第一篇：概率論總結(jié)論文

概率論與數(shù)理統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用

摘要：隨機(jī)現(xiàn)象無處不在，滲透于日常生活的方方面面和科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域，概率論就是通過研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律從而指導(dǎo)人們從事物表象看到其本質(zhì)的一門科學(xué)。生活中買彩票顯示了小概率事件發(fā)生的幾率之小，抽簽與體育比賽賽制的選擇用概率體現(xiàn)了公平與不公平，用概率來指導(dǎo)決策，減少錯誤與失敗等等，顯示了概率在人們?nèi)粘Ｉ钪性絹碓街匾?。?shù)理統(tǒng)計在人們的生活中也不斷的發(fā)揮重要的作用，如果沒有統(tǒng)計學(xué)，人們在收集資料和進(jìn)行各項的大型的數(shù)據(jù)收集工作是非常困難的，通過對統(tǒng)計方法的研究，使得我們處理各種數(shù)據(jù)更加簡便，所以統(tǒng)計也是一門很實用的科學(xué)，應(yīng)該受到大家的重視。

關(guān)鍵字：概率、保險、彩票、統(tǒng)計、數(shù)據(jù)、應(yīng)用

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，是對隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律進(jìn)行演繹和歸納的科學(xué)。隨著社會的不斷發(fā)展，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的知識越來越重要,運用抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷已經(jīng)成為現(xiàn)代社會一種普遍適用并且強(qiáng)有力的思考方式。目前，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的很多原理方法已被越來越多地應(yīng)用到交通、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、氣象等各種與人們生活息息相關(guān)的領(lǐng)域。本文將就概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法與思想，在日常生活中的應(yīng)用展開一些討論，,推導(dǎo)出某些表面上并非直觀的結(jié)論，從中可以看出概率方法與數(shù)理統(tǒng)計的思想在解決問題中的高效性、簡捷性和實用性。

一、彩票問題

“下一個贏家就是你！”這句響亮的具有極大蠱惑性的話是大英帝國彩票的廣告詞。買一張大英帝國彩票的誘惑有多大呢？只要你花上1英鎊，就有可能獲得2200萬英鎊！

一點小小的投資竟然可能得到天文數(shù)字般的獎金，這沒辦法不讓人動心，很多人都會想：也許真如廣告所說，下一個贏家就是我呢！因此，自從1994年9月開始發(fā)行到現(xiàn)在，英國已有超過90%的成年人購買過這種彩票，并且也真的有數(shù)以百計的人成為百萬富翁。如今在世界各地都流行著類似的游戲，在我國各省各市也發(fā)行了各種福利彩票、體育彩票，各地充滿誘惑的廣告滿天飛，而報紙、電視上關(guān)于中大獎的幸運兒的報道也熱鬧非凡，因此吸引了不計其數(shù)的人踴躍購買。很簡單，只要花2元的人民幣，就可以擁有這么一次嘗試的機(jī)會，試一下自己的運氣。

但一張彩票的中獎機(jī)會有多少呢？讓我們以大英帝國彩票為例來計算一下。大英帝國彩票的規(guī)則是49選6，即在1至49的49個號碼中選6個號碼。買一張彩票，你只需要選六個 1

號、花1英鎊而已。在每一輪，有一個專門的搖獎機(jī)隨機(jī)搖出6個標(biāo)有數(shù)字的小球，如果6個小球的數(shù)字都被你選中了，你就獲得了頭等獎?？墒?，當(dāng)我們計算一下在49個數(shù)字中隨意組合其中6個數(shù)字的方法有多少種時，我們會嚇一大跳：從49個數(shù)中選6個數(shù)的組合有13983816種方法！

這就是說，假如你只買了一張彩票，六個號碼全對的機(jī)會是大約一千四百萬分之一，這個數(shù)小得已經(jīng)無法想象，大約相當(dāng)于澳大利亞的任何一個普通人當(dāng)上總統(tǒng)的機(jī)會。如果每星期你買50張彩票，你贏得一次大獎的時間約為5000年；即使每星期買1000張彩票，也大致需要270年才一次六個號碼全對的機(jī)會。這幾乎是單個人力不可為的，獲獎僅是我們期盼的偶然而又偶然的事件。

那么為什么總有人能成為幸運兒呢？這是因為參與的人數(shù)是極其巨大的，人們總是抱著撞大運的心理去參加。孰不知，彩民們就在這樣的幻想中為彩票公司貢獻(xiàn)了巨額的財富。一般情況下，彩票發(fā)行者只拿出回收的全部彩金的45%作為獎金返還，這意味著無論獎金的比例如何分配，無論彩票的銷售總量是多少，彩民平均付出的1元錢只能贏得0.45元的回報。從這個平均值出發(fā)，這個游戲是絕對不劃算的。

二、生日概率問題

我們來看一個經(jīng)典的生日概率問題?！緮?shù)學(xué)情境】

每個人都有自己的生日（指一年365天中某一天），隨機(jī)相遇的兩人的生日要在365天中的同一天，即使有也是很湊巧，但如果相聚的人數(shù)增多，可能性會增大；某次隨機(jī)相遇無論男女、老幼，若人數(shù)達(dá)到了50以上，形成一個團(tuán)體（如集會、上課、旅游等）。

【提出問題】

1．隨意指定一個人，你猜某天正好是他的生日，猜對的可能性有多大？ 2，隨意指定二個人，你猜他倆生日是同一天，猜對的可能性有多大？

3．某一團(tuán)體有一群人，我絕對可以肯定至少有2人生日相同，這群人人數(shù)至少要多少？ 4．如果某個隨機(jī)而遇的團(tuán)體有50人以上，我敢打賄，這個團(tuán)體幾乎可以肯定有生日相同的兩個人，你相信嗎？

【問題解決】

1問題1.解：一年有365天，他某天生日概率p＝ 365 ≈0.0027，故猜對的可能性微乎其微。

問題2.解：兩個人生日，總共可能性有365×365種搭配，其中有365種生日相同，故隨

3651意指定二個人，生日相同的概率p= 365?365 = 365 ≈0.0027，故猜對的可能性仍舊微乎其微。

問題3.解：某一團(tuán)體中，絕對肯定至少有2人生日相同，即為必然事件，p＝1。由抽屜原理可知，這群人至少要有366人。

問題4.解：要解決這個概率問題，我們首先來計算一下，50個人生日的搭配一共有多少種可能情況。第一個人生日，可以是一年中任何一天，一共有365種可能情況，而第二、第三及其它所有人生日也都有365種，這樣50個人共有365種可能搭配。如果50人的生日無一相同，那么生日搭配可能情況就少得多了。第一個人有365種可能，第二人因不能與第一個生日相同，只有364種可能，依次類推，如50人生日無一相同，其生日搭配情況只有365×364×363×??×317×316 種只占3655050種情況中的3％，即p＝365?364???317?31636550 ＝3％。即反面推至生日2人相同概率有97％。同理可推算如果某群人有40人，至少兩人生日相同概率有89％，如果有45人至少兩人生日相同的概率達(dá)94％。故這樣賭局，幾乎可以穩(wěn)操勝券。

三、保險賠償問題

目前, 隨著人們的經(jīng)濟(jì)水平越來越高，自身及家人的安全問題、財產(chǎn)安全及養(yǎng)老問題等受到了極大的重視，有一定經(jīng)濟(jì)條件的人紛紛選擇購買保險來給自己一份保障;我們可能就有疑惑, 是保險公司受益還是投保人受益, 誰才是最大受益者? 通過下面這個例子也許他們會明白一些。

某一保險公司, 有3000 個統(tǒng)一年齡層的相同社會階層的人參加保險。在一年內(nèi), 每個人死亡的概率為0.002。每個參加保險的人在1月1 日付12 元保險費, 而當(dāng)他在這一年死亡時, 家屬可從公司領(lǐng)取保險費2000 元, 問保險公司每年盈利的概率是多少? 且獲利不少于10000 元的概率是多少? 乍一看, 很難知道保險公司是否盈利, 但經(jīng)過一系列計算就可以得知保險公司幾乎是必定盈利的!設(shè)X 表示參保的3000 人中一年內(nèi)死亡的人數(shù), 則X 可能的取值有0,1,2,3?3000, 且X 服從B(3000 ,0.002)。用A 表示“保險公司盈利”, B表示“保險公司營利大于10000 元”，由題可知A={3000×12-2000X>0}={X<18},B={3000×12-2000X≥10000}={X≤13}.P(A)= P{X<18}=

Ci?i?017i3000?i=0.999;0.0020.9983000 P(B)=P{x<=13}=

Ci?i?01330000.002i0.9983000?i=0.9964;以上結(jié)果表明, 保險公司盈利的概率高達(dá)0.999944, 而盈利在10000元以上的概率也為0.996408。這也就說明了保險公司非常樂于開展保險業(yè)務(wù)的原因。

上述所列舉的例子, 只是概率論在生活中的幾個非常簡單的應(yīng)用。事實上,這些看似簡單，實則深奧的概率論方法，在國民經(jīng)濟(jì)的某些問題中，對有效地使用人力和物力進(jìn)行科學(xué)管理等方面同樣有著重要作用，在我們整個國家的發(fā)展乃至整個人類社會的進(jìn)步中都起到了至關(guān)重要的作用。

統(tǒng)計學(xué)的思想可歸納為：對某事做出決策之前，必須先收集數(shù)據(jù)，然后利用統(tǒng)計學(xué)技術(shù)分析它，最后做出決策。應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)技術(shù)，不能無視必要的數(shù)學(xué)知識，但作為本課程，即社會經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計學(xué)的原理來說，嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證完全是沒有必要的。因此，在教育教學(xué)過程中，避開繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，把重點放在統(tǒng)計方法在學(xué)校教育領(lǐng)域中的應(yīng)用。這才能充分發(fā)揮心理與教育統(tǒng)計學(xué)的社會價值。

我們身邊的概率問題還有很多, 需要我們不斷地去發(fā)現(xiàn), 最大限度地挖掘概率論方法的潛能,使之更好地為人類服務(wù)。同時，通過學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計，使我們更加發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題種類繁多，解題思路千差萬別但是應(yīng)用起來靈活而方便，而要學(xué)好數(shù)學(xué)，最重要的一點就是要能夠做到靈活地應(yīng)用所學(xué)知識去解決各種數(shù)學(xué)問題，也就是真正做到“學(xué)得活，用得巧”，使數(shù)學(xué)能夠更多的為我們服務(wù)。

第二篇：概率論章節(jié)總結(jié)

第一章考核內(nèi)容小結(jié) 種類相加，步驟相乘 排列（數(shù)）：從n個不同的元素中，任取其中m個排成與順序有關(guān)的一排的方法數(shù)叫排列數(shù)，記作或。的計算公式為：

排列數(shù)

例如：

（四）組合（數(shù)）：從n個不同的元素中任取m個組成與順序無關(guān)的一組的方法數(shù)叫組合數(shù)，記作或。

=45 例如：

組合數(shù)有性質(zhì)

（1）例如：，（2）

，（3）

（1）A，B，C三事件中，僅事件A發(fā)生-------（3）A，B，C三事件都不發(fā)生--------（5）A，B，C三事件只有一個發(fā)生--------

（2）A，B，C三事件都發(fā)生-------ABC

（4）A，B，C三事件不全發(fā)生---------

（6）A，B，C三事件中至少有一個發(fā)生-------A+B+C（1）A，B都發(fā)生且C不發(fā)生

（2）A與B至少有一個發(fā)生而且C不發(fā)生

簡記AB+AC+BC

簡記

（3）A，B，C都發(fā)生或A，B，C都不發(fā)生）（4）A，B，C中最多有一個發(fā)生（5）A，B，C中恰有兩個發(fā)生（6）A，B，C中至少有兩個發(fā)生）（7）A，B，C中最多有兩個發(fā)生

（一）了解隨機(jī)事件的概率的概念，會用古典概型的計算公式

計算簡單的古典概型的概率

（二）知道事件的四種關(guān)系

（1）包含：表示事件A發(fā)生則事件B必發(fā)生

（2）相等：

（3）互斥：與B互斥

（4）對立：A與B對立AB=Φ，且A+B=Ω

（三）知道事件的四種運算

（1）事件的和（并）A+B表示A與B中至少有一個發(fā)生 性質(zhì)：（1）若，則A+B=A（2）且

（2）事件積（交）AB表示A與B都發(fā)生，則AB=B∴ΩB=B且

性質(zhì)：（1）若

（2）

（3）事件的差：A-B表示A發(fā)生且B不發(fā)生

∴

（4）

性質(zhì)

，且A-B=A-AB 表示A不發(fā)生

（四）運算關(guān)系的規(guī)律

（1）A+B=B+A，AB=BA叫交換律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫結(jié)合律（AB）C=A（BC）

（3）A（B+C）=AB+AC叫分配律（A+B）（A+C）=A+BC

叫對偶律

（4）

（五）掌握概率的計算公式

（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

特別情形①A與B互斥時：P（A+B）=P（A）+P（B）

②A與B獨立時：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）

③

推廣P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）

（2）

推廣：

因為，而，而BA與明顯不相容。

特別地，若所以當(dāng)

，則有AB=A

當(dāng)事件獨立時，P（AB）=P（A）P（B）

P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D）

與B，A與，與

均獨立

性質(zhì)若A與B獨立

（六）熟記全概率公式的條件和結(jié)論

若A1，A2，A3是Ω的劃分，則有

簡單情形

熟記貝葉斯公式

若已知，則

（七）熟記貝努利重復(fù)試驗概型的計算公式

第二章考核內(nèi)容小結(jié)

（一）知道隨機(jī)變量的概念，會用分布函數(shù)求概率

（1）若X是離散型隨機(jī)變量，則 P（a

（2）若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，則

P（a

P（a≤x＜b）=F（b）-F（a）

°P{X≤b}=F(b).P（a

°P{X>b}=1-P{X≤b}=1-F(b)

（二）知道離散型隨機(jī)變量的分布律

會求簡單離散型隨機(jī)變量的分布律和分布函數(shù)，且若

則

（三）掌握三種常用的離散型隨機(jī)變量的分布律

（1）X～（0,1）

P（x=k）=

（2）X～B（n,p）

（3）X～P（λ）P（x=k）=

并且知道泊松分布是二項分布當(dāng)n很大，p很小的近似值，且λ=np

（四）知道連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度概念和性質(zhì)，概率密度和分布函數(shù)的關(guān)系及由概率密度求概率的公式。

（1）概率密度f（x）的性質(zhì)

①f（x）≥0

②

（2）分布函數(shù)和概率密度的關(guān)系

（3）分布函數(shù)的性質(zhì) ①F（x）連續(xù)，可導(dǎo)

②F（－∞）＝0，F(xiàn)（+∞）＝1 ③F（x）是不減函數(shù)。（4）概率計算公式：

①P（a

②P（a

（五）掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的三種分布

（1）X～U（a,b）

X～f（x）=

X～F（x）=（2）X～E（λ）

①X～f（x）=

②X～F（x）=（3）X～N（0,1）

①X～

②X～

性質(zhì)：Φ（-x）=1-Φ（x）P（a

①X～

②P（a

（六）會用公式法求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y＝g（x）的分布函數(shù)

（1）離散型

若

且g（x1）,g（x2）, …g（xn）不相同時，有

（2）連續(xù)型

若X～fX（x）,y=g（x）單調(diào)，有反函數(shù)x=h（y）且y的取值范圍為（α,β），則隨機(jī)變

量X的函數(shù)Y=g（x）的概率密度為

當(dāng)α=－∞β=+∞時，則有

簡單情形，若Y＝ax+b則有

Y～fY（y）=

在簡單情形下會用公式法求Y＝ax+b的概率密度。

（3）重要結(jié)論

（i）若X～N（μ,σ2），則有Y＝ax+b時 Y～N（aμ+b,a2σ2）

（ii）若X～N（μ,σ2），則有Y＝

叫X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量。

第三章內(nèi)容小結(jié)

（一）知道二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念和性質(zhì)。（1）（X，Y）～F（X,Y）=P（X≤X,Y≤Y）

=P（-∞＜X≤X,-∞＜Y≤Y）（2）F（X,Y）的性質(zhì)（?。〧（+∞，+∞）=1（ⅱ）F（-∞，Y）=0，F(xiàn)（X，-∞）=0 F（-∞，-∞）=0（3）X～FX（X）=F（X,+ ∞）

Y～FY（Y）=F（+∞,Y）

（二）離散型二維隨機(jī)變量（1）（X，Y）的分布律

性質(zhì)

（2）X的邊緣分布

證明 P1·=P11+P12+…P1N，P2·=P21+P22+…P2N，… pm·=pm1+pm2+…pmn

（3）Y的分布律

證 P·1=P11+P21+…pm1，P·2=P21+P22+…pm2，… P·N= P1N+P2N+…+pmn

（4）X，Y獨立的充要條件是：

X，Y獨立P（X=xi,Y=yj）=P（X=xi）P（Y=yj）

（i=1,2,…,M；j=1,2,…,N）判斷離散性隨機(jī)變量X，Y是否獨立。

（5）會求 Z=X+Y的分布律

（三）二維連續(xù)型隨機(jī)變量（1）若

已知 f（X,Y）時，會用上式求F（X,Y）

性質(zhì)

（2）

已知F（X,Y）時，會用上式求f（X,Y）

（3）會用公式

求（X，Y）在區(qū)域D上取值的概率。

（4）會用公式

分別求X，Y的概率密度（邊緣密度）（5）會根據(jù)X，Y獨立 判斷連續(xù)型隨機(jī)變量X，Y的獨立性。（6）知道兩個重要的二維連續(xù)隨機(jī)變量 ①（X，Y）在D上服從均勻分布

S是D的面積

X，Y獨立（7）若X，Y獨立，且

則

第四章小結(jié)

本章的考核內(nèi)容是

（一）知道隨機(jī)變量的期望的定義和計算公式，性質(zhì)。

（1）離散型：

（2）連續(xù)型：

（3）

（4）

期望的性質(zhì)：（1）E C=C（2）E（kX）=kEX（3）E（X±Y）=EX±EY（4）X,Y獨立時，E（XY）＝（EX）（EY）

（二）知道方差的概念和計算公式以及方差的性質(zhì)

∴X是離散型隨機(jī)變量時

X是連續(xù)型隨機(jī)變量時

（2）計算公式

（3）性質(zhì)

①DC＝0

②

③D（X±Y）=DX+DY±2E[(X-EX)(Y-EY)]

=DX+DY±2Cov(X,Y)

∴X,Y獨立X,Y不相關(guān)時D(X±Y)=DX+DY

Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]

計算公式Cov(X,Y)=E(XY)－(EX)(EY)

相關(guān)系數(shù)

定理X，Y獨立

X，Y不相關(guān)（）

特別情形X，Y正態(tài)，則有

X，Y獨立X，Y不相關(guān)

第五章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

或

并且會用切比雪夫不等式估計事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。

（二）知道貝努利大數(shù)定律

其中n是試驗次數(shù)，m是A發(fā)生次數(shù)，p是A的概率，它說明試驗次數(shù)很多時，頻率近似于概率。

（三）知道切比雪夫不等式大數(shù)定律

它說明在大量試驗中，隨機(jī)變量

（四）知道獨立同分布中心極限定理

取值穩(wěn)定在期望附近。

若

記Yn～Fn（x），則有

它說明當(dāng)n很大時，獨立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)N（nμ,nσ2）所以，無論n個獨立同分布的X1,X2,…Xn服從何種分布，n很大時，X1+X2+…Xn卻近似正態(tài)N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理

若Zn表示n次獨立重復(fù)事件發(fā)生次數(shù)，即

Zn～B（n,p）,則有

即Zn近似正態(tài)N（np,np（1-p）2）。并會用中心極限定理計算簡單應(yīng)用問題。

第六章章小結(jié)

本章的基本要求是

（一）知道總體、樣本、簡單樣本和統(tǒng)計量的概念

（二）知道統(tǒng)計量和s2的下列性質(zhì)。

E（s2）=σ2

（三）若x的分布函數(shù)為F（x），分布函數(shù)為f（x），則樣本（x1,x2,…xn）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x1）F（x2）…F（xn）樣本（x1,x2,…xn）的聯(lián)合分布密度為f（x1）f（x2）…f（xn），樣本（x1,x2,…xn）的概率函數(shù)，p（x1,x 2 ,…xn）=p（X=x1）p（X=x2）…p（X=xn）因而順序統(tǒng)計量x（1），…x（n）中

X（1）的分布函數(shù)為1-（1-F（x））n

X（n）的分布函數(shù)為[F（x）]n

（四）掌握正態(tài)總體的抽樣分布

若X～N（μ，σ2）則有

（1）

（2）

（3）

（4）若

=>

當(dāng)時。

（五）知道樣本原點矩與樣本中心矩的概念

第七章章小結(jié)

本章考核要求為

（一）點估計

（1）知道點估計的概念

（2）會用矩法求總體參數(shù)的矩估計值，主要依據(jù)是

（3）會用最大似然估計法求總體參數(shù)的估計值。

基本方法是由樣本x1，x2，x3，…，xn構(gòu)造一個似然函數(shù)或似然函數(shù)的對數(shù) L（x1，x2，x3，…，xn，）=P（X=x1）P（X=x2）…P（X=xn）L（x1，x2，x3，…，xn，）=f（x1）f（x2）…f（xn）

。是

然后由ln L（x1，x2，x3，…，xn，）取最大的值時的值為的值，即

L的最大值點。

（二）點估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)

（1）若

（2）若

（3）若

就說是的相合估計，則是的無偏估計。都是的無偏估計，且。

就說

有效。

以上三條標(biāo)準(zhǔn)中主要掌握無偏估計和有效估計

（三）區(qū)間估計

（1）知道區(qū)間估計的概念

（2）會求一個正態(tài)總體的參數(shù)的置信區(qū)間。公式見表7-1

第八章小結(jié)

（一）理解假設(shè)檢驗的基本思想，知道假設(shè)檢驗的步驟。

（二）知道兩類錯誤

（三）掌握單個正態(tài)總體的均值和方差的檢驗方法，并會簡單應(yīng)用，這是本章主要重點。

（四）兩個正態(tài)總體

（1）

（2），會檢驗

第九章小結(jié)

本章考核要求：

（一）會根據(jù)樣本（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）求y與x的線性回歸方程

其中

（二）會用F檢驗法判斷y與x的線性關(guān)系是否明顯

第三篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程結(jié)業(yè)論文

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程結(jié)業(yè)論文

學(xué)院：生命科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 專業(yè)：生物工程

班級：生工5班

姓名：學(xué)號：1401410536

摘要：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程已經(jīng)結(jié)束，通過本學(xué)期的學(xué)習(xí)，了解了該課程其它課程的聯(lián)系以及其在生活中的應(yīng)用。清楚了概率在生活中的重要意義。同時也使我掌握了一種新的學(xué)習(xí)方法，讓我在之后的學(xué)習(xí)中更加游刃有余。關(guān)鍵字：課程簡介 實際應(yīng)用 學(xué)習(xí)心得 課程建議 正文：

一、課程簡介

隨著學(xué)習(xí)的深入，我們在大一下學(xué)期開了《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》這一門課。概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，其理論與方法的應(yīng)用非常廣泛，幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、國民經(jīng)濟(jì)以及我們的日常生活。學(xué)習(xí)這門課，不僅能培養(yǎng)我們的理論學(xué)習(xí)能力，也能在日后給科研及生活提供一種解決問題的工具。說實話，這門課給我的第一印象就是它可能很難很抽象，很難用于實際生活中，并且對于這門課的安排與流程我并沒有太確切的認(rèn)識。但在第一節(jié)課上聽了老師的講解我才理出了一些頭緒。這門課分為概率論與數(shù)理統(tǒng)計兩個部分，其中概率論部分又是數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)。我們所要課程就是圍繞著這兩大部

分來學(xué)習(xí)的。

二、在實際中的應(yīng)用

1、抽獎問題 生活中抽獎的越來越多。商場中，各種活動，各種抽獎令人眼花繚亂；各種彩票更是層出不窮。通過學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》這門課程，我們能夠計算出中獎的的概率，同時在一些問題的處理中，我們也可以通過計算某一事件發(fā)生的概率進(jìn)而個人或企業(yè)的決策。

2、保險問題

目前,保險問題在我國是一個熱點問題。保險公司為各企業(yè)、各單位和個人提供了各種各樣的保險保障服務(wù),人們總會預(yù)算某一業(yè)務(wù)對自己的利益有多大, 會懷疑保險公司的大量賠償是否會虧本，我們可以通過中心極限定理說明它在這一方面的應(yīng)用。

3、經(jīng)濟(jì)管理學(xué)問題

在經(jīng)濟(jì)管理決策中的應(yīng)用 在進(jìn)行經(jīng)濟(jì)管理決策之前,往往存在不確定的隨機(jī)因素,從而所作的決策有一定的風(fēng)險,只有正確、科學(xué)的決策才能達(dá)到以最小的成本獲得最大的安全保障的總目標(biāo),才能盡可能節(jié)約成本。利用概率統(tǒng)計知識可以獲得合理的決策,從而實現(xiàn)這個目標(biāo)。下面以數(shù)學(xué)期望、方差等數(shù)字特征為例說明它在經(jīng)濟(jì)管理決策中的應(yīng)。

4、經(jīng)濟(jì)損失估計問題

在經(jīng)濟(jì)損失估計中的應(yīng)用 隨著經(jīng)濟(jì)建設(shè)的高速發(fā)展火災(zāi)、車禍等各種意外事故所造成的經(jīng)濟(jì)損失成明顯上升的趨勢,從而買保險成為各單位及個人分擔(dān)經(jīng)濟(jì)損失的一種有效方

法。利用統(tǒng)計知識可以估計各種意外事故發(fā)生的可能性以及發(fā)生后導(dǎo)致的經(jīng)濟(jì)損失大小?？梢酝ㄟ^參數(shù)估計說明它在這一方面的應(yīng)用。

5、在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

在求解最大經(jīng)濟(jì)利潤問題中的應(yīng)用 如何獲得最大利潤是商界永遠(yuǎn)追求的目標(biāo),隨機(jī)變量函數(shù)期望的應(yīng)用為此問題的解決提供了新的思路。比如課本中期望一節(jié)中例四，通過計算家用電器收費Y的期望來預(yù)測商家的收入。

三、學(xué)習(xí)心得： 如今經(jīng)過了一學(xué)期的學(xué)習(xí)，在收獲了不少知識的同時也頗有些心得體會。首先，它給我們提供了一種解決問題的的新方法。我們在解決問題不一定非要從正面進(jìn)行解決。在某些情形下，我們可以進(jìn)行合理的估計，然后再去解決有關(guān)的問題。并且，概率論的思維方式不是確定的，而是隨機(jī)的發(fā)生的思想。其次，在這門課程學(xué)習(xí)中，我意識到其實概率論與數(shù)理統(tǒng)計才是與生活緊密相連的。它用到高數(shù)的計算與思想，卻并不像高數(shù)那樣抽象。而且老師所講例題均與日常生產(chǎn)和生活相關(guān)，讓我明白了日常生產(chǎn)中如何應(yīng)用數(shù)學(xué)原理解決問題，我想假設(shè)檢驗便是很好的詮釋。最后，概率論與數(shù)理統(tǒng)計應(yīng)該被視為工具學(xué)科，因為它對其他學(xué)科的學(xué)習(xí)是不可少的。它對統(tǒng)計物理的學(xué)習(xí)有重要意義，同時對于學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)學(xué)的人在探究某些經(jīng)濟(jì)規(guī)律也是十分重要的。總之，通過學(xué)習(xí)這門課程，我們可以更理性的對待生活中的一

些問題，更加謹(jǐn)慎的處理某些問題。最后，感謝老師半學(xué)期來的辛苦教學(xué)與諄諄教導(dǎo)。

四、對本課程的建議 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程已經(jīng)結(jié)束了，在學(xué)習(xí)期間我們學(xué)習(xí)到了很多了的知識和一些新的學(xué)習(xí)方法，胡老師的板書既漂亮又工整。下面是我對老師您和該課程的建議。

1、讓我們輕松接受知識。雖然大學(xué)是學(xué)生自學(xué)為主，老師為輔，不過還是希望老師能夠在上課多多和我們交流，雖不能說是談笑風(fēng)生，但是還是希望老師能夠多笑點，這樣課堂氣氛才更加活躍，我們才能更好的學(xué)習(xí)。

2、師生互動，一同學(xué)習(xí)，一起進(jìn)步。老師在授課的過程中，多和我們交流，了解我們的學(xué)習(xí)情況，根據(jù)我們的學(xué)習(xí)進(jìn)展并結(jié)合自己設(shè)計的進(jìn)度，協(xié)調(diào)性的授課。

3、主次分明，重點多講，難點簡化。對于重點的知識點，要進(jìn)行重點的講，同時在授課的過程中，不斷的與同學(xué)進(jìn)行交流，重點可以多講幾遍的。對于難點，適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行簡化，使之成為簡化的、易懂的知識。

結(jié)束語：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程已經(jīng)結(jié)束，相信在以后的學(xué)習(xí)、生活和工作中，我都能不斷的利用該課程中學(xué)習(xí)到的知識不斷的解決實際問題。同時在其他的課程中，也能夠利用該課程中的學(xué)習(xí)方法，更好的學(xué)習(xí)其他課程。

第四篇：概率論教案

西南大學(xué)本科課程備課教案 2015 —2016 學(xué)年第 1 學(xué)期

（理論課程類）

課 程 名 稱 概率論

授課專業(yè)年級班級 統(tǒng)計專業(yè) 2014 級 教 教

師 師

姓 職

名 稱

凌成秀 講師

I

數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院

課程性質(zhì)

?專業(yè)必修

□專業(yè)選修

□公共必修

□通識教育選修

概率論是統(tǒng)計專業(yè)本科生的一門建立在微積分、基本代數(shù)知識基礎(chǔ)上的重要

課程簡介

專業(yè)課程，是繼續(xù)學(xué)習(xí)、研究統(tǒng)計學(xué)及其應(yīng)用的一門重要課程。該課程旨在 如何刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，包括隨機(jī)事件及其概率，隨機(jī)變量及其分 布，隨機(jī)變量的數(shù)字特征、特征函數(shù)、極限定理等。本課程總學(xué)時 5*18=90 節(jié)。

教材

孫榮恒《應(yīng)用概率論》第二版，2005，科學(xué)出版社

（總學(xué)時）

教學(xué)方式 講授式、啟發(fā)式、研究型、收集網(wǎng)絡(luò)小論文探究式

使用教具 黑板、粉筆

[1] 《概率論基礎(chǔ)》第三版，李賢平著，高等教育出版社，2010.[2] 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第四版，盛驟，謝式千，潘承毅 著，高等教育出 版社，2010.[3] 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題全解指南》第四版，盛驟，謝式千，潘承毅 著，高等教育額出版社，2010.[4] Probability Essentials(Second edition), Jean Jacod and Philip Protter, Springer,2004.[5]《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》第二版,茆詩松 程依明、濮曉龍，高等教育出 版社，2000.參考書目及文獻(xiàn)（或互聯(lián)網(wǎng)網(wǎng)址）

考核方式 閉卷筆試

II

隨機(jī)事件及其概率

第一章 隨機(jī)事件及其概率

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是從數(shù)量化的角度來研究現(xiàn)實世界中一類不確定現(xiàn)象（隨機(jī)現(xiàn) 象）規(guī)律性的一門應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，20 世紀(jì)以來，廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)及 醫(yī)學(xué)技術(shù)等各個領(lǐng)域.本章介紹的隨機(jī)事件與概率是概率論中最基本、最重要的 概念之一.第一、二節(jié) 隨機(jī)事件及其關(guān)系與運算

教學(xué)內(nèi)容： 隨機(jī)事件是本課程的最基礎(chǔ)的概念，主要涉及到包括確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象、樣本空間、樣本點、隨機(jī)事件等定義；以及事件的包含、相等、互不 相容（互斥）、互為對立等關(guān)系；事件的和、積、差、逆等運算的定義；事件的 運算律、文氏圖等；事件序列的極限。會用簡單事件通過其關(guān)系與運算將復(fù)雜事 件表示出來。重點難點：

隨機(jī)事件的定義；互不相容、互為對立、互逆事件的判別；用簡單事件通過其運 算將復(fù)雜事件表示出來；事件的恒等式證明；事件序列的極限關(guān)系 教學(xué)目標(biāo)：

會判斷給出的現(xiàn)象是否為隨機(jī)現(xiàn)象；會寫隨機(jī)試驗的樣本空間；會判別隨機(jī)事件 的類型；熟悉事件關(guān)系與運算的定義；熟悉事件的運算律、會作文氏圖；能判別 事件的互不相容、互為對立、互逆等關(guān)系；能用事件的運算關(guān)系將復(fù)雜事件表示 出來；掌握事件的不等式、恒等式證明 教學(xué)過程：

1、確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象。確定性現(xiàn)象：在一定的條件下必然發(fā)生某種結(jié)果的現(xiàn)象。例如：（1）重物在高處必然下落；（2）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下純水加熱到 100 攝氏度時必然會沸騰；

（3）異性電荷必相互吸引。隨機(jī)現(xiàn)象（偶然性現(xiàn)象）：在一定的條件下，有多種可能結(jié)果發(fā)生，事前人們不 能預(yù)言將有哪個結(jié)果會出現(xiàn)的現(xiàn)象，但大量重復(fù)觀察時具有某種規(guī)律性。如：（1）從一大批產(chǎn)品中任取一個產(chǎn)品，它可能是合格品，也可能是不合格品；（2）一門炮向一目標(biāo)射擊，每次射擊的彈落點一般是不同的，事前無法預(yù)料。2、隨機(jī)試驗與樣本空間。

試驗：我們把對自然現(xiàn)象的一次觀察或一次科學(xué)試驗統(tǒng)稱為試驗。隨機(jī)試驗：一個試驗若滿足條件

（1）在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行；

（2）每次試驗的結(jié)果不止一個，并能事先明確試驗的所有可能結(jié)果；

1隨機(jī)事件及其概率

（3）試驗前不知道哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。

則稱這樣的試驗為隨機(jī)試驗，用 表示。

樣本空間：隨機(jī)試驗所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果的集合稱為樣本空間。用? 表 示。

樣本點：隨機(jī)試驗的每一個可能出現(xiàn)的基本結(jié)果稱為樣本點，常用 表示。

3、隨機(jī)事件

隨機(jī)事件：由隨機(jī)試驗的某些樣本點做成的集合稱為隨機(jī)事件，簡稱事件。用大寫英文字母、、、…表示。在隨機(jī)試驗中隨機(jī)事件可能發(fā)生，也 可能不發(fā)生。稱某個事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的某個樣本點出現(xiàn)。1）基本事件：只包含一個樣本點的事件，記為{w}。

2）不可能事件：一個樣本點都不包含的集合，記為?。不可能事件在試驗中 一定不會發(fā)生。

3）必然事件：包含所有樣本點的集合，記為?。必然事件在試驗中一定會發(fā) 生。

一般事件（復(fù)合事件）：由不止一個樣本點做成的事件。例 1 以下哪些試驗是隨機(jī)試驗？

（1）拋擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)的是正面在上還是反面在上；（2）記錄某電話機(jī)在一天內(nèi)接到的呼叫次數(shù)；

（3）從一大批元件中任意取出一個，測試它的壽命；（4）觀察一桶汽油遇到明火時的情形；

（5）記錄一門炮向某一目標(biāo)射擊的彈著點位置；

解：（1）（2）（3）（5）是隨機(jī)試驗，（4）不是隨機(jī)試驗 例 2：寫出下列隨機(jī)試驗的樣本空間。

（1）拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)；（2）拋擲二次硬幣，觀察出現(xiàn)的結(jié)果；

（3）記錄某汽車站在 5 分鐘內(nèi)到達(dá)的乘客數(shù)；（4）從一批燈泡中任取一只，測試其壽命；（5）記錄一門炮向其目標(biāo)射擊的彈落點；（6）觀察一次地震的震源； 解：（1）1 ? ?1，2，3，4，5，6?

? ；

（2）? ? ?（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）? ；（3）? ? 01 2 3...?；

?，（4）? 0?

?4 ? x x ? ,其中 x 表示燈泡的壽命；（5）

? ,?

（x，y x y ,其中 x、y 分別表示彈著

? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? 5 ? ?)，點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)；

2? ? ?

（6）?

? ?（，,)? , 0 ,其中 x、y、z 分別表 5 x y z ? ? x ? ?,? ? y ? z ?

? 2

?

示震源的經(jīng)度、緯度、離地面的深度。

例 3 拋擲一個骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。用 A 表示“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，B 表示“出現(xiàn)的點數(shù)大于 4”，C 表示“出現(xiàn)的點數(shù)為 3”,D 表示“出現(xiàn)的點 數(shù)大于 6”，E 表示“出現(xiàn)的點數(shù)不為負(fù)數(shù)”，（1）寫出實驗的樣本空間；（2）用樣本點表示事件 A、B、C、D、E；（3）指出事件 A、B、C、D、E 何 為基本事件，何為必然事件，何為不可能事件。解：

（1）? ? ?1，2，3，4，5，6?；（2）A ? ?1，3，5?，B ? ? 5,6 ?，C ? ? 3 ?，D ? ?，E ? ?1，2，3，4，5，6?（3）C 為基本事件，E 為必然事件，D 為不可能事件 討論題：請給出現(xiàn)實生活中隨機(jī)現(xiàn)象的一個例子。

4、事件的關(guān)系與運算

因為事件是樣本空間的一個集合, 故事件之間的關(guān)系與運算可按集合之間 的關(guān)系和運算來處理.1）事件之間的關(guān)系與簡單運算

設(shè) A、B 為試驗 E 的二事件，（1）子事件（事件的包含）：若 A 中的每一個樣本點都包含在 B 中，則記為，也稱事件 A 是事件 B 的子事件，或事件 B 包含了事件 A。此時事件 A 發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B 發(fā)生。顯然，對任意事件 A，有（2）事件的相等：若 等價的，記為。

且，則稱事件 A 與事件 B 是相等的，或稱

（3）事件的和（并）：用 A ? B 表示屬于 A 或?qū)儆?的樣本點的集合，稱之 為 與 的和（并）事件。事件

表示事件 與事件 B 至少有一個發(fā)生。

（4）事件的積（交）：用 A ? B（或 AB）表示同時屬于 A 與 B 的樣本點的 集合，稱為 A 與 的積（交）事件。事件 AB 表示事件 A 與事件 B 同時發(fā)生 的事件。

（5）事件的互不相容（互斥）：若 AB ? ?，則稱為事件 A 與事件 B 互不相 容。即 A 與 B 不能同時發(fā)生。

當(dāng) 與 B 互不相容時，記為。

（6）事件的差：用 A ? B 表示包含在 A 中而不包含在 B 中的樣本點的全體，稱為事件 與事件 的差。事件 A ? B 表示 A 發(fā)生而 B 不發(fā)生的事件。

第五篇：概率論課外作業(yè)（范文）

大數(shù)定律與中心極限定理在實際中的應(yīng)用

大數(shù)定律闡明了大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果具有穩(wěn)定性，證明了在大樣本條件下，樣本平均值可以看作總體平均值，它是“算術(shù)平均值法則"的基本理論，在現(xiàn)實生活中，經(jīng)?？梢娺@一類型的數(shù)學(xué)模型。例如：在分析天平上秤重量為a的物品，若以x1,x2,x3,...,xn表示n次重復(fù)稱

1n量的結(jié)果，經(jīng)驗告訴我們，當(dāng)n充分大時，它們的算術(shù)平均值?xi與

ni?1a的偏差就越小。

中心極限定理比大數(shù)定律更為詳細(xì)具體，它以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式闡明了在大樣本條件下，不論總體分布如何，樣本均值總是服從或是近似的服從正態(tài)分布。正是這個結(jié)論使得正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計和誤差分析中占用特殊的地位，是正態(tài)分布得以廣泛應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理，稱為大數(shù)定律。

切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X具有有限數(shù)學(xué)期望?和方差?2，?2則對于任意正數(shù)?，如下不等式成立 P????????2。

?切比雪夫不等式的應(yīng)用：在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下，只利用X的期望和方差，即可對X的概率分布進(jìn)行估值。

例1 已知正常男性成人血液中，每毫升白細(xì)胞數(shù)的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估計每毫升血液含白細(xì)胞數(shù)在5200～9400之間的概率。

?(X)= 解 設(shè)X表示每毫升血液中含白細(xì)胞個數(shù)，則E（X）=7300，D(X)=700 則P{ 5200?X?9400}=P{ X?7300?2100}=1-P{ X?7300>2100}

70021??? 而P ?X?7300?2100221009所以P ?5200?X?9400??

概率論中有關(guān)論證獨立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。

獨立同分布的中心極限定理：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,...,Xn相互獨立，服從同一分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望?和方差?2，則隨機(jī)變量

89Y??Xi?1ni?n?n?的分布函數(shù)Fn(x)滿足如下極限式

?n?Xt2?i???x1??limFn(x)?limP?i?1?x???e2dt ??2??n??????定理的應(yīng)用：對于獨立的隨機(jī)變量序列{Xn }，不管Xi(i=1，2，?，n)服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n充分大時，這些隨機(jī)變量之和?Xi近似地服從正態(tài)分

i?1n布N(n?,n?2)。

二項分布的極限分布是正態(tài)分布即如果X～B(n，p)則

t???n?np??b1?2P?a??b???edt??(b)??(a)anp(1?p)2?????2例2 現(xiàn)有一大批種子，其中良種占1／6，今在其中任選60O0粒，試分別用切比雪夫不等式估計和用中心極限定理計算在這些種子中

良種所占的比例與1／6之差小于l％的概率是多少? 解

設(shè)取出的種子中的良種粒數(shù)為X，則 X～B(6000，)于是

E(X)?np?6000?1?1000616155D(X)?np(1?p)?6000????1000

666(1)要估計的規(guī)律為P??X11?????P?X?1000?60?，相當(dāng)60006100??于在切比雪夫不等式中取?=60，于是

?X11?D(X)??P????PX?1000?60?1??26000610060??由題意得1?D(X)51?1??1000??1?0.2315?0.7685 26063600即用切比雪夫不等式估計此概率不小于0.7685(2)由中心極限定理，對于二項分布(6000，)可用正態(tài)分布N(1000，5?1000)近似，于是所求概率為 616?X?1???(1060?1000)??(940?1000)P???0.01??P?940?X?10601000?5/61000?5/6?60006?從本例看出．用切比雪夫不等式只能得出來要求的概率不小于0.7685．而用中心極限定理可得出要求的概率近似等于0.9625．從而知道由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的．但由于它的要求比較低，只要知道X的期望和方差，因而在理論上有許多運用．

當(dāng)Xi獨立同分布(可以是任何分布)，計算P(a?X1?X2?...?Xn?b)的概率時，利用中心極限定理往往能得到相當(dāng)精確的近似概率，在實際問題上廣泛運用．

例3某單位有200臺電話分機(jī)，每臺有5％的時間要使用外線通話，假定每臺分機(jī)是否使用外線是相互獨立的，問該單位總機(jī)要安裝多少條外線，才能以90%以上的概率保證分機(jī)用外線時不等待？

解

設(shè)有X部分機(jī)同時使用外線，則有X～B(n，P)，其中n=200，P=0.05，np=10，np(1?p)?3.08 設(shè)有N條外線．由題意有P{X?N}?0．9 有

P?X?N??P???X?np???np(1?p)N?np?N?npN?10???()??()?3.08np(1?p)?np(1?p)?N?10?1.28 3.08查表得?(1.28)=0．90，故N應(yīng)滿足條件即N?13.94，取N=14，即至少要安裝14條外線．

參考文獻(xiàn)：

[1]莊楚強(qiáng).吳亞森．應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)[M]．廣州：華南理工大學(xué)出版社，2002．

[2]黃清龍.阮宏順．概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2005．

[3]賈兆麗．概率方法在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用[J]．安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2002，19(1)：75—76．

[4]周少強(qiáng)．大數(shù)定律與中心極限定理之問的關(guān)系[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2001(1)：15—17．

[5]劉建忠．中心極限定理的一個推廣及其應(yīng)用[J]．華東師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)．2001，18(03)：8-12．

[6]楊桂元．中心極限定理及其在統(tǒng)計分析中的應(yīng)用[J]．統(tǒng)計與信息論壇，2000(03)：13—15．

[7]鐘鎮(zhèn)權(quán)．關(guān)于大數(shù)定律與中心極限定理的若干注記[J]．玉林師范學(xué)院學(xué)報．2001(03)：8一10．

[8]周概容．概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]．北京：高等教育出版社，1984．