XX學(xué)院
第三屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽
（201X年5月17日14時(shí)－5月23日14時(shí)）
參賽題目
A
B
（在所選題目上打勾）
參賽隊(duì)員1
參賽隊(duì)員2
參賽隊(duì)員3
姓名
學(xué)號(hào)
學(xué)院
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教學(xué)部
XX第三屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽
承
諾
書(shū)
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我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。
我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）：
A
我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）：
參賽隊(duì)員
(打印并簽名)
：1.2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人
(打印并簽名)：
日期：
201X
年
05
月
日
賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：
XX大學(xué)XX學(xué)院第三屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽
編
號(hào)
專(zhuān)
用
頁(yè)
評(píng)閱編號(hào)（由組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：
評(píng)閱記錄（可供評(píng)閱時(shí)使用）：
評(píng)
閱
人
評(píng)
分
備
注
城區(qū)公路選址問(wèn)題
摘要
根據(jù)AB之間地的不同區(qū)域不同造價(jià)的特點(diǎn)，本文采用了兩種方法，一種是將連續(xù)問(wèn)題離散化利用窮舉法取最優(yōu)的方法。另一種是在窮舉法的所求結(jié)果的基礎(chǔ)上利用極限定義無(wú)限逼近的思想縮小最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的存在的可能區(qū)域，進(jìn)而再利用非線性規(guī)劃從而得出最優(yōu)解。
問(wèn)題一：用窮舉法建立了一個(gè)模型，所得最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)為（5,6）、（6，5）（最小花費(fèi)為14.7068百萬(wàn)元）。
問(wèn)題二：通過(guò)在問(wèn)題一的基礎(chǔ)分析，再次利用窮舉法建立了模型逐步計(jì)算關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)轉(zhuǎn)彎網(wǎng)格點(diǎn)的建設(shè)費(fèi)用，通過(guò)比較得出（4，7），（7，4）兩點(diǎn)，為所最小建設(shè)費(fèi)用的轉(zhuǎn)彎點(diǎn)。最小費(fèi)用為14.624百萬(wàn)元。
問(wèn)題三：本問(wèn)題要求鋪設(shè)線路落在網(wǎng)格線上，利用Matlab求出
f(x)
在各個(gè)網(wǎng)絡(luò)線的最小值，再通過(guò)比較，找出最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)（4.5719，6）、（6,4.5719），最小費(fèi)用為14.6989百萬(wàn)元。
問(wèn)題四：同問(wèn)題三模型思想方法，得出關(guān)于建設(shè)總費(fèi)用的目標(biāo)函數(shù)二元方程f(x，y)，再利用Matlab求出
目標(biāo)函數(shù)在可能區(qū)域的最小值，得到最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，最小費(fèi)用為14.6989百萬(wàn)元。
問(wèn)題五：將路線分成無(wú)數(shù)小段，利用積分的思想模型，求出建設(shè)費(fèi)用。
關(guān)鍵詞：
窮舉法
無(wú)限逼近
非線性規(guī)劃
一
問(wèn)
題
重
述
城區(qū)公路選址問(wèn)題
某區(qū)政府計(jì)劃在下列區(qū)域（見(jiàn)圖1）修建一條從A（0,9）到B（9,0）的直線型公路，由于涉及路面拆遷等因素，各地段建設(shè)費(fèi)用有所不同，圖1中的數(shù)字代表該區(qū)域公路單位建設(shè)費(fèi)用（單位：百萬(wàn)元）。未標(biāo)數(shù)字的任何地方單位建設(shè)費(fèi)用均為1。圖1的每個(gè)網(wǎng)格長(zhǎng)與寬都是1個(gè)單位。每個(gè)網(wǎng)格的邊界上建設(shè)費(fèi)用按該地區(qū)最小單位費(fèi)用計(jì)算。
請(qǐng)你按建設(shè)部門(mén)的如下具體要求，從建設(shè)費(fèi)用最省的角度，給出最優(yōu)的方案。
（1）公路至多只能有1個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，且轉(zhuǎn)彎點(diǎn)只能建在圖1所示的網(wǎng)格點(diǎn)上。
（2）公路至多可以有2個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，且轉(zhuǎn)彎點(diǎn)只能建在圖1所示的網(wǎng)格點(diǎn)上。
（3）公路至多只能有1個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，且轉(zhuǎn)彎點(diǎn)只能建在圖1所示的網(wǎng)格線上。
（4）公路至多只能有1個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，轉(zhuǎn)彎點(diǎn)可以建在圖1所示區(qū)域的任何位置。
（5）如果各區(qū)域的單位建設(shè)費(fèi)用為（百萬(wàn)元），公路至多只能有1個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，轉(zhuǎn)彎點(diǎn)可以建在圖1所示區(qū)域的任何位置。
二
問(wèn)題分析
本問(wèn)題主圍繞由A點(diǎn)到B點(diǎn)公路選址展開(kāi)，要求建設(shè)費(fèi)用最少。根據(jù)各個(gè)區(qū)域的費(fèi)用不同，確定轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的位置。我們采用了兩種方法求得最少的花費(fèi)，分別為非線性規(guī)劃模型和逐點(diǎn)遍歷模型。
問(wèn)題一
我們利用窮舉法建立模型一，用來(lái)確保結(jié)果是最小值，根據(jù)圖像的對(duì)稱(chēng)性以及單位區(qū)域建設(shè)費(fèi)用的分布規(guī)律，著重對(duì)AB上方區(qū)域點(diǎn)采用枚舉分析計(jì)算，得出結(jié)果。
問(wèn)題二
本問(wèn)題與問(wèn)題一相比,增加一個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析可以得到符合條件的兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，應(yīng)該對(duì)稱(chēng)的分布在直線y=x的兩側(cè)。我們?cè)趩?wèn)題一所建立的兩種模型的基礎(chǔ)上均增加相應(yīng)約束條件，通過(guò)對(duì)比分析得出最少花費(fèi)的鋪設(shè)線路（即兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的位置）。
問(wèn)題三
本問(wèn)題要求鋪設(shè)線路落在網(wǎng)格線上，在問(wèn)題1、2的基礎(chǔ)上通過(guò)分析歸納縮小符合該條件的網(wǎng)絡(luò)線的分布位置。利用非線性規(guī)劃求解，建立模型二，可以得出一個(gè)關(guān)于建設(shè)總費(fèi)用的目標(biāo)函數(shù)f(x)，而且可知f(x)在整個(gè)區(qū)域連續(xù)且可微，利用Matlab求出
f(x)符合在某一點(diǎn)有局部極小點(diǎn)的條件，再通過(guò)比較符合條件的各個(gè)網(wǎng)絡(luò)線的最小值，找出最優(yōu)解。
問(wèn)題四
類(lèi)似于問(wèn)題三的分析方法，找出符合條件的最小區(qū)域。利用非線性規(guī)劃求解，可以得出一個(gè)關(guān)于建設(shè)總費(fèi)用的目標(biāo)函數(shù)f(x,y)，而且可知f(x，y)在整個(gè)區(qū)域連續(xù)且可微，利用Matlab求出
f(x，y)，找出最優(yōu)解。
問(wèn)題五
將路線分成無(wú)數(shù)小段，利用積分的思想模型，求出建設(shè)費(fèi)用
三.符號(hào)說(shuō)明，為建設(shè)總費(fèi)用
x
為選取轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的橫坐標(biāo)
y
為選取轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的縱坐標(biāo)
為選取轉(zhuǎn)彎點(diǎn)和A點(diǎn)連線與直線y=9的夾角
為選取轉(zhuǎn)彎點(diǎn)和B點(diǎn)連線與直線x=9的夾角
d1
為選取點(diǎn)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)與A點(diǎn)之間的距離
d2
為選取點(diǎn)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)與B點(diǎn)之間的距離
五.模型建立與求解
D
A
1.1
1.1
1.1
1.1
1.1
1.1
1.1
1.1
1.1
1.2
1.2
1.2
1.2
1.2
1.2
1.1
1.1
1.2
C
1.3
1.3
1.3
1.3
1.2
1.1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.4
1.3
1.2
1.1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.4
1.3
1.2
1.1
1.1
1.2
1.3
1.3
1.3
1.3
1.2
1.1
1.1
1.2
1.2
1.2
1.2
1.2
1.2
1.1
1.1
1.1
1.1
1.1
1.1
1.1
1.1
1.1
B
問(wèn)題一:
通過(guò)觀察圖形分析得到圖形關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)，但由于下側(cè)單位區(qū)域建設(shè)費(fèi)用相對(duì)較大，故而最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)必然在AB上側(cè)。AB上側(cè)又關(guān)于直線CD對(duì)稱(chēng)，故而只要分析CD上方區(qū)域即可。
依次將該區(qū)域各個(gè)點(diǎn)求解建設(shè)費(fèi)用，通過(guò)比較得出（5，6）為網(wǎng)格點(diǎn)上最優(yōu)的轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，最小費(fèi)用為14.7068百萬(wàn)元。再有對(duì)稱(chēng)性可得（6，5）也為網(wǎng)格點(diǎn)上最優(yōu)的轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，最小費(fèi)用為14.7068百萬(wàn)元。
問(wèn)題二:
通過(guò)在問(wèn)題一的基礎(chǔ)分析可知，所選的兩個(gè)最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)必然關(guān)于直線CD對(duì)稱(chēng)。逐步計(jì)算對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)轉(zhuǎn)彎網(wǎng)格點(diǎn)的建設(shè)費(fèi)用，通過(guò)比較得出
（4，7），（7，4）兩點(diǎn)，為所最小建設(shè)費(fèi)用的轉(zhuǎn)彎點(diǎn)。最小費(fèi)用為14.624百萬(wàn)
元。
問(wèn)題三:
通過(guò)問(wèn)題一二的求解，利用無(wú)限逼近思想可以知道最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)網(wǎng)格線必然在問(wèn)題一所求到的轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的附近，利用Matlab軟件求解附近的各個(gè)網(wǎng)格線上的建設(shè)費(fèi)用最小的點(diǎn)。
1.左邊網(wǎng)格線
（4<=x<=5,y=6）
因此得到費(fèi)用函數(shù)
用Matlab軟件解得答案：
xmin
=
4.5719
fmim
=
14.6989
2.上邊網(wǎng)格線
（x=5,6<=y<=7）
因此得到費(fèi)用函數(shù)
用Matlab軟件解得答案：
ymin
=
6.0001
fmim
=
14.7068
3.右邊網(wǎng)格線
（5<=x<=6,y=6）
因此得到費(fèi)用函數(shù)
用Matlab軟件解得答案：
xmin
=
5.0001
fmim
=
14.7068
4.下邊網(wǎng)格線
（x=4,5<=y<=6）
因此得到費(fèi)用函數(shù)
用Matlab軟件解得答案：
ymin
=
5.8286
fmim
=
14.7066
通過(guò)比較四條網(wǎng)格線上的最小費(fèi)用點(diǎn)，得出點(diǎn)（4.5719，6）即所求的最優(yōu)轉(zhuǎn)為點(diǎn)，再利用圖形對(duì)稱(chēng)性得到點(diǎn)（6，4.5719）也是最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)。最小費(fèi)用為14.6989百萬(wàn)元。
問(wèn)題四:
通過(guò)問(wèn)題三四個(gè)網(wǎng)格線上建設(shè)費(fèi)用最小轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的分布，利用無(wú)限逼近的思想可以推測(cè)問(wèn)題四的最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)在（5，5.8286）以及（4.5719，6）的附近區(qū)域。綜合各方面限制條件列出一下函數(shù)式，并利用Matlab軟件解得答案：
因此得到費(fèi)用函數(shù)
xmin
=
4.6215
ymin
=
5.9127
fmim
=
14.6208
問(wèn)題五：
六.模型的評(píng)價(jià)與建議
模型的主要優(yōu)點(diǎn)：
對(duì)于問(wèn)題一、二所建立的模型一，利用圖像的對(duì)稱(chēng)性以及單位區(qū)域建設(shè)費(fèi)用的分布規(guī)律，減少了大量繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算。問(wèn)題三、四在問(wèn)題一、二的求解基礎(chǔ)上，通過(guò)理論分析排除了大量的不可能區(qū)域，縮小了公路最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的可能區(qū)域大大簡(jiǎn)化了計(jì)算量，進(jìn)而利用非線性規(guī)劃求解，建立模型二，可以得出一個(gè)關(guān)于建設(shè)總費(fèi)用的目標(biāo)函數(shù)f(x)，模型原理簡(jiǎn)單明了，系統(tǒng)直觀的反映了轉(zhuǎn)彎點(diǎn)位置與建設(shè)費(fèi)用的關(guān)系，在計(jì)算復(fù)雜求導(dǎo)時(shí)借助Matlab軟件，提高了計(jì)算效率。
模型的主要不足：
模型一枚舉法存在很大的局限性，需要考慮的情況較多，并且存在較大的計(jì)算量，不是最佳方案。另外通過(guò)分析歸納縮小符合問(wèn)題三、四條件的最佳轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的分布位置的方法不是太嚴(yán)謹(jǐn)。
對(duì)城區(qū)公路建設(shè)及選址的建議：
直線行的公路呆板，行車(chē)單調(diào)，容易使駕駛員產(chǎn)生疲勞，容易發(fā)生超車(chē)和超速行駛，行車(chē)時(shí)難以估計(jì)車(chē)輛之間的距離，所以現(xiàn)代城區(qū)公路一般都采用環(huán)形設(shè)計(jì)。
城區(qū)公路應(yīng)盡量避開(kāi)城市主要商業(yè)中心。城市快速路車(chē)流量大，車(chē)速快，人的流動(dòng)性大，不利于商圈集聚人氣，不利于商業(yè)發(fā)展。城市快速路不宜建在景觀路段。特別是采用路塹式和高架式的城市快速路，在帶來(lái)便利交通的同時(shí)必然對(duì)城市景觀構(gòu)成破壞。
七.參考文獻(xiàn)
[1]
姜啟源，謝金星，葉俊，《數(shù)學(xué)模型》（第三版），北京：高等教育出版社，2003.8
[2]
曹衛(wèi)華
郭正，《最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法及
MATLAB的實(shí)現(xiàn)》，北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2005.[3]
李清波
《道路規(guī)劃與設(shè)計(jì)》
人民交通出版社;
第1版
2002年1月
[4]鄔學(xué)軍、周凱、宋軍全，《數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教程》，杭州天目山路148號(hào)，浙江大學(xué)出版社，2009年8月
[5]王沫然，《MATLAB5.X
與科學(xué)計(jì)算》，北京清華大學(xué)學(xué)研樓，清華大學(xué)出版社，2000年5月
[6]
李海濤、鄧攖，《MATLAB6.1
基礎(chǔ)及應(yīng)用技巧》，北京，國(guó)防工業(yè)出版社，2002年3月
附
件
附件一：
問(wèn)題三的Matlab語(yǔ)言源代碼：?jiǎn)栴}一所求得的最優(yōu)拐彎點(diǎn)最近的四條最小網(wǎng)格線
左邊的網(wǎng)格線最優(yōu)造價(jià)函數(shù)求解代碼：
>>
fy=inline(＇1.1*sqrt(x^2+9)+sqrt((9-x)^2+36)/(9-x)*(11.1-1.3*x)＇);
>>
[xmin,fmim]=fminbnd(fy,4,5)
xmin
=
4.5719
fmim
=
14.6989
右邊的網(wǎng)格線最優(yōu)造價(jià)函數(shù)求解代碼：
fy=inline(＇1.1*sqrt(x^2+9)+sqrt(36+(9-x)^2)*(11.1-1.3*x)/(9-x)＇);
>>
[xmin,fmim]=fminbnd(fy,5,6)
xmin
=
5.0001
fmim
=
14.7068
上邊的網(wǎng)格線最優(yōu)造價(jià)函數(shù)求解代碼：
>>
fy=inline(＇(10.5-1.2*y)*sqrt((9-y)^2+25)/(9-y)+(1.05+0.6/y)*sqrt(y^2+16)＇);
>>
[ymin,fmim]=fminbnd(fy,6,7)
ymin
=
6.0001
fmim
=
14.7068
下邊的網(wǎng)格線最優(yōu)造價(jià)函數(shù)求解代碼：
>>
fy=inline(＇1.15*sqrt(y^2+16)+sqrt(25+(9-y)^2)*(11.1-1.3*y)/(9-y)＇);
>>
[ymin,fmim]=fminbnd(fy,5,6)
ymin
=
5.8286
fmim
=
14.7066
附件二：
問(wèn)題四的Matlab語(yǔ)言源代碼：
符合最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)區(qū)域最優(yōu)造價(jià)函數(shù)求解代碼：
>>
syms
x
y;
z=(11.1-1.3y)*sqrt(x^2+y^2)/(9-y)+(11.1-1.3*x)*sqrt((9-x)^2+y^2)/(9
-x);
>>
diff(z,x)
ans
=
(13*((x
9)^2
+
y^2)^(1/2))/(10*(x
9))
(((13*x)/10
111/10)*((x
9)^2
+
y^2)^(1/2))/(x
9)^2
+
(x*((13*y)/10
111/10))/((x^2
+
y^2)^(1/2)*(y
9))
+
((2*x
18)*((13*x)/10
111/10))/(2*((x
9)^2
+
y^2)^(1/2)*(x
9))
>>
diff(z,y)
ans
=
(13*(x^2
+
y^2)^(1/2))/(10*(y
9))
((x^2
+
y^2)^(1/2)*((13*y)/10
111/10))/(y
9)^2
+
(y*((13*x)/10
111/10))/(((x
9)^2
+
y^2)^(1/2)*(x
9))
+
(y*((13*y)/10
111/10))/((x^2
+
y^2)^(1/2)*(y
9))
>>
[x,y]=solve(＇(13*((x
9)^2
+
y^2)^(1/2))/(10*(x
9))
(((13*x)/10
111/10)*((x
9)^2
+
y^2)^(1/2))/(x
9)^2
+
(x*((13*y)/10
111/10))/((x^2
+
y^2)^(1/2)*(y
9))
+
((2*x
18)*((13*x)/10
111/10))/(2*((x
9)^2
+
y^2)^(1/2)*(x
9))=0＇,＇(13*(x^2
+
y^2)^(1/2))/(10*(y
9))
((x^2
+
y^2)^(1/2)*((13*y)/10
111/10))/(y
9)^2
+
(y*((13*x)/10
111/10))/(((x
9)^2
+
y^2)^(1/2)*(x
9))
+
(y*((13*y)/10
111/10))/((x^2
+
y^2)^(1/2)*(y
9))=0＇,＇x＇,＇y＇)
xmin
=
4.6215
ymin
=
5.9127
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