第一篇：《三角形內(nèi)角和定理的證明》教學設計

《三角形內(nèi)角和定理的證明》教學設計

一、課題：三角形內(nèi)角和定理的證明

二、教材：北師大版義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學八年級下冊第六章第五節(jié)

三、學習目標：

1、知識與技能目標：學生由對三角內(nèi)角和定理感性認識上升到理性推理證明，掌握三角形內(nèi)角和定理的證明及簡單應用。

2、過程與方法目標：學生親歷探索撕紙過程對比，體會思維實驗和符號化的理性運用，在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發(fā)展合情推理能力，逐步養(yǎng)成邏輯推理能力，并形成一定的邏輯思維能力。

3、情感態(tài)度與價值觀目標：經(jīng)歷三角形內(nèi)角和定理不同種方法的推理證明過程，培養(yǎng)學生創(chuàng)造性，弘揚個性發(fā)展，體驗解決問題的成就感，體會數(shù)學證明的嚴謹性和推理意義，培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣，感悟邏輯推理的數(shù)學價值。

四、教材分析

1、內(nèi)容分析

三角形內(nèi)角和定理是“空間與圖形”中的一個很重要的定理。

(1)它為以后學習多邊形內(nèi)角和定理奠定基礎。

(2)實際生活、生產(chǎn)中有廣泛的應用。

(3)是求角度的有力工具（有時非它不可）。

三角形內(nèi)角和定理的證明過程為學生建立數(shù)學思想方法和邏輯推理能力提供一個發(fā)展提高平臺，其論證過程總體體現(xiàn)為化歸思想。學過之后，這種思想方法可以類比運用到其它問題的探索與解決過程之中，其說理過程將成為“普通語言向符號語言轉化”的可能，這一可能將隨時間的推移與知識的積攢成為現(xiàn)實。

在證明過程中，學生從中學到的不僅僅是知識、方法及數(shù)學邏輯，他們克服困難的勇氣及對問題的好奇心和互相評價，學習方式的選擇等等方面都將大有收獲，說明了本節(jié)教材內(nèi)容對學生非智力因素的影響還是非常大的。

2、學情分析：

（1）學生已經(jīng)在小學和七年級的時候接觸過三角形內(nèi)角和定理，并且進行了猜想與驗證及口頭說理過程。這為證明三角形內(nèi)角和定理提供了認知基礎。

（2）從學生的學習動機與需要上看，他們有探究新事物的欲望和好奇心，這為探究三角形內(nèi)角和定理的證明策略及方法提供了情感保障。

（3）學生在學習三角形內(nèi)角和定理的證明過程中，其認知順序可能是建構型的。平行線是其原有知識儲備的主要圖式，他們利用原有圖式完全可以同化三角形內(nèi)角和定理。

3、障礙預測：

輔助線的作法是學生在幾何證明過程中第一次接觸，并且輔助線的添法沒有統(tǒng)一的規(guī)律，要根據(jù)需要而定，另外本節(jié)課開始將訓練學生把幾何命題翻譯為幾何符號語言，這對學生來說都有一定接受難度。

五、教學重點、難點

重點：以三角形內(nèi)角和定理的證明為載體，學習幾何證明思想，以及輔助線的有關知識，體會數(shù)形結合思想。

難點：輔助線添加的必要性和具體方法：（1）為什么要添加；（2）在哪里添加；（3）如何添加；（4）哪種添加方法最簡單。

六、設計思路分析：

三角形內(nèi)角和定理是學生接觸較早的定理之一，其內(nèi)容和應用早已為學生所熟悉。因此，本節(jié)課需要重點解決的問題是定理的證明；在定理證明中，學生將首次接觸和應用輔助線，于是，在證明中“為什么要添加輔助線”、“如何添加輔助線”就必然成為本節(jié)課的重點。

本課基本定位在于，通過三角形內(nèi)角和定理證明的教學實踐、感受幾何證明的思想，體會輔助線在幾何問題解決中的橋梁作用。同時，引領學生體會數(shù)學中的重要思想——數(shù)形結合。

借助“撕三角形紙片，拼接，驗證三角形內(nèi)角和定理”的過程分析，啟發(fā)誘導學生初步體會輔助線及其在證明中的作用。最后，引領學生進一步體會輔助線添加方法的多樣性，滲透“最優(yōu)化”思想。

七、教學策略：

1、學教方式：為真正落實學生的主體地位，教師只是教學過程的組織者、合作者、引導者，特確定了如下學教方式：學生自主探究、合作交流學習，教師引導發(fā)現(xiàn)教學。

2、教學支持：為促進學生自主學習，增大課堂容量，提高效率，突出重點，突破難點，本節(jié)課將采用多媒體演示教學。

八、教學過程

（一）知識回顧，積累經(jīng)驗

1、平行線的判定：

2、平行線的性質：

3、證明一個文字命題的一般步驟：

（二）情景再現(xiàn)，導入新課

問題1：我們知道三角形三個內(nèi)角的和等于180°.你還記得這個結論的探索過程嗎?

（1）數(shù)的研究：對于三角形的內(nèi)角和是180°這樣一個結論，啟發(fā)學生回想，我們在小學時是怎樣知道這個結論的。

（通過量角器進行角度的測量，這就是“數(shù)”的研究，量角器在這里起到橋的作用。）

問題2：通過前兩節(jié)課的學習，我們知道通過觀察、度量、猜測得到的結論不一定是正確的，測量會產(chǎn)生誤差，問題解決得并不完美。這就促使我們?nèi)ふ倚碌难芯糠较颉?。（體會證明的必要性）

（2）形的研究：對于三角形的內(nèi)角和是180°這樣一個結論，啟發(fā)學生回想，七年級下冊時是怎樣知道這個結論的。

（通過動手操作拼圖，將分散的三個角“搬”到一起，從而構成一個平角或兩角互補，為本節(jié)課引出輔助線做好鋪墊）

【設計意圖】（1）鑒于學生對證明已有一定的認識和了解，并且對三角形內(nèi)角和已經(jīng)有初步認識，在教學過程設計上并沒有從學生身邊熟悉的事例創(chuàng)設情境，而是簡單地對三角形內(nèi)角和的知識加以回憶。

（2）學生以前所做的都是特殊的三角形，而且“量一量、拼一拼、折一折”受客觀因素的制約，影響了研究結果的準確性，況且當時有些學生量出內(nèi)角和的度數(shù)確實要高于或低于180°。

（3）學生的懷疑是正常的，剪拼得到的結論有一定的合理性，但還需證明來確認，這正是我們這節(jié)課要解決的問題 ——教育學生研究問題要有一個嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。

（三）活用化歸，證明定理

根據(jù)前面給出的公理和定理,你能用自己的語言說說這一結論的證明思路嗎?你能用比較簡潔的語言寫出這一證明過程嗎?與同伴交流.結論：三角形三個內(nèi)角的和等于180°。

師： 這是一個文字命題，證明時需要先干什么呢？

生：需要先畫圖形，根據(jù)命題的條件和結論寫出已知、求證。

師：對，下面大家來證明，哪位同學上黑板給大家板演呢？

已知: ∠A、∠B、∠C 是△ABC的三內(nèi)角.求證:∠A+∠B+∠C=180°

分析:延長BC到D,過點C作射線CE∥AB,這樣,就相當于把∠A移到了∠ACE的位置,把∠B移到了∠ECD的位置.證明：延長BC到D，過點C作直線CE∥AB

∴∠B＝∠ECD（兩直線平行，同位角相等）

∠ACE=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∵∠ACE+∠ECD+∠ACB＝180°

∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代換）

師：同學們寫得證明過程很好，在證明過程中，我們添畫了射線CE、CD，使處于原三角中不同位置的三個角，巧妙地拼湊到一起來了。為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線。在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。

我們通過推理的過程，得證了命題：三角形的三個內(nèi)角的和等于180°是真命題，這時稱它為定理。即：三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°。

【設計意圖】培養(yǎng)學生有“公理化思想”，能運用基本事實和定理證明問題，有學會運用舊知解決新知，從以前的活動中思考獲取解決的方法，有合作學習的能力，有探究新知的能力。

（四）開啟智慧，分組探究

師：你還有其他方法來證明三角形內(nèi)角和定理嗎？在證明三角形內(nèi)角和定理時,小明的想法是把三個角“湊”到A處,他過點A作直線PQ∥BC(如圖),他的想法可以嗎? 請你幫小明把想法化為實際行動

證明:過點A作PQ∥BC

∴∠PAB=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),∠QAC=∠C(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),∵∠BAC+∠B+∠C=180°(平角的定義),∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換).小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實,由此你受到什么啟發(fā)?你有新的證法嗎?

1、教師組織學生分組討論：有了上面的知識作為鋪墊，我們可以開展探究活動了，看哪組最先找到解決辦法，找到的方法最多。

2、在學生開展探究的過程中，教師參與其中，對個別感到困難的小組可以進行適當?shù)奶崾竞鸵龑А?/p>

3、教師指導學生添加輔助線，給出完整的“三角形內(nèi)角和定理”的證明。

4、分組探究，成果展示

教師指導學生進行全班交流：（1）借助實物投影儀，將學生找到的添加輔助線的方法進行匯總展示。（2）在展示過程中，注意關注學生的表達以及尋找到的添加輔助線的方法，若有不全的，教師進行必要的提示。（3）引導學生將輔助線添加在三角形的頂部，邊上及三角形內(nèi)、外部均可。然后，進一步引導學生比較哪種最好。

【設計意圖】

1、讓學生在證明的過程中，進一步了解三角形內(nèi)角和定理的證明思路，并且了解一題的多種證法，從而拓寬學生的思路．

2、這里是本節(jié)課的一個重點，教師在這里要交代①什么是輔助線，添加時要用虛線畫出；②輔助線怎么來的在證明開始時要交代清楚，后添加的字母要在證明的開始前交代清楚；③規(guī)范書寫格式是自上而下的；④有條理的表達上面的分析思路，有一個嚴密的邏輯思維過程。

3、三角形內(nèi)角和的證明實質是利用化歸思想將三角形內(nèi)角和轉化為“平角等于180°”或“兩直線平行同旁內(nèi)角和等于180°這一點應向學生交代清楚

4、給學生充分的自我展示的機會，盡量發(fā)現(xiàn)更多的添加輔助線的方法。

（五）實踐應用，培養(yǎng)能力

1、已知:如圖在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°.求證： ∠ADE=50°

2.、已知：如圖，△ABC中，∠B 和∠C的平分線BE，CF交點O.求證： ∠BOC=90°+

12∠A

（六）知識回顧，拓展延伸，如圖，利用幾何畫板，在△ABC中，（1）如果BC不動，把點A“壓”向BC，∠A

就越來越大，而∠B與∠C的和越來越小，由此你

能想到什么？

(2)如果BC不動，把點A“拉離”BC，∠A就越來越小，而∠B與∠C則越來越大，它們的和越來越接近180°，由此你能想到什么？

【設計意圖】引導學生利用運動變化的觀點理解和認識數(shù)學，滲透極限思想。

（七）暢談收獲，反思升華

本節(jié)課，我們證明了一個很有用的三角形內(nèi)角和定理。在三角形中，求角的大小可將被求角看作三角形的內(nèi)角來求。證明的基本思想是：借助輔助線將原三角形中處于不同位置的三個內(nèi)角集中在一起，拼成一個平角或兩個互補的角．通過本節(jié)課的學習,你有哪些收獲?

（八）課外作業(yè)，鞏固練習

課外作業(yè)：課本P241習題6.61、2、3（九）板書設計：

三角形內(nèi)角和定理的證明

三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角的和等于180°。

九、教學反思

《課標》強調：數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，是師生交往、互動、共同發(fā)展的過程。學生是數(shù)學學習的主人，教師是學生數(shù)學學習的組織者、引導者和合作者。有效的數(shù)學教學應當從學生的生活經(jīng)驗和已有的知識背景出發(fā)，向他們提供充分的從事數(shù)學活動的機會，在活動中激發(fā)學生的學習潛能，促使他們在自主探索與合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識、技能、思想方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗，提高解決問題的能力，學會學習，同時使學生在意志力、自信心、理性精神等情感與態(tài)度方面得到良好的發(fā)展。

作為“幾何證明”的重要組成部分，這節(jié)課所涉及的內(nèi)容對于證明的學習顯得十分重要。其原因一方面在于，這是添加輔助線、進行幾何證明的首次學習，學生對此普遍感到困難；另一方面，這是《義務教育數(shù)學課程標準》下的“幾何公理體系”第一次循環(huán)的綜合運用，即“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”、“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”的綜合應用。

這篇案例經(jīng)過了精心設計，尤其是從“數(shù)”與“形”兩個角度對輔助線作法的分析與探索，做了相當大的內(nèi)容準備。

1、在備課時，教師不能只備教材而不備學生，只考慮自己如何“教”而忽視學生如何“學”。在這節(jié)課上產(chǎn)生的情況，由于我對學生已有知識經(jīng)驗估計不足，造成有些內(nèi)容沒完成。因此，教師在備課時，要充分預計學生已有的知識水平，站在學生的角度來思考：如果自己是學生，我已懂了哪些知識？還有什么問題？不能只考慮自己教得舒暢、教得精彩，而應更多地從學生的角度來思考“教什么”和“怎樣教”，做到以“學”定“教”。充分體現(xiàn)學生是學習的主體。

2、教師的教學方式要適應學生的學習。新課程明確倡導動手實踐、自主探究、合作交流的學習方式。這就要求教師的角色，應當從過去知識的傳授者轉變?yōu)閷W生自主性、探究性、合作性學習活動的設計者和組織者。在教學過程中，我給學生設置了富有挑戰(zhàn)性的問題情境，讓學生分組合作、自主地去探究和發(fā)現(xiàn)方法。

3、本節(jié)課教師主導作用的發(fā)揮是比較好的，作用體現(xiàn)在讓學生的主體得到充分的展示。

4、要想使學生感受到學習的快樂，就必須讓學生體驗到靠自己力量獲得的成功，體會到探究與發(fā)現(xiàn)帶來的樂趣。在教學中，我遵循的基本教學原則是激勵學生展開積極的思維活動。不斷的表揚學生，使學生感到自身的價值存在。

給學生一個展示個性、享受成功的機會。創(chuàng)設民主和諧的氛圍，有助于減輕學生的心理負擔，使學生的個性見解自由表達，獨特做法主動展示。例如：證明方法的多樣性，反映學生思維的多樣性，學生個性的多樣性；放手給學生自己小結體現(xiàn)不同學生有不同發(fā)展，交流是一種互補。

本節(jié)課老師多次深入到學習困難的學習小組，參與研究，引導他們發(fā)現(xiàn)，解決學生遇到的問題。因為每個學生都有按自己的選擇參與學習的權利。都受個體已有認知水平和經(jīng)驗的限制，學生的學習很可能“遭遇”障礙，這常常會引發(fā)學生的失敗感，降低學生學習的自信心，所以老師要適時鼓勵，使學生享受到成功的喜悅。享受到一次成功，就會激勵學生以更大的努力去追求更大的成功。

第二篇：《三角形內(nèi)角和定理的證明》教學設計

冀教版七年級下冊數(shù)學

9.2《三角形內(nèi)角和外角》

——三角形內(nèi)角和定理證明教學設計

一．教材分析：

(一)教材的地位和作用：

這節(jié)內(nèi)容是在前面學生對“三角形內(nèi)角和是180°”這個結論有了一定直觀認識的基礎上編排的，以往對這個結論也曾進行過簡單的說理，這里則以嚴格的步驟演繹證明，旨在讓學生從實踐操作轉移到理性思維上來，使學生初步掌握證明的要求和格式，促使學生養(yǎng)成嚴謹?shù)臄?shù)學思維方法，發(fā)展學生的證明素養(yǎng)。

三角形內(nèi)角和定理從數(shù)量角度揭示三角形三內(nèi)角之間的關系，是三角形的一個重要性質，既是今后幾何推理的重要依據(jù)，又是計算角度的重要方法。教材從學生實踐操作到證明過程的呈現(xiàn)訓練了學生的抽象思維能力和邏輯推理能力；其中輔助線的作法學生第一次接觸，它集中了條件、構造了新圖形、形了成新關系，實現(xiàn)了未知與已知的轉化，起到了解決問題的橋梁作用。

(二)教學目標：

1.知識與技能目標：掌握三角形內(nèi)角和定理的證明，初步學會作輔助線證明的基本方法，培養(yǎng)學生觀察、猜想、和推理論證能力。

2.過程與方法目標：

（1）對比過去折紙、撕紙等探索過程，體會思維實驗和符號化的理性作用。

（2）通過一題多證、一題多變體會思維的多向性。

（3）引導學生應用運動變化的觀點認識數(shù)學。

3.情感與態(tài)度目標：通過一題多證激發(fā)學生勇于探索的精神，感悟邏輯推理的價值。

（三）教學重難點：

1.重點：探索證明三角形內(nèi)角和定理的不同方法

2.難點：應用運動變化的觀點認識數(shù)學，從拼圖過程中發(fā)現(xiàn)并正確引入輔助線是本節(jié)課的關鍵。

二．教學方法：引導發(fā)現(xiàn)法、嘗試探究法。

三．教學過程：

一、創(chuàng)設情景、提出問題：

在小學，我們已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和是180°，那它是怎么來的呢？你能給出說理嗎？

二、探究新知

（一）動手操作、探索解法：

畫出一個三角形，并將它的內(nèi)角剪下，做拼角實驗

歸納：可以搬一個角用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”來說理，也可以搬兩個角、三個角用“平角定義”說明。引導學生合理添加輔助線，為書寫證明過程做好鋪墊。

（二）議一議，開闊思野：

1.‘搬三個角’的特點：把角‘搬’到一起，讓頂點重合、兩條邊形成一條直線，以便利用平角定義。

在證明三角形內(nèi)角和定理時，可以把三個角集中到三角形的某一個頂點嗎？引導學生思考。

已知：如圖，△ABC

求證：∠A+∠B+∠C=180°

證明：過A點作DE∥BC

C D A E

∵DE∥BC

∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°

∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換)

那么是否可以把三個角集中到三角形的一邊上呢？集中在內(nèi)部任意一點上呢？外部呢？引導學生開闊思維，大膽探索證明方法。

2.應指出輔助線通常畫為虛線,并在證明前交代說明。添加輔助線不是盲目的，而是證明需要引用某個定義、公理、定理，但原圖形不具備直接使用它們的條件，這時就需要添輔助線創(chuàng)造條件，以達到證明的目的。

已知：如圖，△ABC

求證：∠A+∠B+∠C=180°

證明：作BC的延長線CD，過點C作射線CE∥BA．∵CE∥BA

∴∠B=∠ECD（兩直線平行，同位角相等）

∠A=∠ACE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換)

四．教學反思 ：C D

本課以撕紙法驗證得出“三角形內(nèi)角和是180°”后，啟發(fā)學生還可利用添加輔助線的方法去證明三角形內(nèi)角和定理。

課堂教學充分發(fā)揮課件輔助教學的作用，將知識形象化、生動化、具體化。重視數(shù)學思想方法的引導，并及時指導歸納總結。

為了突出重點、突破難點，我對教材做了少量的補充和擴展，利用多媒體直觀形象、節(jié)省時間的特點，動畫演示再現(xiàn)學生拼圖過程、解題過程，引導學生從動態(tài)角度直觀地思考問題，幫助學生理解運動變化的觀點。

第三篇：《三角形內(nèi)角和定理》教學設計

《三角形內(nèi)角和定理》教學設計

一、教材分析

（一）教學內(nèi)容的地位

本節(jié)課是在研究了三角形的有關概念和學生在對“三角形的內(nèi)角和等于1800”有感性認識的基礎上，對該定理進行推理論證。它是進一步研究三角形及其它圖形的重要基礎，此外，在它的證明中引入了輔助線，而輔助線又是解決幾何問題的一種重要工具，因此本節(jié)是本章的一個重點。

（二）教學重點、難點：

三角形內(nèi)角和等于180度，是三角形的一條重要性質，有著廣泛的應用。雖然學生在小學已經(jīng)知道這一結論，但沒有從理論的角度進行推理論證，因此三角形內(nèi)角和等于180度的證明及應用是本節(jié)課的重點。

另外，由于學生還沒有正式學習幾何證明，而三角形內(nèi)角和等于180度的證明難度又較大，因此證明三角形內(nèi)角和等于180度也是本節(jié)課的難點。

突破難點的關鍵：讓學生通過動手實踐獲得感性認識，將實物圖形抽象轉化為幾何圖形得出所需輔助線。

二．教學目標

基于以上分析和數(shù)學課程標準的要求，我制定了本節(jié)課的教學目標，下面我從以下三個方面進行說明。

（一）知識與技能目標：

會用平行線的性質與平角的定義證明三角形的內(nèi)角和等于1800，并初步學會利用輔助線解決問題，體會轉化思想在解決問題中的應用。

（二）過程與方法目標：

經(jīng)歷拼圖試驗、合作交流、推理論證的過程，發(fā)展學生的合情推理能力和邏輯思維能力。

（三）情感、態(tài)度價值觀目標：

通過操作、交流、探究、表述、推理等活動培養(yǎng)學生的合作精神，體會數(shù)學知識內(nèi)在的聯(lián)系與嚴謹性，鼓勵學生大膽質疑，敢于提出不同見解，培養(yǎng)學生良好的學習習慣。

三、學情分析

七年級學生的特點是模仿力強，喜歡動手，思維活躍，但思維往往依賴于直觀具體的形象，而學生在小學已通過量、拼、折等實驗的方法得出了用三角形內(nèi)角和等于180度這一結論，只是沒有從理論的角度去研究它，學生通過前面的學習已經(jīng)具備了簡單說理的能力，同時已學習了平行線的性質和判定及平角的定義，這就為學生自主探究，動手實驗，討論交流，嘗試說理做好了準備。

四、教學方法與學法指導：

根據(jù)新課程標準的要求，學習活動應體現(xiàn)學生身心發(fā)展特點，應有利于引導學生主動探索和發(fā)現(xiàn)，因此，我采用了動手操作―觀察實驗―猜想論證的探究式教學方法，整個探究學習的過程充滿了師生之間，生生之間的交流和互動，體現(xiàn)了教師是教學活動的組織者、引導者、合作者，學生才是學習的主體。我將教給學生通過動手實驗、觀察思考、抽象概括從而獲得知識的學習方法，培養(yǎng)他們利用舊知識獲取新知識的能力。

五．教學評價：

1、關注學生探索結論、分析思路和方法的過程。

2、關注學生說理的能力和水平。

3、關注學生參與教學活動的程度。

六．教學活動程序：（設計為四個環(huán)節(jié)：）

1、糾錯、鞏固

2、探索、交流

3、應用、提高

4、反思、總結

一、學生糾錯，復習鞏固：

找出下面一道題目證明過程中的錯誤。

已知：如圖，直線AB、CD被直線EF所截，AB∥CD，MG平分∠AMN，NH平分∠MND.求證：MG∥NH

證明：∵AB∥CD

∴∠1=∠2

∴MG∥NH

提問：這個證明過程中存在哪些問題？

在糾錯中，引導學生回憶證明的一般步驟是什么.【設計意圖】：通過對命題證明過程的糾錯，起到復習鞏固知識的作用，明晰了證明命題的一般步驟及注意點；又調動了學生的積極性，激發(fā)他們的興趣。

二、探索交流：

問題1：我們已經(jīng)知道了“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個結論，如何證明這個命題呢？

一般步驟是什么？

【設計意圖】：文字命題的證明是初中幾何教學中的難點，通過問題1可使學生進一步掌握證明的一般步驟。

引導學生根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知、求證。

問題

2、小學里我們已經(jīng)通過“測量法”“剪紙法”等實驗的方法，得到了“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個結論.通過前面的學習，我們知道實驗得到的結論并不一定正確，必須進行數(shù)學證明，那么如何證明呢？

這就是我們本節(jié)課要研究的主要問題，由此導入新課。

【設計意圖】：通過 問題2及追問導入本節(jié)課研究的課題，學生進一步明確了證明的必要性，滲透了研究幾何圖形的一般套路（觀察―猜想―驗證），幫助學生積累研究問題的基本經(jīng)驗。

1、演示：用課件演示“剪紙法”把三角形的三個角拼在一起形成平角的過程。

提問：同學們能否從剛才的演示的過程中受到啟發(fā)，用所學的數(shù)學知識證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個結論。請同學們先獨立思考，再各小組交流討論，看哪個組想的方法多。

2、學生小組交流，教師巡視指導。

【設計意圖】：通過直觀演示，給學生以直觀體驗，能夠激起學生的求知熱情，開闊學生的思維，激發(fā)學生的聯(lián)想，促進學生主動思維。同時以小組合作交流的方式，通過生生互動，激發(fā)學生的探究欲望。由于方法較多，故學生討論中又可以互相借鑒，極大地開闊了學生的視野。

3、小組匯報，教師板演，進一步規(guī)范證明的格式。在學生回答過程中，教師適時追問：你解決問題時作輔助線的目的是什么？你是怎么想的？

4、提問：這些方法是把三個角聚在了三角形的哪個位置？還可聚在哪個位置呢？如何證明請同學們課后繼續(xù)研討。

【設計意圖】：通過追問，充分展示學生的思維過程。促進學生理解輔助線的作用，對證明方法做到“知其然更知其所以然”。正因為學生的激情被點燃，所以學生的思維不斷閃光，因此會出現(xiàn)很多證明方法，“一題多解”得到了深化。

5、教師總結：（1）、通過證明，我們知道“三角形的內(nèi)角和等于180°”是一個真命題，所以我們把這個真命題稱為三角形內(nèi)角和定理。

（2）、通過上面的研究發(fā)現(xiàn)，可以把三角形的三個角湊在三角形的邊上、三角形的內(nèi)部或三角形的外部，從而形成平角，來證明內(nèi)角和定理；也可把三角形湊成一組平行線的同旁內(nèi)角，形成互補關系。在這期間我們用到了一個非常重要的“工具”――輔助線。那么輔助線是怎么畫的、它有什么作用呢？（1）輔助線是為了證明需要在原圖上添畫的線.（輔助線通常畫成虛線）（2）它的作用是把分散的條件集中，把隱含的條件顯現(xiàn)出來，起到牽線搭橋的作用.（3）添加輔助線，可構造新圖形，形成新關系，找到聯(lián)系已知與未知的橋梁，把問題轉化，但輔助線的添法沒有一定的規(guī)律，要根據(jù)需要而定,平時做題時要注意總結.【設計意圖】：通過教師總結，進一步讓學生體會到：不同的添輔助線方法，實質是相同的――就是把一個我們不會解的新問題轉化為我們會解的問題，于潛移默化中培養(yǎng)了學生的轉化思想

6、小試身手：

（1）、如圖，在△ABC中，∠ACD是它的一個外角，請你完成下面的表格。

∠A=35° ∠B=40° ∠ACD=

________________________________________°

∠A+∠B=75° ∠ACD=

________________________________________°

∠A+∠B=

________________________________________° ∠ACD=131°

∠A=37° ∠B=

________________________________________° ∠ACD=125°

（2）、你有什么發(fā)現(xiàn)？三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和【設計意圖】：通過以上練習，對三角形內(nèi)角和定理及時鞏固，同時通過表格的填寫讓學生一目了然地發(fā)現(xiàn)三角形的外角與它不相鄰的兩個內(nèi)角之間的數(shù)量關系，為證明該定理作鋪墊。還滲透了從“特殊”到“一般”的歸納思想。起到了承上啟下的作用。

7、問題1：你會證明這個結論嗎？（先請學生板演，再讓學生評點。）

【設計意圖】：通過學生板演，及時反饋，可充分暴露學生證明過程中存在的問題，及時糾正，通過學生點評，讓學生當“小老師”，培養(yǎng)學生的語言表達能力，提高了學生課堂參與的主動性和積極性，活躍了課堂氣氛。進一步規(guī)范證明的步驟和格式。

問題2：你還有其他證明方法嗎？（教師出示圖形，學生課后完成證明過程。)

【設計意圖】：使學生了解到解決問題時可以從不同的角度思考，有不同的證明方法，通過問題的解決進一步滲透了轉化的數(shù)學思想。

8、總結：像這樣，由一個定理直接推出的正確結論，叫做這個定理的推論。它和定理一樣，可以作為進一步證明的依據(jù)。三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和就叫做三角形內(nèi)角和定理的推論。

三角形內(nèi)角和定理的幾何表述：

△ ABC中,∠A+∠B+∠C=180°

三角形內(nèi)角和定理推論的幾何表述：

∠ACD是△ABC的一個外角，∠ACD＝ ∠A+∠B

【設計意圖】：通過教師總結，使學生了解定理和推論之間的邏輯關系。對定理運用時的符號語言進行規(guī)范。同時將“圖形”進行適當變化，在圖形的變化中促使學生認識定理的本質。

三：應用、提高

9、剛才，我們一起研究了三角形的內(nèi)角和定理及推論的證明，發(fā)現(xiàn)了很多的證明方法，并且在相互學習、互相合作中加深了理解，得到了提升，那么三角形內(nèi)角和定理及推論在解決數(shù)學問題時有哪些應用呢？

例、已知：如圖，AC、BD相交于點O

求證：∠A+∠B=∠C+∠D

①、請同學獨立思考、分析。

②、追問：你是怎樣想到這種方法的？

③、（小結:這是三角形內(nèi)角和定理的簡單應用，同時這也是一個基本圖形：當兩個三角形的一組角互為對頂角時，剩余的兩個角的和相等。）

【設計意圖】：通過學生獨立思考、分析、解答，培養(yǎng)學生獨立結題的能力，同時教師通過追問。促使學生的思維進一步深化。

練一練：

1、搶答：（1）、三角形的一個內(nèi)角一定小于180°嗎？一定小于90°嗎？

（2）、一個三角形中最多有幾個直角？最多有幾個鈍角？最多有幾個銳角？

（3）、一個三角形中最大角不會小于60°嗎？最小角不會大于多少度？

(4)、直角三角形兩銳角之和是多少度？

（5）、一個三角形不在同一個頂點的三個外角中，最多有幾個鈍角？至少有幾個鈍角？

【設計意圖】：通過搶答這種形式，能充分調動學生的積極性。同時教師在學生搶答的過程中適時追問、總結，如問題（3）你是怎么想到的？滲透說明一個命題是假命題的方法（舉反例），為下節(jié)課作鋪墊。如通過問題（5），引導學生總結出化歸思想，即將外角的問題轉化為內(nèi)角的問題來解決。

2、已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，E是BC延長線上一點，∠EAC=∠B.求證：∠ADE=∠DAE

（1）讓學生獨立思考。

（2）教師引導，出示問題：你會將要證的相等的兩個角

與已知條件中相等的角聯(lián)系起來嗎？

（3）學生板演。

（4）追問：比較這道題目的解題思路與例題的解題思路有什么異同點。

【設計意圖】：為體現(xiàn)學生的主體地位，先讓學生獨立思考。如果學生能夠獨立解決，教師追問：你是怎么想到的?通過追問幫助學生總結幾何證明的一般策略：將未知與已知聯(lián)系起來思考，積累解題經(jīng)驗；若學生感到困難，教師通過問題：“你會將要證的相等的兩個角

與已知條件中相等的角聯(lián)系起來嗎？”啟發(fā)學生思考。通過將該題的解題思路與例題相比較，進一步優(yōu)化學生的思維。使學生學會“同中求異，異中求同”的比較策略。

3、延伸與拓展：

求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和

你能想到幾種方法？

【設計意圖】：通過拓展題，體現(xiàn)分層，讓學有余力的學生進行更深入的學習，尊重學生的個性化發(fā)展。同時通過一題多解，培養(yǎng)學生思維的靈活性。

四、總結收獲 暢談體會

反思小結：

通過本節(jié)課的學習，你取得了哪些成果，說出來與大家分享。

本節(jié)課我們學習了三角形內(nèi)角和定理及推論的證明和應用，并且在研究證明的過程中掌握了很多的數(shù)學思想、方法。而且還提高了一題多解的能力。

【設計意圖】：在獨立思考和合作交流中，引導學生梳理本節(jié)課在知識和數(shù)學思想方法等方面的收獲，形成知識網(wǎng)絡，提升對數(shù)學思想方法的理性認識。在總結的同時讓學生體驗收獲知識的快樂，培養(yǎng)敢于展示自我，敢說、敢問、自信的學習品質。

五、課后作業(yè)：補充習題97頁――98頁。

第四篇：《三角形內(nèi)角和定理》教學設計

人教版七年級下冊7.2.1《三角形的內(nèi)角》教學設計說明

淄博市高青縣實驗中學

邢春林

人教版七年級下冊7.2.1《三角形的內(nèi)角》教學設計說明

淄博市高青縣實驗中學

邢春林

一、教材分析

（一）教材的地位和作用 《三角形的內(nèi)角》內(nèi)容選自人教實驗版九年義務教育七年級下冊第七章第二節(jié)第一課時。“三角形的內(nèi)角和等于180°”是三角形的一個重要性質，它揭示了組成三角形的三個角的數(shù)量關系，學好它有助于學生理解三角形內(nèi)角之間的關系，也是進一步學習《多邊形內(nèi)角和》及其它幾何知識的基礎。此外，“三角形的內(nèi)角和等于180°”在前兩個學段已經(jīng)知道了，但這個結論在當時是通過實驗得出的，本節(jié)要用平行線的性質來說明它，說理中引入了輔助線，這些都為后繼學習奠定了基礎，三角形的內(nèi)角和定理也是幾何問題代數(shù)化的體現(xiàn)。

（二）教學目標

基于對教材以上的認識及課程標準的要求，我擬定本節(jié)課的教學目標為： 1．知識技能：發(fā)現(xiàn)“三角形內(nèi)角和等于180°”，并能進行簡單應用；體會方程的思想；尋求解決問題的方法，獲得解決問題的經(jīng)驗。

2．數(shù)學思考：通過拼圖實踐、合作探索、交流，培養(yǎng)學生的邏輯推理、大膽猜想、動手實踐等能力。

3．解決問題：會用三角形內(nèi)角和解決一些實際問題。

4．情感、態(tài)度、價值觀：在良好的師生關系下，建立輕松的學習氛圍，使學生樂于學數(shù)學，在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，增強自信心，在合作學習中增強集體責任感。通過添置輔助線教學，滲透美的思想和方法教育。

（三）重難點的確立：

1．重點：“三角形的內(nèi)角和等于180°”結論的探究與應用。

2．難點：三角形的內(nèi)角和定理的證明方法（添加輔助線）的討論

二、學情分析

處于這個年齡階段的學生有能力自己動手，他們樂于嘗試、探索、思考、交流與合作，具有分析、歸納、總結的能力，他們渴望體驗成功感和自豪感。因而老師有必要給學生充分的自由和空間，同時注意問題的開放性與可擴展性。

基于以上的情況，我確立了本節(jié)課的教法和學法：

三、教法、學法

（一）教法

基于本節(jié)課內(nèi)容的特點和七年級學生的心理特征，我采用了“問題情境－建立模型－解釋、應用與拓展”的模式展開教學。本節(jié)課采用多媒體輔助教學，旨在呈現(xiàn)更直觀的形象，提高學生的積極性和主動性，并提高課堂效率。

（二）學法

通過學生分組拼圖得出結論，小組分析尋求說理思路，從不同角度去分析、解決新問題，通過基礎練習、提高練習和拓展練習發(fā)掘不同層次學生的不同能力，從而達到發(fā)展學生思維能力和自學能力的目的，發(fā)掘學生的創(chuàng)新精神。

四、教學過程

我是以6個活動的形式展開教學的，活動1是為了創(chuàng)設情境引入課題，激發(fā)學生的學習興趣，活動2是探討三角形內(nèi)角和定理的證明，證明的思路與方法是本節(jié)的難點，活動3到5是新知識的應用，活動6是整節(jié)課的小結提高。

具體過程如下：活動1：首先用多媒體展示情境提出問題1，設計意圖是：創(chuàng)設情境，引起學生注意，調動學生學習的積極性，激發(fā)學生的學習興趣，導入新課。在此基礎上由學生分組，用事先準備好的三角形拼圖發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和等于180°。設計意圖是：從豐富的拼圖活動中發(fā)展學生思維的靈活性，創(chuàng)造性，從活動中獲得成功的體驗，增強自信心，通過小組合作培養(yǎng)學生合作、交流能力。在合作學習中增強集體責任感。再用多媒體演示兩個動畫拼圖的過程。設計意圖：讓學生更加形象直觀的理解拼圖實際上只有兩種，一種是折疊，一種是角的拼合，這為下一環(huán)節(jié)說理中添加輔助線打好基礎，從而達到突破難點的目的。

前面通過動手大家都知道了三角形的內(nèi)角和等于180°這個結論，那么你們是否能利用我們前面所學的有關知識來說明一下道理呢？請看問題2，請各小組互相討論一下，討論完后請派一個代表上來說明你們小組的思路[學生的說理方法可能有四種（板書添輔助線的四種可能并用多媒體演示證明方法）]設計的目的：通過添置輔助線教學，滲透美的思想和方法教育，突破本節(jié)的難點，了解輔助線也為后繼學習打下基礎。在說理過程中，更加深刻地理解多種拼圖方法。同時讓學生上板分析說理過程是為了培養(yǎng)學生的語言表達能力，邏輯思維能力，多種思路的分析是為了培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維。

通過活動3中問題的解決加深學生對三角形內(nèi)角和的理解，初步應用新知識，解決一些簡單的問題，培養(yǎng)學生運用方程思想解幾何問題的能力。

活動4向學生展示分析問題的基本方法，培養(yǎng)學生思維的廣闊性、數(shù)學語言的表達能力。把問題中的條件進一步簡化為學生用輔助線解決問題作好鋪墊。同時培養(yǎng)學生建模能力。

活動5通過兩上實際問題的解決加深學生對所學知識的理解、應用。培養(yǎng)學生建模的思想及能力。

活動6的設計目的發(fā)揮學生主體意識，培養(yǎng)學生語言概括能力?！窘虒W設計說明】

1、《數(shù)學課程標準》指出：“本學段（7～9年級）的數(shù)學應結合具體的數(shù)學內(nèi)容，采用?問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展?的模式展開，讓學生經(jīng)歷知識的形成與應用的過程…… ”因此，在本節(jié)課的教學中，我不斷的創(chuàng)造自主探究與合作交流的學習環(huán)境，讓學生有充分的時間和空間去動手操作，去觀察分析，去得出結論，并體驗成功，共享成功．

2、體現(xiàn)自主學習、合作交流的新課程理念．無論是例題還是習題的教學均采用“嘗試—交流—討論”的方式，充分發(fā)揮學生的主體性，教師起引導、點撥的作用．

3、結合評價表，對學生的課堂表現(xiàn)進行激勵性的評價，一方面有利于調動學生的積極性，另一方面有利于學生進行自我反思。

第五篇：三角形的內(nèi)角和定理的證明

《三角形的內(nèi)角和定理的證明》的教學案例與反思

新的數(shù)學課程標準指出：數(shù)學教學要以學生發(fā)展為本，讓學生生動活潑、積極主動地參與數(shù)學學習活動，使學生在獲得所必須的基本數(shù)學知識和基本技能的同時，在情感、態(tài)度、價值觀和能力等方面都得到發(fā)展。那么數(shù)學教學如何讓學生在自主探索中不斷地、主動地發(fā)展呢？近日，我組織了數(shù)學《三角形的內(nèi)角和定理的證明》一課的教學，就其中的證明方法的探索的課堂片段，談談個人的一些做法和想法。

案例：

首先，教師讓學生畫三角形，并提出問題：問題（1）、你知道三角形的內(nèi)角和是多少？ 問題（2）、你是怎樣得到這個結論的？ 問題（1）的回答較簡單，對于問題（2），讓學生思考、交流，在交流的基礎回答。（測量、折紙）教師加以說明，這種方法得到是不一定正確的，我們應加以證明。問題（3）、你能證明嗎？試試看?！稊?shù)學課程標準》指出：“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴與記憶，動手實踐自主探索和合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式”。要使學生逐步探究發(fā)現(xiàn)三角形三個內(nèi)角的度數(shù)和等于180°，最有效方法是讓學生真正投入到探究活動的全過程中，本節(jié)課我讓學生尋求拼折以外的其它方法來求出三角形的內(nèi)角和。通過小組討論，學生從已有的知識出發(fā)，通過作平行線，利用同位角相等或內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補，很快推理出三角形的內(nèi)角和是180度。溫故而知新，讓學生在自主探究，合作交流中經(jīng)歷，猜想、驗證、結論這一個過程，體驗探究學習的樂趣。學生分組，探討證明方法，教師巡回指導。之后總結學生探討出來的各種證明方法，由學生相互評價，教師在對學生的各證明方法給出鼓勵性的評價。

反思

以上案例是教學“三角形的內(nèi)角和定理的證明”所采用的方法。課堂中，教師營造了寬松的學習氛圍，讓學生參與到學習過程中去，自主探索，大膽發(fā)表自己的觀點，讓學生在自主探索中獲得了不斷地發(fā)展。主要表現(xiàn)在：

一、注重了學生的自主探索

自主探索是學生學習數(shù)學的重要方式之一。教師是學生學習的組織者、引導者、合作者，而非知識的灌輸者，因而對一個問題的解決不是要教師將現(xiàn)成的方法傳授給學生，而是教給學生解決問題的策略，給學生一把在知識的海洋中行舟的槳，讓學生在積極思考，大膽嘗試，主動探索中，獲取成功并體驗成功的喜悅。在課堂中，教師放手讓學生自主探索證明三角形內(nèi)角和定理的方法，讓學生在動手試一試、動口說一說、相互評一評的過程中掌握了證明的各種方法。

二、注重了學生的合作交流

數(shù)學課程標準指出：教師要讓學生在具體的操作活動中進行獨立的思考，鼓勵學生發(fā)表自己的意見，并與同伴交流?？梢?，合作交流在數(shù)學教學中也相當重要。在課堂中，教師注重了學生的合作交流。

三、注重了評價

在數(shù)學課堂教學中，評價的形式有很多，但較多的是由教師對學生的學習作出的評價，教師扮演著“裁判員”的角色。而在這節(jié)課中，除了教師對學生的評價外，更重視了學生之間的相互評價：“你覺得他證得怎么樣？”讓學生在相互評價中既培養(yǎng)了能力，又尋找到了問題解決的方法，最終達到自我矯正的目標。

通過這節(jié)課給我?guī)砹烁畹膯⑹荆涸谒刭|教育不斷發(fā)展的今天，作為教師，我們應該不斷更新自己的教學觀念，樹立先進的教學理念，并把先進的教學理念化為教學行為，只有這樣，我們才能改變長期形成的、習慣了的舊的教學方式，才會樹立“以學生發(fā)展為本”的理念，讓學生充分從事數(shù)學探究活動，發(fā)揮學生學習的自主性、主動性、選擇性和創(chuàng)造性，讓學生在自主探索中不斷地發(fā)展！