第一篇：一個超級賴皮的數(shù)學證明方法（寫寫幫推薦）

一個超級賴皮的數(shù)學證明方法——例證法

今天看到《數(shù)學家的眼光》（張景中著）寫到了一個巨賴皮的數(shù)學證明方法，叫例證法，看完我都驚得不行了，就寫到這里來和大家分享一下。

為了說明例證法，我們舉一個簡單的例子。試證明：(x+1)(x-1)=x^2-1。我們假設我們不會做（這不是在貶低你的智商阿）。現(xiàn)在我就講一個所有人都肯定能學會的方法，用例證法來證明！證明：令x=1代入原式，發(fā)現(xiàn)等式成立。

令x=2代入原式，發(fā)現(xiàn)等式成立。

令x=3代入原式，發(fā)現(xiàn)等式成立。

所以原式恒成立。

你看了可能會狂笑不止，有種想揍我的沖動，這什么東西，舉了3個例子就說證明了原式？證明等式成立可必須是所有x都滿足才行啊！可是，且慢，我可以告訴你，這樣證明是嚴謹?shù)摹２恍啪吐犖易屑毞治?。分析一下原等式，發(fā)現(xiàn)x的最高次是2次。根據(jù)代數(shù)基本定理，這個式子如果不是恒等式就有兩個根?，F(xiàn)在我們舉了3個例子，即便前兩個正好就是兩個根，那么第三個數(shù)代進去又成立了，就說明原式是恒等式了！

其實，只要代一個數(shù)也可以，要保證這個數(shù)不是原方程的根就可以了，這個數(shù)應該足夠大，例如上題取x=10就行。至于“足夠大”的條件，還是挺麻煩的。怎么樣，這個例證法神奇吧！

我們還可以把它推廣，如果有多個未知數(shù)，例如想要證明

(x^2+y)(x^2-y)=x^4-y^2，我們只要把x附5個值，y 附3個值，一共代15組數(shù)進去驗證就可以了。這個題也可以取一組數(shù)進行驗證，(10,10000)就行。據(jù)說，我國一個數(shù)學家甚至把例證法推廣，利用解析幾何把普通幾何題轉變?yōu)轭愃频拇鷶?shù)問題，就可以用例證法來證明了！

不知道，如果我在高考的時候用這么個方法，老師會給我?guī)追郑亢呛恰?/p>

第二篇：數(shù)學證明方法

數(shù)學證明方法

摘要：數(shù)學證明是數(shù)學學習中非常重要的一部分，數(shù)學證明有核實作用，理解作用，發(fā)現(xiàn)作用和思維訓練作用，數(shù)學證明常用的方法有綜合法、分析法、反證法、數(shù)學歸納法等等。

關鍵詞：數(shù)學證明；意義；方法

數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的科學，它的應用非常廣泛，是學習現(xiàn)代科學技術必不可少的基礎學科。學習數(shù)學，就離不開數(shù)學證明，這是由數(shù)學證明在數(shù)學發(fā)展中所起的作用決定的。什么是數(shù)學證明呢？許多人認為數(shù)學證明是根據(jù)相應的公理，法則等來說明結論是正確的一種活動。數(shù)學證明是數(shù)學學習中非常重要的一部分，在不同的情境中，數(shù)學證明有不同方法。

數(shù)學證明的方法

（一）綜合法和分析法

綜合法是從命題的條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到要證的結論的方法。分析法則是從要證的結論出發(fā)，一步一步的搜索下去，最后達到命題的已知條件的方法。

1?cos?sin?

例1 求證sin?=1?cos?

sin2?sin?

方法1： 左邊 =sin?(1?cos?)=1?cos?=右邊

所以得證。

sin?(1?cos?)sin?sin?(1?cos?)

2方法2：右邊=1?cos?=(1?cos?)(1?cos?)=1?cos? sin?(1?cos?)1?cos?

sin2?= =sin?=左邊

所以得證。

2sin?2sincos2??1?cos????2sincos22=tan2=方法3：sin?=2cos?

2sin?=1?cos?

所以得證。

1?cos?sin?

方法4：要證sin?=1?cos?只需要證(1?cos?)(1?cos?)?sin?sin?

22即要證1?cos??sin?，顯然，這個命題成立，故得證。

上述例題的四種解法中，前三種是用綜合法解的，而第四種解法是用分析法解的。在證明的過程中，我們用到了同角三角函數(shù)的關系，半角公式等等。所以，通過數(shù)學證明我們不僅理解了這道命題的正確性，還知道了為什么正確，同時還增進了對同角三角函數(shù)的關系，半角公式等等的理解。

從例1我們可以看出，綜合法的特點是從“已知”逐步推向“未知”，其逐步推理，實際是要尋找它的必要條件。分析法的特點是從“需知”逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件。

綜合法和分析法各有其優(yōu)缺點。從尋求解題思路來看，綜合法是由已知的尋找未知的，即直接由條件證明結論。但是由條件容易導出許多其它的結論，因而不容易有效。分析法由未知的推向已知的，即由結論慢慢推出所需要的條件，這樣比較容易解決問題。就表述證明的過程而論，綜合法的形式比較簡潔，條理清晰，分析法由于倒過來敘述，因而比較繁瑣，文辭冗長。這也就是說，分析法有利于思考解決問題，綜合法宜于表達問題。因此在解題時，可以把分析法和綜合法結合起來使用，先以分析法為主，尋找解題思路，再用綜合法有條理的表述

證明過程。

(二)反證法

通過證明論題的否定命題不真實，從而肯定論題真實性的方法叫做反證法。

反證法的一般步驟如下：

假設命題的結論不成立，即結論的否定命題成立。

從否定的結論出發(fā)，逐層進行推理，得出與公理或前述的定理，定義或題設條件等自相矛盾的結論，即說證明結論否定不成立。

據(jù)排中律，最后肯定原命題成立。

反證法有歸謬法與窮舉法兩種。在應用反證法時如果與原命題結論相矛盾的方面只有一種可能情況，只要把這種情況推翻，就能肯定結論成立，這種反證法叫做歸謬法。如果與原命題相矛盾的方面不止一種情況，就必須把矛盾方面的所有可能的情況一一駁倒，才能肯定結論成立，這種反正法叫做窮舉法。

例 2求證2是無理數(shù)。p2p

2qq2證明：假設是有理數(shù)，且為既約分數(shù)，（p>0,q>0），則=2，p2?2q2，由此可見p是偶數(shù)，記為2r。同理又可得q也是偶數(shù)，這p與q是既約分數(shù)相矛盾。從而2是無理數(shù)。在這道題目中，2只有兩種可能，是無理數(shù)或者不是無理數(shù)。所以，命題的否定方面只有一種可能情況。因而，我們可以假即設其為有理數(shù)，然后推出矛盾證得該題。

例 3在四邊形ABCD中，?BAD??BCD。AC和BD相交于點O，已知OB=OD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。證明：如圖，假設四邊形ABCD不是平行

四邊形，則由于OB=OD，所以必有OA?OC，即OAOC。

若OA

如果OA?OC，同理可證，這也是不可能的。

所以，四邊形ABCD是平行四邊形。

在該題中，命題的否定方面有兩種可能OAOC。所以，在利用反證法證明時要把這兩種否定情況都駁倒才可以。

通過這道題的證明，可以增進人們對平行四邊形特征的理解，使自己的思維更加嚴謹，縝密。

反證法是一種重要的證明方法，不但在初等數(shù)學中有很多的應用，就是在高等數(shù)學中也有著很重要的應用，數(shù)學中的一些重要的結論，從最基本的性質，定理到某些難度較大的世界難題，往往是用反證法得到的。

在證明該題的過程中，用到了勾股定理，全等三角形的知識。所以，通過該題，也可以使人們加強對勾股定理以及三角形全等方面的知識的理解。

需要指出的是，同一法和反正法的適用范圍是不同的，同一法的局限性較大，通常只適用于符合同一原理的命題，反證法則普遍適用，對于能夠用同一法證明的命題一般都能用反證法證明。

（三）數(shù)學歸納法

我們采用記號p(n)表示一個與自然數(shù)n有關的命題，把它們都寫出來 p(1)，p(2),p(3)??

事實上，如果滿足下面兩個條件：

（1）p(1)成立（即當n?1時命題成立）

（2）只要假設p(k)成立（歸納假設），由此就可得p(k?1)也成立（k是自然數(shù)）就能保證這一大串（無數(shù)多個）命題p(1)，p(2),p(3)??都成立。

我們把此叫做數(shù)學歸納法原理。

根據(jù)數(shù)學歸納法原理，我們在證明時可以相應的按照以下兩步進行：

（1）驗證p(1)是成立的。

（2）假設p(k)成立，證明出p(k?1)也成立。

由（1），（2）可得對于任意的自然數(shù)n，命題p(n)都成立。

這是數(shù)學歸納法最基本的形式，通常稱作第一數(shù)學歸納法。

例5 證明1+3+5+??+(2n?1)=n 2

證明：（1）當n=1時，左邊=1，右邊=1=1等式成立。2

2（2）假設當n=k（k?1）時等式成立，即1+3+5+??+(2k?1)=k

則n=k+1時1+3+5+??+(2n?1)=1+3+5+??+(2k?1)+[2(k?1)-1] =1+3+5+??+(2k?1)+(2k?1)

2=k+(2k?1)=(k?1)2

所以，當n=k+1時，等式也成立。

由（1），（2）可知，對于任意自然數(shù)n，等式都成立。所以得證?？傊粋€數(shù)學命題往往可以有不同的思路來思考證明，思路不同，所產(chǎn)生的影響不同，證明方法也不同，對于不同的數(shù)學命題的證明也可以有許多不同的思路，不同的方法。

參考文獻

[1] 李士锜PME：數(shù)學教育心理學華東師范大學出版社

[2] 蔣文蔚楊延齡數(shù)學歸納法北京師范大學出版社

[3] 侯敏義數(shù)學思維與數(shù)學方法論東北師范大學出版社

第三篇：數(shù)學證明方法

數(shù)學證明方法 直接證明法

從正面證明命題真實性的證明方法叫做直接證法．凡是用演繹法證明命題真實性的都是直接證法．它是中學數(shù)學中常用的證明方法．綜合法、分析法、分析綜合法、比較法。

（1）綜合法：從已知條件入手，運用已經(jīng)學過的公理、定義、定理等進行一步步的推理，一直推到結論為止．這種思維方法叫綜合法．這種方法是“由因導果”，即從已知到可知，從可知到未知的思維過程．

（2）分析法：從問題的結論入手，運用已經(jīng)學過的公理、定義、定理，一步步尋覓使結論成立的條件，一直“追”到這個結論成立的條件就是已知條件為止．可見分析法是“執(zhí)果求因”的思維過程，它與綜合法的思維過程相反．分析法屬于邏輯方法范疇，它的嚴謹體現(xiàn)在分析過程步步可逆。

分析法的步驟為未知?需知?已知。在操作中“要證”、“只要證”、“即要證”這些詞語也是不可缺少的。分析法的書寫形式一般為“因為......，為了證明......，只需證明......，即......，因此，只需證明......，因為......成立，所以‘......（結論）’成立”。（3）分析綜合法：把分析法和綜合法“聯(lián)合”起來，從問題的兩頭向中間“靠攏”，從而發(fā)現(xiàn)問題的突破口．這種思維方法叫做分析綜合法．對于比較復雜的題目，往往采用這種思維方法．在證明的過程中，往往分析法、綜合法常常是不能分離的。分析綜合法充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統(tǒng)一關系。分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點。

（4）比較法 間接證明法

不是直接證明論題的真實性，而是通過證明論題的否定論題的不真實，或者證明它的等效命題成立，從而肯定論題真實性的證明方法，叫做間接證明法．反證法、同一法、歸納法（不完全歸納法、完全歸納法、數(shù)學歸納法）、類比法、換元法、放縮法、判別式法、函數(shù)法（1）反證法：反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。實施的具體步驟是：

第一步，反設：作出與求證結論相反的假設（即結論的否定成立）；

第二步，歸謬：從否定結論出發(fā)，逐層進行推理，得出與公理或前述的定理、定義或題設條件，或與臨時假設等自相矛盾（即說明結論不能否定）；

第三步，結論：根據(jù)排中律，說明反設不成立，從而肯定原命題成立。（2）同一法：兩個互逆或互否的命題不一定是等效的，只有當一個命題的條件和結論都唯一存在，且它們所指的概念是同一概念時，該命題與其逆命題才等效，這個原理叫做同一原理．對符合同一原理的命題，當直接證明有困難時可以改證與它的等效的逆命題，這種證明方法叫做同一法．

1當命題的條件與結論所含事項都唯一存在時，先作出符合命題結論的所有圖形；同一法的步驟：○2證明所作圖形符合已知條件；3根據(jù)唯一性，4最后肯定○○確定所作圖形或所作圖形與已知圖形重合；○原命題成立．

（3）不完全歸納法：從一個或幾個（但不是全部）特殊情況作出一般性結論的歸納推理。不完全歸納法又叫做普通歸納法。

（4）完全歸納法：是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時，采用完全歸納法。

（5）數(shù)學歸納法

第四篇：數(shù)學證明題證明方法

數(shù)學證明題證明方法（轉）

2011-04-22 21:36:39|分類：|標簽： |字號大中小 訂閱

2011/04/2

2從命題的題設出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，來判斷命題的結論是否正確的過程，叫做證明。

要證明一個命題是真命題，就是證明凡符合題設的所有情況，都能得出結論。要證明一個命題是假命題，只需舉出一個反例說明命題不能成立。證明一個命題，一般步驟如下：

（1）按照題意畫出圖形；

（2）分清命題的條件的結論，結合徒刑，在“已知”一項中寫出題設，在“求證”一項中寫出結論；

（3）在“證明”一項中，寫出全部推理過程。

一、直接證明

1、綜合法

（1）定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法.（2）綜合法的特點：綜合法又叫“順推證法”或“由因導果法”.它是從已知條件和某些學過的定義、公理、公式、定理等出發(fā)，通過推導得出結論.2、分析法

（1）定義：一般地，從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做分析法.（2）分析法的特點：分析法又叫“逆推證法”或“執(zhí)果索因法”.它是要證明結論成立，逐步尋求推證過程中，使每一步成立的充分條件，直到最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.二、間接證明

反證法

1、定義：一般地，假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.2、反證法的特點：

反證法是間接證明的一種基本方法.它是先假設要證的命題不成立，即結論的反面成立，在已知條件和“假設”這個新條件下，通過邏輯推理，得出與定義、公理、定理、已知條件、臨時假設等相矛盾的結論，從而判定結論的反面不能成立，即證明了命題的結論一定是正確的.３、反證法的優(yōu)點：

對原結論否定的假定的提出，相當于增加了一個已知條件.４反證法主要適用于以下兩種情形：

（1）要證的結論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰；

（2）如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形

第五篇：一個經(jīng)典不等式的多種證明方法

一個經(jīng)典不等式的多種證明方法

1?2n?1??

在高考數(shù)學試卷中，各省的壓軸大題很多都是數(shù)列與不等式的結合。下面我們就來就一個高考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)的不等式做出討論。

證明：1????

?(1????

?(1????

我們先來看看這個不等式的左邊到底是什么情況，不等式的左邊

?2n1?1?)?

2(?21n)??

?2n1?1?)?(1????n)?

n?1?n?2??21n

??3?4?

n?

換句話說證明1???1

等價于22證

明

n?1?n?2?

?21n?

?n?2?

既然如此我們就從這兩個方面著手來解決這個問題。

方法1：我們看到n?1

?21n可以想到常用的一個關于對數(shù)函數(shù)的不等式我們

?ln（1?)?想給出這個不等式

??

既然我們要證明

?21n?我們可以用這個不等式的前半段n?1?ln(1?n)來

解決問題。?ln(1?)?ln(1?2n?

1)

?n?2?

2n

我們將這n個不等式疊加起來可以不難得到，n?1

?21n?ln(1?1n)?

?ln(1?2n)?ln(?1n)?ln2，因此不等式得證。

ln2?0.693?0.707故ln2?

這個證明方法就是記得要我們記得常見的不等式n?1

?ln(1?)?nn及其相關應

用。

方法2（裂項法）：裂項法是證明不等式的非常有效的方法，下面我們就用這個方法。1

????4

?

n2?

?11?21?2?

?34

??

n(?2?n1，下面我)2

們來研究一下該如何裂項。我們考慮通項(2n?1)?2n，易知

(2n?1)?2n

?(2n?)?，這樣的話我們可以對(2n?)(2n?)?(2n?)進行裂項

(2n?)?(2n?)從

第二

?(?)，這樣就可以前后相消了，下面我們

22n?2n?

項開始放

3縮

可得：

而2

???(2n?1??(?)??24?

25，1)?2n?

故不等式得證。

?5?0.7?

注：處理???(2n?11)?這個式子還有其他的方法。我現(xiàn)在簡單的?，所以我們很容易可以得到以下結果

?(2n?2)1??(2n?1)(2n?1)?)

?4

1?，4n4

闡述一下，因為

??1111

?(2n?1??(?22?31?23?4?1)?2n

?(??3224

?

?(2n?2??1)??21)2

我們就將這個和處理到位了，如果要得到題目中的不等式的結果，那么就不能只保留

第一項，從第二項開始放縮。那么就應該多保留幾項然后從后面開始放縮，這樣就可以得到想要的結果。

方法3（柯西不等式）：利用柯西不等式可以得到以下結果

(???

2n)

?(n?12?)

n?（2?2)

?

1)?(n(2)

1?

?1則)

((n??2?1)(n?2)2?(21)(1?1?n)2

?(21)n)2

?1)

?n((n??2?1)(n?2)2

?n(n?(?n?1)(n?1)?(n?2)?1

?(2n?1)(2

n))?

(?故??21n)?，故不等式得證。

這個方法看似巧妙但是這是建立在對柯西不等式有一定了解的基礎上的，但是對與于高考壓軸題，柯西不等式確實是解決不等式的重要手段。希望廣大的考生好好培養(yǎng)對于柯 西不等式的認識。希望文章對大家有幫助！

署名：陳強湖北大學學生 電話：***