第一篇:全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第21講 分類(lèi)與討論
全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集
第二十一講 分類(lèi)與討論
分類(lèi)在數(shù)學(xué)中是常見(jiàn)的,讓我們先從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子開(kāi)始.
有四張卡片,它們上面各寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字:1,9,9,8.從中取出若干張按任意次序排列起來(lái)得到一個(gè)數(shù),這樣的數(shù)中有多少個(gè)是質(zhì)數(shù)?
因?yàn)榘匆笏玫臄?shù)可能是一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)和四位數(shù),我們分別給予討論.
任取一張卡片,只能得3個(gè)數(shù):1,8,9,其中沒(méi)有質(zhì)數(shù);任取二張卡片,可得7個(gè)數(shù):18,19,81,89,91,98,99,其中19,89兩個(gè)是質(zhì)數(shù);任取三張卡片,可得12個(gè)數(shù):189,198,819,891,918,981,199,919,991,899,989,998,其中199,919,991三個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù);取四張,所得的任一個(gè)四位數(shù)的數(shù)字和是27,因而是3的倍數(shù),不是質(zhì)數(shù).綜上所述,質(zhì)數(shù)共有2+3=5個(gè).
上面的解題方法稱為分類(lèi)討論法.當(dāng)我們要解決一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí),經(jīng)常把所要討論的對(duì)象分成若干類(lèi),然后逐類(lèi)討論,得出結(jié)論.
分類(lèi)討論法是一種很重要的數(shù)學(xué)方法.在分類(lèi)中須注意題中所含的對(duì)象都必須在而且只在所分的一類(lèi)中.分類(lèi)討論一般分為三個(gè)步驟,首先確定分類(lèi)對(duì)象,即對(duì)誰(shuí)實(shí)施分類(lèi).第二是對(duì)對(duì)象實(shí)施分類(lèi),即分哪幾類(lèi),這里要特別注意,每次分類(lèi)要按照同一標(biāo)準(zhǔn),并做到不重復(fù)、不遺漏,有些復(fù)雜的問(wèn)題,還要逐級(jí)分類(lèi).最后對(duì)討論的結(jié)果進(jìn)行綜合,得出結(jié)論.
例1 求方程
x2-│2x-1│-4=0 的實(shí)根.
x2+2x-1-4=0,x2-2x+1-4=0,x1=3,x2=-1.
說(shuō)明 在去絕對(duì)值時(shí),常常要分類(lèi)討論.
例2 解方程x2-[x]=2,其中[x]是不超過(guò)x的最大整數(shù).
解 由[x]的定義,可得
x≥[x]=x2-2,所以 x2-x-2≤0,解此不等式得
-1≤x≤2.
現(xiàn)把x的取值范圍分成4個(gè)小區(qū)間(分類(lèi))來(lái)進(jìn)行求解.
(1)當(dāng)-1≤x≤0時(shí),原方程為
x2-(-1)=2,所以x=-1(因x=1不滿足-1≤x<0).
(2)當(dāng)0≤x<1時(shí),原方程為
x2=2.
(3)當(dāng)1≤x<2時(shí),原方程為
x2-1=2,所以
(4)當(dāng)x=2時(shí),滿足原方程.
例3 a是實(shí)數(shù),解方程
x│x+1│+a=0.
分析 方程中既含有絕對(duì)值,又含有參數(shù)a,若以平方化去絕對(duì)值的話,則引入了高次方程,把問(wèn)題更加復(fù)雜化了.對(duì)這種問(wèn)題,宜討論x的取值范圍來(lái)求解.
解(1)當(dāng)x<-1時(shí),原方程變形為
x2+x-a=0.①
當(dāng)△=1+4a≥0(且a=-x│1+x│>0),即a>0時(shí),①的解為
(2)當(dāng)x≥-1時(shí),原方程為
x2+x+a=0.②
又x≥-1,即
綜上所述,可得:當(dāng)a<0時(shí),原方程的解為
例5 已知三角形中兩角之和為n,最大角比最小角大24°,求n的取值范圍.
解 設(shè)三角形的三個(gè)角度數(shù)分別是α,β,γ,且有α≥β≥γ. 由題設(shè)α-γ=24.
(1)若β+γ=n,則α=180°-n,γ=α-24°=156°-n,β=n-γ=2n-156°.
所以
156°-n≤2n-156°≤180°-n,所以 104°≤n≤112°.
(2)若α+γ=n,則β=180°-n,于是
所以
所以 112°≤n≤128°.
(3)若α+β=n,則γ=180°-n,α=γ+24°=204°-n,β=n-α=2n-204°.于是
180°-n≤2n-204°≤204°-n,所以 128°≤n≤136°.
綜上所述,n的取值范圍是104°≤n≤136°.
例6 證明:若p是大于5的質(zhì)數(shù),則p2-1是24的倍數(shù).
分析 關(guān)于整數(shù)的問(wèn)題,我們常把它分成奇數(shù)和偶數(shù)(即按模2分類(lèi))來(lái)討論,有時(shí)也把整數(shù)按模3分成三類(lèi):3k,3k+1,3k+2.一般地,可根據(jù)問(wèn)題的需要,把整數(shù)按模n來(lái)分類(lèi).本題我們按模6來(lái)分類(lèi).
證 把正整數(shù)按模6分類(lèi),可分成6類(lèi):6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5.因p是大于5的質(zhì)數(shù),故p只能屬于6k+1,6k+5這兩類(lèi).
當(dāng)p=6k+1時(shí),p2-1=36k2+12k=12k(3k+1).
因k,3k+1中必有一個(gè)偶數(shù),此時(shí)24│p2-1.
當(dāng)p=6k+5時(shí),p2-1=36k2+60k+24
=12k2+12k
=12k(k+1)≡0(mod 24).
所以,P2-1是24的倍數(shù).
例7 證明
A=││x-y│+x+y-2z│+│x-y│+x+y+2z
=4max{x,y,z},其中max{x,y,z}表示x,y,z這三個(gè)數(shù)中的最大者.
分析 欲證的等式中含有三個(gè)絕對(duì)值符號(hào),且其中一個(gè)在另一個(gè)內(nèi),要把絕對(duì)值去掉似乎較為困難,但等式的另一邊對(duì)我們有所提示,如果x為x,y,z中的最大者,即證A=4x,依次再考慮y,z是它們中的最大值便可證得.
證(1)當(dāng)x≥y,x≥z時(shí),A=│x-y+x+y-2z│+x-y+x+y+2z
=2x-2z+2x+2z=4x.(2)當(dāng)y≥z,y≥x時(shí),A=│y-x+x+y-2z│+y-x+x+y+2z
=2y-2z+2y+2z=4y.
(3)當(dāng)z≥x,z≥y時(shí),因?yàn)?/p>
│x-y│+x+y=max{x,y}≤2z,所以
A=2z-│x-y│-x-y+│x-y│+x+y+2z=4z.
從而 A=4max{x,y,z}.
例8 在1×3的矩形內(nèi)不重疊地放兩個(gè)與大矩形相似的小矩形,且每個(gè)小矩形的每條邊相應(yīng)地與大矩形的一條邊平行,求兩個(gè)小矩形周長(zhǎng)和的最大值.
解 兩個(gè)小矩形的放置情況有如下幾種:
(2)兩個(gè)小矩形都“橫放”,如圖2-124及圖2-125所示,這時(shí)兩個(gè)小矩形的周長(zhǎng)和的最大值是
2(a+3a)+2[1-a+3(1-a)]=8.
(3)兩個(gè)小矩形一個(gè)“橫放”,一個(gè)“豎放”,如圖2-126,這時(shí)兩個(gè)小矩形的周長(zhǎng)和為
練習(xí)二十一
1.解不等式:│x+1│+│x│<2.
2.解關(guān)于x的不等式:a(ax-1)>x-1.3.解方程:││x-3│-2│=a.
4.解方程:x2-2[x]-3=0.
6.設(shè)等腰三角形的一腰與底邊分別是方程x2-bx+a=0的兩根,當(dāng)這樣的三角形只有一個(gè)時(shí),求a的取值范圍.
7.x,y都是自然數(shù),求證:x2+y+1和y2+4x+3的值不能同時(shí)是完全平方.
第二篇:全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第18講 歸納與發(fā)現(xiàn)
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第十八講 歸納與發(fā)現(xiàn)
歸納的方法是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性的一種重要思考方法,也是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)命題與發(fā)現(xiàn)解題思路的一種重要手段.這里的歸納指的是常用的經(jīng)驗(yàn)歸納,也就是在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),首先從簡(jiǎn)單的特殊情況的觀察入手,取得一些局部的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果,然后以這些經(jīng)驗(yàn)作基礎(chǔ),分析概括這些經(jīng)驗(yàn)的共同特征,從而發(fā)現(xiàn)解題的一般途徑或新的命題的思考方法.下面舉幾個(gè)例題,以見(jiàn)一般.
例1 如圖2-99,有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣,它的中心是一個(gè)點(diǎn),算作第一層;第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn)(相鄰兩邊公用一個(gè)點(diǎn));第三層每邊有三個(gè)點(diǎn),?這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有n層,試問(wèn)第n層有多少個(gè)點(diǎn)?這個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè)點(diǎn)?
分析與解 我們來(lái)觀察點(diǎn)陣中各層點(diǎn)數(shù)的規(guī)律,然后歸納出點(diǎn)陣共有的點(diǎn)數(shù).
第一層有點(diǎn)數(shù):1; 第二層有點(diǎn)數(shù):1×6; 第三層有點(diǎn)數(shù):2×6; 第四層有點(diǎn)數(shù):3×6;
??
第n層有點(diǎn)數(shù):(n-1)×6.因此,這個(gè)點(diǎn)陣的第n層有點(diǎn)(n-1)×6個(gè).n層共有點(diǎn)數(shù)為
例2 在平面上有過(guò)同一點(diǎn)P,并且半徑相等的n個(gè)圓,其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn),任何三個(gè)圓除P點(diǎn)外無(wú)其他公共點(diǎn),那么試問(wèn):
(1)這n個(gè)圓把平面劃分成多少個(gè)平面區(qū)域?
(2)這n個(gè)圓共有多少個(gè)交點(diǎn)?
分析與解(1)在圖2-100中,設(shè)以P點(diǎn)為公共點(diǎn)的圓有1,2,3,4,5個(gè)(取這n個(gè)特定的圓),觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個(gè)?為此,我們列出表18.1.
由表18.1易知
S2-S1=2,S3-S2=3,S4-S3=4,S5-S4=5,??
由此,不難推測(cè)
Sn-Sn-1=n.
把上面(n-1)個(gè)等式左、右兩邊分別相加,就得到
Sn-S1=2+3+4+?+n,因?yàn)镾1=2,所以
下面對(duì)Sn-Sn-1=n,即Sn=Sn-1+n的正確性略作說(shuō)明.
因?yàn)镾n-1為n-1個(gè)圓把平面劃分的區(qū)域數(shù),當(dāng)再加上一個(gè)圓,即當(dāng)n個(gè)圓過(guò)定點(diǎn)P時(shí),這個(gè)加上去的圓必與前n-1個(gè)圓相交,所以這個(gè)圓就被前n-1個(gè)圓分成n部分,加在Sn-1上,所以有Sn=Sn-1+n.
(2)與(1)一樣,同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來(lái)解決.為此,可列出表18.2.
由表18.2容易發(fā)現(xiàn)
a1=1,a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,a5-a4=4,??
an-1-an-2=n-2,an-an-1=n-1.
n個(gè)式子相加
注意 請(qǐng)讀者說(shuō)明an=an-1+(n-1)的正確性.
例3 設(shè)a,b,c表示三角形三邊的長(zhǎng),它們都是自然數(shù),其中a≤b≤c,如果 b=n(n是自然數(shù)),試問(wèn)這樣的三角形有多少個(gè)?
分析與解 我們先來(lái)研究一些特殊情況:
(1)設(shè)b=n=1,這時(shí)b=1,因?yàn)閍≤b≤c,所以a=1,c可取1,2,3,?.若c=1,則得到一個(gè)三邊都為1的等邊三角形;若c≥2,由于a+b=2,那么a+b不大于第三邊c,這時(shí)不可能由a,b,c構(gòu)成三角形,可見(jiàn),當(dāng)b=n=1時(shí),滿足條件的三角形只有一個(gè).
(2)設(shè)b=n=2,類(lèi)似地可以列舉各種情況如表18.3.
這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為:1+2=3.
(3)設(shè)b=n=3,類(lèi)似地可得表18.4.
這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為:1+2+3=6.
通過(guò)上面這些特例不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)b=n時(shí),滿足條件的三角形總數(shù)為:
這個(gè)猜想是正確的.因?yàn)楫?dāng)b=n時(shí),a可取n個(gè)值(1,2,3,?,n),對(duì)應(yīng)于a的每個(gè)值,不妨設(shè)a=k(1≤k≤n).由于b≤c<a+b,即n≤c<n+k,所以c可能取的值恰好有k個(gè)(n,n+1,n+2,?,n+k-1).所以,當(dāng)b=n時(shí),滿足條件的三角形總數(shù)為:
例4 設(shè)1×2×3×?×n縮寫(xiě)為n!(稱作n的階乘),試化簡(jiǎn):1!×1+2!×2+3!×3+?+n!×n.分析與解 先觀察特殊情況:
(1)當(dāng)n=1時(shí),原式=1=(1+1)!-1;
(2)當(dāng)n=2時(shí),原式=5=(2+1)!-1;
(3)當(dāng)n=3時(shí),原式=23=(3+1)!-1;
(4)當(dāng)n=4時(shí),原式=119=(4+1)!-1.
由此做出一般歸納猜想:原式=(n+1)!-1.下面我們證明這個(gè)猜想的正確性.
1+原式=1+(1!×1+2!×2+3!×3+?+n!×n)
=1!×2+2!×2+3!×3+?+n!×n
=2!+2!×2+3!×3+?+n!×n
=2!×3+3!×3+?+n!×n
=3!+3!×3+?+n!×n=?
=n!+n!×n=(n+1)!,所以原式=(n+1)!-1.例5 設(shè)x>0,試比較代數(shù)式x3和x2+x+2的值的大?。?/p>
分析與解 本題直接觀察,不好做出歸納猜想,因此可設(shè)x等于某些特殊值,代入兩式中做試驗(yàn)比較,或許能啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解題思路.為此,設(shè)x=0,顯然有
x3<x2+x+2.①
設(shè)x=10,則有x3=1000,x2+x+2=112,所以
x3>x2+x+2.②
設(shè)x=100,則有x3>x2+x+2.
觀察、比較①,②兩式的條件和結(jié)論,可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)x值較小時(shí),x3<x2+x+2;當(dāng)x值較大時(shí),x3>x2+x+2.
那么自然會(huì)想到:當(dāng)x=?時(shí),x3=x2+x+2呢?如果這個(gè)方程得解,則它很可能就是本題得解的“臨界點(diǎn)”.為此,設(shè)x3=x2+x+2,則
x3-x2-x-2=0,(x3-x2-2x)+(x-2)=0,(x-2)(x2+x+1)=0.
因?yàn)閤>0,所以x2+x+1>0,所以x-2=0,所以x=2.這樣
(1)當(dāng)x=2時(shí),x3=x2+x+2;
(2)當(dāng)0<x<2時(shí),因?yàn)?/p>
x-2<0,x2+x+2>0,所以(x-2)(x2+x+2)<0,即
x3-(x2+x+2)<0,所以 x3<x2+x+2.(3)當(dāng)x>2時(shí),因?yàn)?/p>
x-2>0,x2+x+2>0,所以(x-2)(x2+x+2)>0,即
x3-(x2+x+2)>0,所以 x3>x2+x+2.
綜合歸納(1),(2),(3),就得到本題的解答.
分析 先由特例入手,注意到
例7 已知E,F(xiàn),G,H各點(diǎn)分別在四邊形ABCD的AB,BC,CD,DA邊上(如圖2—101).
(2)當(dāng)上述條件中比值為3,4,?,n時(shí)(n為自然數(shù)),那S么S四邊形EFGH與S四邊形ABCD之比是多少?
∥AC交DA于M點(diǎn).由平行截割定理易知
G引GM
(2)設(shè)
當(dāng)k=3,4時(shí),用類(lèi)似于(1)的推理方法將所得結(jié)論與(1)的結(jié)論列成表18.5.觀察表18.5中p,q的值與對(duì)應(yīng)k值的變化關(guān)系,不難發(fā)現(xiàn):當(dāng)k=n(自然數(shù))時(shí)有
以上推測(cè)是完全正確的,證明留給讀者.
練習(xí)十八
1.試證明例7中:
2.平面上有n條直線,其中沒(méi)有兩條直線互相平行(即每?jī)蓷l直線都相交),也沒(méi)有三條或三條以上的直線通過(guò)同一點(diǎn).試求:
(1)這n條直線共有多少個(gè)交點(diǎn)?
(2)這n條直線把平面分割為多少塊區(qū)域?
然后做出證明.)
4.求適合x(chóng)5=656356768的整數(shù)x.
(提示:顯然x不易直接求出,但可注意其取值范圍:505<656356768<605,所以502<x<602.=
第三篇:全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第32講 自測(cè)題
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第三十二講 自測(cè)題
自測(cè)題一
1.分解因式:x4-x3+6x2-x+15.
2.已知a,b,c為三角形的三邊長(zhǎng),且滿足
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,試確定這個(gè)三角形的形狀.
3.已知a,b,c,d均為自然數(shù),且
a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b的值.
4. a,b,c是整數(shù),a≠0,且方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為a和b,求a+b+c的值.
5.設(shè)E,F(xiàn)分別為AC,AB的中點(diǎn),D為BC上的任一點(diǎn),P在BF上,DP∥CF,Q在CE上,DQ∥BE,PQ交BE于R,交
6.四邊形ABCD中,如果一組對(duì)角(∠A,∠C)相等時(shí),另一組對(duì)角(∠B,∠D)的平分線存在什么關(guān)系?
7.如圖2-194所示.△ABC中,D,E分別是邊BC,AB上的點(diǎn),且∠1=∠2=∠3.如果△ABC,△
8.如圖2-195所示.△ABC中,∠B=90°,M為AB上一點(diǎn),使得AM=BC,N為BC上一點(diǎn),使得CN=BM,連AN,CM交于P點(diǎn).求∠APM的度數(shù).
9.某服裝市場(chǎng),每件襯衫零售價(jià)為70元,為了促銷(xiāo),采用以下幾種優(yōu)惠方式:購(gòu)買(mǎi)2件130元;購(gòu)滿5件者,每件以零售價(jià)的九折出售;購(gòu)買(mǎi)7件者送1件.某人要買(mǎi)6件,問(wèn)有幾種購(gòu)物方案(必要時(shí),可與另一購(gòu)買(mǎi)2件者搭幫,但要兼顧雙方的利益)?哪種方案花錢(qián)最少?
自測(cè)題二
1.分解因式:(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox.
2.對(duì)于集合
p={x丨x是1到100的整數(shù)}
中的元素a,b,如果a除以b的余數(shù)用符號(hào)表示.例如17除以4,商是4,余數(shù)是1,就表示成<17,4>=1,3除以7,商是0,余數(shù)是3,即表示成<3,7>=3.試回答下列問(wèn)題:
(1)本集合{x丨<78,x>=6,x∈p}中元素的個(gè)數(shù);
(2)用列舉法表示集合
{x丨
3.已知:x+y+z=1,x2+y2+z2=2,x3+y3+z3=3,試求:(1)xyz的值;(2)x4+y4+z4的值.
4.已知方程x2-3x+a+4=0有兩個(gè)整數(shù)根.
(1)求證:這兩個(gè)整數(shù)根一個(gè)是奇數(shù),一個(gè)是偶數(shù);
(2)求證:a是負(fù)偶數(shù);
(3)當(dāng)方程的兩整數(shù)根同號(hào)時(shí),求a的值及這兩個(gè)根.
5.證明:形如8n+7的數(shù)不可能是三個(gè)整數(shù)的平方和.
7.如圖2-196所示.AD是等腰三角形ABC底邊上的中線,BE是角平分線,EF⊥BC,EG⊥BE且交BC于G.求證:
8.如圖2-197所示.AD是銳角△ABC的高,O是AD上任意一點(diǎn),連BO,OC并分別延長(zhǎng)交AC,AB于E,F(xiàn),連結(jié)DE,DF.求證:∠EDO=∠FDO.
9.甲校需要課外圖書(shū)200本,乙校需要課外圖書(shū)240本,某書(shū)店門(mén)市部A可供應(yīng)150本,門(mén)市部B可供應(yīng)290本.如果平均每本書(shū)的運(yùn)費(fèi)如下表,考慮到學(xué)校的利益,如何安排調(diào)運(yùn),才能使學(xué)校支出的運(yùn)費(fèi)最少?
自測(cè)題三
2.對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,方程
(k2+1)x2-2(a+k)2x+k2+4k+b=0
總有一個(gè)根是1,試求實(shí)數(shù)a,b的值及另一個(gè)根的范圍.
4.如圖2-198.ABCD為圓內(nèi)接四邊形,從它的一個(gè)頂點(diǎn)A引平行于CD的弦AP交圓于P,并且分別交BC,BD于Q,R.求證:
5.如圖2-199所示.在△ABC中∠C=90°,∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點(diǎn),過(guò)D引AB的平行線交BC于F.求證:BF=EC.
6.如圖2-200所示.△ABC中,AB>AC,作∠FBC=∠ECB=
7.已知三角形的一邊是另一邊的兩倍,求證:它的最小邊在它的周8.求最大的自然數(shù)x,使得對(duì)每一個(gè)自然數(shù)y,x能整除7y+12y-1.
9.某公園的門(mén)票規(guī)定為每人5元,團(tuán)體票40元一張,每張團(tuán)體票最多可入園10人.
(1)現(xiàn)有三個(gè)單位,游園人數(shù)分別為6,8,9.這三個(gè)單位分別怎樣買(mǎi)門(mén)票使總門(mén)票費(fèi)最???
(2)若三個(gè)單位的游園人數(shù)分別是16,18和19,又分別怎樣買(mǎi)門(mén)票使總門(mén)票費(fèi)最省?
(3)若游園人數(shù)為x人,你能找出一般買(mǎi)門(mén)票最省錢(qián)的規(guī)律嗎?
自測(cè)題四
1.求多項(xiàng)式2x2-4xy+5y2-12y+13的最小值.
2.設(shè)
試求:f(1)+f(3)+f(5)+…+f(1999).
3.如圖2-201所示.在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD上任取一點(diǎn)O,過(guò)O作邊BC,AB的平行線交AB,BC于F,E,又在 EO上取一點(diǎn)P.CP與OF交于Q.求證:BP∥DQ.
4.若a,b,c為有理數(shù),且等式成立,則a=b=c=0 .
5.如圖2-202所示.△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形,以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角,角的兩邊分別交AB,AC于M,N,連接MN,求△AMN的周長(zhǎng).
6.證明:由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的不重復(fù)六位數(shù)不可能被11整除.
7.設(shè)x1,x2,…,x9均為正整數(shù),且
x1<x2<…<x9,x1+x2+…+x9=220.
當(dāng)x1+x2+…+x5的值最大時(shí),求x9-x1的值.
8.某公司有甲乙兩個(gè)工作部門(mén),假日去不同景點(diǎn)旅游,總共有m人參加,甲部門(mén)平均每人花費(fèi)120元,乙部門(mén)每人花費(fèi)110元,該公司去旅游的總共花去2250元,問(wèn)甲乙兩部門(mén)各去了多少人?
9.(1)已知如圖2-203,四邊形ABCD內(nèi)接于圓,過(guò)AD上一點(diǎn)E引直線EF∥AC交BA延長(zhǎng)線于F.求證:
FA·BC=AE·CD.
(2)當(dāng)E點(diǎn)移動(dòng)到D點(diǎn)時(shí),命題(1)將會(huì)怎樣?
(3)當(dāng)E點(diǎn)在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)又會(huì)怎樣?
自測(cè)題五
2.關(guān)于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m+1)=0有一根
3.設(shè)x+y=1,x2+y2=2,求x7+y7的值.
4.在三角形ABC內(nèi),∠B=2∠C.求證:b2=c2+ac.
5.若4x-y能被3整除,則4x2+7xy-2y2能被9整除.
6.a(chǎn),b,c是三個(gè)自然數(shù),且滿足
abc=a+b+c,求證:a,b,c只能是1,2,3中的一個(gè).
7.如圖2-204所示.AD是△ABC的BC邊上的中線,E是BD的中點(diǎn),BA=BD.求證:AC=2AE.
8.設(shè)AD是△ABC的中線,(1)求證:AB2+AC2=2(AD2+BD2);
(2)當(dāng)A點(diǎn)在BC上時(shí),將怎樣?
按沿河距離計(jì)算,B離A的距離AC=40千米,如果水路運(yùn)費(fèi)是公路運(yùn)費(fèi)的一半,應(yīng)該怎樣確定在河岸上的D點(diǎn),從B點(diǎn)筑一條公路到D,才能使A到B的運(yùn)費(fèi)最省?
第四篇:全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第31講 復(fù)習(xí)題
全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集
第三十一講復(fù)習(xí)題
1.分解因式:3x2+5xy-2y2+x+9y-4.
2.分解因式:(x2+xy+y2)(x2+xy+2y2)-12y4.
5.已知
求ab+cd的值.
為任意正數(shù),證明1<s<2.7.設(shè)a,b是互不相等的正數(shù),比較M,N的大?。?/p>
8.求分式 的值.
9.已知:
求證:px+qy+rz=(p+q+r)(x+y+z).
11.已知實(shí)數(shù)x,y滿足等式
求x,y的值.
12.若14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2,求a∶b∶c.
13.解方程:x2+2x-3丨x+1丨+3=0.
14.已知三個(gè)二次方程x2-3x+a=0,2x2+ax-4=0,ax2+bx-3=0有公共解,試求整數(shù)a和整數(shù)b的值.
15.如圖2-178所示.在△ABC中,過(guò)點(diǎn)B作∠A的平分線的垂線,足為D.DE∥AC交AB于E點(diǎn).求證:E是AB的中點(diǎn).
16.求證:直角三角形勾股平方的倒數(shù)和等于弦上的高的平方的倒數(shù).
17.如圖2-179所示.在△ABC中,延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC.若BC中點(diǎn)為E,AD=2AE,求證:AB=BC.
18.如圖2-180所示.ABCD是平行四邊形,BCGH及CDFE都是正方形.求證:AC⊥EG.
19.證明:梯形對(duì)角線中點(diǎn)的連線平行于底,并且等于兩底差的一半.
20.如圖2-181所示.梯形ABCD中,∠ADC=90°,∠AEC=3∠BAE,AB∥CD,E是 BC的中點(diǎn).求證:
CD=CE.
21.如圖2-182所示.梯形ABCD中,AD∥BC(AD<BC),AC和BD交于M,EF過(guò)M且平行于AD,EC和FB交于N,GH過(guò)N且平行于AD.求證:
22.如圖2-183所示.在矩形ABCD中,M是AD的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),PM交AC于Q.求證:∠QNM=∠MNP.
23.在(凸)四邊形ABCD中,求證:
AC·BD≤AB·CD+AD·BC.
24.如圖2-184所示.AD是等腰△ABC底邊BC上的高,BM與BN是∠B的三等分角線,分別交AD于M,N點(diǎn),連CN并延長(zhǎng)交AB于E.求證:
25.已知n是正整數(shù),且n2-71能被7n+55整除,求n的值.
26.求具有下列性質(zhì)的最小正整數(shù)n:
(1)它以數(shù)字6結(jié)尾;
(2)如果把數(shù)字6移到第一位之前,所得的數(shù)是原數(shù)的4倍.
27.求出整數(shù)n,它的2倍被3除余1,3倍被5除余2,5倍被7除余3.
28.把 1,2,3,?,81這 81個(gè)數(shù)任意排列為:a1,a2,a3,?,a81.計(jì)算
丨a1-a2+a3丨,丨a4-a5+a6丨,?,丨a79-a80+a81丨;
再將這27個(gè)數(shù)任意排列為b1,b2,?,b27,計(jì)算
丨b1-b2+b3丨,丨b4-b5+b6丨,?,丨b25-b26+b27丨.
如此繼續(xù)下去,最后得到一個(gè)數(shù)x,問(wèn)x是奇數(shù)還是偶數(shù)?
29.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別記為a,b,c,30.設(shè)凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于O,且AC⊥BD,已知OA>OC,OB>OD,求證:
BC+AD>AB+CD.
31.如圖2-185.在梯形ABCD中,AD∥BC,E,F(xiàn)分別在AB和DC上,EF∥BC,EF平分梯形ABCD的面積,若AD=a,BC=b,求EF的長(zhǎng).
32.四邊形ABCD的面積為1,M為AD的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn),的面積.
33.已知一元二次方程
x2-x+1-m=0 的兩實(shí)根x1,x2滿足丨x1丨+丨x2丨≤5,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
34.求所有的正實(shí)數(shù)a,使得方程x2-ax+4a=0僅有整數(shù)根.
35.求證:當(dāng)p,q為奇數(shù)時(shí),方程
x2+px+q=0
無(wú)整數(shù)根.
36.如圖2-186.已知圓中四弦AB,BD,DC,CA分別等于a,b,c,d(且cd>ab).過(guò)C引直線CE∥AD交AB的延長(zhǎng)線于E,求BE之長(zhǎng).
37.設(shè)A={2,x,y},B={2,x,y2},其中x,y是整數(shù),并且A∩B={2,4},A∪B={2,x,2x,16x},求x,y的值.
38.在梯形ABCD中,與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB,CD交于P,Q(圖2-187).如果AP∶PB=m∶n,那么PQ的值如何用m,n,AD,BC表示?
39.在平行四邊形ABCD中,設(shè)∠A,∠B,∠C,∠D的平分線兩兩相交的交點(diǎn)分別為P,Q,R,S,那么四邊形PQRS是什么圖形?如果原來(lái)的四邊形ABCD是矩形,那么四邊形PQRS又是什么圖形?
40.在直角三角形ABC中,以邊AB,BC,AC為對(duì)應(yīng)邊分別作三個(gè)相似三角形,那么這三個(gè)相似三角形面積之間有什么關(guān)系?
41.如果三角形的三邊用m2+n2,m2-n2,2mn來(lái)表示,那么這個(gè)三角形的形狀如何?如果m2+n2=4mn,又將怎樣?
42.在圓柱形容器中裝水,當(dāng)水的高度為6厘米時(shí),重4.4千克,水高為10厘米時(shí),重6.8千克,試用圖像表示水高為0~10厘米時(shí),水高與重量之間的關(guān)系,并預(yù)測(cè)當(dāng)水高為8厘米時(shí),水重為多少千克?
43.有7張電影票,10個(gè)人抽簽,為此先做好10個(gè)簽,其中7個(gè)簽上寫(xiě)“有票”,3個(gè)簽上寫(xiě)“無(wú)票”,然后10個(gè)人排好隊(duì)按順序抽簽.問(wèn)第一人與第二人抽到的可能性是否相同?
44.在直徑為50毫米(mm)的鐵板中,銃出四個(gè)互相外切,并且同樣大小的墊圈(圖2-188),那么墊圈的最大直徑是多少?
45.唐代詩(shī)人王之渙的著名詩(shī)篇:
白日依山盡,黃河入海流. 欲窮千里目,更上一層樓.
按詩(shī)人的想象,要看到千里之外的景物,需要站在多高的建筑物上呢?試化成數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解釋?zhuān)?/p>
46.在一個(gè)池塘中,一棵水草AC垂直水面,AB為水草在水面上的部分,如圖2-189,問(wèn)如何利用這根水草測(cè)出水深?
47.在一條運(yùn)河的兩側(cè)有兩個(gè)村子A,B,河的兩岸基本上是平行線.現(xiàn)在要在河上架一座橋與河岸垂直,以便使兩岸居民互相往來(lái),那么這座橋架在什么地方,才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)?
48.要在一條河邊修一座水塔,以便從那里給A,B兩個(gè)城市供水(設(shè)A,B在河岸EF的同側(cè)),那么水塔應(yīng)建在河岸EF的什么地方,才能使水塔到A,B兩市供水管道總長(zhǎng)度最短(圖2-191)?
49.三個(gè)同學(xué)在街頭散步,發(fā)現(xiàn)一輛汽車(chē)違反了交通規(guī)則.但他們沒(méi)有完全記住這輛汽車(chē)的車(chē)號(hào)(車(chē)號(hào)由4位數(shù)字組成),可是第一個(gè)同學(xué)記住車(chē)號(hào)的前兩位數(shù)是相同的,第二個(gè)同學(xué)記得后兩位數(shù)也相同,第三個(gè)同學(xué)記得這個(gè)四位數(shù)恰好是一個(gè)數(shù)的平方數(shù).根據(jù)這些線索,能找出這輛汽車(chē)的車(chē)號(hào)嗎?
50.圖2-192是一個(gè)彈簧秤的示意圖,其中:圖(a)表示彈簧稱東西前的狀況,此時(shí)刻度0齊上線,彈簧伸長(zhǎng)的初始長(zhǎng)度為b.圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時(shí),彈簧伸長(zhǎng)的狀況.如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼,那么彈簧秤的長(zhǎng)度也相應(yīng)地伸長(zhǎng).現(xiàn)獲得如下一組數(shù)據(jù):
(1)以x,y的對(duì)應(yīng)值(x,y)為點(diǎn)的坐標(biāo),畫(huà)出散點(diǎn)圖;
(2)求出關(guān)于x的函數(shù)y的表達(dá)式,(3)求當(dāng)x=500克時(shí),y的長(zhǎng)度.
第五篇:全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第08講平行四邊形
全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集
第八講平行四邊形
平行四邊形是一種極重要的幾何圖形.這不僅是因?yàn)樗茄芯扛厥獾钠叫兴倪呅巍匦?、菱形、正方形的基礎(chǔ),還因?yàn)橛伤亩x知它可以分解為一些全等的三角形,并且包含著有關(guān)平行線的許多性質(zhì),因此,它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應(yīng)用.
由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì):
(1)平行四邊形對(duì)角相等;
(2)平行四邊形對(duì)邊相等;
(3)平行四邊形對(duì)角線互相平分.
除了定義以外,平行四邊形還有以下幾種判定方法:
(1)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;
(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;
(3)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形;
(4)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
例1 如圖2-32所示.在EF與MN互相平分.
ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,DN=BM.求證:
分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可,由已知,提供的等量要素很多,可從全等三角形下手.
證 因?yàn)锳BCD是平行四邊形,所以
AD
BC,AB
CD,∠B=∠D.
又AE⊥BC,CF⊥AD,所以AECF是矩形,從而
AE=CF.
所以
Rt△ABE≌Rt△CDF(HL,或AAS),BE=DF.又由已知BM=DN,所以
△BEM≌△DFN(SAS),ME=NF. ①
又因?yàn)锳F=CE,AM=CN,∠MAF=∠NCE,所以
△MAF≌△NCE(SAS),所以 MF=NF. ②
由①,②,四邊形ENFM是平行四邊形,從而對(duì)角線EF與MN互相平分.
例2 如圖2-33所示.Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BG平分∠ABC,EF∥BC且交AC于F.求證:AE=CF.
分析 AE與CF分處于不同的位置,必須通過(guò)添加輔助線使兩者發(fā)生聯(lián)系.若作GH⊥BC于H,由于BG是∠ABC的平分線,故AG=GH,易知△ABG≌△HBG.又連接EH,可證△ABE≌△HBE,從而AE=HE.這樣,將AE“轉(zhuǎn)移”到EH位置.設(shè)法證明EHCF為平行四邊形,問(wèn)題即可獲解.
證 作GH⊥BC于H,連接EH.因?yàn)锽G是∠ABH的平分線,GA⊥BA,所以GA=GH,從而
△ABG≌△HBG(AAS),所以 AB=HB. ①
在△ABE及△HBE中,∠ABE=∠CBE,BE=BE,所以 △ABE≌△HBE(SAS),所以 AE=EH,∠BEA=∠BEH.
下面證明四邊形EHCF是平行四邊形.
因?yàn)锳D∥GH,所以
∠AEG=∠BGH(內(nèi)錯(cuò)角相等). ②
又∠AEG=∠GEH(因?yàn)椤螧EA=∠BEH,等角的補(bǔ)角相等),∠AGB=∠BGH(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等),所以
∠AGB=∠GEH.
從而
EH∥AC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).
由已知EF∥HC,所以EHCF是平行四邊形,所以
FC=EH=AE.
說(shuō)明 本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等),從而構(gòu)造出全等三角形ABG與△HBG.繼而發(fā)現(xiàn)△ABE≌△HBE,完成了AE的位置到HE位置的過(guò)渡.這樣,證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了.
人們?cè)趯W(xué)習(xí)中,經(jīng)過(guò)刻苦鉆研,形成有用的經(jīng)驗(yàn),這對(duì)我們探索新的問(wèn)題是十分有益的.
例3 如圖2-34所示.∠EMC=3∠BEM.
ABCD中,DE⊥AB于E,BM=MC=DC.求證:
分析 由于∠EMC是△BEM的外角,因此∠EMC=∠B+∠BEM.從而,應(yīng)該有∠B=2∠BEM,這個(gè)論斷在△BEM內(nèi)很難發(fā)現(xiàn),因此,應(yīng)設(shè)法通過(guò)添加輔助線的辦法,將這兩個(gè)角轉(zhuǎn)移到新的位置加以解決.利用平行四邊形及M為BC中點(diǎn)的條件,延長(zhǎng)EM與DC延長(zhǎng)線交于F,這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F,因此,只要證明∠MCF=2∠F即可.不難發(fā)現(xiàn),△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點(diǎn),我們的證明可從這里展開(kāi).
證 延長(zhǎng)EM交DC的延長(zhǎng)線于F,連接DM.由于CM=BM,∠F=∠BEM,∠MCF=∠B,所以
△MCF≌△MBE(AAS),所以M是EF的中點(diǎn).由于AB∥CD及DE⊥AB,所以,DE⊥FD,三角形DEF是直角三角形,DM為斜邊的中線,由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知
∠F=∠MDC,又由已知MC=CD,所以
∠MDC=∠CMD,則
∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F.
從而
∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM.
例4 如圖2-35所示.矩形ABCD中,CE⊥BD于E,AF平分∠BAD交EC延長(zhǎng)線于F.求證:CA=CF.
分析 只要證明△CAF是等腰三角形,即∠CAF=∠CFA即可.由于∠CAF=45°-∠CAD,所以,在添加輔助線時(shí),應(yīng)設(shè)法產(chǎn)生一個(gè)與∠CAD相等的角a,使得∠CFA=45°-a.為此,延長(zhǎng)DC交AF于H,并設(shè)AF與BC交于G,我們不難證明∠FCH=∠CAD.
證 延長(zhǎng)DC交AF于H,顯然∠FCH=∠DCE.又在Rt△BCD中,由于CE⊥BD,故∠DCE=∠DBC.因?yàn)榫匦螌?duì)角線相等,所以△DCB≌△CDA,從而∠DBC=∠CAD,因此,∠FCH=∠CAD. ①
又AG平分∠BAD=90°,所以△ABG是等腰直角三角形,從而易證△HCG也是等腰直角三角形,所以∠CHG=45°.由于∠CHG是△CHF的外角,所以
∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°,所以 ∠CFH=45°-∠FCH. ②
由①,②
∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF,于是在三角形CAF中,有
CA=CF.
例5 設(shè)正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)為E,F(xiàn)是CE的中點(diǎn)(圖2-36).求證:
分析 作∠BAF的平分線,將角分為∠1與∠2相等的兩部分,設(shè)法證明∠DAE=∠1或∠2.
證 如圖作∠BAF的平分線AH交DC的延長(zhǎng)線于H,則∠1=∠2=∠3,所以
FA=FH.
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,在Rt△ADF中,從而
所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS),從而
Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS),例6 如圖2-37所示.正方形ABCD中,在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,F(xiàn),使DE=AD,DF=BD,連接BF分別交CD,CE于H,G.求證:△GHD是等腰三角形.
分析 準(zhǔn)確地畫(huà)圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD.
證 因?yàn)镈EBD=FD,所以
BC,所以四邊形BCED為平行四邊形,所以∠1=∠4.又
所以 BC=GC=CD.
因此,△DCG為等腰三角形,且頂角∠DCG=45°,所以
又
所以 ∠HDG=∠GHD,從而GH=GD,即△GHD是等腰三角形.
練習(xí)十二
1.如圖2-38所示.DE⊥AC,BF⊥AC,DE=BF,∠ADB=∠DBC.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
2.如圖2-39所示.在平行四邊形ABCD中,△ABE和△BCF都是等邊三角形.求證:△DEF是等邊三角形.
3.如圖2-40所示.CB于E.求證:BE=CF.
ABCD中,AF平分∠BAD交BC于F,DE⊥AF交
4.如圖2-41所示.矩形ABCD中,F(xiàn)在CB延長(zhǎng)線上,AE=EF,CF=CA.求證:BE⊥DE.
5.如圖2-42所示.在正方形ABCD中,CE垂直于∠CAB的平分