第一篇：真命題與公理、定理

真命題與公理、定理

初學幾何的同學，對真命題、公理、定理之間的區(qū)別與聯(lián)系容易混淆。現(xiàn)作如下辨析，供同學們參考。

真命題就是正確的命題，即如果命題的題設成立，那么結(jié)論一定成立。如： ①兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。

②如果a＞b，b＞c那么a＞c。

③對頂角相等。

公理是人們在長期實踐中總結(jié)出來的、正確的命題，它不需要用其他的方法來證明，初一幾何中我們過的主要公理有：

①經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線。

②經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。

③同位角相等，兩直線平行。

④兩直線平行，同位角相等。

公理的正確性是在實踐中得以證實的，是被大家公認的，不再需要其他的證明，并且它可以作為證明其他真命題的依據(jù)。如應用公理③可以推導出“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”和“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”。

定理是根據(jù)公理或已知的定理推導出來的真命題。這些真命題都是最基本的和常用的，所以被人們選作定理。還有許多經(jīng)過證明的真命題沒有被選作定理。所以，定理都是真命題，而真命題不都是定理。例如：“若∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3”，這就是一個真命題，但不能說是定理。

總之，公理和定理都是真命題，但有的真命題既不是公理。也不是定理。公理和定理的區(qū)別主要在于：公理的正確性不需要用推理來證明，而定理需要證明。

第二篇：命題與證明之公理定理

公理和定理

教學要求：了解公理與定理到概念，以及他們之間的內(nèi)在聯(lián)系；了解公理與定理都是真命題，它們都是推理論證的依據(jù)；掌握教材十條公理和已學過的定理。

重點難點

十條公理和已學過的定理。

一 選擇題（每小題5分，共25分）下面命題中：

（1）旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小，（2）軸反射不改變圖形的形狀和大小

（3）連接兩點的所有線中，線段最短，（4）三角形的內(nèi)角和等于180°

屬于公理的有（）

A1個B2個C3個D4個下面關于公理和定理的聯(lián)系說法不正確的是（）

A 公理和定理都是真命題，B公理就是定理，定理也是公理，C 公理和定理都可以作為推理論證的依據(jù)D公理的正確性不需證明，定理的正確性需證明 3推理：如圖∵ ∠AOC=∠BOD，∴∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB,這個推理的依據(jù)是（）

A 等量加等量和相等，B等量減等量差相等C 等量代換 D 整體大于部分推理：如圖：∵∠A=∠ACD,∠B=∠BCD,(已知)∴AD=CD,CD=DB(等腰三角形的性質(zhì))AD=DB()

括號里應填的依據(jù)是（）

A 旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小 B

C等量代換 D 5（）

A 兩條直線被第三條直線所

截，若同位角相等，則這兩條 直線平行

B 線段垂直平分線上的點到線段 4題圖 兩個端點的距離相等 3題圖

C平行四邊形的對角線互相平分

D對頂角相等

∴

二 填空題（每小題5分，共25分）人們在長期實踐中總結(jié)出來的公認的真命題，作為證明的原始依據(jù)，稱這些真命題為____運用基本定義和公理通過推理證明是真的命題叫_______;

7定理： “直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的逆定理是：___________________ _______________________________________;____________________________________________________是定理“兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行”的逆定理如圖，Rt△ABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF，下面結(jié)論中

（1）△ABC≌△DEF,（2）∠DEF=90°，(3)AC=DF(4)AC∥DF(5)EC=CF 正確的是______________(填序號)，你判斷的依據(jù)是_______________________________________要使平行四邊形ABCD成為一個菱形，需要添加一個條件，那么你添加的是 _____________,依據(jù)是______

三 解答題（3×12+14=50分）11 仔細觀察下面推理，填寫每一步用到的公理或定理 如圖：在平行四邊形ABCD中，CE⊥AB，E

為垂足，如果∠A=125°，求∠BCE

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形(已知)

∴AD∥BC（）∵∠A=125°（已知）∴∠B=180°-125°=55°（）

∵△BEC是直角三角形（已知）∴∠BCE=90°-55°=35°()如圖將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A’OB’若A點

11題圖

A

D

D

BE

CF

B

C

9題圖

10題圖

為（a,b）,則B點的坐標

為

（13題圖），你用到的依.據(jù)是________________________________________________

13如圖所示，在直角坐標系xOy中，A(一l，5)，B(一3，0)，C(一4，3)．根據(jù)軸反射的定義和性質(zhì)完成下面問題：(1)在右圖中作出△ABC關于y軸的軸對稱圖形△A′B′C′；(2)寫出點C關于y軸的對稱點C′的坐標

14如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于O，用所學公理、定理、定義說明（1）△ABC≌△ADC,(2)OB=OD,AC⊥BD

第三篇：高中數(shù)學立體幾何模塊公理定理

高中數(shù)學立體幾何模塊公理定理匯編

Hzoue/2009-12-12

公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．

A?l，B?l，且A?α，B?α?l?α．（作用：證明直線在平面內(nèi)）

公理2 過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面．（作用：確定平面）推論 ①直線與直線外一點確定一個平面．

②兩條相交直線確定一個平面．

③兩條平行直線確定一個平面．

公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線． P?α，且P?β?α?β＝l，且P?l．（作用：證明三點/多點共線）

公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行．（平行線的傳遞性）空間等角定理 空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補． 線面平行判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行． 面面平行判定定理 一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行． 推論 一個平面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行，則這兩個平面平行． 線面平行性質(zhì)定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任意平面與此平面的交線與該直線平行． 面面平行性質(zhì)定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行． 線面垂直判定定理 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面平行． 三垂線定理 如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線的射影垂直，則它和這條斜線垂直． 逆定理 如果平面內(nèi)一條直線與平面的一條斜線垂直，則它和這條直線的射影垂直． 射影定理 從平面外一點出發(fā)的所有斜線段中，若斜線段長度相等則射影相等，斜線段較長則射影較長，斜線段較短則射影較短． 面面垂直判定定理 一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．

線面垂直性質(zhì)定理1 如果一條直線垂直于一個平面，則它垂直于平面內(nèi)的所有直線． 線面垂直性質(zhì)定理2 垂直于同一個平面的兩條直線平行．

面面垂直性質(zhì)定理1 兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直． 面面垂直性質(zhì)定理2 兩個平面垂直，過一個平面內(nèi)一點與另一個平面垂直的直線在該平面內(nèi)．

第四篇：命題與定理教案

設計者：重慶西藏中學

聶志

19.1 命題與定理

教學目標

1、知識與技能：（1）了解命題的含義；（2）對命題的概念有正確的理解（3）會區(qū)分命題的條件和結(jié)論,并會對命題進行改寫，（4）知道判斷一個命題是假命題的方法，（5）了解公理,定理的含義

2、過程與方法： 結(jié)合實例讓學生意識到證明的必要性，培養(yǎng)學生說理有據(jù)，有條理地表達自己想法的良好意識。

3、情感、態(tài)度與價值觀： 初步感受公理化方法對數(shù)學發(fā)展和人類文明的價值。重點與難點

1、重點： 找出命題的條件（題設）和結(jié)論，會進行改寫

2、難點： 命題概念的理解。教學過程:

一、復習引入

我們已經(jīng)學過一些圖形的特性，如“三角形的內(nèi)角和等于180度”，“等腰三角形兩底角相等”等。根據(jù)我們已學過的圖形特性，試判斷下列句子是否正確。

1、如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；

2、兩直線平行，同位角相等；

3、同旁內(nèi)角相等，兩直線平行；

4、平行四邊形的對角線相等；

5、直角都相等。

二，自主學習，探究新知

（一）命題、真命題與假命題

學生思考回答后，教師給出答案：根據(jù)已有的知識可以判斷出句子1、2、5是正確的，句子3、4是錯誤的。像這樣可以判斷出它是正確的還是錯誤的句子叫做命題，正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題。

強調(diào)：命題是一個表判斷的句子，是一個陳述句。命題有真假之分。

（二）命題的組成和改寫

在數(shù)學中，許多命題是由題設（或已知條件）、結(jié)論兩部分組成的。題設是已知事項；結(jié)論是由已知事項推出的事項，這樣的命題?？蓪懗伞叭绻?......，那么.......”的形式。用“如果”開始的部分就是題設，而用“那么”開始的部分就是結(jié)論。例如，在命題1中，“兩個角是對頂角”是題設，“這兩個角相等”就是結(jié)論。

有的命題的題設與結(jié)論不十分明顯，可以將它寫成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的題設和結(jié)論了。例如，命題5可寫成“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等?！?/p>

實例探究（小組間交流合作，解決問題）問題1（例1）：把命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”改寫成“如果.......，那么.......”的形式，并分別指出命題的題設和結(jié)論。

學生回答后，教師總結(jié)：這個命題可以寫成“如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形”。這個命題的題設是“一個三角形的三個角都相等”，結(jié)論是“這個三角形是等邊三角形”。

問題2：把下列命題寫成“如果.....，那么......”的形式，并說出它們的條件和結(jié)論，再判斷它是真命題，還是假命題。（1）對頂角相等；

（2）如果a＞ b,b＞ c, 那么a=c；

設計者：重慶西藏中學

聶志

（3）菱形的四條邊都相等；（4）全等三角形的面積相等。

學生小組交流后回答，學生回答后，師生互評

（1）條件：如果兩個角是對頂角；結(jié)論：那么這兩個角相等，這是真命題。（2）條件：如果a＞ b,b＞ c；結(jié)論：那么a=c；這是假命題。

（3）條件：如果一個四邊形是菱形；結(jié)論：那么這個四邊形的四條邊相等。這是真命題。（4）條件：如果兩個三角形全等；結(jié)論：那么它們的面積相等，這是真命題。

（三）假命題的證明

教師講解：要判斷一個命題是真命題，可以用邏輯推理的方法加以論證；而要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子，說明該命題不成立，即只要舉出一個符合該命題題設而不符合該命題結(jié)論的例子就可以了，在數(shù)學中，這種方法稱為“舉反例”。

例如，要證明命題“一個銳角與一個鈍角的和等于一個平角”是假命題，只要舉出一個反例：60度角是銳角，100度角是鈍角，但它們的和不是180度即可。(四)公理

數(shù)學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理。我們已經(jīng)知道下列命題是真命題：

一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等；

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行； 全等三角形的對應邊、對應角相等。在本書中我們將這些真命題均作為公理。

（五）定理

教師引導學生通過舉反例來說明下面兩題中歸納出的結(jié)論是錯誤的。從而說明證明的重要性。

1、教師講解：請大家看下面的例子： 當n=1時，（n2-5n+5)2=1;當n=2時，（n2-5n+5)2=1； 當n=3時，（n2-5n+5)2=1。

我們能不能就此下這樣的結(jié)論：對于任意的正整數(shù)（n2-5n+5)2的值都是1呢？ 實際上我們的猜測是錯誤的，因為當n=5時，（n2-5n+5)2=25。

2、教師再提出一個問題讓學生回答：如果a=b,那么a2=b2.由此我們猜想：當a＞ b時，a2＞ b2。這個命題是真命題嗎？

［答案：不正確，因為3＞-5，但3 2 ＜（-5）2］

教師總結(jié)：在前面的學習過程中，我們用觀察、驗證、歸納、類比等方法，發(fā)現(xiàn)了很多幾何圖形的性質(zhì)。但由前面兩題我們又知道，這些方法得到的結(jié)論有時不具有一般性。也就是說，由這些方法得到的命題可能是真命題，也可能是假命題。

教師講解：數(shù)學中有些命題可以從公理出發(fā)用邏輯推理的方法證明它們是正確的，并且可以進一步作為推斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理。

例如，有了“三角形的內(nèi)角和等于180°”這條定理后，我們還可以證明刻畫直角三角形的兩個銳角之間的數(shù)量關系的命題：直角三角形的兩個銳角互余。教師板書證明過程。

教師講解：此命題可以用來作為判斷其他命題真假的依據(jù)，因此我們把它也作為定理。定理的作用不僅在于它揭示了客觀事物的本質(zhì)屬性，而且可以作為進一步確認其他命題真假的依據(jù)。

設計者：重慶西藏中學

聶志

強調(diào)：公理不需要證明，定理需要證明，定理由公理推出，它們都是真命題，都可以作為其他命題證明的依據(jù)

三，展示提升，鞏固新知（學生先做，師生互評）

1.課本P65練習第1、2題。2.課本P66練習第1、2題。

四.歸納小結(jié)(學生總結(jié)，補充)

1、什么叫命題？什么叫真命題？什么叫假命題？

2、命題都可以寫成“如果.....，那么.......”的形式。

3、要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例就行了。

4.在長期實踐中總結(jié)出來為真命題的命題叫做公理。5.用邏輯推理的方法證明它們是正確的命題叫做定理。

6.本節(jié)課你還有哪些疑惑？

五.檢測反饋

小組間交流本節(jié)課還存在的問題，相互解決，老師巡視點撥

六.作業(yè)布置 訓練案P125

第五篇：命題與定理教案

命題與定理

第一課時

教學內(nèi)容：命題 教學目標：了解命題、定義的含義；對命題的概念有正確的理解。會區(qū)分命題的題設和結(jié)論。知道判斷一個命題是假命題的方法。

教學重點：找出命題的題設和結(jié)論。教學難點：命題概念的理解。教學過程：

一、復習引入：

我們已經(jīng)學過一些圖形的特性，如“三角形的內(nèi)角和等于180°”、“等腰三角形的兩個底角相等”等．根據(jù)我們學過的圖形特性，試判斷下列句子是否正確．（1）如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；（2）兩直線平行，同位角相等；（3）同旁內(nèi)角相等，兩直線平行；（4）平行四邊形的對角線相等；（5）直角都相等．

二、探究新知

（一）命題、真命題和假命題 學生回答后給出答案：句子（1）、（2）、（5）是正確的，句子（3）、（4）是錯誤的．引出概念：可以判斷它是正確的或是錯誤的句子叫做命題（proposition）．正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題．

在數(shù)學中，許多命題是由題設（或已知條件）、結(jié)論兩部分組成的．題設是已知事項；結(jié)論是由已知事項推出的事項．這樣的命題?？蓪懗伞叭绻??，那么??”的形式．用“如果”開始的部分就是題設，而用“那么”開始的部分就是結(jié)論．例如，在命題（1）中，“兩個角是對頂角”是題設，“這兩個角相等”是結(jié)論．

有的命題的題設與結(jié)論不十分明顯，將它寫成“如果??，那么??”的形式，也可分清它的題設與結(jié)論．例如，命題（5）可寫成“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”．

（二）例題選講

例1：把命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”改寫成“如果??，那么??”的形式，并分別指出命題的題設與結(jié)論．

解：這個命題可以寫成“如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形”．這個命題的題設是“一個三角形的三個角都相等”，結(jié)論是“這個三角形是等邊三角形”．

例2：指出下列命題的題設和結(jié)論，并把它改寫成“如果??那么??”的形式，它們是真命題還是假命題？

（1）對頂角相等；

（2）如果a＞b，b＞c，那么a＝c；

（3）兩角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等；（4）菱形的四條邊都相等；（5）全等三角形的面積相等。

（三）假命題的證明

要判斷一個命題是真命題，可以用邏輯推理的方法加以論證；而要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子，說明該命題不成立，即只要舉出一個符合該命題題設而不符合該命題結(jié)論的例子就可以了．在數(shù)學中，這種方法稱為“舉反例”．例如，要證明命題“一個銳角與一個鈍角的和等于一個平角”是假命題，只需舉出一個反例“某一銳角與某一鈍角的和不是180°”即可．

三、課堂練習

P65

第1、2題

四、總結(jié)

1、命題、真命題和假命題的含義；

2、區(qū)分命題題設、結(jié)論的方法；

3、判斷假命題的方法。

五、作業(yè)

P67 習題 19．1

第1、2題 教學后記：

第二課時

教學內(nèi)容：公理、定理

教學目標：

1、了解命題、公理、定理的含義；理解證明的必要性。

2、結(jié)合實例讓學生意識到證明的必要性，培養(yǎng)學生說理有據(jù)，有條理地表達自己想法的良好意識。

3、初步感受公理化方法對數(shù)學發(fā)展和人類文明的價值。

教學重點：知道什么是公理，什么是定理。教學難點：理解證明的必要性。教學過程：

一、復習引入：

上節(jié)課我們研究了要證明一個命題是假命題，只要舉出一個符合該命題題設而不符合該命題結(jié)論的反例就可以了，這節(jié)課，我們將研究怎樣證明一個命題是真命題。

二、探究新知

（一）公理

數(shù)學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理（axioms）．

我們已經(jīng)知道下列命題是真命題：

一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等；

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行； 全等三角形的對應邊、對應角分別相等． 我們將這些真命題均作為公理．

（二）定理

判斷下列命題是否正確：（1）當n=1時，（n2-5n+1）2=1;

當n=2時，（n2-5n+1）2=1

22當n=3時，（n2-5n+1）=1是否是對于任意的正整數(shù)n，（n2-5n+1）都等于1呢？（n=5時,（n2-5n+1）2=25）

(2)如果a=b,那么a2=b2.于是猜想：當a＞b時a2＞b2這個命題正確嗎？

數(shù)學中有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法證明它們是正確的，并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理（theorem）．

（三）證明過程

例如，有了“三角形的內(nèi)角和等于180°”這條定理后，我們還可以證明刻畫直角三角形的兩個銳角之間的數(shù)量關系的命題：

直角三角形的兩個銳角互余．

已知： 如圖19.1.1，在Rt△ABC中，∠C＝90°.求證： ∠A＋∠B＝90°． 證明∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的內(nèi)角和等于180°），又∠C＝90°，∴ ∠A＋∠B＝90°．

圖19.1.1 此命題可以用來作為判斷其他命題真假的依據(jù)，因此我們把它也作為定理．

定理的作用不僅在于它揭示了客觀事物的本質(zhì)屬性，而且可以作為進一步確認其他命題真假的依據(jù)．

三、課堂練習

四、總結(jié)：公理、定理的含義

五、作業(yè)： 教學后記：