第一篇：數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案

課題：數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例

一、教學(xué)要求：

（1）了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)；

（2）理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問題的格式書寫.二、基礎(chǔ)梳理：

1.什么叫數(shù)學(xué)歸納法？

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：

總結(jié)：

三、例題

類型一 證明等式

例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明

分析 1?4?2?7?3?10???n(3n?1)?n(n?1)

21）第一步應(yīng)做什么？此時n0=，左，2)當(dāng)n=k時，等式左邊共有項(xiàng)，第k項(xiàng)是。

假設(shè)n=k時命題成立，即________________________________

3）當(dāng)n=k+1時，命題的形式是

4）此時，左邊增加的項(xiàng)是

5)從左到右如何變形？證明：

變式訓(xùn)練

1、用數(shù)學(xué)歸納法證:

11113?????n?1n?22n2

4(n≥2,n∈N)過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時，不等式左邊的變化是（）：

1(A)?;2(k?1)11(B)??;2k?12k?2111(D)???.2k?12k?2k?1 11(C)??;2k?2k?

12、用數(shù)學(xué)歸納法證:

11111??????nn2342?

1(n≥2,n∈N)過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時，左式所需添加的項(xiàng)數(shù)為（）：

2項(xiàng) Ａ.１項(xiàng)Ｂ.kk2Ｃ.項(xiàng)Ｄ.2?1項(xiàng)

k?1

類型二 證明整除問題

例2證明：n2?5n(n?N?)能被6整除

分析：這是一個與整除有關(guān)的命題，它涉及全體正整數(shù)，若用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步應(yīng)證n?1時命題成立；第二步應(yīng)明確目標(biāo)，即在假設(shè)k3?5k能夠被6整除的前提下，證明（k?1)?5(k?1)也能夠被6整除

證明：

變式訓(xùn)練:用數(shù)學(xué)歸納法證明:An?5?2?3?1(n?N)能被8整除.類型三 證明不等式問題 nn?1*

例3:用數(shù)學(xué)歸納法證明:

11113?????(n?2,n?N*).n?1n?22n2

4分析： 此題關(guān)鍵在于從n=k到n=k+1不等式左端的變化

證明：

變式訓(xùn)練

求證: 1?1111?????2?(n?N,n?2).22223nn

四、小結(jié) ：

1、數(shù)學(xué)歸納法有哪些應(yīng)用？

2、第二步中從n=k到n=k+1應(yīng)注意哪些問題，有哪些技巧方法？

五、課后作業(yè)：

（一）、必做題

1、用數(shù)學(xué)歸納法證明下式

111111111???????????? 2342n?12nn?1n?22n

(1)當(dāng)n=1時,左邊有_____項(xiàng),右邊有_____項(xiàng)；

(2)當(dāng)n=k時,左邊有_____項(xiàng),右邊有_____項(xiàng)；

(3)當(dāng)n=k+1時,左邊有_____項(xiàng),右邊有_____項(xiàng)；

(4)等式的左右兩邊,由n=k到n=k+1時有什么不同?

左邊增加兩項(xiàng):_____________

右邊增加兩項(xiàng):__________,減少一項(xiàng):________

2、用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明4?

3（其中n∈N*）

3、用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)

（二）、選做題

1、用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n為正偶數(shù)時x, ?y能被x+y整除.2、平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點(diǎn),證明交點(diǎn)的個數(shù)f(n)=n(n-1)/2.nnn?2能被13整除，n?5時，2?nn2

第二篇：2013-2014學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊 1.2.3 公式法導(dǎo)學(xué)案

1·2·3公式法(2)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、熟練運(yùn)用求根公式解一元二次方程。

2、運(yùn)用根的判別式判斷一元二次方程根的情況。

學(xué)習(xí)過程：

一、快樂自學(xué)：

1、自學(xué)教材P17-P18，關(guān)注b2－4ac的大小與方程根的情況的關(guān)系。

2、自學(xué)檢測：(1)解方程：

①x2-4x+3=0② x2-4x+4=0③x2-4x+5=0

(2)上面三個方程：方程①的解的情況為，方程②的解的情況為，方程③的解的情況是。

（3）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的跟的情況為：

①當(dāng)﹥0時，②當(dāng)﹤0時，③當(dāng)=0時，（4）不解方程,判斷下列方程根的情況：

①2x2-3x-5=0② 9x2=30x-25③ x2+6x+10=0

解a=b=c=∵b2-4ac=

∴方程。

解 a=b=c=∵b2-4ac=

∴方程。

解 a=b=c=∵b2-4ac=

∴方程。

三、合作探究：

當(dāng)k為何值時方程x2-kx+4=0有兩個相等實(shí)數(shù)根，并求此時方程的根。

四、課堂小結(jié)

五、當(dāng)堂檢測：

1、不解方程判斷下列方程根的情況

①x2+9x=0②4y+2y2+3=02、判斷關(guān)于x的方程mx2+(2m+1)x+（m+1）=0的根的情況。

第三篇：2013-2014學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊 1.2.3 公式法導(dǎo)學(xué)案

1·2·3公式法（1）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

運(yùn)用求根公式解一元二次方程。

學(xué)習(xí)過程：

一、課前熱身：

方程x2－2x=1化為一般形式為，a=，b=，c=。b2－4ac=。

二、快樂自學(xué)：

1、自學(xué)P15-P17的內(nèi)容。重點(diǎn)掌握求根公式的推導(dǎo)過程。

2、把一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的二次項(xiàng)系數(shù)化為1得，把方程左邊配方得

即為。

把方程左邊因式分解得

由此得出或

解得，3、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）當(dāng)b2－4ac≧0時，此方程的根為。

三、合作探究：

解方程（1）x2+ 2x-4=0（2）5x2=2x +

1(1)解 a=b=c=(2)解

b2－4ac=

因此x=

從而 x =, x=

四、課堂小結(jié)：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的求根公式是。

五、當(dāng)堂檢測：

A組題

1、解方程 x2-x-5=02、x為何值時，3x2-7的值與x-3的值相等？

B組題

3、已知一個矩形的長比寬多3㎝，其面積為18㎝2，則矩形的周長為多少？

第四篇：數(shù)學(xué)放縮法

放縮法的常見技巧（1）舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng)

（2）在分式中放大或縮小分子或分母。（3）應(yīng)用基本不等式放縮(例如均值不等式）。（4）應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行放縮（5）根據(jù)題目條件進(jìn)行放縮。（6）構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)行放縮。（7）構(gòu)造裂項(xiàng)條件進(jìn)行放縮。

（8）利用函數(shù)切線、割線逼近進(jìn)行放縮。

使用放縮法的注意事項(xiàng)（1）放縮的方向要一致。（2）放與縮要適度。

（3）很多時候只對數(shù)列的一部分進(jìn)行放縮法，保留一些項(xiàng)不變（多為前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng)）。（4）用放縮法證明極其簡單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強(qiáng)，稍有不慎，則會出現(xiàn)放縮失當(dāng)?shù)默F(xiàn)象。所以對放縮法，只需要了解，不宜深入。

先介紹工具

柯西不等式（可以通過向量表示形式記住即摸摸大于向量乘積）

均值不等式

調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù)

絕對值三角不等式

定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推論1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性質(zhì)可推廣為|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推論2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時，等號成立．

常用放縮思想

這幾個務(wù)必牢記

不常見不常用的不等式

這幾個一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂項(xiàng)部分

當(dāng)年apucng與V_First研究的題

二項(xiàng)平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0

第五篇：因式分解公式法(導(dǎo)學(xué)案)

因式分解(二)(導(dǎo)學(xué)案)（公式法因式分解）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、會用公式法進(jìn)行因式分解。

2、了解因式分解的步驟。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：會用公式法進(jìn)行因式分解。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：熟練應(yīng)用公式法進(jìn)行因式分解。學(xué)習(xí)過程

一、提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

探討新知：(a?b)(a?b)?

(a?b)2

?把這兩個公式反過來，就得到：

（1）（2）把它們當(dāng)做公式，就可以把某些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，這種因式分解的方法叫做公式法。

二、深入研究，合作創(chuàng)新

例

1、因式分解：4x2

?25例

2、因式分解：x2

?6ax?9a2

自主練習(xí)，小組交流：

216a2?9b2

81x4?y

m2?mn?1

n2239

?x2?4y?4xy

??

?

?

三、小組合作，應(yīng)用新知 1.辨析運(yùn)用

（1）下列多項(xiàng)式能否平方差公式進(jìn)行因式分解的是

①4x2+9y2②81x4-y4③-16x2+y2④-x2-y2⑤a2+2ab+b2

歸納：可運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解的多項(xiàng)式特點(diǎn)是：①恰好兩項(xiàng) ②一項(xiàng)正，一項(xiàng)負(fù)③可化為的形式。2.下列各多項(xiàng)式能否運(yùn)用完全平方公式分解因式？

①-2xy+x2+y

2②

②-x2+4xy-4y

2③

③a2

+2ab+4b2

④a2

+a+1

4歸納：完全平方式的特征是：①三項(xiàng) ②兩平方項(xiàng)同號 ③另一項(xiàng)可化為的形式。3.因式分解：

1、a2b2?0.25c22、9(a?b)2?6(b?a)?

13、a4x2?4a2x2y?4x2y24、(x?y)2?12(x?y)z?36z25、(x?2y)2?(x?2y)2

6計算：992+198+17.982-2

2四、課堂反饋，強(qiáng)化練習(xí)

1、因式分解：

（1）(3a?2b)2

?(2a?3b)2

（2）(m2

?n2

?1)2

?4m2

n2

（3）(x2

?4x)2

?8(x2

?4x)?16

1(x2

?2y2)2?2(x2?2y2)y2?2y4

（4）2（5）（x2+x+1）2-1(6)36(x+y)2-49(x-y)

2(7)(x-1)+b2(1-x)（8）3a2(2a+b)2-27a2b2(9)(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2

(10)(x+y)(x-1)-xy-y2(11)(x+2)(x+4)+x2-4(12)2m3-8m2、多項(xiàng)式4x2

?x加上一個怎樣的單項(xiàng)式，就成為一個完全平方式？多項(xiàng)式0.25x2

?1呢？

3.已知a,b,c,是三角形ABC的三邊長，試判斷b2

+c2

-a2

+2ab的正負(fù)。

4.若a2b2

+a2

+b2

+1-2ab=2ab，求a+b的值。

5.已知a,b是有理數(shù)，試說明a2

+b2

-2a-4b+8的值是正數(shù)。