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      函數(shù)的和差積商的導數(shù)教案

      時間:2019-05-12 18:41:06下載本文作者:會員上傳
      簡介:寫寫幫文庫小編為你整理了多篇相關(guān)的《函數(shù)的和差積商的導數(shù)教案》,但愿對你工作學習有幫助,當然你在寫寫幫文庫還可以找到更多《函數(shù)的和差積商的導數(shù)教案》。

      第一篇:函數(shù)的和差積商的導數(shù)教案

      函數(shù)的和差積商的導數(shù)教案

      教學目的

      1.使學生學會根據(jù)函數(shù)的導數(shù)的定義推導出函數(shù)導數(shù)的四則運算法則;

      2.使學生掌握函數(shù)導數(shù)的四則運算法則,并能熟練地運用這些法則去求由基本初等函數(shù)的和、差、積、商構(gòu)成的較復雜的函數(shù)的導數(shù).

      教學重點和難點

      本節(jié)課的重點是求函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)的運算法則.難點是求函數(shù)的積和商的導數(shù)的運算公式及其推導方法.

      教學過程

      一、復習提問

      1.求導數(shù)的三個步驟是什么?

      (先讓全體學生回憶,再請一名學生單獨回答.若答錯或不完善則請另外學生糾正或補充.)

      (1)求函數(shù)的增量:Δy=f(x+Δx)-f(x);

      2.試用導數(shù)的定義求函數(shù)y=x+x2的導數(shù).

      (要求全體學生在課堂練習本上做,同時找一至兩名學生板演.)

      解:設(shè)y=f(x)=x+x2,則Δy=f(x+Δx)-f(x)=[(x+Δx)+(x+Δx)2]-(x+x2)

      =Δx(1+2x+Δx),二、引入新課

      讓學生觀察復習提問2的結(jié)果: y′=1+2x.

      從這個結(jié)果可以得到以下兩點啟示:

      1.函數(shù)y=x+x2是兩個函數(shù)(y=x和y=x2)的和,它的導數(shù)可以用導數(shù)的定義直接求得;

      2.函數(shù)y=x+x2的導數(shù)y′=1+2x,恰好是函數(shù)y=x和y=x2導數(shù)的和.那么,任意兩個函數(shù)的和的導數(shù)是否都是這兩個函數(shù)導數(shù)的和呢?

      結(jié)論是肯定的.

      三、講解新課

      1.和(差)的導數(shù).

      法則1 兩個函數(shù)的和(差)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(差).即

      其中u和v都是x的可導函數(shù).

      證明:(可讓學生自己完成.)

      設(shè)y=f(x)=u(x)+v(x),則Δy=[u(x+Δx)±v(x+Δx)]-[u(x)±v(x)]

      =[u(x+Δx)-u(x)]±[v(x+Δx)-v(x)]

      =Δu±Δv,即y'=(u±v)'=u'±v'.

      追問:條件“u和v都是可導函數(shù)”有沒有必要?它在證明法則的過程中用于何處?

      說明:這個法則可以推廣到任意有限個函數(shù),即

      例1 求函數(shù)y=x3+sinx的導數(shù).

      解:y'=(x3)'+(sinx)'=3x2+cosx.

      設(shè)問(繼續(xù)引入新課):既然有(u±v)'=u'±v',那么是否也有

      呢?

      就上述“設(shè)問”給出兩個反例,以防止極限運算中,積和商的法則在此處的負遷移:

      ①把函數(shù)y=x3看作函數(shù)u(x)=x和函數(shù)v(x)=x2的乘積,即 y=x·x2.

      按(1)求導有:

      y'=(x·x2)'=(x)'·(x2)'=2x.

      顯然與y'=(x3)'=3x2的正確結(jié)果不符.可見該(1)為謬.

      那么,正確的法則是什么呢?我們可以由導數(shù)的定義直接推導出來.

      2.積的導數(shù).

      法則2 兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù).即

      其中u和v都是x的可導函數(shù).

      證明:設(shè)y=f(x)=u(x)·v(x),則

      Δy=u(x+Δx)·v(x+Δx)-u(x)·v(x)

      =u(x+Δx)·v(x+Δx)-u(x)·v(x+Δx)+u(x)·v(x+Δx)-u(x)·v(x),因為v(x)在點x處可導,所以它在點x處連續(xù),于是當Δx→0時,v(x+Δx)→v(x),從而

      即 y'=(uv)'=u'v+uv'.

      若c為常數(shù),則從[法則2]立即可以推出:(cu)'=c'u+cu'=0+cu'=cu'.

      就是說,常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù),等于常數(shù)積以函數(shù)的導數(shù).即

      例2 求函數(shù)y=(2x2+3)(3x-2)的導數(shù).

      =4x(3x-2)+(2x2+3)·3

      =18x2-8x+9.

      3.商的導數(shù).

      法則3 兩個函數(shù)的商的導數(shù),等于分子的導數(shù)與分母的積,減去分母的導數(shù)與分子的積,再除以分母的平方.即

      因為v(x)在點x處可導,所以它在點x處連續(xù),于是 當Δx→0時,v(x+Δx)→v(x),從而

      解:

      例4 求證當n是負整數(shù)時,公式(xn)'=nxn-1

      仍然成立.

      證明:設(shè) n=-m(m為正整數(shù))

      說明:

      當n=0時,(xn)'=nxn-1也成立,所以對于一切整數(shù)n,公式(xn)'=nxn-1成立.

      四、小結(jié)

      1.通過用導數(shù)的定義求導數(shù)的方法,可直接推導得函數(shù)和(或差)、積、商的導數(shù)公式:

      (1)(u±v)'=u'±v';

      (2)(uv)'=u'v+uv';(cu)'=cu'(c為常數(shù));

      其中u和v是x的可導函數(shù).

      2.公式(2)對于u和v是對稱的,而公式(3)對于u和v卻不是對稱的,這一點要特別注意.

      3.和(或差)的導數(shù)法則可以推廣到任意有限個函數(shù)的情況

      那么,對于任意有限個函數(shù)的積的導數(shù)又怎樣呢?(此問題要求學生在課后思考,下一節(jié)課將給予回答.)

      五、布置作業(yè)

      1.閱讀課本中“函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)”這一節(jié)的課文;

      2.求下列函數(shù)的導數(shù):

      (1)y=5x5-3x3+x-25;

      (2)y=ax4-bx2+c;

      (3)y=sinx-x+1;

      (4)y=x2+2cosx;

      (5)y=(3x2+1)(2-x);

      (6)y=(1-2x3)(x-3x2);

      (7)y=sinx(1-x2);

      (8)y=(1+2x)(1-cosx);

      第二篇:幾種常見函數(shù)的導數(shù)教案

      幾種常見函數(shù)的導數(shù)教案

      教學目的

      使學生應(yīng)用由定義求導數(shù)的三個步驟推導四種常見函數(shù)的導數(shù)公式,掌握并能運用這四個公式正確求函數(shù)的導數(shù).

      教學重點和難點

      掌握并熟記四種常見函數(shù)的求導公式是本節(jié)的重點.正整數(shù)冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)的導數(shù)公式的推導是本節(jié)難點.

      教學過程

      一、復習提問

      1.按定義求導數(shù)有哪幾個步驟?

      2.用導數(shù)的定義求下列各函數(shù)的導數(shù):

      (1)y=x5;(2)y=c.

      幾點說明:練習(1)為推導正整數(shù)冪函數(shù)導數(shù)公式作準備,在求Δy值時啟發(fā)學生應(yīng)用二項式定理展開(x+Δx)5;練習(2)推導前,首先指出這里y=c稱為常數(shù)函數(shù),可設(shè)y=f(x)=c說明不論自變量取何值,對應(yīng)的函數(shù)值均為c,以避免出如下錯誤,Δy=f(x+Δx)-f(x)=c+Δx-c=Δx.

      二、新課

      1.引言:由導數(shù)定義本身,給出了求導數(shù)的最基本的方法,但由于導數(shù)是用極限來定義的,所以求導數(shù)總是歸結(jié)到求極限這在運算上很麻煩,有時甚至很困難,為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導數(shù),這一單元我們將研究比較簡捷的求導數(shù)的方法,本節(jié)課根據(jù)導數(shù)定義先來證明幾個常見函數(shù)的導數(shù)公式.

      2.幾個常見函數(shù)的導數(shù)公式.

      (1)設(shè)y=c(常數(shù)),則y'=0.

      此公式前面已證.下面我們還可以用幾何圖象對公式加以說明(圖2-6).因為y=c的圖象是平行于x軸的直線,其上任一點的切線即為直線本身,所以切線的斜率都是0.此公式可敘述成“常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為零”.

      (2)(xn)'=nxn-1(n為正整數(shù)).

      此公式的證明在教師指導下,由學生獨立完成.

      證明:設(shè)y=f(x)=xn,此公式可敘述成“正整數(shù)冪函數(shù)的導數(shù)等于冪指數(shù)n與自變量的(n-1)次冪的乘積”.

      (3)(sinx)'=cosx.

      證明:y=f(x)=sinx,在學生推導過程中,教師要步步追問根據(jù)及思路.如:

      此公式可敘述成“正弦函數(shù)的導數(shù)等于余弦函數(shù)”.

      (4)(cosx)'=-sinx.

      此公式證明由學生仿照公式(3)獨立證明.

      此公式可敘述成“余弦函數(shù)的導數(shù)等于正弦函數(shù)前面添一個負號”.

      三、練習

      1.默寫四種常見函數(shù)的求導公式.

      2.求下列函數(shù)的導數(shù):

      四、小結(jié)

      四種常見函數(shù)的導數(shù)公式

      1.(c)'=0(c為常數(shù)),2.(xn)'=nxn-1,3.(sinx)'=cosx,4.(cosx)'=-sinx.

      五、布置作業(yè)

      1.求下列函數(shù)的導數(shù):

      (1)u=t4;(2)y=xa(a為正整數(shù));sup 2.用導數(shù)定義證明:

      (5)x=cost.

      兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差).

      即,已知:兩個函數(shù)u(x)和v(x),且u(x),v(x)的導數(shù)存在,求證:[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x).

      第三篇:構(gòu)造函數(shù)解導數(shù)

      合理構(gòu)造函數(shù)解導數(shù)問題

      構(gòu)造函數(shù)是解導數(shù)問題的基本方法,但是有時簡單的構(gòu)造函數(shù)對問題求解帶來很大麻煩甚至是解決不了問題的,那么怎樣合理的構(gòu)造函數(shù)就是問題的關(guān)鍵。

      例1:已知函數(shù)f?x??ln?ax?1??x3?x2?ax.(1)若2為y?f?x?的極值點,求實數(shù)a的值; 3(2)若y?f?x?在?1,???上增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;(3)若a??1時,方程f?1?x???1?x??3b有實根,求實數(shù)b的取值范圍。x

      變量分離直接構(gòu)造函數(shù) 抓住問題的實質(zhì),化簡函數(shù)

      1、已知f?x?是二次函數(shù),不等式f?x??0的解集是?0,5?,且f?x?在區(qū)間??1,4?上的最大值12.(1)求f?x?的解析式;

      (2)是否存在自然數(shù)m,使得方程f?x??37?0在區(qū)間?m,m?1?內(nèi)有且只有兩個不等的x實數(shù)根?若存在,求出所有m的值;若不存在,請說明理由。

      變式練習:設(shè)函數(shù)f?x??x?6x?5,x?R,求已知當x??1,???時,f?x??k?x?1?恒

      3成立,求實數(shù)k的取值范圍。

      抓住常規(guī)基本函數(shù),利用函數(shù)草圖分析問題

      例: 已知函數(shù)f?x??n?lnx的圖像在點P(m,f?m?)處的切線方程為y?x, 設(shè)g?x??mx?n?2lnx.x(1)求證:當x?1時,g?x??0恒成立;(2)試討論關(guān)于x的方程mx?n?g?x??x3?2ex2?tx根的個數(shù)。x第 1 頁

      共 1 頁 一次函數(shù),二次函數(shù),指對數(shù)函數(shù),冪函數(shù),簡單的分式根式函數(shù),絕對值函數(shù)的圖象力求清晰準確,一些綜合性的問題基本上是這些函數(shù)的組合體,如果適當分解和調(diào)配就一定能找到問題解決的突破口,使問題簡單化明確化。

      復合函數(shù)問題一定要堅持定義域優(yōu)先的原則,抓住函數(shù)的復合過程能夠逐層分解。例:已知函數(shù)f?x???單調(diào)遞增。

      (1)求實數(shù)a的值.(2)若關(guān)于x的方程f2x?m有3個不同的實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍.(3)若函數(shù)y?log2?f?x??p?的圖像與坐標軸無交點,求實數(shù)p的取值范圍。復合函數(shù)尤其是兩次復合,一定要好好掌握,構(gòu)造兩種函數(shù)逐層分解研究,化繁為簡,導數(shù)仍然是主要工具。

      1423x?x?ax2?2x?2在區(qū)間??1,1?上單調(diào)遞減,在區(qū)間?1,2?上43??

      導數(shù)—構(gòu)造函數(shù)

      一:常規(guī)的構(gòu)造函數(shù)

      例一.若sin3??cos3??cos??sin?,0???2?,則角?的取值范圍是()(A)[0,?4]

      (B)[??5?,?]

      (C)[,]

      4(D)[?3?4,2)

      x?y?xy變式、已知3?3?5?5成立,則下列正確的是()

      A.x?y?0

      B.x?y?0

      C.x?y?0

      D.x?y?0

      2變式.f?(x)為f(x)的導函數(shù),若對x?R,2f(x)?xf?(x)?x恒成立,則下列命題可能錯誤的是()A.f(0)?0 B.f(1)?4f(2)C.f(?1)?4f(?2)D.4f(?2)?f(1)

      二:構(gòu)造一次函數(shù)

      二、對于滿足|a|?2的所有實數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>a+2x恒成立的x的取值范圍.第 2 頁

      共 2 頁 三:變形構(gòu)造函數(shù) 例三.已知函數(shù)f(x)?12x?ax?(a?1)lnx,a?1. 2(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

      (Ⅱ)證明:若a?5,則對任意x1,x2?(0,??),x1?x2,有

      四、已知函數(shù)f(x)?(a?1)lnx?ax2?1.(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

      (Ⅱ)設(shè)a??2,證明:對任意x1,x2?(0,??),|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.四:消參構(gòu)造函數(shù)

      五、設(shè)函數(shù)f?x??x?aln?1?x?有兩個極值點x1,x2,且x1?x2.

      2f(x1)?f(x2)??1.

      x1?x2(I)求a的取值范圍,并討論f?x?的單調(diào)性;(II)證明:f?x2??

      五:消元構(gòu)造函數(shù)

      六、已知函數(shù)f?x??lnx,g?x??ex.

      (Ⅰ)若函數(shù)??x??f?x??1?2ln2. 4x?1,求函數(shù)??x?的單調(diào)區(qū)間; x?1(Ⅱ)設(shè)直線l為函數(shù)的圖象上一點A?x0,f?x0??處的切線.證明:在區(qū)間?1,???上存在唯一的x0,使得直線l與曲線y?g?x?相切.

      第 3 頁

      共 3 頁 六:二元合一構(gòu)造函數(shù)

      12ax?bx(a?0)且導數(shù)f'(1)?0 2(1)試用含有a的式子表示b,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)對于函數(shù)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)如果在函數(shù)圖象上存在點M(x0,y0)(其中x0?(x1,x2))使得點M處的切線l//AB,則稱AB存在“跟隨切線”。

      x?x2特別地,當x0?1時,又稱AB存在“中值跟隨切線”。試問:在函數(shù)f(x)上是否存在2兩點A、B使得它存在“中值跟隨切線”,若存在,求出A、B的坐標,若不存在,說明理由。例

      七、已知函數(shù)f(x)?lnx?

      七:構(gòu)造函數(shù)解不等式

      八、設(shè)函數(shù)f(x)=?x3?2mx2?m2x?1?m(其中m >-2)的圖像在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行;

      (Ⅰ)求m的值與該切線方程;

      (Ⅱ)若對任意的x1,x2??0,1?,f?x1??f?x2??M恒成立,則求M的最小值;(Ⅲ)若a?0, b?0, c?0且a+b+c=1,試證明:

      九、設(shè)函數(shù)f(x)?lnx?px?1

      (Ⅰ)求函數(shù)f(x)?lnx?px?1的極值點

      (Ⅱ)當p?0時,若對任意的x?0,恒有f(x)?0,求p的取值范圍。

      abc9???

      1?a21?b21?c210ln22ln32ln42lnn22n2?n?1(Ⅲ)證明:2?2?2?????2?(n?N,n?2)

      234n2(n?1)

      十、證明:對任意的正整數(shù)n,不等式ln(?1)?

      第 4 頁

      共 4 頁

      1n11?3都成立.2nn1、移項法構(gòu)造函數(shù)

      【例1】已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x,求證:當x??1時,恒有1?

      2、作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)?1?ln(x?1)?x x?112x?lnx.求證:在區(qū)間(1,??)上,函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)2g(x)?23x的圖象的下方; 3111?1)?2?3 都成立.nnn

      3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明

      【例3】證明:對任意的正整數(shù)n,不等式ln(4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

      【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf?(x)>-f(x)恒成立,且常數(shù)a,b滿足a>b,求證:.a(chǎn)f(a)>bf(b)

      第 5 頁

      共 5 頁

      第四篇:幾種常見函數(shù)的導數(shù)教案

      幾種常見函數(shù)的導數(shù)教案

      目的要求

      1.能應(yīng)用由定義求導數(shù)的三個步驟推導幾種常見函數(shù)的導數(shù)公式,熟記正弦余弦函數(shù)的導數(shù).

      2.掌握并能運用四個函數(shù)導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù). 3.在公式(2)的指導過程中,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力. 內(nèi)容分析

      本節(jié)依次講述了函數(shù)C,xn(n為有理數(shù))、sinx、cosx等四種函數(shù)的導數(shù)公式,這些公式都是由導數(shù)定義導出的.其中,前兩個導數(shù)公式要求學生能熟練地證明,后兩個導數(shù)公式要求學生能熟練掌握和應(yīng)用.

      2.對于函數(shù)y=C的導數(shù)公式:y=C(C為常數(shù)),則y′=0.此公式不僅要求學生用前面已學的求導的三個步驟進行證明,還要求學生運用幾何圖象對公式加以說明.如圖35-1,因為y=C的圖象是平行于x軸的直線,其上任意一點的切線即為直線本身,所以切線的斜率都是0.為了讓學生記得更牢,此公式可敘述為:常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為零.

      3.關(guān)于公式(xn)′=n·xn-1(n∈Q),這個公式的證明比較復雜,教科書只就n∈N*的情況作了證明.因此,這節(jié)課的難點就是如何引導學生利用二項式定理對這個公式進行證明,教學時,可采用從特殊到一般的教學方法.實際上,這個公式對于n∈R仍然成立.

      4.對于正弦余弦函數(shù)的導數(shù)公式,由于在證明過程中,要使用三角函數(shù)的和差化積公式,以及重要的極限公式.因此,對公式(sinx)′=cosx、(cosx)′=-sinx,只要求學生牢記公式并能靈活應(yīng)用即可,而不要求學生對上述兩個公式進行證明.

      5.這節(jié)課的重點是利用前面已學的求導數(shù)的三個步驟對公式(1)、(2)進行證明,同時能運用這四個公式解決一些初等數(shù)學不能解決的曲線的切線問題.

      教學過程(一)復習提問

      1.按定義求導數(shù)有哪幾個步驟?

      2.用導數(shù)的定義求下列各函數(shù)的導數(shù).(1)y=x5;(2)y=C.

      目的,練習(1)為推導公式(2)作準備.在求Δy值時,啟發(fā)學生應(yīng)用二項式定理展開(x+Δx)5.練習(2)推導前,首先指出這里y=C稱為常數(shù)函數(shù),可設(shè)y=f(x)=C,說明不論自變量取何值,對應(yīng)的函數(shù)值均為C,以避免如下錯誤:Δy=f(x+Δx)-f(x)=x+Δx-C=Δx.

      略解:1.Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)5-x5=x5+5x4(Δx)+10x3(Δx)2+10x2(Δx)3+5x(Δx)4+(Δx)5-x5,∴Δy=5x4(Δx)+10x3(Δx)2+10x2(Δx)3+5x(Δx)4+(Δx)5. ∴y′=5x4.(二)新課

      1.引言:由導數(shù)定義本身,給出了求導數(shù)的最基本的方法,但由于導數(shù)是用極限來定義的,所以求導數(shù)總是歸結(jié)到求極限.這在運算上很麻煩,有時甚至很困難.為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導數(shù).這一節(jié)我們將研究比較簡捷的求導數(shù)的方法,本節(jié)課根據(jù)導數(shù)定義先來證明幾個常見函數(shù)的導數(shù)公式.

      2.幾個常見函數(shù)的導數(shù)公式 公式1 C′=0(C為常數(shù)).

      此公式前面已證,見教科書第116頁.下面,我們還可以用幾何圖象,對公式加以說明:因為y=C的圖象是平行于x軸的直線,其上任一點的切線即為直線本身,所以切線的斜率都是0.

      公式1可敘述為:常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為零. 公式2(xn)′=n·xn-1(n∈Q)這個公式的證明可在教師的指導下進行.由于前面已有y=x5這道題的基礎(chǔ),可由學生只就n∈N*的情況進行獨立證明.詳細證明過程見教科書第117頁.

      注意:教學時要引導學生認真觀察此公式的特點:函數(shù)的導數(shù)等于指數(shù)n與自變量的(n-1)次方的乘積.

      公式3(sinx)′=cosx. 公式4(cosx)′=-sinx.

      公式3、4可敘述為:正弦函數(shù)的導數(shù)等于余弦函數(shù),余弦函數(shù)的導數(shù)等于正弦函數(shù)前面添一個負號.

      3.例題精講

      例1 求下列函數(shù)的導數(shù):

      (1)解:y′=(x5)′=5x5-1=5x4.

      注意:與前面的復習提問銜接起來,說明牢記和應(yīng)用導數(shù)公式解題的重要性.

      目的:通過這一組題的詳細講解,使學生對公式(2)記得更牢固.要求學生今后能熟練地掌握它.

      分析:先要利用公式3求出函數(shù)y=sinx的導函數(shù),然后利用導函 略解:∵y=sinx ∴y′=(sinx)′=cosx 4.課堂練習

      (1)默寫四種常見的求導公式.

      (2)教科書第117頁練習1和練習2. 5.課堂小結(jié)

      四種常見函數(shù)的導數(shù)公式.(1)(C)′=0(C為常數(shù))

      (2)(xn)′=n·xn-1

      (3)(sinx)′=cosx

      (4)(cosx)′=-sinx.

      布置作業(yè)

      1.求下列函數(shù)的導數(shù):

      (1)u=t4(2)y=xa(a為正整數(shù))(3)y=a(a為常數(shù))2.教科書習題3.2第2題和第5題.

      第五篇:函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)教案

      3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)

      【三維目標】

      知識與技能:1.探索函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系

      2.會利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

      過程與方法:1.通過本節(jié)的學習,掌握用導數(shù)研究單調(diào)性的方法

      2.在探索過程中培養(yǎng)學生的觀察、分析、概括的能力滲透數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想。

      情感態(tài)度與價值觀:通過在教學過程中讓學生多動手、多觀察、勤思考、善總結(jié),培養(yǎng)學生的探索精神,引導學生養(yǎng)成自主學習的學習習慣?!窘虒W重點難點】

      教學重點:探索并應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系求單調(diào)區(qū)間。教學難點:探索函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系?!窘?/p>

      具】多媒體 【教學方法】問題啟發(fā)式 【教學過程】 一.復習回顧

      復習1:導數(shù)的幾何意義

      復習2:函數(shù)單調(diào)性的定義,判斷單調(diào)性的方法,(圖像法,定義法)

      問題提出:判斷y=x的單調(diào)性,如何進行?(分別用圖像法,定義法完成)2那么如何判斷f(x)?sinx?x,x??0,??;的單調(diào)性呢?引導學生圖像法,定義去嘗試發(fā)覺有困難,引出課題:板書課題:函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)

      二.新知探究

      探究任務(wù)一:函數(shù)單調(diào)性與其導數(shù)的關(guān)系:

      問題1:如圖(1)表示高臺跳水運動員的高度h隨時間t變化的函數(shù)h(t)??4.9t?6.5t?10的圖像,圖(2)表示高臺跳水運動員的速度V(t)?h'(t)??9.8t?6.5h的圖像.通過觀察圖像, 運動員從起跳到最高點,以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別?此時你能發(fā)現(xiàn)h(t)和h'(t)這兩個函數(shù)圖像有什么聯(lián)系嗎?

      啟發(fā):函數(shù)h'(t)在(0,a)上是大于0,函數(shù)h(t)在(0,a)上有何特點呢?函數(shù)h'(t)在(a,b)上是小于0,那么函數(shù)h(t)在(a,b)上有何特點呢?

      問題2:觀察圖(1)~圖(4),探討函數(shù)與其導函數(shù)是否也存在問題(1)的關(guān)系呢?

      問題3:通過對問題1和問題2的觀察,你能得到原函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負號有何關(guān)系?你能得到怎樣的結(jié)論?(形成初步結(jié)論,板書結(jié)論:函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系:在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f'(x)?0,那么函數(shù)y?f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f'(x)?0,那么函數(shù)y?f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.)

      問題4:上述結(jié)論主要是通過觀察得到的,你能結(jié)合導數(shù)的幾何意義為切線的斜率,你能從這個角度給予說明嗎?

      探究任務(wù)二:f'?x??0與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系:

      問題5:若函數(shù)f?x?的導數(shù)f'?x??0,那么f?x?會是一個什么函數(shù)呢?(板書:特別的,如果)f'(x)?0,那么函數(shù)y?f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常值函數(shù).問題6:平時我們遇到很多需要數(shù)形結(jié)合的題目,那么現(xiàn)在我們知道了導數(shù)的正負能幫助我們判斷函數(shù)的單調(diào)性,那么我們能否利用導數(shù)信息畫出函數(shù)的大致圖像呢?

      例1:已知某函數(shù)的導函數(shù)的下列信息:

      時,f'(x)?0;當1?x?4時,f'(x)?0;當x?4,或x?1時,f'(x)?0.試畫出函數(shù)f?x?圖像的大致形狀.當x?4,或x?

      1跟蹤練習

      1、設(shè)y?f?(x)是函數(shù)y?f(x)的導數(shù), y?f?(x)的 圖象如圖所示, 則y?f(x)的圖象最有可能是()

      問題7:根據(jù)我們得到的導數(shù)與單調(diào)性之間關(guān)系的結(jié)論,你能否利用此結(jié)論來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間呢?

      例3:判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:(1)f(x)?sinx?x,x??0,??;(2)f(x)?2x3?3x2?24x?1;(3)f(x)?x3?3x;(4)f(x)?x2?2x?3;(5)f(x)=x+ln x

      (對于(2)讓學生課后探究嘗試單調(diào)性的定義法和圖象法)

      問:你對利用導數(shù)去研究函數(shù)的單調(diào)性有什么看法?你能總結(jié)出利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間的步驟嗎?(簡單易行)

      (板書“求解函數(shù)y?f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟:

      (1)確定函數(shù)y?f(x)的定義域;(2)求導數(shù)y'?f'(x);(3)解不等式f'(x)?0,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間;(4)解不等式f'(x)?0,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間.

      問題8:導數(shù)能幫助我們簡潔的求出單調(diào)區(qū)間,畫出大致圖象,但我們知道就是遞增(遞減)也有快與慢的區(qū)別,在導數(shù)上如何體現(xiàn)呢?下面我們就來看一下下面這個問題

      例3.如圖3.3-6,水以常速(即單位時間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系圖像.

      分析:

      在導數(shù)幾何意義那節(jié)我們就感受了增加與減少也由快慢之分,那么我們以容器(2)為例,由于容器上細下粗,所以水以常速注入時,開始階段高度增加得慢,以后高度增加得越來越快.反映在圖像上,(A)符合上述變化情況.同理可知其它三種容器的情況.

      解:?1???B?,?2???A?,?3???D?,?4???C?

      思考:例3表明,通過函數(shù)圖像,不僅可以看出函數(shù)的增減,還可以看出其變化的快慢.結(jié)合圖像,你能從導數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎?

      一般的,如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大,那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快,這時,函數(shù)的圖像就比較“陡峭”;反之,函數(shù)的圖像就“平緩”一些.

      如右圖, 函數(shù)y?f(x)的圖象,在(0,b)或(a,0)內(nèi)的圖象“陡峭”, 在(b,??)或(??,a)內(nèi)的圖象平緩.(跟蹤練習)已知f′(x)是f(x)的導函數(shù),f′(x)的圖象如圖所示,則f(x)的圖象只可能是()

      三,課堂練習

      1.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

      (1)y=e?x

      (2)y=3x-x3

      (3)f(x)?3x2?2lnx x

      四,課堂小結(jié)

      1.函數(shù)導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系:若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導, ′如果f(x)>0, 則f(x)為增函數(shù);如果f′(x)<0, 則f(x)為減函數(shù).2.本節(jié)課中,用導數(shù)去研究函數(shù)的單調(diào)性是中心,能靈活應(yīng)用導數(shù)解題是目的,另外應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用.3.掌握研究數(shù)學問題的一般方法:從特殊到一般,從簡單到復雜.五,作業(yè)設(shè)計 課本98頁,A組1,2

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