第一篇：用向量方法證明空間中的平行與垂直

用向量方法證明空間中的平行與垂直

1.已知直線a的方向向量為a，平面α的法向量為n，下列結(jié)論成立的是(C)

A．若a∥n，則a∥αB．若a·n＝0，則a⊥α

C．若a∥n，則a⊥αD．若a·n＝0，則a∥α

解析：由方向向量和平面法向量的定義可知應(yīng)選C.對于選項D，直線a?平面α也滿足a·n＝0.2.已知α，β是兩個不重合的平面，其法向量分別為n1，n2，給出下列結(jié)論：

①若n1∥n2，則α∥β；②若n1∥n2，則α⊥β；

③若n1·n2＝0，則α⊥β；④若n1·n2＝0，則α∥β.其中正確的是(A)

A．①③B．①④

C．②③D．②④

→平行的一個向量的坐 3.(原創(chuàng))已知A(3，－2,1)，B(4，－5,3)，則與向量AB

標(biāo)是(C)

1A．(3，1,1)B．(－1，－3,2)

13C．(－2，2，－1)D．(2，－3，－ 2)

→＝(1，－3,2)＝－2(－131)，解析：AB22

13→所以與向量AB平行的一個向量的坐標(biāo)是(－2，2，－1)，故選C.4.設(shè)l1的方向向量為a＝(1,2，－2)，l2的方向向量為b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，則m等于 2.5.設(shè)平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝ 4.解析：因為α∥β，所以(－2，－4，k)＝λ(1,2，－ 2)，所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)．若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，6.已知AB

4015且BP⊥平面ABC，則實數(shù)x＝ 7，y＝ －7，z＝ 4.?→·→＝x－1＋5y＋6＝0解析：由已知?BPAB

→·→＝3?x－1?＋y－3z＝0?BPBC

4015解得x＝7，y＝－7z＝4.→·→＝3＋5－2z＝0ABBC，7.(原創(chuàng))若a＝(2,1，－3)，b＝(－1,5，3)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為 58.解析：因為a·b＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0，所以a⊥b，又|a|＝22，|b|29，所以以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為

|a|·|b|＝22×29＝258.8.如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點，AC＝16，PA＝PC＝10.設(shè)G是OC的中點，證明：FG∥平面BOE

.證明：如圖，連接OP，因為PA＝PC，AB＝BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以點O為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz

.則O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(xiàn)(4, 0,3)．由題意，得G(0,4,0)．

→＝(8,0,0)，OE→＝(0，－4,3)，因為OB

設(shè)平面BOE的一個法向量為n＝(x，y，z)，→??n·OB＝0?x＝0則?，即?，→＝0?－4y＋3z＝0?OE?n·

取y＝3，則z＝4，所以n＝(0,3,4)．

→＝(－4,4，－3)，得n·→＝0.由FGFG

又直線FG不在平面BOE內(nèi)，所以FG∥平面BOE

.9.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA

＝AD＝2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點．

(1)求證：PB∥平面EFH；

(2)求證：PD⊥平面AHF

.證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，H(1，0,0)．

→＝(2,0，－2)，EH→＝(1,0，－1)，(1)因為PB

→＝2EH→，所以PB

因為PB?平面EFH，且EH?平面EFH，所以PB∥平面EFH.→＝(0,2，－2)，AH→＝(1,0,0)，AF→＝(0,1,1)，(2)因為PD

→·→＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，所以PDAF

→·→＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，PDAH

所以PD⊥AF，PD⊥AH，又因為AF∩AH＝A，所以PD⊥平面AHF.

第二篇：9-5用向量方法證明平行與垂直

2012-2013學(xué)第一學(xué)期數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案編號：9-5班級：姓名：學(xué)習(xí)小組：組內(nèi)評價：教師評價：

例2．（線線垂直）

如圖所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°.BC＝1，AA1＝，M是例5．（面面平行）

如圖所示：正方體AC1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點．求證：平CC1的中點．求證：AB1⊥A1M.例3．（線面平行）

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD.例4．（線面垂直）

在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱AB和BC的中點，試在棱B1B上找一點M，使得D1M⊥平面EFB1.第三頁

面AMN∥平面EFDB.例6。（面面垂直）

如圖，底面ABCD是正方形，SA?底面ABCD，且SA?AB平面ABCD.第四頁E是SC中點.求證：

平面BDE?y，2012-2013學(xué)第一學(xué)期數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案編號：9-5班級：姓名：學(xué)習(xí)小組：組內(nèi)評價：教師評價：

8．平面α的一個法向量為v1＝(1,2,1)，平面β的一個法向量v2＝－(2,4,2)，則平面α與平面β()A．平行

B．垂直C．相交

D．不能確定

9．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點，則()A．面AED∥面A1FD1B．面AED⊥面A1FD1 C．面AED與面A1FD相交但不垂直D．以上都不對

10．已知l∥α，且l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為?

1?1，2，2??，則m＝________.11．如右上圖所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥QD，則a的值等于________．

9.如下圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點． 證明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.第三頁

10.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E、F、G分別是BB1、DD1、DC的中點，求證：(1)平面ADE∥平面B1C1F；(2)平面ADE⊥平面A1D1G；

(3)在AE上求一點M，使得A1M⊥平面DAE.11.如圖所示,PD⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為正方形,AB=2,E是PB的中點,cos〈DP,AE〉=33

.(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系,寫出點E的坐標(biāo)；(2)在平面PAD內(nèi)求一點F,使EF

⊥平面

PCB

.第四頁

第三篇：立體幾何中的向量方法----證明平行與垂直練習(xí)題

§8.7 立體幾何中的向量方法（Ⅰ）----證明平行與垂直

一、選擇題

1．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，則()．

A．l1∥l2B．l1⊥l

2C．l1與l2相交但不垂直D．以上均不正確

2．直線l1，l2相互垂直，則下列向量可能是這兩條直線的方向向量的是()

A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)

B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)

C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)

D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)

35?15???3．已知a＝?1，－，b＝?－3，λ，－滿足a∥b，則λ等于()． 22?2???

2992A.B.C．－D．－ 322

34．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是()．

A．a(chǎn)＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)

B．a(chǎn)＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)

C．a(chǎn)＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D．a(chǎn)＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

5．若平面α，β平行，則下面可以是這兩個平面的法向量的是()

A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)

B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)

C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)

D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)

6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實數(shù)λ等于()．

62636065A.B.C.D.7777

7．已知平面α內(nèi)有一個點A(2，－1,2)，α的一個法向量為n＝(3,1,2)，則下列點P中，在平面α內(nèi)的是()

A．(1，－1,1)3??B.?1，3，2??

??

C.?1，－3，2??

二、填空題

??

D.?－1，3，－

2??

8．兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，則

l1與l2的位置關(guān)系是_______．

9．平面α的一個法向量n＝(0,1，－1)，如果直線l⊥平面α，則直線l的單位方向向量是s＝________.→

＝0的_______．

→

12．已知→AB＝(1,5，－2)，→BC＝(3,1，z)，若→AB⊥→BC，→BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實數(shù)x，y，z分別為________．

三、解答題

13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

→

11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，則平面ABC的單位法向量是________．

→

→

→

→

→

10．已知點A，B，C∈平面α，點P?α，則AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC

a，b，c.14.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點．求證：

MN∥平面A1BD.證明 法一 如圖所示，以D為原點，DA、DC、DD1所在直

線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，???1?

則M?0，1，N?，1，1?，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，2???2?→

1??

1于是MN＝?，0，2??

2設(shè)平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． ?x＋z＝0，則n·DA1＝0，且n·DB＝0，得?

?x＋y＝0.→

→

取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． →

1??1

又MN·n＝?，0，·(1，－1，－1)＝0，2??2→

∴MN⊥n，又MN?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.15．如圖，已知ABCDA1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，且AE＝FC1＝

1.(1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點共面；

(2)若點G在BC上，BG＝M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥面

BCC1B1.→→

證明(1)建立如圖所示的坐標(biāo)系，則BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

→→

→→→→

所以BD1＝BE＋BF，故BD1、BE、BF共面． 又它們有公共點B，所以E、B、F、D1四點共面．(2)如圖，設(shè)M(0,0，z)，→

→→

2??

則GM＝?0，－，z?，而BF＝(0,3,2)，3??

→→

由題設(shè)得GM·BF＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.→

因為M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以ME＝(3,0,0)． →

→

又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→

所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.16．如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是線段EF的中點．

求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD＝N，連接NE.則點N、E的坐標(biāo)分別為 ?22?

?，0?、(0,0,1)．

2?2?→?22?∴NE＝?－，－1?.2?2?

?2?

2又點A、M的坐標(biāo)分別是2，2，0)、?，1?

2?2

?

→

?22?∴AM＝?－，－1?.2?2?

→→

∴NE＝AM且NE與AM不共線．∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.?22?

(2)由(1)知AM＝?－，－1?，2?2?

→

∵D2，0,0)，F(xiàn)(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)→→

∴AM·DF＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.→

第四篇：8.7 立體幾何中的向量方法Ⅰ——證明平行與垂直

§8.7 立體幾何中的向量方法Ⅰ——證明

平行與垂直

(時間：45分鐘 滿分：100分)

一、選擇題(每小題7分，共35分)

????????1.已知空間三點A（0,2,3），B（-2,1,6），C（1，-1,5）若a

a分別與AB,AC垂

直，則向量a為??

A.?1，1，1?

B.?－1，－1，－1?

C.?1，1，1?或?－1，－1，－1?

D.?1，－1，1?或?－1，1，－1?,2.已知a＝?1，1，1?，b＝?0，2，－1?，c＝ma＋nb＋?4，－4，1?.若c與a及b都垂直，則m，n的值分別為??,A.－1，2B.1，－2C.1，2D.－1，－

23.已知a＝?1,?,?，b＝??3,?,?

A??35?22???15??滿足a∥b，則λ等于?? 2?2992.B.C.－D.－ 3223????????????????????4.已知AB＝?1，5，－2?，BC＝?3，1，z?，若AB⊥BC，BP＝?x－1，y，－3?，且BP⊥平面ABC，則實數(shù)x，y，z分別為???A.33154015，－，4B.，－，4 77774040，－2，4D.4，－15 77C.5.若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是??,A.a＝?1，0，0?，n＝?－2，0，0?

B.a＝?1，3，5?，n＝?1，0，1?

C.a＝?0，2，1?，n＝?－1，0，－1?

D.a＝?1，－1，3?，n＝?0，3，1?

二、填空題?每小題7分，共21分?

6.設(shè)a＝?1，2，0?，b＝?1，0，1?，則“c＝(,?,?的條件.7.若|a|，b＝?1，2，－2?，c＝?2，3，6?，且a⊥b，a⊥c，則a＝.,8.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為

三、解答題?共44分?

9.?14分?已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為BB1、C1D1的中點，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求平面AMN的一個法向量

10．(15分)如圖，已知ABCD—A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA

1上，點F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點共面；

2(2)若點G在BC上，BG＝，點M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：

3EM⊥面BCC1B1.11．(15分)如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB2，AF

＝1，M是線段EF的中點．

求證：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.答案

1.C2.A3.B4.B5.D

6.充分不必要7.??23132)”是“c⊥a，c⊥b且c為單位向量”31??181??18,2,?或?，?2,??8.1 5??55??

5.9.解 以D為原點，DA、DC、DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系?如圖所示?.,設(shè)

正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則A?1，0，0?，M(1，1，11)，N(0，1)).∴2

2??????1??????1?AM??1,0,?,AN??0，1?設(shè)平面AMN的一個法向量為2???2?

n＝?x，y，z?,?????1?n?AM?y?z?0??2? ?????n?AN??x?1y?z?0??2

令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．

∴(－3,2，－4)為平面AMN的一個法向量．

????10.證明 建立如圖所示的坐標(biāo)系，則BE＝(3,0,1)，????→BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

?????????????→???→所以BD1=BE+BF，故BD1，BE，BF共面．

又它們有公共點B，所以E、B、F、D1四點共面．

(2)如圖，設(shè)M(0,0，z)，?????2→0，－z?，而BF＝(0，3，2)，GM＝?3??

得z＝1.?????→2由題設(shè)得GM?BF=??3?z?2?0，3????因為M(0,0，1)，E（3,0,1），所以ME＝(3,0,0)．

→→又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.11.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD＝N，連接NE.則點N、E的坐標(biāo)分別為 ?22，0?、(0,0,1)． 2?2?

?????22∴NE＝－1?.2?2?

又點A、M的坐標(biāo)分別是，0)、?22?22→，AM＝?－，1?.，1，22?2??2?????→∴NE＝AM且NE與AM不共線．∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.????22?→?(2)由（1）知AM＝1，∵D(2，0,0)，F(xiàn)22，1)，DF＝(0，2，2?2?

1)．

→→→→AM·DF＝0.∴AM⊥DF.→→同理AM⊥BF，又DF∩BF

＝

F，∴AM⊥平面BDF.

第五篇：3.2.1用向量方法證明平行與垂直關(guān)系

§3.2.1用向量方法證明平行與垂直

1、直線的方向向量

直線的方向向量是指和這條直線或的向量，一條直線的方向向量有個。2.平面的法向量

直線l??，取直線l的a,則向量a叫做平面?的。

3、空間中平行關(guān)系的向量表示（1）線線平行與垂直

設(shè)直線l,m的方向向量分別為a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)，且a2,b2,c2≠0，則

l//m???l?m???（2）設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量為的法向量。

題型二 利用向量方法證平行關(guān)系

【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，求證：B1C//平面ODC

1【練習(xí)2】如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF,∠BCF=∠CEF=90o, AD=3,EF=2,求證：AE//平面DCF.D

A a=(a1,b1,c1)，平面若?的法向量為u=(a2,b2,c2),則l//????。l?????（3）面面平行

設(shè)平面?，? 的法向量分別為u=(a1,b1,c1),F

題型三 用向量方法證垂直關(guān)系

【例3】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分

別是棱AB，BC的中點，試在棱BB1上找一點M，v=(a2,b2,c2),則?//???

使得D1M⊥平面EFB1.?；?????

?

題型一 求平面的法向量 【例

經(jīng)過三點A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0)，試求平面?的一個法向量。

【練習(xí)1】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為BB1,CD的中點，求證：AE是平面A1D1F

【練習(xí)3】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C⊥A1B,求證：AC1 ⊥A1B.1】已知平面?

課時作業(yè)

一、選擇題

1、已知A(3,5,2),B(-1,2,1)，把AB按向量a=(2,1,1)平移后所得的向量是 A.(-4,-3,0)B.(-4,-3,-1)C.(-2,-1,0)D.(-2,-2,0)2.平面?的一個法向量為（1，2，0），平面?的一個法向量為（2，－1，0），則平面?與?的位置關(guān)系是

A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.不能確定 3.從點A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取線段長AB=34,則B點坐標(biāo)為

A.（－9，－7，7）B.（18，17，－17）C.（9，7，－7）D.（－14，－19，31）

4、已知a=（2，4，5）b=（3，x,y）分別是直線l1,l2的方向向量，若l1//l2，則 A.x=6,y=15B.x=3,y=C.x=3,y=15D.x=6,y=

1521

52B

C9、△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC,BD//CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點，求證：平面DEA⊥平面ECA.10、在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F(1)證明：PA//平面EDB;(2)證明：PB⊥平面EFD.5、若直線l的方向向量為a=(1,0，2,)，平面?的法向量為u=(-2,0,-4),則

A.l//?B.l ⊥?C.l??D.l與?斜交

二、填空題

6、已知A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,-1，5),若|a|=3,且a ⊥AB, a ⊥AC,則向量a的坐標(biāo)為

7、已知平面?經(jīng)過點O（0，0，0），且e=(1,1,1)是?的法向量，M(x,y,z)是平面?內(nèi)任意一點，則x,y,z滿足的關(guān)系式是。

三、解答題

8、如圖，已知P是正方形ABCD平面外一點，M,N分別是PA,BD上的點，且PM:MA=BN:ND=5:8,求證：直線MN//平面PBC

0-

E

A

B