證明直線與圓相切的常見(jiàn)方法（定稿）

第一篇：證明直線與圓相切的常見(jiàn)方法（定稿）

證明直線與圓相切的常見(jiàn)方法

學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系,常會(huì)遇到證明一條直線是圓的切線的題目,如何證明一條直線是圓的切線,一般會(huì)出現(xiàn)以下三種情況.一、若證明是圓的切線的直線與圓有公共點(diǎn),且存在連接公共點(diǎn)的半徑,此時(shí)可根據(jù)“經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來(lái)證明.簡(jiǎn)記為“見(jiàn)半徑，證垂直”.例1如圖1,已知AB為⊙O的直徑,直線PA過(guò)點(diǎn)A,且∠PAC=∠B.求證:PA是⊙O的切線.圖 1分析：要證明PA是⊙O的切線，因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以只要證明AB⊥AP.可結(jié)合直徑所對(duì)的圓周為直角進(jìn)行推理.證明：因?yàn)锳B為⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，所以∠CAB+∠B=90°，因?yàn)椤螾AC=∠B，所以∠CAB+∠PAC=90°，即∠BAP=90°，所以PA是⊙O的切線.二、若給出了直線與圓的公共點(diǎn)，但未給出過(guò)這點(diǎn)的半徑，則連結(jié)公共點(diǎn)和圓心，然后根據(jù)“經(jīng)過(guò)半徑外端且垂直這條半徑的直線是圓的切線”來(lái)證明.簡(jiǎn)記為“作半徑，證垂直”.例2如圖2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圓，AB是⊙Ｏ的直徑，D是AB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AC平分∠EAB．

求證：DE是⊙O的切線．

證明：連接OC，則OA=OC，所以∠CAO=∠ACO，因?yàn)锳C平分∠EAB，所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，所以AE∥CO，又AE⊥DE，所以CO⊥DE，所以DE是⊙O的切線．

三、若直線與圓的公共點(diǎn)不明確時(shí)，則過(guò)圓心作該直線的垂線段，然后根據(jù)“圓心到直線的距離等于圓的半徑，該直線是圓的切線”來(lái)證明.簡(jiǎn)記為“作垂直，證相等”.例3如圖3，已知，O為正方形ABCD對(duì)角線上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于M，與AB、AD分別相交于E、F.求證：CD與⊙O相切．

圖3

分析：要識(shí)別“CD與⊙O相切”，由于不知道CD經(jīng)過(guò)圓上哪一點(diǎn)，所以先過(guò)點(diǎn)O作：ON⊥CD于N，再證明ON是⊙O半徑。易知OM是⊙O的半徑，只要證明：OM=ON即可.證明：連結(jié)OM，作ON⊥CD于N，因?yàn)?⊙O與BC相切，所以 OM⊥BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以 AC平分∠BCD.所以O(shè)M=ON.圖 4

所以CD與⊙O相切.總結(jié)：切線判斷并不難，認(rèn)真審題是重點(diǎn)；直線與圓有交點(diǎn)，連接半徑是關(guān)鍵，推得垂直是切線；若沒(méi)明確是切點(diǎn)，作過(guò)圓心垂線段，半徑相等得切線.

第二篇：怎樣證明直線與圓相切？

怎樣證明直線與圓相切？

在直線與圓的各種位置關(guān)系中，相切是一種重要的位置關(guān)系．

現(xiàn)介紹以下三種判別直線與圓相切的基本方法：

(1)利用切線的定義——在已知條件中有“半徑與一條直線交于半徑的外端”，于是只需直接證明這條直線垂直于半徑的外端．

例1：已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，⊙O的直徑AE交BC于F點(diǎn)，點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上，且∠CAP=∠ABC．

求證：PA是⊙O的切線．

證明：連接EC．

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE=90°，∴∠E＋∠EAC=90°．

∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，∴∠E=∠CAP，∴∠EAC＋∠CAP=∠EAC＋∠E=90°，∴∠EAP=90°，∴PA⊥OA，且過(guò)A點(diǎn)，則PA是⊙O的切線．

(2)利用切線的判定定理——在已知條件中，有“一條直線過(guò)圓上某一公共點(diǎn)(即為切點(diǎn))，但沒(méi)有半徑”，于是先連接圓心與這個(gè)公共點(diǎn)成為半徑，然后再證明這條直線和這條半徑垂直．

例2：以Rt△ABC的直角邊BC為直徑作⊙O交斜邊AB于P，Q為AC的中點(diǎn)．求證：PQ必為⊙O的切線．

證明連接OP，CP．

∵BC為直徑，∴∠BPC=90°，即∠APC=90°．

又∵Q為AC中點(diǎn)，∴QP=QC，∴∠1=∠2．

又OP=OC，∴∠3=∠4．

又∠ACB=90°，∴∠2＋∠4=∠1＋∠3=∠ACB＝90°，∴∠OPQ=90°．

∵P點(diǎn)在⊙O上，且P為半徑OP的端點(diǎn)，則QP為⊙O的切線．

說(shuō)明：要證PQ與半徑垂直，即連接OP．這是判別相切中添輔助線的常用方法．

(3)證明“d=R”——在已知條件中“沒(méi)有半徑，也沒(méi)有與圓有公共交點(diǎn)的直線”，于是過(guò)圓心作直線的垂線，然后再證明這條垂線的長(zhǎng)(d)等于圓的半徑(R)．

例3：已知：在△ABC中，AD⊥BC與D，且AD=BC，E、F為AB、AC的中點(diǎn)，O為EF2的中點(diǎn)。

求證：以EF為直徑的圓與BC相切．

證明：作OH⊥BC于H，設(shè)AD與EF交于M，又AD⊥BC，∴OH∥MD，則OHDM是矩形．

∴OH是⊙O的半徑，則EF為直徑的圓與BC相切.思考題：

1．AB是⊙O的直徑，AC是弦，AC=CD，EF過(guò)點(diǎn)C，EF⊥BD于G．

求證：EF是⊙O的切線．

提示：連接CO，則OC是⊙O的半徑，再證OC⊥EF．

2．DB是圓的直徑，點(diǎn)A在DB的延長(zhǎng)線上，AB=OB，∠CAD=30°．求證：AC是⊙O的切線．

提示：∵AC與⊙O沒(méi)有公共點(diǎn)，∴作OE⊥AC于E，再證OE是⊙O的半徑．

第三篇：圓錐曲線與直線相切的條件教案

圓錐曲線與直線相切的條件教案

教學(xué)目的(1)掌握?qǐng)A錐曲線與直線相切的條件及圓錐曲線切線的定義；

(2)使學(xué)生會(huì)用初等數(shù)學(xué)方法求圓錐曲線的切線；

(3)應(yīng)用相切的公式解題，從而培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用能力．

教學(xué)過(guò)程

一、問(wèn)題提出

1．有心的二次曲線包括哪些？無(wú)心的二次曲線包括哪些？

(答：有心的二次曲線是圓、橢圓及雙曲線；無(wú)心的二次曲線是拋物線．)

(由教師啟發(fā)下，讓學(xué)生共同討論．)

(1)當(dāng)α＞0，β＞0且α＝β時(shí)，方程表示為圓；

(2)當(dāng)α＞0，β＞0且α≠β時(shí)，方程表示為橢圓；

(3)當(dāng)α、β為異號(hào)時(shí)，方程表示為雙曲線．

因此，這個(gè)方程可以統(tǒng)一表示有心的二次曲線．

3．圓錐曲線與直線的相切的條件是什么？

設(shè)直線l′與圓錐曲線相交于P、Q兩點(diǎn)(圖1)，將直線l′繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)Q逐漸靠近點(diǎn)P，當(dāng)l′轉(zhuǎn)到直線l的位置時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，這時(shí)，直線l叫做圓錐曲線在點(diǎn)P的切線．也就是圓錐曲線與直線l相切．根據(jù)這個(gè)定義，于是圓錐曲線方程

f(x，y)＝0

與直線方程

y＝kx＋m

組成的方程組應(yīng)有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解．實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解的充要條件是判別式Δ＝0，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為求Δ＝0．

(啟發(fā)學(xué)生回答，由教師歸納，然后板書課題．)

今天我們要研究“圓錐曲線與直線相切的條件”．

二、講述新課

根據(jù)上面分析，得

由②代入①，化簡(jiǎn)、整理得(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③

當(dāng)αk＋β≠0時(shí)(二次項(xiàng)系數(shù))，Δ＝4αkm－4α(αk＋β)(m－β)

＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2

＝4αβ(αk2＋β－m2)．

(啟發(fā)學(xué)生討論．)

由于α、β均不為零，因此當(dāng)Δ＝0時(shí)可知有心二次曲線與直線y＝kx＋m相切的充要條件為

m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0)④

這里αk2＋β恰是方程③的二次項(xiàng)系數(shù)．

(引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)論④，在圓、橢圓、雙曲線各種情況下變化規(guī)律進(jìn)行討論，教師邊歸納，邊板書．)

(1)對(duì)于圓x2＋y2＝γ2，可寫成

222

即有α＝β＝γ2，于是相切條件為m2＝γ2(k2＋1)．

(2)對(duì)于橢圓(焦點(diǎn)在x軸上)

即有α＝a，β＝b，于是相切條件為m＝ak＋b．

(3)對(duì)于橢圓(焦點(diǎn)在y軸上)

即有α＝b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝b2k2＋a2．

(4)對(duì)于雙曲線(焦點(diǎn)在x軸上)

即有α＝a2，β＝－b2，于是相切條件為m2＝a2k2－b2．

(5)對(duì)于雙曲線(焦點(diǎn)在y軸上)

即有α＝－b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝a2－b2k2．

[應(yīng)用有心曲線統(tǒng)一公式，這樣就不必從圓、橢圓、雙曲線一個(gè)一個(gè)地去求，可避免一個(gè)一個(gè)冗長(zhǎng)復(fù)雜的計(jì)算，使問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)捷．]

2．無(wú)心的二次曲線y2＝2px與直線y＝kx＋m相切的條件

根據(jù)上面的分析，得

由②代入①，化簡(jiǎn)整理，得

(kx＋m)2＝2px，k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．

當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)k2≠0時(shí)，Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp

＝4p(p－2mk)＝0．

無(wú)心的二次曲線x2＝2py與直線y＝kx＋m相切的條件，應(yīng)為

(讓學(xué)生獨(dú)立完成．)

三、鞏固新課

(讓學(xué)生直接對(duì)照上述結(jié)論，設(shè)所求公切線的斜率為k，截距為m，再根據(jù)橢

解設(shè)所求的公切線斜率為k，截距為m，根據(jù)相切條件有

由②代入①，化簡(jiǎn)整理，得

81k4＋36k2－5＝0，(9k2－1)(9k2＋5)＝0，∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，代入②，得m＝±5．

因此，所求的公切線方程為

即

x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．

求雙曲線的兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡方程．

(幫助學(xué)生分析解題的幾個(gè)要點(diǎn)，然后由學(xué)生上黑板解，教師巡視指點(diǎn)．)

y=kx＋m，則由相切條件，可知m2=a2k2－b2．

(2)設(shè)兩切線交點(diǎn)為P(x0，y0)，則切線方程為

y－y0=k(x－x0)，即

y=kx＋(y0－kx0)．

(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直線，就有

m=(y0－kx0)，∴(y0－kx0)=ak－b．

整理得

(4)k1k2=－1，用韋達(dá)定理從方程①求得k1k2，即

因此，點(diǎn)P的軌跡方程為

x＋y=a－b．

這里a＞b，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)實(shí)圓；

a=b，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)點(diǎn)圓；

a＜b，點(diǎn)P無(wú)軌跡(虛圓)．

解略．

法，不難得出軌跡方程為圓方程

x＋y=a＋b；

這題若改為求拋物線y=2px的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡方程，方法也類似，不難得出軌跡方程為

即點(diǎn)P一定在準(zhǔn)線上．

[這樣改變一下題目，可讓學(xué)生開拓思路，舉一反三．]

四、練習(xí)

1．已知l為橢圓x＋4y=4的切線并與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的最小值及取得最小值時(shí)切線l的方程．

2解如圖2，設(shè)切線方程為

y=kx＋m，根據(jù)相切條件有m2=4k2＋1，即①

|OA|2=4k2＋1．

在y=kx＋m中，令y=0，得

即

于是得

代入m=4k＋1，求得 2

因此，所求的切線共有四條(圖3)，它們的方程為

求四邊形ABCD的最大面積．

則由相切條件，知

m2=a2k2＋b2，故兩切線方程為

即

兩切線間的距離

∴四邊形ABCD的最大面積為

五、補(bǔ)充作業(yè)

軌跡方程．

2．求出斜率為k的圓錐曲線的切線方程．

教案說(shuō)明

這一節(jié)課的指導(dǎo)思想是：根據(jù)現(xiàn)代教育理論，強(qiáng)調(diào)在教學(xué)的過(guò)程中培養(yǎng)能力，特別是思維能力．?dāng)?shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)與科學(xué)結(jié)構(gòu)十分相似，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，就是從一種思維結(jié)構(gòu)過(guò)渡到另一種思維結(jié)構(gòu)的過(guò)程，數(shù)學(xué)知識(shí)只是進(jìn)行思維結(jié)構(gòu)訓(xùn)練的材料．二次曲線與直線相切的條件若從上述結(jié)構(gòu)進(jìn)行訓(xùn)練，就是使學(xué)生形成完整的思維結(jié)構(gòu)，使對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)有新的突破．這一點(diǎn)已成為我在課堂教學(xué)中進(jìn)行探索和研討的課題．

這節(jié)課的整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，著重于講解——啟導(dǎo)——探究，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力．講解時(shí)，突出重點(diǎn)：“相切條件”，并以此為中心，達(dá)到舉一反

三、觸類旁通．其中也穿插了自學(xué)討論，而不是教師滿堂灌．

在練習(xí)中，注意到了再現(xiàn)性練習(xí)、鞏固性練習(xí)，同時(shí)也留有發(fā)現(xiàn)性練習(xí)，使學(xué)生以新帶舊，鞏固新知，發(fā)展智力，反過(guò)來(lái)從思維結(jié)構(gòu)上形成完整體系，以認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本身．

第四篇：立體幾何常見(jiàn)證明方法

立體幾何方法歸納小結(jié)

一、線線平行的證明方法

1、根據(jù)公理4，證明兩直線都與第三條直線平行。

2、根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，若直線a平行于平面A，過(guò)a的平面B與平面A相交于b，則 a//b。

3、根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，若直線a與直線b都與平面A垂直，則a//b。

4、根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，若平面A//平面B，平面C與平面A和平面B的交線分別為直線 a與直線 b，則a//b。????????

5、由向量共線定理，若AB?xCD，且AB、CD不共線，則向量AB所在的直線a與向量cd所在的直線b平行，即a//b。

二、線面平行的證明方法

1、根據(jù)線面平行的定義，證直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)。

2、根據(jù)線面平行的判定定理，若平面 A內(nèi)存在一條直線b與平面外的直線a平行，則a//A。(用相似三角形或平行四邊形)

3、根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理，若兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一個(gè)平面平行。

4、向量法，向量c與平面A法向量垂直，且向量c所在直線c不在平面內(nèi)，則c//A。

三、面面平行的證明方法

1、根據(jù)定義，若兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩平面平行。

2、根據(jù)兩平面平行的判定定理，一個(gè)平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面平行，則兩平面平行。

或根據(jù)兩平面平行的判定定理的推論，一平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面內(nèi)兩相交直線平行，則兩平面平行。

3、垂直同一直線的兩平面平行。

4、平行同一平面的兩平面平行。

5、向量法，證明兩平面的法向量共線。

四、兩直線垂直的證明方法

1、根據(jù)定義,證明兩直線所成的角為90°

2、一直線垂直于兩平行直線中的一條,也垂直于另一條.3、一直線垂直于一個(gè)平面,則它垂直于平面內(nèi)的所有直線.4、根據(jù)三垂線定理及逆定理,若平面內(nèi)的直線垂直于平面的一條斜線(或斜線在平面內(nèi)的射影),則它垂直于斜線在平面內(nèi)的射影(或平面的斜線).5、向量法.五、線面垂直的證明方法

1、根據(jù)定義,證明一直線與平面內(nèi)的任一(所有)直線垂直,則直線垂直于平面.2、根據(jù)判定定理,一直線垂直于平面內(nèi)的兩相交直線,則直線垂直于平面.3、一直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),也垂直于另一個(gè).4、兩平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,另一條也垂直于這個(gè)平面.5、根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理,兩平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.6、向量法,證明平面的法向量與表示該直線的向量共線.六、面面垂直的證明方法

1、根據(jù)面面垂直的定義，兩平面相交所成的二面角為直二面角，則兩平面垂直。

2、根據(jù)面面垂直的判定定理，一平面經(jīng)過(guò)另一平面的一條垂線，則兩平面垂直。

3、一平面垂直于兩平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè)。

4、向量法，證明兩平面的法向量垂直（即法向量的數(shù)量積為零）。

七、兩異面直線所成角的求法

1、根據(jù)定義，平移其中一條和另一條相交，然后在三角形中求角。

2、利用中位線，將兩異面直線平移至一特殊點(diǎn)（中位線的交點(diǎn)）然后在三角形中求角。

3、cos?=cos?1cos?

24、向量法.八、直線與平面所成角的求法

1、根據(jù)定義，作出直線與平面所成角，然后在直角三角形中求角。

2、轉(zhuǎn)化為距離(sin?=h/l)

3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜線與法向量的夾角。（注意為正弦）

注：對(duì)兩異面直線所成角和直線與平面所成角一定要注意角的范圍。

九、二面角的求法

1、定義法，從二面角的棱上的某一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，求兩條垂線所形成的角。

2、根據(jù)三垂線定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。

3、射影面積法，先作出一個(gè)半平面內(nèi)的某個(gè)多邊形，在另一個(gè)半平面內(nèi)的射影多邊形，然后由公式 cosθ=s'/s（其中θ為二面角的平面角，s'為射影多邊形的面積，s為多邊形的面積）求出二面角的平面角。

4、向量法，求出兩個(gè)半平面的法向量，然后求兩法向量的夾角。（一般要先根據(jù)已知判斷二面角是銳角還是鈍角,否則要判斷指向，同內(nèi)同外為補(bǔ)角）

5.公式法(異面直線上點(diǎn)距離公式和三類角公式)

十、點(diǎn)到平面的距離的求法

1、根據(jù)定義，直接求垂線段的長(zhǎng)度。

2、向量法，利用公式??????|PA?n|d=|n|（其中PA為平面的一條斜

線，向量n 為平面的一個(gè)法向量。

3、等體積法，主要用在四面體（三棱錐）中，根據(jù)四面體的體積等于1/3底面積×高，選取不同的底面積，求出其中一條高長(zhǎng)。

十一、平面圖形翻折問(wèn)題的處理方法

1、先比較翻折前后的圖形，弄清哪些量和位置關(guān)系在翻折過(guò)程中不變，哪些已發(fā)生變化，然后將不變的條件集中到立體圖形中，將問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)條件與結(jié)論都已知的立體幾何問(wèn)題。

2、有關(guān)翻折問(wèn)題的計(jì)算，必須抓住在翻折過(guò)程中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系中，哪些是變的，哪些沒(méi)變，尤其要抓住不變量。對(duì)計(jì)算幾何體上兩點(diǎn)之間的最短距離問(wèn)題，要注意轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎴D形求兩點(diǎn)間的距離來(lái)計(jì)算。

十二、要注意的問(wèn)題

1、對(duì)推理論證與計(jì)算相結(jié)合的題目的解題原則是一作、二證、三計(jì)算。(向量法可省略證角，但必須交代如何建系，右手系)。

2、正方體中，兩個(gè)平行的正三角形截面把一條與它們垂直的體對(duì)角線三等分。

3、已知三條射線兩兩夾角，會(huì)求線面角和二面角(課堂筆記，只需會(huì)推導(dǎo)方法，不需強(qiáng)記公式)

4、適當(dāng)時(shí)候，坐標(biāo)法不方便時(shí)可以考慮基向量法，求向量

模易出錯(cuò)：r

a?。

5、求異面直線間的距離，若公垂線找不到，除向量法外，可以考慮構(gòu)造平行平面或平行線面，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離求。

第五篇：立體幾何常見(jiàn)證明方法