第一篇：高數(shù)中的重要定理與公式及其證明(六)

在這里，沒有考不上的研究生。

高數(shù)中的重要定理與公式及其證明

（六）考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶Υ龜?shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。

現(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過程的公式定理總結(jié)如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，在復(fù)習(xí)的初期，先掌握這些證明過程是必要的。

7）二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與可微的關(guān)系

如果函數(shù)z?f(x,y)在點(x,y)可微，則函數(shù)在該點連續(xù)且兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在，并且?z??z?z?x??y?o?x?y 【點評】：學(xué)到多元函數(shù)時第一個困擾我們的就是多元函數(shù)的可微與可導(dǎo)不再等價，它們與連續(xù)性的關(guān)系也變得更為復(fù)雜了。下面希望能通過幾個定理與反例來將這個關(guān)系說清楚。

證明：

由可微的定義可知存在只與(x,y)有關(guān)而與?x,?y實數(shù)A,B使得?z?A?x?B?y?o

現(xiàn)證明A?在點(x,y)附近成立。?zf(x??x,y)?f(x,y)，由偏導(dǎo)數(shù)定義可知，這等價于證明A?

lim。?x?0?x?x

由于?z?A?x?B?y?o成立，因此f(x??x,y)?f(x,y)?A?x?o??x?

A?x?o??x?o??x?f(x??x,y)?f(x,y)?lim?A?lim則lim。?x?0?x?0?x?0?x?x?x

由高階無窮小的定義可知lim

也即A?o??x??x?x?0?0。因此，有A?lim?x?0f(x??x,y)?f(x,y)。?x?z。?x

跨考魔鬼集訓(xùn)營0

1在這里，沒有考不上的研究生。

同理，可證B??z。?y

證畢 注1：關(guān)于二元函數(shù)可微，偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的關(guān)系可以用下圖來表示：

也就是說：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)必然可微，可微的函數(shù)必然連續(xù)并且存在偏導(dǎo)數(shù)，但連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)存在這兩個概念本身是互不包含的（也就是說連續(xù)的函數(shù)不一定存在偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)也不一定連續(xù)）。注二：例如：

1）函數(shù)f(x,y)?x?y，在(0,0)連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在。

?xy22?x2?y2,x?y?02）又如函數(shù)f(x,y)??，在（0，0）處的偏導(dǎo)數(shù)是存在的。

?0,x2?y2?0?因為fx(0,0)?limx?0'f(x,0)?f(0,0)0?lim?0，同理我們可以得到fy'(0,0)?0 x?0xx?0

x212x22?,limf(x,y)?2? 而limf(x,y)?2x?yx?y2x225x5x?0x?0

也就說(x,y)沿不同路徑趨于(0,0)得到的極限值是不一樣的。因此二重極限(x,y)?(0,0)limf(x,y)不存在。進而可得到f(x,y)在(0,0)點處不連續(xù)。

注三：如果二元函數(shù)f(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在且偏導(dǎo)數(shù)作為二元函數(shù)是連續(xù)的，則該二元函數(shù)是可微的。這也是一個定理，證明過程不需要掌握，但定理的結(jié)論要熟記。

跨考魔鬼集訓(xùn)營02

第二篇：高數(shù)中的重要定理與公式及其證明(二)

在這里，沒有考不上的研究生。

高數(shù)中的重要定理與公式及其證明

（二）考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶Υ龜?shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。

現(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過程的公式定理總結(jié)如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，在復(fù)習(xí)的初期，先掌握這些證明過程是必要的。

6）定積分比較定理

如果在區(qū)間[a,b]上恒有f(x)?0，則有?f(x)dx?0 ab

推論：ⅰ如果在區(qū)間[a,b]上恒有f(x)?g(x)，則有?f(x)dx??g(x)dx；aabb

ⅱ設(shè)M和m是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值，則有：m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)ab

【點評】：定積分比較定理在解題時應(yīng)用比較廣，定積分中值定理也是它的推論。掌握其證明過程，對理解及應(yīng)用該定理很有幫助。具體的證明過程教材上有。

7）定積分中值定理

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一點?使得下式成立：

?b

af(x)dx?f(?)(b?a)

【點評】：微積分的兩大中值定理之一，定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的推論，在證明題中有重要的作用。考研真題中更是有直接用到該定理證明方法的題目，重要性不嚴(yán)而喻。具體證明過程見教材。

跨考魔鬼集訓(xùn)營01

在這里，沒有考不上的研究生。

8）變上限積分求導(dǎo)定理

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)?(x)??f(x)dx在[a,b]上ax

可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)是

dx'?(x)??f(x)dx?f(x),a?x?b dxa

設(shè)函數(shù)F(x)??u(x)

v(x)f(t)dt，則有F'(x)?f(u(x))u'(x)?f(v(x))v'(x)。

【點評】：不說了，考試直接就考過該定理的證明。具體證明過程見教材。

9）牛頓-萊布尼茲公式

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則有?f(x)dx?F(b)?F(a)，其中F(x)是ab

f(x)的原函數(shù)。

【點評】：微積分中最核心的定理，計算定積分的基礎(chǔ)，變上限積分求導(dǎo)定理的推論。具體證明過程見教材。

10）費馬引理：

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某領(lǐng)域U(x0)內(nèi)有定義，并且在x0處可導(dǎo)，如果對任意的x?U(x0)，有f(x0)?f(x)或f(x0)?f(x)，那么f'(x0)?0

【點評】：費馬引理是羅爾定理的基礎(chǔ)，其證明過程中用到了極限的保號性，是很重要的思想方法。具體證明過程見教材。

11）羅爾定理：

如果函數(shù)f(x)滿足

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)

（3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a)?f(b)

那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點?(a???b)，使得f'(?)?0。

【點評】：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脈相承的三大定理；它們從形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但實際上卻是相互蘊含，可以相互推導(dǎo)的。這幾個定理的證明方法也就是與中值有關(guān)的證明題主要的證明方法。中值定理的證明是高數(shù)中的難點，一定要多加注意。具體證明過

在這里，沒有考不上的研究生。

程見教材。

12）拉格朗日中值定理：

如果函數(shù)f(x)滿足

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)

那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點?(a???b)，使得f'(?)?

【點評】：同上。

13）柯西中值定理：

如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)

f'(?)f(b)?f(a)那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點?(a???b)，使得'。?g(?)g(b)?g(a)f(b)?f(a)。b?a

【點評】：同上。

第三篇：2012年考研數(shù)學(xué)：高數(shù)中的重要定理與公式及其證明(一)

高數(shù)中的重要定理與公式及其證明

（一）文章來源：跨考教育

考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶Υ龜?shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。

現(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過程的公式定理總結(jié)如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，在復(fù)習(xí)的初期，先掌握這些證明過程是必要的。

1）常用的極限

lim

ln(1?x)

x

?1，lim

e?1x

x

x?0x?0

?1，lim

a?1x

x

x?0

?lna，lim

(1?x)?1

x

a

x?0

lim?a，1?cosx

x

x?0

?

【點評】：這幾個公式大家在計算極限的過程中都再熟悉不過了，但有沒有人想

過它們的由來呢？事實上，這幾個公式都是兩個重要極限lim(1?x)x?e與

x?0

lim

sinxx

x?0

?1的推論，它們的推導(dǎo)過程中也蘊含了計算極限中一些很基本的方法技

巧。證明：

lim

ln(1?x)

x

x?0

?1：由極限lim(1?x)x?e兩邊同時取對數(shù)即得lim

x?0

ln(1?x)

x

x?0

?1。

lim

e?1x

x

x?0

?1：在等式lim

ln(1?x)

x

x?0

?1中，令ln(1?x)?t

te?1

t，則x?et?1。由于極限

過程是x?0，此時也有t?0，因此有l(wèi)im

t?0

?1。極限的值與取極限的符號

是無關(guān)的，因此我們可以吧式中的t換成x，再取倒數(shù)即得lim

lim

a?1xe

x

e?1x

x

x?0

?1。

x?0

?lna：利用對數(shù)恒等式得lim

a?1x

x

x?0

?lim

e

xlna

?1

x?0

x

x，再利用第二個極限可

xlna

得lim

?1

x?0

x

?lnalim

e

xlna

?1

x?0

xlna

?lna。因此有l(wèi)im

a?1x

x?0

?lna。

lim

(1?x)?1

x(1?x)?1

x

a

a

x?0

?a：利用對數(shù)恒等式得

lim

x?0

?lim

e

aln(1?x)

?1

x?0

x

?alim

e

aln(1?x)

?1ln(1?x)

x

x?0

aln(1?x)

?alim

e

aln(1?x)

?1

x?0

aln(1?x)

lim

ln(1?x)

x

x?0

?a

上式中同時用到了第一個和第二個極限。

x?

2sinsin

1?cosx1?cosx1?1lim?lim?lim：利用倍角公式得lim??222

x?0x?0x?0x2xx2x?0?x

?2

x

??1??

2??。

2）導(dǎo)數(shù)與微分的四則運算法則

(u?v)?u?v,d(u?v)?du?dv(uv)?uv?uv,d(uv)?vdu?udv()?

vu

''

'

'

'

'

'

vu?uvv

''

uvdu?udv,d()?(v?0)2

vv

【點評】：這幾個求導(dǎo)公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導(dǎo)數(shù)的定義。

而導(dǎo)數(shù)的證明也恰恰是很多考生的薄弱點，通過這幾個公式可以強化相關(guān)的概念，避免到復(fù)習(xí)后期成為自己的知識漏洞。具體的證明過程教材上有，這里就不贅述了。3）鏈?zhǔn)椒▌t

設(shè)y?f(u),u??(x)，如果?(x)在x處可導(dǎo)，且f(u)在對應(yīng)的u??(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y?f(?(x))在x處可導(dǎo)可導(dǎo)，且有：

?f(?(x))?

【點評】：同上。4）反函數(shù)求導(dǎo)法則

'

?f(u)?(x)或

''

dydx

?

dydududx

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點x的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，在點x0處可導(dǎo)且f'(x)?0，并令其反函數(shù)為x?g(y)，且x0所對應(yīng)的y的值為y0，則有：

g(y0)?

'

1f(x0)

'

?

1f(g(y0))

'

或

dxdy

?

1dydx

【點評】：同上。

5）常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

?x?

?

'

??x

'

??1，'

?sinx??lnx?

'

?cosx，?cosx???sinx，1x

x

?，?logax??

'

'

1xlna，?e

x

?

'

?e，?ax??exlna

【點評】：這些求導(dǎo)公式大家都很熟悉，但很少有人想過它們的由來。實際上，掌握這幾個公式的證明過程，不但可以幫助我們強化導(dǎo)數(shù)的定義這個薄弱點，對極限的計算也是很好的練習(xí)?，F(xiàn)選取其中典型予以證明。證明：

?x?

?

'

??x

??1

：導(dǎo)數(shù)的定義是f'(x)?lim

?

?

f(x??x)?f(x)

?x，代入該公式得)?1

??x

??1

?

?x?0

?x

?

?

'

?lim

(x??x)?x

?x

(1??x

?

?x

?x?0

x?x)?1

?x

??1

?x?0

?

(1?lim

?x

x?xx

。最后一

步用到了極限lim

x?0

(1?x)?1

x

a

x?0

?a。注意，這里的推導(dǎo)過程僅適用于x?0的情形。的情形需要另行推導(dǎo)，這種情況很簡單，留給大家。

'

?sinx??cosx：利用導(dǎo)數(shù)定義?sinx??lim

'

sin(x??x)?sinx

?x，由和差化積公式得

?x?0

?x?0

lim

sin(x??x)?sinx

?x

2cos(x?

?lim

?x?0

?x?x)sin

?x

?cosx。cosx'??sinx的證明類??

似。

?lnx?

'

?

'

1x?

：利用導(dǎo)數(shù)定義?lnx??lim

1xlna

'

ln(x??x)?lnx

?x

lnxlna

ln(1?

?lim

?x?0

?x)?

1x

?x?0

?x。

?logax?的證明類似（利用換底公式logax?）。

?e?

x

'

?e

x

：利用導(dǎo)數(shù)定義?e

x

?

'

?lim

e

(x??x)

?e

x

?x?0

?x

?lime

?x?0

x

e

?x

?1

?x

?e。?a

x

x

?

'

?elna

x的證明類似（利用對數(shù)恒等式ax?exlna）。

第四篇：2018考研高數(shù)重要定理證明微積分基本定理

2018考研高數(shù)重要定理證明微積分基本定理

來源：智閱網(wǎng)

微積分基本定理是考研數(shù)學(xué)中的重要定理，考察的頻率較高，難度也比較大，下面詳細(xì)的講解一下，希望大家有所收獲。

微積分定理包括兩個定理：變限積分求導(dǎo)定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導(dǎo)定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。注意該求導(dǎo)公式對閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)要區(qū)別對待：對應(yīng)開區(qū)間上每一點的導(dǎo)數(shù)是一類，而區(qū)間端點處的導(dǎo)數(shù)屬單側(cè)導(dǎo)數(shù)?；ㄩ_兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點x處的導(dǎo)數(shù)。一點的導(dǎo)數(shù)仍用導(dǎo)數(shù)定義考慮。至于導(dǎo)數(shù)定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權(quán)利了。單側(cè)導(dǎo)數(shù)類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學(xué)科?！边@段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導(dǎo)定理的公共條件是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個原函數(shù)，結(jié)論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導(dǎo)定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導(dǎo)定理的條件成立，故變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論成立。

注意到該公式的另一個條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論用原函數(shù)的語言描述一下，即f(x)對應(yīng)的變上限積分函數(shù)為f(x)在閉區(qū)間上的另一個原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個函數(shù)的兩個原函數(shù)之間只差個常數(shù)，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數(shù)加某個常數(shù)C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側(cè)的表達(dá)式結(jié)合推出的等式變形，不難得出結(jié)論。

上面講述的微積分基本定理是考研數(shù)學(xué)的高頻考點，考生們要認(rèn)真學(xué)習(xí)其解題方法，并且學(xué)會運用。湯神《考研數(shù)學(xué)接力題典1800》可以檢驗大家的復(fù)習(xí)效果，總結(jié)做題經(jīng)驗，對我們現(xiàn)階段的復(fù)習(xí)幫助很大。

第五篇：高數(shù)中需要掌握證明過程的定理

高數(shù)中的重要定理與公式及其證明

（一）考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶Υ龜?shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。應(yīng)深受大家敬佩的靜水深流力邀，也為了方便各位師弟師妹復(fù)習(xí)，不才憑借自己對考研數(shù)學(xué)的一點了解，總結(jié)了高數(shù)上冊中需要掌握證明過程的公式定理。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，從長遠(yuǎn)來看都是應(yīng)當(dāng)熟練掌握的。

由于水平有限，總結(jié)不是很全面，但大家在復(fù)習(xí)之初，先掌握這些公式定理證明過程是必要的。1）常用的極限

ln(1?x)1?cosx1ex?1ax?1(1?x)a?1lim?1，lim? lim?1，lim?lna，lim?a，x?0x?0x?0x?0x?0xx22xxx【點評】：這幾個公式大家在計算極限的過程中都再熟悉不過了，但有沒有人想

?x)?e與過它們的由來呢？事實上，這幾個公式都是兩個重要極限lim(1x?01xsinx?1的推論，它們的推導(dǎo)過程中也蘊含了計算極限中一些很基本的方法技x?0x巧。證明： lim1ln(1?x)ln(1?x)lim?1：由極限lim(1?x)x?e兩邊同時取對數(shù)即得lim?1。

x?0x?0x?0xx

ln(1?x)ex?1?1中，令ln(1?x)?t，則x?et?1。由于極限lim?1：在等式limx?0x?0xx過程是x?0，此時也有t?0，因此有l(wèi)imt?0t?1。極限的值與取極限的符號et?1ex?1?1。是無關(guān)的，因此我們可以吧式中的t換成x，再取倒數(shù)即得limx?0x

ax?1ax?1exlna?1lim?lna：?lim利用對數(shù)恒等式得lim，再利用第二個極限可x?0x?0x?0xxxexlna?1exlna?1ax?1?lnalim?lna。因此有l(wèi)im?lna。得limx?0x?0xlnax?0xx(1?x)a?1lim?a：利用對數(shù)恒等式得 x?0x(1?x)a?1ealn(1?x)?1ealn(1?x)?1ln(1?x)ealn(1?x)?1ln(1?x)lim?lim?alim?alimlim?ax?0x?0x?0x?0x?0xxaln(1?x)xaln(1?x)x上式中同時用到了第一個和第二個極限。

xx??2sinsin1?cosx1?cosx12?1lim?2??1。lim?limlim?：利用倍角公式得 ?x?222x?0x?0x?0x?0xx22x2???2?222）導(dǎo)數(shù)與微分的四則運算法則

(u?v)'?u'?v', d(u?v)?du?dv(uv)'?u'v?uv', d(uv)?vdu?udv

u'vu'?uv'uvdu?udv()?, d()?(v?0)22vvvv【點評】：這幾個求導(dǎo)公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導(dǎo)數(shù)的定義。而導(dǎo)數(shù)的證明也恰恰是很多考生的薄弱點，通過這幾個公式可以強化相關(guān)的概念，避免到復(fù)習(xí)后期成為自己的知識漏洞。具體的證明過程教材上有，這里就不贅述了。3）鏈?zhǔn)椒▌t

設(shè)y?f(u),u??(x)，如果?(x)在x處可導(dǎo)，且f(u)在對應(yīng)的u??(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y?f(?(x))在x處可導(dǎo)可導(dǎo)，且有：

?f(?(x))??【點評】：同上。4）反函數(shù)求導(dǎo)法則

'f'(u)?'(x)或dydydu? dxdudx設(shè)函數(shù)y?f(x)在點x的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，在點x0處可導(dǎo)且f'(x)?0，并令其反函數(shù)為x?g(y)，且x0所對應(yīng)的y的值為y0，則有：

11dx1 ?或?''dyf(x0)f(g(y0))dydx【點評】：同上。g'(y0)?5）常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

?x???x?'??1，'?sinx?'?cosx，?cosx???sinx，?lnx?x''?11'，?logax??，xxlnax?e??e，?ax??exlna '【點評】：這些求導(dǎo)公式大家都很熟悉，但很少有人想過它們的由來。實際上，掌握這幾個公式的證明過程，不但可以幫助我們強化導(dǎo)數(shù)的定義這個薄弱點，對極限的計算也是很好的練習(xí)。現(xiàn)選取其中典型予以證明。證明：

f(x??x)?f(x)?'，代入該公式得 ?x???x??1：導(dǎo)數(shù)的定義是f'(x)??limx?0?x?x??x?(1?)?1(1?)?1??(x??x)?x?'???1xx?x?xlim??x??1。最后一?x???limx?0?x?0?x?x?xx(1?x)a?1?a。注意，這里的推導(dǎo)過程僅適用于x?0的情形。步用到了極限limx?0xx?0的情形需要另行推導(dǎo)，這種情況很簡單，留給大家。

sin(x??x)?sinx''lim，由和差化積公式得?sinx??cosx：利用導(dǎo)數(shù)定義?sinx???x?0?x?x?x2cos(x?)sinsin(x??x)?sinx22?cosx。?cosx?'??sinx的證明類lim?lim?x?0?x?0?x?x似。

?xln(1?)1ln(x??x)?lnx'x?1。lim?lim?lnx??：利用導(dǎo)數(shù)定義?lnx?'??x?0?x?0x?x?xx1lnx'的證明類似（利用換底公式logax?）。?logax??xlnalna

?e??ex'x：利用導(dǎo)數(shù)定義?ex'??xe(x??x)?ex?1xxex'?lim?lime?e。a?exlna的???x?0?x?0?x?x證明類似（利用對數(shù)恒等式ax?exlna）。

6）定積分比較定理

如果在區(qū)間[a,b]上恒有f(x)?0，則有?f(x)dx?0

ab推論：ⅰ如果在區(qū)間[a,b]上恒有f(x)?g(x)，則有?f(x)dx??g(x)dx；

aabbⅱ設(shè)M和m是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值，則有：m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

ab【點評】：定積分比較定理在解題時應(yīng)用比較廣，定積分中值定理也是它的推論。掌握其證明過程，對理解及應(yīng)用該定理很有幫助。具體的證明過程教材上有。7）定積分中值定理

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一點?使得下式成立：

?baf(x)dx?f(?)(b?a)

【點評】：微積分的兩大中值定理之一，定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的推論，在證明題中有重要的作用。考研真題中更是有直接用到該定理證明方法的題目，重要性不嚴(yán)而喻。具體證明過程見教材。8）變上限積分求導(dǎo)定理

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)?(x)??f(x)dx在[a,b]上

ax可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)是

dx?'(x)?f(x)dx?f(x),a?x?b

dx?a設(shè)函數(shù)F(x)??u(x)v(x)f(t)dt，則有F'(x)?f(u(x))u'(x)?f(v(x))v'(x)。

【點評】：不說了，考試直接就考過該定理的證明。具體證明過程見教材。9）牛頓-萊布尼茲公式

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則有?f(x)dx?F(b)?F(a)，其中F(x)是

abf(x)的原函數(shù)。

【點評】：微積分中最核心的定理，計算定積分的基礎(chǔ)，變上限積分求導(dǎo)定理的推論。具體證明過程見教材。10）費馬引理：

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某領(lǐng)域U(x0)內(nèi)有定義，并且在x0處可導(dǎo)，如果對任意的x?U(x0)，有f(x0)?f(x)或f(x0)?f(x)，那么f'(x0)?0

【點評】：費馬引理是羅爾定理的基礎(chǔ)，其證明過程中用到了極限的保號性，是很重要的思想方法。具體證明過程見教材。11）羅爾定理： 如果函數(shù)f(x)滿足

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)

（3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a)?f(b)

那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點?(a???b)，使得f'(?)?0。

【點評】：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脈相承的三大定理；它們從形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但實際上卻是相互蘊含，可以相互推導(dǎo)的。這幾個定理的證明方法也就是與中值有關(guān)的證明題主要的證明方法。中值定理的證明是高數(shù)中的難點，一定要多加注意。具體證明過程見教材。

12）拉格朗日中值定理： 如果函數(shù)f(x)滿足

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)

那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點?(a???b)，使得f'(?)?【點評】：同上。13）柯西中值定理： 如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)

f(b)?f(a)。

b?af'(?)f(b)?f(a)那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點?(a???b)，使得'。?g(?)g(b)?g(a)【點評】：同上。14）單調(diào)性定理：

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)。

如果在(a,b)上有f'(x)?0，那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增。如果在(a,b)上有f'(x)?0，那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減。

【點評】：這個定理利用導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系很容易理解，但實際證明中卻不能用圖形來解釋，需要更嚴(yán)密的證明過程。證明：

僅證明f'(x)?0的情形，f'(x)?0的情形類似。

?x1,x2?(a,b)，假定x1?x2

則利用拉個朗日中值定理可得，????x2,x2?使得f(x1)?f(x2)?f'???(x1?x2)。由于f'????0，因此f(x1)?f(x2)?0。

由x1,x2的任意性，可知函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增。

14）(極值第一充分條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，并在x0的某去心鄰域U(x0,?)內(nèi)可導(dǎo)。

?。┤魓?(x0??,x0)時，f'(x)?0,而x?(x0,x0??)時，f'(x)?0,則f(x)在x0處取得極大值

ⅱ）若x?(x0??,x0)時，f'(x)?0,而x?(x0,x0??)時，f'(x)?0,則f(x)在x0處取得極小值；

ⅲ）若x?U(x0,?)時，f'(x)符號保持不變，則f(x)在x0處沒有極值； 【點評】：單調(diào)性定理的推論，具體證明過程見教材。??15）(極值第二充分條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在x0處存在二階導(dǎo)數(shù)且f'(x0)?0，那么 ?。┤鬴''(x0)?0,則f(x)在x0處取得極小值； ⅱ）若f''(x0)?0,則f(x)在x0處取得極大值。

【點評】：這個定理是判斷極值點最常用的方法，證明過程需要用到泰勒公式。證明：

僅證明f''(x0)?0,的情形，f''(x0)?0,的情形類似。

由于f(x)在x0處存在二階導(dǎo)數(shù)，由帶皮亞諾余項的泰勒公式得。在x0的某領(lǐng)域內(nèi)成立f(x)?f?x0??f'?x0??x?x0??f''?x0?由于f'(x0)?0，因此

?x?x0?222?o??x?x0?? ??f(x)?f?x0??f''?x0??x?x0?222?o??x?x0????2?''???ox?x??02?f?x0?????f?x0???x?x0????22?x?x0?????

2''o??x?x0??fx0????由高階無窮小的定義可知，當(dāng)x?x0時，有又由于?0，?0，22?x?x0?2??ox?x??0f?x0????0。因此在x0的某領(lǐng)域內(nèi)成立?22?x?x0?''2?''???ox?x??02?f?x0????fx。進一步，我們有f?x0???x?x0?????0??22?x?x0?????也即，在x0的某領(lǐng)域內(nèi)成立f(x)?f?x0?。由極值點的定義可知f(x)在x0處取得極小值。16）洛必達(dá)法則

f'(x)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在x?a的空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，g(x)?0，且lim'?A

x?ag(x)'則有l(wèi)imx?af(x)?A，其中A可以是有限數(shù)，也可以是??,??。g(x)【點評】：洛必達(dá)法則是計算極限時最常用的方法，但它的證明卻很少有人關(guān)注。洛必達(dá)法則是拉格朗日中值定理的推論，證明過程比較簡單，也是一個潛在的考點，需要引起注意。具體證明過程見教材。