第一篇：2007-2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽分類解析---幾何填空題

2007-2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽分類解析匯編---幾何填空題

1.已知直角梯形ABCD的四條邊長(zhǎng)分別為AB?2,BC?CD?10,AD?6，過B、D兩點(diǎn)作圓,與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則BE?BF的值為____4_____.（2007）

解延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)G，設(shè)BE,DG的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M,N，則

易知AM?DN.因?yàn)锽C?CD?10，由割線定理，易證BF?DG，所以BE?BF?BE?DG?2(BM?DN)?2(BM?AM)?2AB?4.F M N D

C

2．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，M,N為BD

所在直線上的兩點(diǎn)，且AM??MAN?135?，則四邊形AMCN的面積為

5（2008）

解設(shè)正方形ABCD的中心為O，連AO，則AO?

BD，AO?OB?, MO?又?ABM??NDA?135?，,∴MB?MO?OB?.2?45???NAD??MAN??DAB??MAB?135??90???MAB

?MAB??AMB，所以△ADN∽△MBA，故ADDNAD?，從而DN??BA?1?MBBAMB2根據(jù)對(duì)稱性可知，四邊形AMCN的面積

115S?2S△MAN?2??MN?AO?2???.222

3． 設(shè)D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，作DE//BC交AC于點(diǎn)E，作DF//AC交BC于點(diǎn)F，已知△ADE、△DBF的面積分別為m和n，則四邊形DECF的面積為______.（2009）

【答】

設(shè)△ABC的面積為S,則因?yàn)椤鰽DE∽△ABC，所

以

AD

?

ABBD又因?yàn)椤鰾DF∽△BAC，所以?

AB兩式相加

得

F

C

ADBD???1，即ABAB?1，解

得S?2.所以四邊形DECF的面積為2?m?n?

4．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA

PC＝5，則PB＝______．（2009）【答】

E?mP,F作PE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，作PF⊥BC，交BC于點(diǎn)F，設(shè)P

△PCF中利用勾股定理，得

n?，分別在△PAE、m2?(5?n)2?5①(5?m)?n?25②

②－①，得10(n?m)?20，所以m?n?2，代入①中，得n?7n?12?0，解得n1?3，n2?4.F

C

當(dāng)n?3時(shí)，m?n?2?1，在Rt△PAE

中，由勾股定理可得PB??當(dāng)n?4時(shí)，m?n?2?2，此時(shí)PE?AE，所以點(diǎn)P在△ABC的外面，不符合題意，舍去.因此PB

5．在△ABC中，已知?B?2?A，BC?2,AB?2?2，則?A?．（2011）【答】 15?。

延長(zhǎng)AB到D，使BD＝BC，連線段CD，則?D??BCD?

?ABC??A，所以CA＝2

CD。

作CE?AB于點(diǎn)E，則E為AD的中點(diǎn)，故

AE?DE?AD?(AB?BD)?(2?2)?2?222，EB

D

BE?AB?AE?(2??(2?.在Rt△BCE

中，co?sEBC?

EB，所以?EBC?30?，故 ?

BC?A?

?ABC?15?． 2

6．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作圓的切線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，如果DE?＝．（2011）

【答】 24.設(shè)CE?4x,AE?y，則DF?DE?3x,EF?6x．

連AD，BC．因?yàn)锳B為⊙O的直徑，AF為⊙O的切線，所以

A

B

CE，AC?8，D為EF的中點(diǎn)，則AB4

?EAF?90?,?ACD??DAF．

又因?yàn)镈為Rt△AEF的斜邊EF的中點(diǎn)，∴ DA?DE?DF，∴ ?DAF??AFD，∴ ?ACD??AFD，∴ AF?AC?8． 在Rt△AEF中，由勾股定理得EF

F

?AE2?AF2，即 36x2?y2?320．

設(shè)BE?z，由相交弦定理得 CE?DE?AE?BE，即yz?4x?3x?12x，∴ y?320?3yz① 又∵ AD?DE，∴ ?DAE??AED．

又?DAE??BCE,?AED??BEC，∴ ?BCE??BEC，從而BC?BE?z．

在Rt△ACB中，由勾股定理得 AB?AC?BC，即(y?z)?320?z，∴ y?2yz?320．② 聯(lián)立①②，解得y?8,z?16．

所以AB?AE?BE?24．

7．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P為AB上一點(diǎn)，∠ACP＝20°，則＝．（2012）

【答】

設(shè)D為BC的中點(diǎn)，在△ABC外作∠CAE＝20°，則∠BAE＝60°.作CE⊥AE，PF⊥AE，則易證△ACE≌△ACD，所以CE＝CD＝

BCAP

BC.2

又PF＝PAsin∠BAE＝PAsin60

°＝

1AP，PF＝CE，所以AP＝BC，222

因此

BC

AP

E

B

第二篇：全國(guó)1995年初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題(含解析)

全國(guó)1995年初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題（含解析）

一、選擇題

5544331．已知a＝3,b＝4,c＝5,則有（）

A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a.C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b

?xy?yz?632.方程組?的正整數(shù)解的組數(shù)是（）

xz?yz?23?A．1 B．2.C．3 D．4

23．如果方程(x－1)(x－2x－m)＝0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.0?m?1 B.m?333 C.?m?1 D.?m?1 444

4．如果邊長(zhǎng)順次為25、39、52與60的四邊形內(nèi)接于一圓，那么此圓的周長(zhǎng)為（）A．62π B．63π C．64π D．65π

5．設(shè)AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的直徑，且與弦AB相交，記M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N=2S△OAB，則（）

A．M＞N B．M=N C．M＜N D．M、N的大小關(guān)系不確定

6．設(shè)實(shí)數(shù)a、b滿足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，則（）A．a(chǎn)＞0且b＞0 B．a(chǎn)＜0且b＞0 C．a(chǎn)＞0且b＜0 D．a(chǎn)＜0且b＜0

二、填空題

22227.在1，2，3…，95這95個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有______個(gè).a3?18.已知a是方程x+x-=0的根,則5的值為___________.4a?a4?a3?a2219.設(shè)x為正實(shí)數(shù),則函數(shù)y=x-x+

21的最小值是__________.x210.以線段AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O，C是半圓周上的點(diǎn)，且OC=AC·BC，則∠CAB=______．

第二試

一、已知∠ACE=∠CDE=90°，點(diǎn)B在CE上，CA=CB=CD，經(jīng)A、C、D三點(diǎn)的圓交AB于F（如圖）.求證：F為△CDE的內(nèi)心.二、在坐標(biāo)平面上，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn),試在二次函數(shù)y?的圖象上找出滿足y?x的所有整點(diǎn)(x,y)并說明理由.三、試證：每個(gè)大于6的自然數(shù)n，都可以表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和.x2?x10?9510

一、選擇題

5544331．已知a＝3,b＝4,c＝5,則有（）

A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a.C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b

2.方程組?A．1 ?xy?yz?63的正整數(shù)解的組數(shù)是（）

?xz?yz?23 B．2.C．3 D．4

3．如果方程(x－1)(x－2x－m)＝0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.0?m?1 B.m?

2333 C.?m?1 D.?m?1 444

4．如果邊長(zhǎng)順次為25、39、52與60的四邊形內(nèi)接于一圓，那么此圓的周長(zhǎng)為（）

A．62π B．63π C．64π D．65π

5．設(shè)AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的直徑，且與弦AB相交，記M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N=2S△OAB，則（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．M、N的大小關(guān)系不確定

6.設(shè)實(shí)數(shù)a、b滿足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，則（）A．a(chǎn)＞0且b＞0 B．a(chǎn)＜0且b＞0 C．a(chǎn)＞0且b＜0 D．a(chǎn)＜0且b＜0

二、填空題

22227.在1，2，3…，95這95個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有______個(gè).a3?18.已知a是方程x+x-=0的根,則5的值為___________.4324a?a?a?a21

9．設(shè)x為正實(shí)數(shù),則函數(shù)y=x-x+

21的最小值是__________.x2【解析】：這個(gè)題目是將二次函數(shù)y＝x－x與反比例函數(shù)

10.以線段AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O，C是半圓周上的點(diǎn)，且OC=AC·BC，則∠CAB=______．

2第二試

一、已知∠ACE=∠CDE=90°，點(diǎn)B在CE上，CA=CB=CD，經(jīng)A、C、D三點(diǎn)的圓交AB于F（如圖）.求證：F為△CDE的內(nèi)心.,試在二次函數(shù)y?的圖

象上找出滿足y?x的所有整點(diǎn)(x,y)并說明理由.x2?x1010?95

6的自然數(shù)n，都可以表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和.

第三篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案(1995年)

中國(guó)數(shù)學(xué)教育網(wǎng)

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1995年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

第一試

一、選擇題

1．已知a＝355,b＝444,c＝533,則有［

]

A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a

C．c＜a＜b

D．a(chǎn)＜c＜b

A．1 B．2

C．3

D．4 3．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是

4．如果邊長(zhǎng)順次為25、39、52與60的四邊形內(nèi)接于一圓，那么此圓的周長(zhǎng)為 ［

]

A．62π B．63π C．64π D．65π 5．設(shè)AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的直徑，且與弦AB相交，記M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，則 [

]

A．M＞N

B．M＝N

C．M＜N D．M、N的大小關(guān)系不確定 6．設(shè)實(shí)數(shù)a、b滿足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，則[

]

A．a(chǎn)＞0且b＞0 B．a(chǎn)＜0且b＞0 C．a(chǎn)＞0且b＜0 D．a(chǎn)＜0且b＜0

二、填空題

1．在12，22，32…，952這95個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有____個(gè)。

4．以線段AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O，C是半圓周上的點(diǎn)，且OC2＝AC·BC，則∠CAB＝______．

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第二試

一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，點(diǎn)B在CE上，CA＝CB＝CD，經(jīng)A、C、D三點(diǎn)的圓交AB于F（如圖）求證F為△CDE的內(nèi)心。

二、在坐標(biāo)平面上，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)

理由。

三、試證：每個(gè)大于6的自然數(shù)n，都可以表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和。

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1995年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案

第一試

一、選擇題

1．講解：這類指數(shù)冪的比較大小問題，通常是化為同底然后比較指數(shù)，或化為同指數(shù)然后比較底數(shù)，本題是化為同指數(shù)，有

c＝(53)11＝12511 ＜24311＝(35)11＝a

＜25611＝(44)11＝b。選C。

利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771計(jì)算lga、lgb、lgc也可以，但沒有優(yōu)越性。

2．講解：這類方程是熟知的。先由第二個(gè)方程確定z＝1,進(jìn)而可求出兩個(gè)解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程組

直接判斷：因?yàn)閤≠y(否則不是正整數(shù))，故方程組①或無解或有兩個(gè)解，對(duì)照選擇支，選B。

3．講解：顯然，方程的一個(gè)根為1，另兩根之和為x1＋x2＝2＞1。三根能作為一個(gè)三角形的三邊，須且只須｜x1－x2｜＜1又

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有0≤4－4m＜1．

4．講解：四個(gè)選擇支表明，圓的周長(zhǎng)存在且唯一，從而直徑也存在且唯一．又由

AB2＋AD2 ＝252＋602

＝52×（52＋122）＝52×132

＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2

故可取BD＝65為直徑，得周長(zhǎng)為65π，選D．

5．講解：此題的得分率最高，但并不表明此題最容易，因?yàn)橛行┛忌睦碛墒清e(cuò)誤的．比如有的考生取AB為直徑，則M＝N＝0，于是就選B．其實(shí)，這只能排除A、C，不能排除D．

不失一般性，設(shè)CE≥ED，在CE上取CF＝ED，則有OF＝OE，且S△第 4 頁 http://004km.cn

ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．選B．

若過C、D、O分別作AB的垂線（圖3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分別為E、F、L．連CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂徑分弦定理，知L是EF的中點(diǎn)．根據(jù)課本上做過的一道作業(yè)：梯形對(duì)角線中點(diǎn)的連線平行底邊，并且等于兩底差的一半，有

｜CE－DF｜＝2OL．

即M＝N．選B．

6．講解：取a＝-

1、b＝2可否定A、C、D，選B．一般地，對(duì)已知不等式平方，有

｜a｜(a＋b)＞a｜a＋b｜．

顯然｜a｜｜(a＋b)｜＞0（若等于0，則與上式矛盾），有

兩邊都只能取1或-1，故只有1＞-1，即

有a＜0且a＋b＞0，從而b＞-a＞0．選B．

二、填空題

1．講解：本題雖然以計(jì)算為載體，但首先要有試驗(yàn)觀察的能力．經(jīng)計(jì)算12，22，…，102，知十位數(shù)字為奇數(shù)的只有42＝16，62＝36．然后，對(duì)兩位數(shù)10a＋b，有

（10a＋b）2＝20a（5a＋b)＋b2．

其十位數(shù)字為b2的十位數(shù)字加上一個(gè)偶數(shù)，故兩位數(shù)的平方中，也中有b＝4或6時(shí)，其十位數(shù)字才會(huì)為奇數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，在1，2，…，95中個(gè)位數(shù)出現(xiàn)了幾次4或6，有2×9＋1＝19．

2.講解：這類問題一般都先化簡(jiǎn)后代值，直接把a(bǔ)

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學(xué)生在這道題上的錯(cuò)誤主要是化簡(jiǎn)的方向不明確，最后又不會(huì)將a2＋a作為整體代入．這里關(guān)鍵是整體代入，抓住這一點(diǎn)，計(jì)算可以靈活．比如，由①有

由②－①，得

由③－②并將④代入，得

還可由①得

⑥÷⑤即得所求．

3．講解：這個(gè)題目是將二次函數(shù)y＝x2－x與反比例函數(shù)

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因而x＝1時(shí)，y有最小值1．

4．講解：此題由筆者提供，原題是求sin

∠CAB，讓初中生用代數(shù)、幾何相結(jié)合的方法求特殊角的三角函數(shù)值sin75°、sin15°．解法如下：

與AB2＝AB2＋AC2 ② 聯(lián)立，可推出

而式①、③表明，AB、AC是二次方程

改為求∠CAB之后，思路更寬一些．如，由

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第二試

一、講解：首先指出，本題有IMO29-5（1989年）的背景，該題是：在直角△ABC中，斜邊BC上的高，過△ABD的內(nèi)心與△ACD的內(nèi)心的直線分別交邊AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面積分別記為S和T．求證S≥2T．

在這個(gè)題目的證明中，要用到AK ＝AL＝AD．

今年的初中聯(lián)賽題相當(dāng)于反過來，先給出AK＝AL＝AD(斜邊上的高)，再求證KL通過△ABD、△ADC的內(nèi)心（圖7）．

其次指出，本題的證法很多，但思路主要有兩個(gè)：其一，連FC、FD、FE，然后證其中兩個(gè)為相應(yīng)的角平分線；其二是過F作三邊的垂線，然后證明其中兩條垂線段相等．下面是幾個(gè)有代表性的證法．

證法1：如圖6，連DF，則由已知，有

連BD、CF，由CD＝CB，知 ∠FBD＝∠CBD－45° ＝∠CDB－45°＝∠FDB，得FB＝FD，即F到B、D和距離相等，F(xiàn)在線段BD的垂直平分線上，從而也在等腰三角形CBD的頂角平分線上，CF是∠ECD的平分線．

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由于F是△CDE上兩條角平分線的交點(diǎn)，因而就是△CDE的內(nèi)心． 證法2：同證法1，得出∠CDF＝45°＝90°－45°＝∠FDE之后，由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四點(diǎn)共圓．連EF，在證得

∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED＝∠FBD＝∠FDB＝∠FEB，即EF是∠CED的平分線．

本來，點(diǎn)E的信息很少，證EF為角平分線應(yīng)該是比較難的，但四點(diǎn)共圓把許多已知信息集中并轉(zhuǎn)移到E上來了，因而證法2并不比證法1復(fù)雜．

由這個(gè)證明可知，F(xiàn)是△DCB的外心．

證法4：如圖8，只證CF為∠DCE的平分線．由∠AGC＝∠GBA＋∠GAB＝45°＋∠2，∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1

=45°+∠1 得∠1＝∠2．

從而∠DCF＝∠GCF，得CF為∠DCE的平分線．

證法5：首先DF是∠CDE的平分線，故 △CDE的外心I在直線DF上．

現(xiàn)以CA為y軸、CB為x軸建立坐標(biāo)系，并記CA＝CB＝CD＝d,則直線AB是一次函數(shù)

y＝-x＋d ①

第 9 頁 http://004km.cn 的圖象（圖9）．若記內(nèi)心I的坐標(biāo)為（x1，y1），則 x1＋y1＝CH＋I(xiàn)H

＝CH＋HB＝CB＝d

滿足①，即I在直線AB上，但I(xiàn)在DF上，故I是AB與DF的交點(diǎn)．由交點(diǎn)的唯一性知I就是F，從而證得F為Rt△CDE的內(nèi)心．

還可延長(zhǎng)ED交⊙O于P1，而CP為直徑來證．

二、講解：此題的原型由筆者提供．題目是：

于第一象限內(nèi)，縱坐標(biāo)小于橫坐標(biāo)的格點(diǎn)．

這個(gè)題目的實(shí)質(zhì)是解不等式

求正整數(shù)解．直接解，數(shù)字較繁．但有巧法，由

及1≤y＜x，知1＋2＋…＋(x－1)＜1995＜1＋2＋…＋x．

但1953＝1＋2＋…＋62＜1995＜1＋2＋…＋62＋63＝2016，得x＝63，從而y＝21，所求的格點(diǎn)為(21，63)．

經(jīng)過命題組的修改之后，數(shù)據(jù)更整齊且便于直接計(jì)算．

有x2－x＋18≤10｜x｜．

當(dāng)x≥0時(shí)，有x2－11x＋18≤0，得2≤x≤9，代入二次函數(shù)，得合乎條件的4個(gè)整點(diǎn)：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);

當(dāng)x＜0時(shí)，有 x2＋9x＋18≤0，得-6≤x≤-3，代入二次函數(shù)，得合乎條件的2個(gè)整點(diǎn)：

(-6,6),(-3,3)．

對(duì)x≥0，取x＝2,4,7,9,12,14,…順次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、(9，9)，且當(dāng)x＞9時(shí)，由

第 10 頁 http://004km.cn

對(duì)x<0，取x＝-1,-3,-6,-8,…順次代入，得(-3，3)、(-6，6)，且當(dāng)x<-6時(shí)，由

知y>-x，再無滿足y≤｜x｜的解． 故一共有6個(gè)整點(diǎn)，圖示略．

解法3：先找滿足條件y＝｜x｜的整點(diǎn)，即分別解方程 x2－11x＋18＝0 ① x2＋9x＋18＝0 ②

可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3)．

再找滿足y＜｜x｜的整點(diǎn)，這時(shí) 2＜x＜9或-6＜x＜-3，依次檢驗(yàn)得(4，3)、(7，6)．故共有6個(gè)整點(diǎn)．

三、講解：直觀上可以這樣看，當(dāng)n＞6時(shí)，在2，3，…，n－2中，必有一個(gè)數(shù)A與n互質(zhì)(2≤A≤n－2)，記

B＝n－A≥2，有n＝A＋B．

此時(shí)，A與B必互質(zhì)，否則A與B有公約數(shù)d＞1，則d也是n的約數(shù)，從而A與n有大于1的公約數(shù)，與A、n互質(zhì)矛盾．

但是，對(duì)于初中生來說，這個(gè)A的存在性有點(diǎn)抽象，下面分情況，把它具體找出來．

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有 n＝2＋(n－2)，(2)當(dāng)n為偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)時(shí)，有

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(3)當(dāng)n為偶數(shù)，且又是4的倍數(shù)時(shí)，有

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第四篇：1996年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

1996年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

A．M＞N

B．M=N

C．M＜N

D．不確定

A．有一組 B．有二組

C．多于二組

D．不存在

3．如圖，A是半徑為1的圓O外的一點(diǎn)，OA=2，AB是圓O的切線，B是切點(diǎn)，弦BC∥OA，連結(jié)AC，則陰影部分的面積等于 [

]

4．設(shè)x1、x2是二次方程x2+x?3=0的兩個(gè)根，那么x13?4x22+19的值等于 [

]

A．?

4B．8

C．6

D．0

5．如果一個(gè)三角形的面積和周長(zhǎng)都被一直線所平分，那么該直線必通過這個(gè)三角形的 [

]

A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心

6．如果20個(gè)點(diǎn)將某圓周20等分，那么頂點(diǎn)只能在這20個(gè)點(diǎn)中選取的正多邊形的個(gè)數(shù)有 [

]

A．4個(gè) B．8個(gè)

C．12個(gè)

D．24個(gè)

2．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，則點(diǎn)N到邊BC的距離等于______．

3．設(shè)1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且

4．如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°至AB＇C＇D＇的位置，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是______．

5.某校在向“希望工程”捐款活動(dòng)中，甲班的m個(gè)男生和11個(gè)女生的捐款總數(shù)與乙班的9個(gè)男人和n個(gè)女生的捐款總數(shù)相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款數(shù)相同，且都是整數(shù)元，求每人的捐款數(shù)．

6.設(shè)凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作AD的平行線分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，P是以O(shè)為圓心OM為半徑的圓上一點(diǎn)（位置如圖所示），求證：∠OPF=∠OEP．

三、（本題滿分25分）

已知a、b、c都是正整數(shù)，且拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，若A、B到原點(diǎn)的距離都小于1，求a+b+c的最小值．

1996年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案

第一試

一、選擇題 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C

二、填空題

一、據(jù)題意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得

綜上可知，每人捐款數(shù)為25元或47元．

二、作AD、BO的延長(zhǎng)線相交于G，∵OE

而，三、據(jù)題意，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相異根，都在(?1，0)中，故

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，∴a+b+c=11最小．

第五篇：19屆全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2019年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）

1．若，則的值為（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

解：

由題設(shè)得．

2．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則a的取值范圍是

（）．

（A）a≤

（B）a≥4

（C）a≤或

a≥4

（D）≤a≤4

解．C

因?yàn)閎是實(shí)數(shù)，所以關(guān)于b的一元二次方程的判別式

≥0,解得a≤或

a≥4．

3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長(zhǎng)為（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（第3題）

解：D

如圖，過點(diǎn)A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)．

由已知可得

（第3題）

BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是

EF＝4＋．

過點(diǎn)A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得

AD＝．

4．在一列數(shù)……中，已知，且當(dāng)k≥2時(shí)，（取整符號(hào)表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則等于（）．

(A)

(B)

(C)

(D)

解：B

由和可得，，，，……

因?yàn)?010=4×502+2，所以=2．

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點(diǎn)P（0，2）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P1，點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P2，點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P3，點(diǎn)P3繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P4，……，重復(fù)操作依次得到點(diǎn)P1，P2，…，則點(diǎn)P2010的坐標(biāo)是（）．

（A）（2010，2）

（B）（2010，）

（C）（2012，）

（D）（0，2）

解：B由已知可以得到，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，）．

（第5題）

記，其中．

根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，依次可以求得：，，．

令，同樣可以求得，點(diǎn)的坐標(biāo)為（），即（），由于2010=4502+2，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（2010，）．

二、填空題

6．已知a＝－1，則2a3＋7a2－2a－12的值等于

．

解：0

由已知得

(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時(shí)刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t＝

．

解：15

設(shè)在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為

（千米/分），并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得，①，②

．

③

由①②，得，所以，x=30．

故

（分）．

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經(jīng)過點(diǎn)M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式是

．

（第8題

（第8題）

解：

如圖，延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點(diǎn)N．

由已知得點(diǎn)M（2，3）是OB，AF的中點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分．又因?yàn)辄c(diǎn)N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點(diǎn)N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分．

于是，直線即為所求的直線．

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則

解得,故所求直線的函數(shù)表達(dá)式為．

9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點(diǎn)F，C，過點(diǎn)C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則

．

（第9題）

解：

見題圖，設(shè)．

因?yàn)镽t△AFB∽R(shí)t△ABC，所以

．

又因?yàn)?/p>

FC＝DC＝AB，所以

即，解得，或（舍去）．

又Rt△∽R(shí)t△，所以，即=．

10．對(duì)于i=2，3，…，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i－1．若的最小值滿足，則正整數(shù)的最小值為

．

解：

因?yàn)闉榈谋稊?shù)，所以的最小值滿足，其中表示的最小公倍數(shù)．

由于，因此滿足的正整數(shù)的最小值為．

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）

11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點(diǎn)D是線段PC上的一點(diǎn)，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：

（第12A題）

．

（第12B題）

（第11題）

（第12B題）

證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D.因?yàn)锽E和CF都是直徑，所以

ED⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，因此D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.…………（5分）

連接AE，AF，則，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）

（第11題）

作AH⊥EF，垂足為H，則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，從而，所以

.…………（20分）

12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點(diǎn)A，B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求實(shí)數(shù)a，b，k的值；

（2）過拋物線上點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，求

所有滿足△EOC∽△AOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，4）在雙曲線上，所以k=4.故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.（第12題）

設(shè)點(diǎn)B（t，），AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有

解得，.于是，直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）．

因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在拋物線（a0）上，所以

解得

…（10分）

（2）如圖，因?yàn)锳C∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.設(shè)拋物線（a0）與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）.（第12題）

因?yàn)椤螩OD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）將△繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△.這時(shí)，點(diǎn)(，2)是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，）.延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得=，這時(shí)點(diǎn)（8，）是符合條件的點(diǎn).（ii）作△關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△，得到點(diǎn)（1，）；延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得＝，這時(shí)點(diǎn)E２（2，）是符合條件的點(diǎn)．

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，），或（2，）.…………（20分）

13．求滿足的所有素?cái)?shù)p和正整數(shù)m.解：由題設(shè)得，所以，由于p是素?cái)?shù)，故，或.……（5分）

（1）若，令，k是正整數(shù)，于是，故，從而.所以解得

…………（10分）

（2）若，令，k是正整數(shù).當(dāng)時(shí)，有，故，從而，或2.由于是奇數(shù)，所以，從而.于是

這不可能.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，無正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，無正整數(shù)解.綜上所述，所求素?cái)?shù)p=5，正整數(shù)m=9.…………（20分）

14．從1，2，…，2010這2010個(gè)正整數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和都能被33整除？

解：首先，如下61個(gè)數(shù)：11，，…，（即1991）滿足題設(shè)條件.（5分）

另一方面，設(shè)是從1，2，…，2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù)，對(duì)于這n個(gè)數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)，因?yàn)?，所?/p>

.因此，所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù).…………（10分）

設(shè)，i=1，2，3，…，n.由，得，所以，即≥11.…………（15分）

≤，故≤60.所以，n≤61.綜上所述，n的最大值為61.…………（20分）