第一篇：面面垂直習(xí)題（模版）

例1如圖,在四面體P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。

解：如圖，過B作BE⊥AC于E，過E

作EF⊥PA于F，連接BF

∵PC⊥平面ABC，PC?平面PAC

C ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC

由三垂線定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，設(shè)PC=1,由E是AC的中點，?BE?

32,EF?

12sin45?0B

24?tg?BFE

?BE

EF?6

例2:如圖, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求證:

AF⊥平面PBC.證明:∵PA⊥平面ABCBC ?平面ABC

∴ PA⊥BC

又AC⊥BC PA∩AC=A

∴ BC⊥平面PAC

?平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC

?平面PAC,∵AF⊥PCAF

平面PBC∩平面PAC=PC

∴ AF⊥平面PBC

如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，求證：平面ADE⊥平面ACE.E

D

C

A

B

如圖在空間四邊形ABCS中，SA?平面ABC，平面SAB ?平面SBC

(1)求證：AB?BC ；

(2)若設(shè)二面角S?BC?A為45?，SA＝BC，求二面角A?SC?B的大小

S

E

a

A 2aC

已知線段AB的兩端點在直二面角??CD??的兩個面內(nèi),且與?、?分別成30?和45?角，求AB和CD所成的角

C

如圖PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中點，二面角P?CD?B 為45?求證：平面PEC?平面PCD

G C

E B

第二篇：面面垂直性質(zhì)定理及習(xí)題

面面垂直性質(zhì)定理及習(xí)題《必修2》1.2.4一、學(xué)習(xí)目標(biāo)撰稿：第四組審稿：高二數(shù)學(xué)組時間：2009-9-8

1． 理解面面垂直的性質(zhì)定理

2． 會用性質(zhì)定理解決有關(guān)問題

3． 線線、線面、面面之間的位置關(guān)系及相互轉(zhuǎn)化

4． 利用面面位置關(guān)系解決有關(guān)問題

二、學(xué)習(xí)重點

面面垂直的性質(zhì)定理及應(yīng)用

學(xué)習(xí)難點

“線線、線面、面面”判定及性質(zhì)定理的應(yīng)用

三、知識鏈接

1． 面面垂直的判定定理

2． 面面平行的判定與性質(zhì)定理

3． 直線與面平行、垂直的判定與性質(zhì)定理

四、學(xué)習(xí)過程

1． 回顧上節(jié)內(nèi)容，問：如果兩個平面垂直，那么一個面內(nèi)的直線是否一定垂直于另一個平面？

通過以上討論，得平面與平面垂直的性質(zhì)定理（1）符號語言：

（2）圖形語言：

2． 如何對定理加以證明：

性質(zhì)定理體現(xiàn)了什么關(guān)系？

它反映了面面垂直與線面垂直之間的密切關(guān)系，兩者可以互相轉(zhuǎn)化。

3． 對性質(zhì)定理的應(yīng)用

例：P4

4練習(xí)4

拓展：P43 例

3五、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1、判斷下列命題是否正確，說明理由：

（1）若α⊥β，α⊥γ，則α∥β

（2）若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ

（3）若α∥α1，β∥β1，α⊥β，則α1⊥β1。

2、如圖α，β，γ，為平面，α∩β＝l,α∩γ＝a, β∩γ＝b,l⊥γ,指出圖中哪個角是二面角

α-l-β的平面角，并說明理由。

3、判斷下列說法是否正確：

（1）若平面α內(nèi)的兩條相交直線分別平面β 內(nèi)的兩條相交直線，則平面α平行與平面β；

（2）若兩個平面分別經(jīng)過兩條平行直線，則這兩個平面互相平行；

4、已知平面α、β直線l,且α∥β，l??，且l∥α,求證：l∥β。

5、（1）已知平面外的一條直線上有兩點到這個平面距離相等，試判斷這條直線與該平面的位置關(guān)系；

（2）已知一個平面內(nèi)有三點到另一平面距離相等，試判斷這兩個平面的位置關(guān)系。

6、如圖，已知AB是平面α的垂線，AC是平面α的斜線，CD?α，CD⊥AC。

求證：平面PAC⊥平面PBD.7、在四棱錐P—ABCD若PA⊥平面A BCD，且四邊形ABCD是菱形。

求證：平面PAC⊥平面PBD.8、如圖，已知正方體ABCD—A1B2C3D

4,求證：平面B1AC⊥平面B1BDD1.9、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角C1-BD-C的正切值。

10、已知平面α，β，γ，且α∥β，β∥γ，求證：α∥γ。

11、如圖，在三棱柱ABC-A'B'C'中，點D，E分別是BC和 B'C'的中點。求證：平面A'EB

∥平面ADC'。

12、如圖，有一塊長方體的木料，經(jīng)過木料表面A1B1C1D1內(nèi)的一點P，在這個面內(nèi)畫線段，使其與木料表面ABCD內(nèi)的線段EF平行，應(yīng)該怎樣畫線？

今天我的收獲

第三篇：如何證明面面垂直

如何證明面面垂直

設(shè)p是三角形ABC所在平面外的一點，p到A,B,C三點的距離相等,角BAC為直角，求證：平面pCB垂直平面ABC

過p作pQ⊥面ABC于Q，則Q為p在面ABC的投影，因為p到A，B，C的距離相等，所以有QA=QB=QC，即Q為三角形ABC的中心，因為角BAC為直，所以Q在線段BC上，所以在面pCB上有線段pQ⊥平面ABC，故平面pCB⊥平面ABC

2證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉(zhuǎn)化成一個平面的垂線在另一個平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個平面

然后轉(zhuǎn)化成一條直線垂直于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運用兩個面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

第四篇：怎么證明面面垂直

怎么證明面面垂直證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉(zhuǎn)化成 一個平面的垂線在另一個平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個平面 然后轉(zhuǎn)化成

一條直線垂直于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線 也可以運用兩個面的法向量互相垂直。這是解析幾何的方法。

證:連接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD為正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD內(nèi)的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC屬于面ACE=>面PBD垂直面ACE 2 1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法 兩條直線的方向向量數(shù)量積為0 2斜率 兩條直線斜率積為-1 3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊 4三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理 如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

第五篇：面面垂直學(xué)案

§2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理的證明及應(yīng)用；

2.掌握空間中的垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的方法。

二、學(xué)習(xí)過程：

(一)復(fù)習(xí)引入

1.平面與平面垂直的定義：

2.面面垂直判定定理：

（二）探索研究

（1）觀察黑板所在的平面和地面，它們是互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一條直線是否就一定和地面垂直？

（2）觀察長方體ABCD-A`B`C`D`中，平面AA`D`D與平面ABCD垂直，你能否在平面AA`D`D中找一條直線垂直于平面ABCD？

（三）嚴(yán)格證明

已知???,????CD,AB??,AB?CD于B.求證:AB??.A

DB

（四）得出定理

面面垂直的性質(zhì)定理：

兩平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.符號語言表述：

（五）知識應(yīng)用舉例

例

1、已知平面α與β互相垂直，判斷下列命題是否正確：

（1）若b??,則b??。

（2）若???=l,b?l則b??。

（3）若b??,則b垂直于平面?內(nèi)的無數(shù)條直線。

(4)過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線,則此垂線

必垂直于另一個平面。

例

2、平面?與平面?互相垂直，????m,P??,P?m,判斷：

（1）過點P且垂直于?的直線a是否一定在?內(nèi)？

（2）過點P且垂直于?的直線l與?是什么位置關(guān)系？并證明

例

3、如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，平面PAC⊥平面ABC，(1)求證：BC⊥平面PAC。(2)判斷平面PBC與平面PAC是否垂直，并證明。

A

O B

練習(xí)：如圖,AB是⊙O的直徑,點C是圓上異于A,B的任意一點,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求證:AF⊥平面PBC.C

解題反思：

（六）小結(jié)反思

1.面面垂直的性質(zhì)定理

2..空間垂直關(guān)系有那些？如何實現(xiàn)空間垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化？請指出下圖中空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化的定理依據(jù)？

①

②

③

④

（七）家庭作業(yè)《同步導(dǎo)學(xué)》