第一篇：數(shù)學選修4-5學案 §2.1.2不等式的證明

§2.1.2不等式的證明(2)綜合法與分析法學案姓名☆學習目標： 1.理解并掌握綜合法與分析法;

2.?知識情景：

1.基本不等式：

10.如果a,b?R, 那么a?b?2ab.當且僅當a?b時, 等號成立.a?b?20.如果a,b?R,那么?.當且僅當a?b時, 等號成立.22

230.如果a,b,c?R,那么?a?b?c

3?, 當且僅當a?b?c時, 等號成立.a?b2?2.均值不等式：如果a,b?R,那么

2aba?b

???常用推論：10.a2?0;a?0;a?

20.3.1a?2(a?0);abab??baca?2(ab?0);?bc?0(a,b,c?R?).3.不等式證明的基本方法：10.作差法與作商法(兩正數(shù)時)．20.綜合法和分析法．3.反證法、換元法、放縮法 0

☆案例學習：

綜合法：從①已知條件、②不等式的性質(zhì)、③基本不等式等出發(fā),通過邏輯推理, 推導出所要證明的結論.這種證明方法叫做綜合法.又叫由導法.用綜合法證明不等式的邏輯關系：A?B1?B2???Bn?B 例1 已知a,b,c?0,且不全相等,求證:a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

例2 已知a1,a2,?,an?R?,且a1a2?an?1,求證:(1?a1)(1?a2)?(1?an)?2n

分析法：從要證的結論出發(fā), 逐步尋求使它成立的充分條件, 直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法.這是一種執(zhí)索的思考和證明方法.B?B1?B2????Bn?A用分析法證明不等式的邏輯關系： 結(步步尋求不等式已

論成立的充分條件)知

例3求證 ?

a2b2?b2c2?c2a

2例4已知a,b,c?0,求證:?abc

a?b?c

例5 證明：(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2.§2.1.2不等式的證明(2)練習姓名

1、已知x?0,y?0,x?y,求證

2、已知a?b?0, 求證a?b?a?.?1?12233333、已知a?0,b?0.求證：（1）(a?b)(a?b)?4.（2）(a?b)(a?b)(a?b)?8ab.1x?1y?4x?y.4、已知a,b,c,d都是正數(shù)。求證：

（1）

a?b?c?d2?ab?cd;（2）a?b?c?d4?abcd.5、已知a,b,c都是互不相等的正數(shù)，求證(a?b?c)(ab?bc?ca)?9abc.a,b,c是互不相等的正數(shù)，且abc?1.求證:(1?a?b)(1?b?c)(1?c?a)?27．已知a，b，m都是正數(shù)，并且a?b.分別用綜合法與分析法求證:a?m

b?m?a

b.．

8設a?0,b?0，分別用綜合法與分析法求證: a3?b3?a2b?ab2.9（1）已知a,b是正常數(shù),a?b,x,y?(0,??),求證：a

件；（2）利用（1）的結論求函數(shù)f(x)?2?

值．

9(a?b)2,指出等號成立的條 ??xyx?y2b2x1?2x(x?(0,1))的最小值，指出取最小值時x的 2

第二篇：選修4-5學案§2.1.2不等式的證明綜合法...

高二數(shù)學學案選修4-5第二講

§2.1.2綜合法與分析法——問題導讀

設計：趙連強審核：賈勝如

☆學習目標：1.理解并掌握綜合法與分析法;

2.會利用綜合法和分析法證明不等式

?知識情景：

1.基本不等式：

0221.如果a,b?R, 那么a?b?2ab.當且僅當a?b時, 等號成立.2.如果a,b?R?,那么0

3.如果a,b,c?R0?a?b?c?,那么3a?b?當且僅當a?b時, 等號成立.2, 當且僅當a?b?c時, 等號成立.2.均值不等式：如果a,b?R?,那么

2aba?b的大小關系是： a?b

22???常用推論：1.a?0;a?0;a?

2.1?2(a?0);aab??2(ab?0);ba

acb?3.???(a,b,c?R).bac

3.不等式證明的基本方法：1.比差法與比商法(兩正數(shù)時)．

2.綜合法和分析法．

3.反證法、換元法、放縮法

☆案例學習：

綜合法：從①已知條件、②不等式的性質(zhì)、③基本不等式等出發(fā),通過邏輯推理, 推導出所要證明的結論.這種證明方法叫做綜合法.又叫由導法.用綜合法證明不等式的邏輯關系：A?B1?B2???Bn?B 證明不等式的基本方法——綜合法和分析法 1 00 0

導讀檢測

1、已知x?0,y?0,x?y,求證1

1x?y?

4x?y.2、已知a?b?0, 求證a?b?a?.例題講解

例1 已知a,b,c?0,且不全相等,求證:a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

例2 已知a1,a2,?,an?R?,且a1a2?an?1,求證:(1?a1)(1?a2)?(1?an

n)?2

B?B1?B2????Bn?A

用分析法證明不等式的邏輯關系： 結(步步尋求不等式已

論成立的充分條件)知

課堂檢測

1.求證?

2.已知a,b,c?0,求證:a2b2?b2c2?c2a2

a?b?c?abc

3.證明：(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2.4.設a?0,b?0，分別用綜合法與分析法求證: a3?b3?a2b?ab2.綜合法與分析法——問題解決

1．已知x?0,y?0,x?y,求證114??.xyx?y

2．a(chǎn),b,c是互不相等的正數(shù)，且abc?1.求證:(1?a?b)(1?b?c)(1?c?a)?27．

3.已知a?0,b?0.求證：（1）(a?b)(a?b)?4.（2）(a?b)(a?b)(a?b)?8ab.4．已知a,b,c,d都是正數(shù)。求證：

（1）

?1?1223333a?b?c?da?b?c?d?ab?cd;（2）?abcd.24

第三篇：數(shù)學選修4-5學案 §2.1.3不等式的證明

§2.1.3不等式的的證明(3)學案姓名☆學習目標： 1.理解并掌握反證法、換元法與放縮法;

2.?知識情景：

1.不等式證明的基本方法：10.比差法與比商法(兩正數(shù)時)．

20.綜合法和分析法．

30.反證法、換元法、放縮法

2.綜合法：從①已知條件、②不等式的性質(zhì)、③基本不等式等出發(fā),通過邏輯推理, 推導出所要證明的結論.這種證明方法叫做綜合法.又叫由導法.用綜合法證明不等式的邏輯關系：A?B1?B2???Bn?B 3.分析法：從要證的結論出發(fā), 逐步尋求使它成立的充分條件, 直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法.這是一種執(zhí)索.B?B1?B2????Bn?A用分析法證明不等式的邏輯關系： 結(步步尋求不等式已

論成立的充分條件)知

?新知建構：

1.反證法：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：

第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；

第二步作出與所證不等式相反的假定；

第三步從條件和假定出發(fā)，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；

第四步斷定產(chǎn)生矛盾結果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立.例1已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0.2.換元法：一般由代數(shù)式的整體換元、三角換元，換元時要注意等價性.常用的換元有三角換元有： 1．已知x?y?a，可設，； 022

220．已知x2?y2?1，可設，0?r?1)； 22xy30．已知a2?b2?1，可設，.例2 設實數(shù)x,y滿足x2?(y?1)2?1，當x?y?c?0時，c的取值范圍是（）A.1,??)B.(??1]C.1,??)D.(??1] 例3 已知x2?y2?

1，求證：?y?ax?

3.放縮法：“放”和“縮”的方向與“放”和“縮”的量的大小

由題目分析、多次嘗試得出,要注意放縮的適度.a2?1?a，n(n?1)?n，0?a111 ?2?n(n?1)nn(n?1)?bm?0a?a?m

bb?m

④利用基本不等式，如：lg3?lg5?(⑤利用函數(shù)的單調(diào)性)2???lg4；

⑥利用函數(shù)的有界性：如：sinx≤1?x?R?；

⑦絕對值不等式：a?b≤a?

b≤a?b；

???

2n?k?N,k?

1?，*?2?k?N,k?1? * ⑨應用貝努利不等式：(1?x)?1?nx?n(n?1)2x???xn?1?nx.1?2

例4當 n > 2 時，求證：logn(n?1)?log(n?1)n

例5求證：1??

1111?????3.11?21?2?31?2?3???n

例6 若a, b, c, d?R+，求證：1?

abcd????2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c

§2.1.3不等式的證明(3)練習姓名

11、設二次函數(shù)f(x)?x2?px?q，求證：f(1),f(2),f(3)中至少有一個不小于.212、設0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時大于

43、已知a?b?0，求證：a?（n?N且n?1）.4、若x, y > 0，且x + y >2，則

1?y1?x和中至少有一個小于2。xy5、已知 1≤x2?y2≤2，求證：≤x2?xy?y2≤3

26、設f(x)?x2?x?13，x?a?1，求證：f(x)?f(a)?2?a?1?；

7、求證：?1?

8、求證

x?11? x2?x?13a?b1?a?b?a1?a?b1?b.9、設n為大于1的自然數(shù)，求證

11111??????.n?1n?2n?32n210、若n是自然數(shù)，求證

1111??????2.122232n

231111?1?2?????2?2?(n≥2)

11、求證：?2n?12nn12、求證：2?1??n?N? *

第四篇：高中數(shù)學選修4-5：42數(shù)學歸納法證明不等式 學案

4.2數(shù)學歸納法證明不等式

【學習目標】

1.會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式?1?x??1?nx?x??1,x?0,n?N??，了解當n n

為實數(shù)時貝努利不等式也成立

2.培養(yǎng)使用數(shù)學歸納法證明不等式的基本技能

【自主學習】

1.使用數(shù)學歸納法獨立完成貝努利不等式?1?x??1?nx?x??1,x?0,n?N??的證n

明

2.自我感悟什么樣的不等式易于用數(shù)學歸納法證明？

3.用數(shù)學歸納法證明不等式時要使用歸納假設進行放縮，如何放縮才能奏效，要積累經(jīng)驗，特別是出現(xiàn)二次式時要注意留心總結.4．對于兩個數(shù)的大小的探究要提高警惕，一般探究要比較的豐富，才利于做出正確的猜測.【自主檢測】

1.用數(shù)學歸納法證明1???

1213?1*?nn?N,n?1?時，由n=k（k>1）時不等?2n?1

式成立，推證n=k+1時，左邊應增加的項數(shù)是（）

A.2k?1B.2k?1C.2kD.2k?1

2.用數(shù)學歸納法證明11??n?1n?2?111??n?N*?時，由n=k到n=k+1時，不n?n2

4等式左邊應添加的項是＿＿＿＿

3.當n=1，2，3，4，5，6

時，比較2n與n2后，你提出的猜想是＿＿＿＿

【典型例題】

1??1??1?例1.用數(shù)學歸納法證明：?n?N?,n?1? ?1???1???1???352n?1??????

例2.設數(shù)列?an?滿足an?1?an2?nan?1?n?N*?

?1?.a1?2時，求a2,a3,a4并由此猜想?an?的一個通項公式

?2?a1?3時，證明對所有n?1有1an?n?2

2例3.已知函數(shù)g?x??x2?2x?x?1?,f?x???a?b??ax?bx，其中a、b?R,a?1,b?1,a?b,ab?4對于任意的正整數(shù)n，指出f?n?與g?2n?的大小關系，并證明之

x11 +?1?a11?a2?11? 1?an

2【課堂檢測】

1.設n為正整數(shù)，f?n??1?????n?N??，計算知11231n

357f?2??,f?4??2,f?8??,f?16??3,f?32??，據(jù)此可以猜測得出一般性結論為()222

2n?1n?2n?2 A.f?2n??B.f?n2??C.f?2n??D.以上都不對 222

n0為驗證的第一個值，2.欲用數(shù)學歸納法證明對于足夠大的正整數(shù)n，總有2n?n3，則()A.n0?1B.n0為大于1小于10的某個整數(shù)C.n0?10D.n0?2

3.用數(shù)學歸納法證明1????11241127，n的起始值至少應取為?n?126

44.等比數(shù)列?an?的前n項和為Sn，已知對任意的正整數(shù)n，點?n,Sn?均在函數(shù)

y?bx?r(b?0,b?1，b、r均為常數(shù)）的圖像上.(1)求r的值

(2)當b=2時，記bn?2?log2an?1

??n?N*?，證明對所有正整數(shù)n，不等式 b1?1b2?1??b1b2bn?1? bn

【總結提升】

1.數(shù)學歸納法依然是證明與正整數(shù)有關的不等式行之有效的方法.但在證明遞推的依據(jù)是成立的時候常常需要放縮，故千萬要注意不等式的基本性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性的作用.2.數(shù)學歸納法證明不等式時有時不能直接進行，常需加強命題，為此難度就比較大，且加強又不易完成.如證明1?

為1?11??2232?11?2?223?15??n?N*,n?1?，就可以加強2n3152??n?N*,n?1?再用數(shù)學歸納法.?2n32n?1

3.不過關于n的不等式的證明不一定要用數(shù)學歸納法，有時使用函數(shù)的單調(diào)性就可以；放縮也是不可忽視的方法.

第五篇：數(shù)學歸納法證明不等式鞏固學案

數(shù)學歸納法證明不等式鞏固學案

1.用數(shù)學歸納法證明“111111?????≥,(n∈N+)”時，由n=k到n=k+1n?1n?2n?3n?n2

4時，不等式左邊應添加的項是（）A.1111111111??????B.C D.2k?12k?2k?1k?22(k?1)2k?12k?22k?12k?2k?

1111++…+1)時，第一步需證（）232n?1

1111A.1<2B.1+<2C.1++<2D.1+<2 223

31113.用數(shù)學歸納法證明“1+++…+n1)”時，由n=k（k>1）不等式成立，232?12.用數(shù)學歸納法證明1+

推證n=k+1時，左邊應增加的項數(shù)是（）

A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1

4.關于正整數(shù)n的不等式2n>n2成立的條件是（）

A.n∈N+B.n≥4C.n>4D.n=1或n>4

5、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,對任意n∈N,都使m整除f(n)，則最大的m為()

A.306、若不等式B.26C.36D.6 111m?????對大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的n?1n?22n2

4最大值為（）

A.12B.13C.14D.不存在7、設n為正整數(shù)，f(n)=1+111357++…+,計算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,觀23n222察上述結果，可推測出一般結論（）

2n?1n?2n?2B.f(n2)≥C.f(2n)≥D.以上都不對 22218、如果1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+a)(n+b)對一切正整數(shù)n都成立，4A.f(2n)>

a，b的值應該等于（）

A.a=1,b=3B.a=-1,b=1C.a=1,b=2D.a=2,b=

3an?bna?bn?()（A.，B.是非負實數(shù)，n∈N）時，假設n=k命題

9、用數(shù)學歸納法證明2

2成立之后，證明n=k+1命題也成立的關鍵是__________.10、用數(shù)學歸納法證明11111??????，假設n=k時，不等式成立之2222n?223(n?1)

15?(n?2,n?N?)3n6后，證明n=k+1時，應推證的目標不等式是_______________.11、求證：11??n?1n?2?

12、互不相等正數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，當n＞1,n∈N*，試證明：an+cn＞2bn.1113、已知，Sn?1???2

314.證明：對一切大于1的自然數(shù)n，不等式（1+

立.15.設數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=an+n?1??,n?N，證明：S2n?1?(n?2,n?N)2n1112n?1）（1+）…（1+）>成532n?121(n=1,2,3,…)求證：an>2n?1對一切正整數(shù)n成立.an

na?2x?a?216.設f(x)=是奇函數(shù)如果g(n)=(n∈N+)，比較f(n)與g(n)的大小（n∈N+).xn?12?

1n(n?1)(n?1)

2??2?2?3???n(n?1)?17.求證：(n∈N+)22

數(shù)學歸納法證明不等式拓展--數(shù)列、不等式中數(shù)學歸納法

1、已知數(shù)列{A.n}的各項都是正數(shù)，且滿足：A.0=1,A.n+1=1A.n(4-A.n),n∈N.證明：

2A.n

（2）為保護生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材量應不少于719a,如果b=a,972那么該地區(qū)今后會發(fā)生水土流失嗎？若會，需要經(jīng)過幾年？（取lg2=0.30）.3、已知數(shù)列{B.n}是等差數(shù)列，B.1=1,B.1+B.2+…+B.10=145.(1)求數(shù)列{B.n}的通項公式B.n;

(2)設數(shù)列{A.n}的通項A.n=logA.(1+1)(其中A.＞0且A.≠1)，記Sn是數(shù)列{A.n}的前n項和.bn

試比較Sn與

1logA.B.n+1的大小，并證明你的結論.34、已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145(n∈N+)

(1)求數(shù)列{bn}的通項.（2）設數(shù)列{an}的通項an=loga(1+1)(其中a>0且a≠1),記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，試比bn

較Sn與

1logabn+1的大小，并證明你的結論.35、已知函數(shù)f(x)=x?3(x≠-1).設數(shù)列{A.n}滿足A.1=1,A.n+1=f(A.n)，數(shù)列{B.n}滿足x?

1B.n=|A.n-3|,Sn=B.1+B.2+…+B.n(n∈N*).(?1)n

（1）用數(shù)學歸納法證明:B.n≤;2n?1

（2）證明:Sn<23.36、已知曲線Cn:x2?2nx?y2?0(n?1,2,)．從點P(?1,0)向曲線Cn引斜率kn(kn?0)的切線ln，切點為Pn(xn,yn)．

（1）求數(shù)列{xn}與{yn}的通項公式；（2）

證明：x1?x3?x5?

?x2n?1?xn.yn

x?3f(x)?(x??1), 設數(shù)列{a}滿足a?1,a?f(a)，7、已知函數(shù)n1n?1nx?

1{b

n}滿足bn?|an|,Sn?b1?b2??bn(n?N*)

（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明bn?（Ⅱ）證明Sn?.8、已知不等式2?3???n?2[log2n],其中n為大于2的整數(shù)，[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù).設數(shù)列{an}的各項為正，且滿足a1?b(b?0),an?

證明:an?

nan?1,n?2,3,4,? n?an?111112b,n?3,4,5,? 2?b[log2n]