第一篇：二階微分方程解法[本站推薦]

第六節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，了解二階常系數(shù)非齊

次線性微分方程的解法

教學(xué)重點：二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法

教學(xué)過程：

一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程

y???py??qy?0

稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數(shù)?

如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?

我們看看?能否適當選取r? 使y?erx滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程

y???py??qy?0

得

(r 2?pr?q)erx ?0?

由此可見? 只要r滿足代數(shù)方程r2?pr?q?0? 函數(shù)y?erx就是微分方程的解?

特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個根r1、r2可用公式

r1,2?

求出?

特征方程的根與通解的關(guān)系?

(1)特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時? 函數(shù)y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個線性無關(guān)的解?

這是因為?

函數(shù)y1?er1x、y2?er2x是方程的解? 又

因此方程的通解為

y?C1er1x?C2er2x?

(2)特征方程有兩個相等的實根r1?r2時? 函數(shù)y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數(shù)齊次線性微分y1y2?er1x?e(r1?r2)x不是常數(shù)?r2xe?p??2p2?4q

第二篇：微分方程教案

高等數(shù)學(xué)教案

第七章

微分方程

教學(xué)目的：

1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。

3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。4． 會用降階法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)5． 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

7.求自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。

8.會解歐拉方程，會解包含兩個未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。9．會解微分方程組（或方程組）解決一些簡單的應(yīng)用問題。教學(xué)重點：

1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法

(n)

2、可降階的高階微分方程y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)

3、二階常系數(shù)齊次線性微分方程；

4、自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；

教學(xué)難點：

1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；

3、自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。

高等數(shù)學(xué)教案

§7? 1 微分方程的基本概念

函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映? 利用函數(shù)關(guān)系又可以對客觀事物的規(guī)律性進行研究? 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 在實踐中具有重要意義? 在許多問題中? 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 但是根據(jù)問題所提供的情況? 有時可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式? 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對它進行研究? 找出未知函數(shù)來? 這就是解微分方程?

例1 一曲線通過點(1? 2)? 且在該曲線上任一點M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?

解 設(shè)所求曲線的方程為y?y(x)? 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義? 可知未知函數(shù)y?y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式(稱為微分方程)

dy?2x?

(1)

dx此外? 未知函數(shù)y?y(x)還應(yīng)滿足下列條件?

x?1時? y?2? 簡記為y|x?1?2?

(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)

y?2xdx? 即y?x2?C?

(3)其中C是任意常數(shù)?

把條件“x?1時? y?2”代入(3)式? 得

2?12?C?

由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?

y?x2?1?

例2 列車在平直線路上以20m/s(相當于72km/h)的速度行駛? 當制動時列車獲得加速度?0?4m/s2? 問開始制動后多少時間列車才能停住? 以及列車在這段時間里行駛了多少路程?

解 設(shè)列車在開始制動后t秒時行駛了s米? 根據(jù)題意? 反映制動階段列車運動規(guī)律的函數(shù)s?s(t)應(yīng)滿足關(guān)系式 ?d2s??0.?

(4)dt2此外? 未知函數(shù)s?s(t)還應(yīng)滿足下列條件?

t?0時? s?0? v?ds?20? 簡記為s|=0? s?|=20?

(5)

t?0t?0dt高等數(shù)學(xué)教案

把(4)式兩端積分一次? 得

v?ds??0.4t?C?

(6)1dt再積分一次? 得

s??0?2t2 ?C1t ?C2?

(7)這里C1? C2都是任意常數(shù)?

把條件v|t?0?20代入(6)得

20?C1?

把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2?

把C1? C2的值代入(6)及(7)式得

v??0?4t ?20?

(8)

s??0?2t2?20t?

(9)在(8)式中令v?0? 得到列車從開始制動到完全停住所需的時間

t?20?50(s)?

0.4再把t?50代入(9)? 得到列車在制動階段行駛的路程

s??0?2?502?20?50?500(m)?

幾個概念?

微分方程? 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程? 叫微分方程?

常微分方程? 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程? 叫常微分方程?

偏微分方程? 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程? 叫偏微分方程?

微分方程的階? 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)? 叫微分方程的階?

x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?

y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?

y(n)?1?0?

一般n階微分方程?

F(x? y? y??

? ? ? ? y(n))?0?

y(n)?f(x? y? y??

? ? ? ? y(n?1))?

微分方程的解? 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說? 設(shè)函數(shù)y??(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 如果在區(qū)間I上?

高等數(shù)學(xué)教案

F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?

那么函數(shù)y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區(qū)間I上的解?

通解? 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)? 且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?

初始條件? 用于確定通解中任意常數(shù)的條件? 稱為初始條件? 如

x?x0 時? y?y0 ? y?? y?0 ?

一般寫成

??

yx?x0?y0? y?x?x0?y0

特解? 確定了通解中的任意常數(shù)以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數(shù)的解?

初值問題? 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題?

如求微分方程y??f(x?

y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問題? 記為

?y??f(x,y)

?? yx?x0?y0?

積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?

d2x?k2x?0

例3 驗證? 函數(shù) x?C1cos kt?C2 sin kt是微分方程

的解?

dt

2解 求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?

dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)

?

1212dt2d2x將2及x的表達式代入所給方程? 得 dt

?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0?

d2x?k2x?0

這表明函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt 滿足方程2? 因此所給函數(shù)是所給方程的解?

dtd2x?k2x?0

例4 已知函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程2的通解? 求滿足初始條件

dt

x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解?

高等數(shù)學(xué)教案

解

由條件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得

C1?A?

再由條件x?| t?0 ?0? 及x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt? 得

C2?0?

把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得

x?Acos kt?

作業(yè)：P298：4

§7? 2 可分離變量的微分方程

觀察與分析?

1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得 y?x2?C?

一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數(shù))?

2? 求微分方程y??2xy2 的通解?

因為y是未知的? 所以積分2xy2dx無法進行? 方程兩邊直

??接積分不能求出通解?

為求通解可將方程變?yōu)?/p>

?1dy?2xdx? 兩邊積分? 得

y21?x2?C1? ? 或y??2yx?C可以驗證函數(shù)y??1是原方程的通解?

x2?C

一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成 g(y)dy?f(x)dx

形式? 則兩邊積分可得一個不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程

高等數(shù)學(xué)教案

G(y)?F(x)?C?

由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解

對稱形式的一階微分方程?

一階微分方程有時也寫成如下對稱形式?

P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對稱的?

若把x看作自變量、y看作未知函數(shù)? 則當Q(x,y)?0時? 有

dyP(x,y)???

dxQ(x,y)dx??Q(x,y)?

dyP(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數(shù)? 則當P(x,y)?0時? 有

可分離變量的微分方程?

如果一個一階微分方程能寫成

g(y)dy?f(x)dx(或?qū)懗蓎???(x)?(y))的形式? 就是說? 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy? 另一端只含x的函數(shù)和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?

討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?

是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?

是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?

不是?

(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?

是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??x?y?

不是? yx

可分離變量的微分方程的解法?

第一步

分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式?

第二步

兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設(shè)積分后得G(y)?F(x)?C?

第三步

求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解? ??高等數(shù)學(xué)教案

例1 求微分方程dy?2xy的通解?

dx

解

此方程為可分離變量方程? 分離變量后得

1dy?2xdx?

y1dy?2xdx?

?y?兩邊積分得

即

ln|y|?x2?C1?

從而

y??ex2?C1??eC1ex? 2因為?eC1仍是任意常數(shù)? 把它記作C? 便得所給方程的通解

y?Cex?

例2 鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時鈾的含量為M0? 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律?

解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)2dM?

dtdM???M?

dtdM?0?

dt

由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程其中?(?>0)是常數(shù)? ?前的曲面號表示當t增加時M單調(diào)減少? 即由題意? 初始條件為 M|t?0?M0?

將方程分離變量得

兩邊積分? 得dM???dt?

MdM?(??)dt?

?M?即

lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?

由初始條件? 得M0?Ce0?C?

所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律M?M0e??t ?

例3 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時速度為零? 求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系?

解

設(shè)降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數(shù))? 根據(jù)牛頓第二運

高等數(shù)學(xué)教案

動定律F?ma? 得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為

mdv?mg?kv?

dt初始條件為

v|t?0?0?

方程分離變量? 得

dv?dt?

mg?kvmdv?dt?mg?kv?m? 兩邊積分? 得

?ln(mg?kv)?1kt?C?

m1?kC1?ktmgem?Ce即

v?(C??)?

kkmg將初始條件v|t?0?0代入通解得C???

k?ktmg(1?em)?

于是降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系為v?kdy?1?x?y2?xy2的通解?

例4 求微分方程dx

解 方程可化為

dy?(1?x)(1?y2)?

dx分離變量得

1dy?(1?x)dx?

1?y21dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C?

arctany??1?y2?2兩邊積分得

于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?

作業(yè)：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3 12高等數(shù)學(xué)教案

§7? 3 齊次方程

齊次方程?

如果一階微分方程dy?f(x,y)中的函數(shù)f(x, y)可寫成 dxyy的函數(shù)? 即f(x,y)??()? 則稱這方程為齊次方程?

xx

下列方程哪些是齊次方程？

dyy?y2?x2dyyy

(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????()2?1?

dxxdxxx22dy1?y

2(2)1?xy??1?y不是齊次方程???

?dx1?x222dyx2?y2dyxy?????

(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22

(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??

(5)(2xshdy2x?y?4???

dxx?y?1yyy?3ych)dx?3xchdy?0是齊次方程?

xxxyy2xsh?3ychdyxx?dy?2thy?y ?

?ydxdx3xx3xchx

齊次方程的解法?

在齊次方程

u?x分離變量? 得

ydyy??()中? 令u?? 即y?ux? 有 dxxxdu??(u)?

dxdu?dx? ?(u)?uxdu?dx??(u)?u?x? 兩端積分? 得

高等數(shù)學(xué)教案

求出積分后? 再用y代替u? 便得所給齊次方程的通解?

xdydy?xy?

dxdx

例1 解方程y2?x2

解

原方程可寫成

y2()dyy??x?

2ydxxy?x?1x2因此原方程是齊次方程? 令

y?ux? 于是原方程變?yōu)?/p>

2duu?

u?x?

dxu?1y?u? 則 xdy?u?xdu?

dxdx即

xdu?u?

dxu?1分離變量? 得

(1?)du?1udx?

x兩邊積分? 得u?ln|u|?C?ln|x|?

或?qū)懗蒷n|xu|?u?C?

以y代上式中的u? 便得所給方程的通解 x

ln|y|?y?C?

x

例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡? 假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行? 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程?

解 設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線L? y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成? 光源在原點? 在L上任取一點M(x, y)? 作L的切線交x軸于A? 點O發(fā)出的光線經(jīng)點M反射后是一條平行于x軸射線? 由光學(xué)及幾何原理可以證明OA?OM?

因為

OA?AP?OP?PMcot??OP?y?x?

y?高等數(shù)學(xué)教案

而

OM?x2?y2?

于是得微分方程y?x?x2?y2? y?整理得dx?x?(x)2?1? 這是齊次方程?

dyyydx?x?(x)2?1?

dyyy

問題歸結(jié)為解齊次方程

令即

yx?vdv?v?v2?1? 即x?yv? 得v?y?

ydydv?v2?1?

dy分離變量? 得dv?dy?

v2?1yyy, ?(?v)2?v2?1, CC兩邊積分? 得 ln(v?v2?1)?lny?lnC, ?v?v2?1?y22yv??1?

C2C以yv?x代入上式? 得y2?2C(x?C)?

2這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線? 它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為

y2?z2?2C(x?C)? 2這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程?

例3 設(shè)一條河的兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從岸邊點A游向正對岸點O? 設(shè)鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動方向始終朝著點O? 已知OA?h? 求鴨子游過的跡線的方程?

解 取O為坐標原點? 河岸朝順水方向為x軸? y 軸指向?qū)Π? 設(shè)在時刻t鴨子位于點P(x, y)? 則鴨子運動速度

v?(vx, vy)?(dx, dy)? 故有dx?vx?

dyvydtdt高等數(shù)學(xué)教案

另一方面? v?a?b?(a, 0)?b(?x, ?y)? v?(a?bx, ?by)?

x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2因此dx?vx??a(x)2?1?x? 即dx??a(x)2?1?x?

dybyydyvybyydx??a(x)2?1?x?

dybyy

問題歸結(jié)為解齊次方程

令

yx?u? 即x?yu? 得 ydu??au2?1?

dyb分離變量? 得du??ady?

u2?1by兩邊積分? 得 arshu??(lny?lnC)? bax1[(Cy)1?b?(Cy)1?b]?

將u?代入上式并整理? 得x?y2C以x|y?h?0代入上式? 得C?aa1? 故鴨子游過的軌跡方程為

haay1?by1?bh?()]? 0?y?h?

x?[()2hhb將u?x代入arshu??(lny?lnC)后的整理過程?

yaarshx??b(lny?lnC)

ya???x?shln(Cy)a?x?1[(Cy)a?(Cy)a] yy2bbb?bya?x?[(Cy)?(Cy)a]?x?1[(Cy)1?a?(Cy)1?a]?

2C2bbb作業(yè)：P309：1（1）（3）（5），2

高等數(shù)學(xué)教案

§7.4 線性微分方程

一、線性方程

線性方程?

方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對應(yīng)于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?

dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?

方程

下列方程各是什么類型方程？

(1)(x?2)

(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?

(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?

(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx23dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或?

(5)(y?1)? 不是線性方程?

dxdydx(y?1)2x

3齊次線性方程的解法?

齊次線性方程

dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dxdy??P(x)dx?

y兩邊積分? 得

ln|y|??P(x)dx?C1?

?P(x)dx(C??eC1)?

或

y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）?

例

1求方程(x?2)dy?y的通解?

dx

解

這是齊次線性方程? 分離變量得

高等數(shù)學(xué)教案

dydx??

yx?2兩邊積分得

ln|y|?ln|x?2|?lnC?

方程的通解為

y?C(x?2)?

非齊次線性方程的解法?

將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x)? 把

?P(x)dx

y?u(x)e?

設(shè)想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得

?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?

u?(x)e?化簡得

u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?

u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?

于是非齊次線性方程的通解為

?P(x)dxP(x)dx

y?e?[Q(x)e?dx?C]? ??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或

y?Ce??e?Q(x)e?dx? ?非齊次線性方程的通解等于對應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和?

5dy2y??(x?1)2的通解?

例2 求方程dxx?1

解

這是一個非齊次線性方程?

先求對應(yīng)的齊次線性方程分離變量得

dy2y??0的通解?

dxx?1dy2dx??

yx?1兩邊積分得

ln y?2ln(x?1)?ln C?

齊次線性方程的通解為

高等數(shù)學(xué)教案

y?C(x?1)2?

用常數(shù)變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得

52u?(x?1)2?(x?1)2

u??(x?1)?2u?(x?1)?x?1 1u??(x?1)2?

兩邊積分? 得 u?(x?1)2?C?

3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為 32

y?(x?1)[(x?1)2?C]?

323

例3 有一個電路如圖所示? 其中電源電動勢為E?Emsin?t(Em、?都是常數(shù))? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?

解

由電學(xué)知道? 當電流變化時? L上有感應(yīng)電動勢?L

E?L即

di? 由回路電壓定律得出

dtdi?iR?0?

dtdi?Ri?E?

dtLLdi?Ri?Emsin? t?

dtLL

把E?Emsin? t代入上式? 得

初始條件為

i|t?0?0?

di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中

dtLLER? t?

P(t)?? Q(t)?msinLL

方程由通解公式? 得

i(t)?e??P(t)dt?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C)

LRRRttEm?ReL(?sin?teLdt?C)

?L高等數(shù)學(xué)教案

?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?

?222R??L其中C為任意常數(shù)?

將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數(shù)i(t)為

t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?

i(t)?222222R??LR??L? LEm?

R2??2L

2二、伯努利方程

伯努利方程? 方程

dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0? 1)dx叫做伯努利方程?

下列方程是什么類型方程？

(1)

(2)dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程? dxdxxy

1(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx

(4)dy?2xy?4x? 是線性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x)dx

伯努利方程的解法? 以yn除方程的兩邊? 得

y?n令z ?y1?n ? 得線性方程

dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)?

dxdyy??a(lnx)y2的通解?

例4 求方程dxx

解 以y2除方程的兩端? 得

y?2dy1?1?y?alnx?

dxxd(y?1)1?1?y?alnx?

即

?dxx高等數(shù)學(xué)教案

令z?y?1? 則上述方程成為

dz?1z??alnx?

dxxa2這是一個線性方程? 它的通解為

z?x[C?(lnx)2]?

以y?1代z ? 得所求方程的通解為

yx[C?(lnx)2]?1?

經(jīng)過變量代換? 某些方程可以化為變量可分離的方程? 或化為已知其求解方法的方程?

例

5解方程a2dy?1?

dxx?y

解

若把所給方程變形為

dx?x?y?

dy即為一階線性方程? 則按一階線性方程的解法可求得通解? 但這里用變量代換來解所給方程?

令x?y?u? 則原方程化為

du?1?1? 即du?u?1?

dxudxuudu?dx?

u?1分離變量? 得

兩端積分得

u?ln|u?1|?x?ln|C|?

以u?x?y代入上式? 得

y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1?

作業(yè)：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）

§7? 5可降階的高階微分方程

高等數(shù)學(xué)教案

一、y(n)?f(x)型的微分方程

解法? 積分n 次

y(n?1)?f(x)dx?C1? ?

y(n?2)?[f(x)dx?C1]dx?C2? ??

? ? ??

例1 求微分方程y????e2x?cos x 的通解?

解 對所給方程接連積分三次? 得

y???e2x?sinx?C1?

y??e2x?cosx?C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

或

y???e2x?sinx?2C1?

y??e2x?cosx?2C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點受力F的作用沿Ox軸作直線運動? 設(shè)力F僅是時間t的函數(shù)?F?F(t)? 在開始時刻t?0時F(0)?F0? 隨著時間t的增大? 此力F均勻地減小? 直到t?T時? F(T)?0? 如果開始時質(zhì)點位于原點? 且初速度為零? 求這質(zhì)點的運動規(guī)律?

解 設(shè)x?x(t)表示在時刻t時質(zhì)點的位置? 根據(jù)牛頓第二定律? 質(zhì)點運動的微分方程為

m12141812121418d2x?F(t)?

2dt由題設(shè)? 力F(t)隨t增大而均勻地減小? 且t?0時? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又當t?T時? F(T)?0? 從而

F(t)?F0(1?)?

于是質(zhì)點運動的微分方程又寫為 tTd2x?F0(1?t)

?

Tdt2m高等數(shù)學(xué)教案

其初始條件為x|t?0?0? dx|?0?

dtt?0

把微分方程兩邊積分? 得

dx?F0(t?t2)?C

1?

dtm2T再積分一次? 得

F012t x?(t?)?C1t?C2?

m26T由初始條件x|t?0?0? 得C1?C2?0?

于是所求質(zhì)點的運動規(guī)律為 dx|?0?

dtt?0F012t3

x?(t?)? 0?t?T?

m26T

二、y??? f(x? y?)型的微分方程

解法? 設(shè)y??p則方程化為

p??f(x? p)?

設(shè)p??f(x? p)的通解為p??(x?C1)? 則

dy??(x,C1)?

dx原方程的通解為

y??(x,C1)dx?C2?

例3 求微分方程

(1?x2)y???2xy? 滿足初始條件

y|x?0?1? y?|x?0?3 的特解?

解 所給方程是y???f(x? y?)型的? 設(shè)y??p? 代入方程并分離變量后? 有

?dp2x?dx?

p1?x2兩邊積分? 得

ln|p|?ln(1?x2)?C?

即

p?y??C1(1?x2)(C1??eC)?

由條件y?|x?0?3? 得C1?3?

所以

y??3(1?x2)?

高等數(shù)學(xué)教案

兩邊再積分? 得 y?x3?3x?C2?

又由條件y|x?0?1? 得C2?1?

于是所求的特解為

y?x3?3x?1?

例4 設(shè)有一均勻、柔軟的繩索? 兩端固定? 繩索僅受重力的作用而下垂? 試問該繩索在平衡狀態(tài)時是怎樣的曲線?

三、y???f(y? y?)型的微分方程

解法? 設(shè)y??p?有

y???原方程化為 dpdpdydp???p?

dxdydxdydp?f(y,p)?

dydp?f(y,p)的通解為y??p??(y? C1)? 則原方程的通解為 設(shè)方程pdy

p

dy??(y,C1)?x?C2?

dp?

dy

例5 求微分yy???y?2?0的通解?

解 設(shè)y??p? 則y???p代入方程? 得

ypdp2?p?0?

dy

在y?0、p?0時? 約去p并分離變量? 得

dpdy??

py兩邊積分得

ln|p|?ln|y|?lnc?

即

p?Cy或y??Cy(C??c)?

再分離變量并兩邊積分? 便得原方程的通解為

ln|y|?Cx?lnc1?

或

y?C1eCx(C1??c1)?

作業(yè)：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）

高等數(shù)學(xué)教案

§7? 6 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例

例1 設(shè)有一個彈簧? 上端固定? 下端掛一個質(zhì)量為m 的物體? 取x 軸鉛直向下? 并取物體的平衡位置為坐標原點?

給物體一個初始速度v0?0后? 物體在平衡位置附近作上下振動? 在振動過程中? 物體的位置x是t的函數(shù)? x?x(t)?

設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為c? 則恢復(fù)力f??cx?

又設(shè)物體在運動過程中受到的阻力的大小與速度成正比? 比例系數(shù)為?? 則

R??dx?

dt

由牛頓第二定律得

2dxdx

m2??cx???

dtdt

移項? 并記2n??c? k2??

mmd2x?2ndx?k2x?0則上式化為

?

dtdt2這就是在有阻尼的情況下? 物體自由振動的微分方程?

如果振動物體還受到鉛直擾力

F?Hsin pt 的作用? 則有

d2x?2ndx?k2x?hsinpt

?

dtdt2H其中h?? 這就是強迫振動的微分方程?

m

例2 設(shè)有一個由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路? 其中R、L、及C為常

高等數(shù)學(xué)教案

數(shù)? 電源電動勢是時間t的函數(shù)? E?Emsin?t? 這里Em及?也是常數(shù)?

設(shè)電路中的電流為i(t)? 電容器極板上的電量為q(t)? 兩極板間的電壓為uc? 自感電動勢為EL ? 由電學(xué)知道

i?qdqdi? uc?? EL??L?

Cdtdtdi?q?Ri?0?

dtC根據(jù)回路電壓定律? 得

E?Ld2ucduc?RC?uc?Emsin?t?

即

LCdtdt2或?qū)懗?/p>

d2ucducEm2?2???u?sin?t?

0c2dtLCdtR? ??1? 這就是串聯(lián)電路的振蕩方程? 其中??02LLC

如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(E?0)? 則上述成為

d2ucduc2?2???0uc?0?

2dtdt

二階線性微分方程? 二階線性微分方程的一般形式為

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?

若方程右端f(x)?0時? 方程稱為齊次的? 否則稱為非齊次的?

二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)

先討論二階齊次線性方程

d2ydy?Q(x)y?0?

y???P(x)y??Q(x)y?0? 即2?P(x)dxdx

定理

1如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解? 其中C1、C2是任意常數(shù)?

齊次線性方程的這個性質(zhì)表明它的解符合疊加原理?

證明 [C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2??

高等數(shù)學(xué)教案

[C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2???

因為y1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0? 所以有

y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0?

從而

[C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2]

?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0?

這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解

函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)?

設(shè)y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個函數(shù)? 如果存在n個不全為零的常數(shù)k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得當x?I 時有恒等式

k1y1(x)?k2y2(x)?

? ? ? ? knyn(x)?0 成立? 那么稱這n個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)? 否則稱為線性無關(guān)?

判別兩個函數(shù)線性相關(guān)性的方法?

對于兩個函數(shù)? 它們線性相關(guān)與否? 只要看它們的比是否為常數(shù)? 如果比為常數(shù)? 那么它們就線性相關(guān)? 否則就線性無關(guān)?

例如? 1? cos2x ? sin2x 在整個數(shù)軸上是線性相關(guān)的? 函數(shù)1? x? x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無關(guān)的?

定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 的兩個線性無關(guān)的解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數(shù))是方程的通解?

例3 驗證y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關(guān)解? 并寫出其通解?

解 因為

y1???y1??cos x?cos x?0?

y2???y2??sin x?sin x?0?

所以y1?cos x與y2?sin x都是方程的解?

因為對于任意兩個常數(shù)k1、k2? 要使

k1cos x?k2sin x?0?

只有k1?k2?0? 所以cos x與sin x在(??, ??)內(nèi)是線性無關(guān)的?

因此y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關(guān)解?

高等數(shù)學(xué)教案

方程的通解為y?C1cos x?C2sin x?

例4 驗證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關(guān)解? 并寫出其通解?

解 因為

(x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0?

(x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0?

所以y1?x與y2?ex都是方程的解?

因為比值e x/x 不恒為常數(shù)? 所以y1?x與y2?ex在(??, ??)內(nèi)是線性無關(guān)的?

因此y1?x 與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關(guān)解?

方程的通解為y?C1x?C2e x?

推論 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程

y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0 的n個線性無關(guān)的解? 那么? 此方程的通解為

y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)?

其中C1? C2? ? ? ?? Cn為任意常數(shù)?

二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)?

我們把方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 叫做與非齊次方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對應(yīng)的齊次方程?

定理3 設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個特解? Y(x)是對應(yīng)的齊次方程的通解? 那么

y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解?

證明提示? [Y(x)?y*(x)]???P(x)[ Y(x)?y*(x)]??Q(x)[ Y(x)?y*(x)]

? [Y ???P(x)Y ??Q(x)Y ]?[ y* ???P(x)y* ??Q(x)y*]

?0? f(x)? f(x)?

例如? Y?C1cos x?C2sin x 是齊次方程y???y?0的通解? y*?x2?2是y???y?x2 的一個特解? 因此

y?C1cos x?C2sin x?x2?2

高等數(shù)學(xué)教案

是方程y???y?x2的通解?

定理4 設(shè)非齊次線性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個函數(shù)之和? 如

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)?

而y1*(x)與y2*(x)分別是方程

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解? 那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解?

證明提示?

[y1?y2*]???P(x)[ y1*?y2*]??Q(x)[ y1*?y2*]

?[ y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[ y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]

?f1(x)?f2(x)?

作業(yè)：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）

§7? 7 二階常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程 y???py??qy?0 稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數(shù)?

如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?

我們看看?

能否適當選取r? 使y?erx

滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程

y???py??qy?0 得

(r 2?pr?q)erx ?0?

由此可見? 只要r滿足代數(shù)方程r2?pr?q?0? 函數(shù)y?erx就是微分方程的解?

特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個根r1、r2可用公式

?p??p2?4q

r 1,2?2高等數(shù)學(xué)教案

求出?

特征方程的根與通解的關(guān)系?

(1)特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時? 函數(shù)y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個線性無關(guān)的解?

這是因為?

函數(shù)y1?e因此方程的通解為

y?C1er1x?C2er2x?

(2)特征方程有兩個相等的實根r1?r2時? 函數(shù)y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)的解?

這是因為? y1?er1x是方程的解? 又

r1xr1x2r1x

(xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxe r1x

2?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0? r1x、y2?er2xy1er1x(r1?r2)x是方程的解? 又不是常數(shù)?

??ey2er2xy2xer1x??x不是常數(shù)?

所以y2?xe也是方程的解? 且y1er1xr1x

因此方程的通解為

y?C1er1x?C2xer1x?

(3)特征方程有一對共軛復(fù)根r1, 2???i?時? 函數(shù)y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解? 函數(shù)y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個線性無關(guān)的實數(shù)形式的解?

函數(shù)y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由歐拉公式? 得

y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

1y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)?

2高等數(shù)學(xué)教案

1y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)?

2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解?

可以驗證? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無關(guān)解?

因此方程的通解為

y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為?

第一步

寫出微分方程的特征方程

r2?pr?q?0 第二步

求出特征方程的兩個根r1、r2?

第三步

根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況? 寫出微分方程的通解?

例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解?

解 所給微分方程的特征方程為

r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0?

其根r1??1? r2?3是兩個不相等的實根? 因此所求通解為

y?C1e?x?C2e3x?

例2 求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0?

4、y?| x?0??2的特解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0?

其根r1?r2??1是兩個相等的實根? 因此所給微分方程的通解為

y?(C1?C2x)e?x?

將條件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 從而

y?(4?C2x)e?x?

將上式對x求導(dǎo)? 得

y??(C2?4?C2x)e?x?

再把條件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解為

x?(4?2x)e?x?

例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?5?0?

高等數(shù)學(xué)教案

特征方程的根為r1?1?2i? r2?1?2i? 是一對共軛復(fù)根?

因此所求通解為

y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?

n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程

y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)? ? ? ? ? pn?1y??pny?0?

稱為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中 p1?

p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常數(shù)?

二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推廣到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程上去?

引入微分算子D? 及微分算子的n次多項式?

L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn? 則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作

(Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)?

分析? 令y?erx? 則

L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx?

因此如果r是多項式L(r)的根? 則y?erx是微分方程L(D)y?0的解?

n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程?

L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0 稱為微分方程L(D)y?0的特征方程?

特征方程的根與通解中項的對應(yīng)?

單實根r 對應(yīng)于一項? Cerx ?

一對單復(fù)根r1? 2?? ?i? 對應(yīng)于兩項? e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

k重實根r對應(yīng)于k項? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)?

一對k 重復(fù)根r1? 2?? ?i? 對應(yīng)于2k項?

e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]?

例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解?

解

這里的特征方程為

r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0?

它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i?

因此所給微分方程的通解為

高等數(shù)學(xué)教案

y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?

例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0?

解

這里的特征方程為

r4?? 4?0?

它的根為r1,2??2?(1?i)? r3,4???2(1?i)?

因此所給微分方程的通解為

y?e2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)?

作業(yè)：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）

§7? 8 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 方程

y???py??qy?f(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 其中p、q是常數(shù)?

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對應(yīng)的齊次方程 的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y?y*(x)之和?

y?Y(x)? y*(x)?

當f(x)為兩種特殊形式時? 方程的特解的求法?

一、f(x)?Pm(x)e?x 型

當f(x)?Pm(x)e?x時? 可以猜想? 方程的特解也應(yīng)具有這種形式? 因此? 設(shè)特解形式為y*?Q(x)e?x? 將其代入方程? 得等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

(1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 則?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m 次多項式?

高等數(shù)學(xué)教案

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解

y*?Qm(x)e?x?

(2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的單根? 則?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m?1 次多項式?

Q(x)?xQm(x)?

Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ?

?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ?

? bm? 并得所求特解

y*?xQm(x)e?x?

(3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 則?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m?2次多項式?

Q(x)?x2Qm(x)?

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解

y*?x2Qm(x)e?x?

綜上所述? 我們有如下結(jié)論? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如

y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2?

例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個特解?

解 這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且函數(shù)f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)?

與所給方程對應(yīng)的齊次方程為

y???2y??3y?0?

它的特征方程為

r2?2r?3?0?

由于這里??0不是特征方程的根? 所以應(yīng)設(shè)特解為

y*?b0x?b1?

高等數(shù)學(xué)教案

把它代入所給方程? 得

?3b0x?2b0?3b1?3x?1?

比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得

???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? ?2b?3b?1?01由此求得b0??1? b1?? 于是求得所給方程的一個特解為

y*??x??

例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?

解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)?

與所給方程對應(yīng)的齊次方程為

y???5y??6y?0?

它的特征方程為

r2?5r ?6?0?

特征方程有兩個實根r1?2? r2?3? 于是所給方程對應(yīng)的齊次方程的通解為

Y?C1e2x?C2e3x ?

由于??2是特征方程的單根? 所以應(yīng)設(shè)方程的特解為

y*?x(b0x?b1)e2x?

把它代入所給方程? 得

?2b0x?2b0?b1?x?

比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得

?1313??2b0?1? ?2b0?1? 2b0?b1?0? 2b?b?0?01由此求得b0??? b1??1? 于是求得所給方程的一個特解為

y*?x(?x?1)e2x?

從而所給方程的通解為

y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x? 121212高等數(shù)學(xué)教案

提示?

y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?

y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x?

方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式

應(yīng)用歐拉公式可得

e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]

?e?x[P(x)eli? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i

?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x

l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)]

?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x?

其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}?

設(shè)方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x?

則y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解?

其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1?

于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為

y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x

?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x)

?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

綜上所述? 我們有如下結(jié)論?

如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 12121212高等數(shù)學(xué)教案

y???py??qy?f(x)的特解可設(shè)為

y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項式? m?max{l? n}? 而k 按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1?

例3 求微分方程y???y?xcos2x的一個特解?

解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程?

且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）?

與所給方程對應(yīng)的齊次方程為

y???y?0?

它的特征方程為

r2?1?0?

由于這里??i??2i 不是特征方程的根? 所以應(yīng)設(shè)特解為

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

把它代入所給方程? 得

(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x?

比較兩端同類項的系數(shù)? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一個特解為 y*??xcos2x?sin2x?

提示?

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x?

?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?

y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x

?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?

y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x? 134?

91349高等數(shù)學(xué)教案

??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0作業(yè)：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4）

第三篇：第四章 微分方程講稿

高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

第四章

微分方程

§4? 1 微分方程的基本概念

導(dǎo)入：(8分鐘)函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映? 利用函數(shù)關(guān)系又可以對客觀事物的規(guī)律性進行研究? 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 在實踐中具有重要意義? 在許多問題中? 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 但是根據(jù)問題所提供的情況? 有時可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式? 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對它進行研究? 找出未知函數(shù)來? 這就是解微分方程?

引例 一曲線通過點(1? 2)? 且在該曲線上任一點M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?

解 設(shè)所求曲線的方程為y?y(x)? 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義? 可知未知函數(shù)y?y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式(稱為微分方程)

dy?2x?

(1)

dx此外? 未知函數(shù)y?y(x)還應(yīng)滿足下列條件?

x?1時? y?2? 簡記為y|x?1?2?

(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)

y?2xdx? 即y?x2?C?

(3)其中C是任意常數(shù)?

把條件“x?1時? y?2”代入(3)式? 得

2?12?C?

由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?

y?x2?1?

幾個概念?

微分方程? 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程? 叫微分方程?

常微分方程? 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程? 叫常微分方程?

偏微分方程? 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程? 叫偏微分方程?

微分方程的階? 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)? 叫微分方程的階?

x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?

y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?

y(n)?1?0?

一般n階微分方程?

F(x? y? y??

? ? ? ? y(n))?0?

y(n)?f(x? y? y??

? ? ? ? y(n?1))? ? 高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

微分方程的解? 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說? 設(shè)函數(shù)y??(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 如果在區(qū)間I上?

F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?

那么函數(shù)y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區(qū)間I上的解?

通解? 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)? 且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?

初始條件? 用于確定通解中任意常數(shù)的條件? 稱為初始條件? 如

x?x0 時? y?y0 ? y?? y?0 ?

一般寫成

??

yx?x0?y0? y?x?x0?y0

特解? 確定了通解中的任意常數(shù)以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數(shù)的解?

初值問題? 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題?

如求微分方程y??f(x?

y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問題? 記為

?y??f(x,y)

?? yx?x0?y0?

積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?

§4? 2 一階微分方程

導(dǎo)入：（8分鐘）1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得

y?x2?C?

一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數(shù))?

2? 求微分方程y??2xy2 的通解?

因為y是未知的? 所以積分2xy2dx無法進行? 方程兩邊直接積分不能求出通解?

??

為求通解可將方程變?yōu)?/p>

1dy?2xdx? 兩邊積分? 得

y ??x2?C? 或y??可以驗證函數(shù)y??1y1?

x2?C1是原方程的通解?

x2?C

g(y)dy?f(x)dx

一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成

形式? 則兩邊積分可得一個不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程

G(y)?F(x)?C?

由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解 高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

對稱形式的一階微分方程?

一階微分方程有時也寫成如下對稱形式?

P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對稱的?

若把x看作自變量、y看作未知函數(shù)? 則當Q(x,y)?0時? 有

dyP(x,y)???

dxQ(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數(shù)? 則當P(x,y)?0時? 有

一、可分離變量的微分方程?

如果一個一階微分方程能寫成

g(y)dy?f(x)dx(或?qū)懗蓎???(x)?(y))的形式? 就是說? 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy? 另一端只含x的函數(shù)和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?

討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?

是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?

是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?

不是?

(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?

是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??dx??Q(x,y)?

dyP(x,y)x?y?

不是? yx

可分離變量的微分方程的解法?

第一步

分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式?

第二步

兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設(shè)積分后得G(y)?F(x)?C?

第三步

求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解?

例1 求微分方程??dy?2xy的通解?

dx

解

此方程為可分離變量方程? 分離變量后得

1dy?2xdx?

y兩邊積分得

1dy?2xdx?

?y?3 高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

即

ln|y|?x2?C1?

從而

y??ex2?C1??eC1ex?

2因為?eC1仍是任意常數(shù)? 把它記作C? 便得所給方程的通解

y?Cex?

例2 鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時鈾的含量為M0? 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律?

解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)

2dM?

dt

由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程

dM???M?

dtdM?0?

dt其中?(?>0)是常數(shù)? ?前的曲面號表示當t增加時M單調(diào)減少? 即由題意? 初始條件為

M|t?0?M0?

將方程分離變量得

兩邊積分? 得

dM???dt?

MdM?(??)dt?

?M?即lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?

由初始條件? 得M0?Ce0?C?

所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律M?M0e??t ?

例3 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時速度為零? 求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系?

解

設(shè)降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數(shù))? 根據(jù)牛頓第二運動定律F?ma? 得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為

m初始條件為

v|t?0?0?

方程分離變量? 得

兩邊積分? 得

dv?mg?kv?

dtdv?dt?

mg?kvmdv?dt?

?mg?kv?m 高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

?ln(mg?kv)??kC1?ktmgem?Ce(C??即v?)?

kk1kt?C?

m1將初始條件v|t?0?0代入通解得C??mg?

k?ktmg(1?em)?

于是降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系為v?k

例4 求微分方程

解 方程可化為 dy?1?x?y2?xy2的通解?

dx

dy?(1?x)(1?y2)?

dx1dy?(1?x)dx?

1?y2分離變量得

兩邊積分得

1dy?(1?x)dx1x2?x?C?

? 即arctany??1?y2?2于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?

例5 有高為1m的半球形容器? 水從它的底部小孔流出? 小孔橫截面面積為1cm2? 開始時容器內(nèi)盛滿了水? 求水從小孔流出過程中容器里水面高度h隨時間t變化的規(guī)律?

解 由水力學(xué)知道? 水從孔口流出的流量Q可用下列公式計算?

Q?12dV?0.62S2gh?

dt其中0? 62為流量系數(shù)? S為孔口橫截面面積? g為重力加速度? 現(xiàn)在孔口橫截面面積S?1cm2? 故

dV?0.622gh? 或dV?0.622ghdt?

dt

dV???r2dh?

另一方面? 設(shè)在微小時間間隔[t? t?dt]內(nèi)? 水面高度由h降至h?dh(dh?0)? 則又可得到

其中r是時刻t的水面半徑? 右端置負號是由于dh?0而dV?0的緣故? 又因

r?1002?(100?h)2?200h?h2?

所以

dV???(200h?h2)dh?

通過比較得到

0.622ghdt???(200h?h2)dh? 高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

這就是未知函數(shù)h?h(t)應(yīng)滿足的微分方程?

此外? 開始時容器內(nèi)的水是滿的? 所以未知函數(shù)h?h(t)還應(yīng)滿足下列初始條件?

h|t?0?100?

將方程0.622ghdt???(200h?h2)dh分離變量后得

dt??兩端積分? 得

t??35?0.622g13(200h2?h2)dh?

0.622g??13(200h2?h2)dh?

即 t??(400h2?2h2)?C?

50.622g3其中C是任意常數(shù)?

由初始條件得

t??(400?1002?2?1002)?C?

50.622gC???35?(400000?200000)??14?105?

350.622g0.622g15

?因此t??0.622g(7?1053532?10h?3h2)?

上式表達了水從小孔流出的過程中容器內(nèi)水面高度h與時間t之間的函數(shù)關(guān)系? 二、一階線性微分方程

方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對應(yīng)于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?

dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程?

dxx?2dx如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?

方程

提問：下列方程各是什么類型方程？

(1)(x?2)

(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?

(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?

(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx6 高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

3(y?1)2dydy3dxx?0或?

(5)(y?1)? 不是線性方程? ?x?0??32dydxx(y?1)dx21、齊次線性方程的解法?

齊次線性方程dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dx

dy??P(x)dx?

y兩邊積分? 得

ln|y|??P(x)dx?C1?

?P(x)dx(C??eC1)?

或

y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）?

例6 求方程(x?2)dy?y的通解?

dxdydx??

yx?

2解

這是齊次線性方程? 分離變量得

兩邊積分得

ln|y|?ln|x?2|?lnC?

方程的通解為

y?C(x?2)?

非齊次線性方程的解法?

將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x)? 把

?P(x)dx

y?u(x)e?

設(shè)想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得

?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?

u?(x)e?化簡得u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?

u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?

于是非齊次線性方程的通解為

?P(x)dxP(x)dx

y?e?[Q(x)e?dx?C]?

??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或

y?Ce??e?Q(x)e?dx?

? 高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

非齊次線性方程的通解等于對應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和?

5dy2y??(x?1)2的通解?

例7 求方程dxx?

1解

這是一個非齊次線性方程?

先求對應(yīng)的齊次線性方程分離變量得

兩邊積分得

ln y?2ln(x?1)?ln C?

齊次線性方程的通解為

y?C(x?1)2?

用常數(shù)變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得

dy2y??0的通解?

dxx?1dy2dx??

yx?12u?(x?1)2?(x?1)2

u??(x?1)?2u?(x?1)?x?12

5兩邊積分? 得

1u??(x?1)2? u?(x?1)2?C?

3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為

y?(x?1)[(x?1)2?C]?

3例8 有一個電路如圖所示? 其中電源電動勢為E?Emsin?t(Em、?都是常數(shù))? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?

解

由電學(xué)知道? 當電流變化時? L上有感應(yīng)電動勢?L

E?L即

di? 由回路電壓定律得出 dtdi?iR?0?

dtdi?Ri?E?

dtLL

把E?Emsin? t代入上式? 得

初始條件為

di?Ri?Emsin? t?

dtLL8 高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

i|t?0?0?

方程di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中 dtLLER

P(t)?? Q(t)?msin? t?

LL?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C)

LRR由通解公式? 得

i(t)?e??P(t)dtRttEm?ReL(?sin?teLdt?C)

?L?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?

?222R??L其中C為任意常數(shù)?

將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數(shù)i(t)為

t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?

i(t)?2R??2L2R2??2L2? LEm?

R2??2L2總結(jié)：

1、微分方程的相關(guān)概念

a、微分方程的階

b、微分方程的通解與特解

2、可分離變量的微分方程

a、可分離變量的微分方程

b、可轉(zhuǎn)化為可分離變量的微分方程

3、一階線性微分方程

a、一階線性齊次微分方程

b、一階線性非齊次微分方程

c、常數(shù)變易法 教學(xué)后記：高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

作業(yè)：

第四篇：微分方程習題答案

微分方程習題答案

習題基本要求：微分方程的階，判定一階齊次（非齊次）微分方程，微分方程的通解及特解，可分離變量微分方程及其通解，二階常系數(shù)微分方程的特征根及其三種不同形式的通解，選擇題

下列方程哪些是一階齊次微分方程？ dyy?y2?x2dyyy(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????(2?1?dxxdxxx2

2dy?y2(2)?xy???y不是齊次方程????dx1?x22

dyx2?y2dyxy?????(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22

(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??dy2x?y?4???dxx?y?

1y2()dyydy22dy???xy(5)y?x是齊次方程?dxdxdxxy?x2?1x21、微分方程y“+（yˊ）4-y3=0的階數(shù)是（B）

（A）1（B）2（C）3（D）

42、方程(y-3x)dx –(x+y)dy=0是（B）

（A）可分離變量微分方程（B）齊次方程

（C）一階非齊次線性微分方程（D）一階齊次線性微分方程

3、方程xdy+ydx=0的通解為（D）

（A）xy=1（B）xy=3（C）xy=-3（D）xy=C4、方程y”+ yˊ-2 y=0的通解為（C）

----（A）y=e2x+ex（B）y=Ce2x+ex（C）y=C1e2x+C2ex（D）y=e2x+Cex

填空題：

1、方程ydy+xdx=0的通解為22.通解為y=Cex的一階微分方程為yˊ-y=0.2、滿足條件y(0)=3的微分方程dy=2xydx的特解為y=3ex2.3、二階常系數(shù)齊次線性微分方程y“+p yˊ+q y=0的特征方程為r2-

4、微分方程y”-4y=0的通解為2x2x.-

5、微分方程y“-4yˊ-5y=0的通解為x5x6、微分方程y”-4yˊ+13y=0的通解為

7、微分方程y“+2yˊ+y=0的通解解答題

1、求可分離變量微分方程dy=xydx的通解。

解：（1）顯然y=0是微分方程的解；

（2）當y≠0時，方程可化為dydy?xdx，兩邊分別積分??xdx yy?

12x12得方程的解為lny?x?C1，即y?Ce2

212x2由（1）（2）可知微分方程的通解為y?Ce。

2、求微分方程ex-ydx=dy的通解。

解：方程可化為exdx=eydy，兩邊積分得∫exdx=∫eydy，于是微分方程的通解為ey = ex+C.3、求微分方程y”-2yˊ-3y=0的通解。

-解：所給微分方程的特征方程為r2-2r-3=0，其根為r1=-1,r2=3，因此所求通解為y=C1ex+C2e3x4、求微分方程y“-5yˊ+6y=0的通解。

解：所給微分方程的特征方程為r2-5r+6=0,其根為r1=2,r2=3.因此所求通解為y=C1e2x+C2e3x。

5、求微分方程y”+2yˊ+y=0的通解。

-解：所給微分方程的特征方程為r2+2r+1=0,其根為r1=r2=-1.因此所求通解為y=(C1+C2x)ex.6、求微分方程y“-4yˊ+4y=0的通解。

解：所給微分方程的特征方程為r2-4r+4=0，其根為r1=r2=2，因此所求通解為y=(C1+C2x)e2x.7、求微分方程y”-2 yˊ+5 y=0的通解。

解：所給方程的特征方程為r2-2r+5=0，其根為r?

因此所求通解為y=ex(C1cos2x+C2sin2x)

8、求微分方程y"-4 yˊ+5 y=0的通解。

解：所給方程的特征方程為r2-2r+5=0,其根為r?

因此所求通解為y=e2x(C1cosx+C2sinx).?1?2i ?2?i

第五篇：微分方程雙語教學(xué)研究論文

關(guān)鍵詞：教學(xué)研究 雙語教學(xué) 微分方程

摘要：微分方程雙語教學(xué)是微分方程教學(xué)中的一項重要環(huán)節(jié)，本文主要圍繞雙語教學(xué)主題，結(jié)合重慶科技學(xué)院目前實際情況，對常微分方程課程的雙語教學(xué)作了進一步探討，分析總結(jié)了實踐經(jīng)驗中存在的問題并提出了一些意見。

保持式雙語教學(xué)是指學(xué)生剛進入學(xué)校用母語進行學(xué)習，然后逐步在部分課程上用第二種語言進行教學(xué)，其他課程仍然用母語進行教學(xué)。這種雙語教學(xué)比較適合普通高等本科院校。我校屬于新建的本科院校，用這種模式來進行雙語教學(xué)比較符合我們學(xué)校的現(xiàn)實情況。常微分方程課程的雙語教學(xué)的主要目的是為了加深學(xué)生對國外常微分方程課程的先進的體系、思想方法、發(fā)展趨勢的理解，以利于進行中西方比較、借鑒西方的先進成果，最終把學(xué)生培養(yǎng)成國際化人才。除此以外，“雙語教學(xué)”中的英語不僅僅是語言學(xué)習，而且可以為了培養(yǎng)學(xué)生相應(yīng)的思維基礎(chǔ)、智能結(jié)構(gòu)、文化素質(zhì)，在開放的外語環(huán)境中最大限度地挖掘?qū)W生潛能，這對現(xiàn)行的英語教學(xué)來說，是一個突破，也是一個更高的標準。

本人曾經(jīng)講授過本科的常微分方程課程而且在這方面發(fā)表過國際期刊，因此對于雙語教學(xué)有了一定的了解基礎(chǔ)。通過親身的講授體驗，通過和學(xué)生的交流，觀察，調(diào)查等多種途徑，我發(fā)現(xiàn)了在我校進行保持式雙語教學(xué)中所存在的主要問題。有如下：

一、缺乏師資

強大的師資力量是成功實施雙語教學(xué)的關(guān)鍵。要真正實現(xiàn)雙語教學(xué)的目標，就要求教師既要精通常微分方程專業(yè)知識，又要具備扎實的英語水平。

有研究表明：現(xiàn)有的高校擴招給大學(xué)英語教學(xué)帶來的巨大壓力已經(jīng)遠遠超出了教師的承受能力，現(xiàn)有教師也很少有機會在職進修，更缺乏定期出國提高自己語言能力，改善自身知識結(jié)構(gòu)的可能。許多大學(xué)雙語教師都沒有接受過系統(tǒng)，專門的雙語培訓(xùn)。

二、教師的工作量明顯加大，課堂信息不足

有研究表明：原來用母語教學(xué)10分鐘就能完成的知識點，用“雙語”后需要40分鐘，甚至更多。而授課教師的英語應(yīng)用能力高低不同，備課時間長短也不同。有教師認為雙語教學(xué)備課量是非雙語教學(xué)的三倍以上。

三、學(xué)生英語水平參差不齊，師生溝通不流暢

就目前情況來看，大學(xué)生的英語綜合能力參差不齊，不少學(xué)生對專業(yè)詞匯掌握很少，聽力和口語不是很少，這些都使得教師不得不把重點轉(zhuǎn)移到詞匯的講解，從而影響了教學(xué)進度，達不到預(yù)期目標。

四、國內(nèi)外教材不統(tǒng)一

雙語教學(xué)需要用國外的原版教材，但是國外原版教材難以與國內(nèi)相應(yīng)的學(xué)科教學(xué)要求相符。并且深淺程度不一致，理論和案例各自偏向不同的特點。許多國外教材是根據(jù)當?shù)氐奈幕晳T和思維方式編寫的，中國學(xué)生缺乏理解發(fā)達國家經(jīng)濟制度運作的常識，理解教材中的內(nèi)容和案例還有很多困難。

五、教學(xué)中教育主體性缺失

常微分方程雙語教學(xué)應(yīng)該是學(xué)生和教師的主體性都是個和諧和統(tǒng)一的過程。但是目前是主體性的發(fā)揮存在不平衡。主要表現(xiàn)為：教師的主體性極度膨脹，學(xué)生的主體性沒有發(fā)揮出來。很多學(xué)生收到家庭環(huán)境，傳媒信息，個性特征，知識基礎(chǔ)，思維方式的影響，適應(yīng)雙語教學(xué)還需要一個過程。

六、教學(xué)方法需要配套改革

雖然目前，許多教師采用了多媒體來教學(xué)，但是也只是作了形式上的改變，把粉筆，黑板變成了電腦和幻燈片。以“學(xué)生為中心”的教學(xué)模式并沒有形成。

七、課程考核方式單一，缺乏專門的雙語教學(xué)質(zhì)量評價指標體系

目前許多高校對雙語教學(xué)體系的評價，或者借助現(xiàn)有的單語教學(xué)評價指標，或者以查代評，以考代評，定性多于定量，片面代替全面，評價的科學(xué)性還不是很完善。

從前面的分析來看，常微分方程雙語教學(xué)在發(fā)展中存在許多問題，形成這些問題的原因是多種多樣的。我們對上述的問題進行簡單的歸類。發(fā)現(xiàn)可以歸類為：外部環(huán)境的問題(如學(xué)生的英語水平，師資的缺乏問題等)，教學(xué)內(nèi)容的問題(如方法的差異問題，教材選用的問題等)，教學(xué)方式，方法的問題(如教育主體性缺失問題)，考核辦法的問題(考核方式單一)。

考察、分析和解決常微分方程雙語教學(xué)中的問題都要著眼整個系統(tǒng)，要以合作的精神從大系統(tǒng)的全局出發(fā)。當我們對雙語教學(xué)實施管理的時候，就是管理著一組有特定目的和目標的相互關(guān)聯(lián)、相互制約的要素的組合體，而當要解決其中任何一部分的問題時必須考慮到對系統(tǒng)其它部分以及周圍環(huán)境的影響，根據(jù)輕重緩急，予以通盤考慮，逐次解決。常微分方程雙語教學(xué)是適應(yīng)經(jīng)濟全球化和科技革命的挑戰(zhàn)。但是教學(xué)能否快速，良好的發(fā)展關(guān)鍵取決于自身的基礎(chǔ)條件，內(nèi)部教學(xué)系統(tǒng)的構(gòu)建與運行以及外部環(huán)境的條件等。從這個意義來考慮，我們有必要構(gòu)建一個常微分方程雙語教學(xué)系統(tǒng)，從而實現(xiàn)跨文化交流，把學(xué)生培養(yǎng)成國際化的人才。首先，構(gòu)建一個常微分方程教學(xué)系統(tǒng)必須有系統(tǒng)目標。系統(tǒng)的目標性要求我們在確定系統(tǒng)的目標時，運用各種調(diào)節(jié)手段把系統(tǒng)導(dǎo)向預(yù)定的目標，達到系統(tǒng)整體性最優(yōu)的目標。根據(jù)國家教學(xué)要求，常微分方程雙語教學(xué)的目標應(yīng)該是用英語作為課堂主要語吉進行常微分方程課程的教授，向?qū)W生推進常微分方程專業(yè)理論的逐步演繹。使得學(xué)習者掌握本課程嚴密的專業(yè)知識，同時還可以培養(yǎng)學(xué)習者運用兩種語言進行思維的能力。

從系統(tǒng)論的角度，我們已經(jīng)明確了系統(tǒng)中的子系統(tǒng)(教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)方式，方法和考核方法等)，外部環(huán)境(培養(yǎng)創(chuàng)新人才的需要，高等教學(xué)體制改革的重要舉措等)自身的基礎(chǔ)條件(師資力量。學(xué)生的英語水平)：

系統(tǒng)必須具備三個要素：系統(tǒng)的部件、系統(tǒng)的環(huán)境、系統(tǒng)的輸入與輸出。系統(tǒng)的部件，也就是系統(tǒng)下面的各個子系統(tǒng)，它們具有不同的屬性，又相互影響。他們組合結(jié)構(gòu)從整體上影響了系統(tǒng)的特征和行為。系統(tǒng)是在一定的外界環(huán)境條件下運行的，它即受環(huán)境的影響，同時也對環(huán)境施加影響。系統(tǒng)與環(huán)境的交互影響就可以產(chǎn)生輸入與輸出的含義，輸入與輸出體現(xiàn)了系統(tǒng)與環(huán)境之間的交互影響，系統(tǒng)在目標與要求明確以后，其部件就可以接受一系列的外界輸入以及進行有效和高效率的處理后，提供系統(tǒng)所期望的實現(xiàn)目標的輸出，返回到環(huán)境。

概括的說，常微分方程雙語教學(xué)系統(tǒng)的部件主要包括以下幾個子系統(tǒng)：教學(xué)內(nèi)容包括有課程設(shè)置和教材兩個子系統(tǒng)。在課程設(shè)置上，應(yīng)該與國際接軌，課程設(shè)置要借鑒國際知名同類院校的經(jīng)驗，但是一定要結(jié)合本校的資源狀況，有辨別，有參考，有借鑒的學(xué)習和引進。并且要循序漸進，穩(wěn)步實施。應(yīng)該是先從高年級到低年級，先選修到必修，在大一和大二開設(shè)基礎(chǔ)英語和專業(yè)基礎(chǔ)理論課程，構(gòu)成基礎(chǔ)模塊。在大二下學(xué)期到大三開設(shè)常微分方程的外語課程，跨文化方面的課程。為雙語教學(xué)提供專業(yè)知識和文化環(huán)境作鋪墊。構(gòu)成過渡模塊。在前兩個基礎(chǔ)作好的情況下，開設(shè)常微分方程雙語課程?？傊x課程要有代表性，銜接性和外延性。在教材方面，主張采用原版英文教材，所選教材必須在國際學(xué)術(shù)界公認先進水平，要有一定適應(yīng)性，比如英，美兩國的教材都可以迅速，全面反應(yīng)最新的學(xué)術(shù)成果。教學(xué)方式和方法。教學(xué)方式和方法應(yīng)該多樣化。包括有教學(xué)工具的多樣化和教學(xué)的互動化。除了傳統(tǒng)教材，多媒體以外，還應(yīng)該采用視頻剪輯材料，網(wǎng)絡(luò)材料，模擬實物等多種形式來為學(xué)生提供豐富的教學(xué)原始材料，這樣也容易產(chǎn)生更為直接的正向?qū)W習遷移。由于雙語教學(xué)的特殊性，情感過濾的效應(yīng)更為明顯，不同學(xué)習者可能會產(chǎn)生差異較大的主觀情感體驗，因此設(shè)置互動的教學(xué)情景非常重要。比如講座，討論，辯論，小組活動。模擬游戲等教學(xué)活動都可以產(chǎn)生比較好的效果。

在系統(tǒng)中，我們必須注意環(huán)境的變化?？梢钥紤]以立項的形式來加強常微分方程雙語課程建設(shè)，樹立精品意識，以教改立項或者課程建設(shè)立項的形式來推行常微分方程雙語教學(xué)。學(xué)校明確建設(shè)目標，加大支持力度，嚴格驗收，保證建設(shè)效果。并且要注意滾動支持。這樣才能使得常微分方程雙語教學(xué)具有一定的連貫性和一致性。

在反饋機制中，我們重點要研究教學(xué)評價機制，也是考核辦法。應(yīng)該通過合適的考核方式來判斷，把平時考核和最后考試有機結(jié)合起來。平時考核采用靈活的方式，如課堂提問，小測驗，作業(yè)，主體發(fā)言等。重點考核學(xué)生的學(xué)習態(tài)度，對知識的掌握，理解等。要結(jié)合筆試，口試，開卷，閉卷等多種方式，加強對知識應(yīng)用能力的考查。

除此以外，這個系統(tǒng)有個重要的支持平臺，就是師資狀況和學(xué)生的英語水平。沒有這兩個基本的平臺。其雙語教學(xué)將面臨嚴重的問題。要加強師資隊伍建設(shè)，采用各種形式加強對教師的培訓(xùn)，比如將一些雙語教師送到國外進修，或者從條件好的院校聘請好的雙語專家來進行外語授課，講學(xué)等。同時提高雙語教師的待遇，給予一定的工作量補貼等。鼓勵年輕教師投身雙語教學(xué)課程的建設(shè)中。

總而言之，常微分方程雙語教學(xué)系統(tǒng)必須要結(jié)合我校的實際情況來構(gòu)建，而影響系統(tǒng)的因素以及各個子系統(tǒng)本身都是在處于不斷變化之中的，特別是我國處于教育快速發(fā)展階段，可變量會更多也會更加復(fù)雜，技術(shù)在不斷的快速發(fā)展，相應(yīng)的政策法規(guī)也會隨著形式的需要不斷完善。在對外改革開放的浪潮中，傳統(tǒng)的文化受到?jīng)_擊，因此系統(tǒng)本身就是動態(tài)變化中，要根據(jù)實際情況隨時進行調(diào)整。使系統(tǒng)緊緊圍繞整體總目標來協(xié)調(diào)發(fā)展。同時兼顧處理好與周圍環(huán)境的關(guān)系，系統(tǒng)與環(huán)境的互相影響主要依靠有效信息的反饋來爭取產(chǎn)生正面影響使整個系統(tǒng)健康協(xié)同的發(fā)展