第一篇：第一節(jié) 微分方程的基本概念

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)---微積分教案

第一節(jié) 微分方程的基本概念

教學(xué)目的： 理解微分方程的概念，理解微分方程的通解的概念，區(qū)分特解與通解。教學(xué)重點(diǎn)：微分方程的概念

通解的概念 教學(xué)難點(diǎn)：區(qū)分特解與通解 教學(xué)時(shí)數(shù)：2 教學(xué)內(nèi)容：

一、兩個(gè)引例

例1：一條曲線過(guò)點(diǎn)?0,1?，且在該曲線任意點(diǎn)M(x,y)處的切線斜率都為2x，求該曲線的方程。

解：

設(shè)所求曲線方程為y?f(x)

根據(jù)題意和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得

dy?2x 且當(dāng)x?0時(shí)，y?1。dx例2：一質(zhì)量為m的物體只受重力作用由距地面h米處開始下落，試求物體下落的運(yùn)動(dòng)方程。解 ：設(shè)物體下落距離s與時(shí)間t的關(guān)系為 s?s?t?

依題意和二階導(dǎo)數(shù)的物理意義，得

d2s?g（其中g(shù)為重力加速度）2dt且當(dāng)t?0時(shí),s?0且v?0。

以上所列舉兩例的方程中，都含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它們都是微分方程。

二、基本概念

定義

含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程。

定義

微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階。

能使微分方程變成恒等式的函數(shù)，稱為微分方程的解。求微分方程解的過(guò)程叫做解微分方程。

如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解。

在通解中若使任意常數(shù)取某定值，或利用附加條件求出任意常數(shù)應(yīng)取的值，所得的解叫做微分方程的特解。

為了得到滿足要求的特解，必須根據(jù)要求對(duì)微分方程附加一定條件，這些條件叫做初始條件。

例如，例1的初始條件記為yx?0?1；例2的初始條件記為st?0?0,ds?0 dtt?0評(píng)注：⑴.在微分方程中，自變量和未知函數(shù)可以不出現(xiàn)，但未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分必須出現(xiàn).山 東 女 子 學(xué) 院

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)---微積分教案

⑵一般情況下，如果微分方程是一階的，其初始條件是yx?x?y0；如果是二階的，其

0?，其中x0,y0,y0?都是給定的值。初始條件是yx?x?y0，y?x?x?y000例3：驗(yàn)證函數(shù)y?C1e2x?C2e3x（C1,C2是任意常數(shù)）是方程

y???5y??6y?0 的通解，并求滿足初始條件y|x=0=1, y?|x=0=

1的特解。2解：

y??2C1e2x?3C2e3x，y???4C1e2x?9C2e3x

將兩式代入方程有

2x3x2x3xe?6

4C1e?9C2e?52C1e?3C2?????1C2xe?2C?3xe? 0且C1,C2是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)。

?函數(shù)y?C1e2x?C2e3x是方程的通解。把初始條件y|x=0=1, y?|x=0=

1代入y?C1e2x?C2e3x及y??2C1e2x?3C2e3x，得 2?C1?C2?1??1。2C1?3C2???2

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第二篇：微分方程教案

高等數(shù)學(xué)教案

第七章

微分方程

教學(xué)目的：

1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。

3．會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程。4． 會(huì)用降階法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)5． 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

7.求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。

8.會(huì)解歐拉方程，會(huì)解包含兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。9．會(huì)解微分方程組（或方程組）解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：

1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法

(n)

2、可降階的高階微分方程y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)

3、二階常系數(shù)齊次線性微分方程；

4、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；

教學(xué)難點(diǎn)：

1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；

3、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。

高等數(shù)學(xué)教案

§7? 1 微分方程的基本概念

函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映? 利用函數(shù)關(guān)系又可以對(duì)客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究? 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 在實(shí)踐中具有重要意義? 在許多問(wèn)題中? 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 但是根據(jù)問(wèn)題所提供的情況? 有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式? 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對(duì)它進(jìn)行研究? 找出未知函數(shù)來(lái)? 這就是解微分方程?

例1 一曲線通過(guò)點(diǎn)(1? 2)? 且在該曲線上任一點(diǎn)M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?

解 設(shè)所求曲線的方程為y?y(x)? 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義? 可知未知函數(shù)y?y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式(稱為微分方程)

dy?2x?

(1)

dx此外? 未知函數(shù)y?y(x)還應(yīng)滿足下列條件?

x?1時(shí)? y?2? 簡(jiǎn)記為y|x?1?2?

(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)

y?2xdx? 即y?x2?C?

(3)其中C是任意常數(shù)?

把條件“x?1時(shí)? y?2”代入(3)式? 得

2?12?C?

由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?

y?x2?1?

例2 列車在平直線路上以20m/s(相當(dāng)于72km/h)的速度行駛? 當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度?0?4m/s2? 問(wèn)開始制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住? 以及列車在這段時(shí)間里行駛了多少路程?

解 設(shè)列車在開始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米? 根據(jù)題意? 反映制動(dòng)階段列車運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)s?s(t)應(yīng)滿足關(guān)系式 ?d2s??0.?

(4)dt2此外? 未知函數(shù)s?s(t)還應(yīng)滿足下列條件?

t?0時(shí)? s?0? v?ds?20? 簡(jiǎn)記為s|=0? s?|=20?

(5)

t?0t?0dt高等數(shù)學(xué)教案

把(4)式兩端積分一次? 得

v?ds??0.4t?C?

(6)1dt再積分一次? 得

s??0?2t2 ?C1t ?C2?

(7)這里C1? C2都是任意常數(shù)?

把條件v|t?0?20代入(6)得

20?C1?

把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2?

把C1? C2的值代入(6)及(7)式得

v??0?4t ?20?

(8)

s??0?2t2?20t?

(9)在(8)式中令v?0? 得到列車從開始制動(dòng)到完全停住所需的時(shí)間

t?20?50(s)?

0.4再把t?50代入(9)? 得到列車在制動(dòng)階段行駛的路程

s??0?2?502?20?50?500(m)?

幾個(gè)概念?

微分方程? 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程? 叫微分方程?

常微分方程? 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程? 叫常微分方程?

偏微分方程? 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程? 叫偏微分方程?

微分方程的階? 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)? 叫微分方程的階?

x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?

y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?

y(n)?1?0?

一般n階微分方程?

F(x? y? y??

? ? ? ? y(n))?0?

y(n)?f(x? y? y??

? ? ? ? y(n?1))?

微分方程的解? 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說(shuō)? 設(shè)函數(shù)y??(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 如果在區(qū)間I上?

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F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?

那么函數(shù)y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區(qū)間I上的解?

通解? 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)? 且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?

初始條件? 用于確定通解中任意常數(shù)的條件? 稱為初始條件? 如

x?x0 時(shí)? y?y0 ? y?? y?0 ?

一般寫成

??

yx?x0?y0? y?x?x0?y0

特解? 確定了通解中的任意常數(shù)以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數(shù)的解?

初值問(wèn)題? 求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題稱為初值問(wèn)題?

如求微分方程y??f(x?

y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問(wèn)題? 記為

?y??f(x,y)

?? yx?x0?y0?

積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?

d2x?k2x?0

例3 驗(yàn)證? 函數(shù) x?C1cos kt?C2 sin kt是微分方程

的解?

dt

2解 求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?

dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)

?

1212dt2d2x將2及x的表達(dá)式代入所給方程? 得 dt

?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0?

d2x?k2x?0

這表明函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt 滿足方程2? 因此所給函數(shù)是所給方程的解?

dtd2x?k2x?0

例4 已知函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程2的通解? 求滿足初始條件

dt

x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解?

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解

由條件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得

C1?A?

再由條件x?| t?0 ?0? 及x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt? 得

C2?0?

把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得

x?Acos kt?

作業(yè)：P298：4

§7? 2 可分離變量的微分方程

觀察與分析?

1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得 y?x2?C?

一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數(shù))?

2? 求微分方程y??2xy2 的通解?

因?yàn)閥是未知的? 所以積分2xy2dx無(wú)法進(jìn)行? 方程兩邊直

??接積分不能求出通解?

為求通解可將方程變?yōu)?/p>

?1dy?2xdx? 兩邊積分? 得

y21?x2?C1? ? 或y??2yx?C可以驗(yàn)證函數(shù)y??1是原方程的通解?

x2?C

一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成 g(y)dy?f(x)dx

形式? 則兩邊積分可得一個(gè)不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程

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G(y)?F(x)?C?

由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解

對(duì)稱形式的一階微分方程?

一階微分方程有時(shí)也寫成如下對(duì)稱形式?

P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對(duì)稱的?

若把x看作自變量、y看作未知函數(shù)? 則當(dāng)Q(x,y)?0時(shí)? 有

dyP(x,y)???

dxQ(x,y)dx??Q(x,y)?

dyP(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數(shù)? 則當(dāng)P(x,y)?0時(shí)? 有

可分離變量的微分方程?

如果一個(gè)一階微分方程能寫成

g(y)dy?f(x)dx(或?qū)懗蓎???(x)?(y))的形式? 就是說(shuō)? 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy? 另一端只含x的函數(shù)和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?

討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?

是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?

是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?

不是?

(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?

是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??x?y?

不是? yx

可分離變量的微分方程的解法?

第一步

分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式?

第二步

兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設(shè)積分后得G(y)?F(x)?C?

第三步

求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解? ??高等數(shù)學(xué)教案

例1 求微分方程dy?2xy的通解?

dx

解

此方程為可分離變量方程? 分離變量后得

1dy?2xdx?

y1dy?2xdx?

?y?兩邊積分得

即

ln|y|?x2?C1?

從而

y??ex2?C1??eC1ex? 2因?yàn)?eC1仍是任意常數(shù)? 把它記作C? 便得所給方程的通解

y?Cex?

例2 鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時(shí)鈾的含量為M0? 求在衰變過(guò)程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律?

解 鈾的衰變速度就是M(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)2dM?

dtdM???M?

dtdM?0?

dt

由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程其中?(?>0)是常數(shù)? ?前的曲面號(hào)表示當(dāng)t增加時(shí)M單調(diào)減少? 即由題意? 初始條件為 M|t?0?M0?

將方程分離變量得

兩邊積分? 得dM???dt?

MdM?(??)dt?

?M?即

lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?

由初始條件? 得M0?Ce0?C?

所以鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律M?M0e??t ?

例3 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)速度為零? 求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系?

解

設(shè)降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數(shù))? 根據(jù)牛頓第二運(yùn)

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動(dòng)定律F?ma? 得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為

mdv?mg?kv?

dt初始條件為

v|t?0?0?

方程分離變量? 得

dv?dt?

mg?kvmdv?dt?mg?kv?m? 兩邊積分? 得

?ln(mg?kv)?1kt?C?

m1?kC1?ktmgem?Ce即

v?(C??)?

kkmg將初始條件v|t?0?0代入通解得C???

k?ktmg(1?em)?

于是降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為v?kdy?1?x?y2?xy2的通解?

例4 求微分方程dx

解 方程可化為

dy?(1?x)(1?y2)?

dx分離變量得

1dy?(1?x)dx?

1?y21dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C?

arctany??1?y2?2兩邊積分得

于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?

作業(yè)：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3 12高等數(shù)學(xué)教案

§7? 3 齊次方程

齊次方程?

如果一階微分方程dy?f(x,y)中的函數(shù)f(x, y)可寫成 dxyy的函數(shù)? 即f(x,y)??()? 則稱這方程為齊次方程?

xx

下列方程哪些是齊次方程？

dyy?y2?x2dyyy

(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????()2?1?

dxxdxxx22dy1?y

2(2)1?xy??1?y不是齊次方程???

?dx1?x222dyx2?y2dyxy?????

(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22

(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??

(5)(2xshdy2x?y?4???

dxx?y?1yyy?3ych)dx?3xchdy?0是齊次方程?

xxxyy2xsh?3ychdyxx?dy?2thy?y ?

?ydxdx3xx3xchx

齊次方程的解法?

在齊次方程

u?x分離變量? 得

ydyy??()中? 令u?? 即y?ux? 有 dxxxdu??(u)?

dxdu?dx? ?(u)?uxdu?dx??(u)?u?x? 兩端積分? 得

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求出積分后? 再用y代替u? 便得所給齊次方程的通解?

xdydy?xy?

dxdx

例1 解方程y2?x2

解

原方程可寫成

y2()dyy??x?

2ydxxy?x?1x2因此原方程是齊次方程? 令

y?ux? 于是原方程變?yōu)?/p>

2duu?

u?x?

dxu?1y?u? 則 xdy?u?xdu?

dxdx即

xdu?u?

dxu?1分離變量? 得

(1?)du?1udx?

x兩邊積分? 得u?ln|u|?C?ln|x|?

或?qū)懗蒷n|xu|?u?C?

以y代上式中的u? 便得所給方程的通解 x

ln|y|?y?C?

x

例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡? 假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行? 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程?

解 設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線L? y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成? 光源在原點(diǎn)? 在L上任取一點(diǎn)M(x, y)? 作L的切線交x軸于A? 點(diǎn)O發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)M反射后是一條平行于x軸射線? 由光學(xué)及幾何原理可以證明OA?OM?

因?yàn)?/p>

OA?AP?OP?PMcot??OP?y?x?

y?高等數(shù)學(xué)教案

而

OM?x2?y2?

于是得微分方程y?x?x2?y2? y?整理得dx?x?(x)2?1? 這是齊次方程?

dyyydx?x?(x)2?1?

dyyy

問(wèn)題歸結(jié)為解齊次方程

令即

yx?vdv?v?v2?1? 即x?yv? 得v?y?

ydydv?v2?1?

dy分離變量? 得dv?dy?

v2?1yyy, ?(?v)2?v2?1, CC兩邊積分? 得 ln(v?v2?1)?lny?lnC, ?v?v2?1?y22yv??1?

C2C以yv?x代入上式? 得y2?2C(x?C)?

2這是以x軸為軸、焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線? 它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為

y2?z2?2C(x?C)? 2這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程?

例3 設(shè)一條河的兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從岸邊點(diǎn)A游向正對(duì)岸點(diǎn)O? 設(shè)鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O? 已知OA?h? 求鴨子游過(guò)的跡線的方程?

解 取O為坐標(biāo)原點(diǎn)? 河岸朝順?biāo)较驗(yàn)閤軸? y 軸指向?qū)Π? 設(shè)在時(shí)刻t鴨子位于點(diǎn)P(x, y)? 則鴨子運(yùn)動(dòng)速度

v?(vx, vy)?(dx, dy)? 故有dx?vx?

dyvydtdt高等數(shù)學(xué)教案

另一方面? v?a?b?(a, 0)?b(?x, ?y)? v?(a?bx, ?by)?

x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2因此dx?vx??a(x)2?1?x? 即dx??a(x)2?1?x?

dybyydyvybyydx??a(x)2?1?x?

dybyy

問(wèn)題歸結(jié)為解齊次方程

令

yx?u? 即x?yu? 得 ydu??au2?1?

dyb分離變量? 得du??ady?

u2?1by兩邊積分? 得 arshu??(lny?lnC)? bax1[(Cy)1?b?(Cy)1?b]?

將u?代入上式并整理? 得x?y2C以x|y?h?0代入上式? 得C?aa1? 故鴨子游過(guò)的軌跡方程為

haay1?by1?bh?()]? 0?y?h?

x?[()2hhb將u?x代入arshu??(lny?lnC)后的整理過(guò)程?

yaarshx??b(lny?lnC)

ya???x?shln(Cy)a?x?1[(Cy)a?(Cy)a] yy2bbb?bya?x?[(Cy)?(Cy)a]?x?1[(Cy)1?a?(Cy)1?a]?

2C2bbb作業(yè)：P309：1（1）（3）（5），2

高等數(shù)學(xué)教案

§7.4 線性微分方程

一、線性方程

線性方程?

方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?

dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?

方程

下列方程各是什么類型方程？

(1)(x?2)

(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?

(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?

(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx23dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或?

(5)(y?1)? 不是線性方程?

dxdydx(y?1)2x

3齊次線性方程的解法?

齊次線性方程

dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dxdy??P(x)dx?

y兩邊積分? 得

ln|y|??P(x)dx?C1?

?P(x)dx(C??eC1)?

或

y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）?

例

1求方程(x?2)dy?y的通解?

dx

解

這是齊次線性方程? 分離變量得

高等數(shù)學(xué)教案

dydx??

yx?2兩邊積分得

ln|y|?ln|x?2|?lnC?

方程的通解為

y?C(x?2)?

非齊次線性方程的解法?

將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x)? 把

?P(x)dx

y?u(x)e?

設(shè)想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得

?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?

u?(x)e?化簡(jiǎn)得

u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?

u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?

于是非齊次線性方程的通解為

?P(x)dxP(x)dx

y?e?[Q(x)e?dx?C]? ??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或

y?Ce??e?Q(x)e?dx? ?非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和?

5dy2y??(x?1)2的通解?

例2 求方程dxx?1

解

這是一個(gè)非齊次線性方程?

先求對(duì)應(yīng)的齊次線性方程分離變量得

dy2y??0的通解?

dxx?1dy2dx??

yx?1兩邊積分得

ln y?2ln(x?1)?ln C?

齊次線性方程的通解為

高等數(shù)學(xué)教案

y?C(x?1)2?

用常數(shù)變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得

52u?(x?1)2?(x?1)2

u??(x?1)?2u?(x?1)?x?1 1u??(x?1)2?

兩邊積分? 得 u?(x?1)2?C?

3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為 32

y?(x?1)[(x?1)2?C]?

323

例3 有一個(gè)電路如圖所示? 其中電源電動(dòng)勢(shì)為E?Emsin?t(Em、?都是常數(shù))? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?

解

由電學(xué)知道? 當(dāng)電流變化時(shí)? L上有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?L

E?L即

di? 由回路電壓定律得出

dtdi?iR?0?

dtdi?Ri?E?

dtLLdi?Ri?Emsin? t?

dtLL

把E?Emsin? t代入上式? 得

初始條件為

i|t?0?0?

di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中

dtLLER? t?

P(t)?? Q(t)?msinLL

方程由通解公式? 得

i(t)?e??P(t)dt?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C)

LRRRttEm?ReL(?sin?teLdt?C)

?L高等數(shù)學(xué)教案

?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?

?222R??L其中C為任意常數(shù)?

將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數(shù)i(t)為

t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?

i(t)?222222R??LR??L? LEm?

R2??2L

2二、伯努利方程

伯努利方程? 方程

dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0? 1)dx叫做伯努利方程?

下列方程是什么類型方程？

(1)

(2)dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程? dxdxxy

1(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx

(4)dy?2xy?4x? 是線性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x)dx

伯努利方程的解法? 以yn除方程的兩邊? 得

y?n令z ?y1?n ? 得線性方程

dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)?

dxdyy??a(lnx)y2的通解?

例4 求方程dxx

解 以y2除方程的兩端? 得

y?2dy1?1?y?alnx?

dxxd(y?1)1?1?y?alnx?

即

?dxx高等數(shù)學(xué)教案

令z?y?1? 則上述方程成為

dz?1z??alnx?

dxxa2這是一個(gè)線性方程? 它的通解為

z?x[C?(lnx)2]?

以y?1代z ? 得所求方程的通解為

yx[C?(lnx)2]?1?

經(jīng)過(guò)變量代換? 某些方程可以化為變量可分離的方程? 或化為已知其求解方法的方程?

例

5解方程a2dy?1?

dxx?y

解

若把所給方程變形為

dx?x?y?

dy即為一階線性方程? 則按一階線性方程的解法可求得通解? 但這里用變量代換來(lái)解所給方程?

令x?y?u? 則原方程化為

du?1?1? 即du?u?1?

dxudxuudu?dx?

u?1分離變量? 得

兩端積分得

u?ln|u?1|?x?ln|C|?

以u(píng)?x?y代入上式? 得

y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1?

作業(yè)：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）

§7? 5可降階的高階微分方程

高等數(shù)學(xué)教案

一、y(n)?f(x)型的微分方程

解法? 積分n 次

y(n?1)?f(x)dx?C1? ?

y(n?2)?[f(x)dx?C1]dx?C2? ??

? ? ??

例1 求微分方程y????e2x?cos x 的通解?

解 對(duì)所給方程接連積分三次? 得

y???e2x?sinx?C1?

y??e2x?cosx?C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

或

y???e2x?sinx?2C1?

y??e2x?cosx?2C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿Ox軸作直線運(yùn)動(dòng)? 設(shè)力F僅是時(shí)間t的函數(shù)?F?F(t)? 在開始時(shí)刻t?0時(shí)F(0)?F0? 隨著時(shí)間t的增大? 此力F均勻地減小? 直到t?T時(shí)? F(T)?0? 如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)? 且初速度為零? 求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?

解 設(shè)x?x(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置? 根據(jù)牛頓第二定律? 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為

m12141812121418d2x?F(t)?

2dt由題設(shè)? 力F(t)隨t增大而均勻地減小? 且t?0時(shí)? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又當(dāng)t?T時(shí)? F(T)?0? 從而

F(t)?F0(1?)?

于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫為 tTd2x?F0(1?t)

?

Tdt2m高等數(shù)學(xué)教案

其初始條件為x|t?0?0? dx|?0?

dtt?0

把微分方程兩邊積分? 得

dx?F0(t?t2)?C

1?

dtm2T再積分一次? 得

F012t x?(t?)?C1t?C2?

m26T由初始條件x|t?0?0? 得C1?C2?0?

于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 dx|?0?

dtt?0F012t3

x?(t?)? 0?t?T?

m26T

二、y??? f(x? y?)型的微分方程

解法? 設(shè)y??p則方程化為

p??f(x? p)?

設(shè)p??f(x? p)的通解為p??(x?C1)? 則

dy??(x,C1)?

dx原方程的通解為

y??(x,C1)dx?C2?

例3 求微分方程

(1?x2)y???2xy? 滿足初始條件

y|x?0?1? y?|x?0?3 的特解?

解 所給方程是y???f(x? y?)型的? 設(shè)y??p? 代入方程并分離變量后? 有

?dp2x?dx?

p1?x2兩邊積分? 得

ln|p|?ln(1?x2)?C?

即

p?y??C1(1?x2)(C1??eC)?

由條件y?|x?0?3? 得C1?3?

所以

y??3(1?x2)?

高等數(shù)學(xué)教案

兩邊再積分? 得 y?x3?3x?C2?

又由條件y|x?0?1? 得C2?1?

于是所求的特解為

y?x3?3x?1?

例4 設(shè)有一均勻、柔軟的繩索? 兩端固定? 繩索僅受重力的作用而下垂? 試問(wèn)該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線?

三、y???f(y? y?)型的微分方程

解法? 設(shè)y??p?有

y???原方程化為 dpdpdydp???p?

dxdydxdydp?f(y,p)?

dydp?f(y,p)的通解為y??p??(y? C1)? 則原方程的通解為 設(shè)方程pdy

p

dy??(y,C1)?x?C2?

dp?

dy

例5 求微分yy???y?2?0的通解?

解 設(shè)y??p? 則y???p代入方程? 得

ypdp2?p?0?

dy

在y?0、p?0時(shí)? 約去p并分離變量? 得

dpdy??

py兩邊積分得

ln|p|?ln|y|?lnc?

即

p?Cy或y??Cy(C??c)?

再分離變量并兩邊積分? 便得原方程的通解為

ln|y|?Cx?lnc1?

或

y?C1eCx(C1??c1)?

作業(yè)：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）

高等數(shù)學(xué)教案

§7? 6 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例

例1 設(shè)有一個(gè)彈簧? 上端固定? 下端掛一個(gè)質(zhì)量為m 的物體? 取x 軸鉛直向下? 并取物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)?

給物體一個(gè)初始速度v0?0后? 物體在平衡位置附近作上下振動(dòng)? 在振動(dòng)過(guò)程中? 物體的位置x是t的函數(shù)? x?x(t)?

設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為c? 則恢復(fù)力f??cx?

又設(shè)物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的阻力的大小與速度成正比? 比例系數(shù)為?? 則

R??dx?

dt

由牛頓第二定律得

2dxdx

m2??cx???

dtdt

移項(xiàng)? 并記2n??c? k2??

mmd2x?2ndx?k2x?0則上式化為

?

dtdt2這就是在有阻尼的情況下? 物體自由振動(dòng)的微分方程?

如果振動(dòng)物體還受到鉛直擾力

F?Hsin pt 的作用? 則有

d2x?2ndx?k2x?hsinpt

?

dtdt2H其中h?? 這就是強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程?

m

例2 設(shè)有一個(gè)由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路? 其中R、L、及C為常

高等數(shù)學(xué)教案

數(shù)? 電源電動(dòng)勢(shì)是時(shí)間t的函數(shù)? E?Emsin?t? 這里Em及?也是常數(shù)?

設(shè)電路中的電流為i(t)? 電容器極板上的電量為q(t)? 兩極板間的電壓為uc? 自感電動(dòng)勢(shì)為EL ? 由電學(xué)知道

i?qdqdi? uc?? EL??L?

Cdtdtdi?q?Ri?0?

dtC根據(jù)回路電壓定律? 得

E?Ld2ucduc?RC?uc?Emsin?t?

即

LCdtdt2或?qū)懗?/p>

d2ucducEm2?2???u?sin?t?

0c2dtLCdtR? ??1? 這就是串聯(lián)電路的振蕩方程? 其中??02LLC

如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(E?0)? 則上述成為

d2ucduc2?2???0uc?0?

2dtdt

二階線性微分方程? 二階線性微分方程的一般形式為

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?

若方程右端f(x)?0時(shí)? 方程稱為齊次的? 否則稱為非齊次的?

二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)

先討論二階齊次線性方程

d2ydy?Q(x)y?0?

y???P(x)y??Q(x)y?0? 即2?P(x)dxdx

定理

1如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個(gè)解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解? 其中C1、C2是任意常數(shù)?

齊次線性方程的這個(gè)性質(zhì)表明它的解符合疊加原理?

證明 [C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2??

高等數(shù)學(xué)教案

[C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2???

因?yàn)閥1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0? 所以有

y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0?

從而

[C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2]

?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0?

這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解

函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)?

設(shè)y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個(gè)函數(shù)? 如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得當(dāng)x?I 時(shí)有恒等式

k1y1(x)?k2y2(x)?

? ? ? ? knyn(x)?0 成立? 那么稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)? 否則稱為線性無(wú)關(guān)?

判別兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)性的方法?

對(duì)于兩個(gè)函數(shù)? 它們線性相關(guān)與否? 只要看它們的比是否為常數(shù)? 如果比為常數(shù)? 那么它們就線性相關(guān)? 否則就線性無(wú)關(guān)?

例如? 1? cos2x ? sin2x 在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的? 函數(shù)1? x? x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的?

定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數(shù))是方程的通解?

例3 驗(yàn)證y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無(wú)關(guān)解? 并寫出其通解?

解 因?yàn)?/p>

y1???y1??cos x?cos x?0?

y2???y2??sin x?sin x?0?

所以y1?cos x與y2?sin x都是方程的解?

因?yàn)閷?duì)于任意兩個(gè)常數(shù)k1、k2? 要使

k1cos x?k2sin x?0?

只有k1?k2?0? 所以cos x與sin x在(??, ??)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的?

因此y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無(wú)關(guān)解?

高等數(shù)學(xué)教案

方程的通解為y?C1cos x?C2sin x?

例4 驗(yàn)證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無(wú)關(guān)解? 并寫出其通解?

解 因?yàn)?/p>

(x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0?

(x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0?

所以y1?x與y2?ex都是方程的解?

因?yàn)楸戎礶 x/x 不恒為常數(shù)? 所以y1?x與y2?ex在(??, ??)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的?

因此y1?x 與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無(wú)關(guān)解?

方程的通解為y?C1x?C2e x?

推論 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程

y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0 的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解? 那么? 此方程的通解為

y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)?

其中C1? C2? ? ? ?? Cn為任意常數(shù)?

二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)?

我們把方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 叫做與非齊次方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對(duì)應(yīng)的齊次方程?

定理3 設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個(gè)特解? Y(x)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解? 那么

y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解?

證明提示? [Y(x)?y*(x)]???P(x)[ Y(x)?y*(x)]??Q(x)[ Y(x)?y*(x)]

? [Y ???P(x)Y ??Q(x)Y ]?[ y* ???P(x)y* ??Q(x)y*]

?0? f(x)? f(x)?

例如? Y?C1cos x?C2sin x 是齊次方程y???y?0的通解? y*?x2?2是y???y?x2 的一個(gè)特解? 因此

y?C1cos x?C2sin x?x2?2

高等數(shù)學(xué)教案

是方程y???y?x2的通解?

定理4 設(shè)非齊次線性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個(gè)函數(shù)之和? 如

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)?

而y1*(x)與y2*(x)分別是方程

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解? 那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解?

證明提示?

[y1?y2*]???P(x)[ y1*?y2*]??Q(x)[ y1*?y2*]

?[ y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[ y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]

?f1(x)?f2(x)?

作業(yè)：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）

§7? 7 二階常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程 y???py??qy?0 稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數(shù)?

如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?

我們看看?

能否適當(dāng)選取r? 使y?erx

滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程

y???py??qy?0 得

(r 2?pr?q)erx ?0?

由此可見? 只要r滿足代數(shù)方程r2?pr?q?0? 函數(shù)y?erx就是微分方程的解?

特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個(gè)根r1、r2可用公式

?p??p2?4q

r 1,2?2高等數(shù)學(xué)教案

求出?

特征方程的根與通解的關(guān)系?

(1)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1、r2時(shí)? 函數(shù)y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解?

這是因?yàn)?

函數(shù)y1?e因此方程的通解為

y?C1er1x?C2er2x?

(2)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根r1?r2時(shí)? 函數(shù)y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解?

這是因?yàn)? y1?er1x是方程的解? 又

r1xr1x2r1x

(xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxe r1x

2?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0? r1x、y2?er2xy1er1x(r1?r2)x是方程的解? 又不是常數(shù)?

??ey2er2xy2xer1x??x不是常數(shù)?

所以y2?xe也是方程的解? 且y1er1xr1x

因此方程的通解為

y?C1er1x?C2xer1x?

(3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根r1, 2???i?時(shí)? 函數(shù)y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解? 函數(shù)y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解?

函數(shù)y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由歐拉公式? 得

y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

1y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)?

2高等數(shù)學(xué)教案

1y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)?

2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解?

可以驗(yàn)證? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無(wú)關(guān)解?

因此方程的通解為

y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為?

第一步

寫出微分方程的特征方程

r2?pr?q?0 第二步

求出特征方程的兩個(gè)根r1、r2?

第三步

根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況? 寫出微分方程的通解?

例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解?

解 所給微分方程的特征方程為

r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0?

其根r1??1? r2?3是兩個(gè)不相等的實(shí)根? 因此所求通解為

y?C1e?x?C2e3x?

例2 求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0?

4、y?| x?0??2的特解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0?

其根r1?r2??1是兩個(gè)相等的實(shí)根? 因此所給微分方程的通解為

y?(C1?C2x)e?x?

將條件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 從而

y?(4?C2x)e?x?

將上式對(duì)x求導(dǎo)? 得

y??(C2?4?C2x)e?x?

再把條件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解為

x?(4?2x)e?x?

例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?5?0?

高等數(shù)學(xué)教案

特征方程的根為r1?1?2i? r2?1?2i? 是一對(duì)共軛復(fù)根?

因此所求通解為

y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?

n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程

y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)? ? ? ? ? pn?1y??pny?0?

稱為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中 p1?

p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常數(shù)?

二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推廣到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程上去?

引入微分算子D? 及微分算子的n次多項(xiàng)式?

L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn? 則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作

(Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)?

分析? 令y?erx? 則

L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx?

因此如果r是多項(xiàng)式L(r)的根? 則y?erx是微分方程L(D)y?0的解?

n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程?

L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0 稱為微分方程L(D)y?0的特征方程?

特征方程的根與通解中項(xiàng)的對(duì)應(yīng)?

單實(shí)根r 對(duì)應(yīng)于一項(xiàng)? Cerx ?

一對(duì)單復(fù)根r1? 2?? ?i? 對(duì)應(yīng)于兩項(xiàng)? e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

k重實(shí)根r對(duì)應(yīng)于k項(xiàng)? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)?

一對(duì)k 重復(fù)根r1? 2?? ?i? 對(duì)應(yīng)于2k項(xiàng)?

e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]?

例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解?

解

這里的特征方程為

r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0?

它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i?

因此所給微分方程的通解為

高等數(shù)學(xué)教案

y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?

例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0?

解

這里的特征方程為

r4?? 4?0?

它的根為r1,2??2?(1?i)? r3,4???2(1?i)?

因此所給微分方程的通解為

y?e2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)?

作業(yè)：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）

§7? 8 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 方程

y???py??qy?f(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 其中p、q是常數(shù)?

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程 的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解y?y*(x)之和?

y?Y(x)? y*(x)?

當(dāng)f(x)為兩種特殊形式時(shí)? 方程的特解的求法?

一、f(x)?Pm(x)e?x 型

當(dāng)f(x)?Pm(x)e?x時(shí)? 可以猜想? 方程的特解也應(yīng)具有這種形式? 因此? 設(shè)特解形式為y*?Q(x)e?x? 將其代入方程? 得等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

(1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 則?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m 次多項(xiàng)式?

高等數(shù)學(xué)教案

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解

y*?Qm(x)e?x?

(2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的單根? 則?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m?1 次多項(xiàng)式?

Q(x)?xQm(x)?

Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ?

?bm?1x?bm ?

通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ?

? bm? 并得所求特解

y*?xQm(x)e?x?

(3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 則?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m?2次多項(xiàng)式?

Q(x)?x2Qm(x)?

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解

y*?x2Qm(x)e?x?

綜上所述? 我們有如下結(jié)論? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如

y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2?

例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個(gè)特解?

解 這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且函數(shù)f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)?

與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

y???2y??3y?0?

它的特征方程為

r2?2r?3?0?

由于這里??0不是特征方程的根? 所以應(yīng)設(shè)特解為

y*?b0x?b1?

高等數(shù)學(xué)教案

把它代入所給方程? 得

?3b0x?2b0?3b1?3x?1?

比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得

???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? ?2b?3b?1?01由此求得b0??1? b1?? 于是求得所給方程的一個(gè)特解為

y*??x??

例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?

解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)?

與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

y???5y??6y?0?

它的特征方程為

r2?5r ?6?0?

特征方程有兩個(gè)實(shí)根r1?2? r2?3? 于是所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

Y?C1e2x?C2e3x ?

由于??2是特征方程的單根? 所以應(yīng)設(shè)方程的特解為

y*?x(b0x?b1)e2x?

把它代入所給方程? 得

?2b0x?2b0?b1?x?

比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得

?1313??2b0?1? ?2b0?1? 2b0?b1?0? 2b?b?0?01由此求得b0??? b1??1? 于是求得所給方程的一個(gè)特解為

y*?x(?x?1)e2x?

從而所給方程的通解為

y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x? 121212高等數(shù)學(xué)教案

提示?

y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?

y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x?

方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式

應(yīng)用歐拉公式可得

e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]

?e?x[P(x)eli? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i

?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x

l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)]

?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x?

其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}?

設(shè)方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x?

則y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解?

其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1?

于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為

y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x

?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x)

?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

綜上所述? 我們有如下結(jié)論?

如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 12121212高等數(shù)學(xué)教案

y???py??qy?f(x)的特解可設(shè)為

y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項(xiàng)式? m?max{l? n}? 而k 按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1?

例3 求微分方程y???y?xcos2x的一個(gè)特解?

解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程?

且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）?

與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

y???y?0?

它的特征方程為

r2?1?0?

由于這里??i??2i 不是特征方程的根? 所以應(yīng)設(shè)特解為

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

把它代入所給方程? 得

(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x?

比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù)? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一個(gè)特解為 y*??xcos2x?sin2x?

提示?

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x?

?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?

y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x

?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?

y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x? 134?

91349高等數(shù)學(xué)教案

??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0作業(yè)：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4）

第三篇：微分方程習(xí)題答案

微分方程習(xí)題答案

習(xí)題基本要求：微分方程的階，判定一階齊次（非齊次）微分方程，微分方程的通解及特解，可分離變量微分方程及其通解，二階常系數(shù)微分方程的特征根及其三種不同形式的通解，選擇題

下列方程哪些是一階齊次微分方程？ dyy?y2?x2dyyy(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????(2?1?dxxdxxx2

2dy?y2(2)?xy???y不是齊次方程????dx1?x22

dyx2?y2dyxy?????(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22

(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??dy2x?y?4???dxx?y?

1y2()dyydy22dy???xy(5)y?x是齊次方程?dxdxdxxy?x2?1x21、微分方程y“+（yˊ）4-y3=0的階數(shù)是（B）

（A）1（B）2（C）3（D）

42、方程(y-3x)dx –(x+y)dy=0是（B）

（A）可分離變量微分方程（B）齊次方程

（C）一階非齊次線性微分方程（D）一階齊次線性微分方程

3、方程xdy+ydx=0的通解為（D）

（A）xy=1（B）xy=3（C）xy=-3（D）xy=C4、方程y”+ yˊ-2 y=0的通解為（C）

----（A）y=e2x+ex（B）y=Ce2x+ex（C）y=C1e2x+C2ex（D）y=e2x+Cex

填空題：

1、方程ydy+xdx=0的通解為22.通解為y=Cex的一階微分方程為yˊ-y=0.2、滿足條件y(0)=3的微分方程dy=2xydx的特解為y=3ex2.3、二階常系數(shù)齊次線性微分方程y“+p yˊ+q y=0的特征方程為r2-

4、微分方程y”-4y=0的通解為2x2x.-

5、微分方程y“-4yˊ-5y=0的通解為x5x6、微分方程y”-4yˊ+13y=0的通解為

7、微分方程y“+2yˊ+y=0的通解解答題

1、求可分離變量微分方程dy=xydx的通解。

解：（1）顯然y=0是微分方程的解；

（2）當(dāng)y≠0時(shí)，方程可化為dydy?xdx，兩邊分別積分??xdx yy?

12x12得方程的解為lny?x?C1，即y?Ce2

212x2由（1）（2）可知微分方程的通解為y?Ce。

2、求微分方程ex-ydx=dy的通解。

解：方程可化為exdx=eydy，兩邊積分得∫exdx=∫eydy，于是微分方程的通解為ey = ex+C.3、求微分方程y”-2yˊ-3y=0的通解。

-解：所給微分方程的特征方程為r2-2r-3=0，其根為r1=-1,r2=3，因此所求通解為y=C1ex+C2e3x4、求微分方程y“-5yˊ+6y=0的通解。

解：所給微分方程的特征方程為r2-5r+6=0,其根為r1=2,r2=3.因此所求通解為y=C1e2x+C2e3x。

5、求微分方程y”+2yˊ+y=0的通解。

-解：所給微分方程的特征方程為r2+2r+1=0,其根為r1=r2=-1.因此所求通解為y=(C1+C2x)ex.6、求微分方程y“-4yˊ+4y=0的通解。

解：所給微分方程的特征方程為r2-4r+4=0，其根為r1=r2=2，因此所求通解為y=(C1+C2x)e2x.7、求微分方程y”-2 yˊ+5 y=0的通解。

解：所給方程的特征方程為r2-2r+5=0，其根為r?

因此所求通解為y=ex(C1cos2x+C2sin2x)

8、求微分方程y"-4 yˊ+5 y=0的通解。

解：所給方程的特征方程為r2-2r+5=0,其根為r?

因此所求通解為y=e2x(C1cosx+C2sinx).?1?2i ?2?i

第四篇：第四章 微分方程講稿

高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

第四章

微分方程

§4? 1 微分方程的基本概念

導(dǎo)入：(8分鐘)函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映? 利用函數(shù)關(guān)系又可以對(duì)客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究? 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 在實(shí)踐中具有重要意義? 在許多問(wèn)題中? 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 但是根據(jù)問(wèn)題所提供的情況? 有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式? 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對(duì)它進(jìn)行研究? 找出未知函數(shù)來(lái)? 這就是解微分方程?

引例 一曲線通過(guò)點(diǎn)(1? 2)? 且在該曲線上任一點(diǎn)M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?

解 設(shè)所求曲線的方程為y?y(x)? 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義? 可知未知函數(shù)y?y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式(稱為微分方程)

dy?2x?

(1)

dx此外? 未知函數(shù)y?y(x)還應(yīng)滿足下列條件?

x?1時(shí)? y?2? 簡(jiǎn)記為y|x?1?2?

(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)

y?2xdx? 即y?x2?C?

(3)其中C是任意常數(shù)?

把條件“x?1時(shí)? y?2”代入(3)式? 得

2?12?C?

由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?

y?x2?1?

幾個(gè)概念?

微分方程? 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程? 叫微分方程?

常微分方程? 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程? 叫常微分方程?

偏微分方程? 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程? 叫偏微分方程?

微分方程的階? 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)? 叫微分方程的階?

x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?

y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?

y(n)?1?0?

一般n階微分方程?

F(x? y? y??

? ? ? ? y(n))?0?

y(n)?f(x? y? y??

? ? ? ? y(n?1))? ? 高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

微分方程的解? 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說(shuō)? 設(shè)函數(shù)y??(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 如果在區(qū)間I上?

F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?

那么函數(shù)y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區(qū)間I上的解?

通解? 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)? 且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?

初始條件? 用于確定通解中任意常數(shù)的條件? 稱為初始條件? 如

x?x0 時(shí)? y?y0 ? y?? y?0 ?

一般寫成

??

yx?x0?y0? y?x?x0?y0

特解? 確定了通解中的任意常數(shù)以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數(shù)的解?

初值問(wèn)題? 求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題稱為初值問(wèn)題?

如求微分方程y??f(x?

y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問(wèn)題? 記為

?y??f(x,y)

?? yx?x0?y0?

積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?

§4? 2 一階微分方程

導(dǎo)入：（8分鐘）1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得

y?x2?C?

一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數(shù))?

2? 求微分方程y??2xy2 的通解?

因?yàn)閥是未知的? 所以積分2xy2dx無(wú)法進(jìn)行? 方程兩邊直接積分不能求出通解?

??

為求通解可將方程變?yōu)?/p>

1dy?2xdx? 兩邊積分? 得

y ??x2?C? 或y??可以驗(yàn)證函數(shù)y??1y1?

x2?C1是原方程的通解?

x2?C

g(y)dy?f(x)dx

一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成

形式? 則兩邊積分可得一個(gè)不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程

G(y)?F(x)?C?

由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解 高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

對(duì)稱形式的一階微分方程?

一階微分方程有時(shí)也寫成如下對(duì)稱形式?

P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對(duì)稱的?

若把x看作自變量、y看作未知函數(shù)? 則當(dāng)Q(x,y)?0時(shí)? 有

dyP(x,y)???

dxQ(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數(shù)? 則當(dāng)P(x,y)?0時(shí)? 有

一、可分離變量的微分方程?

如果一個(gè)一階微分方程能寫成

g(y)dy?f(x)dx(或?qū)懗蓎???(x)?(y))的形式? 就是說(shuō)? 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy? 另一端只含x的函數(shù)和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?

討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?

是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?

是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?

不是?

(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?

是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??dx??Q(x,y)?

dyP(x,y)x?y?

不是? yx

可分離變量的微分方程的解法?

第一步

分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式?

第二步

兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設(shè)積分后得G(y)?F(x)?C?

第三步

求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解?

例1 求微分方程??dy?2xy的通解?

dx

解

此方程為可分離變量方程? 分離變量后得

1dy?2xdx?

y兩邊積分得

1dy?2xdx?

?y?3 高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

即

ln|y|?x2?C1?

從而

y??ex2?C1??eC1ex?

2因?yàn)?eC1仍是任意常數(shù)? 把它記作C? 便得所給方程的通解

y?Cex?

例2 鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時(shí)鈾的含量為M0? 求在衰變過(guò)程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律?

解 鈾的衰變速度就是M(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)

2dM?

dt

由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程

dM???M?

dtdM?0?

dt其中?(?>0)是常數(shù)? ?前的曲面號(hào)表示當(dāng)t增加時(shí)M單調(diào)減少? 即由題意? 初始條件為

M|t?0?M0?

將方程分離變量得

兩邊積分? 得

dM???dt?

MdM?(??)dt?

?M?即lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?

由初始條件? 得M0?Ce0?C?

所以鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律M?M0e??t ?

例3 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)速度為零? 求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系?

解

設(shè)降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數(shù))? 根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律F?ma? 得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為

m初始條件為

v|t?0?0?

方程分離變量? 得

兩邊積分? 得

dv?mg?kv?

dtdv?dt?

mg?kvmdv?dt?

?mg?kv?m 高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

?ln(mg?kv)??kC1?ktmgem?Ce(C??即v?)?

kk1kt?C?

m1將初始條件v|t?0?0代入通解得C??mg?

k?ktmg(1?em)?

于是降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為v?k

例4 求微分方程

解 方程可化為 dy?1?x?y2?xy2的通解?

dx

dy?(1?x)(1?y2)?

dx1dy?(1?x)dx?

1?y2分離變量得

兩邊積分得

1dy?(1?x)dx1x2?x?C?

? 即arctany??1?y2?2于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?

例5 有高為1m的半球形容器? 水從它的底部小孔流出? 小孔橫截面面積為1cm2? 開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水? 求水從小孔流出過(guò)程中容器里水面高度h隨時(shí)間t變化的規(guī)律?

解 由水力學(xué)知道? 水從孔口流出的流量Q可用下列公式計(jì)算?

Q?12dV?0.62S2gh?

dt其中0? 62為流量系數(shù)? S為孔口橫截面面積? g為重力加速度? 現(xiàn)在孔口橫截面面積S?1cm2? 故

dV?0.622gh? 或dV?0.622ghdt?

dt

dV???r2dh?

另一方面? 設(shè)在微小時(shí)間間隔[t? t?dt]內(nèi)? 水面高度由h降至h?dh(dh?0)? 則又可得到

其中r是時(shí)刻t的水面半徑? 右端置負(fù)號(hào)是由于dh?0而dV?0的緣故? 又因

r?1002?(100?h)2?200h?h2?

所以

dV???(200h?h2)dh?

通過(guò)比較得到

0.622ghdt???(200h?h2)dh? 高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

這就是未知函數(shù)h?h(t)應(yīng)滿足的微分方程?

此外? 開始時(shí)容器內(nèi)的水是滿的? 所以未知函數(shù)h?h(t)還應(yīng)滿足下列初始條件?

h|t?0?100?

將方程0.622ghdt???(200h?h2)dh分離變量后得

dt??兩端積分? 得

t??35?0.622g13(200h2?h2)dh?

0.622g??13(200h2?h2)dh?

即 t??(400h2?2h2)?C?

50.622g3其中C是任意常數(shù)?

由初始條件得

t??(400?1002?2?1002)?C?

50.622gC???35?(400000?200000)??14?105?

350.622g0.622g15

?因此t??0.622g(7?1053532?10h?3h2)?

上式表達(dá)了水從小孔流出的過(guò)程中容器內(nèi)水面高度h與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系? 二、一階線性微分方程

方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?

dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程?

dxx?2dx如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?

方程

提問(wèn)：下列方程各是什么類型方程？

(1)(x?2)

(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?

(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?

(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx6 高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

3(y?1)2dydy3dxx?0或?

(5)(y?1)? 不是線性方程? ?x?0??32dydxx(y?1)dx21、齊次線性方程的解法?

齊次線性方程dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dx

dy??P(x)dx?

y兩邊積分? 得

ln|y|??P(x)dx?C1?

?P(x)dx(C??eC1)?

或

y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）?

例6 求方程(x?2)dy?y的通解?

dxdydx??

yx?

2解

這是齊次線性方程? 分離變量得

兩邊積分得

ln|y|?ln|x?2|?lnC?

方程的通解為

y?C(x?2)?

非齊次線性方程的解法?

將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x)? 把

?P(x)dx

y?u(x)e?

設(shè)想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得

?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?

u?(x)e?化簡(jiǎn)得u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?

u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?

于是非齊次線性方程的通解為

?P(x)dxP(x)dx

y?e?[Q(x)e?dx?C]?

??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或

y?Ce??e?Q(x)e?dx?

? 高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和?

5dy2y??(x?1)2的通解?

例7 求方程dxx?

1解

這是一個(gè)非齊次線性方程?

先求對(duì)應(yīng)的齊次線性方程分離變量得

兩邊積分得

ln y?2ln(x?1)?ln C?

齊次線性方程的通解為

y?C(x?1)2?

用常數(shù)變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得

dy2y??0的通解?

dxx?1dy2dx??

yx?12u?(x?1)2?(x?1)2

u??(x?1)?2u?(x?1)?x?12

5兩邊積分? 得

1u??(x?1)2? u?(x?1)2?C?

3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為

y?(x?1)[(x?1)2?C]?

3例8 有一個(gè)電路如圖所示? 其中電源電動(dòng)勢(shì)為E?Emsin?t(Em、?都是常數(shù))? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?

解

由電學(xué)知道? 當(dāng)電流變化時(shí)? L上有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?L

E?L即

di? 由回路電壓定律得出 dtdi?iR?0?

dtdi?Ri?E?

dtLL

把E?Emsin? t代入上式? 得

初始條件為

di?Ri?Emsin? t?

dtLL8 高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

i|t?0?0?

方程di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中 dtLLER

P(t)?? Q(t)?msin? t?

LL?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C)

LRR由通解公式? 得

i(t)?e??P(t)dtRttEm?ReL(?sin?teLdt?C)

?L?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?

?222R??L其中C為任意常數(shù)?

將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數(shù)i(t)為

t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?

i(t)?2R??2L2R2??2L2? LEm?

R2??2L2總結(jié)：

1、微分方程的相關(guān)概念

a、微分方程的階

b、微分方程的通解與特解

2、可分離變量的微分方程

a、可分離變量的微分方程

b、可轉(zhuǎn)化為可分離變量的微分方程

3、一階線性微分方程

a、一階線性齊次微分方程

b、一階線性非齊次微分方程

c、常數(shù)變易法 教學(xué)后記：高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

作業(yè)：

第五篇：微分方程傳遞函數(shù)的定義

求解微分方程可求出系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，但如果方程階次較高，則計(jì)算非常繁瑣，因此對(duì)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)分析不便，所以應(yīng)用傳遞函數(shù)將實(shí)數(shù)中的微分運(yùn)算變成復(fù)數(shù)中的代數(shù)運(yùn)算，可使問(wèn)題分析大大簡(jiǎn)化。

一、傳遞函數(shù)的概念及意義

（1）傳遞函數(shù)的定義：

線性系統(tǒng)在零初始條件下，輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換之比。

線性定常系統(tǒng)微分方程的一般表達(dá)式:

其中 xc 為系統(tǒng)輸出量，xr 為系統(tǒng)輸入量

在初始情況為零時(shí)，兩端取拉氏變換：

移項(xiàng)后得：

上式中Xc(s)輸出量的拉氏變換；Xr(s)輸入量的 拉氏變換； W(s)為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)。

（2）傳遞函數(shù)的兩種表達(dá)形式

a.傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)表示形式

b.傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)表示形式

（3）關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明

a.傳遞函數(shù)的概念只適應(yīng)于線性定常系統(tǒng)。

b.傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身的特性參數(shù)有關(guān)，而與輸入量變化無(wú)關(guān)。c.傳遞函數(shù)不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

d.傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式階次低于或至多等于分母多項(xiàng)式的階次。

二、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其暫態(tài)特性

無(wú)論什么樣的系統(tǒng)，它的傳遞函數(shù)都是一些基本因子相乘積而得到的。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)。把復(fù)雜的物理系統(tǒng)劃分為若干個(gè)典型環(huán)節(jié)，利用傳遞函數(shù)和框圖來(lái)進(jìn)行研究，這是研究系統(tǒng)的一種重要方法。

（1）比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)/無(wú)慣性環(huán)節(jié)）

特點(diǎn)：輸入量與輸出量的關(guān)系為一種固定的比例關(guān)系（見下圖）。

（2）慣性環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：只包含一個(gè)儲(chǔ)能元件，使其輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時(shí)間上的延遲（見下圖）。

（3）積分環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：輸出量隨時(shí)間成正比地?zé)o限增加（見下圖）。

(4）振蕩環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：振蕩的程度與阻尼系數(shù)有關(guān)（見下圖）。

（5）微分環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：是積分環(huán)節(jié)的逆運(yùn)算，其輸出量反映了輸入信號(hào)的變化趁勢(shì)（見下圖）。

實(shí)踐中，理想的微分環(huán)節(jié)難以實(shí)現(xiàn)。

（6）延遲環(huán)節(jié)（時(shí)滯環(huán)節(jié)、滯后環(huán)節(jié)）

特點(diǎn)：輸出信號(hào)經(jīng)過(guò)一段延遲時(shí)間τ后，可完全復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)（見下圖）。