第一篇：兩個平面平行的判定和性質(zhì)(一)

兩個平面平行的判定和性質(zhì)

（一）一、教學(xué)目標(biāo)

1．理解并掌握兩個平面平行的定義．

2．掌握兩個平面的位置關(guān)系應(yīng)用了類比的方法。

二、教學(xué)重點、難點、疑點及解決方法

1．教學(xué)重點：掌握兩個平面的位置關(guān)系；掌握兩個平面平行的判定．

2．教學(xué)難點：掌握兩個平面平行的判定定理的證明及其應(yīng)用．

三、課時安排

1．12兩個平面的位置關(guān)系及1．13兩個平面平行的判定和性質(zhì)這兩個課題調(diào)整安排為2課時．本節(jié)課為第一課時，主要講解兩個平面的位置關(guān)系及兩個平面平行的判定．

四、教與學(xué)過程設(shè)計

（一）兩個平面的位置關(guān)系

思考問題：

1、不重合的兩個平面的位置關(guān)系：

兩個平面平行——沒有公共點；

兩個平面相交——有一條公共直線（至少有一個公共點）．

4、如何畫出并表示兩個平行平面和兩個相交平面呢？

畫兩個平行平面的要點是：表示平面的平行四邊形的對應(yīng)邊相互平行．如圖1—102．

畫兩個相交平面的要點是：先畫表示兩個平面的平行四邊形的相交兩邊，再畫表示兩個平面交線的線段．成圖時注意不相交的直線相互平行且等長，不可見的部分畫虛線或不畫．如圖1—103．

學(xué)生練習(xí)（P．35中練習(xí)2）：畫兩個平行平面和分別在這兩個平面內(nèi)的兩條平行直線，再畫一個經(jīng)過這兩條平行直線的平面．

如圖1—104，α∥β，a∥b，a＜α，b＜β，a＜γ，b＜γ．

（二）兩個平面平行的判定

師：根據(jù)前一小節(jié)平面平行的定義，我們來判斷兩個互逆命題的正誤，并說明理由（幻燈顯示）． 命題1．如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的所有直線一定都和另一個平面平行． 命題2．如果一個平面內(nèi)的所有直線都和另一個平面平行，那么這兩個平面平行． 通過上面的討論我們知道：兩個平面平行的問題可轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)直線和另一個平面平行的問題．實際上判定兩個平面平行的條件不需要一個平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個平面，只需要在一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面．

兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．

已知：在平面β內(nèi)，有兩條相交直線a、b和平面α平行． 求證：β∥α．

師分析：要證明這個定理，先思考幾個問題（提出問題并啟發(fā)學(xué)生得出結(jié)論）（幻燈顯

示）．

問題1：如果平面α與平面β不平行，那么它們的位置關(guān)系怎樣？（相交）． 問題2：若平面α與平面β相交，那么交線與平行于平面α的直線a和b各有什么關(guān)系？（平行）．

問題3：相交直線a和b都與交線平行合理嗎？（不合理，與平行公理矛盾）． 師：總結(jié)得出證明定理應(yīng)該根據(jù)定義，利用反證法，讓學(xué)生寫出它的證明過程．

證明：假設(shè)α∩β＝c．a(chǎn)∥α，a∩β，a∥c，同理b∥c．a(chǎn)∥b，這與題設(shè)a與b相交矛盾，α∥β．

（三）練習(xí)

例1垂直于同一直線的兩個平面平行．

已知：α⊥AA＇，β⊥AA＇，求證：α∥β．

提示：要證明兩個平面平行，有兩種方法：一是利用定義；二是利用判定定理，也是較常用的一種方法．因此利用判定定理證明例1的關(guān)鍵是：如何構(gòu)造一個平面內(nèi)的兩相交直線都平行于另一個平面？

證明：設(shè)經(jīng)過直線AA＇的兩個平面γ，δ分別與平面α、β交于直線a，a＇和b，b＇． ∵AA＇⊥α，AA＇⊥β，∴AA⊥a，AA＇⊥a＇，∴a‖a＇，則a＇∥α． 同理，b＇∥α．

又∵a＇∩b＇＝ A＇∴α∥β．

師：這個例題的結(jié)論可與定理“垂直于同一平面的兩條直線平行”聯(lián)系起來記憶，也可作為判定兩個平面平行的一種方法．

練習(xí)：判斷下列命題的正誤（幻燈顯示）．

1．垂直于同一直線的兩直線平行．

2．分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線都平行（P．37中練習(xí)1）．

3．如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（P．38中練習(xí)2<1>）．

4．如果一個平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（P．38中練習(xí)2<2>）．

答：1．錯，這兩條直線還可能相交或異面．

2．錯，這兩條直線還可能異面，但不會相交．

3．錯，反例如圖1—107．

4．對．

（四）總結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩個平面平行的定義；兩個平面的位置關(guān)系：平行或相交；兩個平面平行的判定．掌握兩個平面平行的判定的研究可以轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行的研究．

五、作業(yè)

P．38中習(xí)題五1、2、3．

第二篇：兩個平面平行的判定和性質(zhì)(二)

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識教學(xué)點

1．兩個平面平行的性質(zhì)．

2．兩個平行平面的公垂線、公垂線段、距離的定義．

（二）能力訓(xùn)練點

1．利用轉(zhuǎn)化的思維方法掌握和應(yīng)用兩個平面平行的性質(zhì)． 2．應(yīng)用類比的方法理解并掌握兩個平行平面的公垂線、公垂線段、距離的定義．

二、教學(xué)重點、難點、疑點及解決方法

1概念，會求兩個平行平面間的距離．

2．教學(xué)難點：掌握兩個平行平面的性質(zhì)及其應(yīng)用．

3面平行、線面垂直的研究．

三、課時安排

1．12兩個平面的位置關(guān)系及1．13安排為

2四、教與學(xué)過程設(shè)計

生：平行或相交．

b＝0，a∥αβ．

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

（二）兩個平面平行的性質(zhì)

師：今天我們研究兩個平面平行的性質(zhì)．根據(jù)兩個平面平行直線和平面平行的定義可知：兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面．1：若α∥

1．兩個平面平行的性質(zhì)定理

已知：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b．

求證：a∥b．

∵α∥β，∴α與β

∴a∥b．

（反證法．）

假設(shè)直線a不平行于直線b，因為直線a、b在同一個平面γ內(nèi)，公共點P，即α，β相交，這與“α∥β”矛盾，所以假設(shè)不成立，即a∥b．

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

師：這個結(jié)論可作為性質(zhì)2：若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a∥b．下面我們再看一個例題．

2．例題

例2一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面． 已知：α∥β，l⊥α，l∩α＝A．

求證：l⊥β．

師提問：證明直線與平面垂直的方法有幾種？

證明：在平面β內(nèi)任取一條直線b，平面γ與直線b的平面，設(shè)γ∩α ＝a．

因為直線bl⊥β．

3：若α∥β，l⊥α，則l⊥β．

師：象性質(zhì)3這樣的，和兩個平行平面α，β同時垂直的直線l，叫做這兩個平行平面α，β的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的部分叫做這兩個平行平面的公垂線段．

如圖1—113，α∥β．如果AA＇、BB＇都是它們的公垂線段，那么AA＇∥BB＇，根據(jù)兩個平面平行的性質(zhì)定理有A＇B＇∥AB，所以四邊形ABB＇A＇是平行四邊形，AA＇＝BB＇．

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

由此，我們得到，兩個平行平面的公垂線段都相等，公垂線段的長度具有唯一性．與兩平行線間的距離定義相類似，我們把公垂線段的長度叫做兩個平行平面的距離．兩個平行平面間距離實質(zhì)上也是點到面或兩點間的距離，求值最后也是通過解三角形求得

4．練習(xí)（幻燈顯示）

（1）如圖1—114，平面α∥β，△ABC在β內(nèi)，P是

間的一點，線段PA、PB、PC分別交α于A＇、B＇、C，AC＝50cm，AB＝13cm，且PA＇∶PA= 2∶3，則△

師提示：△ABC∽△A＇3∶2．

BB＇⊥β于AC與β成60°角，AC＝8cm，B＇

師提示：可求A＇C＝4cm，又可證AB⊥平面AA＇C，且四邊形 AA＇B＇B為矩形，∴ AB ＝ A＇B＇，AB∥A＇B＇．∴A＇B＇⊥平面AA＇C，從而A＇B＇⊥A＇C．在Rt△A＇B＇C中，Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

（3）（P．38中練習(xí)3）夾在兩個平行平面間的平行線段相等．

已知：如圖1—116，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．

求證：AB＝CD．

證明：∵AB∥CD，∴過AB、CD的平面γ與平面α和β分別交于ACBD∵α∥β，∴BD∥AC．

∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD．

師：這個練習(xí)的結(jié)論可作為性質(zhì)

4（三）總結(jié)

平行平面的四個性質(zhì)．此外，經(jīng)過平面外一點只有一個平面和已知平面平行．4）．這節(jié)課學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是利用兩個問題．

五、作業(yè)

P．38—3957、8．

第三篇：兩個平面垂直的判定和性質(zhì)(一)

兩個平面垂直的判定和性質(zhì)(一)

一、教學(xué)目標(biāo)

1、理解并掌握兩個平面垂直的定義．

2．掌握兩個平面垂直的判定定理的證明過程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的邏輯推理，增強學(xué)生分析、解決問題的能力．

3．利用轉(zhuǎn)化的方法掌握和應(yīng)用兩個平面垂直的判定定理．

二、教學(xué)重點、難點

1．教學(xué)重點：掌握兩個平面垂直的判定．

2．教學(xué)難點：掌握兩個平面垂直的判定及應(yīng)用．

三、課時安排

本課題安排2課時．本節(jié)課為第一課時：主要講解兩個平面垂直的判定．

四、教與學(xué)的過程設(shè)計

(一)復(fù)習(xí)近平面角的有關(guān)知識

1、是二面角的平面角？

以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．

2、一般地，作二面角的平面角有哪幾種方法？

三種．一是利用定義；二是利用三垂線(逆)定理；三是利用棱的垂面．

3、練習(xí)(幻燈顯示)．

已知：二面角α-AB-β等于45°，CD＜α，D∈AB，∠CDB＝45°．

求：CD與平面β所成的角．

證明：作CO⊥β交β于點O，連結(jié)DO，則∠CDO為DC與β所成的角．

過點O作OE⊥AB于E，連結(jié)CE，則CE⊥AB，∴∠CEO為二面角α-AB-β的平面角，即∠CEO=45°．

∵CO⊥OE，OC＝OE，∴∠CDO=30°．

即DC與β成30°角．

點評：本題涉及到直線與平面所成角的范圍[0°，90°]以及利用三垂線定理尋找二面角的平面角．事實上，利用三垂線定理作二面角的平面角是最常用，也是最有效的一種方法．

(二)兩個平面垂直的定義、畫法

1、兩個平面垂直是兩個平面相交的特殊情況，日常我們見到的墻面和地面、以及一個長方體中，相鄰的兩個面都是互相垂直的．那么，什么是兩個平面互相垂直呢？

兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．

2、知道了兩個平面互相垂直的概念．如何畫它們呢？

如圖1-128，把直立平面的豎邊畫成和水平平面的橫邊垂直．記作α⊥β．

3、練習(xí)：(P.45中練習(xí)1)

畫互相垂直的兩個平面、兩兩垂直的三個平面．如圖1-129．

(三)兩個平面垂直的判定

兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直． 提示：要證明兩個平面互相垂直，只有根據(jù)兩個平面互相垂直的定義，證明由它們組成的二面角是直二面角，因此必須作出它的一個平面角，并證明這個平面角是直角．如何作平面角呢？根據(jù)平面角的定義，可以作BE⊥CD，使∠ABE為二面角α-CD-β的平面角．讓學(xué)生獨自寫出證明過程．

求證：α⊥β．

證明：設(shè)a∩β=CD，則B∈CD．

∴AB⊥CD．

在平面β內(nèi)過點B作直線BE⊥CD，則∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．

∴α⊥β．

師：兩個平面垂直的判定定理，不僅是判定兩個平面互相垂直的依據(jù)，而且是找出垂直于一個平面的另一個平面的依據(jù)．如：建筑工人在砌墻時，常用一端系有鉛錘的線來檢查所砌的墻面是否和水平面垂直(圖見課本P.43中圖1-49)，實際上，就是依據(jù)這個原理．

另外，這個定理說明要證明面面垂直，實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為線面垂直來證明．下面我們來做一道練習(xí)． 練習(xí)：(P.45中練習(xí)2)

如圖1-131，檢查工件的相鄰兩個面是否垂直時，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個面上，另一邊在工件的另一個面上轉(zhuǎn)動一下，觀察尺邊是否和這個面密合就可以了．為什么？如果不轉(zhuǎn)動呢？

如果不轉(zhuǎn)動，只能確定兩條直線OA⊥OB，無法確定OA⊥β，從而無法確定α⊥β．

(四)練習(xí)

例：⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥α，C為圓周上不同于A、B的任意一點． 求證：平面PAC⊥平面PBC．圖1-13

3證明：在θO內(nèi)．

∵AB為θO的直徑，∴BC⊥AC．

又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC．

(五)總結(jié)

本節(jié)課我們講解了兩個平面垂直的定義、畫法及判定方法．判定方法有兩種，一是利用定義，二是利用判定定理．如何應(yīng)用兩個平面垂直的判定定理，把面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為線面垂直的問題是本節(jié)課學(xué)習(xí)的關(guān)鍵．

五、作業(yè)

P．46中習(xí)題六．6、7、8、10(1)，∴平面PAC⊥平面PBC．

第四篇：兩個平面平行的性質(zhì)

兩個平面平行的性質(zhì)

一、教學(xué)目的：（1）掌握兩個平面平行的性質(zhì)；（2）能利用性質(zhì)解決有關(guān)線線平行的問題；

（3）明確兩平行平面間的距離并求兩平行平面間的距離.二、教學(xué)重點、難點：兩個平面平行的性質(zhì)；利用性質(zhì)解決有關(guān)線線平行的問題.三、教學(xué)過程：

1、復(fù)習(xí)：兩個平面平行的判定方法：

2、兩個平面平行的性質(zhì)（1）：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面.3、兩個平面平行的的性質(zhì)（2）：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.4、練習(xí)：判斷下列命題的真假，對真命題給出證明，對假命題舉出反例.1、m??,n??,m//?,n//???//?;

2、?//?,m??,n???m//n；

3、?//?,l???l//?；

4、?內(nèi)的任一直線都平行于???//?.四、典型例子分析：

[例1]：求證：如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面.l 已知：

求證：

[說明]：（1）?//????l??，可以用來判斷直線與平面垂直依據(jù).l???

（2）和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平行平面的公垂線；

（3）夾在這兩個平行平面間的部分，叫做這兩個平行平面的公垂線段；

（4）兩個平行平面的公垂線的長度叫做這兩個平行平面的距離.[例2]：如圖，a,b是異面直線，a??,b//?,b??,a//?,（1）求證：?//?；

（2）求證：a,b間的距離等于平行平面?與平面?平面的距離.[說明]：

練習(xí)：求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等.[思考題]：AB、CD為夾在兩個平行平面?,?間的異面線段，M、N分別為AB、CD的中點，求證：MN//?(MN//?).作業(yè)：

1、一條直線和兩個平行平面相交，求證它和兩個平面所成的角相等.、兩個平行平面之間的距離等于12cm，一條直線和它們相交成60角，求這條直線上夾在這兩個平面間的線段的長.

第五篇：1.2.4兩個平面垂直的判定和性質(zhì)

江蘇省海頭高級中學(xué)高中數(shù)學(xué)必修2導(dǎo)學(xué)案立體幾何

1.2.2 兩個平面平面的位置關(guān)系第二課時（面面垂直）

編寫人：英繼祝審核人：王緒霞編號：1

2學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．理解二面角的有關(guān)概念，能畫出二面角；會求二面角的平面角．

2．理解兩個平面垂直的定義；掌握面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理．

3．能應(yīng)用面面垂直的判定與性質(zhì)解決簡單問題．

學(xué)習(xí)過程：

在日常生活中，公路上的坡面與水平面，打開的門與門框所在的平面等．它們中的兩個面成一定的角度．為了解決實際問題，人們需要研究兩個平面所成的角．

掌握課本上是怎么定義兩個平面所成的角？

1．二面角

（1）半平面：，其中的每一部分都叫做半平面．

（2）二面角：叫做二面角．叫做二面角的棱，叫做二面角的面．

（3）二面角的畫法：分直立式與平臥式兩種．圖1，記作二面角?-AB-?．

①直立式②平臥式

（4）二面角的表示方法：?-l-?

2．二面角的平面角

請閱讀課本page40-41，思考：①平面幾何中角理解為一條射線繞端點旋轉(zhuǎn)所得，一個二面角也可以看作是一個半平面而成的，也是一個旋轉(zhuǎn)量．這說明二面角不僅有．而且其大小是．

②二面角的大小應(yīng)該怎么度量？

二面角的平面角的定義：以為端點，在兩個面內(nèi)分別作的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．

如圖2，二面角?-l-?，O?l，AO??，BO??，AO?l，圖2

?二面角的平面角的范圍是，當(dāng)兩個半平面重合時，平面角為0；當(dāng)兩個半平

?圖BO?l．?AOB是二面角?-l-?的平面角．面合成一個平面時，平面角為180．

求解二面角大小的關(guān)鍵是確定平面角的位置，需抓住“二面角的平面角”的三個要素：（1）確定二面角的棱上一點；（2）經(jīng)過這點分別在兩個面內(nèi)引射線；（3）所引的射線都垂直于棱．

平面角是直角的二面角叫做直二面角．

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例1 如圖正方體ABCD?A'B'C'D'中，求①二面角D'?AB?D的大?、诙娼茿'?AB?D的大小 思考：本題中構(gòu)成二面角D'?AB?D的兩個半平面分別是什么？二面角的棱是什么？如何找出二面角的平面角？如何求解？

構(gòu)成二面角A'?AB?D的兩個半平面分別是什么？二面角的棱是什么？如何找出二面角的平面角？如何求解？

通過本題你得到的收獲是什么？ C’

A

圖變式練習(xí)1.如圖3，平面角為銳角的二面角?-EF-?，A?EF，AG??，若AG?GAE?45?，與?所成角為30，求二面角?-EF-?的平面角．

通過例題及變式練習(xí)注意，求二面角的步驟是“作—證—算——答”四環(huán)節(jié) 請閱讀課本page42 思考：3.兩平面互相垂直的概念：

4.?

例2.正方體ABCD?ABCD中，求證：平面A'C'CA?BDDB。思考：本題中要證明面面垂直先證直線而這條直線垂直于平面又是如何證明的？

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變式練習(xí)2: ?ABC是等腰直角三角形，AC?BC?a，P是?ABC所在平面外的一點，PA? PB?PC?2a，求證平面PAB?平面ABC。

鞏固練習(xí)：

1．課本P44練習(xí)1，2，3，4． 2．二面角指的是（）

A．兩個平面相交所成的角B．經(jīng)過同一條直線的兩個平面所組成的圖形 C．從一條直線出發(fā)的兩個半平面組成的圖形D．兩個相交平面所夾的不大于90的角 3．已知二面角?-AB-?的平面角是銳角?，?內(nèi)一點C到?的距離為3，點C到棱AB的距離為4，那么tan?的值等于

?

4．已知二面角?-l-?的平面角為60，P??，若P到平面?的距離為，則P點在?

?

上的射影P1到平面?的距離為________________．

5．自二面角內(nèi)任意一點分別向兩個面引垂線，則兩垂線所成的角與二面角的平面角的關(guān)系是

6．如圖5，?AOB?90，過點O引?AOB所在平面的斜線OC，OC與OA、OB分別成45、60角，求二面角A-OC-B的平面角的余弦值．

?

?

?

圖

5第3頁●共4頁

7．如圖6，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的平面角的正切值．

圖6

8．如圖7，在60?的二面角?-l-?內(nèi)有一點P，它到?、?面的距離分別為3和5，求P點到棱l的距離．

圖7

圖

19.如圖8，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的動點，過動點C的直線VC垂直于⊙O所在平面，D、E分別是VA、VC的中點，直線DE與平面VBC有什么關(guān)系？試說明理由．

?

圖4

10.如圖9，在空間邊形ABCD中，DA?平面ABC，?ABC?90，AE?CD，（1）EF?DC；（2）平面DBC?平面AEF．

AF?DB．求證：

圖5

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