第一篇：非線性方程求根的方法簡(jiǎn)介與例題

非線性方程f(x)??求根主要可以采用下面三種方法，下面簡(jiǎn)單介紹下，并附例題，讓解法更一目了然。1)二分法簡(jiǎn)介：

計(jì)算步驟如下：

例題：

2)不動(dòng)點(diǎn)迭代，也叫簡(jiǎn)單迭代。

隱式化為顯式，迭代法是一種逐次逼近法；

其中f(x)???才能滿足上述迭代格式。繼續(xù)迭代。

3)牛頓迭代法，實(shí)際上也叫切線法，是通過下面的方式推導(dǎo)出來的。

上述題目很簡(jiǎn)單，用牛頓法迭代就可以達(dá)到目的。我們先設(shè)f(x)?x?cosx?? 由公式得x?x??x?cosx??sinx

?我們用二分法的原理，我們?nèi)得x???，?x??x??cosx???sinx?x??cosx???sinx?x??cosx???sinx??????????

x??x???????cos???sin???.????

x??x???????cos?.??????sin?.??????.????

x??x?，并具有四位有效數(shù)字，所以只需迭代兩次就可以達(dá)到題目所需的精度要求

第二篇：高等數(shù)學(xué)經(jīng)典方法與典型例題歸納

2014年山東省普通高等教育專升本考試

2014年山東專升本暑期精講班核心講義

高職高專類

高等數(shù)學(xué)

經(jīng)典方法及典型例題歸納

—經(jīng)管類專業(yè)：會(huì)計(jì)學(xué)、工商管理、國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易、電子商務(wù) —理工類專業(yè)：電氣工程及其自動(dòng)化、電子信息工程、機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化、交通運(yùn)輸、計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、土木工程

2013年5月17日星期五

曲天堯

編寫

一、求極限的各種方法

1．約去零因子求極限

x4?1例1：求極限lim

x?1x?1【說明】x?1表明x與1無(wú)限接近，但x?1，所以x?1這一零因子可以約去。

(x?1)(x?1)(x2?1)?lim(x?1)(x2?1)?6=4 【解】limx?1x?1x?12．分子分母同除求極限

x3?x2例2：求極限lim

x??3x3?1【說明】?型且分子分母都以多項(xiàng)式給出的極限,可通過分子分母同除來求。?1?1x3?x21x【解】lim ?lim?x??3x3?1x??3?13x3【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；

??0nn?1ax?an?1x???a0????

(2)limnmm?1x??bx?b???b0?amm?1xn??bnm?nm?n m?n3．分子(母)有理化求極限

例3：求極限lim(x?3?x???2x2?1)

【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無(wú)理式?！窘狻縧im(x?3?x???2x?1)?lim2(x2?3?x2?1)(x2?3?x2?1)x?3?x?122x???

?lim2x?3?x?122x????0

例4：求極限limx?01?tanx?1?sinx 3x2 【解】limx?01?tanx?1?sinxtanx?sinx ?limx?03x3x1?tanx?1?sinx1lim?limx?0tanx?sinx1tanx?sinx1?lim? 33x?0x?024xx1?tanx?1?sinx【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時(shí)分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵 ．．．．．．．．．．．4．應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限

sinx11?1和lim(1?)x?lim(1?)n?lim(1?x)x?e，兩個(gè)重要極限是lim第一個(gè)x?0x??n??x?0xxn重要極限過于簡(jiǎn)單且可通過等價(jià)無(wú)窮小來實(shí)現(xiàn)。主要考第二個(gè)重要極限。

x1?x?1?例5：求極限lim??

x???x?1??【說明】第二個(gè)重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出１，再湊?1，最后湊指數(shù)部分。X2x?11??xx22?1??2?2??x?1??2?????lim1??lim1?1??e【解】lim? ?????x?1????x???x?1x???x???x?1?x?1?????2??????1???x?2a?例6：(1)lim?1?2?；(2)已知lim???8，求a。

x???x????x??x?a?xx5．用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限

【說明】

(1)常見等價(jià)無(wú)窮小有：

1?x)~e?1, 當(dāng)x?0 時(shí),x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?cosx~12bx,?1?ax??1~abx； 2x(2)等價(jià)無(wú)窮小量代換,只能代換極限式中的因式； ．．(3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。．．．．．xln(1?x)?

x?01?cosxxln(1?x)x?x【解】 lim?lim?2.x?01?cosxx?012x2sinx?x例8：求極限lim

x?0tan3x例7：求極限lim

2?1sinx?xsinx?xcosx?112x【解】lim ?lim?lim??lim??322x?0tan3xx?0x?0x?06x3x3x6．用洛必達(dá)法則求極限

lncos2x?ln(1?sin2x)例9：求極限lim 2x?0x?0或型的極限,可通過羅必塔法則來求。?0?2sin2xsin2x?2lncos2x?ln(1?sin2x)cos2x1?sinx 【解】lim?lim2x?0x?0x2x【說明】?limsin2x??21??????3 2x?02x?cos2x1?sinx?【注】許多變動(dòng)上顯的積分表示的極限，常用洛必達(dá)法則求解

?例10：設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(0)?0，求極限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dt.【解】 由于?x0f(x?t)dt?x?t?u0?xf(u)(?du)??f(u)du,于是

0xx00xlimx?0?x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dtx?limx?0x?f(t)dt??tf(t)dtx?f(u)du0x

?=limx?00f(t)dt?xf(x)?xf(x)?x=limx?0??x0x0f(t)dt

0f(u)du?xf(x)xf(u)du?xf(x)?=limx?00f(t)dtxx?f(x)=?x0f(u)duf(0)1?.f(0)?f(0)27．用對(duì)數(shù)恒等式求limf(x)g(x)極限

例11：極限lim[1?ln(1?x)]

x?02x2ln[1?ln(1?x)]x2x【解】 lim[1?ln(1?x)]=limex?0x?0=e4

2ln[1?ln(1?x)]x?0xlim?e2ln(1?x)x?0xlim?e2.【注】對(duì)于1型未定式limf(x)?g(x)的極限，也可用公式

limf(x)g(x)(1?)=elim(f(x)?1)g(x)

因?yàn)?/p>

limf(x)g(x)?elimg(x)ln(f(x))?elimg(x)ln(1?f(x)?1)?elim(f(x)?1)g(x)

1例12：求極限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?.3???????2?cosx?xln??3??【解1】 原式?limx?0ex3?2?cosx?ln???13?? ?limx?0x21（??sinx）l（n2?cox）s?ln32?coxs

?lim ?lim2x?0x?0x2x11sixn1???

??lim2x?02?coxsx6e?2?cosx?xln??3??【解2】 原式?limx?0x3?2?cosx?ln???13?? ?lim2x?0xln（1?

?limx?0cosx?1）cosx?113?lim?? x?03x26x28．利用Taylor公式求極限

ax?a?x?2,(a?0).例13 求極限 lim2x?0xx22?1?xlna?lna??(x2)，2【解】 a?exxlna

a?xx22?1?xlna?lna??(x2);

2?x

a?ax?2?x2ln2a??(x2).5 ax?a?x?2x2ln2a??(x2)2?lim?lna.?

lim22x?0x?0xx例14 求極限limx?0【解】 limx?011(?cotx).xx111sinx?xcosx(?cotx)?lim x?0xxxxsinxx3x23x???(x)?x[1???(x2)]3!2!?lim 3x?0x113?)x??(x3)1?lim2!3!3?x?0x3.(9．?dāng)?shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解

例15：極限lim?nsin??n???1?? n?n2【說明】這是1形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用洛必達(dá)法則，若直接求有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解。

1??【解】考慮輔助極限lim?xsin?x???x??x2?limex???1??x2?xsin?1?x???lime?y?0?1?1?siny?1??2?yy???e

?161??所以，lim?nsin?n??n??n2?e

?1610．n項(xiàng)和數(shù)列極限問題

n項(xiàng)和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算;(2)利用兩邊夾法則求極限.?111????例16：極限lim?22n???n2?22n2?n2?n?1?? ??【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算,是把f(x)看成［0,1］定積分。6 1??1?lim?f???n??n???n??2?f??????n?1?n??f????f(x)dx ??0?n????1?111????【解】原式＝lim?222n??n??1??2??n?1???1????1???nn?????n?????? ?????1012?1 dx??ln222?11?x?? ??1?111????例17：極限lim?2n???n2?2n2?n?n?1【說明】(1)該題遇上一題類似，但是不能湊成lim因而用兩邊夾法則求解；

1??1??f???n??n???n??2?f??????n??n??的形式，f?????n??

(2)兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的?！窘狻縧im??111????2n???n2?2n2?n?n?1?? ??因?yàn)? nn?n2?n1n?12?1n?2nn?122???1n?n2?nn?12

又

limn??n?n2?limn???1

??＝１ ???111????所以 lim?2n???n2?2n2?n?n?111．單調(diào)有界數(shù)列的極限問題

例18：設(shè)數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；

n??1?xn?1?xn2（Ⅱ）計(jì)算lim??.n???xn?

【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限的存在.7 【詳解】

（Ⅰ）因?yàn)??x1??，則0?x2?sinx1?1??.可推得 0?xn?1?sinxn?1??,n?1,2,?，則數(shù)列?xn?有界.于是 xn?1sinxnsinx?x）（因當(dāng)x?0時(shí)，則有xn?1?xn，可見數(shù)列?xn?單??1，xnxnn??調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限limxn存在.設(shè)limxn?l，在xn?1?sinxn兩邊令n??，得 l?sinl，解得l?0，即limxn?0.n??n??11?x?（Ⅱ）因 lim?n?1?n???xn?122xn?sinxn?xn2?，由（Ⅰ）知該極限為1型，?lim??n???xn?1?1??sinx?1?2xx??sinx?x2?1?xlimsinxe???lim?x?0??xx?0?1?lime?x?0x3?e

(使用了洛必達(dá)法則)

?16?x?故 lim?n?1?n???xn?2xn1??sinxn?xn2?lim??e6.?n???xn?1

二、常見不定積分的求解方法的討論

0.引言

不定積分是《高等數(shù)學(xué)》中的一個(gè)重要內(nèi)容，它是定積分、廣義積分、狹積分、重積分、曲線積分以及各種有關(guān)積分的函數(shù)的基礎(chǔ)，要解決以上問題，不定積分的問題必須解決，而不定積分的基礎(chǔ)就是常見不定積分的解法。不定積分的解法不像微分運(yùn)算時(shí)有一定的法則，它要根據(jù)不同題型的特點(diǎn)采用不同的解法，積分運(yùn)算比起微分運(yùn)算來，不僅技巧性更強(qiáng)，而且也已證明，有許多初等函數(shù)是“積不出來”的，就是說這些函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，例如

?1sinx2?xdxdxedx?22?1?ksinx（其中0?k?1）x；；?；lnx等。dx這一方面體現(xiàn)了積分運(yùn)算的困難，另一方面也推動(dòng)了微積分本身的發(fā)展。同時(shí)，同一道題也可能有多種解法，多種結(jié)果，所以，掌握不定積分的解法比較困難，下面將不定積分的各種求解方法分類歸納，以便于更好的掌握、運(yùn)用。

1.不定積分的概念

定義：在某區(qū)間I上的函數(shù)的全體原函數(shù)記為

稱它是函數(shù)

f(x)，若存在原函數(shù)，則稱f(x)為可積函數(shù)，并將f(x)?f(x)dx，為積分符號(hào)，ff(x)在區(qū)間I內(nèi)的不定積分，其中?(x)稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量。

若F(x)為f(x)的原函數(shù)，則：

?f(x)dx=F(x)+C(C為積分常數(shù))。

在這里要特別注意，不定積分是某一函數(shù)的全體原函數(shù)，而不是一個(gè)單一的函數(shù)，它的幾何意義是一簇平行曲線，也就是說：

d(?f(x)dx)和 dx?f?(x)dx

是不相等的，前者的結(jié)果是一個(gè)函數(shù)，而后者是無(wú)窮多個(gè)函數(shù)，所以，在書寫計(jì)算結(jié)果時(shí)一定不能忘記積分常數(shù)。性質(zhì)：

1.微分運(yùn)算與積分運(yùn)算時(shí)互逆的。

注：積分和微分連在一起運(yùn)算時(shí)：

d?——————>完全抵消。

?d ——————>抵消后差一常數(shù)。

?[f(x)?g(x)]dx=?f(x)dx±?g(x)dx。2.兩函數(shù)代數(shù)和的不定積分，等于它們各自積分的代數(shù)和，即：3.在求不定積分時(shí)，非零數(shù)可提到積分符號(hào)外面，即：

?kf(x)dx=k?f(x)dx(k≠0)。

在這里，給出兩個(gè)重要定理：

(1)導(dǎo)數(shù)為0的函數(shù)是常函數(shù)。

(2)若兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)處處相等，則兩函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。以便于更好的解決一些簡(jiǎn)單的不定積分問題。

上面將不定積分的概念以及性質(zhì)做了簡(jiǎn)單的介紹，下面，我們開始討論不定積分的各種求解方法。

2.直接積分法(公式法)從解題方面來看，利用不定積分的定義來計(jì)算不定積分是非常不方便的，利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式從而直接求出不定積分，這種方法就是直接積分法(另稱公式法)。

下面先給出基本求導(dǎo)公式：

???1()'??x(1)(kx)'?k

(2)x(3)(5)

11(lnx)'?

(4)(arctanx)'?1?x2 x11(arcsinx)'?(x)'?(6)logaxlna1?x

(7)(9)(11)(ex)'?ex

(8)(sinx)'?cosx

(cosx)'??sinx

(10)(tanx)'?sec2x

(cotx)'??csc2x。

根據(jù)以上基本求導(dǎo)公式，我們不難導(dǎo)出以下基本積分表：

10(1)?xdx?kdx?kx?C(k是常數(shù))

(2)?x???1??1?C(???1)

(3)

1dx?x?lnx?C

(4)?1?x2dx?arctanx?C

1(5)1?x2xdx?arcsinx?C

(6)

ax?adx?lna?C

x(7)xdx?e?C

(8)?cosxdx?sinx?C

?e2sinxdx??cosx?C

(10)secxdx?tanx?C

?2csc?xdx??cotx?C。(9)

?(11)下面舉例子加以說明：

2(3x?4x?1)dx 例2.1：

求?解

原式=

=

23x?dx??4xdx??dx

3?x2dx?4?xdx??dx

32xx3(?)?4(?C2)?(x?C3)C

1=

=32x?2x?x?C

注意：這里三個(gè)積分常數(shù)都是任意的，故可寫成一個(gè)積分常數(shù)。所以對(duì)一個(gè)不定積分，只要在最后所得的式子中寫上一個(gè)積分常數(shù)即可，以后遇到這種情況不再說明。

例2.2：

求?xdx 2x?12dx(x2?1)?1dx=?dx??2解

原式=? 2x?1x?1

=x?arctanx?C

注：此處有一個(gè)技巧的方法，這里先稱作“加1減1”法，相當(dāng)于是將多項(xiàng)式拆分成多個(gè)單項(xiàng)式，然后利用基本積分公式計(jì)算，下面的例題中還會(huì)遇到類似的題型，遇到時(shí)具體 11 講解。

直接積分法只能計(jì)算較簡(jiǎn)單的不定積分，或是稍做變形就可用基本積分表解決的不定積分，對(duì)于稍微復(fù)雜一點(diǎn)的不定積分便無(wú)從下手，所以，下面我們將一一討論其他方法。

3.第一類換元法(湊微法)利用基本積分公式和積分性質(zhì)可求得一些函數(shù)的原函數(shù)，但只是這樣遠(yuǎn)不能解決問題，如

?sinxcosxdx

2就無(wú)法求出，必須將它進(jìn)行變形，然后就可以利用基本積分公式求出其積分。

如果不定積分

作變量代換u?f(x)dx用直接積分法不易求得，但被積函數(shù)可分解為

f(x)?g[?(x)]??(x)，??(x)，并注意到??(x)dx?d?(x)，則可將關(guān)于變量x的積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于u的積分，于是有

?f(x)dx??g[?(x)]??(x)dx??g(u)du.如果?g(u)du可以求出，不定積分?f(x)dx的計(jì)算問題就解決了，這就是第一類

?(x)?u，最后一個(gè)等號(hào)表示回代換元法(湊微分法)。

注：上述公式中，第一個(gè)等號(hào)表示換元u??(x).下面具體舉例題加以討論

10dx.(2x?1)例3.1：求?110(2x?1)?dx(2x?1)解

原式=?2110d(2x?1)(2x?1)

=?2

1101u111du???C(2x?1)?C 2x?1?u ?u u?2x?1

22221111對(duì)變量代換比較熟練后，可省去書寫中間變量的換元和回代過程。

1d(x).例3.2：求?2x?8x?25解

原式??111?d(x)d(x)22?2x?43(x?4)?9()?11?3?1x?4d()23x?4()?13

1x?4?arctan?C 33 dx例3.3：求?1?x211111??(?)解

? 21?x(1?x)(1?x)21?x1?x11d(1?x)d(1?x)?[???]

??21?x21?x1?x

?1[ln1?x?ln1?x]?C 2

11?x?ln?C 21?x3

dx在這里做一個(gè)小結(jié)，當(dāng)遇到形如：?ax2?bx?c的不定積分，可分為以下中情況：

??ax2?bx?c的：

①?大于0時(shí)?？蓪⒃交癁?x?x1)(x?x2)，2a其中，x、x為x?bx?c?0的兩個(gè)解，則原不定積分為： 113 dx1d(x?x1)d(x?x2)?(x?x1)(x?x2)?(x2?x1)[?(x?x1)??(x?x2)]

1x?x1?ln?C

(x2?x1)x?x2

②?等于0時(shí)。可利用完全平方公式，然后可化成?(x?k)?2d(x?k)。然后根據(jù)?小于0時(shí)。形如例4，可先給分母進(jìn)行配方。然后可根據(jù)基本積分公式(4)便可求基本微分公式(2)便可求解。

③解。例3.4： 求?secxdx

dxcosxdxdsinx????1?sin2x 2cosxcosx解

原式??

dsinx??(1?sinx)(1?sinx)

1dsinxdsinx?[???]

2(1?sinx)(1?sinx)

11?sinx?ln?C 21?sinx2

該題也可利用三角函數(shù)之間的關(guān)系求解：

x?secxtanxsecdx

原式??secx?tanx

1??d(secx?tanx)secx?tanx

?lnsecx?tanx?C.雖然兩種解法的結(jié)果不同，但經(jīng)驗(yàn)證均為secx的原函數(shù)，這也就體現(xiàn)了不定積分的2xdx.cos例3.5：求?解法以及結(jié)果的不唯一性。

解

1?cos2x1?cosxdx??2dx?2(?dx??cos2xdx)2

?11dx?cos2xd(2x)??24xsin2x???C 24例3.6：求6sec?xdx.6解

22xdx?secsec??(secx)xdx??(1?tan2x)d(tanx)

24??(1?2tanx?tanx)d(tanx)

2315?tanx?tanx?tanx?C

35注：當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)的乘積時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分。當(dāng)被積函數(shù)為三角函數(shù)的偶數(shù)次冪時(shí)，常用半角公式通過降低冪次的方法來計(jì)算；若為奇次，則拆一項(xiàng)去湊微，剩余的偶次用半角公式降冪后再計(jì)算。

xdx.100例3.7：求?(x?1)x?1?1dx?解

原式?(x?1)100 22x?11??[?]dx

99100

(x?1)(x?1)x?1?21??[?]dx

99100

(x?1)(x?1)121??[??]d(x?1)9898100(x?1)(x?1)(x?1)15 111?97?98??(x?1)?(x?1)?(x?1)?99?C 974999注：這里也就是類似例2所說的方法，此處是“減1加1”法。

4.第二類換元法

如果不定積分替換?f(x)dx用直接積分法或第一類換元法不易求得，但作適當(dāng)?shù)淖兞縳??(t)后，所得到的關(guān)于新積分變量t的不定積分

?f[?(t)]??(t)dt

可以求得，則可解決設(shè)函數(shù)?f(x)dx的計(jì)算問題，這就是所謂的第二類換元(積分)法。

x??(t)是單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，且??(t)?0，又設(shè)f[?(t)]??(t)具有原F(t)，則

?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt?F(t)?C?F[?(x)]?C，其中?(x)是x??(t)的反函數(shù)。

注：由此可見，第二類換元積分法的換元與回代過程與第一類換元積分法的正好相反。例4.1：求不定積分

?22a?xdx(a?0).解

令2x?asint，則dx?acostdt，t?(??2,?2)，所以

22a(1?cos2t)dt ?2?221aa?(t?sin2t)?C?(t?sintcots)?C

222為將變量t還原回原來的積分變量x，由x?asint作直角三角形，可知a?xdx??acost?acostdt?cost?22a?x，代入上式，得 a?

xxa22?arcsin????C ax?dxax2a22216

2a t 22a?x x 注：對(duì)本題，若令x?acost，同樣可計(jì)算。

例4.2：求不定積分

?1x?a22dx(a?0).2x?atantdx?att?(??2,?2)，所以 解

令，則sectd，?12dx??atdt??sectdt sec22asectx?a ?lnsect?tant?C1

22?lnx??xa?C

例4.3：求不定積分

?122x?adx(a?0).解

令x?asect，則dx?asect?tantdt，t?(0,?2)，所以

1?asect?tantdx?dt??sectdt 22atantx?a

?lnsect?tant?C1

22?lnx???C xa

注：以上幾例所使用的均為三角代換，三角代換的目的是化掉根式，其一般規(guī)律如下：若果被積函數(shù)中含有函數(shù)中含有

22a?x時(shí)，可令x?asint，t?(??2,?2)；如果被積22x?a，可令x?atant，t?(??2,?2)；如果被積函數(shù)中含有22x?a；可令x??asect，t?(0,?2).dx例4.4：求不定積分?x?xe?ex

dtdx?解

令t?e(t?0)，則x?lnt，所以，t。

dx??ex?e?x

11??tdt?dt

211?tt?t??arctatn?C

x?arcta?C.en

例4.5：求不定積分

?xdx2?3x2.解

?1dx2??222?3x2?3x2xdx(變形).222?t222??tdt ?令t?2?3x(t?0)，? x.dx33111122??2?3??dt?(?tdt)x?C 原式??32t33關(guān)于第二類換元法，就舉些例子說明，具體要多做大量的習(xí)題，這樣才能找到該怎么樣換元的感覺，才能更好的掌握這種方法。

5.分部積分法

前面所介紹的換元積分法雖然可以解決許多積分的計(jì)算問題，但有些積分，如xxe?dx、?xcosxdx等，利用換元法就無(wú)法求解.接下來要介紹另一種基本積分法——分部積分法.設(shè)函數(shù)u?u(x)和v?v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則d(uv)?vdu?udv移項(xiàng)得到udv?d(uv)?vdu，所以有

?udv?uv??vdu，或

?uv?dx?uv??u?vd.上面兩個(gè)式子稱為分部積分公式.利用分部積分公式求不定積分的關(guān)鍵在于如何將所給積分

?f(x)dx化成?udv的形式，使它更容易計(jì)算.所采用的主要方法就是湊微分法，例如，xxxxxxexdx?xxd?x?dx?x??C?(x?1)?Ceeeeee???

利用分部積分法計(jì)算不定積分，選擇好u,v非常關(guān)鍵，選擇不當(dāng)將會(huì)使積分的計(jì)算變得更加復(fù)雜。下面將通過例題介紹分部積分法的應(yīng)用。

例5.1：求不定積分解

令

?xcosxdx.u?x，cosxdx?dsinx?dv，則

?xcosxdx??xdsinx?xsinx??sinxdx?xsinx?cosx?C

有些函數(shù)的積分需要連續(xù)多次應(yīng)用分部積分法。

例5.2：求不定積分

?x2edx.xx2dv?u?解

令edx，則 x和

xx?xd?2xdxeedx.?xe2x?對(duì)后面的不定積分再用分部積分法，xxxx?xd?x??C xdxeeee??(運(yùn)算熟練后，式子中不再指出u和v了)，代入前式即得

2xdx?(?2x?2)?C.xexe?2x注：若被積函數(shù)是冪函數(shù)(指數(shù)為正整數(shù))與指數(shù)函數(shù)或正(余)弦函數(shù)的乘積，可設(shè)冪函數(shù)為u，而將其余部分湊微分進(jìn)入微分符號(hào)，使得應(yīng)用分部積分公式后，冪函數(shù)的冪次降低一次(冪指相碰冪為u)。

例5.3：求不定積分

?xarctan2xdx2.xxdx?dn，解

令u?arctax2,則

2?xarctanxdx?

xarctanx?xd(arctanx)?22211x?arctanx???(1?)dx

2221?x21x?arctaxn?(x?arctax)n?C

2注：若被積函數(shù)是冪指函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積,可設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u，而將冪函數(shù)湊微分進(jìn)入微分號(hào)，使得應(yīng)用分部積分公式后，對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)消失(冪對(duì)角(反三角函數(shù))，對(duì)角u).xsinxdx.e例5.4：求不定積分?xsinxdx?sinxde(取三角函數(shù)為u)?e?x解

?exsinx??exd(sinx)?exsinx??excosxdx

?exsinx??cosxdex(再取三角函數(shù)為u)?exsinx?(excosx??exdcosx)?ex(sinx?cosx)??exsinxdx

x

解得

ex?esinxdx?2(sinx?cosx)?C

注：若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正(余)弦函數(shù)的乘積時(shí)，u,dv可隨意選取，但在兩次分部積分中，必須選用同類型的u，以便經(jīng)過兩次分部積分后產(chǎn)生循環(huán)式，從而解出所求積分 20(指正余，隨意選).下面將分部積分法關(guān)于u,dv的選擇總結(jié)成一個(gè)表，以便于更好學(xué)習(xí)，如下：

分類 I

II

III 不定積分類型 u和??的選擇

?p(x)sinxdx

nu?pn(x),???sinx

u?pn(x),???cosx ?p(x)cosxdx

n

xp(x)edx n?

u?pn(x),???ex

?p(x)lnxdx

nu?lnx,???pn(x)u?arcsinx,???pn(x)?p(x)arcsinxdx

n?p(x)arccosxdx

nu?arccosx,???pn(x)

u?arctanx,???pn(x)?p(x)arctannxdx

xe?sinxdx xe?cosxdx

u?sinx,???ex或u?ex,???sinx u?cosx,???ex或u?ex,???cosx

6.結(jié)論

上面所介紹的都是常見不定積分的求解方法，根據(jù)不同的題的特點(diǎn)采取上述不同的方法，好多題要經(jīng)過適當(dāng)變形后才能應(yīng)用上述方法，有的題經(jīng)過不同的變形，應(yīng)用不同的方法，計(jì)算結(jié)果就會(huì)不同。因此，不定積分的計(jì)算靈活性很強(qiáng)，必須熟練掌握上述方法，而這就與做大量的練習(xí)是密不可分了，題做得多了，自己也就會(huì)積累更多的經(jīng)驗(yàn)，這樣解起題來才能得心應(yīng)手，才能熟練自如的應(yīng)用，而且，定積分、廣義積分、狹積分、重積分、曲線積分以及各種有關(guān)積分的函數(shù)的各種問題也能迎刃而解。

曲天堯

2013年5月17日于濟(jì)南

山東財(cái)經(jīng)大學(xué)（燕山校區(qū)）

第三篇：固定資產(chǎn)折舊方法及例題（范文模版）

固定資產(chǎn)折舊方法及例題:

小提示:

1、年限平均法、工作量法和年數(shù)總和法計(jì)算每期折舊額時(shí)，均需要考慮預(yù)計(jì)凈殘值；雙倍余額遞減法僅在計(jì)算最后兩年的折舊額時(shí)考慮預(yù)計(jì)凈殘值。

2、上述工式均假設(shè)固定資產(chǎn)未計(jì)提減值準(zhǔn)備。已計(jì)提的，應(yīng)當(dāng)按照該項(xiàng)資產(chǎn)的賬面價(jià)值（固定資產(chǎn)賬面余額扣減累計(jì)折舊和累計(jì)減值準(zhǔn)備后的金額）以及尚可使用年限重新計(jì)算確定折舊率和折舊額。

注①：平均年限法是直線法的一種

直線法還有工作量法等只要是按照一定標(biāo)準(zhǔn)平均計(jì)提折舊就是直線法 如果題目中出現(xiàn)用直線法算折舊，就等于是年限平均法。

第四篇：極坐標(biāo)與參數(shù)方程題型和方法歸納

極坐標(biāo)與參數(shù)方程題型和方法歸納

題型一：極坐標(biāo)（方程）與直角坐標(biāo)（方程）的相互轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程與普通方程相互轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程相互轉(zhuǎn)化。方法如下：

1、已知直線的參數(shù)方程為

（為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為.（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）寫出直線與曲線交點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo).題型二：三個(gè)常用的參數(shù)方程及其應(yīng)用

（1）圓的參數(shù)方程是：

（2）橢圓的參數(shù)方程是：

（3）過定點(diǎn)傾斜角為的直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為：

對(duì)（3）注意：

點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，記直線上任意兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則①,②，③

2、在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為

（為參數(shù)，）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值；

（Ⅱ）若曲線上的所有點(diǎn)均在直線的右下方，求的取值范圍.3、已知曲線：（參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為．

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并求出點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）設(shè)為曲線上的點(diǎn)，求中點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值．

4、已知直線：（為參數(shù)），曲線：（為參數(shù)）.（1）設(shè)與相交于兩點(diǎn)，求；

（2）若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍，得到曲線，設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值.5、在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）過點(diǎn)且與直線平行的直線交于兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)．

6、面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ＋)=．l與C交于A、B兩點(diǎn).（Ⅰ）求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P(0,－2),求：①

|PA|＋|PB|，②,③,④

題型三：過極點(diǎn)射線極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

出現(xiàn)形如：（1）射線：（）；（1）直線：（）

7、在直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（1）求圓的極坐標(biāo)方程；

（2）直線：（）與圓交于點(diǎn)、，求線段的長(zhǎng)．

8、在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓的極坐標(biāo)方程；

（2）直線的極坐標(biāo)方程為，其中滿足與交于兩點(diǎn)，求的值.9、在直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，其傾斜角為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）若直線與曲線有公共點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，求的取值范圍．

10、在直角坐標(biāo)系中中，已知曲線經(jīng)過點(diǎn)，其參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線交于點(diǎn)，且，求證：為定值，并求出這個(gè)定值．

11、在平面直角坐標(biāo)系中，曲線和的參數(shù)方程分別是（是參數(shù)）和（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的普通方程和曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）射線與曲線的交點(diǎn)為，與曲線的交點(diǎn)為，求的最大值.

第五篇：混沌與非線性

機(jī)遇與混沌讀后感

11121586朱丹浩

對(duì)于這本書我沒有完全讀完，我就很簡(jiǎn)略的讀了一點(diǎn)點(diǎn)，還是跳著讀的，所以讀書報(bào)告可能寫的不全面，我就寫寫我自己的看法吧。寫這篇讀書報(bào)告前我也到網(wǎng)上查找了一些相關(guān)的報(bào)告與一些網(wǎng)友的讀后感，結(jié)合我自己的看法寫。這本書是用直接的物理學(xué)和數(shù)學(xué)來解釋機(jī)遇的不可測(cè)性，對(duì)機(jī)遇進(jìn)行分析。用一種看著不是十分專業(yè)的方式對(duì)混沌進(jìn)行了探討。就像他在緒言中寫的“如果科學(xué)是對(duì)真理的探討，那么對(duì)于科學(xué)是如何做出來的，難道不應(yīng)該講真話嗎？”。他用一種嶄新的方式來闡述了科學(xué)。這本書其實(shí)想要看懂它是需要花點(diǎn)時(shí)間和精力的，需要一些關(guān)于數(shù)學(xué)和物理學(xué)的基礎(chǔ)，看懂不是特別容易。當(dāng)然這本書并不是全都是一些很枯燥的數(shù)學(xué)公式。他擁有一些風(fēng)趣幽默的語(yǔ)言，看起來就不是那么的枯燥了。網(wǎng)上有人說作者的側(cè)重點(diǎn)并不在于混沌方面，而是對(duì)決定性、隨機(jī)性以及客觀實(shí)在如何將決定性和隨機(jī)性結(jié)合起來等諸方面進(jìn)行探討的。我也不知道說的對(duì)不對(duì)。目錄里看到了很多看不懂的名詞，可以看出作者是一個(gè)熟知很多個(gè)領(lǐng)域的科學(xué)家。本書的主要內(nèi)容是：什么是機(jī)遇？機(jī)遇是怎么出現(xiàn)的？未來如何不可預(yù)測(cè)？對(duì)這些問題答案的探討，構(gòu)成了本書的主題。作者從機(jī)遇有其原因、抽彩和星象等說起，談到了歷史的演化、熵、信息乃至性的真意、智能??本書深入淺出，是普通讀者了解混沌理論的絕佳入門讀物。

我對(duì)這本書的評(píng)價(jià)就是本書深入淺出，是我們了解混沌理論的絕佳入門讀物。但是由于理解上可能會(huì)有一些困難，所以我們需要花一點(diǎn)時(shí)間。里面不少的妙趣橫生的句子和比喻也是體現(xiàn)作者寫作功力的最好表現(xiàn)。比如他說：“數(shù)學(xué)是一種智力瑜伽，強(qiáng)求、嚴(yán)格和禁欲。”

讀了這本書我也有了一些收獲和體會(huì)。我在目錄中看到了“抽彩和星象”我覺得一個(gè)嚴(yán)肅的科學(xué)家居然講星象，所以我就去看了一下。里面說占星術(shù)認(rèn)為你出生在某個(gè)時(shí)候，你就和某個(gè)星座有了一些聯(lián)系，那你今后的運(yùn)氣，比如這星期會(huì)不會(huì)中彩票之類的就和這個(gè)星座產(chǎn)生了數(shù)不清道不明的關(guān)系。而作者也并不否認(rèn)這個(gè)觀點(diǎn)，他認(rèn)為你出生的時(shí)候一些星座與你產(chǎn)生的影響會(huì)對(duì)你將來產(chǎn)生一些可見的改變，這就是混沌的初值敏感性。初值的微小改變可能會(huì)將來的人生產(chǎn)生巨大的影響。就像你拋一個(gè)硬幣，在你確定了力，方向，重力，風(fēng)一些種種因素，那應(yīng)該拋出來的結(jié)果都是一樣的，可是又要扯到微觀的量子就一定有隨機(jī)性了。就比如作者里面說的今天下午是否下雨，除了其他許多因素外，還要考慮幾周前進(jìn)行的萬(wàn)有引力影響。

作者寫的這本書不能說對(duì)我目前有多大影響，但是起碼豐富了我的見識(shí)。誰(shuí)知道這本書將來會(huì)不會(huì)對(duì)我產(chǎn)生什么巨大的影響呢，因?yàn)榛煦绲某踔得舾行?，誰(shuí)也說不準(zhǔn)呢！