第一篇：《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案說明

《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案說明

云南省曲靖市第一中學(xué) 李德安

一、數(shù)學(xué)歸納法的地位與作用

1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法在教材中的地位與作用

數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)命題的一種重要的證明方法，它起源于正整數(shù)的歸納公理或最小數(shù)原理，而演變成各種形式?！稊?shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》是人教版高中數(shù)學(xué)新教材第三冊第二章“極限”中第一部分的知識。通過對數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，可對中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，如等差、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、二項式定理以及中小學(xué)很多思維上開拓創(chuàng)新的題目可以進行很好地證明，使很多數(shù)學(xué)結(jié)論更加嚴(yán)密，也為后繼學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法對思維發(fā)展的地位與作用

人類對問題的研究，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)認同，思維流程通常是觀察→歸納→猜想→證明。猜想的結(jié)論對不對，證明是尤為關(guān)鍵的。運用數(shù)學(xué)歸納法解題時，有助于學(xué)生對等式的恒等變形，不等式的放縮，數(shù)、式、形的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等知識加強訓(xùn)練與掌握。對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，蘊含著遞 歸與遞推，歸納與推理，特殊到一般，有限到無限等數(shù)學(xué)思想和方法，對思維的發(fā)展起到了完善與推動的作用。

二、數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)與教學(xué)目標(biāo)定位

數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)了遞推的思想，數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)就是利用遞推思想去證題的一種方法。一堂精彩的課不僅僅是傳授給學(xué)生知識，更重要的是對學(xué)生能力的培養(yǎng)和情感的熏陶。根據(jù)本節(jié)課的特點及布魯納的教學(xué)目標(biāo)，特設(shè)置一條明線：如何驗證等差數(shù)列通項公式的正確性；一條暗線：如何驗證由不完全歸納法得到的與正整數(shù)有關(guān)命題的真假。將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為三重目標(biāo)：①認知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法與技巧；②能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨立實踐的能力；③情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。

三、學(xué)法、教法特點及預(yù)期效果

1．學(xué)法指導(dǎo)

高中學(xué)生具有一定的邏輯思維和推理演算能力，并且對事物的認識逐步的由感性上升到理性，個體的發(fā)展由外顯轉(zhuǎn)化為內(nèi)隱，這些都是我們學(xué)好本節(jié)的有利因素。但不足的是，學(xué)生考慮問題的全面性及課堂氣氛的活躍性還不夠好。為此，根據(jù)教育學(xué)家奧蘇伯爾關(guān)于學(xué)科和認知結(jié)構(gòu)組織的假設(shè)及其“先行組織者”技術(shù)與美國心理學(xué)家布魯納倡導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)法教育理論，在學(xué)法方面我采用“導(dǎo)—思—點撥—練”的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生自主參與知識的發(fā)生、發(fā)展、形成過程。在這個過程中對學(xué)生進行以下學(xué)法指導(dǎo)。

（1）溫故知新法

引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程，從而引出歸納法的概念，其又分為完全歸納法和不完全歸納法，如何驗證等差數(shù)列通項公式的正確性呢？進而引出數(shù)學(xué)歸納法。

（2）體驗感悟法

讓學(xué)生認真觀看多米諾骨牌實驗，從而感悟數(shù)學(xué)歸納法原理。（3）質(zhì)疑法

引導(dǎo)學(xué)生主動質(zhì)疑，解決問題，得到方法。（4）練習(xí)法

通過類比，練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證題，進一步體會數(shù)學(xué)歸納法原理。2．教學(xué)特點 本節(jié)課在教法上貫徹如下兩個原則：

一是建構(gòu)主義原則。學(xué)生是教學(xué)的主體，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種再創(chuàng)造過程，他們通過吸收與融合原知識的過程來建立理解的層次結(jié)構(gòu)。皮亞杰的認知結(jié)構(gòu)學(xué)說：“所有的認知結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)再構(gòu)建，構(gòu)成復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，不斷發(fā)展?！睌?shù)學(xué)知識不能從一個人遷移到另一個人，一個人的數(shù)學(xué)知識必須基于個人對經(jīng)驗的歸納、交流，通過反思來主動建構(gòu)，這就是建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀。為此教學(xué)設(shè)計是通過等差數(shù)列通項公式的證明及多米諾骨牌實驗引導(dǎo)學(xué)生積極主動的進行建構(gòu)。

二是寓教于樂原則。實踐證明，學(xué)生在積極愉快的情形下，學(xué)習(xí)效率會大幅提高；在寬松的情形下，能夠最大限度地激發(fā)其聰明才智和創(chuàng)造性。結(jié)合本節(jié)課特點，將知識性與趣味性相結(jié)合，以吸引學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，自覺地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以調(diào)動學(xué)生的“心理場”。比如，通過講員外兒子學(xué)寫數(shù)字，引進了歸納法的概念，同時學(xué)生也體會到通過觀察、歸納、猜想一些結(jié)論，是很好的一個思維流程，但其結(jié)果不可靠。通過多米諾骨牌玩法的演示，詮釋了遞推思想。

3．預(yù)期效果

通過學(xué)法指導(dǎo)，教法特點實現(xiàn)三重目標(biāo)。

四、教學(xué)診斷與評價

1．教學(xué)診斷

證明數(shù)學(xué)歸納法的第一步是容易實現(xiàn)的，第二步是重點也是難點，在驗證n?k?1命題的正確性時，極易脫離歸納假設(shè)，為此應(yīng)重申遞推思想，總結(jié)出證題技巧“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。

2．教學(xué)評價

整個教學(xué)設(shè)計重點突出，層次分明，環(huán)環(huán)緊扣，溫故知新。抓住知識的內(nèi)在聯(lián)系，教師處處啟發(fā)學(xué)生自己主動去獲取知識，使教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用得以充分發(fā)揮，體現(xiàn)了素質(zhì)教育的指導(dǎo)思想。生活事例貫穿整個教學(xué)過程，使數(shù)學(xué)知識人文化，使抽象的問題具體化，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性。使學(xué)生學(xué)有所得，學(xué)有所用，進一步激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)的思維態(tài)度。

第二篇：數(shù)列的應(yīng)用舉例教案說明

《數(shù)列在日常生活中的應(yīng)用》教案說明

一、教材地位與作用

本節(jié)課是等差數(shù)列與等比數(shù)列在購物方式上的應(yīng)用，此前學(xué)生已掌握等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，學(xué)生在知識和應(yīng)用能力方面都有了一定基礎(chǔ)，這節(jié)課對提高學(xué)生的應(yīng)用意識具有很高的價值，幫助學(xué)生建立零存整取模型，自動轉(zhuǎn)存模型，分期存款模型，提高學(xué)生在生活中應(yīng)用知識的能力。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計

1、使學(xué)生掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列在購物付款方式中的應(yīng)用；

2、培養(yǎng)學(xué)生搜集、選擇、處理信息的能力，發(fā)展學(xué)生獨立探究和解決問題的能力，提高學(xué)生的應(yīng)用意識；

3、通過學(xué)生之間，師生之間的交流與配合培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和團隊精神，通過獨立運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，使學(xué)生體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的重要性，增強他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和對數(shù)學(xué)的情感。

4、教學(xué)重點難點

重點：抓住分期付款問題的本質(zhì)分析問題； 難點：建立數(shù)學(xué)模型，理解分期付款的合理性。

三、教法分析

為了讓學(xué)生較好掌握本課內(nèi)容，本節(jié)課主要采用自主探究教學(xué)方式，我通過創(chuàng)設(shè)實際問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探索得到解決實際生活中的問題的方法。本節(jié)課在引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)數(shù)列知識分析問題時，留出學(xué)生思考的余地，讓學(xué)生去聯(lián)想，探索，鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，把

需要解決的問題弄清楚，做好建模工作。

四、教學(xué)過程

復(fù)習(xí)引入：等差、等比、求和問題的實際應(yīng)用。設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)為學(xué)生較好的學(xué)習(xí)本節(jié)課打下堅實的基礎(chǔ)。

教授新課例題一：引領(lǐng)學(xué)生認真讀題，審清題意，培養(yǎng)學(xué)生審題能力與處理信息的能力，通過遞推歸納轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和問題。教授新課例題二：讓學(xué)生自己讀題，通過提問把握學(xué)生審題程度。引導(dǎo)學(xué)生把問題轉(zhuǎn)化為利用等比數(shù)列的知識解決問題的方法上來。

五、思考交流:作為課堂練習(xí)

①便于觀察學(xué)情，及時從中獲取反饋信息，對其中偶發(fā)性錯誤進行辨析，指正。②通過形式性練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變和舉一反三的能力，逐步形成技能。

六、歸納小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了付款模型，增長率問題都是借助于等差等比知識解決。使學(xué)生鞏固所學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力。

第三篇：應(yīng)用舉例

工作流應(yīng)用情況舉例

應(yīng)該說，工作流軟件應(yīng)用的范圍還是非常廣泛，凡是各種通過表單逐級手工流轉(zhuǎn)完成的任務(wù)均可應(yīng)用工作流軟件自動實現(xiàn)，可以考慮在以下一些方面推行工作流程自動化。

行政管理類： 出差申請，加班申請，請假申請，用車申請，各種辦公工具申請，購買申請，日報周報，信息公告等凡是原來手工流轉(zhuǎn)處理的行政性表單。

人事管理類： 員工培訓(xùn)安排，績效考評，新員工安排，職位變動處理，員工檔案信息管理等。

財務(wù)相關(guān)類： 付款請求，應(yīng)收款處理，日常、差旅、娛樂報銷，預(yù)算和計劃申請等。客戶服務(wù)類： 客戶信息管理，客戶投訴、請求處理，售后服務(wù)管理。其他業(yè)務(wù)流程：訂單、報價處理，采購處理，合同審核，客戶電話處理等等。具體舉例，如：

Purchase Request、Purchase Order、Delivery Note、Payment Request、Reimbursement、Annual Leave Application、Medical Claim、Overtime Request、Going Abroad Request、Training Request、Leave Request、Air Ticket Request、Contract Pre-Approval Workflow Management、Voucher/Expense Request、Renting Car Request、Meeting Room Reservation Request、Moving/Renting Cubicle, Room Request、Visitor Request Form、Travel Request Form、Stationery Checklist For New Hire、Company Property Checklist、Exit Checklist、Employee Absence Report/Leave Application、OT Expenses Reimbursement Form、Nursery Expense Reimbursement Form、Temporary Help Request Form、Professional Affairs Request Form、Temporary Help Expenses Reimbursement Form，公文會簽表、名片申請單、用章申請單、付款/結(jié)算憑證、印刷品申請表等等。

Fiance：付款申請單、采購單、交通費報銷單

GA：差旅申請單、辦公用品申請單、訪客申請表、名片、名牌、門禁卡申請單、用章申請單、公文會簽表、公司合同管理會簽單 HR：領(lǐng)用公司財物清單、離職清單、員工休假申請表、加班申請表、加班費用報銷單、員工子女托費報銷單、臨時雇員申請表、培訓(xùn)申請表、專業(yè)事務(wù)申請表、書刊請購表、臨時工費用報銷申請表、員工醫(yī)藥費報銷申請表

出差(申請－報銷－報告)，請購（原料包材），人力需求申請表，派車單，用印申請表，員工考核表，工作申請表，人員異動申請表，薪資異動申請表，離職辭職人員申請表，離職移交表，名片印刷申請表，一般費用報銷（包含醫(yī)藥費報銷），請款（與ERP做接口），外出登記，加班申請，請購 等

第四篇：指數(shù)對數(shù)函數(shù)應(yīng)用舉例教案

對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用教案

編寫

林建國

審核

高一數(shù)學(xué)教研組

第1頁

4.5.3對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用舉例

教學(xué)目的：掌握利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的有關(guān)知識解決一些簡單的函數(shù)應(yīng)用問題。教學(xué)重點：利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的有關(guān)知識解決一些簡單的函數(shù)應(yīng)用問題。

教學(xué)難點：通過閱讀理解讀懂題目中文字敘述所反映的實際背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本，弄清題中出現(xiàn)的量及其數(shù)學(xué)含義；根據(jù)實際問題的具體背景，進行數(shù)學(xué)化設(shè)計，根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型。

教學(xué)方法：學(xué)導(dǎo)式教學(xué)法 教學(xué)過程： 1.復(fù)習(xí)

數(shù)學(xué)來自生活，又應(yīng)用于生活和生產(chǎn)實踐．而實際問題中又蘊涵著豐富的數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)思想與方法．今天我們就一起來探討幾個有關(guān)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用問題。例1.現(xiàn)有人口100萬，根據(jù)最近20年的統(tǒng)計資料，這個城市的人口的年自然增長率為1.2%，按這個增長率計算：

(1)10年后這個城市的人口預(yù)計有多少萬？(2)20年后這個城市的人口預(yù)計有多少萬？

(3)在今后20年內(nèi)，前10年與后10年分別增加了多少萬人？

分析：按年自然增長率為1.2%，計算1年后該城市的人口總數(shù)為100+100×1.2% =100（1+1.2%）（萬人）2年后該城市的人口總數(shù)為 100（1+1.2%）+100（1+1.2%）1.2%=100（1+1.2%）（萬人）

依此…n年后該城市的人口總數(shù)為 100（1+1.2%）（萬人）

解：（1）10年后該城市的人口總數(shù)為 100（1+1.2%）≈112.67（萬人）

20（2）20年后該城市的人口總數(shù)為 100（1+1.2%）≈126.94（萬人）（3）前10年增加的人口為112.67-100=12.67（萬人）

后10年增加的人口為126.94-112.67=14.27（萬人）答：…

例2.1995年我國人口總數(shù)是12億，如果人口的自然增長率控制在1.25%。問哪一年人口總數(shù)將達到14億？

解：設(shè)x年后人口總數(shù)將達到14億，則有12（1+1.25%）=14 即：1.0125=兩邊取常用對數(shù)可得：x=log1.012510

n14 1214 ≈12.4 12 答：13年后即2008年我國人口總數(shù)將達到14億。

例3.庫存的某種商品的價值是50萬元，如果每年的損耗是4.5%，那么經(jīng)過多少年，它的價值將為20萬元？ 對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用教案

編寫

林建國

審核

高一數(shù)學(xué)教研組

第2頁

解：設(shè)經(jīng)過x年它的價值將為20萬元，依題意有：50（1-4.5%）=20 ?50×0.955=20 ? 0.955=0.4 ?x?log0.9550.4 ? x≈20

2.小結(jié)：解決數(shù)學(xué)實際問題的關(guān)鍵是根據(jù)實際建立數(shù)學(xué)模型。

3.作業(yè)：page79 T6 PageT9，T10

第五篇：《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案

《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案

教學(xué)目標(biāo)：

1．認知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。2．能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨立實踐的能力。

3．情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。

教學(xué)重點：

了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。

教學(xué)難點：

數(shù)學(xué)歸納法原理的了解及遞推思想在解題中的體現(xiàn)。

教學(xué)過程：

一．創(chuàng)設(shè)情境，回顧引入

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》（板書）。首先給大家講一個故事：從前有一個員外的兒子學(xué)寫字，當(dāng)老師教他寫數(shù)字的時候，告訴他一、二、三的寫法時，員外兒子很高興，告訴老師他會寫數(shù)字了。過了不久，員外要寫請?zhí)缯堄H朋好友到家里做客，員外兒子自告奮勇地要寫請?zhí)＝Y(jié)果早晨開始寫，一直到了晚間也沒有寫完，請問同學(xué)們，這是為什么呢？

生：因為有姓“萬”的。

師：對！有姓“萬”的。員外兒子萬萬也沒有想到“萬”不是一萬橫，而是這么寫的“萬”。通過這個故事，你對員外兒子有何評價呢？

生：（學(xué)生的評價主要會有兩種，一是員外兒子愚蠢，二是員外兒子還是聰明的。）

師：其實員外兒子觀察、歸納、猜想的能力還是很不錯的，但遺憾的是他猜錯了！在數(shù)學(xué) 上，我們很多時候是通過觀察→歸納→猜想，這種思維過程去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論，它是一種創(chuàng)造性的思維過程。那么，我們在以前的學(xué)習(xí)過程中，有沒有也像員外兒子那樣猜想過某些結(jié)論呢？

生：有。例如等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)。

師：很好。我們是由等差數(shù)列前幾項滿足的規(guī)律：a1?a1?0d，a2?a1?d，a3?a1?2d，a4?a1?3d，??歸納出了它的通項公式的。其實我們推導(dǎo)等差數(shù)列通項公式的方法和員外兒子猜想數(shù)字寫法的方法都是歸納法。那么你能說說什么是歸納法，歸納法有什么特點嗎？

生：由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。特點：特殊→一般。師：對。（投影展示有關(guān)定義）

像這種由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。根據(jù)推理過程中考察的對象是涉及事物的一部分還是全部，分為不完全歸納法和完全歸納法。

完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。那么，用完全歸納法得出的結(jié)論可靠嗎？

生：（齊答）可靠。

師：用不完全歸納法得出的結(jié)論是不是也是可靠的呢？為什么？

生：不可靠。這是因為只考察了部分情況，結(jié)論不一定具有普遍性。

師：是不可靠的。不妨再舉一例an??n?1??n?2??n?3???n?1000?容易驗證a1?0，a2?0，a3?0，?，a1000?0，如果由此作出結(jié)論——對于任何n?N*，an??n?1??n?2??n?3?? ?n?1000??0都成立，那就是錯誤的。事實上，a1001?1000!?0。

二．設(shè)置問題，引導(dǎo)探究

師：請問同學(xué)們你們玩過多米諾骨牌嗎？ 生：（沒）玩過。（課堂氣氛由剛才的沉思變得開始活躍）師：無論玩沒玩過，下面我們一起來玩一下。（投影儀上進行生動、形象的骨牌演示）在觀看骨牌玩法時，請思考：滿足什么條件，骨牌可以全部倒下？

生：假設(shè)第kk?N*張骨牌倒下，保證第k?1張骨牌倒下。

師：這樣就保證了可以遞推下去，骨牌就可以全部倒下了，是嗎？

生：不是。我們不知道第k張骨牌是否倒下了，從而我們是假設(shè)第k張骨牌倒下。若第k張骨牌倒下，需要第k?1張骨牌倒下；若第k?1張骨牌倒下，需要第k?2張骨牌倒下，??，最后遞歸到需要第1張骨牌倒下，所以，還要有一個條件：第一張骨牌倒下。

師：大家說有了這兩個條件，骨牌是不是可以順次的倒下呢？ 生：是。

師：上面同學(xué)說得很好，要使骨牌全部倒下應(yīng)滿足兩個條件（投影顯示）第一個條件是：第一張骨牌倒下；第二個條件是：假設(shè)第k張骨牌倒下，第k?1張骨牌一定倒下。

現(xiàn)在你能不能利用這種思想（遞推思想）來證明等差數(shù)列通項公式呢？是不是應(yīng)該建立一種遞推順序呢？

生：n?1時結(jié)論正確?n?2時結(jié)論正確?n?3時，結(jié)論正確，???n?k時結(jié)論正確?n?k?1時結(jié)論正確??

師：由于這個過程推理方法是一樣的，能否把這個過程一般化呢？ 生：假設(shè)n?k時結(jié)論正確?n?k?1時結(jié)論也正確。

師：這樣就保證了遞推。下面你能證明等差數(shù)列通項公式了嗎？ 三．解決問題，引出概念（學(xué)生共答，教師板書）

證明：（1）當(dāng)n?1時，左邊?a，右邊?a1?0?d?a1，等式是成立的。

（2）假設(shè)當(dāng)n?k時等式成立，就是ak?a1?(k?1)d，下面看看是否能推出n?k?1時等式也成立，那么ak?1等于什么？

生：ak?1?a1??(k?1)?1?d。

師：哦！看來n?k?1時等式也成立，這樣做對嗎？ 生：（齊答）不對。

師：注意在證n?k?1時，一定要用到歸納假設(shè)，n?k時等式成立這一步，因為這樣才能保證遞推，那么ak?1與ak有什么關(guān)系呢？（學(xué)生齊答，教師繼續(xù)板書）??ak?1?ak?d??a1?(k?1)d??d?a1??(k?1)?1?d。這就是說，當(dāng)n?k?1時，等式也成立，大家說有了這兩步，是不是就證明了等差數(shù)列通項公式的正確性了呢？

生：n?1時等式成立?n?2時等式成立?n?3時等式成立???所以n取任何正整數(shù)等式都成立。

師：這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，那么你能談?wù)勈裁词菙?shù)學(xué)歸納法，及其用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟是怎樣的呢？

生：（在學(xué)生交流，教師引導(dǎo)完善下）數(shù)學(xué)歸納法（證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟）是：（投影跟蹤給出）。

（1）證明當(dāng)n取第一個值n0（例如n0?1或2等）時結(jié)論正確；

（2）假設(shè)當(dāng)n?k（k?N*，且k?n0）時結(jié)論正確，證明當(dāng)n?k?1時結(jié)論也正確。根據(jù)（1）和（2），可知命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。所以數(shù)學(xué)歸納法是證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法。概括起來就是“兩個步驟，一個結(jié)論。”

師：用數(shù)學(xué)歸納法證題，實質(zhì)是一種什么思想？ 生：遞推思想。

師：在遞推中，兩個步驟各起到了怎樣的作用呢？

生：第一步是奠基，是遞推的基礎(chǔ)，第二步是保證能夠遞推，是遞推的依據(jù)。（此時投影上注明）

師：這兩步可以缺少哪一步嗎？ 生：（學(xué)生舉例說明，教師點評，投影上也舉出實例，從而明確）兩步缺一不可。

師：我們已經(jīng)知道，由不完全歸納法得到的結(jié)論不可靠，因而必須作證明。若命題是與正整數(shù)有關(guān)的，證明可考慮用數(shù)學(xué)歸納法。下面請同學(xué)們看一道例題。

例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1?3?5????2n?1??n2（師生共同證題，總結(jié)出用數(shù)學(xué)歸納法證題的技巧是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。）

練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1．1?2?3???n?1n?n?1?。22．1?2?22???2n?1?2n?1。

3．首項是a1，公比是q的等比數(shù)列的通項公式是an?a1qn?1。

四．歸納小結(jié)，深化主題

師：本節(jié)的中心內(nèi)容是什么？為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法？什么是數(shù)學(xué)歸納法？體現(xiàn)什么思想？

生：（學(xué)生積極回答，從而自主地構(gòu)建本節(jié)課的知識網(wǎng)絡(luò)。）（投影展示）小結(jié)：

?不完全歸納法1．歸納法?

完全歸納法?特點：特殊→一般

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法概念及證題步驟。3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法實質(zhì)是遞推思想。五．布置作業(yè)： P76 1，2

《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案說明

一、數(shù)學(xué)歸納法的地位與作用

1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法在教材中的地位與作用

數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)命題的一種重要的證明方法，它起源于正整數(shù)的歸納公理或最小數(shù)原理，而演變成各種形式?！稊?shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》是人教版高中數(shù)學(xué)新教材第三冊第二章“極限”中第一部分的知識。通過對數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，可對中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，如等差、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、二項式定理以及中小學(xué)很多思維上開拓創(chuàng)新的題目可以進行很好地證明，使很多數(shù)學(xué)結(jié)論更加嚴(yán)密，也為后繼學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法對思維發(fā)展的地位與作用

人類對問題的研究，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)認同，思維流程通常是觀察→歸納→猜想→證明。猜想的結(jié)論對不對，證明是尤為關(guān)鍵的。運用數(shù)學(xué)歸納法解題時，有助于學(xué)生對等式的恒等變形，不等式的放縮，數(shù)、式、形的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等知識加強訓(xùn)練與掌握。對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，蘊含著遞 歸與遞推，歸納與推理，特殊到一般，有限到無限等數(shù)學(xué)思想和方法，對思維的發(fā)展起到了完善與推動的作用。

二、數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)與教學(xué)目標(biāo)定位

數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)了遞推的思想，數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)就是利用遞推思想去證題的一種方法。一堂精彩的課不僅僅是傳授給學(xué)生知識，更重要的是對學(xué)生能力的培養(yǎng)和情感的熏陶。根據(jù)本節(jié)課的特點及布魯納的教學(xué)目標(biāo)，特設(shè)置一條明線：如何驗證等差數(shù)列通項公式的正確性；一條暗線：如何驗證由不完全歸納法得到的與正整數(shù)有關(guān)命題的真假。將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為三重目標(biāo)：①認知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法與技巧；②能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨立實踐的能力；③情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。

三、學(xué)法、教法特點及預(yù)期效果

1．學(xué)法指導(dǎo)

高中學(xué)生具有一定的邏輯思維和推理演算能力，并且對事物的認識逐步的由感性上升到理性，個體的發(fā)展由外顯轉(zhuǎn)化為內(nèi)隱，這些都是我們學(xué)好本節(jié)的有利因素。但不足的是，學(xué)生考慮問題的全面性及課堂氣氛的活躍性還不夠好。為此，根據(jù)教育學(xué)家奧蘇伯爾關(guān)于學(xué)科和認知結(jié)構(gòu)組織的假設(shè)及其“先行組織者”技術(shù)與美國心理學(xué)家布魯納倡導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)法教育理論，在學(xué)法方面我采用“導(dǎo)—思—點撥—練”的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生自主參與知識的發(fā)生、發(fā)展、形成過程。在這個過程中對學(xué)生進行以下學(xué)法指導(dǎo)。

（1）溫故知新法

引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程，從而引出歸納法的概念，其又分為完全歸納法和不完全歸納法，如何驗證等差數(shù)列通項公式的正確性呢？進而引出數(shù)學(xué)歸納法。

（2）體驗感悟法

讓學(xué)生認真觀看多米諾骨牌實驗，從而感悟數(shù)學(xué)歸納法原理。（3）質(zhì)疑法

引導(dǎo)學(xué)生主動質(zhì)疑，解決問題，得到方法。（4）練習(xí)法

通過類比，練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證題，進一步體會數(shù)學(xué)歸納法原理。2．教學(xué)特點 本節(jié)課在教法上貫徹如下兩個原則：

一是建構(gòu)主義原則。學(xué)生是教學(xué)的主體，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種再創(chuàng)造過程，他們通過吸收與融合原知識的過程來建立理解的層次結(jié)構(gòu)。皮亞杰的認知結(jié)構(gòu)學(xué)說：“所有的認知結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)再構(gòu)建，構(gòu)成復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，不斷發(fā)展?！睌?shù)學(xué)知識不能從一個人遷移到另一個人，一個人的數(shù)學(xué)知識必須基于個人對經(jīng)驗的歸納、交流，通過反思來主動建構(gòu)，這就是建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀。為此教學(xué)設(shè)計是通過等差數(shù)列通項公式的證明及多米諾骨牌實驗引導(dǎo)學(xué)生積極主動的進行建構(gòu)。

二是寓教于樂原則。實踐證明，學(xué)生在積極愉快的情形下，學(xué)習(xí)效率會大幅提高；在寬松的情形下，能夠最大限度地激發(fā)其聰明才智和創(chuàng)造性。結(jié)合本節(jié)課特點，將知識性與趣味性相結(jié)合，以吸引學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，自覺地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以調(diào)動學(xué)生的“心理場”。比如，通過講員外兒子學(xué)寫數(shù)字，引進了歸納法的概念，同時學(xué)生也體會到通過觀察、歸納、猜想一些結(jié)論，是很好的一個思維流程，但其結(jié)果不可靠。通過多米諾骨牌玩法的演示，詮釋了遞推思想。

3．預(yù)期效果

通過學(xué)法指導(dǎo)，教法特點實現(xiàn)三重目標(biāo)。

四、教學(xué)診斷與評價

1．教學(xué)診斷

證明數(shù)學(xué)歸納法的第一步是容易實現(xiàn)的，第二步是重點也是難點，在驗證n?k?1命題的正確性時，極易脫離歸納假設(shè)，為此應(yīng)重申遞推思想，總結(jié)出證題技巧“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。

2．教學(xué)評價

整個教學(xué)設(shè)計重點突出，層次分明，環(huán)環(huán)緊扣，溫故知新。抓住知識的內(nèi)在聯(lián)系，教師處處啟發(fā)學(xué)生自己主動去獲取知識，使教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用得以充分發(fā)揮，體現(xiàn)了素質(zhì)教育的指導(dǎo)思想。生活事例貫穿整個教學(xué)過程，使數(shù)學(xué)知識人文化，使抽象的問題具體化，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性。使學(xué)生學(xué)有所得，學(xué)有所用，進一步激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)的思維態(tài)度。