第一篇：怎樣求函數(shù)最值幾種方法

怎樣求函數(shù)最值

一.求函數(shù)最值常用的方法

最值問題是生產(chǎn),科學(xué)研究和日常生活中常遇到的一類特殊的數(shù)學(xué)問題,是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn), 它涉及到高中數(shù)學(xué)知識(shí)的各個(gè)方面, 解決這類問題往往需要綜合運(yùn)用各種技能, 靈活選擇合理的解題途徑, 而教材中沒有作出系統(tǒng)的敘述.因此, 在數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中,通過對(duì)例題,習(xí)題的分析, 歸納出求最值問題所必須掌握的基本知識(shí)和基本處理方程.常見的求最值方法有:

1.配方法: 形如的函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的極值點(diǎn)或邊界點(diǎn)的取值確定函數(shù)的最值.2.判別式法: 形如的分式函數(shù), 將其化成系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程.由于, ∴≥0, 求出y的最值, 此種方法易產(chǎn)生增根, 因而要對(duì)取得最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x值是否有解檢驗(yàn).3.利用函數(shù)的單調(diào)性 首先明確函數(shù)的定義域和單調(diào)性, 再求最值.4.利用均值不等式, 形如的函數(shù), 及≥≤, 注意正,定,等的應(yīng)用條件, 即: a, b均為正數(shù), 是定值, a=b的等號(hào)是否成立.5.換元法: 形如的函數(shù), 令,反解出x, 代入上式, 得出關(guān)于t的函數(shù), 注意t的定義域范圍, 再求關(guān)于t的函數(shù)的最值.還有三角換元法, 參數(shù)換元法.6.數(shù)形結(jié)合法 形如將式子左邊看成一個(gè)函數(shù), 右邊看成一個(gè)函數(shù), 在同一坐標(biāo)系作出它們的圖象, 觀察其位置關(guān)系, 利用解析幾何知識(shí)求最值.求利用直線的斜率公式求形如的最值.7.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值.用判別式法求函數(shù)的值域是求值域的一種重要方法之一，它主要適用于分式型二次函數(shù)，或可通過換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的一些函數(shù)求值域問題 對(duì)于分式函數(shù)y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：

由于對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)y,它在函數(shù)f(x)的值域內(nèi)的充要條件是關(guān)于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有實(shí)數(shù)解，把“求f(x)的值域”這問題可轉(zhuǎn)化為“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有實(shí)數(shù)解，求y的取值范圍”把x當(dāng)成未知量，y當(dāng)成常量，化成一元二次方程，讓這個(gè)方程有根．先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，再看不為零時(shí)只需看判別式大于等于零了．

此時(shí)直接用判別式法是否有可能出問題，關(guān)鍵在于對(duì)這個(gè)方程取分母這一步是不是同解變形。

這個(gè)問題進(jìn)一步的等價(jià)轉(zhuǎn)換是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一個(gè)實(shí)數(shù)解使x^2+mx+n≠0，求y的取值范圍”

這種方法不好有很多局限情況，如：定義域是一個(gè)區(qū)間的．定義域是R的或定義域是R且不等于某個(gè)數(shù)的還可以用．過程用上面的就可以了.

第二篇：偏導(dǎo)數(shù)求二元函數(shù)最值

偏導(dǎo)數(shù)求二元函數(shù)最值

用偏導(dǎo)數(shù)可以求多元函數(shù)的極值及最值，不過要比一元函數(shù)復(fù)雜很多。

這個(gè)在高等數(shù)學(xué)教材里都有，極值求法與一元函數(shù)類似。不過極值點(diǎn)的判斷要比一元函數(shù)復(fù)雜很多。

求閉區(qū)域上的最值要更麻煩一些。為什么呢？你可以回憶一下閉區(qū)間上一元函數(shù)的最值，我們做法是先求極值，再與端點(diǎn)的函數(shù)值比大小。但多元函數(shù)就麻煩了，因?yàn)橐辉瘮?shù)的區(qū)間端點(diǎn)只有兩個(gè)值，可以全求出來比就行了。但多元函數(shù)閉區(qū)域的邊界是無窮多個(gè)值，不可能全求出來了，因此邊界上我們還需要再求最大最小值，這個(gè)叫做條件最值。

如果能代入的話，就是代入求（將條件最值轉(zhuǎn)化為無條件最值）。如果有些函數(shù)很復(fù)雜不能代入，有另一個(gè)方法，叫做拉格朗日乘數(shù)法，就是解決條件最值的問題的。

第三篇：求函數(shù)極限方法的若干方法

求函數(shù)極限方法的若干方法

摘要： 關(guān)鍵詞：

1引言：極限的重要性

極限是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析中的基本概念來表述，都可以用極限來描述。如函數(shù)y=f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級(jí)數(shù)收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。學(xué)好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數(shù)是否存在極限。2：若函數(shù)否存在極限，則考慮如何計(jì)算此極限。本文主要是對(duì)第二個(gè)問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進(jìn)行綜述。

2極限的概念及性質(zhì)2.1極限的概念

2.1.1limn→∞

xn=A,任意的正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)就有 xn?A <。

2.1.2limx→∞f x =A??ε>0，任意整數(shù)X，使得當(dāng) x >時(shí)就有 f x ?A <。類似可以定義單側(cè)極限limx→+∞f x =A與limx→?∞f(x)。2.2.3類似可定義當(dāng)，整數(shù)，使得當(dāng)

時(shí)有

。，時(shí)右極限與左極限：。在此處鍵入公式。

2.2極限的性質(zhì)

2.2.1極限的不等式性質(zhì)：設(shè)若若，則，使得當(dāng)，當(dāng)

時(shí)有

。時(shí)有時(shí)有，則

；

。，則

與，使得當(dāng)

在的某空心鄰

時(shí)，時(shí)有，則。

。

2.2.1（推論）極限的保號(hào)性：設(shè)若若,則，使得當(dāng)，當(dāng)2.2.2存在極限的函數(shù)局部有界性：設(shè)存在極限域有

內(nèi)有界，即3求極限的方法

1、定義法

2、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限，3、利用夾逼性定理求極限

4、利用兩個(gè)重要極限求極限，5、利用迫斂性求極限，6、利用洛必達(dá)法則求極限，7、利用定積分求極限，8、利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限

9、利用變量替換求極限，10、利用遞推公式求極限，11、利用等價(jià)無窮小量代換求極限,12、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限，13、利用泰勒展開式求極限，14、利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限

15、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限

16、利用單側(cè)極限求極限

17、利用中值定理求極限 3.1定義法

利用數(shù)列極限的定義求出數(shù)列的極限.設(shè)的,總存在一個(gè)正整數(shù)

.，當(dāng)

是一個(gè)數(shù)列,是實(shí)數(shù),如果對(duì)任意給定,我們就稱是數(shù)列

時(shí),都有的極限.記為例1 證明

證 任給，取，則當(dāng)時(shí)有

，所以。

3.2利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 設(shè)，，則

。，例1求解 這是求

型極限，用相消法，分子、分母同除以

得。，其中3.3利用夾逼性定理求極限

當(dāng)極限不易直接求出時(shí), 可考慮將求極限的變量作適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小, 使放大與縮小所得的新變量易于求極限, 且二者的極限值相同, 則原極限存在,且等于公共值。特別是當(dāng)在連加或連乘的極限里,可通過各項(xiàng)或各因子的放大與縮小來獲得所需的不等式。3.3.1（數(shù)列情形）若則。，使得當(dāng)時(shí)有，且，3.3.2（函數(shù)情形）若，則，使得當(dāng)。

時(shí)有，又

例題

解 ：，其中，因此。

3.4利用兩個(gè)重要極限球極限 兩個(gè)重要極限是，或。

第一個(gè)重要極限可通過等價(jià)無窮小來實(shí)現(xiàn)。利用這兩個(gè)重要極限來求函數(shù)的極限時(shí)要觀察所給的函數(shù)形式，只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個(gè)重要極限的形式時(shí)，才能夠運(yùn)用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。例題1解：令t=故 例題23.5利用迫斂性求極限 ,且在某個(gè)。

內(nèi)有,那么

.則sinx=sin（t)=sint, 且當(dāng)

時(shí)

例 求的極限

解：因?yàn)?且 由迫斂性知

所以

3.6利用洛必達(dá)法則求極限

假設(shè)當(dāng)自變量和趨近于某一定值（或無窮大）時(shí)，函數(shù)

和

和

滿足：的導(dǎo)數(shù)不為0的極限都是或都是無窮大都可導(dǎo)，并且存在（或無窮大），則極限也必存在，且等于，即=。利用洛必達(dá)法則求極限，可連續(xù)進(jìn)行運(yùn)算，可簡化一些較復(fù)雜的函數(shù)求極限的過程，但是運(yùn)用時(shí)需注意條件。

例題 求

解 原式=注：運(yùn)用洛比達(dá)法則應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1、要注意條件，也就是說，在沒有化為或時(shí)不可求導(dǎo)。

2、應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。

3、要及時(shí)化簡極限符號(hào)后面的分式，在化簡以后檢查是否還是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達(dá)法則，否則會(huì)錯(cuò)誤。

3.7利用定積分求極限

利用定積分求和式的極限時(shí)首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)f(x)。把所求極限的和式表示成f(x)在某區(qū)間 例

上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。

解 原式=，由定積分的定義可知。

3.8利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限 利用無窮小量乘有界變量仍是無窮小量,這一方法在求極限時(shí)常用到。在求函數(shù)極限過程中,如果此函數(shù)是某個(gè)無窮小量與所有其他量相乘或相除時(shí), 這個(gè)無窮小量可用它的等價(jià)無窮小量來代替,從而使計(jì)算簡單化。例

解 注意時(shí)。

3.9利用變量替換求極限

為將未知的極限化簡，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可以根據(jù)極限式特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)囊胄伦兞?，來替換原有變量，使原來的極限過程轉(zhuǎn)化為新的極限過程。最常用的方法就是等價(jià)無窮小的代換。

例 已知證 令

試證

則時(shí)，于是

當(dāng)時(shí)），故時(shí)第二、三項(xiàng)趨于零，現(xiàn)在證明第四項(xiàng)極限也為零。因有界，即，使得

。所以

（當(dāng)

原式得證。

3.10利用遞推公式求極限

用遞推公式計(jì)算或者證明序列的極限，也是一常見的方法，我們需要首先驗(yàn)證極限的存在性。在極限存在前提下，根據(jù)極限唯一性，解出我們所需要的結(jié)果，但是驗(yàn)證極限的存在形式是比較困難的，需要利用有關(guān)的不等式或?qū)崝?shù)的一些性質(zhì)來解決。

例 設(shè)，對(duì)，定義

且

。證明 時(shí)，解 對(duì)推出遞推公式解得,，因?yàn)?，因此，序?/p>

中可以得出

是單調(diào)遞增且有界的，它的極限，設(shè)為，從，即。

3.11利用等價(jià)無窮小量代換求極限 所謂的無窮小量即，例如 求極限 解 本題屬于有

型極限，利用等價(jià)無窮小因子替換

=

=,，稱

與

是

時(shí)的無窮小量，記作

注：可以看出，想利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的 等價(jià)無窮小量，如：由于，故有又由于故有。

另注：在利用等價(jià)無窮小代換求極限時(shí)，應(yīng)注意：只有對(duì)所求極限中相乘或相除的因式才能利用等價(jià)無窮小量來代換，而對(duì)極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。

小結(jié):在求解極限的時(shí)候要特別要注意無窮小等價(jià)代換,無窮小等價(jià)代換可以很好的簡化解題。

3.12利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

在若處連續(xù)，那么且

在點(diǎn)連續(xù)，則。

例 求的極限

解：由于

及函數(shù)在處連續(xù)，故

3.13利用泰勒展開式求極限 列舉下 例題

3.14利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限

3.14.1函數(shù)極限迫斂性（夾逼準(zhǔn)則）：若一個(gè)正整數(shù)，并且例題

3.14.2單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，并且極限唯一。,當(dāng)時(shí)，則

則。

利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵是要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)遞推公式求極限。例題

3.15利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限

利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)收斂，則，首先判定級(jí)數(shù)收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限。例題

3.16利用單側(cè)極限求極限

1）求含的函數(shù)

趨向無窮的極限，或求含的函數(shù)

趨于的極限;2）求含取整函數(shù)的函數(shù)極限;3）分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限;4）含偶次方根的函數(shù)以及

或的函數(shù)，趨向無窮的極限.這種方法還能使用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，首先必須考慮分段點(diǎn)的左，右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。例題

3.17利用中值定理求極限 3.17.1微分中值定理： 3.17.2積分中值定理

第四篇：求函數(shù)值域的方法

求函數(shù)值域的求法：

①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；

②逆求法（反求法）：通過反解x，用y 來表示，再由 x的取值范圍，通過解不等式，得出 y的取值范圍；

④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；

⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；⑥基本不等式法：利用均值不等式公式來求值域；

⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。

⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。

第五篇：求函數(shù)極限的常用方法

求函數(shù)極限的常用方法

袁得芝

函數(shù)極限是描述當(dāng)x→x0或x→∞時(shí)函數(shù)的變化趨勢，求函數(shù)極限，常用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則和兩個(gè)重要結(jié)論limnnlim1x?x0，?0.涉及到單側(cè)極限與nx?x0x??x

雙側(cè)極限的關(guān)系問題時(shí)，一般運(yùn)用兩個(gè)命題：limlimlimf(x)?f(x)?a?f(x)?ax???x???x??和limlimlimf(x)?f(x)?a?f(x)?a予以解決?，F(xiàn)就常見題型及解?x?x?x?xx??00

法舉例如下：

1、分子分母均是x的多項(xiàng)式時(shí)，x∞的極限，分式呈現(xiàn)“”型

lima0?alxk?l??ak例1 求極限（其中ai、bi）為與x無關(guān)的常數(shù)，k、l、x??b0xl?blxl?l??bk

為整數(shù)且(a0≠b0≠0).?a0?b(當(dāng)l?k)

?0

????解：原式=?0(當(dāng)l＞?)

????不存在(當(dāng)l＜?)???

注：本例的一般性結(jié)論是：若分子、分母中的x的最高次冪相同時(shí)，則極限等于它們的最高次項(xiàng)的系數(shù)比；若分子中x的最高次冪低于分母中x的最高次冪則極限為零；反之極限不存在。

2、分子分母都是x的多項(xiàng)式時(shí)，x→x0的極限，分式呈現(xiàn)“0”型 0

x2?1lim例2，求極限 2x?12x?x?

1解：limx2?1

x?12x2?x?1

??lim(x?1)(x?1)x?1(2x?1)(x?1)limx?12?。x?12x?1

3注：因lim

x?x0f(x)?a，這是從x趨向x0的無限變化過程來看f(x)的變化趨

勢的，它對(duì)于x0是否屬于函數(shù)f(x)的定義域不作要求，故求解此類題目常采用分解因式，再約去公因式，使之能運(yùn)用法則求極限的方法。

3、含有根式的一類式予，由x的變化趨勢，呈“∞→∞”型

例3．求極限：lim(x2?1?x2?4x)。x???

lim解：(x2?1?x2?4x)x???

?lim1?4x x???x2?1?x2?4x

1?4lim???2。x???14?2??x?x

注：分子或分母有理化是常采用的方法。

4、已知函數(shù)的極限，求參數(shù)的范圍

例4：已知：limax2?bx?

1x?1x?1?3，求a、b.解：當(dāng)x=1時(shí)分母為零，故ax2+bx+1中必有x-1這樣的因式，由多項(xiàng)式除法可知ax2+bx+1除以 x-1商式為ax+a+b，余式為a+b+1。

∴a+b+1=0①

∴l(xiāng)imax2?bx?

1x?1x?1lim(x?1)(ax?a?b)?x?1x?1

?lim(ax?a?b)?2a?b。x?1

∴2a+b=3②

?a?b?1?0??解方程組?

???2a?b?3① ②

?a?4??可得?

???b??

5注：這是一個(gè)已知函數(shù)極限要確定函數(shù)解析式的逆向思維問題，應(yīng)靈活使用運(yùn)算法則。

5、涉及單側(cè)極限與雙側(cè)極限的問題

例5．求函數(shù)f(x)=1+

限。|x?1|在x=-1處的左右極限，并說明在x=-1處是否有極x?1

limlimx?1解：f(x)?(1?)?2，x?1?x??1?x?1

limlim?(x?1)f(x)?(1?)?0 ??x??1x??1x?1

limlim∵f(x)?f(x)，x??1?x??1?

∵f（x）在x=-1處的極限不存在。

注：本例是

limlimlimf(x)?a?f(x)?f(x)?a的直接應(yīng)用。??x?x0x?x0x?x0

原載于《甘肅教育》2005年第4期