第一篇：函數(shù)的和差積商的導數(shù)教案

函數(shù)的和差積商的導數(shù)教案

教學目的

1．使學生學會根據(jù)函數(shù)的導數(shù)的定義推導出函數(shù)導數(shù)的四則運算法則；

2．使學生掌握函數(shù)導數(shù)的四則運算法則，并能熟練地運用這些法則去求由基本初等函數(shù)的和、差、積、商構成的較復雜的函數(shù)的導數(shù)．

教學重點和難點

本節(jié)課的重點是求函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)的運算法則．難點是求函數(shù)的積和商的導數(shù)的運算公式及其推導方法．

教學過程

一、復習提問

1．求導數(shù)的三個步驟是什么？

(先讓全體學生回憶，再請一名學生單獨回答．若答錯或不完善則請另外學生糾正或補充．)

(1)求函數(shù)的增量：Δy=f(x＋Δx)－f(x)；

2．試用導數(shù)的定義求函數(shù)y＝x＋x2的導數(shù)．

(要求全體學生在課堂練習本上做，同時找一至兩名學生板演．)

解：設y=f(x)＝x＋x2，則Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝[(x＋Δx)＋(x＋Δx)2]－(x＋x2)

＝Δx(1＋2x＋Δx)，二、引入新課

讓學生觀察復習提問2的結果： y′=1＋2x．

從這個結果可以得到以下兩點啟示：

1．函數(shù)y＝x＋x2是兩個函數(shù)(y＝x和y＝x2)的和，它的導數(shù)可以用導數(shù)的定義直接求得；

2．函數(shù)y＝x＋x2的導數(shù)y′=1＋2x，恰好是函數(shù)y＝x和y＝x2導數(shù)的和．那么，任意兩個函數(shù)的和的導數(shù)是否都是這兩個函數(shù)導數(shù)的和呢？

結論是肯定的．

三、講解新課

1．和(差)的導數(shù)．

法則1 兩個函數(shù)的和(差)的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(差)．即

其中u和v都是x的可導函數(shù)．

證明：(可讓學生自己完成．)

設y=f(x)＝u(x)＋v(x)，則Δy=[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)]

=[u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)－v(x)]

=Δu±Δv，即y'=(u±v)'=u'±v'．

追問：條件“u和v都是可導函數(shù)”有沒有必要？它在證明法則的過程中用于何處？

說明：這個法則可以推廣到任意有限個函數(shù)，即

例1 求函數(shù)y＝x3＋sinx的導數(shù)．

解：y'＝(x3)'＋(sinx)'＝3x2＋cosx．

設問(繼續(xù)引入新課)：既然有(u±v)'＝u'±v'，那么是否也有

呢？

就上述“設問”給出兩個反例，以防止極限運算中，積和商的法則在此處的負遷移：

①把函數(shù)y＝x3看作函數(shù)u(x)=x和函數(shù)v(x)=x2的乘積，即 y=x·x2．

按(1)求導有：

y'＝(x·x2)'＝(x)'·(x2)'=2x．

顯然與y'＝(x3)'＝3x2的正確結果不符．可見該(1)為謬．

那么，正確的法則是什么呢？我們可以由導數(shù)的定義直接推導出來．

2．積的導數(shù)．

法則2 兩個函數(shù)的積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)．即

其中u和v都是x的可導函數(shù)．

證明：設y＝f(x)＝u(x)·v(x)，則

Δy=u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)

＝u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x＋Δx)＋u(x)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)，因為v(x)在點x處可導，所以它在點x處連續(xù)，于是當Δx→0時，v(x＋Δx)→v(x)，從而

即 y'=(uv)'=u'v＋uv'．

若c為常數(shù)，則從[法則2]立即可以推出：(cu)'=c'u＋cu'=0＋cu'=cu'．

就是說，常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)積以函數(shù)的導數(shù)．即

例2 求函數(shù)y＝(2x2＋3)(3x－2)的導數(shù)．

＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3

＝18x2－8x＋9．

3．商的導數(shù)．

法則3 兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)與分母的積，減去分母的導數(shù)與分子的積，再除以分母的平方．即

因為v(x)在點x處可導，所以它在點x處連續(xù)，于是 當Δx→0時，v(x＋Δx)→v(x)，從而

即

解：

例4 求證當n是負整數(shù)時，公式(xn)'=nxn-1

仍然成立．

證明：設 n=－m(m為正整數(shù))

說明：

當n＝0時，(xn)'＝nxn-1也成立，所以對于一切整數(shù)n，公式(xn)'＝nxn-1成立．

四、小結

1．通過用導數(shù)的定義求導數(shù)的方法，可直接推導得函數(shù)和(或差)、積、商的導數(shù)公式：

(1)(u±v)'=u'±v'；

(2)(uv)'＝u'v＋uv'；(cu)'＝cu'(c為常數(shù))；

其中u和v是x的可導函數(shù)．

2．公式(2)對于u和v是對稱的，而公式(3)對于u和v卻不是對稱的，這一點要特別注意．

3．和(或差)的導數(shù)法則可以推廣到任意有限個函數(shù)的情況

那么，對于任意有限個函數(shù)的積的導數(shù)又怎樣呢？(此問題要求學生在課后思考，下一節(jié)課將給予回答．)

五、布置作業(yè)

1．閱讀課本中“函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)”這一節(jié)的課文；

2．求下列函數(shù)的導數(shù)：

(1)y＝5x5－3x3＋x－25；

(2)y=ax4－bx2＋c；

(3)y＝sinx－x＋1；

(4)y=x2＋2cosx；

(5)y=(3x2＋1)(2－x)；

(6)y=(1－2x3)(x－3x2)；

(7)y＝sinx(1－x2)；

(8)y=(1＋2x)(1－cosx)；

第二篇：幾種常見函數(shù)的導數(shù)教案

幾種常見函數(shù)的導數(shù)教案

教學目的

使學生應用由定義求導數(shù)的三個步驟推導四種常見函數(shù)的導數(shù)公式，掌握并能運用這四個公式正確求函數(shù)的導數(shù)．

教學重點和難點

掌握并熟記四種常見函數(shù)的求導公式是本節(jié)的重點．正整數(shù)冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)的導數(shù)公式的推導是本節(jié)難點．

教學過程

一、復習提問

1．按定義求導數(shù)有哪幾個步驟？

2．用導數(shù)的定義求下列各函數(shù)的導數(shù)：

(1)y＝x5；(2)y＝c．

幾點說明：練習(1)為推導正整數(shù)冪函數(shù)導數(shù)公式作準備，在求Δy值時啟發(fā)學生應用二項式定理展開(x＋Δx)5；練習(2)推導前，首先指出這里y＝c稱為常數(shù)函數(shù)，可設y=f(x)=c說明不論自變量取何值，對應的函數(shù)值均為c，以避免出如下錯誤，Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝c＋Δx－c＝Δx．

二、新課

1．引言：由導數(shù)定義本身，給出了求導數(shù)的最基本的方法，但由于導數(shù)是用極限來定義的，所以求導數(shù)總是歸結到求極限這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導數(shù)，這一單元我們將研究比較簡捷的求導數(shù)的方法，本節(jié)課根據(jù)導數(shù)定義先來證明幾個常見函數(shù)的導數(shù)公式．

2．幾個常見函數(shù)的導數(shù)公式．

(1)設y=c(常數(shù))，則y'=0．

此公式前面已證．下面我們還可以用幾何圖象對公式加以說明(圖2－6)．因為y=c的圖象是平行于x軸的直線，其上任一點的切線即為直線本身，所以切線的斜率都是0．此公式可敘述成“常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為零”．

(2)(xn)'＝nxn-1(n為正整數(shù))．

此公式的證明在教師指導下，由學生獨立完成．

證明：設y=f(x)=xn，此公式可敘述成“正整數(shù)冪函數(shù)的導數(shù)等于冪指數(shù)n與自變量的(n－1)次冪的乘積”．

(3)(sinx)'=cosx．

證明：y＝f(x)=sinx，在學生推導過程中，教師要步步追問根據(jù)及思路．如：

此公式可敘述成“正弦函數(shù)的導數(shù)等于余弦函數(shù)”．

(4)(cosx)'=－sinx．

此公式證明由學生仿照公式(3)獨立證明．

此公式可敘述成“余弦函數(shù)的導數(shù)等于正弦函數(shù)前面添一個負號”．

三、練習

1．默寫四種常見函數(shù)的求導公式．

2．求下列函數(shù)的導數(shù)：

四、小結

四種常見函數(shù)的導數(shù)公式

1．(c)'＝0(c為常數(shù))，2．(xn)'＝nxn-1，3．(sinx)'＝cosx，4．(cosx)'=－sinx．

五、布置作業(yè)

1．求下列函數(shù)的導數(shù)：

(1)u=t4；(2)y=xa(a為正整數(shù))；sup 2．用導數(shù)定義證明：

(5)x=cost．

兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差)．

即，已知：兩個函數(shù)u(x)和v(x)，且u(x)，v(x)的導數(shù)存在，求證：[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)．

第三篇：構造函數(shù)解導數(shù)

合理構造函數(shù)解導數(shù)問題

構造函數(shù)是解導數(shù)問題的基本方法，但是有時簡單的構造函數(shù)對問題求解帶來很大麻煩甚至是解決不了問題的，那么怎樣合理的構造函數(shù)就是問題的關鍵。

例1：已知函數(shù)f?x??ln?ax?1??x3?x2?ax.(1)若2為y?f?x?的極值點，求實數(shù)a的值； 3(2)若y?f?x?在?1,???上增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若a??1時，方程f?1?x???1?x??3b有實根，求實數(shù)b的取值范圍。x

變量分離直接構造函數(shù) 抓住問題的實質，化簡函數(shù)

1、已知f?x?是二次函數(shù)，不等式f?x??0的解集是?0,5?，且f?x?在區(qū)間??1,4?上的最大值12.（1）求f?x?的解析式；

（2）是否存在自然數(shù)m，使得方程f?x??37?0在區(qū)間?m,m?1?內有且只有兩個不等的x實數(shù)根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請說明理由。

變式練習：設函數(shù)f?x??x?6x?5,x?R，求已知當x??1,???時，f?x??k?x?1?恒

3成立，求實數(shù)k的取值范圍。

抓住常規(guī)基本函數(shù)，利用函數(shù)草圖分析問題

例： 已知函數(shù)f?x??n?lnx的圖像在點P(m,f?m?)處的切線方程為y?x, 設g?x??mx?n?2lnx.x（1）求證：當x?1時，g?x??0恒成立；（2）試討論關于x的方程mx?n?g?x??x3?2ex2?tx根的個數(shù)。x第 1 頁

共 1 頁 一次函數(shù)，二次函數(shù)，指對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，簡單的分式根式函數(shù)，絕對值函數(shù)的圖象力求清晰準確，一些綜合性的問題基本上是這些函數(shù)的組合體，如果適當分解和調配就一定能找到問題解決的突破口，使問題簡單化明確化。

復合函數(shù)問題一定要堅持定義域優(yōu)先的原則，抓住函數(shù)的復合過程能夠逐層分解。例：已知函數(shù)f?x???單調遞增。

（1）求實數(shù)a的值.（2）若關于x的方程f2x?m有3個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍.（3）若函數(shù)y?log2?f?x??p?的圖像與坐標軸無交點，求實數(shù)p的取值范圍。復合函數(shù)尤其是兩次復合，一定要好好掌握，構造兩種函數(shù)逐層分解研究，化繁為簡，導數(shù)仍然是主要工具。

1423x?x?ax2?2x?2在區(qū)間??1,1?上單調遞減，在區(qū)間?1,2?上43??

導數(shù)—構造函數(shù)

一：常規(guī)的構造函數(shù)

例一.若sin3??cos3??cos??sin?,0???2?，則角?的取值范圍是（）(A)[0,?4]

(B)[??5?,?]

(C)[,]

4(D)[?3?4,2)

x?y?xy變式、已知3?3?5?5成立，則下列正確的是（）

A.x?y?0

B.x?y?0

C.x?y?0

D.x?y?0

2變式.f?(x)為f(x)的導函數(shù)，若對x?R，2f(x)?xf?(x)?x恒成立，則下列命題可能錯誤的是()A．f(0)?0 B．f(1)?4f(2)C．f(?1)?4f(?2)D．4f(?2)?f(1)

二：構造一次函數(shù)

例

二、對于滿足|a|?2的所有實數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>a+2x恒成立的x的取值范圍.第 2 頁

共 2 頁 三：變形構造函數(shù) 例三．已知函數(shù)f(x)?12x?ax?(a?1)lnx，a?1． 2（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調性；

（Ⅱ）證明：若a?5，則對任意x1,x2?(0,??)，x1?x2，有

例

四、已知函數(shù)f(x)?(a?1)lnx?ax2?1.（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調性；

（Ⅱ）設a??2，證明：對任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|.四：消參構造函數(shù)

例

五、設函數(shù)f?x??x?aln?1?x?有兩個極值點x1，x2，且x1?x2．

2f(x1)?f(x2)??1．

x1?x2（I）求a的取值范圍，并討論f?x?的單調性；（II）證明：f?x2??

五：消元構造函數(shù)

例

六、已知函數(shù)f?x??lnx，g?x??ex．

（Ⅰ）若函數(shù)??x??f?x??1?2ln2． 4x?1，求函數(shù)??x?的單調區(qū)間； x?1（Ⅱ）設直線l為函數(shù)的圖象上一點A?x0,f?x0??處的切線．證明：在區(qū)間?1,???上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y?g?x?相切．

第 3 頁

共 3 頁 六：二元合一構造函數(shù)

12ax?bx(a?0)且導數(shù)f'(1)?0 2（1）試用含有a的式子表示b，并求f(x)的單調區(qū)間；（2）對于函數(shù)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)如果在函數(shù)圖象上存在點M(x0,y0)（其中x0?(x1,x2)）使得點M處的切線l//AB，則稱AB存在“跟隨切線”。

x?x2特別地，當x0?1時，又稱AB存在“中值跟隨切線”。試問：在函數(shù)f(x)上是否存在2兩點A、B使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出A、B的坐標，若不存在，說明理由。例

七、已知函數(shù)f(x)?lnx?

七：構造函數(shù)解不等式

例

八、設函數(shù)f(x)＝?x3?2mx2?m2x?1?m(其中m >-2)的圖像在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行；

（Ⅰ）求m的值與該切線方程；

（Ⅱ）若對任意的x1,x2??0,1?,f?x1??f?x2??M恒成立，則求M的最小值；（Ⅲ）若a?0, b?0, c?0且a+b+c=1，試證明：

例

九、設函數(shù)f(x)?lnx?px?1

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)?lnx?px?1的極值點

（Ⅱ）當p?0時，若對任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范圍。

abc9???

1?a21?b21?c210ln22ln32ln42lnn22n2?n?1（Ⅲ）證明：2?2?2?????2?(n?N,n?2)

234n2(n?1)

例

十、證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(?1)?

第 4 頁

共 4 頁

1n11?3都成立.2nn1、移項法構造函數(shù)

【例1】已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當x??1時，恒有1?

2、作差法構造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)?1?ln(x?1)?x x?112x?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)2g(x)?23x的圖象的下方； 3111?1)?2?3 都成立.nnn

3、換元法構造函數(shù)證明

【例3】證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln（4、從條件特征入手構造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．af(a)>bf(b)

第 5 頁

共 5 頁

第四篇：幾種常見函數(shù)的導數(shù)教案

幾種常見函數(shù)的導數(shù)教案

目的要求

1．能應用由定義求導數(shù)的三個步驟推導幾種常見函數(shù)的導數(shù)公式，熟記正弦余弦函數(shù)的導數(shù)．

2．掌握并能運用四個函數(shù)導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)． 3．在公式(2)的指導過程中，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力． 內容分析

本節(jié)依次講述了函數(shù)C，xn(n為有理數(shù))、sinx、cosx等四種函數(shù)的導數(shù)公式，這些公式都是由導數(shù)定義導出的．其中，前兩個導數(shù)公式要求學生能熟練地證明，后兩個導數(shù)公式要求學生能熟練掌握和應用．

2．對于函數(shù)y＝C的導數(shù)公式：y＝C(C為常數(shù))，則y′＝0．此公式不僅要求學生用前面已學的求導的三個步驟進行證明，還要求學生運用幾何圖象對公式加以說明．如圖35－1，因為y＝C的圖象是平行于x軸的直線，其上任意一點的切線即為直線本身，所以切線的斜率都是0．為了讓學生記得更牢，此公式可敘述為：常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為零．

3．關于公式(xn)′＝n·xn-1(n∈Q)，這個公式的證明比較復雜，教科書只就n∈N*的情況作了證明．因此，這節(jié)課的難點就是如何引導學生利用二項式定理對這個公式進行證明，教學時，可采用從特殊到一般的教學方法．實際上，這個公式對于n∈R仍然成立．

4．對于正弦余弦函數(shù)的導數(shù)公式，由于在證明過程中，要使用三角函數(shù)的和差化積公式，以及重要的極限公式．因此，對公式(sinx)′＝cosx、(cosx)′＝－sinx，只要求學生牢記公式并能靈活應用即可，而不要求學生對上述兩個公式進行證明．

5．這節(jié)課的重點是利用前面已學的求導數(shù)的三個步驟對公式(1)、(2)進行證明，同時能運用這四個公式解決一些初等數(shù)學不能解決的曲線的切線問題．

教學過程(一)復習提問

1．按定義求導數(shù)有哪幾個步驟？

2．用導數(shù)的定義求下列各函數(shù)的導數(shù)．(1)y＝x5；(2)y＝C．

目的，練習(1)為推導公式(2)作準備．在求Δy值時，啟發(fā)學生應用二項式定理展開(x＋Δx)5．練習(2)推導前，首先指出這里y＝C稱為常數(shù)函數(shù)，可設y＝f(x)＝C，說明不論自變量取何值，對應的函數(shù)值均為C，以避免如下錯誤：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝x＋Δx－C＝Δx．

略解：1．Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)5－x5＝x5＋5x4(Δx)＋10x3(Δx)2＋10x2(Δx)3＋5x(Δx)4＋(Δx)5－x5，∴Δy＝5x4(Δx)＋10x3(Δx)2＋10x2(Δx)3＋5x(Δx)4＋(Δx)5． ∴y′＝5x4．(二)新課

1．引言：由導數(shù)定義本身，給出了求導數(shù)的最基本的方法，但由于導數(shù)是用極限來定義的，所以求導數(shù)總是歸結到求極限．這在運算上很麻煩，有時甚至很困難．為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導數(shù)．這一節(jié)我們將研究比較簡捷的求導數(shù)的方法，本節(jié)課根據(jù)導數(shù)定義先來證明幾個常見函數(shù)的導數(shù)公式．

2．幾個常見函數(shù)的導數(shù)公式 公式1 C′＝0(C為常數(shù))．

此公式前面已證，見教科書第116頁．下面，我們還可以用幾何圖象，對公式加以說明：因為y＝C的圖象是平行于x軸的直線，其上任一點的切線即為直線本身，所以切線的斜率都是0．

公式1可敘述為：常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為零． 公式2(xn)′＝n·xn-1(n∈Q)這個公式的證明可在教師的指導下進行．由于前面已有y＝x5這道題的基礎，可由學生只就n∈N*的情況進行獨立證明．詳細證明過程見教科書第117頁．

注意：教學時要引導學生認真觀察此公式的特點：函數(shù)的導數(shù)等于指數(shù)n與自變量的(n－1)次方的乘積．

公式3(sinx)′＝cosx． 公式4(cosx)′＝－sinx．

公式3、4可敘述為：正弦函數(shù)的導數(shù)等于余弦函數(shù)，余弦函數(shù)的導數(shù)等于正弦函數(shù)前面添一個負號．

3．例題精講

例1 求下列函數(shù)的導數(shù)：

(1)解：y′＝(x5)′＝5x5-1＝5x4．

注意：與前面的復習提問銜接起來，說明牢記和應用導數(shù)公式解題的重要性．

目的：通過這一組題的詳細講解，使學生對公式(2)記得更牢固．要求學生今后能熟練地掌握它．

分析：先要利用公式3求出函數(shù)y＝sinx的導函數(shù)，然后利用導函 略解：∵y＝sinx ∴y′＝(sinx)′＝cosx 4．課堂練習

(1)默寫四種常見的求導公式．

(2)教科書第117頁練習1和練習2． 5．課堂小結

四種常見函數(shù)的導數(shù)公式．(1)(C)′＝0(C為常數(shù))

(2)(xn)′＝n·xn-1

(3)(sinx)′＝cosx

(4)(cosx)′＝－sinx．

布置作業(yè)

1．求下列函數(shù)的導數(shù)：

(1)u＝t4(2)y＝xa(a為正整數(shù))(3)y＝a(a為常數(shù))2．教科書習題3．2第2題和第5題．

第五篇：函數(shù)單調性與導數(shù)教案

3.3.1函數(shù)的單調性與導數(shù)

【三維目標】

知識與技能：1.探索函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系

2.會利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性并求函數(shù)的單調區(qū)間

過程與方法：1.通過本節(jié)的學習，掌握用導數(shù)研究單調性的方法

2.在探索過程中培養(yǎng)學生的觀察、分析、概括的能力滲透數(shù)形結合思想、轉化思想。

情感態(tài)度與價值觀：通過在教學過程中讓學生多動手、多觀察、勤思考、善總結，培養(yǎng)學生的探索精神，引導學生養(yǎng)成自主學習的學習習慣。【教學重點難點】

教學重點：探索并應用函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系求單調區(qū)間。教學難點：探索函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系?！窘?/p>

具】多媒體 【教學方法】問題啟發(fā)式 【教學過程】 一．復習回顧

復習1：導數(shù)的幾何意義

復習2：函數(shù)單調性的定義，判斷單調性的方法，（圖像法，定義法）

問題提出：判斷y=x的單調性，如何進行？（分別用圖像法，定義法完成）2那么如何判斷f(x)?sinx?x,x??0,??;的單調性呢？引導學生圖像法，定義去嘗試發(fā)覺有困難，引出課題：板書課題：函數(shù)的單調性與導數(shù)

二．新知探究

探究任務一：函數(shù)單調性與其導數(shù)的關系：

問題1:如圖（1）表示高臺跳水運動員的高度h隨時間t變化的函數(shù)h(t)??4.9t?6.5t?10的圖像，圖(2）表示高臺跳水運動員的速度V(t)?h'(t)??9.8t?6.5h的圖像.通過觀察圖像, 運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？此時你能發(fā)現(xiàn)h(t)和h'(t)這兩個函數(shù)圖像有什么聯(lián)系嗎?

啟發(fā):函數(shù)h'(t)在(0,a)上是大于0，函數(shù)h(t)在(0,a)上有何特點呢？函數(shù)h'(t)在(a，b)上是小于0，那么函數(shù)h(t)在(a,b)上有何特點呢？

問題2：觀察圖（1）～圖（4），探討函數(shù)與其導函數(shù)是否也存在問題（1）的關系呢？

問題3：通過對問題1和問題2的觀察，你能得到原函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負號有何關系？你能得到怎樣的結論？（形成初步結論，板書結論：函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系：在某個區(qū)間(a,b)內，如果f'(x)?0，那么函數(shù)y?f(x)在這個區(qū)間內單調遞增；如果f'(x)?0，那么函數(shù)y?f(x)在這個區(qū)間內單調遞減．）

問題4：上述結論主要是通過觀察得到的，你能結合導數(shù)的幾何意義為切線的斜率，你能從這個角度給予說明嗎？

探究任務二：f'?x??0與函數(shù)單調性的關系：

問題5：若函數(shù)f?x?的導數(shù)f'?x??0，那么f?x?會是一個什么函數(shù)呢？（板書：特別的，如果）f'(x)?0，那么函數(shù)y?f(x)在這個區(qū)間內是常值函數(shù)．問題6：平時我們遇到很多需要數(shù)形結合的題目，那么現(xiàn)在我們知道了導數(shù)的正負能幫助我們判斷函數(shù)的單調性，那么我們能否利用導數(shù)信息畫出函數(shù)的大致圖像呢？

例1:已知某函數(shù)的導函數(shù)的下列信息:

時，f'(x)?0;當1?x?4時，f'(x)?0;當x?4,或x?1時，f'(x)?0.試畫出函數(shù)f?x?圖像的大致形狀.當x?4,或x?

1跟蹤練習

1、設y?f?(x)是函數(shù)y?f(x)的導數(shù), y?f?(x)的 圖象如圖所示, 則y?f(x)的圖象最有可能是()

問題7：根據(jù)我們得到的導數(shù)與單調性之間關系的結論，你能否利用此結論來求函數(shù)的單調區(qū)間呢？

例3：判斷下列函數(shù)的單調性,并求出單調區(qū)間:（1）f(x)?sinx?x,x??0,??;（2）f(x)?2x3?3x2?24x?1;（3）f(x)?x3?3x;（4）f(x)?x2?2x?3;（5）f(x)＝x＋ln x

（對于（2）讓學生課后探究嘗試單調性的定義法和圖象法）

問:你對利用導數(shù)去研究函數(shù)的單調性有什么看法?你能總結出利用導數(shù)求單調區(qū)間的步驟嗎？（簡單易行）

（板書“求解函數(shù)y?f(x)單調區(qū)間的步驟：

（1）確定函數(shù)y?f(x)的定義域；（2）求導數(shù)y'?f'(x)；（3）解不等式f'(x)?0，解集在定義域內的部分為增區(qū)間；（4）解不等式f'(x)?0，解集在定義域內的部分為減區(qū)間．

問題8：導數(shù)能幫助我們簡潔的求出單調區(qū)間，畫出大致圖象，但我們知道就是遞增（遞減）也有快與慢的區(qū)別，在導數(shù)上如何體現(xiàn)呢？下面我們就來看一下下面這個問題

例3．如圖3.3-6，水以常速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應的水的高度h與時間t的函數(shù)關系圖像．

分析：

在導數(shù)幾何意義那節(jié)我們就感受了增加與減少也由快慢之分，那么我們以容器（2）為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況．

解：?1???B?,?2???A?,?3???D?,?4???C?

思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結合圖像，你能從導數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？

一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內變化的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．

如右圖, 函數(shù)y?f(x)的圖象，在(0,b)或(a,0)內的圖象“陡峭”, 在(b,??)或(??,a)內的圖象平緩.（跟蹤練習）已知f′(x)是f(x)的導函數(shù)，f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象只可能是()

三，課堂練習

1．確定下列函數(shù)的單調區(qū)間

(1)y=e?x

(2)y=3x－x3

(3)f(x)?3x2?2lnx x

四，課堂小結

1.函數(shù)導數(shù)與單調性的關系:若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內可導, ′如果f(x)>0, 則f(x)為增函數(shù);如果f′(x)<0, 則f(x)為減函數(shù).2.本節(jié)課中,用導數(shù)去研究函數(shù)的單調性是中心,能靈活應用導數(shù)解題是目的,另外應注意數(shù)形結合在解題中的應用.3.掌握研究數(shù)學問題的一般方法:從特殊到一般,從簡單到復雜.五，作業(yè)設計 課本98頁，A組1，2