銳角三角函數(shù)：解直角三角形的應(yīng)用

一．解直角三角形的應(yīng)用（共9小題）

3．如圖，要測(cè)量一條河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，我們可以在岸邊取點(diǎn)C和D，使點(diǎn)B，C，D共線且直線BD與AB垂直，測(cè)得∠ACB＝56.3°，∠ADB＝45°，CD＝10m，則AB的長(zhǎng)約為（）

（參考數(shù)據(jù)sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1）

A．15m

B．30m

C．35m

D．40m

4．如圖，△ABC、△FED區(qū)域?yàn)轳{駛員的盲區(qū)，駕駛員視線PB與地面BE的夾角∠PBE＝43°，視線PE與地面BE的夾角∠PEB＝20°，點(diǎn)A，F(xiàn)為視線與車窗底端的交點(diǎn)，AF∥BE，AC⊥BE，F(xiàn)D⊥BE．若A點(diǎn)到B點(diǎn)的距離AB＝1.6m，則盲區(qū)中DE的長(zhǎng)度是（）

（參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）

A．2.6m

B．2.8m

C．3.4m

D．4.5m

5．如圖所示的是某品牌太陽(yáng)能熱水器的實(shí)物圖和橫斷面示意圖，已知真空集熱管AB與支架CD所在直線相交于水箱橫斷面⊙O的圓心，支架CD與水平線AE垂直，AB＝154cm，∠A＝30°，另一根輔助支架DE＝78cm，∠E＝60°．

（1）求CD的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）求OD的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）

6．圖1是某種路燈的實(shí)物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，MN為立柱的一部分，燈臂AC，支架BC與立柱MN分別交于A，B兩點(diǎn)，燈臂AC與支架BC交于點(diǎn)C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，求支架BC的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.449）

7．襄陽(yáng)東站的建成運(yùn)營(yíng)標(biāo)志著我市正式進(jìn)入高鐵時(shí)代，鄭萬(wàn)高速鐵路襄陽(yáng)至萬(wàn)州段的建設(shè)也正在推進(jìn)中．如圖，工程隊(duì)擬沿AC方向開山修路，為加快施工進(jìn)度，需在小山的另一邊點(diǎn)E處同時(shí)施工．要使A、C、E三點(diǎn)在一條直線上，工程隊(duì)從AC上的一點(diǎn)B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么點(diǎn)E與點(diǎn)D間的距離是多少米？

（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

8．天門山索道是世界最長(zhǎng)的高山客運(yùn)索道，位于張家界天門山景區(qū)．在一次檢修維護(hù)中，檢修人員從索道A處開始，沿A﹣B﹣C路線對(duì)索道進(jìn)行檢修維護(hù)．如圖：已知AB＝500米，BC＝800米，AB與水平線AA1的夾角是30°，BC與水平線BB1的夾角是60°．求：本次檢修中，檢修人員上升的垂直高度CA1是多少米？（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）

9．某數(shù)學(xué)課題研究小組針對(duì)蘭州市住房窗戶“如何設(shè)計(jì)遮陽(yáng)蓬”這一課題進(jìn)行了探究，過(guò)程如下：

問(wèn)題提出：

如圖1是某住戶窗戶上方安裝的遮陽(yáng)蓬，要求設(shè)計(jì)的遮陽(yáng)蓬能最大限度地遮住夏天炎熱的陽(yáng)光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽(yáng)光射入室內(nèi)．

方案設(shè)計(jì)：

如圖2，該數(shù)學(xué)課題研究小組通過(guò)調(diào)查研究設(shè)計(jì)了垂直于墻面AC的遮陽(yáng)蓬CD．

數(shù)據(jù)收集：

通過(guò)查閱相關(guān)資料和實(shí)際測(cè)量：蘭州市一年中，夏至日這一天的正午時(shí)刻太陽(yáng)光線DA與遮陽(yáng)蓬CD的夾角∠ADC最大（∠ADC＝77.44°）；冬至日這一天的正午時(shí)刻，太陽(yáng)光線DB與遮陽(yáng)蓬CD的夾角∠BDC最?。ā螧DC＝30.56°）．窗戶的高度AB＝2m．

問(wèn)題解決：

根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，求遮陽(yáng)蓬CD的長(zhǎng)．

（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）

10．如圖，同學(xué)們利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量三江源某河段某處的寬度．小宇同學(xué)在A處觀測(cè)對(duì)岸點(diǎn)C，測(cè)得∠CAD＝45°，小英同學(xué)在距點(diǎn)A處60米遠(yuǎn)的B點(diǎn)測(cè)得∠CBD＝30°，請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬（精確到0.01米，≈1.414，≈1.732）．

11．如圖，1號(hào)樓在2號(hào)樓的南側(cè)，兩樓高度均為90m，樓間距為AB．冬至日正午，太陽(yáng)光線與水平面所成的角為32.3°，1號(hào)樓在2號(hào)樓墻面上的影高為CA；春分日正午，太陽(yáng)光線與水平面所成的角為55.7°，1號(hào)樓在2號(hào)樓墻面上的影高為DA．已知CD＝42m．

（1）求樓間距AB；

（2）若2號(hào)樓共30層，層高均為3m，則點(diǎn)C位于第幾層？（參考數(shù)據(jù)：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）

二．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題（共5小題）

12．如圖，斜面AC的坡度（CD與AD的比）為1：2，AC＝3米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶相連．若AB＝10米，則旗桿BC的高度為（）

A．5米

B．6米

C．8米

D．（3+）米

13．如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10米，壩高12米，斜坡AB的坡度i＝1：1.5，則壩底AD的長(zhǎng)度為（）

A．26米

B．28米

C．30米

D．46米

14．如圖，某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)山坡，坡上面是一塊平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB長(zhǎng)26m，斜坡AB的坡比為12：5．為了減緩坡面，防止山體滑坡，學(xué)校決定對(duì)該斜坡進(jìn)行改造．經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過(guò)50°時(shí)，可確保山體不滑坡．如果改造時(shí)保持坡腳A不動(dòng)，則坡頂B沿BC至少向右移

m時(shí)，才能確保山體不滑坡．（取tan50°≈1.2）

15．如圖，BC是路邊坡角為30°，長(zhǎng)為10米的一道斜坡，在坡頂燈桿CD的頂端D處有一探射燈，射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的夾角∠DAN和∠DBN分別是37°和60°（圖中的點(diǎn)A、B、C、D、M、N均在同一平面內(nèi)，CM∥AN）．

（1）求燈桿CD的高度；

（2）求AB的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

16．如圖，為測(cè)量一座山峰CF的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段，每一段山坡近似是“直”的，測(cè)得坡長(zhǎng)AB＝800米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°．

（1）求AB段山坡的高度EF；

（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF結(jié)果精確到米）

三．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共5小題）

17．如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組利用測(cè)角儀和皮尺測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，在點(diǎn)D處測(cè)得旗桿頂端A的仰角∠ADE為55°，測(cè)角儀CD的高度為1米，其底端C與旗桿底端B之間的距離為6米，設(shè)旗桿AB的高度為x米，則下列關(guān)系式正確的是（）

A．tan55°＝

B．tan55°＝

C．sin55°＝

D．cos55°＝

18．如圖，小明想要測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)上旗桿AB的高度，他作了如下操作：

（1）在點(diǎn)C處放置測(cè)角儀，測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋恰螦CE＝α；

（2）量得測(cè)角儀的高度CD＝a；

（3）量得測(cè)角儀到旗桿的水平距離DB＝b．

利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識(shí)，旗桿的高度可表示為（）

A．a(chǎn)+btanα

B．a(chǎn)+bsinα

C．a(chǎn)+

D．a(chǎn)+

19．如圖，在離鐵塔150米的A處，用測(cè)傾儀測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫棣?，測(cè)傾儀高AD為1.5米，則鐵塔的高BC為（）

A．（1.5+150tanα）米

B．（1.5+）米

C．（1.5+150sinα）米

D．（1.5+）米

20．如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點(diǎn)A、B在同一水平面上）．為了測(cè)量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機(jī)從A地出發(fā)，垂直上升800米到達(dá)C處，在C處觀察B地的俯角為α，則A、B兩地之間的距離為（）

A．800sinα米

B．800tanα米

C．米

D．米

21．如圖，為測(cè)量一棵與地面垂直的樹OA的高度，在距離樹的底端30米的B處，測(cè)得樹頂A的仰角∠ABO為α，則樹OA的高度為（）

A．米

B．30sinα米

C．30tanα米

D．30cosα米

四．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題（共4小題）

22．如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔

C的南偏東45°方向上的B處，這時(shí)輪船B與小島A的距離是（）

A．30nmile

B．60nmile

C．120nmile

D．（30+30）nmile

23．如圖，海面上產(chǎn)生了一股強(qiáng)臺(tái)風(fēng)．臺(tái)風(fēng)中心A在某沿海城市B的正西方向，小島C位于城市B北偏東29°方向上，臺(tái)風(fēng)中心沿北偏東60°方向向小島C移動(dòng)，此時(shí)臺(tái)合風(fēng)中心距離小島200海里．

（1）過(guò)點(diǎn)B作BP⊥AC于點(diǎn)P，求∠PBC的度數(shù)；

（2）據(jù)監(jiān)測(cè)，在距離臺(tái)風(fēng)中心50海里范圍內(nèi)均會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響（假設(shè)臺(tái)風(fēng)在移動(dòng)過(guò)程中風(fēng)力保持不變）．問(wèn)：在臺(tái)風(fēng)移動(dòng)過(guò)程中，沿海城市B是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73）

24．如圖，一艘輪船以每小時(shí)30海里的速度自東向西航行，在A處測(cè)得小島P位于其西北方向（北偏西45°方向），2小時(shí)后輪船到達(dá)B處，在B處測(cè)得小島P位于其北偏東60°方向．求此時(shí)船與小島P的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）．

25．黔東南州某校吳老師組織九（1）班同學(xué)開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，帶領(lǐng)同學(xué)們測(cè)量學(xué)校附近一電線桿的高．已知電線桿直立于地面上，某天在太陽(yáng)光的照射下，電線桿的影子（折線BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D處測(cè)得電線桿頂端A的仰角為30°，在C處測(cè)得電線桿頂端A得仰角為45°，斜坡與地面成60°角，CD＝4m，請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高（AB）．

（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）