第一篇：《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案

《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案

教學(xué)目標(biāo)：

1．認(rèn)知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。2．能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨(dú)立實(shí)踐的能力。

3．情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。

教學(xué)重點(diǎn)：

了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。

教學(xué)難點(diǎn)：

數(shù)學(xué)歸納法原理的了解及遞推思想在解題中的體現(xiàn)。

教學(xué)過(guò)程：

一．創(chuàng)設(shè)情境，回顧引入

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》（板書(shū)）。首先給大家講一個(gè)故事：從前有一個(gè)員外的兒子學(xué)寫(xiě)字，當(dāng)老師教他寫(xiě)數(shù)字的時(shí)候，告訴他一、二、三的寫(xiě)法時(shí)，員外兒子很高興，告訴老師他會(huì)寫(xiě)數(shù)字了。過(guò)了不久，員外要寫(xiě)請(qǐng)?zhí)缯?qǐng)親朋好友到家里做客，員外兒子自告奮勇地要寫(xiě)請(qǐng)?zhí)?。結(jié)果早晨開(kāi)始寫(xiě)，一直到了晚間也沒(méi)有寫(xiě)完，請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們，這是為什么呢？

生：因?yàn)橛行铡叭f(wàn)”的。

師：對(duì)！有姓“萬(wàn)”的。員外兒子萬(wàn)萬(wàn)也沒(méi)有想到“萬(wàn)”不是一萬(wàn)橫，而是這么寫(xiě)的“萬(wàn)”。通過(guò)這個(gè)故事，你對(duì)員外兒子有何評(píng)價(jià)呢？

生：（學(xué)生的評(píng)價(jià)主要會(huì)有兩種，一是員外兒子愚蠢，二是員外兒子還是聰明的。）

師：其實(shí)員外兒子觀察、歸納、猜想的能力還是很不錯(cuò)的，但遺憾的是他猜錯(cuò)了！在數(shù)學(xué) 上，我們很多時(shí)候是通過(guò)觀察→歸納→猜想，這種思維過(guò)程去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論，它是一種創(chuàng)造性的思維過(guò)程。那么，我們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，有沒(méi)有也像員外兒子那樣猜想過(guò)某些結(jié)論呢？

生：有。例如等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。

師：很好。我們是由等差數(shù)列前幾項(xiàng)滿足的規(guī)律：a1?a1?0d，a2?a1?d，a3?a1?2d，a4?a1?3d，??歸納出了它的通項(xiàng)公式的。其實(shí)我們推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和員外兒子猜想數(shù)字寫(xiě)法的方法都是歸納法。那么你能說(shuō)說(shuō)什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)嗎？

生：由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。特點(diǎn)：特殊→一般。師：對(duì)。（投影展示有關(guān)定義）

像這種由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。根據(jù)推理過(guò)程中考察的對(duì)象是涉及事物的一部分還是全部，分為不完全歸納法和完全歸納法。

完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。那么，用完全歸納法得出的結(jié)論可靠嗎？

生：（齊答）可靠。

師：用不完全歸納法得出的結(jié)論是不是也是可靠的呢？為什么？

生：不可靠。這是因?yàn)橹豢疾炝瞬糠智闆r，結(jié)論不一定具有普遍性。

師：是不可靠的。不妨再舉一例an??n?1??n?2??n?3???n?1000?容易驗(yàn)證a1?0，a2?0，a3?0，?，a1000?0，如果由此作出結(jié)論——對(duì)于任何n?N*，an??n?1??n?2??n?3?? ?n?1000??0都成立，那就是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，a1001?1000!?0。

二．設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)探究

師：請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們你們玩過(guò)多米諾骨牌嗎？ 生：（沒(méi)）玩過(guò)。（課堂氣氛由剛才的沉思變得開(kāi)始活躍）師：無(wú)論玩沒(méi)玩過(guò)，下面我們一起來(lái)玩一下。（投影儀上進(jìn)行生動(dòng)、形象的骨牌演示）在觀看骨牌玩法時(shí)，請(qǐng)思考：滿足什么條件，骨牌可以全部倒下？

生：假設(shè)第kk?N*張骨牌倒下，保證第k?1張骨牌倒下。

師：這樣就保證了可以遞推下去，骨牌就可以全部倒下了，是嗎？

生：不是。我們不知道第k張骨牌是否倒下了，從而我們是假設(shè)第k張骨牌倒下。若第k張骨牌倒下，需要第k?1張骨牌倒下；若第k?1張骨牌倒下，需要第k?2張骨牌倒下，??，最后遞歸到需要第1張骨牌倒下，所以，還要有一個(gè)條件：第一張骨牌倒下。

師：大家說(shuō)有了這兩個(gè)條件，骨牌是不是可以順次的倒下呢？ 生：是。

師：上面同學(xué)說(shuō)得很好，要使骨牌全部倒下應(yīng)滿足兩個(gè)條件（投影顯示）第一個(gè)條件是：第一張骨牌倒下；第二個(gè)條件是：假設(shè)第k張骨牌倒下，第k?1張骨牌一定倒下。

現(xiàn)在你能不能利用這種思想（遞推思想）來(lái)證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式呢？是不是應(yīng)該建立一種遞推順序呢？

生：n?1時(shí)結(jié)論正確?n?2時(shí)結(jié)論正確?n?3時(shí)，結(jié)論正確，???n?k時(shí)結(jié)論正確?n?k?1時(shí)結(jié)論正確??

師：由于這個(gè)過(guò)程推理方法是一樣的，能否把這個(gè)過(guò)程一般化呢？ 生：假設(shè)n?k時(shí)結(jié)論正確?n?k?1時(shí)結(jié)論也正確。

師：這樣就保證了遞推。下面你能證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式了嗎？ 三．解決問(wèn)題，引出概念（學(xué)生共答，教師板書(shū)）

證明：（1）當(dāng)n?1時(shí)，左邊?a，右邊?a1?0?d?a1，等式是成立的。

（2）假設(shè)當(dāng)n?k時(shí)等式成立，就是ak?a1?(k?1)d，下面看看是否能推出n?k?1時(shí)等式也成立，那么ak?1等于什么？

生：ak?1?a1??(k?1)?1?d。

師：哦！看來(lái)n?k?1時(shí)等式也成立，這樣做對(duì)嗎？ 生：（齊答）不對(duì)。

師：注意在證n?k?1時(shí)，一定要用到歸納假設(shè)，n?k時(shí)等式成立這一步，因?yàn)檫@樣才能保證遞推，那么ak?1與ak有什么關(guān)系呢？（學(xué)生齊答，教師繼續(xù)板書(shū)）??ak?1?ak?d??a1?(k?1)d??d?a1??(k?1)?1?d。這就是說(shuō)，當(dāng)n?k?1時(shí)，等式也成立，大家說(shuō)有了這兩步，是不是就證明了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性了呢？

生：n?1時(shí)等式成立?n?2時(shí)等式成立?n?3時(shí)等式成立???所以n取任何正整數(shù)等式都成立。

師：這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，那么你能談?wù)勈裁词菙?shù)學(xué)歸納法，及其用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟是怎樣的呢？

生：（在學(xué)生交流，教師引導(dǎo)完善下）數(shù)學(xué)歸納法（證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟）是：（投影跟蹤給出）。

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（例如n0?1或2等）時(shí)結(jié)論正確；

（2）假設(shè)當(dāng)n?k（k?N*，且k?n0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n?k?1時(shí)結(jié)論也正確。根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確。所以數(shù)學(xué)歸納法是證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法。概括起來(lái)就是“兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論。”

師：用數(shù)學(xué)歸納法證題，實(shí)質(zhì)是一種什么思想？ 生：遞推思想。

師：在遞推中，兩個(gè)步驟各起到了怎樣的作用呢？

生：第一步是奠基，是遞推的基礎(chǔ)，第二步是保證能夠遞推，是遞推的依據(jù)。（此時(shí)投影上注明）

師：這兩步可以缺少哪一步嗎？ 生：（學(xué)生舉例說(shuō)明，教師點(diǎn)評(píng)，投影上也舉出實(shí)例，從而明確）兩步缺一不可。

師：我們已經(jīng)知道，由不完全歸納法得到的結(jié)論不可靠，因而必須作證明。若命題是與正整數(shù)有關(guān)的，證明可考慮用數(shù)學(xué)歸納法。下面請(qǐng)同學(xué)們看一道例題。

例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1?3?5????2n?1??n2（師生共同證題，總結(jié)出用數(shù)學(xué)歸納法證題的技巧是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。）

練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1．1?2?3???n?1n?n?1?。22．1?2?22???2n?1?2n?1。

3．首項(xiàng)是a1，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an?a1qn?1。

四．歸納小結(jié)，深化主題

師：本節(jié)的中心內(nèi)容是什么？為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法？什么是數(shù)學(xué)歸納法？體現(xiàn)什么思想？

生：（學(xué)生積極回答，從而自主地構(gòu)建本節(jié)課的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。）（投影展示）小結(jié)：

?不完全歸納法1．歸納法?

完全歸納法?特點(diǎn)：特殊→一般

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法概念及證題步驟。3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法實(shí)質(zhì)是遞推思想。五．布置作業(yè)： P76 1，2

《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案說(shuō)明

一、數(shù)學(xué)歸納法的地位與作用

1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法在教材中的地位與作用

數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)命題的一種重要的證明方法，它起源于正整數(shù)的歸納公理或最小數(shù)原理，而演變成各種形式。《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》是人教版高中數(shù)學(xué)新教材第三冊(cè)第二章“極限”中第一部分的知識(shí)。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，可對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，如等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、二項(xiàng)式定理以及中小學(xué)很多思維上開(kāi)拓創(chuàng)新的題目可以進(jìn)行很好地證明，使很多數(shù)學(xué)結(jié)論更加嚴(yán)密，也為后繼學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法對(duì)思維發(fā)展的地位與作用

人類對(duì)問(wèn)題的研究，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)認(rèn)同，思維流程通常是觀察→歸納→猜想→證明。猜想的結(jié)論對(duì)不對(duì)，證明是尤為關(guān)鍵的。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題時(shí)，有助于學(xué)生對(duì)等式的恒等變形，不等式的放縮，數(shù)、式、形的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等知識(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練與掌握。對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，蘊(yùn)含著遞 歸與遞推，歸納與推理，特殊到一般，有限到無(wú)限等數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)思維的發(fā)展起到了完善與推動(dòng)的作用。

二、數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)與教學(xué)目標(biāo)定位

數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)了遞推的思想，數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)就是利用遞推思想去證題的一種方法。一堂精彩的課不僅僅是傳授給學(xué)生知識(shí)，更重要的是對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)和情感的熏陶。根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)及布魯納的教學(xué)目標(biāo)，特設(shè)置一條明線：如何驗(yàn)證等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性；一條暗線：如何驗(yàn)證由不完全歸納法得到的與正整數(shù)有關(guān)命題的真假。將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為三重目標(biāo)：①認(rèn)知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法與技巧；②能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨(dú)立實(shí)踐的能力；③情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。

三、學(xué)法、教法特點(diǎn)及預(yù)期效果

1．學(xué)法指導(dǎo)

高中學(xué)生具有一定的邏輯思維和推理演算能力，并且對(duì)事物的認(rèn)識(shí)逐步的由感性上升到理性，個(gè)體的發(fā)展由外顯轉(zhuǎn)化為內(nèi)隱，這些都是我們學(xué)好本節(jié)的有利因素。但不足的是，學(xué)生考慮問(wèn)題的全面性及課堂氣氛的活躍性還不夠好。為此，根據(jù)教育學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾關(guān)于學(xué)科和認(rèn)知結(jié)構(gòu)組織的假設(shè)及其“先行組織者”技術(shù)與美國(guó)心理學(xué)家布魯納倡導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)法教育理論，在學(xué)法方面我采用“導(dǎo)—思—點(diǎn)撥—練”的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生自主參與知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行以下學(xué)法指導(dǎo)。

（1）溫故知新法

引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，從而引出歸納法的概念，其又分為完全歸納法和不完全歸納法，如何驗(yàn)證等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性呢？進(jìn)而引出數(shù)學(xué)歸納法。

（2）體驗(yàn)感悟法

讓學(xué)生認(rèn)真觀看多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)，從而感悟數(shù)學(xué)歸納法原理。（3）質(zhì)疑法

引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)質(zhì)疑，解決問(wèn)題，得到方法。（4）練習(xí)法

通過(guò)類比，練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證題，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法原理。2．教學(xué)特點(diǎn) 本節(jié)課在教法上貫徹如下兩個(gè)原則：

一是建構(gòu)主義原則。學(xué)生是教學(xué)的主體，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種再創(chuàng)造過(guò)程，他們通過(guò)吸收與融合原知識(shí)的過(guò)程來(lái)建立理解的層次結(jié)構(gòu)。皮亞杰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)說(shuō)：“所有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)再構(gòu)建，構(gòu)成復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，不斷發(fā)展?！睌?shù)學(xué)知識(shí)不能從一個(gè)人遷移到另一個(gè)人，一個(gè)人的數(shù)學(xué)知識(shí)必須基于個(gè)人對(duì)經(jīng)驗(yàn)的歸納、交流，通過(guò)反思來(lái)主動(dòng)建構(gòu)，這就是建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀。為此教學(xué)設(shè)計(jì)是通過(guò)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明及多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)的進(jìn)行建構(gòu)。

二是寓教于樂(lè)原則。實(shí)踐證明，學(xué)生在積極愉快的情形下，學(xué)習(xí)效率會(huì)大幅提高；在寬松的情形下，能夠最大限度地激發(fā)其聰明才智和創(chuàng)造性。結(jié)合本節(jié)課特點(diǎn)，將知識(shí)性與趣味性相結(jié)合，以吸引學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，自覺(jué)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的“心理場(chǎng)”。比如，通過(guò)講員外兒子學(xué)寫(xiě)數(shù)字，引進(jìn)了歸納法的概念，同時(shí)學(xué)生也體會(huì)到通過(guò)觀察、歸納、猜想一些結(jié)論，是很好的一個(gè)思維流程，但其結(jié)果不可靠。通過(guò)多米諾骨牌玩法的演示，詮釋了遞推思想。

3．預(yù)期效果

通過(guò)學(xué)法指導(dǎo)，教法特點(diǎn)實(shí)現(xiàn)三重目標(biāo)。

四、教學(xué)診斷與評(píng)價(jià)

1．教學(xué)診斷

證明數(shù)學(xué)歸納法的第一步是容易實(shí)現(xiàn)的，第二步是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，在驗(yàn)證n?k?1命題的正確性時(shí)，極易脫離歸納假設(shè)，為此應(yīng)重申遞推思想，總結(jié)出證題技巧“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。

2．教學(xué)評(píng)價(jià)

整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)重點(diǎn)突出，層次分明，環(huán)環(huán)緊扣，溫故知新。抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，教師處處啟發(fā)學(xué)生自己主動(dòng)去獲取知識(shí)，使教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用得以充分發(fā)揮，體現(xiàn)了素質(zhì)教育的指導(dǎo)思想。生活事例貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程，使數(shù)學(xué)知識(shí)人文化，使抽象的問(wèn)題具體化，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性。使學(xué)生學(xué)有所得，學(xué)有所用，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)的思維態(tài)度。

第二篇：應(yīng)用舉例

工作流應(yīng)用情況舉例

應(yīng)該說(shuō)，工作流軟件應(yīng)用的范圍還是非常廣泛，凡是各種通過(guò)表單逐級(jí)手工流轉(zhuǎn)完成的任務(wù)均可應(yīng)用工作流軟件自動(dòng)實(shí)現(xiàn)，可以考慮在以下一些方面推行工作流程自動(dòng)化。

行政管理類： 出差申請(qǐng)，加班申請(qǐng)，請(qǐng)假申請(qǐng)，用車(chē)申請(qǐng)，各種辦公工具申請(qǐng)，購(gòu)買(mǎi)申請(qǐng)，日?qǐng)?bào)周報(bào)，信息公告等凡是原來(lái)手工流轉(zhuǎn)處理的行政性表單。

人事管理類： 員工培訓(xùn)安排，績(jī)效考評(píng)，新員工安排，職位變動(dòng)處理，員工檔案信息管理等。

財(cái)務(wù)相關(guān)類： 付款請(qǐng)求，應(yīng)收款處理，日常、差旅、娛樂(lè)報(bào)銷(xiāo)，預(yù)算和計(jì)劃申請(qǐng)等?？蛻舴?wù)類： 客戶信息管理，客戶投訴、請(qǐng)求處理，售后服務(wù)管理。其他業(yè)務(wù)流程：訂單、報(bào)價(jià)處理，采購(gòu)處理，合同審核，客戶電話處理等等。具體舉例，如：

Purchase Request、Purchase Order、Delivery Note、Payment Request、Reimbursement、Annual Leave Application、Medical Claim、Overtime Request、Going Abroad Request、Training Request、Leave Request、Air Ticket Request、Contract Pre-Approval Workflow Management、Voucher/Expense Request、Renting Car Request、Meeting Room Reservation Request、Moving/Renting Cubicle, Room Request、Visitor Request Form、Travel Request Form、Stationery Checklist For New Hire、Company Property Checklist、Exit Checklist、Employee Absence Report/Leave Application、OT Expenses Reimbursement Form、Nursery Expense Reimbursement Form、Temporary Help Request Form、Professional Affairs Request Form、Temporary Help Expenses Reimbursement Form，公文會(huì)簽表、名片申請(qǐng)單、用章申請(qǐng)單、付款/結(jié)算憑證、印刷品申請(qǐng)表等等。

Fiance：付款申請(qǐng)單、采購(gòu)單、交通費(fèi)報(bào)銷(xiāo)單

GA：差旅申請(qǐng)單、辦公用品申請(qǐng)單、訪客申請(qǐng)表、名片、名牌、門(mén)禁卡申請(qǐng)單、用章申請(qǐng)單、公文會(huì)簽表、公司合同管理會(huì)簽單 HR：領(lǐng)用公司財(cái)物清單、離職清單、員工休假申請(qǐng)表、加班申請(qǐng)表、加班費(fèi)用報(bào)銷(xiāo)單、員工子女托費(fèi)報(bào)銷(xiāo)單、臨時(shí)雇員申請(qǐng)表、培訓(xùn)申請(qǐng)表、專業(yè)事務(wù)申請(qǐng)表、書(shū)刊請(qǐng)購(gòu)表、臨時(shí)工費(fèi)用報(bào)銷(xiāo)申請(qǐng)表、員工醫(yī)藥費(fèi)報(bào)銷(xiāo)申請(qǐng)表

出差(申請(qǐng)－報(bào)銷(xiāo)－報(bào)告)，請(qǐng)購(gòu)（原料包材），人力需求申請(qǐng)表，派車(chē)單，用印申請(qǐng)表，員工考核表，工作申請(qǐng)表，人員異動(dòng)申請(qǐng)表，薪資異動(dòng)申請(qǐng)表，離職辭職人員申請(qǐng)表，離職移交表，名片印刷申請(qǐng)表，一般費(fèi)用報(bào)銷(xiāo)（包含醫(yī)藥費(fèi)報(bào)銷(xiāo)），請(qǐng)款（與ERP做接口），外出登記，加班申請(qǐng)，請(qǐng)購(gòu) 等

第三篇：指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用舉例教案

對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用教案

編寫(xiě)

林建國(guó)

審核

高一數(shù)學(xué)教研組

第1頁(yè)

4.5.3對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用舉例

教學(xué)目的：掌握利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題。

教學(xué)難點(diǎn)：通過(guò)閱讀理解讀懂題目中文字?jǐn)⑹鏊从车膶?shí)際背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本，弄清題中出現(xiàn)的量及其數(shù)學(xué)含義；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體背景，進(jìn)行數(shù)學(xué)化設(shè)計(jì)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型。

教學(xué)方法：學(xué)導(dǎo)式教學(xué)法 教學(xué)過(guò)程： 1.復(fù)習(xí)

數(shù)學(xué)來(lái)自生活，又應(yīng)用于生活和生產(chǎn)實(shí)踐．而實(shí)際問(wèn)題中又蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)思想與方法．今天我們就一起來(lái)探討幾個(gè)有關(guān)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題。例1.現(xiàn)有人口100萬(wàn)，根據(jù)最近20年的統(tǒng)計(jì)資料，這個(gè)城市的人口的年自然增長(zhǎng)率為1.2%，按這個(gè)增長(zhǎng)率計(jì)算：

(1)10年后這個(gè)城市的人口預(yù)計(jì)有多少萬(wàn)？(2)20年后這個(gè)城市的人口預(yù)計(jì)有多少萬(wàn)？

(3)在今后20年內(nèi)，前10年與后10年分別增加了多少萬(wàn)人？

分析：按年自然增長(zhǎng)率為1.2%，計(jì)算1年后該城市的人口總數(shù)為100+100×1.2% =100（1+1.2%）（萬(wàn)人）2年后該城市的人口總數(shù)為 100（1+1.2%）+100（1+1.2%）1.2%=100（1+1.2%）（萬(wàn)人）

依此…n年后該城市的人口總數(shù)為 100（1+1.2%）（萬(wàn)人）

解：（1）10年后該城市的人口總數(shù)為 100（1+1.2%）≈112.67（萬(wàn)人）

20（2）20年后該城市的人口總數(shù)為 100（1+1.2%）≈126.94（萬(wàn)人）（3）前10年增加的人口為112.67-100=12.67（萬(wàn)人）

后10年增加的人口為126.94-112.67=14.27（萬(wàn)人）答：…

例2.1995年我國(guó)人口總數(shù)是12億，如果人口的自然增長(zhǎng)率控制在1.25%。問(wèn)哪一年人口總數(shù)將達(dá)到14億？

解：設(shè)x年后人口總數(shù)將達(dá)到14億，則有12（1+1.25%）=14 即：1.0125=兩邊取常用對(duì)數(shù)可得：x=log1.012510

n14 1214 ≈12.4 12 答：13年后即2008年我國(guó)人口總數(shù)將達(dá)到14億。

例3.庫(kù)存的某種商品的價(jià)值是50萬(wàn)元，如果每年的損耗是4.5%，那么經(jīng)過(guò)多少年，它的價(jià)值將為20萬(wàn)元？ 對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用教案

編寫(xiě)

林建國(guó)

審核

高一數(shù)學(xué)教研組

第2頁(yè)

解：設(shè)經(jīng)過(guò)x年它的價(jià)值將為20萬(wàn)元，依題意有：50（1-4.5%）=20 ?50×0.955=20 ? 0.955=0.4 ?x?log0.9550.4 ? x≈20

2.小結(jié)：解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際建立數(shù)學(xué)模型。

3.作業(yè)：page79 T6 PageT9，T10

第四篇：《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案

《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案

云南省曲靖市第一中學(xué)

李德安

教學(xué)目標(biāo)：

1．認(rèn)知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。2．能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨(dú)立實(shí)踐的能力。

3．情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。

教學(xué)重點(diǎn)：

了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。

教學(xué)難點(diǎn)：

數(shù)學(xué)歸納法原理的了解及遞推思想在解題中的體現(xiàn)。

教學(xué)過(guò)程：

一．創(chuàng)設(shè)情境，回顧引入

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》（板書(shū)）。首先給大家講一個(gè)故事：從前有一個(gè)員外的兒子學(xué)寫(xiě)字，當(dāng)老師教他寫(xiě)數(shù)字的時(shí)候，告訴他一、二、三的寫(xiě)法時(shí)，員外兒子很高興，告訴老師他會(huì)寫(xiě)數(shù)字了。過(guò)了不久，員外要寫(xiě)請(qǐng)?zhí)缯?qǐng)親朋好友到家里做客，員外兒子自告奮勇地要寫(xiě)請(qǐng)?zhí)?。結(jié)果早晨開(kāi)始寫(xiě)，一直到了晚間也沒(méi)有寫(xiě)完，請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們，這是為什么呢？

生：因?yàn)橛行铡叭f(wàn)”的。

師：對(duì)！有姓“萬(wàn)”的。員外兒子萬(wàn)萬(wàn)也沒(méi)有想到“萬(wàn)”不是一萬(wàn)橫，而是這么寫(xiě)的“萬(wàn)”。通過(guò)這個(gè)故事，你對(duì)員外兒子有何評(píng)價(jià)呢？

生：（學(xué)生的評(píng)價(jià)主要會(huì)有兩種，一是員外兒子愚蠢，二是員外兒子還是聰明的。）

師：其實(shí)員外兒子觀察、歸納、猜想的能力還是很不錯(cuò)的，但遺憾的是他猜錯(cuò)了！在數(shù)學(xué) 上，我們很多時(shí)候是通過(guò)觀察→歸納→猜想，這種思維過(guò)程去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論，它是一種創(chuàng)造性的思維過(guò)程。那么，我們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，有沒(méi)有也像員外兒子那樣猜想過(guò)某些結(jié)論呢？

生：有。例如等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。

師：很好。我們是由等差數(shù)列前幾項(xiàng)滿足的規(guī)律：a1?a1?0d，a2?a1?d，a3?a1?2d，a4?a1?3d，??歸納出了它的通項(xiàng)公式的。其實(shí)我們推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和員外兒子猜想數(shù)字寫(xiě)法的方法都是歸納法。那么你能說(shuō)說(shuō)什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)嗎？

生：由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。特點(diǎn)：特殊→一般。師：對(duì)。（投影展示有關(guān)定義）

像這種由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。根據(jù)推理過(guò)程中考察的對(duì)象是涉及事物的一部分還是全部，分為不完全歸納法和完全歸納法。

完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。那么，用完全歸納法得出的結(jié)論可靠嗎？

生：（齊答）可靠。

師：用不完全歸納法得出的結(jié)論是不是也是可靠的呢？為什么？

生：不可靠。這是因?yàn)橹豢疾炝瞬糠智闆r，結(jié)論不一定具有普遍性。師：是不可靠的。不妨再舉一例an??n?1??n?2??n?3???n?1000?容易驗(yàn)證a1?0，a2?0，a3?0，?，a1000?0，如果由此作出結(jié)論——對(duì)于任何n?N*，an??n?1??n?2??n?3??

?n?1000??0都成立，那就是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，a1001?1000!?0。

二．設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)探究

師：請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們你們玩過(guò)多米諾骨牌嗎？ 生：（沒(méi)）玩過(guò)。（課堂氣氛由剛才的沉思變得開(kāi)始活躍）師：無(wú)論玩沒(méi)玩過(guò)，下面我們一起來(lái)玩一下。（投影儀上進(jìn)行生動(dòng)、形象的骨牌演示）在觀看骨牌玩法時(shí)，請(qǐng)思考：滿足什么條件，骨牌可以全部倒下？

生：假設(shè)第kk?N*張骨牌倒下，保證第k?1張骨牌倒下。

師：這樣就保證了可以遞推下去，骨牌就可以全部倒下了，是嗎？

生：不是。我們不知道第k張骨牌是否倒下了，從而我們是假設(shè)第k張骨牌倒下。若第k張骨牌倒下，需要第k?1張骨牌倒下；若第k?1張骨牌倒下，需要第k?2張骨牌倒下，??，最后遞歸到需要第1張骨牌倒下，所以，還要有一個(gè)條件：第一張骨牌倒下。

師：大家說(shuō)有了這兩個(gè)條件，骨牌是不是可以順次的倒下呢？ 生：是。

師：上面同學(xué)說(shuō)得很好，要使骨牌全部倒下應(yīng)滿足兩個(gè)條件（投影顯示）第一個(gè)條件是：第一張骨牌倒下；第二個(gè)條件是：假設(shè)第k張骨牌倒下，第k?1張骨牌一定倒下。

現(xiàn)在你能不能利用這種思想（遞推思想）來(lái)證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式呢？是不是應(yīng)該建立一種遞推順序呢？

生：n?1時(shí)結(jié)論正確?n?2時(shí)結(jié)論正確?n?3時(shí)，結(jié)論正確，???n?k時(shí)結(jié)論正確?n?k?1時(shí)結(jié)論正確??

師：由于這個(gè)過(guò)程推理方法是一樣的，能否把這個(gè)過(guò)程一般化呢？ 生：假設(shè)n?k時(shí)結(jié)論正確?n?k?1時(shí)結(jié)論也正確。

師：這樣就保證了遞推。下面你能證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式了嗎？ 三．解決問(wèn)題，引出概念（學(xué)生共答，教師板書(shū)）

證明：（1）當(dāng)n?1時(shí)，左邊?a，右邊?a1?0?d?a1，等式是成立的。

（2）假設(shè)當(dāng)n?k時(shí)等式成立，就是ak?a1?(k?1)d，下面看看是否能推出n?k?1時(shí)等式也成立，那么ak?1等于什么？

生：ak?1?a1??(k?1)?1?d。

師：哦！看來(lái)n?k?1時(shí)等式也成立，這樣做對(duì)嗎？ 生：（齊答）不對(duì)。

師：注意在證n?k?1時(shí)，一定要用到歸納假設(shè)，n?k時(shí)等式成立這一步，因?yàn)檫@樣才能保證遞推，那么ak?1與ak有什么關(guān)系呢？（學(xué)生齊答，教師繼續(xù)板書(shū)）??ak?1?ak?d??a1?(k?1)d??d?a1??(k?1)?1?d。這就是說(shuō)，當(dāng)n?k?1時(shí)，等式也成立，大家說(shuō)有了這兩步，是不是就證明了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性了呢？

生：n?1時(shí)等式成立?n?2時(shí)等式成立?n?3時(shí)等式成立???所以n取任何正整數(shù)等式都成立。

師：這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，那么你能談?wù)勈裁词菙?shù)學(xué)歸納法，及其用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟是怎樣的呢？

生：（在學(xué)生交流，教師引導(dǎo)完善下）數(shù)學(xué)歸納法（證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟）是：（投影跟蹤給出）。

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（例如n0?1或2等）時(shí)結(jié)論正確；

（2）假設(shè)當(dāng)n?k（k?N*，且k?n0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n?k?1時(shí)結(jié)論也正確。根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確。所以數(shù)學(xué)歸納法是證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法。概括起來(lái)就是“兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論?！?/p>

師：用數(shù)學(xué)歸納法證題，實(shí)質(zhì)是一種什么思想？ 生：遞推思想。

師：在遞推中，兩個(gè)步驟各起到了怎樣的作用呢？

生：第一步是奠基，是遞推的基礎(chǔ)，第二步是保證能夠遞推，是遞推的依據(jù)。（此時(shí)投影上注明）

師：這兩步可以缺少哪一步嗎？ 生：（學(xué)生舉例說(shuō)明，教師點(diǎn)評(píng)，投影上也舉出實(shí)例，從而明確）兩步缺一不可。

師：我們已經(jīng)知道，由不完全歸納法得到的結(jié)論不可靠，因而必須作證明。若命題是與正整數(shù)有關(guān)的，證明可考慮用數(shù)學(xué)歸納法。下面請(qǐng)同學(xué)們看一道例題。

例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1?3?5????2n?1??n2（師生共同證題，總結(jié)出用數(shù)學(xué)歸納法證題的技巧是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。）

練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1．1?2?3???n?1n?n?1?。22．1?2?22???2n?1?2n?1。

3．首項(xiàng)是a1，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an?a1qn?1。

四．歸納小結(jié)，深化主題

師：本節(jié)的中心內(nèi)容是什么？為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法？什么是數(shù)學(xué)歸納法？體現(xiàn)什么思想？

生：（學(xué)生積極回答，從而自主地構(gòu)建本節(jié)課的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。）（投影展示）小結(jié)：

?不完全歸納法1．歸納法?

?完全歸納法特點(diǎn)：特殊→一般

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法概念及證題步驟。3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法實(shí)質(zhì)是遞推思想。

五．布置作業(yè)： P76 1，2

第五篇：解三角形應(yīng)用舉例教案（推薦）

解三角形應(yīng)用舉例教案

●教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題，了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)

過(guò)程與方法：首先通過(guò)巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，采用“提出問(wèn)題——引發(fā)思考——探索猜想——總結(jié)規(guī)律——反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過(guò)程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開(kāi)例題，設(shè)計(jì)變式，同時(shí)通過(guò)多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類比解決實(shí)際問(wèn)題。對(duì)于例2這樣的開(kāi)放性題目要鼓勵(lì)學(xué)生討論，開(kāi)放多種思路，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹更c(diǎn)和矯正

情感態(tài)度與價(jià)值觀：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力 ●教學(xué)重點(diǎn)

實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問(wèn)題的解 ●教學(xué)難點(diǎn)

根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出示意圖 ●教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.課題導(dǎo)入

1、[復(fù)習(xí)舊知] 復(fù)習(xí)提問(wèn)什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、[設(shè)置情境]

請(qǐng)學(xué)生回答完后再提問(wèn)：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問(wèn)題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒(méi)有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施。如因?yàn)闆](méi)有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來(lái)測(cè)量，所以，有些方法會(huì)有局限性。于是上面介紹的問(wèn)題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離。Ⅱ.講授新課

（1）解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解

[例題講解]

(2)例

1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m)

啟發(fā)提問(wèn)1：?ABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？

啟發(fā)提問(wèn)2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答。分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題，題目條件告訴了邊AB的對(duì)角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得

ABsin?ACB =

ACsin?ABC

AB = ACsin?ACB

sin?ABC = 55sin?ACB

sin?ABC =

55sin75? sin(180??51??75?)= 55sin75?

sin54? ≈ 65.7(m)答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米

變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30?，燈塔B在觀察站C南偏東60?，則A、B之間的距離為多少？

老師指導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，建立數(shù)學(xué)模型。解略：2a km 例

2、如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問(wèn)題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。

解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測(cè)得CD=a，并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得?BCA=?，? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，應(yīng)用正弦定理得

AC = BC =

asin(???)= asin(???)

sin[180??(?????)]sin(?????)asin? = asin? sin[180??(?????)]sin(?????)計(jì)算出AC和BC后，再在?ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離 AB =

AC2?BC2?2AC?BCcos?

分組討論：還沒(méi)有其它的方法呢？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析。

變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得?BCA=60?，?ACD=30?，?CDB=45?，?BDA =60?

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20

評(píng)注：可見(jiàn)，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案，但有些過(guò)程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選擇最佳的計(jì)算方式。學(xué)生閱讀課本4頁(yè)，了解測(cè)量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。Ⅲ.課堂練習(xí)

課本第13頁(yè)練習(xí)第1、2題 Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖

（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解 Ⅴ.課后作業(yè)

課本第19頁(yè)第1、2、3題