第一篇：常微分方程定性與穩(wěn)定性方法試卷
常微分方程定性與穩(wěn)定性方法試卷
2x1?dx1???2x2,22?dt(1?x1)?1.（20分）討論系統(tǒng) ?dx 零解的穩(wěn)定性。2x2x212????2222?dt(1?x)(1?x11)?
d2xdxdx22m?b??()??x??x?0,mb?0 對2.（20分）證明振動方程 2dtdtdt
任何參數(shù)都不存在閉軌線和奇異閉軌線。
?dx?2xy?P(x,y),??dt?3.（20分）設(shè)有系統(tǒng) dy試分析其軌線??1?y?x2?y2?Q(x,y).??dt的全局結(jié)構(gòu)。
?0?1?104.（20分）設(shè)A=??00??2000?dx00??Ax,x(0)?x0的解，?，求初值問題 dt0?1??10?
并分析其奇點鄰域內(nèi)軌線的性態(tài)。
?dx3??y??x?x,??dt5.（20分）討論系統(tǒng)?dy 奇點(0,0)鄰域內(nèi)極限環(huán)的??x?y3??dt
分支問題。
第二篇：常微分方程實驗報告一
呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系《常微分方程》實驗報告
《常微分方程》實驗報告一
專業(yè)
班級
姓名
學(xué)號
實驗地點
實驗時間
實驗名稱：向量場、積分曲線作圖實驗?zāi)康模菏煜嶒瀮?nèi)容：
Matlab軟件；掌握畫向量場、積分曲線的命令。
（給出實驗程序與運行結(jié)果）呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系《常微分方程》實驗報告
實驗分析：
第三篇：常微分方程答案 第三章
習(xí)題3.1
1.求方程dy?x?y2通過點(0,0)的第三次近似解。dx
解：f?x,y??x?y2，令?0(x)?y0?0，則
?1?x??y0??f?x,?0?x??dx??xdx?x00xx12x 2
?2?x??y0??f?x,?1?x??dx??x0xx0??1?2?1215x?xdx?x?x ????220??2????
?3?x??y0??f?x,?2?x??dxx0x
??x
0 ??1215?2?121518111x?x?x??x?x??dx?x?x?20??2201604400??2??
為所求的第三次近似解。
3.求初值問題
?dy22??x?y,R:x?1?1,y?1,(1)?dx
?y??1??0?的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在空間的誤差估計。解：因為f?x,y??x2?y2，a?b?1，M?maxf?x,y??4，所以?x,y??R
153?b?1h?mi?na??，從而解得存在區(qū)間為x?1?，即??x??。444?M?4
又因為f?x,y??x2?y2在R上連續(xù)，且由?f?y?2y?2?L可得f?x,y?在R上關(guān)于y滿足Lipschitz條件，所以Cauchy問題(1)在?53?x??有唯一解44y???x?。
令?0(x)?y0?0，則
?1?x??y0??f?x,?0?x??dx??x2dx?x0?1xx13x?1? ?3
?2?x??y0??x
x02?2?1311xx3x4x7??f?x,?1?x??dx???x???x?1???dx??????142931863?3?????x
M?Lh?1
?誤差為：?2?x????x??
L2?1!24
10.給定積分方程
??x??f?x????K?x,??????d?(*)
a
b
其中f?x?是?a,b?上的已知連續(xù)函數(shù)，K?x,??是a?x?b，a???b上的已知連續(xù)函數(shù)。證明當(dāng)?足夠小時(?是常數(shù))，(*)在?a,b?上存在唯一的連續(xù)解。證明：分四個步驟來證明。
㈠.構(gòu)造逐步逼近函數(shù)序列
?0?x??f?x?
?n?1?x??f?x????K?x,???n???d?,n?0,1,2,?
ab
由f?x?是?a,b?上的連續(xù)函數(shù)可得?0?x?在?a,b?上連續(xù)，故再由K?x,??是
a?x?b，a???b上的連續(xù)函數(shù)可得?1?x?在?a,b?上連續(xù)，由數(shù)學(xué)歸納法易證
?n?x?在?a,b?上連續(xù)。
㈡.證明函數(shù)列??n?x??在?a,b?上一致收斂。
考慮級數(shù)
?0?x?????k?x???k?1?x??,k?1
?
x??a,b?(2)
由
?0?x?????k?x???k?1?x????n?x?
k?1
n
知，??n?x??的一致收斂性與級數(shù)(2)的一致收斂性等價。
令M?maxf?x?，L???b?a?maxK?x,??。由(2)有
a?x?b
a?x?b,a???b
?1?x???0?x????K?x,??f???d?
a
b
???K?x,??f???d?
a
b
??maxK?x,??maxf???
a?x?b,a???b
a???b
?
b
a
d??ML
所以
?2?x???1?x????K?x,????1?????0????d?
a
b
???K?x,???1?????0???d?
a
b
?ML??K?x,??d??ML2
a
b
假設(shè)對正整數(shù)n，有不等式
?n?x???n?1?x??MLn,則
b
x??a,b?(3)
?n?1?x???n?x????K?x,????n?????n?1????d?
a
???K?x,???n?????n?1???d?
a
b
x??a,b?
?ML
n?1
??K?x,??d??MLn,a
b
所以(3)對任意正整數(shù)n都成立。
因為?MLn為正項級數(shù)，且當(dāng)?足夠小時，n?1?
L???b?a?maxK?x,???1(4)
a?x?b,a???b
故?ML收斂，從而由Weierstrass判別法，級數(shù)???k?x???k?1?x??一致收斂，n
n?1
k?1
??
故級數(shù)(2)一致收斂，所以函數(shù)列??n?x??在?a,b?上一致收斂。
㈢.證明lim?n?x???x?是積分方程(*)在?a,b?上的連續(xù)解。
n??
因為由㈠和㈡可得?n?x?在?a,b?上連續(xù)，??n?x??在?a,b?上一致收斂，故
?x?在?a,b?上連續(xù)，且函數(shù)列?K?x,???n?x??在?a,b?上一致收斂，所以對
?n?1?x??f?x????K?x,???n???d?
a
b
兩邊取極限可得
lim?n?1?x??f?x???lim?K?x,???n???d?
n??
n??ab
b
?f?x????K?x,??lim?n???d?
a
n??
從而
?x??f?x????K?x,?????d?
a
b
所以?x?是積分方程(*)在?a,b?上的連續(xù)解。
㈣.證明?x?是積分方程(*)在?a,b?上的唯一解。
設(shè)?x?是積分方程(*)在?a,b?上的另一連續(xù)解，則
?x??f?x????K?x,?????d?
a
b
令g?x???x???x?，則
g?x????K?x,???????????d?
a
b
???K?x,?????????d?
a
b
?max?x???x???K?x,??d?
a?x?b
a
b
?Lmaxg?x?
a?x?b
對?x??a,b?都成立，上式兩邊對x取最大值可得
maxg?x??Lmaxg?x?
a?x?b
a?x?b
如果maxg?x??0，則由上式有
a?x?b
L?1
這與(4)矛盾，故maxg?x??0，即g?x??0，所以?x???x?，從而?x?是積
a?x?b
分方程(*)在?a,b?上的唯一解。證畢。
第四篇：南昌航空大學(xué)常微分方程A卷
南昌航空大學(xué)20XX—20XX學(xué)年第二學(xué)期期末考試
課程名稱：常微分方程
閉卷
A卷120分鐘
題號
一
二
三
四
五
六
合計
滿分
實得分
評閱人
得分
班級-------------------
學(xué)號--------------
姓名-----------------
重修標(biāo)記
b5E2RGbCAP
一、選擇題<每題2分,共10分）
1、下面是哪個是二階線性微分方程<）.A．
B．
C．
D．
2、函數(shù)是下面哪個微分方程地解<）.A．
B．
C．
D．以上全不是
3、下面哪個矩陣不可能是一個齊次線性微分方程組地解矩陣<）.A．
B．
C．
D．
命題教師<簽字）
試做教師<簽字）
系、室主任<簽字）
4、下面微分方程不能用分離變量法求解地是<）.A．
B．
C．
D．
5、下面哪個函數(shù)不是微分方程地通解<）.A．
B．
C．
D．
評閱人
得分
二、填空題<每題2分,共10分）
1、求滿足地解等價于求積分方程____________
地連續(xù)解.2、方程有只含地積分因子地充要條件是______________.3、已知，是一個二階非齊次線性常微分方程地三個特解,則該方程地通解為_________.4、設(shè)A是實矩陣,是地基解矩陣,則該方程地一個實基解矩陣為________.5、與初值問題等價地微分方程組是________.評閱人
得分
三、計算題<第1—5小題每題8分,第6小題10分,共50分）
1、用分離變量法求地通解.2、將化為伯努利方程并求通解.3、判斷是否為恰當(dāng)方程,并求通解.4、求解二階方程.5、求解常系數(shù)線性微分方程.6、求線性微分方程組地基解矩陣.評閱人
得分
四、<12分）設(shè)矩形域，1、給出函數(shù)在R上關(guān)于y滿足利普希茨條件地定義；
2、敘述初值問題解地存在唯一性定理.評閱人
得分
五．<12分）設(shè)是線性微分方程組地基解矩陣,請用常數(shù)變異法求地通解以及滿足初值地特解.評閱人
得分
六．<8分）
六.<6分）已知是地解,請利用降階
法求出該方程地通解.
第五篇：定性方法與定量方法的優(yōu)劣
定性方法與定量方法的優(yōu)劣分析
一、概念
所謂定性，是指把考察重點放在事物“質(zhì)”的方面，去研究事物的構(gòu)成要素及要素間的相互聯(lián)系，從而揭示事物的質(zhì)的規(guī)律性；定量則泛指從數(shù)量的方面表征事物間的聯(lián)系和相互作用，其特點是較可靠精確。用上述兩個普適、本質(zhì)的概念對研究方法進(jìn)行類的劃分，即定性方法和定量方法。
定性研究方法是主要憑分析者的直覺、經(jīng)驗，憑分析對象過去和現(xiàn)在的延續(xù)狀況及最新的信息資料，對分析對象的性質(zhì)、特點、發(fā)展變化規(guī)律作出判斷的一種方法。
定量研究方法是依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)模型計算出分析對象的各項指標(biāo)及其數(shù)值的一種方法。
二、兩者的區(qū)別
定性研究（qualitative research）和定量研究（quantitative research）的根本性區(qū)別有三點：
首先，兩種方法所依賴的哲學(xué)體系有所不同。作為定量研究，其對象是客觀的、獨立于研究者之外的某種客觀存在物；而作為定性研究，其研究對象與研究者之間的關(guān)系十分密切，研究對象被研究者賦予主觀色彩，成為研究過程的有機組成部分。定量研究者認(rèn)為，其研究對象可以像解剖麻雀一樣被分成幾個部分，通過這些組成部分的觀察可以獲得整體的認(rèn)識。而定性研究者則認(rèn)為，研究對象是不可分的有機整體，因而他們檢視的是全部和整個過程。
第二，兩種研究方法在對人本身的認(rèn)識上有所差異。量化研究者認(rèn)為，所有人基本上都是相似的；而定性研究者則強調(diào)人的個性和人與人之間的差異，進(jìn)而認(rèn)為很難將人類簡單地劃歸為幾個類別。
第三，定性研究者的目的在于發(fā)現(xiàn)人類行為的一般規(guī)律，并對各種環(huán)境中的事物作出帶有普遍性的解釋；而與此相反，定量研究則試圖對特定的情況或事物作出特別的解釋。換言之，定性研究致力于拓展廣度，而定量研究則試圖發(fā)掘深度。
三、兩者的優(yōu)缺點
應(yīng)該說在科學(xué)研究中沒有一種方法是完美無缺的，任何一種方法都會有其自身的優(yōu)缺點。
對于定性研究方法來說，其操作雖然簡便易行，但是其主觀性較強，得到的結(jié)果也比較抽象，難以反映事物之間的局部差別，應(yīng)用效果不好。而定量研究方法較定性評價結(jié)果更為直觀、簡潔、準(zhǔn)確，應(yīng)用效果好。但是操作起來往往有一定的困難，尤其是有些關(guān)聯(lián)因子難以量化，也會帶有主觀色彩，影響量化的準(zhǔn)確度。
相比而言，定量分析方法更加科學(xué)，但需要較高深的數(shù)學(xué)知識，而定性分析方法雖然較為粗糙，但在數(shù)據(jù)資料不夠充分或分析者數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱時比較適用。
四、小結(jié) 定性方法與定量方法應(yīng)該是相互補充、相輔相成的；定性分析是定量分析的基本前提，沒有定性的定量是一種盲目的、毫無價值的定量；定量分析使定性更加科學(xué)、準(zhǔn)確，它可以促使定性分析得出廣泛而深入的結(jié)論。
定性是定量的依據(jù)，定量是定性的具體化，二者結(jié)合起來靈活運用才能取得最佳效果。在科學(xué)研究中，應(yīng)遵循定性分析---定量分析---定性分析的認(rèn)識過程，由最初的定性分析，認(rèn)識事物的質(zhì)，掌握一事物區(qū)別于他事物的規(guī)律性；然后通過對事物量的分析和把握，掌握決定事物質(zhì)的數(shù)量界限，弄清事物之間的關(guān)系，達(dá)到認(rèn)識的深化；最后，從這些數(shù)量和數(shù)量關(guān)系中歸納揭示出更深層的質(zhì)，并作出理論上的解釋或結(jié)論。
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