xué)生根據(jù)向量減法的三角形法則,需要選點(diǎn)平

移作出兩個同起點(diǎn)的向量.作法:如圖3(2),在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.則BA=a-b,DC=c-d.變式訓(xùn)練

(2006上海高考)在ABCD中,下列結(jié)論中錯誤的是（）A.AB=DC

B.AD+AB=AC

C.AB-AD=BD

D.AD+BC=0 分析:A顯然正確,由平行四邊形法則可知B正確,C中,AB-AD=BD錯誤,D中,AD+BC=AD+DA=0正確.答案:C

例2 如圖4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB嗎?

圖4

活動:本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量,這是用向量證明幾何問題的基礎(chǔ).要多注意這方面的訓(xùn)練,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關(guān)系.解:由向量加法的平行四邊形法則,我們知道AC=a+b, 同樣,由向量的減法,知DB=AB-AD=a-b.變式訓(xùn)練

1.(2005高考模擬)已知一點(diǎn)O到ABCD的3個頂點(diǎn)A、B、C的向量分別是a、b、c,則向量OD等于（）A.a+b+c

B.a-b+c

C.a+b-c

D.a-b-c

圖5 解析:如圖5,點(diǎn)O到平行四邊形的三個頂點(diǎn)A、B、C的向量分別是a、b、c, 結(jié)合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B 2.若AC=a+b,DB=a-b.①當(dāng)a、b滿足什么條件時,a+b與a-b垂直？ ②當(dāng)a、b滿足什么條件時,|a+b|=|a-b|？

③當(dāng)a、b滿足什么條件時,a+b平分a與b所夾的角 ？ ④a+b與a-b可能是相等向量嗎？

圖6 解析:如圖6,用向量構(gòu)建平行四邊形,其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線.由平行四邊形法則,得

AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此問題就可轉(zhuǎn)換為: ①當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線相等？(a、b互相垂直)③當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線平分內(nèi)角？(a、b相等)④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能,因?yàn)閷蔷€方向不同)

點(diǎn)評:靈活的構(gòu)想,獨(dú)特巧妙,數(shù)形結(jié)合思想得到充分體現(xiàn).由此我們可以想到在解決向量問題時,可以利用向量的幾何意義構(gòu)造幾何圖形,轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,這就是數(shù)形結(jié)合解題的威力與魅力,教師引導(dǎo)學(xué)生注意領(lǐng)悟.例3 判斷題:(1)若非零向量a與b的方向相同或相反,則a+b的方向必與a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,則A、B、C三點(diǎn)是一個三角形的三頂點(diǎn).(4)|a+b|≥|a-b|.活動:根據(jù)向量的加、減法及其幾何意義.解:(1)a與b方向相同,則a+b的方向與a和b方向都相同;若a與b方向相反,則有可能a與b互為相反向量, 此時a+b=0的方向不確定,說與a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法則AB+BC=AC,AC與CA是互為相反向量,所以有上述結(jié)論.(3)因?yàn)楫?dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時也有AB+BC+AC=0,而此時構(gòu)不成三角形.(4)當(dāng)a與b不共線時,|a+b|與|a-b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長,其大小不定.當(dāng)a、b為非零向量共線時,同向則有|a+b|>|a-b|,異向則有|a+b|<|a-b|;當(dāng)a、b中有零向量時,|a+b|=|a-b|.綜上所述,只有(2)正確.例4 若|AB|=8,|AC|=5,則|BC|的取值范圍是（）A.[3,8]

B.(3,8)

C.[3,13]

D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)當(dāng)AB、AC同向時,|BC|=8-5=3;(2)當(dāng)AB、AC反向時,|BC|=8+5=13;(3)當(dāng)AB、AC不共線時,3<|BC|<13.綜上,可知3≤|BC|≤13.答案:C 點(diǎn)評:此題可直接應(yīng)用重要性質(zhì)||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.變式訓(xùn)練

已知a、b、c是三個非零向量,且兩兩不共線,順次將它們的終點(diǎn)和始點(diǎn)相連接而成一三角形的充要條件為a+b+c=0.證明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且ab,bc,ca,(1)必要性:作AB=a,BC=b,則由假設(shè)CA=c, 另一方面a+b=AB+BC=AC.由于CA與AC是一對相反向量, ∴有AC+CA=0, 故有a+b+c=0.(2)充分性:作AB=a,BC=b,則AC=a+b,又由條件a+b+c=0, ∴AC+c=0.等式兩邊同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故順次將向量a、b、c的終點(diǎn)和始點(diǎn)相連接成一三角形.（四）課堂小結(jié)

1.先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識:相反向量,向量減法的定義,向量減法的幾何意義,向量差的作圖.2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法,類比,數(shù)形結(jié)合,幾何作圖,分類討論.（五）作業(yè)

第五篇：高中數(shù)學(xué) 2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(二)教案 新人教A版必修1

3.2.2對數(shù)函數(shù)

（二）教學(xué)目標(biāo)：進(jìn)一步理解對數(shù)函數(shù)的定義,掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 教學(xué)重點(diǎn)：掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).教學(xué)過程：

1、復(fù)習(xí)對數(shù)函數(shù)的概念

2、例子：

（一）求函數(shù)的定義域

1． 已知函數(shù)f(x)?lg(x2?3x?2)的定義域是F, 函數(shù)g(x)?lg(x?1)?lg(x?2)的定義域是N, 確定集合F、N的關(guān)系？

2．求下列函數(shù)的定義域：

（1）f(x)?

1（2）log(x?1)?3f(x)?log2x?13x?2

（二）求函數(shù)的值域

f(x)?log2x 2．f(x)?logax 3．f(x)?log2x?[1,2]

x?[1,2]

x2?24.求函數(shù)（1）f(x)?log2(x2?2)（2）f(x)?log

2（三）函數(shù)圖象的應(yīng)用

1的值域 x2?2y?logax y?logbx y?logcx的圖象如圖所示，那么a,b,c的大小關(guān)系是

2.已知y?logm(??3)?logn(??3)?0，m,n為不等于1的正數(shù)，則下列關(guān)系中正確的是（）

（A）1

（1）y?|lgx|（2）y?lg|x|

（四）函數(shù)的單調(diào)性

1、求函數(shù)y?log22(x?2x)的單調(diào)遞增區(qū)間。

y?log1(x2?x?2)

2、求函數(shù)2的單調(diào)遞減區(qū)間

（五）函數(shù)的奇偶性

1、函數(shù)y?log22(x?x?1)(x?R)的奇偶性為[ ] A．奇函數(shù)而非偶函數(shù) B．偶函數(shù)而非奇函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇且偶函數(shù)

（五）綜合

1．若定義在區(qū)間（－1，0）內(nèi)的函數(shù)f(x)?log2a(x?1)滿足f(x)?0，則a的取值范圍（）

(A)(1,1)(B)(1,12](C)(12,??)(D)(0,??)2

課堂練習(xí)：略

小結(jié)：本節(jié)課進(jìn)一步復(fù)習(xí)了對數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì) 課后作業(yè)：略