第一篇：三角形內(nèi)角和定理的證明教案剖析

●課題

§6.5 三角形內(nèi)角和定理的證明 ●教學(xué)目標(biāo)(一教學(xué)知識點

三角形的內(nèi)角和定理的證明.(二能力訓(xùn)練要求

掌握三角形內(nèi)角和定理,并初步學(xué)會利用輔助線證題,同時培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想和論證能力.(三情感與價值觀要求

通過新穎、有趣的實際問題,來激發(fā)學(xué)生的求知欲.●教學(xué)重點

三角形內(nèi)角和定理的證明.●教學(xué)難點

三角形內(nèi)角和定理的證明方法.●教學(xué)方法 實驗、討論法.●教具準(zhǔn)備 三角形紙片數(shù)張.投影片三張

第一張:問題 第二張:實驗

第三張:小明的想法●教學(xué)過程 Ⅰ.巧設(shè)現(xiàn)實情境,引入新課

用橡皮筋構(gòu)成△ABC,其中頂點B、C為定點,A為動點(如圖6-37,放松橡皮筋后,點A自動收縮于BC上,請同學(xué)們考察點A變化時所形成的一系列的三角形:△A1BC、△A2BC、△A3BC……其內(nèi)角會產(chǎn)生怎樣的變化呢?

得出結(jié)論:當(dāng)點A離BC越來越近時,∠A越來越接近180°,而其他兩角越來越接近于0°。三角形各內(nèi)角的大小在變化過程中是相互影響的。三角形的最大內(nèi)角不會大于或等于180°。

當(dāng)點A遠離BC時,∠A越來越趨近于0°,而AB與AC逐漸趨向平行,這時,∠B、∠

但觀察與實驗得到的結(jié)論,并不一定正確、可靠,這樣就需要通過數(shù)學(xué)證明.那么怎樣證明呢?請同學(xué)們再來看實驗.圖6-39 這里有兩個全等的三角形,我把它們重疊固定在黑板上,然后把三角形ABC的上層∠B 剝下來,沿BC的方向平移到∠ECD處固定,再剝下上層的∠A,把它倒置于∠C與∠ECD 之間的空隙∠ACE的上方.這時,∠A與∠ACE能重合嗎?

圖6-40 已知,如圖6-40,△AB C.求證:∠A+∠B+∠C=180°

證明:作BC的延長線CD,過點C作射線CE∥AB.則 ∠ACE=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯角相等 ∠ECD=∠B(兩直線平行,同位角相等 ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換 即:∠A+∠B+∠C=180°.在證明過程中,我們僅僅添畫了一條射線CE,使處于原三角形中不同位置的三個角,巧妙地拼湊到一起來了.為了證明的需要,在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里,輔助線通常畫成虛線.我們通過推理的過程,得證了命題:三角形的內(nèi)角和等于180°是真命題,這時稱它為定理.即:三角形的內(nèi)角和定理.小明也在證明三角形的內(nèi)角和定理,他是這樣想的.大家來議一議,他的想法可行嗎?

∵PQ∥BC(已作

∴∠PAB=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯角相等 ∠QAC=∠C(兩直線平行,內(nèi)錯角相等 ∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(1平角=180° ∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代換

圖6-42 也可以這樣作輔助線.即:作CA的延長線AD,過點A作∠DAE=∠C(如圖6-42.也可以在三角形的一邊上任取一點,然后過這一點分別作另外兩邊的平行線,這樣也可證出定理.即:如圖6-43,在BC上任取一點D,過點D分別作DE∥AB交AC于E,DF∥AC 交AB于F.∴四邊形AFDE是平行四邊形(平行四邊形的定義 ∠BDF=∠C(兩直線平行,同位角相等 ∠EDC=∠B(兩直線平行,同位角相等 ∴∠EDF=∠A(平行四邊形的對角相等 ∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°(1平角=180° ∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代換 Ⅲ.課堂練習(xí)

(一課本P196隨堂練習(xí)1、2.圖6-44

1.直角三角形的兩銳角之和是多少度?等邊三角形的一個內(nèi)角是多少度?請證明你的結(jié)論.答案:90°60°

如圖6-44,在△ABC中,∠C=90° ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A+∠B=90°.圖6-45 如圖6-45,△ABC是等邊三角形,則:∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C=60°

2.如圖6-46,已知,在△ABC中,DE∥BC,∠A=60°,∠C=70°,求證:∠ADE=50°.證明:∵DE∥BC(已知

∴∠AED=∠C(兩直線平行,同位角相等 ∵∠C=70°(已知 ∴∠AED=70°(等量代換

∵∠A+∠AED+∠ADE=180°(三角形的內(nèi)角和定理 ∴∠ADE=180°-∠A-∠AED(等式的性質(zhì) ∵∠A=60°(已知

∴∠ADE=180°-60°-70°=50°(等量代換(二讀一讀P197.(三看課本P195~196,然后小結(jié).Ⅳ.課時小結(jié)

這堂課,我們證明了一個很有用的三角形內(nèi)角和定理.證明的基本思想是:運用輔助線將原三角形中處于不同位置的三個內(nèi)角集中在一起,拼成一個平角.輔助線是聯(lián)系命題的條件和結(jié)論的橋梁,今后我們還要學(xué)習(xí)它.Ⅴ.課后作業(yè)

(一課本P198習(xí)題6.6 1、2(二1.預(yù)習(xí)內(nèi)容P199~200 2.預(yù)習(xí)提綱

(1三角形內(nèi)角和定理的推論是什么?(2三角形內(nèi)角和定理的推論的應(yīng)用.Ⅵ.活動與探究

1.證明三角形內(nèi)角和定理時,是否可以把三角形的三個角“湊”到BC邊上的一點P?(如圖6-47(1,如果把這三個角“湊”到三角形內(nèi)一點呢?(如圖6-47(2“湊”到三角形外一點呢?(如圖6-47(3,你還能想出其他證法嗎?

(1(2(3 圖6-47 [過程]讓學(xué)生在證明這個題的過程中,進一步了解三角形內(nèi)角和定理的證明思路,并

且了解一題的多種證法，從而拓寬學(xué)生的思路.［結(jié)果］證明三角形內(nèi)角和定理時，既可以把三角形的三個角“湊”到 BC 邊上的一點 P，也可以把三個角“湊”到三角形內(nèi)一點；還可以把這三個角“湊”到三角形外一點.●板書設(shè)計 §6.5 三角形內(nèi)角和定理的證明 一、三角形內(nèi)角和定理 三角形三個內(nèi)角的和等于 180° 圖 6－48 已知，如圖 6－48，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180° 證明：作 BC 的延長線 CD，過點 C 作射線 CE∥BA，則：∠A=∠ACE（）∠ECD=∠B（）

∵∠ECD+∠ACE+∠ACB=180°（）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（）

二、議一議

三、課堂練習(xí)

四、課時小結(jié)

五、課后作業(yè)

第二篇：三角形內(nèi)角和定理的證明剖析

三角形內(nèi)角和定理的證明說課稿

一、背景分析 1.學(xué)習(xí)任務(wù)分析

《三角形內(nèi)角和定理的證明》是北師大版八年級下冊第六章的第五節(jié)。本節(jié)課的主要內(nèi)容是“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡單應(yīng)用。

三角形內(nèi)角和定理是從“數(shù)量關(guān)系”來揭示三角形內(nèi)角之間的關(guān)系的，這個定理是任意三角形的一個重要性質(zhì)，它是學(xué)習(xí)以后知識的基礎(chǔ)，在解決四邊形和多邊形的內(nèi)角和時都將轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和來解決。它是對圖形進一步認識以及規(guī)范證明過程的重要內(nèi)容之一，也是《證明

（二）》《證明

（三）》中用以研究角的關(guān)系的重要方法之一，因此，本節(jié)課起著承上啟下的作用。而通過添加輔助線，把未知轉(zhuǎn)化為已知，用代數(shù)方法解決幾何問題，為以后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。三角形內(nèi)角和定理在理論和實踐中有廣泛的應(yīng)用。

2.學(xué)生情況分析

三角形內(nèi)角和定理的內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)很熟悉，但以前是通過實驗得出的，學(xué)生可能會認為這是已經(jīng)學(xué)過的知識，因此在學(xué)習(xí)過程中要向?qū)W生說明證明的必要性，在前幾節(jié)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生基本上已經(jīng)掌握了簡單證明的基本方法和步驟，本節(jié)課再一次來熟悉證明的過程。而本節(jié)課要證明這個結(jié)論需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，因而本節(jié)課也要滲透這樣的思想:添輔助線是解決數(shù)學(xué)問題（尤其是幾何問題）的重要手段之一。

二、教學(xué)目標(biāo)分析

對于三角形的內(nèi)角和定理，我們以前已通過量、折、拼的方法進行了合情推 理并得出了結(jié)論，本節(jié)課就一起對其進行數(shù)學(xué)證明。另外，通過前面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生基本上也掌握了證明的基本步驟和書寫格式，學(xué)生可以自己書寫證明過程。因此，我依據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，以教材的特點和學(xué)生的認知水平為出發(fā)點，確定以下三個方面為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

（1）知識技能目標(biāo)：掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡單應(yīng)用，初步學(xué)會利用輔助線來證明命題。

（2）過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷探索“三角形內(nèi)角和定理”的證明過程，學(xué)會與人合作，通過一題多解、一題多變等，初步體會思維的多向性。

（3）情感與態(tài)度目標(biāo)：通過新穎、有趣的問題，來激發(fā)學(xué)生的求知欲，使學(xué)生樂于學(xué)數(shù)學(xué)，遇到困難不避讓，在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗，增強自信心，在合作學(xué)習(xí)中增強集體責(zé)任感。

三、課堂結(jié)構(gòu)分析

（一）問題引入→

（二）探究新知→

（三）定理應(yīng)用→

（四）深化拓展→

（五）小結(jié)鞏固

本節(jié)課首先回顧探索三角形內(nèi)角和定理的過程，然后讓學(xué)生動手實踐，并對照實踐，探求證明方法。方法多種，因此采用小組討論全班交流的方式，激勵學(xué)生展開積極的思維活動。通過幾個練習(xí)再一次鞏固了三角形內(nèi)角和定理，在此基礎(chǔ)上，深化拓展，使學(xué)生思維達到高潮，使其更進一步得到拓展。最后小結(jié)鞏固，評價激勵。

四、教學(xué)媒體設(shè)計

由于本節(jié)課是由動手操作轉(zhuǎn)化為幾何證明，由直觀感受轉(zhuǎn)化為邏輯思維，由感性認識到理性認識，因此，本節(jié)課所要借助的媒體是三角形卡紙，由剪紙的過 2 程聯(lián)想到證明方法。

五、教學(xué)過程分析

（一）問題引入

三角形的內(nèi)角和是多少呢？你如何驗證這個結(jié)論呢？

由于三角形的內(nèi)角和學(xué)生都知道，因此直接開門見山，將一個簡單的問題拋給學(xué)生，讓學(xué)生從熟知的問題開始這堂課的學(xué)習(xí)，能很快的激起學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，尤其是學(xué)有困難的學(xué)生。并且，從學(xué)過的知識引入符合學(xué)生的認知規(guī)律。

（二）探索新知

1.動手實驗

請同學(xué)們將事先準(zhǔn)備好的三角形卡紙的三個角剪下拼圖，使三者頂點重合。你會發(fā)現(xiàn)什么？

通過動手操作驗證結(jié)論，同時也培養(yǎng)學(xué)生自主動手解決問題的能力。2.探索交流

下面讓學(xué)生對照剛才的動手實踐，探求證明方法。此環(huán)節(jié)應(yīng)留給學(xué)生充分的思考、討論、發(fā)現(xiàn)、體驗的時間，讓學(xué)生在交流中互取所長，合作探索，找到證明的切入點，體驗成功。對學(xué)有困難的學(xué)生要多加關(guān)注和指導(dǎo)，不放棄任何一個學(xué)生，借此增進教師與學(xué)有困難學(xué)生之間的關(guān)系，為繼續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。合作探究后，匯報證明方法，注意規(guī)范證明格式。

（1）由實驗可知：三角形的內(nèi)角之和正好為1800．但實驗得到的結(jié)論，并不一定正確、可靠，這樣就需要通過數(shù)學(xué)證明．那么怎樣證明呢？

（學(xué)生會立即思考，若有困難，可以用下面的問題引導(dǎo)學(xué)生。）（2）看到1800你會想到什么? 3 這個問題的提出可以引導(dǎo)學(xué)生想到平角，繼而利用平角來證明三角形的內(nèi)角和是1800，也可能有學(xué)生會想到兩平行線間的同旁內(nèi)角，當(dāng)然也可以。

（3）回顧剛才的實驗操作，卡紙可以撕下來，可黑板上的三個角不能撕，那么如何把這三個角“搬”在一起呢？

學(xué)生通過剛才的動手操作，再加上上面的三個問題基本上已經(jīng)給學(xué)生指明了方向，因此，學(xué)生自然而然會想到證明的基本思路是把分散的三個角“搬”到一起，構(gòu)成一個平角。另有學(xué)生可能會想到拼成兩平行線間的同旁內(nèi)角。而作平行線則是“搬”角的基本途徑。通過本環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識。

（4）分組討論證明方法

在學(xué)生獨立思考后，小組內(nèi)討論交流。

通過上面的環(huán)節(jié)，有些學(xué)生可能已經(jīng)有思路了，再通過和同學(xué)的交流討論，互取所長，可能會探究出不同的方法來，將會更完善。另外，剛才沒有思路的同學(xué)也可以通過本環(huán)節(jié)向他人借鑒，理出思路來。教師這時候也可以深入到有困難的小組，引導(dǎo)他們解決問題。同時還可以促進師生之間的關(guān)系。

（5）全班交流

在小組討論結(jié)束后，全班交流，大家共享?？赡艿淖C明方法如下 ：

AEPAQAD12D

BC

BC

BC

圖1

圖 2

圖 3

①如圖1，延長BC到D，以點C為頂點，以CA為一邊，在△ABC的外部 作∠1=∠A。

②如圖1，延長BC到D，過C作CE∥AB。③如圖2，過點A作PQ∥BC。

④如圖3，過C作CD∥AB，由同旁內(nèi)角互補可以證明。

學(xué)生方法很多，在學(xué)生通過觀察分析、歸納總結(jié)，最后全班交流，使思維達到高潮，由感性認識上升到理性認識。在交流方法的同時，讓學(xué)生說明理由，培養(yǎng)學(xué)生合乎情理的思考和有條理的表達能力。而當(dāng)問題的條件不夠時，添加輔助線，構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)系，建立已知與未知間的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會解的情況，這是解決問題的常用策略之一。

（6）書寫證明過程

根據(jù)以上幾種方法，選擇其中一種,師生合作，寫出示范性證明過程。其余由學(xué)生自主選擇其中一種，完成證明過程，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力和推理能力。

首先，師生一起畫出圖形，其次，分析命題的題設(shè)和結(jié)論寫出“已知”、“求證”，把文字語言轉(zhuǎn)化為幾何語言，由于有本章前幾節(jié)作為基礎(chǔ)，因此學(xué)生有能力做到。最后，作出輔助線，寫出規(guī)范的證明過程。

3.反思：（1）證明三角形內(nèi)角和定理的基本思路是什么？

（2）三角形內(nèi)角和定理的證明是借助于什么獲得？平行線是以后幾何中常作的輔助線。

（3）添輔助線的技巧：通過平行線把三角形三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為平角或兩平行線間的同旁內(nèi)角，即把未知的轉(zhuǎn)化為已知的去解決。

引導(dǎo)學(xué)生進行總結(jié)和概括，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力。

（三）定理應(yīng)用

1、例1 求證：四邊形的內(nèi)角和等于3600。

三角形內(nèi)角和定理在這之前也會經(jīng)常用到，但都是以計算的形式出現(xiàn)。而本題將四邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題，是三角形內(nèi)角和定理的直接應(yīng)用。同時，由三角形的內(nèi)角和求四邊形的內(nèi)角和，也符合學(xué)生的認知規(guī)律，滿足了學(xué)生的求知欲。另外，本命題的證明也需要添加輔助線，讓學(xué)生體會到學(xué)以致用。

2.練習(xí)

（1）直角三角形的兩銳角之和是多少度？等邊三角形的一個內(nèi)角是多少度？請證明你的結(jié)論。

（2）如圖，已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求證：∠ADE=500

兩個練習(xí)由學(xué)生自主完成，上面三個問題都是三角形內(nèi)角和定理的簡單應(yīng)用，使全體學(xué)生特別是學(xué)有困難的學(xué)生都能夠達到基本的學(xué)習(xí)目標(biāo)，獲得成功感。同時，激發(fā)學(xué)困生的興趣。

(四)深化拓展

議一議：證明三角形內(nèi)角和定理時，是否可以把三角形的三個角“湊”到BC邊上的一點P？（如圖（4）），如果把這三個角“湊”到三角形內(nèi)一點呢？（如圖（5）），“湊”到三角形外一點呢？（如圖（6）），你還能想出其他證法嗎？

圖（4）

圖（5）

圖（6）

本問題再一次強化學(xué)生“抓住根本”的意識，抓住把三個角“搬”到一起，以便利用平角定義這一基本思想?？梢园讶齻€角集中到三角形某一頂點;可以把他們集中到某一邊上;集中到三角形的內(nèi)部一點；還可以把它們集中到三角形外部一點。培養(yǎng)學(xué)生善于抓住不變的根本，又要善于靈活地在變化中認識、處理和解決問題的能力，同時，拓展了學(xué)生的思維。

（五）小結(jié)鞏固 1.小結(jié)

（1）談內(nèi)容，談思想，談方法

（2）你還有什么收獲？你還有哪些疑惑？你還想知道什么？

先讓學(xué)生談本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，基本思想，各種方法，幫助學(xué)生形成總結(jié)歸納的好習(xí)慣。然后請學(xué)生談?wù)勥€有哪些收獲，通過學(xué)生的反思，感受到自己的成長與進步。請學(xué)生談自己疑惑的地方，能夠幫助教師全面的了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，改進教學(xué)，為因材施教提供了重要的依據(jù)。最后，請學(xué)生們說說還想知道什么，激起學(xué)生的求知欲，并為下節(jié)課埋下伏筆。

2.讀一讀

你能想到什么

3.課后作業(yè)：（A類必做，B類選做）A類：P241數(shù)學(xué)理解1、2題

B類：（1）證明：五邊形的內(nèi)角和等于5400；

（2）證明：n邊形的內(nèi)角和等于(n?2)?1800。

六、教學(xué)方法分析

新課程明確倡導(dǎo)動手實踐、自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式。這就要求教師的角色，應(yīng)當(dāng)從過去知識的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生自主性、探究性、合作性學(xué)習(xí)活動的設(shè)計者和組織者。在本節(jié)課的教學(xué)方法上采用實驗法和啟發(fā)、誘導(dǎo)法。正所謂“授人以魚，不如授人以漁”，學(xué)生在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，要在自己的思考過程中得到進步，加深對知識的理解，就必須在教師的引導(dǎo)下，通過同學(xué)間的互相探討、啟發(fā)，把課堂上所學(xué)的內(nèi)容完全轉(zhuǎn)化為他們自己的知識。在教學(xué)過程中，先讓學(xué)生動手實踐，然后對比撕紙的方法，引導(dǎo)學(xué)生獨立探索證明的方法，之后分組合作、自主地去探究和發(fā)現(xiàn)方法。對定理的證明這一環(huán)節(jié)，通過一題多解，一題多變，初步體會思維的多向性，引導(dǎo)學(xué)生的個性化發(fā)展。

七、教學(xué)評價分析 1.關(guān)于教材的處理：

（1）通過“撕紙”這一實驗活動，激發(fā)學(xué)生興趣，吸引學(xué)生積極參與活動。對于三角形內(nèi)角和是1800有了直觀的感受，為下面的證明做了鋪墊。

（2）通過分組討論，全班交流兩個活動，讓所有同學(xué)都參與進來，各抒己見，互取所長。

（3）通過“深化拓展”這一環(huán)節(jié)，將問題深化，拓展了學(xué)生思維。2.關(guān)于課堂評價

教學(xué)中，我遵循的基本教學(xué)原則是激勵學(xué)生展開積極的思維活動。因此，本節(jié)課我選擇的評價方式是教師評價、自我評價、學(xué)生評價多元化評價，對不同的學(xué)生有不同的評價標(biāo)準(zhǔn)，尊重個體差異。在活動過程中既關(guān)注學(xué)生是否積極參與，同時也關(guān)注學(xué)生的合作交流的意識和能力；既關(guān)注學(xué)生的思維能力和發(fā)展水平，也關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

第三篇：三角形內(nèi)角和定理的證明 教案

《三角形內(nèi)角和定理的證明》教學(xué)設(shè)計

八（11）班

郭朋朋

一、教材：滬科版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)八年級上冊第13章第2節(jié)

二、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、知識與技能目標(biāo)：學(xué)生由對三角內(nèi)角和定理感性認識上升到理性推理證明，掌握三角形內(nèi)角和定理的證明及簡單應(yīng)用。

2、過程與方法目標(biāo)：學(xué)生親歷探索撕紙過程對比，體會思維實驗和符號化的理性運用，在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發(fā)展合情推理能力，逐步養(yǎng)成邏輯推理能力，并形成一定的邏輯思維能力。

3、情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：經(jīng)歷三角形內(nèi)角和定理不同種方法的推理證明過程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性，弘揚個性發(fā)展，體驗解決問題的成就感，體會數(shù)學(xué)證明的嚴謹性和推理意義，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感悟邏輯推理的數(shù)學(xué)價值。

三、教材分析

1、內(nèi)容分析

三角形內(nèi)角和定理是“空間與圖形”中的一個很重要的定理。(1)它為以后學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角和定理奠定基礎(chǔ)。(2)實際生活、生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。(3)是求角度的有力工具（有時非它不可）。

三角形內(nèi)角和定理的證明過程為學(xué)生建立數(shù)學(xué)思想方法和邏輯推理能力提供一個發(fā)展提高平臺，其論證過程總體體現(xiàn)為化歸思想。學(xué)過之后，這種思想方法可以類比運用到其它問題的探索與解決過程之中，其說理過程將成為“普通語言向符號語言轉(zhuǎn)化”的可能，這一可能將隨時間的推移與知識的積攢成為現(xiàn)實。

在證明過程中，學(xué)生從中學(xué)到的不僅僅是知識、方法及數(shù)學(xué)邏輯，他們克服困難的勇氣及對問題的好奇心和互相評價，學(xué)習(xí)方式的選擇等等方面都將大有收獲，說明了本節(jié)教材內(nèi)容對學(xué)生非智力因素的影響還是非常大的。

2、學(xué)情分析：

（1）學(xué)生已經(jīng)在小學(xué)的時候接觸過三角形內(nèi)角和定理，并且進行了猜想與驗證及口頭說理過程。這為證明三角形內(nèi)角和定理提供了認知基礎(chǔ)。

（2）從學(xué)生的學(xué)習(xí)動機與需要上看，他們有探究新事物的欲望和好奇心，這為探究三角形內(nèi)角和定理的證明策略及方法提供了情感保障。

（3）學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理的證明過程中，其認知順序可能是建構(gòu)型的。平行線是其原有知識儲備的主要圖式，他們利用原有圖式完全可以同化三角形內(nèi)角和定理。

3、障礙預(yù)測：

輔助線的作法是學(xué)生在幾何證明過程中第一次接觸，并且輔助線的添法沒有統(tǒng)一的規(guī)律，要根據(jù)需要而定，另外本節(jié)課開始將訓(xùn)練學(xué)生把幾何命題翻譯為幾何符號語言，這對學(xué)生來說都有一定接受難度。

四、教學(xué)重點、難點

重點：以三角形內(nèi)角和定理的證明為載體，學(xué)習(xí)幾何證明思想，以及輔助線的有關(guān)知識，體會數(shù)形結(jié)合思想。

難點：輔助線添加的必要性和具體方法：（1）為什么要添加；（2）在哪里添加；（3）如何添加；（4）哪種添加方法最簡單。

五、教學(xué)過程

（一）知識回顧，積累經(jīng)驗

1、平行線的判定：

2、平行線的性質(zhì)：

3、證明一個文字命題的一般步驟：

（二）情景再現(xiàn)，導(dǎo)入新課

問題2：前面我們學(xué)習(xí)的三角形三個內(nèi)角的和等于180，是如何說明的？ 【設(shè)計意圖】通過回憶結(jié)論的得出，進行分析、對比，感受證明的必要性。

教師引導(dǎo)學(xué)生將命題進行圖形語言、符號語言的轉(zhuǎn)化，為定理的證明做準(zhǔn)備。

問題3：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的與“180”有關(guān)的知識有哪些？

【設(shè)計意圖】從這里入手為探究實驗的操作指明方向，同時從“數(shù)”的方面引導(dǎo)學(xué)生探索定理的證明思路，逐步滲透“化歸”的數(shù)學(xué)思想。

探究活動

把準(zhǔn)備好的三角形拿出來，并將它的內(nèi)角剪下，試著拼拼看，三個內(nèi)角的和是否為

??180?？有幾種拼法？拼完后與小組成員交流，比一比看哪組的拼法最多。

【設(shè)計意圖】探究實驗一方面可以激發(fā)學(xué)生的興趣，另一方面為證明180從“形”的方面提供思路。從拼合的圖形中學(xué)生不但能直觀的看出輔助線與邊的關(guān)系，還能尋找出嚴密的邏輯證明方法，從而為證明的引出打下伏筆。同時，學(xué)生在合作交流的過程中開闊了思維，鍛煉了動手能力、嚴密的推理能力以及語言表達能力，增強了合作意識。

師生活動：

讓學(xué)生每人提前準(zhǔn)備幾個硬紙剪的三角形，并把角剪下來，拼在一起，讓他們自己得出結(jié)論。

學(xué)生可以展示不同的拼法：

A1?A1MB23CB2312（1）

ACD

A1N213MB23（2）

（三）活用化歸，證明定理

CB23C

根據(jù)前面給出的基本和定理,你能用自己的語言說說這一結(jié)論的證明思路嗎?你能用比較簡潔的語言寫出這一證明過程嗎?與同伴交流.結(jié)論：

三角形三個內(nèi)角的和等于180°。

師： 這是一個文字命題，證明時需要先干什么呢？

生：需要先畫圖形，根據(jù)命題的條件和結(jié)論寫出已知、求證。

已知: ∠A、∠B、∠C 是△ABC的三內(nèi)角.求證:∠A+∠B+∠C=180°

分析:延長BC到D,過點C作射線CE∥AB,這樣,就相當(dāng)于把∠A移到了∠ACE的位置,把∠B移到了∠ECD的位置.證明：延長BC到D，過點C作直線CE∥AB ∴∠B＝∠ECD（兩直線平行，同位角相等）

∠ACE=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∠ACE+∠ECD+∠ACB＝180°

∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代換）

【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生運用基本事實和定理證明問題，有學(xué)會運用舊知解決新知，從以前的活動中思考獲取解決的方法，有合作學(xué)習(xí)的能力，有探究新知的能力。

（四）開啟智慧，分組探究

師：你還有其他方法來證明三角形內(nèi)角和定理嗎？

1、教師組織學(xué)生分組討論：有了上面的知識作為鋪墊，我們可以開展探究活動了，看哪組最先找到解決辦法，找到的方法最多。

2、在學(xué)生開展探究的過程中，教師參與其中，對個別感到困難的小組可以進行適當(dāng)?shù)奶崾竞鸵龑?dǎo)。

3、教師指導(dǎo)學(xué)生添加輔助線，給出完整的“三角形內(nèi)角和定理”的證明。

4、分組探究，成果展示

教師指導(dǎo)學(xué)生進行全班交流：（1）借助實物投影儀，將學(xué)生找到的添加輔助線的方法進行匯總展示。（2）在展示過程中，注意關(guān)注學(xué)生的表達以及尋找到的添加輔助線的方法，若有不全的，教師進行必要的提示。（3）引導(dǎo)學(xué)生將輔助線添加在三角形的頂部，邊上及三角形內(nèi)、外部均可。然后，進一步引導(dǎo)學(xué)生比較哪種最好。

【設(shè)計意圖】1讓學(xué)生在證明的過程中，進一步了解三角形內(nèi)角和定理的證明思路，并且了解一題的多種證法，從而拓寬學(xué)生的思路．

（五）實踐應(yīng)用，培養(yǎng)能力

1，在直角三角形ABC中，已知∠A+∠B=90°,求證∠C=90°

推論：直角三角形兩銳角互余

2、已知:如圖在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°.求證： ∠ADE=50°

（六）知識回顧，拓展延伸，3、如圖，直線AB∥CD,在AB、CD外有一點P，連結(jié)

PB、PD，交CD于E點。則∠ B、∠ D、∠ P 之間是否存在一定的大小關(guān)系？

A B C

E

D

P

（七）暢談收獲，反思升華

．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲?

第四篇：三角形內(nèi)角和定理教案

9.2三角形內(nèi)角和 教學(xué)案例

學(xué)校：野雞坨鎮(zhèn)丁莊子初級中學(xué)

學(xué)科：數(shù) 學(xué)

姓名：田 明 時間：2018年5月

9.2 三角形內(nèi)角和定理 教學(xué)案例

一、地位和作用

《三角形內(nèi)角和》是冀教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書七年級下冊第九章第二節(jié)第一課時的內(nèi)容。在這之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過平行線的性質(zhì)，平角的定義，為這節(jié)課中三角形內(nèi)角和的推理起了鋪墊的作用，這節(jié)課也為后邊學(xué)習(xí)多邊形的內(nèi)角和起了一定的奠基作用。三角形內(nèi)角和在整個初中的教學(xué)過程中有重要的作用。

二、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：掌握三角形內(nèi)角和定理，并初步學(xué)會利用輔助線證題，同時培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想和驗證能力。

過程與方法：

1、在評價學(xué)生的“說理”過程和水平時不應(yīng)要求形式化的推理格式，應(yīng)鼓勵學(xué)生運用自己的方式說明理由，只要清楚、正確即可。

2、經(jīng)歷實驗活動過程，得出三角形內(nèi)角和定理。

情感態(tài)度與價值觀：通過對幾何問題的演繹推理，體會證明的必要性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

教學(xué)重點：三角形內(nèi)角和定理的證明及應(yīng)用。教學(xué)難點：三角內(nèi)角和的證明方法。

三、教學(xué)過程：

（一）引入新課

問題一：三角形一共有幾個內(nèi)角

問題二：老師手有兩個三角形，一個是銳角三角形，一個鈍角三角形，那么是不是鈍角三角形的內(nèi)角和大于銳角三角形的內(nèi)角和呢？ 問題三：三角形的三個內(nèi)角有什么關(guān)系？

設(shè)計意圖：，從學(xué)生已經(jīng)掌握的知識出發(fā)，明確本節(jié)課要研究的內(nèi)容。

（二）自主探究，驗證新知

1、探索

（1）小學(xué)我們是如何驗證這個結(jié)論的？

（2）實物展示臺展示，三角形發(fā)生變化，但是內(nèi)角和總是180?。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生動手操作，一方面鍛煉動手操作能力，另一方面為下一環(huán)節(jié)的推理作好準(zhǔn)備。

2、引導(dǎo)

（1）前面我們已經(jīng)學(xué)過命題的結(jié)構(gòu)，知道命題由條件和結(jié)論組成，并且知道要說明一個命題的正確性需要說理，那么怎么說明三角形的內(nèi)角和是180?呢？（2）

已知：如圖，ΔABC.A+∠B+∠C=180?

求證：∠

（引導(dǎo)學(xué)生思考：那些地方存在著180?的角？①平角或鄰補角；②平行線間的同旁內(nèi)角）

（說明理由的過程完全可以由學(xué)生自己書寫。）

（3）合作交流

是否還有其他的說明理由的方法？

（平角）

（平行線間的同旁內(nèi)角）

（過邊上一點非頂點作）

（從三角形內(nèi)部一點作）

（三條平行線也可）

設(shè)計意圖：用多種方法說明三角形的內(nèi)角和定理。用多種方法說明這一命題的正確性，一方面讓學(xué)生初步認識說明一個命題正確性可能有多種方法，另一方面讓學(xué)生確信該命題的正確性。

（4）經(jīng)過說理，“三角形內(nèi)角和為180?”作為定理得到了充分的證明。幾何語言：

（三）例題講解

例一：如圖：

在ΔABC中，∠A=30?，∠B=65?,求∠C的度數(shù)。（讓學(xué)生嘗試解決，教師再規(guī)范書寫格式）

（四）課堂練習(xí)

B=62°24′，∠C=28°52′，求∠A的度數(shù)。

1、在ΔABC中，∠

C=36°，∠A與∠B的比是1:2，求∠A，∠B的度數(shù)。

2、在ΔABC中，∠ C=42°，∠A=∠B，求∠B的度數(shù)。

3、在ΔABC中，∠

（五）課堂小結(jié)

1.學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和及其證明方法 2.轉(zhuǎn)化的思想 3.運動的觀點

（六）布置作業(yè)

教材第105頁A組1/2/3.四、板書設(shè)計：

9.2三角形的內(nèi)角和外角

1、三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和是180?。

2、說明理由： 延長BC到點D，作CE∥BA ?CE∥BA ∴∠1=∠4(兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∠2=∠（兩直線平行，同位角5相等）?∠ 3+∠4+∠5=180°(平角的定義）∴ ∠1+∠2+∠3=180°(等量代換）

3、幾何語言：? 在ΔABC中

∠A+∠B+∠C=180°

∴

第五篇：三角形內(nèi)角和定理的證明同步練習(xí)剖析

11.1.3 三角形的穩(wěn)定性 基礎(chǔ)知識

一、選擇題 1.如圖，工人師傅砌門時，常用木條 EF 固定矩形門框 ABCD，使其不變形，這種做法的根據(jù)是（）A．兩點之間線段最短 B．矩形的對稱性 C．矩形的四個角都是直角 D．三角形的穩(wěn)定性 2.王 師 傅 用 4 根 木 條 釘 成 一 個 四 邊 形 木 架，如 圖 ． 要 使 這 個 木 架 不 變 形，他 至 少 還 要 再 釘 上 幾 根 木 條 ？ A． 0 根 B． 1 根 C． 2 根 D． 3 根 3.如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤 AB 可將其固定，這里所運用的幾何原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點之間線段最短 C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短 4．下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（）A．直角三角形 B．長方形 C．正方形 D．平行四邊形 5.下列圖中具有穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．）6.如 圖 小 明 做 了 一 個 方 形 框 架，發(fā) 現(xiàn) 很 容 易 變 形，請 你 幫 他 選 擇 一 個 最 好 的 加 固 方 案（A． B． C． D． 7.．用八根木條釘成如圖所示的八邊形木架，要使它不變形，至少要釘上木條的根數(shù)是（A．3 根 B ． 4 根 C．5 根 D．6 根

A． B． C．）D． 6． 下 列 圖 形 中，不 具 有 穩(wěn) 定 性 的 是（）7．為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的背面加釘了一根木條，這樣做的道理是（）A．兩點之間，線段最短 B．垂線段最短 C．三角形具有穩(wěn)定性 D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 8.不是利用三角形穩(wěn)定性的是 A．自行車的三角形車架 B．三角形房架 C．照相機的三角架 D．矩形門框的斜拉條 8． 用 五 根 木 棒 釘 成 如 下 四 個 圖 形，具 有 穩(wěn) 定 性 的 有（）A． 1個 B． 2個）C． 3個 D． 4個 9． 如 圖 所 示，具 有 穩(wěn) 定 性 的 有（A． 只 有（1），（2）B． 只 有（3），（4）C． 只 有（2），（3）D．（1），（2），（3）10．圖中的五角星是用螺栓將兩端打有孔的 5 根木條連接而構(gòu)成的，它的形狀不穩(wěn)定．如果用在圖中木條交叉點打孔加裝 螺栓的辦法來達到使其形狀穩(wěn)定的目的，且所加螺栓盡可能少，那么需要添加螺栓（）A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個

二、填空題 1 ．（2012?茂 名）如 圖 所 示，建 高 樓 常 需 要 用 塔 吊 來 吊 建 筑 材 料，而 塔 吊 的 上 部 是 三 角 形 結(jié) 構(gòu)，這 是 應(yīng) 用 了 三角形的哪個性質(zhì)？答： ．（填“穩(wěn)定性”或“不穩(wěn)定性”）2.在 生 活 中，我 們 常 常 會 看 到 如 圖 所 示 的 情 況，在 電 線 桿 上 拉 兩 根 鋼 筋 來 加 固 電 線 桿，這 樣 做 的 依 據(jù) 是.3.空 調(diào) 安 裝 在 墻 上 時，一 般 都

會 象 如 圖 所 示 的 方 法 固 定 在 墻 上，這 種 方 法 應(yīng) 用 的 數(shù) 學(xué) 知 識 是.人 站 在 晃 動 的 公 共 汽 車 上 ．若 你 分 開 兩 腿 站 立，則 需 伸 出 一 只 手 去 抓 欄 桿 才 能 站 穩(wěn)，這 是 利 用 了.4 ． 如 圖，是 邊 長 為 25cm 的 活 動 四 邊 形 衣 帽 架，它 應(yīng) 用 了 四 邊 形 的 ． 11.2.1 三角形的內(nèi)角和 基礎(chǔ)知識 選擇題 1.下列說法正確的是(A.三角形的內(nèi)角中最多有一個銳角;B.三角形的內(nèi)角中最多有兩個銳角 C.三角形的內(nèi)角中最多有一個直角;D.三角形的內(nèi)角都大于 60° 2.如圖，在折紙活動中，小明制作了一張 △ ABC 紙片，點 D、E 分別是邊 AB、AC 上，將 △ ABC 沿著 DE 折疊壓平，A 與

重合，若∠，則∠1+ ∠2 =（）∶∶ 3 7，則這個三角形一）（A）等腰三角形（B）直角，AD 是 △ ABC 的角平）．（A）40 °（A）150（B）210（C）105（D）定是（3.一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)之比為 三角形（C）銳角三角形（D）鈍角三角形，∠分線，則∠ CAD 的度數(shù)為（4.如圖，在 △ ABC 中，∠（B）45 °（C）50 °（D）55 °

5.將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠的度數(shù)是（）1 2（A）45（B）60（C）75（D）90 6.如圖，將等腰直角三角形沿虛線裁去頂角后，∠1 +∠2 =（）． A．

．

．

．與虛線的位置有關(guān) 7.如圖，在△ABC 中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，DE∥BC，那么∠CED 的大小是 A．40° B．60° C．120° D．140° 8.將一副三角板按如圖所示擺放，圖中 數(shù)是（）（A）75 ° o o o o（）（C）105°（D）120°（B）90 ° 9.如圖，ABCDE 是封閉折線，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 為（）度． A．180 B．270 C．360 D．540 10．直角三角形兩銳角的平分線所夾的鈍角等于（）A．100° B．120° C．135° D．150° 11.如圖，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點 A 落在邊 CB 上 A′處，折痕為 CD，則∠A′DB=（A．40°B．30°C．20°D．10° 12．具備下列條件的△ABC 中，不是直角三角形的是（）1 A．∠A-∠B=∠C B．∠A=3∠C，∠B=2∠C C．∠A=∠B=2∠C D．∠A=∠B= ∠ C 2 13.如圖，在三角形 ABC 中，已知∠ABC=70o,∠ACB=60o,BE⊥AC 于 E,CF⊥AB 于 F,H 是 BE 和 CF 的交點，則∠EHF=(100o B.110o C.120o D.130o A）A F B 2 E D 1 D C B C 14．如圖所示，把的度

一個三角形紙片 ABC 頂角向內(nèi)折疊 3 次之后，3 個頂點不重合，那么圖中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 的度 數(shù)和是（）A．180° B．270° C．360° D．無法確定

二、填空題 1.三角形中,若最大內(nèi)角等于最小內(nèi)角的 2 倍,最大內(nèi)角又比另一個內(nèi)角大 20°,則此三角形的最小內(nèi)角的度數(shù)是________.2.在△ABC 中,若∠A+∠B=∠C,則此三角形為_______三角形;若∠A+∠B<∠C,則此三角形是_____三角形.3.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分線交于點 O,若∠BOC=132°,則∠A=_______度.4.如圖所示,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,則∠BDC 的度數(shù)為________.5.當(dāng) 三 角 形 中 一 個 內(nèi) 角 α 是 另 一 個 內(nèi) 角 β 的 兩 倍 時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中 α 稱為“特 征 角 ” ． 如 果 一 個 “ 特 征 三 角 形 ” 的 “ 特 征 角 ” 為 100°，那 么 這 個 “ 特 征 三 角 形 ” 的 最 小 內(nèi) 角 的 度 數(shù) 為.6.如圖，在 △ ABC 中，∠B，三角形的外角∠ DAC 和∠ ACF 的平分線交于點 E，則∠ AEC =____________．

將一副直角三角板如圖放置．若 AE∥BC，則∠AFD= °． 8.如 圖，AB ∥ CD，∠ A=32°，∠ AEB=100°，則 ∠ C 的 度 數(shù) 是 度． 9.△ ABC 中，∠ A= ∠ B+ ∠ C，則 ∠ A= 度． 1 1 10 ． 在 △ ABC 中，已 知 ∠ A= ∠ B= ∠ C，則 三 角 形 的 形 狀 是 三角形． 2 3 11 ． 已 知 △ ABC 中，∠ A=2（∠ B+ ∠ C），則∠A 的度數(shù)為 度． 8 ． 如 圖，在 △ ABC 中，∠ 1= ∠ 2，∠ 3= ∠ 4，∠ BOC=120°，則 ∠ A=.12 ． 如 圖，AD、AE 分 別 是 △ ABC 的 高 和 角平分 線，∠ B=58°，∠ C=36°，∠ EAD=.A F E B D C 13.如圖所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=150°, 則∠EDF=________度.14.如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.解答題 1.在△ABC 中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各內(nèi)角的度數(shù).2.已 知 ：如 圖，AB ∥ CD，直 線 EF 分 別 交 AB、CD 于 點 E、F，∠ BEF 的平分 線 與 ∠ DFE 的平分 線 相 交 于 點 P ．求 證 ： ∠ P=90°． 3.如圖，△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分線，CE 是 AB 邊上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE 的度數(shù)；（2）試寫出∠DCE 與∠A、∠B 的之間的關(guān)系式．（不必證明）4.如 圖，已 知 在 三 角 形 ABC 中，∠ C= ∠ ABC=2 ∠ A，BD 是 AC 邊 上 的 高，求 ∠ DBC 的 度 數(shù) ． 5.如 圖，有 一 塊 直 角 三 角 板 XYZ 放 置 在 △

ABC 上，恰 好 三 角 板 XYZ 的 兩 條 直 角 邊 XY、XZ 分 別 經(jīng) 過 點 B、C． △ ABC 中，∠ A=40°，求 ∠ XBA+ ∠ XCA 的 度 數(shù).A F E B D C 三角形內(nèi)角和定理的證明

一、填空（1）如果三角形的三個內(nèi)角都相等，那么每一個角的度數(shù)等于_______．（2）在△ABC 中，若∠A=65°,∠B=∠C，則∠B=_______．（3）在△ABC 中，若∠C=90°,∠A=30°，則∠B=_______．（4）在△ABC 中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，則∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______．（5）在下兩圖中，∠

1、∠2 與∠B、∠C 的關(guān)系是_______（6）已知，如圖，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC，垂足為 D，則∠DBC 的度數(shù)為_______．

二、選擇題認真選一選（1）在△ABC 中，∠A=50°，∠B、∠C 的平分線交于 O 點，則∠BOC 等于__________． A．65° B．115° C．80° D．50°（2）兩條平行線被第三條直線所截，那么一組同旁內(nèi)角的平分線__________． A．相互重合 B．互相平行 C．相互垂直 D．無法確定相互關(guān)系 B．45°C．55° D．75°（3）如圖，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E 等于__________． A．35°

三、數(shù)學(xué)眼光看世界（1）一塊大型模板如圖，設(shè)計要求 BA 與 CD 相交成 30°角，DA 與 CB 相交成 20°的角，怎樣通過測量∠A，∠B，∠C，∠D 的度數(shù)，來檢查模板是否合格？（2）小芳和小白在一起溫習(xí)三角形內(nèi)角和定理，小芳靈機一動，想考考小白對知識掌握的程度，她給小白出了一道 這樣的題目：如圖，證明五邊形的內(nèi)角和等于 540°．即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°．