第一篇：定積分在幾何上的應用教案_2

定積分在幾何上的應用教案(2)

目的要求

1．了解旋轉體的概念，理解旋轉體體積公式的推導過程，繼續(xù)了解“分割——近似代替——求和——取極限”的思想方法．

2．掌握用旋轉體的體積公式求旋轉體的體積，學會用定積分解決一些在幾何中用初等數學方法無法解決的體積問題．

3．對幾何圖形的基本度量——體積的概念有較完整的認識，知道在求旋轉體的體積時，定積分是一種普遍適用的方法，進一步體會學習定積分的必要性．

4．培養(yǎng)學生應用數學的意識和能力，進一步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、空間想象能力以及應用定積分的基本思想解決問題的能力．

內容分析

1．本節(jié)課是在學習了定積分的概念與計算的基礎上，介紹定積分在幾何中的又一種應用，它是微積分解決初等數學的一個生動實例，這充分體現了新教科書對培養(yǎng)學生應用數學的意識的重視．大家知道，微積分是十七世紀數學發(fā)展史上的里程碑，是人類思想史上的重大飛躍，微積分可以解決初等數學難以解決或無法解決的許多問題．通過這部分內容的學習，可使旋轉體的體積在理論上解決得更徹底，并使學生對體積的概念有較完整的認識．

2．“旋轉體的體積”這部分內容包括旋轉體的定義、旋轉體的體積公式的推導、旋轉體體積的計算．教學中以旋轉體體積的計算為重點；由于旋轉體體積公式的推導比較抽象，空間想象能力要求較高，故為本節(jié)課的教學難點；突破難點的關鍵是數形結合，充分采用現代化的多媒體教學手段顯示旋轉體的形成過程，在計算機中虛擬幾何體的分割過程的“真實”情景，“放大”微觀世界，使抽象問題形象化、直觀化．

3．考慮到本課內容比較抽象，故宜采用啟發(fā)引導、講練結合的教學方法，同時采用計算機輔助教學．在具體教學中要注意到以下幾點：

關于旋轉體的定義，要與以前學習過的柱、錐、球等旋轉體的定義結合起來教學，使學生明確旋轉體的形成有兩個要素：一是被旋轉的平面圖形，二是旋轉軸．柱、錐、球等旋轉體的平面圖形都是直線或圓弧，而在這里是一般的曲線．

關于旋轉體體積公式的推導，其實在第二冊(下)關于體積公式的推導過程中已經滲透了定積分的思想方法．教學中，可通過對球的體積公式的推導及曲邊梯形面積公式的推導作一簡單的回顧，采用類比的方法，遵循“有限→無限→有限、連續(xù)→離散→連續(xù)、精確→近似→精確”的原則，化曲為直，化整為零，變未知為已知．

關于旋轉體體積公式的計算，課本例3顯然可直接應用圓錐的體積公式求出圓錐的體積．之所以安排這道例題，是為了讓學生明白用定積分求旋轉體的體積是一種普遍適用的方法，教學中切勿一帶而過．在講完例3后，要注意總結求旋轉體體積的解題步驟．本課的練習要緊緊圍繞旋轉體的體積公式展開，讓學生通過一定的練習，加深對定積分概念的了解，并達到熟練掌握公式的教學效果．

4．本節(jié)課是定積分應用的一個高潮，有必要在知識和能力方面有所突破，即安排一些綜合性較強的例題或課外練習題，讓學有余力的學生繼續(xù)探討，以提高他們分析問題與解決實際問題的能力．

教學過程

(一)鋪墊引入，創(chuàng)設情景 1．鋪墊引入

①數軸可表示什么樣的圖形？ ②什么樣的圖形叫做圓？

③什么樣的圖形叫做球？(多媒體演示球的形成過程)2．創(chuàng)設情景

(1)問題一 下列幾何體是如何形成的？(多媒體演示形成過程)①圓柱 ②圓錐 ③花瓶 歸納：

①什么叫旋轉體？(平面圖形繞這個平面內的一條直線旋轉一周所成的幾何體)②旋轉體形成的兩個要素是什么？(一是被旋轉的平面圖形，二是旋轉軸)③舉一些日常生活中的旋轉體的例子，并說明被旋轉的平面圖形及旋轉軸分別是什么．(多媒體演示一些旋轉體)(2)問題二 如何求旋轉體的體積？

學生展開討論并提出解決的幾種方案，估計會出現下列情況： ①對于特殊的旋轉體(如球、圓柱、圓錐)，可直接運用公式求解； ②對于一般的旋轉體，可用物理中測量不規(guī)則物體的體積的方法求解； ③像求曲邊梯形的面積一樣，推導出一個計算一般的旋轉體的體積公式．

(二)類比啟迪，推導公式

1．復舊：先回憶曲邊梯形面積公式的推導思路，再回顧球的體積公式的推導過程(多媒體演示)． 2．類比：將球的體積公式的推導過程與曲邊梯形面積公式的推導過程進行對比：有限→無限→有限，精確→近似→精確．

3．探求：在計算機中虛擬旋轉體的分割過程的“真實”情景，“放大”微觀世界，然后由師生共同歸納旋轉體體積的推導過程．(如圖55－1)①分割：將閉區(qū)間[a，b]用n－1個分點a＝x0＜x1＜x2＜?＜ ②近似代替：過各分點xi作垂直于x軸的平面，將旋轉體割成厚度 個小圓柱體，它的底面半徑可以用區(qū)間上任一點ξ

i的縱坐標

f(ξi)來近

就可用與這個區(qū)間對應的小圓柱的體積來近似代替

③作和：當n很大時，每個薄片可以近似地看作圓柱，圓柱的底面半徑近似地等于區(qū)間左端點的函數值．這樣旋轉體的體積近似地等于n個圓柱的體積之和．

④求極限： 4．深化：

[C]

A．由y＝x2、y＝0、x＝

1、x＝2所圍成的曲邊梯形的面積 B．由y＝x、y＝0、x＝

1、x＝2所圍成的曲邊梯形的面積

C．由y＝x、y＝0、x＝

1、x＝2所圍成的圖形繞x軸旋轉所得旋轉體的體積 D．由y＝x2、y＝0、x＝

1、x＝2所圍成的圖形繞x軸旋轉所得旋轉體的體積 ②思考2：猜想下列圖中陰影部分的圖形繞對稱軸旋轉所得的旋轉體的體積公式(三)范例講解，運用公式

三角形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積．

解：依題意知直線與兩坐標軸圍成的圖形為△OSA，其中S(h，0)，A(0，r)． △OSA繞x軸旋轉而成的旋轉體為圓錐．由旋轉體的體積公式得： 歸納：求旋轉體體積的解題步驟： ①根據題意畫出草圖；

②找出曲線范圍，確定積分上、下限和被積函數； ③寫出求體積的定積分表達式； ④計算定積分，求出體積．

變式：利用旋轉體的體積公式，求出底半徑為r、高為h的圓錐的體積公式．學生討論后，歸納出兩種解法：

解法一：(以高所在直線為x軸，以底面半徑所在直線為y軸，建立直角坐標系求解．)解法二：(以高所在直線為y軸，以底面半徑所在直線為x軸，建立直角坐標系求解．)繞x軸旋轉一周所成旋轉體體積的2倍，y軸旋轉一周所成旋轉體體積的2倍． 轉而成的旋轉體的體積．

(四)練習反饋，鞏固公式

[C]

A．單位圓面積的一半

B．以1為半徑的球的表面積的一半 C．以1為半徑的球的體積的一半 D．以1為半徑的球的體積 練習2：由曲線y＝sinx，x∈[0，π]與x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉所得的旋轉體的體積是________ 練習3：橢圓x2＋3y2＝12繞y軸旋轉所得的旋轉體的體積是

[D]

B．9π D．32π

練習4：拋物線y2＝4x被其通徑所截得部分繞x軸旋轉得旋轉體的體積是

[A]

A．2π

B．3π C．6π

D．8π

轉體的體積是________

(五)歸納小結，內化公式 布置作業(yè)

1．必做題：教科書習題4．4第2、4題． 2．選做題：

(1)復習參考題四(B組)第5題．

(2)(2001年全國新課程高考數學試題)某電廠冷卻塔的外形是如圖所示雙曲線的一部分繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉所成的曲面，其中A、A1是雙曲線的頂點，C、C1是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、B1是冷卻塔下口直徑的兩個端點，已知AA1＝14m，CC1＝18m，BB1＝22m．

(Ⅰ)建立坐標系并寫出該雙曲線方程；

(Ⅱ)求冷卻塔的容積(精確到10m3，塔壁厚度不計，π取3.14)． 說明：

本題是一道綜合性較強的試題，主要考查了選擇適當坐標系建立曲線方程和解方程組等基礎知識，考查應用所學積分知識、思想和方法解決實際問題的能力．

第二篇：定積分的幾何應用教案

4.3.1 定積分在幾何上的應用

教材：

《高等數學》第一冊第四版，四川大學數學學院高等數學教研室，2009 第四章第三節(jié) 定積分的應用

教學目的：

1.理解掌握定積分的微元法；

2.會用微元法計算平面圖形的面積、立體的體積、平面曲線的弧長、旋轉曲面的面積。

教學重點：定積分的微元法。

教學難點：

計算平面圖形的面積、立體體積、平面曲線弧長、旋轉曲面面積時的微元如何選取和理解。

教學時數：3學時

教學過程設計：通過大量例題來理解用微元法求定積分在幾何上的各種應用。

部分例題：

(1)求平面圖形的面積

由定積分的定義和幾何意義可知，函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于由函數y=f(x)，x=a，x=b 和軸所圍成的圖形的面積的代數和。由此可知通過求函數的定積分就可求出曲邊梯形的面積。

例如：求曲線f?x2和直線x=l，x=2及x軸所圍成的圖形的面積。

分析：由定積分的定義和幾何意義可知，函數在區(qū)間上的定積分等于由曲線和直線，及軸所圍成的圖形的面積。

所以該曲邊梯形的面積為

f??21x223137xdx????

31333222(2)求旋轉體的體積

(I)由連續(xù)曲線y=f(x)與直線x=a、x=b(a

ab(Ⅱ)由連續(xù)曲線y=g(y)與直線y=c、y=d(c

cd(III)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)?0)與直線x=a、x=b(0?a

abx2y2例如：求橢圓2?2?1所圍成的圖形分別繞x軸和y軸旋轉一周而成的旋ab轉體的體積。

分析：橢圓繞x軸旋轉時，旋轉體可以看作是上半橢圓b2y?a?x2(?a?x?a)，與x軸所圍成的圖形繞軸旋轉一周而成的，因此橢圓ax2y2??1所圍成的圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體的體積為 a2b2b2vy???(a?x2)?aa?b2213a?2(ax?x)?a?a3a2dx??b2a2?a?a(a2?x2)dx

4?ab23橢圓繞y軸旋轉時，旋轉體可以看作是右半橢圓x?a2b?y2,(?b?y?b)，與bx2y2y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉一周而成的，因此橢圓2?2?1所圍成的圖形繞

aby軸旋轉一周而成的旋轉體的體積為

a2?a22vy???(b?y)dy?2?bbb

?a2213b42?2(by?y)?b??abb33b2?b?b22(b?ydy)

(3)求平面曲線的弧長

(I)、設曲線弧由參數方程

{x??(t)(??t??)

y??(t)給出其中?'(t),?'(t)在[?,?]上連續(xù)，則該曲線弧的長度為s????'[?'(t)2?]?[t(2d)。]x()(Ⅲ)設曲線弧的極坐標方程為r?r(?)(?????)，其中r'(?)在[?,?]上連續(xù)，則該曲線弧的長度為s????r2(?)?[r(?)']2d(?)。

x21例如：求曲線y??lnx從x=l到x=e之間一段曲線的弧長。

42解：y'?x1?22x，于是弧長微元為

ds?1?y'2，x111dx?1?(?)2dx?(x?)dx。

22x2x所以，所求弧長為：s??

e1111x21e(x?)dx?(?lnx)1?(e2?1)。2x224

第三篇：9.9 積的乘方2教案

9.9積的乘方

教學目標

理解積的乘方的運算性質，準確掌握積的乘方的運算性質，熟練應用這一性質進行有關計算．通過推導積的乘方的法則提高學生的抽象思維能力．

教學重點及難點

準確掌握積的乘方的運算法則．用數學語言概括運算法則． 教學過程設計 1．創(chuàng)設情境，復習導入

前面我們學習了同底數冪的乘法、冪的乘方這兩個冪的運算性質，請同學們通過完成一組練習，來回顧一下這兩個性質：

填空：

（1）a?a?a32

4（2）?a?

5334323253???? 3?a?aa?a?a?a

（3）

（4）2．探索新知，講授新課 請同學們觀察以下算式：

?3?5?2??3?5???3?5?……冪的意義

??3?3???5?5?……乘法的交換律、結合律 ?32?52

下面請同學們按照以上方法，完成書本填空：

na我們知道表示n個a相乘，那么?ab?表示什么呢？

3學生回答時，教師板書．

?ab?3?ab?ab?ab

??a?a?a???b?b?b?

?a3b3

這又根據什么呢？（學生回答乘法交換律、結合律）

333??ab?ab 也就是44n??????ababcab請同學們回答、的結果怎樣？那么（n是正整數）如何計算呢？

；____________個

運用了________律和________律

________個________個

學生活動：學生完成填空．

?ab?n?anbn（n 是正整數）剛才我們計算的?ab?、?ab?n 是什么運算？（答：乘方運算）什么的乘方？（積的乘方）

通過剛才的推導，我們已經得到了積的乘方的運算性質．

請同學們用文字敘述的形式把它概括出來．

積的乘方等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即：

?ab?n ?anbn（n 是正整數）

提出問題：這個性質對于三個或三個以上因式的積的乘方適用嗎？如?abc?n

（是正整數）

3．嘗試反饋，鞏固知識

例1計算：

（1）?3a?4

（2）??2mx?3

2（3）???xy2?3?2xy2??

（4）?3?

學生活動：每一題目均由學生說出完整的解題過程． 解:（1）?3a?4 ?34?a4?81a4

3333

3（2）??2mx????2??mx??2m3x3??8m3x3 23323

（3）??xy????x??y???x3y6

2（4）??22??2?22?3xy?????3???x??y?2?49x2y4

練習9.9 4．綜合嘗試，鞏固知識

例2 計算：

34?????a??a（1）

2233???3xy?2xy?（2）32（3）?3x???2x? 3223解：（1）??a????a????a????1??a??a 347777（2）3xy（3）3x32?223??2x3y323??2?3x6y6?2x6y6?x6y6

????2x??9x6?8x6?72x12

教師板演（1）學生板演（2）（3）5．反復練習，加深印象 6．簡便計算，培養(yǎng)能力

7、總結、擴展

這節(jié)課我們學習了積的乘方的運算性質，請同學們談一下你對本節(jié)課學習的體會．

8、回家作業(yè) 練習冊習題9.9

第四篇：組合應用教案 2

組合數的性質學案

一、知識回顧

1、組合的概念：___________________________________________________________；

2、組合數的概念：_________________________________________________________；

3、組合數公式

Cnm=________=______________________；Cnm=___________________________；

二、自主學習

73練習求值（1）C73 與 C74 ；（2）C52 與 C53 ；（3）C10 與 C10

mn?m小結：（1）組合數的性質1 Cn= Cn。

證明：

（2）針對性質1，我們說明兩點：

①為簡化計算，當__________時，通常將計算Cn改為計算Cn②為了使性質1在m=n時也能成立，我們規(guī)定：C0n=_____.三、知識應用

例1 一個口袋里裝有7個白球和1個紅球，從口袋中任取5個球：

（1）共有多少種不同的取法？

（2）其中恰有一個紅球，共有多少種不同的取法？（3）其中不含紅球，共有多少種不同的取法？

mn?m.小結：組合數的性質2 Cnm?1?Cnm?Cnm?1

證明：

例2 在產品質量檢驗時，常從產品中抽出一部分進行檢查。現在從98件正品和2件次品共100件產品中，任意抽出3件檢查：

（1）共有多少種不同的抽法？

（2）恰好有一件是次品的抽法有多少種？（3）至少有一件是次品的抽法有多少種？

（4）恰好有一件是次品，再把抽出的3件產品放在展臺上，排成一排進行對比展覽，共有多少種不同的排法？

例3 有9本不同的課外書，分給甲、乙、丙三名同學，求在下列條件下，各有多少種不同的分法？

（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；（3）甲、乙、丙各得3本。

例4 某次足球賽共12支球隊參加，分三個階段進行：

（1）小組賽：經抽簽分成甲、乙兩組，每組6隊進行單循環(huán)比賽，以積分及凈剩球數取前兩名。

（2）半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名作主客場交叉淘汰賽（每兩隊主客場各賽一場）決出勝者；（3）決賽：兩個勝隊參加決賽異常，決出勝負。

問全部賽程共需比賽多少場？

例5 設北京故宮博物院某日接待游客10000人，如果從這些游客中任意選出10名幸運游客，一共有多少種不同的選擇（保留四位有效數字）？若把10份不同的紀念品發(fā)給選出的幸運游客每人一份，又有多少種不同的選擇？

三、鞏固練習

課本P22 2、4、6

四、課堂總結

五、達標檢測 課本P22 2、3

六、預習綱要

二項式定理

第五篇：2、橢圓的簡單幾何性質復習教案

橢圓的簡單幾何性質

一、知識歸納：

1、幾何性質：

2、橢圓的

三、強化訓練：

1、求下列各橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點坐標、頂點坐標，并畫出草圖。（1）4x2?y2?16

（2）9x2?y2?4

2、求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）橢圓經過兩點P(?22,0),Q(0,5)；（2）長軸是短軸的3倍，橢圓經過P(3,0)；（3）離心率等于0.8，焦距是8。

3、若直線4x?3y?12?0過橢圓b2x2?a2y2?a2b2(a?b?0)的一個焦點，離心率e?35，求該橢圓的方程。

225xy4、橢圓，那么P到右焦點的距離??1上有一點P，它到左準線的距離等于

2259是。

5、在橢圓x225為

。?y29?1上有一點P，它到左焦點的距離等于它到右焦點距離的3倍，則P的坐標

6、過橢圓4x2?2y2?1的一個焦點F1的直線與橢圓交于A、B兩點，則A、B與橢圓的另一焦點F2構成?ABF2，那么?ABF2的周長是

（）A.2B.2

C.2

D.1

7、若橢圓兩準線間的距離等于焦距的4倍，則這個橢圓的離心率為

A．14（）

xB．222 ?1和

x2C．?y224 D．

8、已知k＜4，則曲線

9?k4?k94A.相同的準線

B.相同的焦點

C.相同的離心率

D.相同的長軸

x2?y2?1有

（）

9、若點P在橢圓2積是

（）?y2?1上，F1、F2分別是橢圓的兩焦點，且?F1PF2?90，則?F1PF2的面

?A.2

B.1

C.22

D.10、方程2(x?1)?(y?1)?|x?y?2|的曲線是（）A.橢圓 B.線段 C.拋物線 D.無法確定

?x?3cos?

11、曲線?（?為參數）的準線方程是。

y?sin??

12、若實數x,y滿足

13、橢圓x2x216?y225?1，則y?3x的最大值為。

128?m?2y29?1的離心率是2，則兩準線間的距離是。

14、已知橢圓x?8y?8，在橢圓上求一點P，使P導直線x?y?4?0的距離最小并求出最小值。